Textskript 01 - Fakult at f ur Physik

Kapitel 1
EINFÜHRUNG
Im späten 19. Jahrhundert erkannte man, dass Elektrizität und Magnetismus nicht unabhängige Phänomene sind, sondern zwei unterschiedliche Aspekte eines mathematischen Konzeptes, das elektromagnetisches Feld genannt
wird. Die Realität des Feldes besteht zusätzlich zur Realität der elektrischen
Ladung, die selbst Ursache für das Feld ist. Um die beobachteten elektrischen
und magnetischen Phänomene erklären zu können, musste angenommen werden, dass elektromagnetische Felder zeitabhängig (dynamisch) sind und dass
sie Bewegungsgleichungen folgen (den Maxwellgleichungen), ähnlich wie
materielle Teilchen dem Newtonschen 2. Gesetz folgen.
Als weitere Überraschung stellte sich heraus, dass Licht als eine zeitliche
und räumliche Modulation des elektromagnetisches Feldes angesehen werden
musste. Diese Modulation wird von den Maxwell-Gleichungen vorhergesagt.
In den Kapiteln 2-8 besprechen wir zeitunabhängige (statische) Felder. Wir
untersuchen, wie sich statische elektrische und magnetische Felder bemerkbar
machen, wie wir Ströme erzeugen und kontrollieren können, wie Ströme auf
Magnetfelder reagieren, und wie Ströme ihrerseits Magnetfelder erzeugen. In
den Kapiteln 9-12 werden wir die Maxwellschen Gleichungen im dynamischen
Fall interpretieren. Kapitel 13-15 befassen sich mit dem Verhalten von Licht im
Vakuum und in Materie.
1.1
Elektrische Ladungen
Phänomene von elektrischen Ladungen kennt man seit über 2000 Jahren (statische Aufladung von Bernstein). Aus Experimenten weiss man heute:
• Es gibt positive und negative elektrische Ladungen. Diese unterscheiden
sich durch die Kraftwirkung aufeinander und durch ihre Ablenkung in
elektrischen und magnetischen Feldern.
• Ladungen gleichen Vorzeichens stoßen sich ab, Ladungen mit entgegengesetztem Vorzeichen ziehen sich an.
• Die elektrische Ladung ist immer an massebehaftete Teilchen gebunden.
Wir kennen Elektronen, Protonen, positiv und negativ geladene Ionen,
sowie kurzlebige Elementarteilchen beider Ladungsvorzeichen.
1
2
HH 2014
• Die Ladungen +e des Protons und e des Elektrons stellen die kleinste
bisher beobachtete Ladungsmenge dar. Jede in der Natur beobachtete Ladung ist ein Vielfaches der Elementarladung e. Quarks (Bausteine der Hadronen = schwere Teilchen) haben die Ladungen von 1/3 e bzw +2/3 e,
kommen aber nicht als freie Teilchen vor.
• Die Ladungsgrößen +e und
e stimmen bis auf 10
20
genau überein.
• In einem abgeschlossenen System bleibt die Ladung konstant, aber man
kann Ladung eines Vorzeichens räumlich von der Ladung anderen Vorzeichens trennen. (z.B. Photoionisation oder energetischer Stoß)
A + h⌫ ! A+ + e
A + A ! A + A+ + e
• Ladungen lassen sich mit elektrisch isolierten und elektrisch leitenden Materialien transportieren.
• Unser Umfeld ist elektrisch “neutral”. Im Experiment beobachtbare Ladung wird immer durch Ladungstrennung erzeugt (Reibung, Elektronenemission, Ionisation, Paarbildung).
1.2
Elektrische Kräfte
Vergleich zwischen Gravitations- und Coulomb-Kraft ( m1 , m2 sind die Massen
der Teilchen, Q1 , Q2 ihre Ladungen, r der Abstand zwischen beiden Teilchen,
fG , fc sind Konstante1 ).
.
