Zufallsgraphen - Zentrum für Angewandte Informatik der Universität

Graphentheorie
Zufallsgraphen
Rainer Schrader
Zentrum für Angewandte Informatik Köln
23. Januar 2008
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Zufallsgraphen
Zufallsgraphen
• man könnte vermuten, dass ein Graph mit großer chromatischer Zahl
einen „dichten“ Teilgraphen enthalten muss, der die Färbungszahl
hochtreibt
Gliederung
• informelle Einführung
• Zusammenhang mit den Ramsey-Zahlen
• so könnte man folgende Vermutung aufstellen:
• Erwartungswerte
• Eigenschaften fast aller Graphen
• Schwellenfunktionen
• ist χ(G) groß, so enthält G einen großen vollständigen Graphen
• diese Vermutung ist jedoch falsch
• „dicht“ könnte auch heißen: G enthält kleine Kreise
• falsch ist auch die folgende Vermutung:
• ist χ(G) groß, so enthält G kleine Kreise
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• man kann im Gegenteil zeigen:
• sei V = {1, . . . , n} eine Knotenmenge
• wir erzeugen zufällig einen Graphen mit Knotenmenge V :
• es existieren Graphen
• für jedes Paar i , j wird gewürfelt, ob (i , j ) eine Kante in E sein soll
• mit beliebig hoher chromatischer Zahl
• sei p ∈ [0, 1] und q = 1 − p
• deren kleinster Kreis beliebig groß ist (große Taillenweite)
• für alle (i , j ) sei p die Wahrscheinlichkeit, dass die Kante auftritt, und
q die Wahrscheinlichkeit, dass sie nicht auftritt
• diese Aussage konstruktiv zu beweisen, hat sich als schwierig erwiesen
• wir wollen in diesem Kapitel die Methode vorstellen, mit der es Erdös
1959 gelungen ist, den Beweis zu führen.
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• dieses Modell ist nicht das einzig denkbare
• wir bleiben aber bei dem ersten Modell
• es erlaubt u.a. nicht die Anzahl der generierten Kanten zu kontrollieren
• alle Kanten werden gleich wahrscheinlich und unabhängig voneinander
erzeugt
• dies ist nachteilig bei der Analyse von Laufzeiten als Funktion von
• die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen bestimmten Graphen auf
Knoten- und Kantenanzahl
n Knoten und m Kanten auswürfeln, beträgt dann
• ein alternativer Ansatz könnte darin bestehen, alle Graphen mit
n
p m · q (2)−m
m Kanten gleichwahrscheinlich zu erzeugen
• sei G(n, p) den Wahrscheinlichkeitsraum der Zufallsgraphen auf
n Knoten und mit Kantenwahrscheinlichkeit p
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zur Veranschaulichung:
“
”
• sei P H ⊆ G die Wahrscheinlichkeit, dass ein Graph G einen
anderen Graphen H mit ` Kanten auf den ersten k Knoten als
Teilgraphen enthält
• die Wahrscheinlichkeit, dass G einen zu H isomorphen Teilgraphen
enthält ist schwieriger zu berechnen
• dabei können sich die möglichen Kopien von H überlappen
• die Ereignisse, dass sie als Untergraphen auftreten, sind daher nicht
• dann ist
unabhängig voneinander
“
”
P H ⊆ G = p`
• sicherlich bildet die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten eine obere
Schranke
• verlangen wir, dass der Graph induziert ist, so müssen wir die anderen
Kanten ausschließen, d.h.
“
”
k
P H induzierter Teilgraph von G = p ` q (2)−`
• dazu ein Beispiel:
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Lemma 1
Die Wahrscheinlichkeit, dass G ∈ G(n, p) eine stabile Menge der Größe
k mit k ≥ 2 enthält, ist
!
“
”
k
n
P α(G) ≥ k ≤
q (2) .
k
Gliederung
• informelle Einführung
• Zusammenhang mit den Ramsey-Zahlen
• Erwartungswerte
• Eigenschaften fast aller Graphen
• Schwellenfunktionen
Beweis:
• die Wahrscheinlichkeit, dass eine Teilmenge U ⊆ V mit |U | = k keine
k
Kanten enthält, ist q (2)
` ´
• da kn solcher Teilmengen existieren, folgt die Behauptung.
