einführung - Fakult at f ur Physik

Kapitel 1
EINFÜHRUNG
Im späten 19. Jahrhundert wurde erkannt, dass Elektrizität und Magnetismus nicht unabhängige Phänomene sind, sondern zwei unterschiedliche Aspekte eines mathematischen Konzeptes, das elektromagnetisches Feld genannt
wird. Die Realität des Feldes besteht zusätzlich zur Realität der elektrischen
Ladung, die selbst Ursache für das Feld ist. Um die beobachteten elektischen
und magentischen Phänomene erklären zu können, musste angenommen werden, dass elektromagnetische Felder zeitabhängig (dynamisch) sind und dass
sie Bewegungsgleichungen (den Maxwellgleichungen) folgen, ähnlich wie
materielle Teilchen dem Newtonschen 2. Gesetz folgen.
Als weitere Überraschung stellte sich heraus, dass Licht als eine zeitliche
und räumliche Modulation des elektromagnetisches Feldes angesehen werden
musste. Diese Modulation wird von den Maxwell-Gleichungen vorhergesagt.
In den ersten Kapiteln (2-6) geht es um zeitunabhängige (statische) Felder.
Wir untersuchen, wie sich statische elektrische und magnetische Felder bemerkbar machen, wie wir Ströme erzeugen und kontrollieren können, wie Ströme auf
Magnetfelder reagieren, und wie Ströme ihrerseits Magnetfelder erzeugen. In
den Kapiteln 7-10 werden wir die Maxwellschen Gleichungen im dynamischen
Fall interpretieren. Kapitel 11-13 befassen sich mit dem Verhalten von Licht im
Vakuum und in Materie (Optik).
1.1
Elektrische Ladungen
Phänomene von elektrischen Ladungen kennt man seit über 2000 Jahren (statische Aufladung von Bernstein). Aus Experimenten weiss man heute:
• Es gibt positive und negative Ladungen. Diese unterscheiden sich durch
die Kraftwirkung aufeinander und durch ihre Ablenkung in elektrischen
und magnetischen Feldern.
• Ladungen gleichen Vorzeichens stoßen sich ab, Ladungen mit entgegengesetztem Vorzeichen ziehen sich an.
• Die Ladung ist an massebehaftete Teilchen gebunden. Wir kennen Elektronen, Protonen, positiv und negativ geladene Ionen, sowie kurzlebige
1
Elementarteilchen beider Ladungsvorzeichen.
• Die Ladungen +e des Protons und −e des Elektrons stellen die kleinste
bisher beobachtete Ladungsmenge dar. Jede in der Natur vorkommende
Ladung ist ein Vielfaches von e. Quarks (Bausteine der Hadronen = schwere Teilchen) haben die Ladungen von −1/3 e bzw +2/3 e, kommen aber
nicht als freie Teilchen vor.
• Die Ladungsgrößen +e und −e stimmen bis auf 10−20 genau überein.
• In einem abgeschlossenen System bleibt die Ladung konstant, aber man
kann Ladung eines Vorzeichens räumlich von der Ladung anderen Vorzeichens trennen. (z.B. Photoionisation oder energetischer Stoß)
A + hν → A+ + e−
A + A → A + A+ + e−
• Ladungen lassen sich mit elektrisch isolierten und elektrisch leitenden Materialien transportieren.
• Unser Umfeld ist elektrisch “neutral”. Im Experiment beobachtbare Ladung wird immer durch Ladungstrennung erzeugt (Reibung, Elektronenemission, Ionisation).
1.2
Elektrische Kräfte
Vergleich zwischen Gravitations- und Coulomb-Kraft ( m1 , m2 sind die Massen
der Teilchen, Q1 , Q2 ihre Ladungen, r der Abstand zwischen beiden Teilchen,
fG , fc sind Konstante).1
Gravitation
Coulomb-Kraft
2
|F!G | = fG m1r·m
2
2
|F!C | = fc Q1r·Q
2
1
5 × 1034
Vorzeichen
immer anziehend
Reichweite
1
r2
je nach Vorzeichen
des Produktes Q1 · Q2
Stärke
|F | für 2 Protonen
Neutralisation
unmöglich
1
r2
makroskopisch
fast immer
Atome bestehen aus Protonen und Elektronen. Auf Grund des Coulomb-Gesetzes
ziehen sich die beiden entgegengesetzten Ladungen an. Der Grund, dass
ein Atom nicht kollabiert ist ein Quanteneffekt: Wenn wir das Elektron
auf einen sehr kleinen Raum nahe dem Proton einsperren wollen, dann
fordert die Heisenberg’sche Unschärferelation,
∆p · ∆x ≥ h̄
1 Dimensionen
werden erst ab Kapitel 2 eingeführt.
