Uebungen - S-Inf

Prof. Dr. R. Mathar
Daniel Catrein
RWTH Aachen, SS 2003
Abgabe: 08.05.02
bis 14:00 Uhr
1. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker
Aufgabe 1
In einem Netzwerk befinden sich n Drucker, die durchnummeriert sind von
1 bis n. m Druckaufträge mit den Nummern 1 bis m werden zufällig gemäß
einer diskreten Gleichverteilung an die Drucker verteilt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt Drucker 1 den Auftrag mit
der Nummer 1?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt Drucker 1 keinen Auftrag?
c) Es kommen nun m = n Druckaufträge an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt genau ein Drucker keinen Auftrag?
Aufgabe 2
Die erste Ausspielung der Glücksspirale wurde 1971 folgendermaßen durchgeführt:
In einer einzigen Trommel befanden sich 70 gleichartige Kugel, von denen
jeweils 7 mit den Ziffern 0, 1, . . . , 9 beschriftet waren.
Aus der Trommel wurden nach gründlichem Mischen gleichzeitig 7 Kugeln
gezogen, aus denen die 7-stellige Gewinnzahl ermittelt wurde.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei diesem Verfahren die
folgenden Gewinnzahlen gezogen werden:
a) 7 7 7 7 7 7 7
a) 3 5 9 2 1 0 6
a) 3 3 5 2 3 2 4
War dieses Verfahren fair, in dem Sinne, dass jede Losnummer die gleiche
Chance hatte gezogen zu werden?
Aufgabe 3 (K)
A, B, A1 , A2 , . . . , An ∈ A seien Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P ). Zeigen Sie:
a) |P (A) − P (B)| ≤ P (A ∩ B C ) + P (AC ∩ B),
!
n
n
\
X
b) P
Ai ≥
P (Ai ) − (n − 1)
i=1
i=1
Aufgabe 4
Zeigen Sie Lemma 2.11 der Vorlesung:
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ A. Es gilt
a) P (AC ) = 1 − P (A),
b) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B),
c) A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B),
d) A ⊂ B ⇒ P (B \ A) = P (B) − P (A).
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Daniel Catrein
RWTH Aachen,
SS 2003
Abgabe: 15.05.2003
bis 14:00 Uhr
2. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker
Aufgabe 5
Betrachten Sie ein Netzwerk mit n Druckern und m Druckaufträgen, die gemäß einer
diskreten Gleichverteilung auf die Drucker zufällig verteilt werden (siehe Aufgabe 1).
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten k ≤ n vorher festgelegte Drucker keinen
Auftrag?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält jeder Drucker mindestens einen Auftrag?
Hinweis: Nutzen Sie das Ergebnis aus a) und die Siebformel von Poincaré-Sylvester.
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommen genau k ≤ n Drucker keinen Auftrag?
Aufgabe 6 (K)
Eine Firma hat Internetanbindungen über drei Provider A, B und C. Provider A garantiert, dass 95% der über ihn gesendeten Pakete ihr Ziel erreichen, Provider B gibt diese
Garantie für 90% und Provider C für 92% der Pakete. 45% aller Pakete werden über
Provider A, 30% über Provider B und 25% über Provider C gesendet.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht ein beliebiges gesendetes Paket sein Ziel, und
mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde ein Paket, das sein Ziel nicht erreicht, über
Provider B geleitet, falls die Angaben aller drei Provider korrekt sind?
b) Es wird vermutet, dass A die garantierte Erreichbarkeit nicht erzielt. Eine Messung
ergibt, dass 40% der empfangenen Pakete von A gesendet wurden. Welcher Anteil der
über A gesendeten Pakete erreicht somit sein Ziel, vorrausgesetzt, dass die Angaben
der Provider B und C korrekt sind?
Aufgabe 7 (K)
A, B, C ∈ A seien Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) mit 0 < P (C) < 1.
Ferner seien A und B stochastisch unabhängig und es gelte
P (A ∩ B|C) = P (A ∩ B|C c ).
a) Zeigen Sie, dass
P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C).
b) Sind A, B, C notwendig gemeinsam stochastisch unabhängig?