Gravitation
Coulomb-Kraft
Stärke
2
|F~G | = fG m1r·m
2
2
|F~C | = fc Q1r·Q
2
relative Stärke
für 2 Protonen
1
5 ⇥ 1034
Vorzeichen
immer anziehend
Reichweite
1
r2
je nach Vorzeichen
des Produktes Q1 · Q2
Neutralisation
unmöglich
1
r2
makroskopisch
fast immer
Atome bestehen aus Protonen und Elektronen. Auf Grund des Coulomb-Gesetzes
ziehen sich die beiden entgegengesetzten Ladungen an. Der Grund, dass
ein Atom nicht kollabiert hat als Ursache Quantene↵ekte: Wenn wir das
Elektron auf einen sehr kleinen Raum nahe dem Proton einsperren wollten, dann fordert die Heisenberg’sche Unschärferelation,
p·
x
h̄ ,
(1.1)
dass der mittlere Impuls des Elektrons p sehr hoch sein muß, wenn
klein ist. Grob gesprochen verhindert diese Bewegung den Kollaps.
1 Einheiten
werden erst ab Kapitel 2 eingeführt.
x
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
3
Kerne bestehen aus Protonen (positive Ladungen) und Neutronen (neutral).
Warum fliegen die Protonen nicht auseinander? Ursache dafür sind Kernkräfte, die viel stärker sind als die Coulomb-Wechselwirkung. Die sehr
kleine Reichweite der Kernkräfte (starke Wechselwirkung) begrenzt
die maximale Größe der Atomkerne. Uran mit 92 Protonen liegt gerade
an der Grenze (kleine Störung genügt zur Spaltung).
Elektron: Niemand weiss was ein Elektron zusammen hält.
Materie: Die Kombination von elektrischen Kräften und Quantene↵ekten hält
die Materie zusammen und bestimmt seine atomaren und seine makroskopischen elektrischen Eigenschaften (z. B. elektrischer Leiter - Isolator).
Aufladung: Manche Materialien geben Elektronen eher ab als andere. Zum
Beispiel haben PVC-Moleküle eine etwas größere Affinität für Elektronen
als Baumwolle. Deshalb läd sich ein PVC Stab bei Reibung an Sto↵ oder
Fell geringfügig negativ auf (der Sto↵ entsprechend positiv). Umgekehrt
ist es für Glas, Glas hat eine kleinere Affinität für Elektronen als Wolle.
Ein sehr kleines Ungleichgewicht in der e↵ektiven Ladung (10 9 C), führt
zu starken elektrostatischen E↵ekten. Im Vergleich dazu ist die negative
Ladung, die in einem Gramm Kupfer enthalten ist: 4 ⇥ 104 C.
1.3
Lorentz-Kraft
Das Coulomb-Gesetz gilt nur für ruhende Ladungen. Wenn sich Ladungen bewegen ist das Kraftgesetz viel komplizierter. Ein Teil der Kraft zwischen bewegten
Ladungen ist die magnetische Kraft. Aus dem Experiment kennt man folgenden
Zusammenhang: Die Kraft auf eine Ladung q hängt nur von der Position der
Ladung im Feld und seiner Geschwindigkeit ~v ab:
⇣
⌘
~ + ~v ⇥ B
~
F~L = q E
~ und B
~ die elektrische und magnetische Feldstärke am Ort der LaDabei sind E
dung q. Der E↵ekt aller anderen Ladungen im Universum wird in den beiden
~ und B
~ zusammengefasst. Die Werte E
~ und B
~ können sich mit der
Vektoren E
Zeit ändern. Sie werden davon abhängen, wo sich unsere Ladung befindet. Die
allgemeine Bewegungsgleichung für eine Masse die Ladung trägt ist
!
⇣
⌘
d~
p
d
m0~v
~ + ~v ⇥ B
~
p
=
= F~L = q · E
(1.2)
dt
dt
1 v 2 /c2
~ und B
~ bestimmt werden.
Jetzt müssen wir nur noch herausfinden, wie E
4
HH 2014
Superpositionsprinzip:
~ =E
~1 + E
~ 2 und ebenso B
~ =B
~1 + B
~ 2 . Dies bedeutet: wenn wir das
Es gilt E
Feld einer einzelnen Ladung kennen, dann können wir durch Superposition der
Felder aller andernen Ladungen die Kraft auf eine Ladung bestimmen.