(1.1)
dass der mittlere Impuls des Elektrons ∆p sehr hoch sein muß, wenn ∆x
klein ist. Die damit verbundene Bewegung verhindert den Kollaps.
Kerne bestehen aus Protonen (positive Ladungen) und Neutronen (neutral).
Warum fliegen die Protonen nicht auseinander? Ursache dafür sind Kernkräfte, die viel stärker sind als die Coulomb-Wechselwirkung. Die sehr
kleine Reichweite der Kernkräfte (starke Wechselwirkung) begrenzt
die maximale Größe der Atomkerne. Uran mit 92 Protonen liegt gerade
an der Grenze (kleine Störung genügt zur Spaltung).
Elektron: Niemand weiss was ein Elektron zusammen hält.
Materie: Die Kombination von elektrischen Kräften und Quanteneffekten hält
die Materie zusammen und bestimmt seine atomaren und makroskopischen elektrischen Eigenschaften (z. B. elektrischer Leiter - Isolator).
Aufladung: Manche Materialien geben Elektronen eher ab als andere. Zum Beispiel haben Gummi-Moleküle eine etwas größere Affinität für Elektronen
als Baumwolle. Deshalb läd sich Gummi bei Reibung an Stoff oder Fell
geringfügig negativ auf (der Stoff entsprechend positiv). Ein sehr kleines
Ungleichgewicht in der effektiven Ladung (10−9 C), führt zu starken elektrostatischen Effekten. Im Vergleich dazu ist die negative Ladung, die in
1 Gramm Kupfer enthalten ist: 4 × 104 C.
1.3
Lorentz-Kraft
Das Coulomb-Gesetz gilt nur für ruhende Ladungen. Wenn sich Ladungen bewegen ist das Kraftgesetz viel komplizierter. Ein Teil der Kraft zwischen bewegten
Ladungen ist die magnetische Kraft. Aus dem Experiment kennt man folgenden
Zusammenhang:
Die Kraft auf eine Ladung q hängt nur von der Position der Ladung im Feld
und seiner Geschwindigkeit "v ab:
!
"
" + "v × B
"
F"L = q E
(1.2)
#
!
"
$&
!
$%
" und B
" die elektrische und magnetische Feldstärke am Ort der LaDabei sind E
dung q. Der Effekt aller anderen Ladungen im Universum wird in den beiden
" und B
" zusammengefaßt. Die Werte E
" und B
" können sich mit der
Vektoren E
Zeit ändern. Sie werden davon abhängen, wo sich unsere Ladung befindet. Die
allgemeine Bewegungsgleichung für eine Ladung ist
%
#
!
"
d"
p
d
m0"v
" + "v × B
"
$
=
= F"L = q · E
(1.3)
dt
dt
1 − v 2 /c2
" und B
" bestimmt
Jetzt müssen wir nur noch herausfinden, wie die Werte E
werden.
" =E
"1 + E
" 2 und ebenso B
" =B
"1 + B
" 2.
Superpositionsprinzip: Es gilt E
Dies bedeutet: wenn wir das Feld einer einzelnen Ladung kennen, dann können
wir durch Superposition der Felder aller andernen Ladungen die Kraft auf eine
Ladung bestimmen.
Wenn die Ladungen ruhen, genügt das Coulomb Gesetz. Wenn die Ladungen sich
bewegen entstehen Komplikationen durch Zeitverzögerungen, Beschleunigung,
... Deshalb wird die Elektrodynamik nicht nur durch ein Kraftgesetz
zwischen Ladungen dargestellt. Dieser andere Blickwinkel braucht
den Feldbegriff.
1.4
Elektrische und magnetische Felder
!
"
" + "v × B
" , die
Bisher haben wir die Felder definiert über die Kraft F"L = q E
auf eine Ladung wirkt. Aber Felder gibt es an jedem Punkt im Raum, auch ohne
daß eine Ladung an diesem Punkt vorhanden ist. Wenn Kräfte vorhanden sind,
die auf eine Ladung wirken können, dann ist immer noch was da, wenn die
Ladung nicht da ist.