Aufgabe 8
Eine faire Münze werde unendlich oft geworfen, wobei die Ergebnisse der einzelnen Würfe
gemeinsam stochastisch unabhängig seien.
a) Zeigen Sie, dass jede endliche Sequenz aus Kopf“ und Zahl“ mit Wahrscheinlichkeit
”
”
1 in der Münzwurffolge auftritt.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige endliche Sequenz sogar unendlich oft auftritt?
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Daniel Catrein
RWTH Aachen,
SS 2003
Abgabe: 22.05.2003
bis 14:00 Uhr
3. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker
Aufgabe 9 (K)
Bei dem folgenden Netzwerk seien die Router R 1 , R2 , R3 , R4 unabhängig voneinander
mitWahrscheinlichkeit pi intakt und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p i defekt, 0 < pi < 1,
1 ≤ i ≤ 4. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von A nach B eine intakte Verbindung hergestellt werden kann.
@ABC
GFED
R
1
1
}
}}
}
}
}}
}}
AA
AA
AA
AA
AA
89:;
?>=<
@ABC
GFED
R A
3
AA
AA
AA
AA
11
11
11 11
1
111
11
1
@ABC
GFED
R
2
@ABC
GFED
B
}
}}
}
}
}}
}}
@ABC
GFED
R
4
Aufgabe 10
Es seien λ > 0 und {pn }n∈ ∈ (0, 1) mit limn→∞ npn = λ. Zeigen Sie, dass für alle k ∈ N0
λk
n k
pn (1 − pn )n−k = e−λ
lim
n→∞ k
k!
gilt.
Aufgabe 11
In einem paketorientierten Netzwerk kommt ein einzelnes Datenpaket mit Wahrscheinlichkeit p fehlerfrei beim Empfänger an. Die Übertragung verschiedener Pakete kann als
stochastisch unabhängig angesehen werden. Wenn in einem Paket ein Fehler auftritt, wird
die Übertragung wiederholt, solange bis das Paket fehlerfrei angekommen ist.
a) Die Zufallsvariable X beschreibe wie oft ein einzelnes Paket gesendet werden muss,
bis es ohne Fehler empfangen wird.Wie ist X verteilt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist
keine und mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 2 Wiederholungen der Übertragung
nötig? Wie groß muss p mindestens sein, so dass mit Wahrscheinlichkeit 0.99 höchstens
drei erneute Übertragungen pro Paket nötig sind?
b) Um zu verhindern, dass ein einzelnes wiederholt übertragenes Paket das ganze Netz
blockiert, wird in einem anderen Netzwerk maximal 10 mal versucht, ein Paket zu übertragen.
Wie sieht die Verteilung der Zufallsvariablen Y in diesem System aus, die die Anzahl der
Übertragungsversuche beschreibt?
c) Eine Datei, die übertragen werden soll, besteht aus 1000 Paketen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit müssen mehr als drei Pakete mehrfach übertragen werden, falls p = 1 − 10−4
ist?
Hinweis: Beantworten Sie Teil c) approximativ.
3. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker
Aufgabe 12
a) Bestimmen Sie, falls möglich, einen Parameter c ∈ R, so dass
f (k) =
c
k(k + 1)
die Zähldichte einer Zufallsvariablen X mit Träger N ist.
b) Für welche c, d ∈ R, d ≥ 0 ist
eine Verteilungsfunktion?
Was ergibt sich für


0,
F (x) = c x2 ,


1,
x < 0,
0 ≤ x < d,
d ≤ x,


0,
F (x) = c x2 ,


1,
x < 0,
0 ≤ x ≤ d,
d<x?
c) Berechnen Sie alle Werte der Parameter a, b, c ∈ R, für die
F (x) = a arctan(x − c) + b
eine Verteilungsfunktion ist.
Die zugehörige Verteilung heißt Cauchy-Verteilung.
d) Bestimmen Sie, falls möglich, einen Parameter c ∈ R, so dass
F (x) = c
eine Verteilungsfunktion ist.
x2 + x
2x2 + 1
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Daniel Catrein
RWTH Aachen,
SS 2003
Abgabe: 28.05.2003
bis 14:00 Uhr
4. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker
Aufgabe 13
Die Dauer eines Telefongesprächs (in Sekunden) sei exponentialverteilt mit Parameter
λ = 0, 01.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Gespräch
1. mehr als 100 Sekunden,
2. zwischen 25 und 300 Sekunden bzw.