Wenn Ladungen ruhen, genügt das Coulomb Gesetz. Wenn Ladungen sich bewegen entstehen Komplikationen durch Zeitverzögerungen, Beschleunigung, ...
Deshalb wird die Elektrodynamik nicht nur durch ein Kraftgesetz
zwischen Ladungen dargestellt. Dieser andere Blickwinkel braucht
den Feldbegri↵.
1.4
Elektrische und magnetische Felder
Bisher haben
wir die
⌘ Felder definiert über die Kraft die auf eine Ladung wirkt,
⇣
~ + ~v ⇥ B
~ . Aber Felder gibt es an jedem Punkt im Raum, auch ohne
F~L = q E
daß eine Ladung an diesem Punkt vorhanden ist. Wenn Kräfte vorhanden sind,
die auf eine Ladung wirken können, dann ist immer noch was da, wenn die
Ladung nicht da ist.
~
~
E(x,
y, z, t) und B(x,
y, z, t) sind die Feldgrößen am Raumpunkt x, y, z zur
Zeit t. Wir assoziieren jeden Punkt im Raum mit diesen Vektoren. Zur Zeit t
bewirken sie Kräfte auf eine Ladung, die sich zu diesem Zeitpunkt an der Stelle
(x, y, z) befindet, unter der Voraussetzung, daß das Einbringen der Ladung an
diesen Punkt, die Ladungen im Rest der Welt nicht verschiebt und damit die
Feldgrößen am Ort (x, y, z) nicht ändert!
Ein Feld ist eine physikalische Größe, dessen Wert von der räumlichen Position
und von der Zeit abhängt. Beispiele für Felder sind:
• Temperatur: T (x, y, z, t), ein skalares Feld,
• Geschwindigkeit einer Flüssigkeit: ~v (x, y, z, t), ein vektorielles Feld.
Darstellung eines Vektorfeldes:
• abstrakt als Funktion:
~ = f (x, y, z, t)
E
• graphisch als Vektor, oder
• als Feldlinie (Tangente an die Feldvektoren). Die Länge des Vektors (ein
Maß für die Feldstärke) geht dabei verloren, die Anzahl der Linien pro
Flächeneinheit (die Fläche ist senkrecht zu den Feldlinien zu denken) ist
ein anschauliches Maß für die Stärke des Feldes.
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
1.5
5
Koordinaten
Zuerst betrachten wir die di↵erentiellen Volumselemente in kartesischen {x, y, z},
zylindrischen {r, ', z} und spärischen Koordinaten (Polarkoordinaten) {r, ✓, }.
dV = dx dy dz ,
dV = r d' dr dz ,
dV = r2 sin ✓ dr d✓ d' .
Die Volumselemente definieren eine geschlossene Oberfläche. Diese besteht
~ wobei die Vektoren dS
~ jeweils in Richtung der entaus Flächenelementen dS,
sprechenden Normalenvektoren (nach aussen gerichtet, hier rot eingezeichnet)
sind. Für die oben gezeigten Volumina gibt es jeweils 6 Flächenelemente. In
Richtung positiver Einheitsvektoren liegen die Flächen
3
2
3
2 2
3
2
r sin ✓ d✓ d' êr
dy dz êx
r d' dz êr
4 r sin ✓ d' dr ê✓ 5 .
4 dx dz êy 5 ,
4 dr dz ê' 5 ,
r d' dr êz
r d✓ dr ê'
dx dy êz
Die Volumselemente sind Produkte aus jeweils drei, die Flächenelemente
Produkte aus jeweils zwei Wegelementen. Die Wegelemente d~s sind
3
3
3
2
2
2
dx êx
dr êr
dr êr
4 dy êy 5 ,
4 r d' ê' 5 ,
4 r d✓ ê✓
5.
dz êz
dz êz
r sin ✓ d' ê'
Ein Anwendungsbeispiel:
Zur Berechnung des Umfangs einer Kugel (Radius R) am Äquator (✓ = 90 )
verwenden wir das Wegelement |d~s| = r sin ✓ d' und integrieren über den Azimutalwinkel ' zwischen den Grenzen 0  '  2⇡,
Z 2⇡
Z 2⇡
2⇡
R sin ✓ d' = R
d' = R '
= 2R⇡ .