"
"
E(x,
y, z, t) und B(x,
y, z, t) sind die Feldgrößen am Raumpunkt x, y, z zur
Zeit t. Wir assoziieren jeden Punkt im Raum mit diesen Vektoren. Zur Zeit t
bewirken sie Kräfte auf eine Ladung, die sich zu diesem Zeitpunkt an der Stelle
(x, y, z) befindet, unter der Voraussetzung, daß das Einbringen der Ladung an
diesen Punkt, die Ladungen im Rest der Welt nicht verschiebt und damit die
Feldgrößen am Ort (x, y, z) nicht ändert!
Ein Feld ist eine physikalische Größe, deren Wert von der räumlichen Position
und von der Zeit abhängt. Beispiele dafür sind:
• Temperatur: T (x, y, z, t), ein skalares Feld,
• Geschwindigkeit einer Flüssigkeit: "v (x, y, z, t), ein vektorielles Feld.
Darstellung eines Vektorfeldes:
• abstrakt als Funktion:
" = f (x, y, z, t)
E
• graphisch als Vektor, oder
• als Feldlinie (Tangente an die Feldvektoren). Die Länge des Vektors (ein
Maß für die Feldstärke) geht dabei verloren, die Anzahl der Linien pro
Flächeneinheit (senkrecht zu den Feldlinien) ist ein Maß für die Stärke
des Feldes.
1.5
Eigenschaften von Vektorfeldern
Im folgenden Beispiel stellen wir uns ein Geschwindigkeitsfeld vor und eine fiktive geschlossene Oberfläche, die das Feld nicht stört. Der Feldvektor soll die
Richtung und den Betrag der Geschwindigkeit von Flüssigkeitsteilchen angeben.
Frage 1: Wieviel Flüssigkeit geht aus dem Volumen verloren oder kommt ins
Volumen herein? Diese Größe nennen wir (Fluss=mittlere Normalkomponente)
Divergenz = (mittlere Normalkomponente) × (Oberfläche)
!
!
!
!
Frage 2: Zirkuliert die Flüssigkeit? Damit meinen wir: gibt es eine Netto Rotationsbewegung entlang einer Schleife im Geschwindigkeitsfeld? Wir stellen uns
vor, die Strömung wäre plötzlich eingefroren, mit Ausnahme in einer dünnen
Röhre konstanten Querschnittes. In dieser Röhre zirkuliert die Flüssigkeit weiter. Wir suchen die Summe der Teilchenimpulse (Tangentialkomponente der
Geschwindigkeit) entlang der Röhrenrichtung
Zirkulation = (mittlere Tangentialkomponente) × (Umfang)
&% ' (
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&)* ' ' +,
!
, $--. / 0 -$% &
* 1 2 % & -3 2 2 1 ) 1
4 ( 05 1
"# $% & '( ) *
!
!
!
+
+
+
Diese beiden Definitionen (Fluss und Zirkulation) erlauben es, die Gesetze des
" (elektrische Feldstärke), B
" (magnetiElektromagnetismus mit den Vektoren E
sche Feldstärke) zu beschreiben. Vorzeichen und Betrag (im Fall der Zirkulation
auch die Richtung) sind von Bedeutung.
1.6
1.
Bilder zu Gesetzen des Elektromagnetismus
!
" durch eine geschlossene OberDer Fluss von E
fläche = (1/#0 )× (Nettoladung innen)
#0 ist eine Konstante.
!"
!
Wenn keine Ladungen im betrachteten Volumen vorhanden sind, dann ist die mittlere
" auf der geschlosseNormalkomponente von E
nen Fläche gleich Null.
!
!
2.
" entlang der Kurve C
Zirkulation von E
d
= − dt (Fluss von B" durch S)
C sei eine geschlossene Kurve im Raum.
Gleichzeitig bildet diese Kurve die Umrandung einer Fläche S. Die Fläche S ist nicht
geschlossen, sie darf aber beliebig gewölbt
sein.
&
!
" # $" %
!
3.
" durch eine geschlossene
Der Fluss von B
Oberfläche ist gleich Null
!
!
" entlang C)
c2 × (Zirkulation von B
4.