3. höchstens 150 Sekunden
dauert.
b) Bestimmen Sie den Median der Gesprächsdauer.
c) Bestimmen Sie ein Zeitintervall (u 1 , u2 ], 0 ≤ u1 < u2 , kürzester Länge u = u2 − u1 , so
dass die Dauer eines Gesprächs mit Wahrscheinlichkeit 0,9 in diesem Intervall liegt.
Aufgabe 14
Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Die Verteilung einer Zufallsvariablen X :
(Ω, A) → (R, B1 ), mit X ≥ 0, heißt gedächtnislos, wenn
P (X > x + y|X > x) = P (X > y)
für alle x, y ≥ 0.
Bestimmen Sie alle gedächtnislosen Verteilungen mit stetiger Verteilungsfunktion.
Hinweis: Die Funktionalgleichung f (x + y) = f (x)f (y), x, y ≥ 0, hat für stetiges f außer
der Nullfunktion nur Lösungen der Form eax , a ∈ R.
Aufgabe 15
Bei der Qualitätskontrolle von Speicherbausteinen hat sich herausgestellt, dass 5% der
Bausteine von Anfang an defekt sind und die restlichen eine mit Parameter λ = 0, 001
exponentialverteilte Lebensdauer haben. Mit welcher Verteilungsfunktion würden Sie die
Lebensdauer eines zufällig herausgegriffenen Speicherchips beschreiben? Ist die zugehörige
Verteilung diskret oder absolut-stetig?
Aufgabe 16
a) Bestimmen Sie die erzeugende Funktion der Binomialverteilung mit den Parametern
n und p.
b) Sei X gammaverteilt mit Parametern α, λ > 0 X ∼ Γ(α, λ) und der Dichte
fX (x) =
wobei Γ(α) =
R∞
0
λα α−1 −λx
x
e
11[0,∞) (x),
Γ(α)
y α−1 e−y dy. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von X.
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Daniel Catrein
RWTH Aachen,
SS 2003
Abgabe: 05.06.2003
bis 14:00 Uhr
5. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker
Aufgabe 17
Die Funktion f : R2 → R sei definiert durch
(
cxy, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
f (x, y) =
.
0,
sonst
Wie muß c ∈ R gewählt werden, damit f die Dichte eines Zufallsvektors (X, Y ) ist? Bestimmen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion F(X,Y ) sowie die Dichten und Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen X und Y . (Die Verteilung von X bzw. Y heißt Randverteilung.)
Sind X und Y stochastisch unabhängig?
Aufgabe 18
In einem GSM-Mobilfunknetzwerk werden die Anzahl der aktiven Benutzer in einer Zelle
N und die an der Basisstation empfangenen Störleistung I (Interferenz in dB) durch stochastisch unabhängige Zufallsvariablen beschrieben. N sei poissonverteilt mit Parameter
λ = 5 und I Normalverteilt mit Parametern µ = −2 und σ 2 = 4.
a) Es können nur neue Verbindungen aufgebaut werden, wenn sich weniger als 10 Benutzer in einer Zelle befinden und I < 1.8 dB ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist
dies der Fall?
b) HSCD-Datenübertragungen ist nur möglich, wenn N ≤ 3 und N · I ≤ 1 dB. Wie ist
die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall?
Aufgabe 19
Zwei Freunde A und B verabreden, sich abends am Markt zu treffen. A kommt zu einem
zufälligen Zeitpunkt zwischen 21 Uhr und 22 Uhr an und wartet 15 Minuten auf B. B
kommt zwischen 20:30 Uhr und 22:30 Uhr an und wartet 30 Minuten. Beide Ankunftszeiten können als gleichverteilt in den oben angegebenen Intervallen und als stochastisch
unabhängig angenommen werden.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit begegnen sich die beiden?
Aufgabe 20
X1 , . . . , Xn seien diskrete Zufallsvariablen mit Trägern T1 , . . . , Tn . Beweisen Sie Lemma
4.10 der Vorlesung:
X1 , . . . , Xn stochastisch unabhängig
⇔ P (X1 = t1 , . . . , Xn = tn ) =
n
Y
i=1
P (Xi = ti )
∀ t i ∈ Ti ,
1 ≤ i ≤ n.