• ebenso gilt:
“
”
P ω(G) ≥ k ≤
!
n (k2)
p .
k
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Beweis:
Ramsey hat 1930 in einem Satz speziell die folgende Aussage bewiesen:
• sei p = q =
1
2
Satz 2
• für k ≥ 4 ist k ! > 2k (Beweis per Induktion)
Zu jedem k ≥ 1 existiert ein R(k ) ∈ N, so dass jeder Graph mit
R(k ) Knoten entweder eine Clique der Größe k oder eine stabile Menge
der Größe k enthält.
• daraus und aus den obigen Aussagen über stabile Mengen und Cliquen
folgt für n ≤ 2k /2 :
• der Beweis dieses überraschenden Ergebnisses (genauer einer
n
k
“
”
“
”
α(G) ≥ k = P ω(G) ≥ k ≤
allgemeineren Aussage) ist konstruktiv
• allerdings ist das genaue Verhalten der Funktion R(k ) nicht bekannt
=
• außer für kleine k , gibt es lediglich Schranken, u.a. über Zufallsgraphen
!
·
“ 1 ”(k )
2
2
1
n!
· 2− 2 k (k −1)
k !(n − k )!
1
< (n k /2k ) · 2− 2 k (k −1)
2
Satz 3
≤ (2k
Für k ≥ 4 ist R(k ) > 2k /2 .
= 2−k /2
<
/2
1
/2k ) · 2− 2 k (k −1)
1
2
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• für n ≤ 2k /2 ist
“
”
“
”
1
P α(G) ≥ k = P ω(G) ≥ k <
2
Gliederung
• informelle Einführung
• Zusammenhang mit den Ramsey-Zahlen
• damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines der Ereignisse eintritt, echt
kleiner als 1
• Erwartungswerte
• Eigenschaften fast aller Graphen
• Schwellenfunktionen
• d.h. es existiert mindestens ein Graph auf n Knoten, der weder eine
Clique noch eine stabile Menge der Größe jeweils k enthält.
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Lemma 4 (Markov-Ungleichung)
• jede Funktion, die einem Graphen einen nichtnegativen Wert zuordnet
Sei x eine Zufallsvariable auf G(n, p) und t > 0. Dann gilt:
(chromatische Zahl, maximale Cliquengröße, Stabilitätszahl usw.) wird
auf G(n, p) zu einer Zufallsvariablen:
“
”
P x ≥ t ≤ E (x )/t .
x : G(n, p) → R+ .
• der Erwartungswert
Beweis:
E (x ) =
X
Es ist:
x (G)P (G)
X
E (x ) =
G∈G(n,p)
·x (G)P (G)
G∈G(n,p)
ist das mit der Wahrscheinlichkeit des Auftretens gewichtete Mittel der
Zufallsvariablen
X
≥
x (G) · P (G)
G∈G(n,p)
• der Erwartungswert ist linear, d.h. E (ax + by ) = aE (x ) + bE (y )
x (G)≥t
X
≥
• der Erwartungswert ermöglicht es, Aussagen über das Verhalten von
x abzuleiten
P (G) · t
G∈G(n,p)
x (G)≥t
“
”
= P x ≥ t · t.
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• dann ist E (xC ) die Wahrscheinlichkeit, dass C ⊆ G, also
Zur Veranschaulichung berechnen wir die erwartete Anzahl von Kreisen der
Länge k in einem Graphen.
“
”
E (xC ) = P C ⊆ G = p k
Satz 5
• jeder Kreis wird durch eine Folge u1 , . . . , uk dargestellt
Die mittlere Anzahl von Kreisen der Länge k in einem Graphen
G ∈ G(n, p) ist
n!
E (x ) =
· pk .
(n − k )! · 2k
• davon gibt es n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) =
n!