0
0
0
Zur Berechnung der Oberfläche einer Kugel (Radius R) verwenden wir das
~ = r2 sin ✓ d✓ d' und integrieren über den Azimutalwinkel
Flächenelement |dS|
' zwischen 0  '  2⇡ und den Polarwinkel ✓ zwischen 0  ✓  ⇡ ,
Z ⇡ Z 2⇡
⇡
R2 sin ✓ d✓ d' = 2⇡R2 cos ✓ = 4⇡R2 .
0
0
0
Das Kugelvolumen erhalten wir durch Integration von dV = r2 sin ✓ dr d✓ d'
Z R Z ⇡ Z 2⇡
⇡
r3 R
R3
r2 sin ✓ dr d✓ d' = 2⇡
cos ✓ = 4⇡
.
3 0
3
0
0
0
0
6
1.6
HH 2014
Eigenschaften von Vektorfeldern
Im folgenden Beispiel stellen wir uns ein Geschwindigkeitsfeld vor und eine fiktive geschlossene Oberfläche, die das Feld nicht stört. Der Feldvektor ~v soll die
Richtung und den Betrag der Geschwindigkeit von Flüssigkeitsteilchen angeben.
Frage 1:
Wieviel Flüssigkeit geht aus dem Volumen verloren oder kommt ins Volumen
herein? Diese Größe nennen wir
Divergenz = (mittlere Normalkomponente) mal (Oberfläche)
mittlere Normalkomponente
= Fluss
Frage 2:
Zirkuliert die Flüssigkeit? Damit meinen wir: gibt es eine Netto Rotationsbewegung entlang einer beliebigen Schleife im Geschwindigkeitsfeld? Wir stellen
uns vor, die Strömung wäre plötzlich eingefroren, mit Ausnahme in einer dünnen
Röhre konstanten Querschnittes. In dieser Röhre zirkuliert die Flüssigkeit weiter. Wir suchen die Summe der Teilchenimpulse (Tangentialkomponente der
Geschwindigkeit) entlang der Röhrenrichtung .
Zirkulation = (mittlere Tangentialkomponente) mal (Umfang)
Diese beiden Definitionen (Fluss und Zirkulation) erlauben es, die Gesetze des
~ (elektrische Feldstärke), B
~ (magnetiElektromagnetismus mit den Vektoren E
sche Feldstärke) zu beschreiben. Dabei sind das Vorzeichen, der Betrag, und im
Fall der Zirkulation auch die Drehrichtung von Bedeutung.
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
1.7
1.
7
Bilder zu Gesetzen des Elektromagnetismus
~ durch eine geschlossene OberDer Fluss von E
fläche = (1/✏0 ) mal (Nettoladung innen)
✏0 ist eine Konstante.
Wenn keine Ladungen im betrachteten Volumen vorhanden sind, dann ist die mittlere
~ auf der geschlosseNormalkomponente von E
nen Fläche gleich Null.
2.
~ entlang der Kurve C
Zirkulation von E
d
= dt (Fluss von B~ durch S)
C sei eine geschlossene Kurve im Raum.
Diese Kurve bildet die Umrandung einer
Fläche S. Die Fläche S ist nicht geschlossen, sie darf aber beliebig gewölbt sein.
3.
~ durch eine geschlossene
Der Fluss von B
Oberfläche ist gleich Null
~ entlang C
Zirkulation von B
4.
=
1 d
c2 dt
~ durch S) + µ0 mal
(Fluss von E
(Fluss des elektrischen Stromes durch S)
5.
⇣
⌘
~ + ~v ⇥ B
~
F~L = q · E
.
Diese 5 Gesetze beschreiben die gesamte Elektrodynamik. Die restliche Vorlesung beschränkt sich auf die Anwendung dieser fünf Gesetze.