Prof. Dr. R. Mathar
Daniel Catrein
RWTH Aachen,
SS 2003
Abgabe: 18.06.2003
bis 14:00 Uhr
6. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker
Aufgabe 21
Ein Programm besteht aus zwei Algorithmen mit Laufzeiten X 1 ∼ Exp(λ1 ) und X2 ∼
Exp(λ2 ), λ1 , λ2 > 0. X1 und X2 können als stochastisch unabhängig angenommen werden.
a) Bestimmen Sie eine (gemeinsame) Dichte von (X 1 , X2 ).
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Laufzeit des Programms kleiner oder
gleich 1 ist, wenn
i) beide Algorithmen auf einem Prozessor nacheinander ausgeführt werden,
ii) beide Algorithmen gleichzeitig auf zwei Prozessoren ausgeführt werden und das
Programm beendet ist, wenn beide Ergebnisse vorliegen,
iii) beide Algorithmen gleichzeitig auf zwei Prozessoren ausgeführt werden und das
Programm schon beendet wird, wenn nur ein Ergebnis vorliegt.
Aufgabe 22
Bei einem chemischen Prozeß wird am Ende jeden Tages die Temperatur geprüft. Es kann
davon ausgegangen werden, dass die Temperaturen [in ◦ C] durch stochastisch unabhängige,
N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariable beschrieben werden können, wobei µ = 400 und σ 2 = 9
sind. Der Prozess muss gestoppt werden, wenn die Temperatur zum Tagesende 395 ◦ C
unter- oder 405◦ C überschreitet.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Prozess mindestens 10 Tage hintereinander
läuft.
Aufgabe 23
a) Ein Zufallszahlengenerator auf einem Computer liefert auf dem Intervall (0, 1) gleichverteilte Zufallszahlen, Xi ∼ R(0, 1). Für eine Simulation werden standardnormalverteilte Zufallszahlen benötigt, die aus den gleichverteilten Zufallsvariablen berechnet
werden sollen.
q
2
1
e−Xi standardnormalverteilt?
Sind die Zufallszahl Y := 2π
Wie sieht die Dichte der Yi aus?
b) Zeigen Sie, dass Sie aus zwei stochastisch unabhängigen gleichverteilten Zufallszahlen
X1 , X2 ∼ R(0, 1) durch die Transformation
p
Y1 = −2 ln X1 sin(2πX2 )
p
Y2 = −2 ln X1 cos(2πX2 )
zwei standardnormalverteile, stochastisch unabhängige Zufallszahlen Y1 , Y2 ∼ N (0, 1)
erhalten (Box/Muller Verfahren (1958)).
Aufgabe 24(K)
a) Die gemeinsame
Verteilung von
(X 1 , X2 ) sei eine Gleichverteilung auf dem Einheitskreis (x1 , x2 ) x1 2 + x2 2 ≤ 1 . Bestimmen Sie die Dichte von Y = X1 + X2 .
b) Es seien X und Y stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit X ∼ Exp(λ) und
Y ∼ R(0, 1). Bestimmen Sie eine Dichte der Verteilung von X + Y .
Prof. Dr. R. Mathar
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RWTH Aachen,
SS 2003
Abgabe: 26.06.2003
bis 14:00 Uhr
7. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker
Aufgabe 25
Die Bearbeitungszeiten (in Stunden) anstehender Programme in einer Warteschlange werden durch stochastisch unabhängige Exp(2)-verteilte Zufallsvariablen beschrieben. Ein
Server arbeitet die Programme hintereinander ohne Zeitverzug ab. Wieviel Programme
dürfen zur Zeit t höchstens anstehen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass die Warteschlange 6 Stunden später abgearbeitet ist, größer als 0, 95 ist, falls in der Zwischenzeit keine
neuen Jobs hinzukommen?
Aufgabe 26(K)
Die Zwischenankunftszeiten von Druckjobs in der Warteschlange eines Druckers seien
Erl(2, λ)-verteilt, λ > 0 (Erlang-verteilt mit Parametern 2 und λ). Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit, dass bis zu einer fest vorgegebenen Zeit t > 0 genau k Druckjobs angekommen sind. Welche Werte ergeben sich für λ = 1, t = 1 und k ∈ {0, 2, 4}?