(n−k )!
viele
• davon stellen jeweils 2k den gleichen Kreis dar:
• (u1 , . . . , uk ), (u2 , . . . , uk , u1 ), . . . und die inversen Reihenfolgen
`
Beweis:
• die Zufallsvariable x ist die Summe der Zufallsvariablen xC
• sei C ein festgewählter Kreis der Länge k auf der Knotenmenge V
• somit folgt aus der Linearität:
• sei xC die Zufallsvariable auf G(n, p) mit

xC =
´
X
X
E (x ) = E (
xC ) =
E (xC ) =
1, falls C ⊆ G
0, sonst
C
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C
n!
· pk .
(n − k )! · 2k
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• Im Folgenden wollen wir das Resultat von Erdös über Graphen mit
• unser Modell bleibt gültig, wenn wir p nicht konstant wählen, sondern
großer Taillenweite und großer chromatischer Zahl diskutieren
z.B. als Funktion von n
• wir zeigen zuerst, dass, wenn p etwas langsamer fällt als
• wenn wir p klein wählen:
1
,
n
wir fast
sicher keine großen stabilen Mengen finden werden.
• intuitiv scheint klar, dass ein zufällig erzeugter Graph mit hoher
Wahrscheinlichkeit keine kleine Kreis haben wird
Lemma 6
• wählen wir p groß:
Sei k > 0 und p ≥
• so werden nur selten große stabile Mengen erzeugt werden
6k ln n
,
n
so gilt
“
”
1
lim P α ≥
· n/k = 0.
n→∞
2
• die Frage ist, ob wir einen Kompromiss für p finden, der beide Zahlen
groß werden lässt
Beweis:
• folgt aus dem Lemma 1 und geeigneten Abschätzungen.
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Satz 7 (Erdös)
E (x ) =
Zu jedem k ∈ N gibt es einen Graphen G mit Taillenweite g(G) > k und
chromatischer Zahl χ(G) > k .
k
X
i =3
k
1X i i
n!
· pi ≤
np
(n − i )! · 2i
2
i =3
• da np = n ε ≥ 1, folgt (np)i ≤ (np)k , und somit:
Beweis:
• für das vorgegebene k wähle ε so, dass 0 < ε <
E (x ) ≤
1
k
k
1X i i
1
n p ≤ (k − 2)n k p k ,
2
2
i =3
• sei p = n ε−1
• aus der Markov-Ungleichung 4 folgt weiter:
• sei x (G) die Zufallsvariable, die jedem G ∈ G(n, p) die Anzahl seiner
“
n”
n
P x ≥
≤ E (x )/( )
2
2
≤ (k − 2)n k −1 p k
Kreise der Länge höchstens k zuordnet
• nach Satz 5 gilt:
E (x ) =
k
X
i =3
= (k − 2)n k −1 n (ε−1)k
k
n!
1X i i
· pi ≤
np
(n − i )! · 2i
2
= (k − 2)n k ε−1
i =3
“
• da k ε − 1 < 0, folgt: limn→∞ P x ≥
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n
2
”
=0
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“
n”
lim P x ≥
= 0.
n→∞
2
Gliederung
• damit
“ und”nach Lemma
“ 6 können wir” n so groß wählen, dass
P x ≥
n
2
<
1
2
1
2
und P α ≥
· n/k
<
• informelle Einführung
• Zusammenhang mit den Ramsey-Zahlen
1
2
• dann existiert eine Graph G ∈ G(n, p) mit α(G) < 21 n/k und mit
weniger als
n
2
• Erwartungswerte
• Eigenschaften fast aller Graphen
kurzen Kreisen
• sei H der Graph, der aus G entsteht, wenn wir aus jedem kurzen
• Schwellenfunktionen
Kreis einen Knoten entfernen.
• dann hat H immer noch mindestens
n
2
Knoten, enthält aber keine
kurzen Kreise mehr, d.h. g(H ) > k
• weiter gilt nach Wahl von G:
χ(H ) ≥
|H |
n/2
≥
> k.