8
HH 2014
1.8
Maxwell Gleichungen
integrale Form
I
1
I
2
I
3
I
4
~ · dS
~= 1
E
✏0
S
di↵erentielle Form
Z
d
dt
C
~ · d~s =
E
S
~ · dS
~=0
B
~ ·E
~ = 1⇢
r
✏0
⇢ dV
Z
~ · dS
~
B
~ ⇥E
~ =
r
Satz von Gauß (Fluss) :
I
Z ⇣
⌘
~ · dS
~=
~ ·E
~ dV
E
r
S
~ ·B
~ =0
r
Z
Z
~ · d~s = µ0 ~j · dS
~+ 1 d E
~ · dS
~
B
c2 dt
C
c2 = (✏0 µ0 )
~
@B
@t
~
~ ⇥B
~ = µ0 ~j + 1 @ E
r
2
c @t
1
Satz von Stokes (Zirkulation) :
I
Z ⇣
⌘
~ · d~s =
~ ⇥E
~ · dS
~
E
r
V
C
S
Der Nabla Operator ist in kartesischen Koordinaten
◆
✓
@ @ @
~
,
,
= (@x , @y , @z )
r :=
@x @y @z
~ r) beschreibt die skalare Verteilung von
Die Divergenz eines Vektorfeldes E(~
~ ·E
~
Quellen (oder Senken) des Feldes. Sie hat die Form des Skalarproduktes r
~ := r
~ · E(~
~ r ) = @ x Ex + @ y E y + @ z Ez .
div E
~ r) beschreibt ein Vektorfeld. Sie hat die
Die Rotation eines Vektorfeldes E(~
~
~
Form des Vektorproduktes aus r und E
✓
◆
~
~
~
rot E := r ⇥ E(~r) = @y Ez @z Ey , @z Ex @x Ez , @x Ey @y Ex .
Der Gradient eines skalaren Potentials (~r) ist ein linearer Operator, der aus
dem Skalar ein Vektorfeld macht. Die größte Zunahme des Potentials ergibt
sich bei einer Bewegung in Richtung des Gradienten.
grad
~
:= r
=
(@x , @y , @z )
=
✓
Einheitsvektor in Richtung
der maximalen -Zunahme
◆
mal
✓
diese maximale
Zunahme
◆
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
1.9
9
Qualitative Experimente
Die folgenden Experimente zeigen qualitative Zusammenhänge, die sich aus den
fünf Gleichungen auf Seite 7 ergeben.
• Wir schicken einen Strom durch einen
Draht, der über einem Stabmagneten
hängt. Die Elektronen bewegen sich im
Draht mit der Geschwindigkeit v.
Wegen
)
+
!
,
!
~
F~L = q ~v ⇥ B
#$ % & ! ' (
werden sie senkrecht zur Drahtrichtung
abgelenkt und übertragen Impuls auf
den Draht. Der Draht bewegt sich.
"
*
• Warum bewegt sich auch der Magnet?
Nach dem 4. Gesetz bedeutet ein Strom
durch den Leiter, dass die Zirkulation
~ um den Draht herum 6= 0 ist.
von B
Das Magnetfeld, das durch den
stromführenden Draht erzeugt wird,
übt eine Kraft auf den Stabmagneten
aus.
1
)
*+ ,- . /0
!
3
#$ % & ! ' (
2
"
"
• Zwei Drähte, jeder führt Strom.
Jeder Draht bewirkt ein Magnetfeld am
Ort des anderen Drahtes. Die Drähte
ziehen sich an, wenn der Strom in dieselbe Richtung fließt.
#
!
• Ströme und Magnete bewirken magnetische Felder. Ein Strom entspricht einer bewegten Ladung. Wenn wir den
Magneten im ersten Experiment durch
eine stromdurchflossene Spule ersetzen,
erhalten wir das gleiche Ergebnis.
$
%
!
&
' ! " # $% (
)
-.
! ,
+
! " # $%
! ,-. /
*
"
#
/
10
HH 2014
• 3. Gesetz:
Es gibt keine magnetischen Ladungen.
Bei Teilung eines Magneten entstehen
~ = 0.
zwei neue Magneten, divB
"
"
!
!
"
!