Hinweis: Beachten Sie, dass Erl(2, λ) = Exp(λ) ∗ Exp(λ), und benutzen Sie Eigenschaften
des Poissonprozesses.
Aufgabe 27
Seien X ∼ Poi(λ), Y ∼ Bin(1, p) stochastisch unabhängig und λ > 0, 0 ≤ p ≤ 1.Bestimmen
Sie die Verteilung von X + Y und von X − Y .
Aufgabe 28
Die Laufzeit eines Algorithmus werde durch eine Exp(λ)-verteilte Zufallsvariable X beschrieben. Der verfügbare Anteil an Rechenzeit des Prozessors, auf dem der Algorithmus
läuft, kann durch eine R(0, 1)-verteilte Zufallsvariable Y modelliert werden, wobei X und
Y stochastisch unabhängig sind.
Berechnen Sie die Verteilung der effektiven Laufzeit Z = X
Y .
Prof. Dr. R. Mathar
Daniel Catrein
RWTH Aachen,
SS 2003
Abgabe: 02.07.2003
bis 14:00 Uhr
8. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker
Aufgabe 29 (K)
X sei eine absolut-stetige Zufallsvariable mit Dichte
(
a + bx3 , falls − 1 ≤ x ≤ 1,
f (x) =
0,
sonst.
a) Es gelte E(X) = 0.1.
(i) Bestimmen Sie die Konstanten a und b.
(ii) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X.
(iii) Bestimmen Sie P (−0.5 ≤ X ≤ 0.5).
b) Existieren Konstanten a und b so, dass E(X) = 1?
Aufgabe 30 (K)
X und Y seien stochastisch unabhängige, jeweils R(0, 1)-verteilte Zufallsvariablen.
a) Berechnen Sie die Verteilung von Z = max{X, Y }.
b) Berechnen Sie ferner E (max{X, Y }) und max{E(X), E(Y )}. Stimmen beide Terme
überein?
Aufgabe 31
Die beiden folgenden Probleme behandeln geometrische Fragestellungen, bei denen stochastische Elemente einfließen.
a) Ein Stab der Länge ` wird zufällig nach einer Gleichverteilung gebrochen. Die Länge
der verbleibenden zwei Stücke werde mit L1 und L2 bezeichnet.
Berechnen Sie den erwarteten Inhalt und den erwarteten Umfang des Rechtecks mit
den Kantenlängen L1 und L2 .
b) Ein zufälliges rechtwinkliges Dreieck wird wie folgt konstruiert. Die Hypothenuse
habe die Länge 1. Auf dem Thaleskreis über der Hypothenuse wird dann, wie in
der nachfolgenden Skizze dargestellt, die zufällige Kathete A gemäß einer R(0, 1)Verteilung abgetragen.
A
B
1
Berechnen Sie den Erwartungswert der Fläche und des Umfangs dieses Dreiecks.
Aufgabe 32
Sei X ∼ Exp(λ) und Y ∼ R(0, 1), mit λ > 0. Existiert der Erwartungswert für die
Zufallsvariable Z = X
Y (vergleiche Aufgabe 28)?
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Daniel Catrein
RWTH Aachen,
SS 2003
Abgabe: 09.07.2003
bis 14:00 Uhr
9. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker
Aufgabe 33
Bestimmen Sie – falls existent – den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen
X für
a) X ∼ Poi(λ),
b) X ∼ Bin(n, p),
c) X ∼ Γ(α, λ),
d) X cauchyverteilt, d.h. fX definiert durch
fX (x) =
1
, x ∈ R,
π(1 + x2 )
ist eine Dichte der Verteilung von X.
Lösen Sie Teilaufgabe c) mit Hilfe der Laplace-Transformierten.
Aufgabe 34
X und Z seien stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit X ∼ R(−1, 1) und Z ∼
1
. Ferner sei Y = X 2 + Z. Zeigen Sie, dass X und Y unkorreliert, aber nicht
R 0, 10
stochastisch unabhängig sind.
√ √
Hinweis: Betrachten Sie z. B. P X ∈
/ − 0.1, 0.1 , Y ≤ 0.1 .
Aufgabe 35
Bei einem Mobiltelefontarif wird die Gesprächsminute mit c Cent berechnet. Die erste
Minute wird immer voll berechnet, nach der ersten Minute wird zeitgenau abgerechnet.
