Stochastik I, HU Berlin, SS 2013

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Prof. Dr. U. Horst
Stochastik I SS 2013
Übungsblatt 4 - Musterlösungen
1.
[Kovarianz, Korrelation]
a) Bemerke, dass cov : L2 (Ω, A, P) → R eine symmetrische Bilinearform ist:
– Symmetrie: Seien X, Y ∈ L2 (Ω, A, P), dann gilt:
cov(X, Y ) = E [(X − E[X]) (Y − E[Y ])]
= E [(Y − E[Y ]) (X − E[X])]
= cov(Y, X).
– Bilinearität: Seien X1 , X2 , Y ∈ L2 (Ω, A, P), α ∈ R, dann gilt:
cov(αX1 + X2 , Y ) = E [((αX1 + X2 ) − E[αX1 + X2 ]) (Y − E[Y ])]
= E [α (X1 − E[X1 ]) (Y − E[Y ]) + (X2 − E[X2 ]) (Y − E[Y ])]
= αE [(X1 − E[X1 ]) (Y − E[Y ])] + E [(X2 − E[X2 ]) (Y − E[Y ])]
= αcov(X1 , Y ) + cov(X2 , Y ).
Die Linearität in der zweiten Komponente folgt nun mit der Symmetrie.
Ferner gilt offenbar:
Var(X) = cov(X, X).
Damit erhalten wir nun die zu zeigenden Aussagen:
i) Var(aX) = cov(aX, aX) = a2 cov(X, X) = a2 Var(X).
ii) Var(X + Y ) = cov(X + Y, X + Y ) = cov(X, X) + 2cov(X, Y ) + cov(Y, Y ) =
Var(X) + Var(Y ) + 2cov(X, Y ).
iii) Falls Var(Y ) = 0, so ist Y = E[Y ] f.s. und folglich auch cov(X, Y ) = 0; falls
Var(X) =√0, so ist X = E[X] f.s. und folglich auch cov(X, Y ) = 0. Andernfalls gilt
Var(X)
mit α = √
> 0:
Var(Y )
0 ≤ Var(X ± αY ) = Var(X) + α2 Var(Y ) ± 2αcov(X, Y )
p
p
1
α
⇒ ±cov(X, Y ) ≤
Var(X) + Var(Y ) = Var(X) Var(Y )
2α
p
p 2
⇒ |cov(X, Y )| ≤ Var(X) Var(Y ).
iv) Das folgt unmittelbar aus (iii).
b) Die jährliche Rendite von Herrn Müllers gesamter Investition ist gegeben durch r =
0, 18r1 + 0, 4r2 + 0, 42r3 . Die Varianz von r ist unter Verwendung der Bilinearität der
Kovarianz:
Var(r) = cov(0, 18r1 + 0, 4r2 + 0, 42r3 , 0, 18r1 + 0, 4r2 + 0, 42r3 )
= 0, 182 · cov(r1 , r1 ) + 2 · 0, 18 · 0, 4 · cov(r1 , r2 ) + 2 · 0, 18 · 0, 42 · cov(r1 , r3 )
+ 0.42 · cov(r2 , r2 ) + 2 · 0.4 · 0, 42 · cov(r2 , r3 ) + 0, 422 · cov(r3 , r3 )
≈ 0, 020.
Damit ist die Standardabweichung der Rendite σr =
2.
p
Var(r) ≈ 0, 14.
[n-facher Münzwurf] Modell:
Ωn = {0, 1}n ,
An = P(Ωn ),
Pn
Pn definiert mittels Pn [ω] = p
i=1
Es gilt E[Xi ] = p für i = 1, . . . , n sowie für i 6= j:
X
E[Xi Xj ] =
ωi
Pn
i=1 (1−ωi )
(1 − p)
.
1 · P[ω] = p2
ω∈Ω:ωi =ωj =1
und damit:
cov(Xi , Xj ) = E[Xi Xj ] − E[Xi ]E[Xj ] = p2 − p2 = 0.
Weiter gilt:
E[Xi2 ] =
X
12 · P[ω] = p
ω∈Ω:ωi =1
und damit:
Var(Xi ) = E[Xi2 ] − E[Xi ]2 = p − p2 = p(1 − p).
Mit Aufgabe 1a) bekommen wir:
n
X
Var(Sn ) = Var
!
Xi
i=1
=
n
X
Var(Xi )
i=1
= np(1 − p).
3.
[Schwaches Gesetz der großen Zahlen]
a) Es gilt unter Verwendung von Aufgabe 1a) und Unkorreliertheit der Xi :
!
"
#
n
X
1
Sn E[Sn ] 2
−
= 2 Var
Xi
E
n
n
n
i=1
n
1 X
= 2
Var(Xi )
n
→0
für n → ∞.
i=1
Falls E[Xi ] = µ für alle i ∈ N, so gilt E[Sn ] = nµ und die eben gezeigte Aussage wird
zu
"
2 #
Sn
lim E
−µ
= 0.
n→∞
n
Mit der Ungleichung von Tschebyscheff (P[|X| ≥ ε] ≤ ε12 E[|X|2 ]) folgt für jedes feste
ε > 0:
"
2 #
Sn
1
S
n
lim P − µ ≥ ε ≤ 2 lim E
−µ
= 0.
n→∞
n
ε n→∞
n
b) Offenbar erfüllen die Zufallsvariablen Xi aus Aufgabe 2 die Voraussetzungen des schwachen Gesetzes der großen Zahlen. Der Parameter p kann als durchschnittliche Häufigkeit
von Kopf“ bei großen Werten n interpretiert werden: Die Wahrscheinlichkeit, dass die
”
durchschnittliche Häufigkeit (= Snn ) um einen beliebig kleinen positiven Wert ε von p
abweicht, geht für wachsende n gegen 0.
4.
[Starkes Gesetz der großen Zahlen, Beispiel] Die Wahrscheinlichkeit, dass der Affe irgendwann
genau diese codierten Werke zusammenhängend tippt, ist Eins:
Wir zerlegen die von dem Affen getippte Folge in Blöcke der Länge N . Definiere die Zufallsvariable Xi = 1{ Die kodierten Werke stehen im i-ten Block“} . Nach Voraussetzung sind die Xi unkor”
reliert (unabhängig) und es gilt E[Xi ] = P[Xi ] = 2−N > 0 sowie Var(Xi ) = 2−N (1 − 2−N ).
Nach dem starken Gesetz der großen Zahlen gilt:
#
"
n
1X
Xi = E[Xi ] = 1.
P lim
n→∞ n
i=1
P
Damit muss es f.s. ein Xi mit Xi = 1 geben (sonst wäre n1 ni=1 Xi = 0 6= 2−N ), d.h. f.s.
stehen in einem der Blöcke die codierten Werke. Das Argument zeigt sogar, dass der Affe
unendlich oft die codierten Werke fehlerlos tippt.