=
d
dt
" durch S) +
(Fluss von E
1
!0 ×(Fluss
des elektrischen Stromes durch S)
%
! " #! $
&
5.
!
" + "v × B
"
F"L = q · E
"
!
Diese 5 Gesetze beschreiben die gesamte Elektrodynamik. Die restliche Vorlesung beschränkt sich auf die Anwendung dieser fünf Gesetze.
7
MAXWELL-GLEICHUNGEN
integrale Form
differentielle Form
&
'
" · dS
"= 1
E
ρ dV
#0
S
&
'
" · d"s = − d
" · dS
"
E
B
dt
C
&
" · dS
"=0
B
1
2
3
" ·E
" = 1ρ
∇
#0
"
" ×E
" = − ∂B
∇
∂t
" ·B
" =0
∇
S
'
'
" · d"s = µ0 "j · dS
"+ 1 d E
" · dS
"
B
c2 dt
C
&
4
"
" ×B
" = µ0 "j + 1 ∂ E
∇
2
c ∂t
−1
c2 = (#0 µ0 )
Satz von Gauß (Fluss) :
&
S
" · dS
"=
E
' !
V
Satz von Stokes (Zirkulation) :
&
"
" ·E
" dV
∇
C
" · d"s =
E
' !
S
"
" ×E
" · dS
"
∇
Der Nabla Operator
(
)
" := ∂ , ∂ , ∂
∇
= (∂x , ∂y , ∂z )
∂x ∂y ∂z
" r) beschreibt die skalare Verteilung von
Die Divergenz eines Vektorfeldes E("
" und E
"
Quellen des Feldes. Sie hat die Form des Skalarproduktes aus ∇
" := ∇
" · E("
" r) = ∂x Ex + ∂y Ey + ∂z Ez
div E
" r) beschreibt ein Vektorfeld. Sie hat die
Die Rotation eines Vektorfeldes E("
"
"
Form des Vektorproduktes aus ∇ und E
(
)
"
"
"
rot E := ∇ × E("r) = ∂y Ez − ∂z Ey , ∂z Ex − ∂x Ez , ∂x Ey − ∂y Ex
Der Gradient eines skalaren Potentials φ("r) ist ein linearer Operator, der aus
dem Skalar φ ein Vektorfeld macht. Die größte Zunahme des Potentials ergibt
sich bei einer Bewegung in Richtung des Gradienten.
" φ =
grad φ := ∇
=
(∂x , ∂y , ∂z ) φ
(
Einheitsvektor in Richtung
der maximalen φ-Zunahme
) (
)
diese maximale
·
Zunahme
8
1.7
Qualitative Experimente
Die folgenden Experimente zeigen qualitative Zusammenhänge, die sich aus den
fünf Gleichungen auf Seite 6 ergeben.
• Wir schicken einen Strom durch einen
Draht, der über einem Stabmagneten
hängt. Die Elektronen bewegen sich im
Draht mit der Geschwindigkeit v. Wegen
)
+
!
,
!
"
F"L = q"v × B
#$ % & ! ' (
werden sie abgelenkt und übertragen
Impuls auf den Draht. Der Draht bewegt sich.
"
*
• Warum bewegt sich auch der Magnet?
Nach dem 4. Gesetz bedeutet ein Strom
durch den Leiter, dass die Zirkulation
" um den Draht herum &= 0 ist.
von B
Das Magnetfeld, das durch den
stromführenden Draht erzeugt wird,
übt eine Kraft auf den Stabmagneten
aus.
1
)
*+ ,- . /0
!
3
#$ % & ! ' (
2
"
"
• Zwei Drähte, jeder führt Strom.
Jeder Draht bewirkt ein Magnetfeld am
Ort des anderen Drahtes. Die Drähte
ziehen sich an, wenn der Strom in dieselbe Richtung fließt.
#
!
• Ströme und Magnete bewirken magnetische Felder. Ein Strom entspricht einer bewegten Ladung. Wenn wir den
Magneten im ersten Experiment durch
eine stromdurchflossene Spule ersetzen,
erhalten wir das gleiche Ergebnis.
$
"
#
%
!
&
' ! " # $% (
)
-.