Die Gesprächsdauer sei eine Exp(λ)-verteilte Zufallsgröße. Die Zufallsvariable K bezeichne
die Kosten eines Gesprächs.
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von K und K 2 .
b) Berechnen Sie E(K) und Var(K).
Aufgabe 36 (K)
Die Zufallsvariablen Xn , n ∈ N0 , seien rekursiv definiert durch
Xn+1 = 2Xn − 1,
Ferner gelte X0 ∼ R(0, 1).
Berechnen Sie Cov(Xn+k , Xn ), n, k ∈ N0 .
n ∈ N0 .
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RWTH Aachen,
SS 2003
Abgabe: 17.07.2003
bis 14:00 Uhr
10. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker
Aufgabe 37 (K)
Eine Münze, bei der Kopf mit Wahrscheinlichkeit p fällt, werde n-mal unabhängig geworfen. K bezeichne hierbei die Anzahl des Auftretens von Kopf. In einer zweiten unabhängigen Serie der Länge K mit derselben Münze erhält ein Spieler bei Auftreten von
Kopf im i-ten Wurf einen Gewinn von i EUR, i = 1, . . . , K. Welcher Einsatz macht das
oben beschriebene Spiel fair?
Hinweis: Ein Spiel heißt fair, wenn der erwartete Gewinn null ist.
Aufgabe 38
U1 , U2 und U3 seien stochastisch unabhängige, jeweils R(0, 1)-verteilte Zufallsvariablen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass aus Seiten mit den Längen U1 , U2 , U3 ein
Dreieck entstehen kann.
Hinweis: Man bedinge unter U1 = u1 .
Aufgabe 39 (K)
(X1 , X2 ) sei ein absolut-stetiger Zufallsvektor. Für x2 > 0 sei die bedingte Verteilung von
X1 unter X2 = x2 eine Rechteckverteilung auf (−x2 , x2 ). X2 besitze die Dichte
fX2 (y) = 2y11(0,1) (y).
a) Bestimmen Sie eine gemeinsame Dichte von (X 1 , X2 ).
b) Berechnen Sie P (X1 2 + X2 2 ≤ 1).
Aufgabe 40
Die gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen X und Y sei gegeben durch
f(X,Y ) (x, y) = 6xy(2 − x − y)11(0,1)2 (x, y).
Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert von X bei gegebenem Y = y, 0 < y < 1.
Aufgabe 41 (K)
Die Anzahl der Rechenschritte, die ein Algorithmus benötigt, ist gegeben durch eine geometrisch verteilte Zufallsvariable N mit Träger N, also N ∼ Geo(p) mit 0 < p < 1. Jeder
einzelne Rechenschritt i ∈ N hat eine Laufzeit X i ∼ Exp(λ), λ > 0. Alle Xi und N seien
gemeinsam stochastisch unabhängig. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Laufzeit
Z des Algorithmus, falls alle Rechenschritte parallel ausgeführt werden, also die Verteilung
von Z = max {X1 , . . . , XN }.
Raumänderung:
Am 17.7. findet die Übung um 14:00 Uhr im Roten Hörsaal und nicht im Fo 2 statt.
Prof. Dr. R. Mathar
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RWTH Aachen,
SS 2003
Abgabe: 24.07.2003
bis 14:00 Uhr
11. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker
Aufgabe 42
Betrachten Sie ein Netzwerk von n ≥ 2 hintereinander geschalteten Routern. Die Zufallsvariablen Xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n − 1, bezeichnen die Laufzeiten eines Paketes zwischen
Router i und Router i + 1. Die Laufzeiten können als stochastisch unabhängig angenommen werden, ihre Verteilungen sind nicht bekannt. Messungen ergaben E(X i ) = a und
Var(Xi ) = b. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtlaufzeit Z eines Pakets
bei einer Verbindung über n Router größer als 2 E(Z), ist nach oben ab. Für welche a, b
ist die Abschätzung sinnvoll?
Aufgabe 43
Seien X2 , X3 , . . . stochastisch unabhängige Zufallsvariablen, für die gilt
1
1
P (Xn = n) = P (Xn = −n) =
, P (Xn = 0) = 1 −
.