• Wir untersuchen das Magnetfeld eines geraden Stromleiters durch den ein
zeitlich konstanter Strom fließt. Nach dem 4. Gesetz ist für einen gegebe~ fest vorgegeben.
nen Strom die Zirkulation von B
Die Zirkulation ist dieselbe für jede beliebige Schleife,
die den stromführenden Draht einschließt.
I
~ · d~s
B
=
const.
Aus diesem Grund erwarten wir, dass bei einer
kreisförmigen Schleife um den Draht die Tangen~ kleiner wird, wenn der Ratialkomponente von B
~ nimmt linear mit
dius der Schleife größer wird. B
dem Abstand vom Draht ab. Angenommen ist dabei ein 1 langer, gerader Draht. Für kreisförmige
Schleifen gilt
!
#
$
&
#
%
)
2⇡r1 B1
=
B(r)
/
2⇡r2 B2 = const.
1
r
! "
• Das Magnetfeld eines Eisenstabes hat als Ursache auch bewegte Ladungen. Woher kommen diese Ströme? Wir stellen uns vor, dass sie von der
Bewegung der Elektronen auf atomaren Bahnen herrühren, bzw. sich
im magnetischen Moment des Elektrons oder des Atomkerns bemerkbar
machen. Wenn die atomaren Momente ungeordnet sind, ergibt sich kein
Nettoe↵ekt. In Elementen wie Eisen aber können sich die magnetischen
Momente ordnen und so ergibt sich eine makroskopische Magnetisierung.
Alle Magnete haben als Ursache einen elektrischen Strom.
• Wir laden einen Kondensator auf indem wir
den Schalter schließen. Ein Strom I fließt für
einige Zeit, obwohl der Stromkreis durch den
Kondensator “unterbrochen”ist.
Wir denken uns eine Kurve C um den Draht
mit der Fläche S1 , siehe Bild links oben auf
Seite 11. Nach dem 4. Gesetz erwarten wir
!
"
!
#
~ entlang C) / (Fluß von I durch S1 )
(Zirkulation von B
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
11
Jetzt zeichnen wir eine neue Oberfläche S2 , mit der gleichen Berandung C.
Diese Fläche schneidet den Leiter nicht, sondern schließt sich zwischen den
Kondensatorflächen. Kein herkömmlicher Strom fließt durch diese Ober~ um die Kurve C muß die Gleiche bleifläche, aber die Zirkulation von B
ben. Die Erklärung dazu kam von Maxwell: Im Kondensator baut sich
im Laufe der Zeit ein elektrisches Feld auf.
~ entlang C)
(Zirkulation von B
/
@
@t
~ durch S2 )
(Fluss von E
Zeitliche Änderung des elektrischen Feldes bewirkt magnetische E↵ekte.
• Wir wiederholen das 1. Experiment und bringen ein Strommeßgerät in den Leiterkreis. Jetzt bewegen wir den Draht im Magnetfeld. Dadurch bewegen sich auch
die Elektronen im Draht und wir
beobachten einen Strom wegen
~
F~L = q ~v ⇥ B.
*
+$ % & ' ( ),
-.
" )
/
!
!
"
#$ % & ' ( )
!
• Jetzt bewegen wir den Magneten und finden ebenso einen Strom, also
bewegen sich die Ladungen. Diese ruhen zu Beginn des Experimentes.
~ Woher kommt das
Wer bewegt die ruhenden Ladungen? ! F~ = q E.
elektrische Feld? Die geschlossene Leiterschleife mit dem Amperemeter
bildet die Kurve C und spannt eine Fläche S auf.
~ entlang C )
( Zirkulation von E
/
@
@t
~ durch S)
(Fluss von B
• Wir schicken durch den Draht einen Wechselstrom I = I0 sin !t.
Mit einer Kombination von 2. + 4. Gesetz
lässt sich die Entstehung elektromagnetischer Wellen erklären. Wellen bedeutet hier:
~ und B
~ bewegen sich mit LichtDie Felder E
geschwindigkeit c von unserer Antenne weg.
Wo steckt in den Maxwell Gleichungen die
1
Lichtgeschwindigkeit? ! c2 = (✏0 µ0 )
! !" !! " ## $% ! !&
'