Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe

Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe
ALGEBRA 1. Grundlagen
− Menge der ganzen Zahlen Z = { ... , -3 , -2 , -1 , 0 , 1, 2, 3, ... }
z
− Menge der rationalen Zahlen Q = { | z ∈ Z und n ∈ N } (Menge aller
n
positiven und negativen Brüche )
− Rechenregeln für negative Zahlen, insbesondere
o Minus mal Minus = Plus, Minus mal Plus = Minus
o Minus durch Minus = Plus, Minus durch Plus = Minus, Plus durch Minus
= Minus
o Quadrate negativer Zahlen sind immer positiv
− Betrag:
⎧a ,
a =⎨
⎩ −a,
falls a ≥ 0
falls a < 0
2. Prozentrechnung
Prozente sind nur eine andere Darstellung von Brüchen mit dem Nenner 100:
Merke:
p% von x bedeutet :
p
⋅x
100
( p = Prozentsatz, x = Grundwert, Ergebnis = Prozentwert )
Erhöhung um p% heißt
Verminderung um p% heißt
Wichtige Aufgabetypen:
-­‐ Berechnung des Prozentwertes
Multipliziere Grundwert mit Prozentsatz:
-­‐
Berechnung des Prozentsatzes
Dividiere Prozentwert durch Grundwert:
-­‐
Berechnung des Grundwertes
Dividiere Prozentwert durch Prozentsatz:
3. Terme und ihre Umformungen
Terme sind Ausdrücke, bei denen Zahlen und Variablen mit Rechenzeichen und
Klammern so zusammengesetzt werden, dass sich beim Einsetzen von Zahlen
eine sinnvoller, berechenbare Zahl ergibt (Termwert)
Definitionsmenge = Menge aller Zahlen, die für eine Variable eingesetzt werden
Dürfen (weil zB sonst durch 0 geteilt werden müsste)
Besondere Terme:
Summe
Differenz
Produkt
Quotient
a+b
a–b
a.b
a:b
1. Summand + 2. Summand
Minuend – Subtrahend
1. Faktor . 2. Faktor
Dividend : Divisor
an
BasisExponent
Bruch
Potenz
Zur Analyse eines Terms beachte die „Vorfahrtsregeln“
Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich
Vereinbarung:
Vor Variablen oder Klammern (und nur dort !!!) lässt man den
Malpunkt meistens weg.
Rechengesetze:
Assoziativgesetz:
In Summen und Produkten kann man beliebig Klammern setzen.
Kommutativgesetz
In Summen und Produkten ist die Reihenfolge egal
Distributivgesetz
a(b ± c ) = ab ± ac
a b
(a ± b) : c = ±
c c
Äquivalenzumformungen
 Erlaubt sind alle Umformungen nach dem Assoziativ und Kommutativgesetz.
 Erlaubt ist das Zusammenfassen von mehren Summanden mit gleichen
Variablen (bzw. Variablengruppen mit denselben Potenzen)
 Erlaubt ist das Zusammenfassen von gleichen Faktoren zu Potenzen
 Rechenregeln für Potenzen:
 Ausmultiplizieren von Klammern:
a(b + c) = ab + ac
 Ausklammern von gleichen Faktoren:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
a ⋅ b + a ⋅ c = a(b + c )
4. Lösen von Gleichungen
Definitionsmenge D = die Menge aller mathematisch für x erlaubten Zahlen
Grundmenge G = die Menge aller für die Aufgabenstellung sinnvollen Zahlen
Lösungsmenge L = die Menge aller Zahlen aus G, für die man in die Gleichung
eingesetzt eine wahre Aussage erhält
Äquivalenzumformungen von Gleichungen:
1. Auf beiden Seiten der Gleichung die Terme nach den bekannten TermÄquivalenzumformungen umformen, besonders ausmultiplizieren und
zusammenfassen.
2. Auf beiden Seiten der Gleichung denselben Ausdruck dazu addieren oder
abziehen.
3. Beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl (nicht 0 ! ) multiplizieren oder
dividieren
GEOMETRIE
1. Grundbegriffe und -bezeichnungen
Punkte:
Geraden oder Strecken:
Winkel:
Gerade durch die Punkte A und B:
Strecke von A nach B:
Länge der Strecke [AB]
A,B,C, ....
a,b,c, ...
α,β,γ,...
AB
[AB]
AB
2. Symmetrien
Achsensymmetrie: Eine Figur lässt sich durch eine Gerade (Symmetrieachse) in
zwei spiegelbildlich zueinander liegende Hälften zerteilen.
Eigenschaften achsensymmetrischer Funktionen:
• Alle Punkte und Bildpunkte haben von der Achse denselben Abstand.
• Entsprechende Seiten und Winkel sind gleich groß
• Die Verbindungsstrecke eines Punktes P und seines Spiegelpunktes P’
wird von der Achse senkrecht halbiert.
Punktsymmetrie:
Eine Figur lässt sich um einen bestimmten Punkt
(Symmetriezentrum) um 180° drehen, so dass sie wieder wie
vorher aussieht.
Eigenschaften punktsymmetrischer Funktionen:
• Alle Punkte und Bildpunkte haben vom Zentrum denselben Abstand.
• Entsprechende Seiten und Winkel sind gleich groß
• Die Verbindungsstrecke eines Punktes P und seines Spiegelpunktes P’
wird vom Zentrum halbiert.
Symmetrische Vierecke:
−
−
−
−
−
−
Drachenviereck ( = einfach diagonalensymmetrisches Viereck)
Raute ( = zweifach diagonalensymmetrisches Viereck)
Trapez ( = Viereck mit 2 parallelen Seiten)
gleichschenkeliges Trapez ( = einfach mittensymmetrisches Viereck)
Rechteck ( = zweifach mittensymmetrisches Viereck)
Parallelogramm ( = Viereck mit 2 Paaren paralleler Seiten,
punktsymmetrisches Viereck)
− Quadrat ( = doppelt diagonalen- und mitten- und punktsymmetrisches Viereck)
3. Winkel an Geradenkreuzungen
δ
γ
α
β
γ
β
δ
α
4. Winkelsumme in Dreiecken und Vierecken
Winkelsumme im Dreieck:
Winkelsumme im Viereck:
5. Kongruenzsätze für Dreiecke
-
Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie deckungsgleich sind, d.h. wenn es
eine Folge von Achsenspiegelungen oder Punktspiegelungen oder
Verschiebungen oder Drehungen gibt, die sie in einander überführen.
-
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie
o in allen 3 Seiten übereinstimmen (SSS-Satz)
o in 2 Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS)
o in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen
(WSW)
o in 2 Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite übereinstimmen
(SsW)
6. Besondere Dreiecke
-
Gleichschenkelige Dreiecke
o zwei Seiten (=Schenkel) sind gleich lang, die 3. Seite heißt Basis.
o Die Basiswinkel sind gleich groß
o Gleichschenkelige Dreiecke sind achsensymmetrisch
-
Gleichseitige Dreiecke
o Alle 3 Seiten sind gleich lang
o Alle 3 Winkel sind gleich groß, nämlich 60°
o Gleichseitige Dreiecke sind achsen- und punktsymmetrisch Rechtwinkeliges Dreieck:
o Die dem 90°-Winkel gegenüber liegende Seite heißt Hypotenuse, die
Schenkel des 90°-Winkels heißen Katheten.
o Die Ecke mit dem 90°-Winkel liegt immer auf dem Kreis, der die
Hypotenuse als Durchmesser hat (Thaleskreis)
-
7. Besondere Linien und Punkte im Dreieck
o Mittelsenkrechte = Symmetrieachse einer Seite
o Winkelhalbierende = Symmetrieachse eines Winkels
o Seitenhalbierende = Verbindungsstrecke einer Seitenmitte zur
gegenüberliegenden Ecke
o Höhe = Lot von einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite.
o Alle Seitenhalbierenden, Höhen, Winkelhalbierenden und
Mittelsenkrechten schneiden sich jeweils in einem Punkt.
o Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist der Umkreismittelpunkt des
Dreiecks.
o Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Inkreismittelpunkt des
Dreiecks.