2n log(n)
n log(n)
Zeigen Sie, dass diese Folge das schwache, aber nicht das starke Gesetz der großen Zahlen
erfüllt, also dass
n
X
n−1
(Xi − E[Xi ])
i=1
zwar stochastisch, nicht aber fast sicher gegen 0 konvergiert.
Aufgabe 44
Eine Internet-Suchmaschine besteht aus n einzelnen Rechnern, die zu einem Cluster zusammengeschaltet sind. n kann als sehr groß angenommen werden. Ein einzelner Rechner
ist unabhängig von allen anderen mit Wahrscheinlichkeit p defekt.
Beantworten Sie die folgenden Fragen approximativ mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes:
a) Sei n = 10000 und p = 0.01. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass maximal
98 Rechner ausfallen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallen mindestens 110 Rechner
aus?
b) Wie groß darf p maximal sein, um mit Wahrscheinlichkeit α = 0.5 in einem Cluster
aus n Rechnern maximal d defekte Rechner zu finden? Was ergibt sich für n = 10000
und d = 300?
Aufgabe 45
Pn
−γ
In =
, γ ≥ 2 bezeichne die an einer Basisstation eines Mobilfunknetzes
i=1 Xi Di
empfangene Gesamtleistung von n Mobilstationen, wobei X 1 , X2 , . . . die zufälligen Sendeleistungen und D1 , D2 , . . . die zufälligen Entfernungen der Mobilstationen bezeichnen. X i
und Di , i ∈ N, seien gemeinsam stochastisch unabhängig, es gelte Xi ∼ Exp(µ), µ > 0,
und Di ∼ Γ(α, λ), α > 2γ, λ > 0. Bestimmen Sie Konstanten a n und bn derart, dass
In − bn a.s.
∼ N(0, 1)
an
(n → ∞).
Prof. Dr. R. Mathar
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RWTH Aachen,
SS 2003
Abgabe: 31.07.2003
bis 14:00 Uhr
12. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker
Aufgabe 46
X1 , . . . , Xn seien stochastisch unabhängig, identisch R(0, θ)-verteilt mit Dichte
1
f (xi ) = 11[0,θ] (xi ),
θ
θ > 0.
Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer für θ.
Bestimmen Sie ein α ∈ R so, dass E[αθ̂] = θ für alle θ > 0.
Hinweis: Unterscheiden Sie bei der Maximierung von L(θ|x 1 , . . . , xn ) die Fälle θ <
max{xi |1 ≤ i ≤ n} und θ ≥ max{xi |1 ≤ i ≤ n}
Aufgabe 47 (K)
Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien stochastisch unabhängig, jeweils mit der Dichte
(
2
2 λ x e−λx
, falls x > 0
f (x) =
0
, sonst,
verteilt, wobei λ > 0 ein Parameter ist.
Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer für λ.
Aufgabe 48
Sei X ∼ N (θ, σ 2 ), wobei σ 2 > 0 gegeben und fest ist. Die a-priori-Verteilung für θ sei
N (µ, τ 2 ) mit µ ∈ R, τ 2 > 0. Bestimmen Sie einen Bayes-Schätzer θ̂ zu dieser a-prioriVerteilung.
Aufgabe 49 (K)
Die Laufzeiten in Millisekunden von Paketen in einem Netzwerk können durch stochastisch
unabhängige, jeweils mit Parameter λ > 0 exponentialverteilte Zufallsvariablen X 1 , . . . , Xn
beschrieben werden. Y = min{X1 , . . . , Xn } bezeichne das Minimum der Laufzeiten.
a)Bestimmen Sie die Zahl b (in Abhängigkeit von n und α) so, dass
b · Y, ∞
ein Konfidenzintervall zum Niveau 1 − α für den Erwartungswert der Laufzeit bildet.
b)Bei 10 Messungen betrug die minimale Laufzeit 1.183 Millisekunden. Welchen Wert
hat dann die untere Grenze des Konfidenzintervalls für α = 0.1?
12. Übung zur Einführung in die Stochastik für Informatiker
Seite 2
Aufgabe 50
Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Ein Abschnitt gilt nur dann als richtig gelöst,
wenn genau die zutreffenden Antworten angekreuzt sind.
A, B, C seien Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ).
a) Sei P (A) = 0.7 und P (B) = 0.4. Dann gilt immer:
i.