! ,
+
/
! " # $%
! ,-. /
*
• Wir untersuchen das Magnetfeld eines geraden Stromleiters durch den ein
konstanter Strom fließt. Nach dem 4. Gesetz ist für einen gegebenen Strom
9
1.7. QUALITATIVE EXPERIMENTE
" fest vorgegeben.
die Zirkulation von B
Die Zirkulation ist dieselbe für jede beliebige Schleife,
die den stromführenden Draht einschließt.
Aus diesem Grund erwarten wir, dass bei einer
kreisförmigen Schleife um den Draht die Tangen" kleiner wird, wenn der Ratialkomponente von B
" nimmt linear
dius der Schleife größer wird. B
mit dem Abstand vom Draht ab. (Angenommen
ist dabei ein ∞ langer, gerader Draht. Der Einfachheit halber nehmen wir kreisförmige Schleifen
an).
!
#
$
&
#
%
! "
&
" · d"s
B
= const.
2πr1 B1
⇒
= 2πr2 B2 = const.
1
B(r) ∝
r
• Das Magnetfeld eines Eisenstabes hat als Ursache auch bewegte Ladungen. Woher kommen diese Ströme? Wir stellen uns vor, dass sie von der
Bewegung der Elektronen auf atomaren Bahnen herrühren, bzw. sich
im magnetischen Moment des Elektrons oder des Atomkerns bemerkbar
machen. Wenn die atomaren Momente ungeordnet sind, ergibt sich kein
Nettoeffekt. Im Eisen aber sind die Spins geordnet und es ergibt sich
eine makroskopische Magnetisierung.
Alle Magnete haben als Ursache einen elektrischen Strom.
"
• 3. Gesetz:
Es gibt keine magnetischen Ladungen.
Bei Teilung eines Magneten entstehen
" = 0.
zwei neue Magneten, div B
• Wir laden einen Kondensator auf indem
wir den Schalter schließen. Ein Strom I
fließt für einige Zeit, obwohl der Stromkreis durch den Kondensator “unterbrochen”ist. Wir denken uns eine Kurve C um
den Draht mit der Fläche S1 . Nach dem 4.
Gesetz erwarten wir
"
!
!
"
!
!
"
!
#
" entlang C) ∝ (Fluß von I durch S1 )
(Zirkulation von B
10
!
!
"
#
#
#
#
"
$
$
%
%
Jetzt zeichnen wir eine neue Oberfläche S2 , mit der gleichen Berandung C.
Diese Fläche schneidet den Leiter nicht, sondern schließt sich zwischen den
Kondensatorflächen. Kein herkömmlicher Strom fließt durch diese Ober" um die Kurve C muß die Gleiche bleifläche, aber die Zirkulation von B
ben. Die Erklärung dazu kam von Maxwell: Im Kondensator baut sich
im Laufe der Zeit ein elektrisches Feld auf.
" entlang C)
(Zirkulation von B
∝
∂
∂t
" durch S2 )
(Fluss von E
Zeitliche Änderung des elektrischen Feldes bewirkt magnetische Effekte.
• Wir wiederholen das 1. Experiment und bringen ein Strommeßgerät in den Leiterkreis. Jetzt bewegen wir den Draht im Magnetfeld. Dadurch bewegen sich auch
die Elektronen im Draht und wir
beobachten einen Strom wegen
"
F"L = q"v × B.
*
+$ % & ' ( ),
-.
" )
/
!
!
"
#$ % & ' ( )
!
• Jetzt bewegen wir den Magneten und finden ebenso einen Strom, also
bewegen sich die Ladungen. Diese ruhen zu Beginn des Experimentes.
" Woher kommt das
Wer bewegt die ruhenden Ladungen? → F" = q E.
elektrische Feld? Die geschlossene Leiterschleife mit dem Amperemeter
bildet die Kurve C und spannt eine Fläche S auf.
" entlang C )
( Zirkulation von E
∝
∂
∂t
" durch S)
(Fluss von B
• Wir schicken durch den Draht einen Wechselstrom I = I0 sin ωt.
Mit einer Kombination von 2. + 4. Gesetz
lässt sich die Entstehung elektromagnetischer Wellen erklären. Wellen bedeutet hier:
" und B
" bewegen sich mit LichtDie Felder E
geschwindigkeit c von unserer Antenne weg.
Wo steckt in den Maxwell Gleichungen die
−1
Lichtgeschwindigkeit? → c2 = (#0 µ0 )
! !" !! " ## $% ! !&
'