ANALYTISCHE GEOMETRIE ¨UBUNGSBLATT NR. 2

Jun.Prof. Dr.habil. C. Diem
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ANALYTISCHE GEOMETRIE
ÜBUNGSBLATT NR. 2
Abgabe.
sten.
Am Freitag, 7.5., vor der Vorlesung oder bis 7.5., 13:00, in meinem Briefka-
Aufgabe 1 Sei K ein Körper mit Charakteristik 6= 2, 3. Seien P, Q, R drei nicht kollineare Punkte in einer affinen Ebene über K. Wir betrachten das von P, Q, R definierte
Dreieck. (Eigentlich betrachten wir nicht im anschaulichen Sinne ein Dreieck, das ja aus
drei Strecken besteht sondern die Konfiguration von Punkten und Verbindungsgeraden,
die sich hier ergibt.) Eine Seitenhalbierende des Dreiecks ist eine Gerade, die durch eine
der drei Punkte sowie durch den Mittelpunkt der beiden anderen Punkte geht.
Zeigen Sie, dass sich die drei Seitenhalbierenden in genau einem Punkt schneiden!
Hinweis. Es gibt eine besonders elegante Lösung mit baryzentrischen Koordinaten.
Aufgabe 2 Sei A ein affiner Raum über K und seien P, Q, R, S ∈ A paarweise verschiedene Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen.
a) Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
- P ∨ Q||R ∨ S und P ∨ R||Q ∨ S.
−−→ −→
−→ −→
- P Q = RS und P R = QS.
b) Sei nun char(K) 6= 2 und sei A der Mittelpunkt von P und S sowie B der Mittelpunkt von Q und R. Zeigen Sie, dass die obigen Aussagen auch zur Aussage A = B
äquivalent sind!
Aufgabe 3 Es ist eine interessante Frage zu versuchen, den Begriff der affinen Abbildung axiomatisch zu charakterisieren. Ein Beispiel einer solchen Charakterisierung
behandeln wir in dieser Aufgabe.
Sei K ein Körper und seien A und B affine Räume über K. Sei nun f : A −→ B eine
bijektive Abbildung mit den folgenden Eigenschaften:
• f bildet Geraden bijektiv auf Geraden ab.
• Dabei werden parallele Geraden auf parallele Geraden abgebildet.
−→
−−→
• Für alle P, Q, R ∈ A mit P 6= Q und R ∈ P ∨ Q und alle c ∈ K mit P R = c · P Q
−−−−−−→
−−−−−−→
ist f (P )f (R) = c · f (P )f (Q).
Zeigen Sie: Dann ist f ein Isomorphismus von affinen Räumen.
Hinweise. Zunächst benötigt man eine lineare Abbildung von T (A) nach T (B). Machen
Sie einen offensichtlichen Ansatz und überprüfen Sie, dass man in der Tat eine Abbildung erhält (Wohldefiniertheit). Dann ist nachzuweisen, dass die Abbildung von T (A)
nach T (B) linear ist. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation steht schon fast in der
Aufgabenstellung. Es bleibt also die Verträglichkeit mit der Addition.
Beachten Sie insbesondere die ersten beiden Voraussetzungen an f und behalten Sie
Aufgabe 2 im Auge!