(1)
B⊂A
(2)
A∪B =Ω
(3)
A∩B =∅
(4)
A ∩ B 6= ∅
(5) Keine der vorstehenden Antworten ist richtig.
ii.
(1)
P (AC |A) = 0
(2)
P (AC |A) = 0.3
C
(3)
P (A |A) = 1 − P (A|AC )
(4)
P (AC |A) = 1 − P (A|A)
(5) Keine der vorstehenden Antworten ist richtig.
b) Sei P (A) > 0, P (B) > 0 und C ⊂ A. Dann gilt immer:
i.
(1)
P (A|B) > P (B)
(2)
P (A|B) < P (A ∩ B)
(3)
P (A|B) ≥ P (A ∩ B)
(4)
P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A)
(5) Keine der vorstehenden Antworten ist richtig.
ii.
(1)
P (A) < P (C)
(2)
P (A ∩ C) = P (A)
(3)
P (A ∩ C) = P (C)
(4)
C C ⊂ AC
(5) Keine der vorstehenden Antworten ist richtig.
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RWTH Aachen,
Prof. Dr. R. Mathar
Daniel Catrein
SS 2001
Zusatzübung
Aufgabe 1
A, B seien Ereignisse eines Wahscheinlichkeitsraums (Ω, A, P ). Zeigen Sie,
dass für P (A), P (B) > 0 gilt
P (A|B) > P (A)
=⇒
P (B|A) > P (B).
Aufgabe 2
Ein Medikament in Tablettenform zeigt zwei unabhängige Wirkungen: die
nicht sofort erkennbare Heilwirkung mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 und unabhängig davon die sofort erkennbare Nebenwirkung mit der Wahrscheinlichkeit 0,3. Durch einen Herstellungsfehler ist ein Anteil von 0,01 der Tabletten falsch dosiert und zeigt die Heilwirkung nur mit Wahrscheinlichkeit
0,3 und die Nebenwirkung mit Wahrscheinlichkeit 0,8. Mit welche Wahrscheinlichkeit kann mit der Heilwirkung gerechnet werden, wenn nach der
Einnahme des Medikaments die Nebenwirkung auftritt?
Aufgabe 3
Eine Münze, bei der mit Wahrscheinlichkeit p Kopf fällt, werde n-mal geworfen, n ∈ N. Ein Spieler gewinnt im i-ten Wurf i 2 DM, wenn die Münze
Kopf zeigt. Welcher Einsatz macht ein Spiel der Länge n im Mittel fair?
Aufgabe 4
Wir werfen n Münzen, die stochastisch unabhängig mit Wahrscheinlichkeit
p Kopf zeigen. Anschließend werden alle Münzen, die im ersten Wurf Kopf
gezeigt haben, erneut geworfen. Bestimmen Sie die Verteilung der Anzahl
der Münzen, die nach dem zweiten Wurf Kopf zeigen.
Aufgabe 5
S1 , S2 , S3 seien stochastisch unabhängig, jeweils identisch Exp(λ)-verteilt.
Der Zufallsvektor Y = (Y1 , Y2 , Y3 ) sei definiert durch
(Y1 , Y2 , Y3 ) = (S1 + S2 , S2 + S3 , S1 + S3 ).
Berechnen Sie eine gemeinsame Dichte von (Y 1 , Y2 , Y3 ).
RWTH Aachen,
Prof. Dr. R. Mathar
Daniel Catrein
SS 2001
Zusatzübung Seite 2
Aufgabe 6
(X1 , X2 ) sei ein absolut-stetiger Zufallsvektor. Es gelte
P X1 |X2 =x2 = R(x2 , x2 + 1), x2 ≥ 0,
und X2 ∼ R(0, 1). Berechnen Sie P (X1 + X2 ≤ 2).
Aufgabe 7
Seien X, Y stochastisch unabhängig Exp(λ)-verteilt. Zeigen Sie
E[max{X, Y }] > max{E[X], E[Y ]}
.
Aufgabe 8
Die Zufallsvariablen X1 , . . . Xn seien stochastisch unabhängig, jeweils verteilt mit der Dichte
f (x) =
λ −λ|x|
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x ∈ R, λ > 0 ein Parameter.
Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer für λ.
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