α(H )
α(G)
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wir sagen, dass:
• Im folgenden betrachten wir Eigenschaften von Graphen
• fast alle Graphen haben die Eigenschaft E , falls r (E , p, n) → 1,
• eine Eigenschaft ist eine Teilmenge aller Graphen, die unter
Isomorphie abgeschlossen ist
• fast kein Graph hat die Eigenschaft E , falls r (E , p, n) → 0
• d.h.: hat G die Eigenschaft, so auch jeder zu G isomorphe Graph
• wir wollen folgende Fragestellung untersuchen:
Zur Illustration zeigen wir:
• gegeben eine Eigenschaft E
• gegeben eine Auswahlfunktion p(n)
• sei r (E , p, n) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Graph die
Eigenschaft hat
• jeder gegebene Graph taucht in fast allen Graphen als isomorphe Kopie
eines induzierten Teilgraphen auf
• wie verhält sich r (E , p, n) für n → ∞ ?
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Lemma 8
• die Wahrscheinlichkeit, dass keine dieser Teilmengen eine isomorphe
Sei H ein Graph und 0 < p < 1. Dann enthalten fast alle Graphen einen
induzierten Teilgraphen, der isomorph zu H ist.
Kopie von H enthält, ist daher (1 − r )bn/k c
• damit folgt:
Beweis:
“
”
P H ist nicht induzierter Teilgraph von G
• sei k = |V (H )|
≤ (1 − r )bn/k c
• sei U eine k -elementige Teilmenge der n Knoten eines
−−−→
Zufallsgraphen G ∈ G(n, p)
n→∞
0.
• sei r > 0 die Wahrscheinlichkeit, dass G(U ) isomorph zu H ist
• wegen der Unabhängigkeit des Würfelns der Kanten, hängt diese
Wahrscheinlichkeit nur von p ab, nicht aber von n
• G enthält bn/k c disjunkte k -elementige Teilmengen
• die Wahrscheinlichkeit, dass keine dieser Teilmengen eine isomorphe
Kopie von H enthält, ist daher (1 − r )bn/k c
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für i , j ∈ N sei Ti ,j die folgende Eigenschaft:
Beweis:
• der Graph enthält mindestens i + j Knoten
• sei G ∈ G(n, p)
• für je zwei disjunkten Teilmengen U1 und U2 mit |U1 | ≤ i und
• seien U1 , U2 zwei Teilmengen von Knoten
|U2 | ≤ j gilt:
• sei r die Wahrscheinlichkeit, dass ein gegebener Knoten
• es existiert ein Knoten v ∈
/ (U1 ∪ U2 ) mit:
v ∈ V r (U1 ∪ U2 ) zu allen Knoten aus U1 und zu keinem Knoten aus
U2 benachbart ist
• v ist zu allen Knoten aus U1 benachbart
• v ist zu keinem Knoten aus U2 benachbart.
• dann ist
r = p |U1 | q |U2 |
Lemma 9
Sei 0 < p < 1 und i , j ∈ N. Dann hat fast jeder Graph die Eigenschaft Ti ,j .
• wegen der Unabhängigkeit ist für n ≥ i + j somit die
Wahrscheinlichkeit, dass im Restgraphen kein solcher Knoten existiert
(1 − p |U1 | q |U2 | )n−|U1 |−|U2 | ≤ (1 − p i q j )n−i −j
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• wegen der Unabhängigkeit ist für n ≥ i + j somit die
Korollar 10
Wahrscheinlichkeit, dass im Restgraphen kein solcher Knoten existiert
Für 0 < p < 1 und k ∈ N ist fast jeder Graph k -zusammenhängend.
(1 − p |U1 | q |U2 | )n−|U1 |−|U2 | ≤ (1 − p i q j )n−i −j
Beweis:
• nach Lemma 9 reicht es zu zeigen, dass jeder Graph mit Eigenschaft
• es existieren höchstens
`n´
i +j
≤ n i +j disjunkte Teilmengen U1 , U2 in V
T2,k −1 k -zusammenhängend ist
• dies folgt aber aus dem Satz von Menger, da je zwei nichtbenachbarte
• die Wahrscheinlichkeit, dass darunter ein Paar ohne ein
Knoten von keiner Teilmenge U2 der Kardinalität k − 1 getrennt
werden können, denn sie haben immer noch einen gemeinsamen
Nachbarn außerhalb von U2 .
entsprechendes v ist, beträgt somit höchstens
n i +j (1 − p i q j )n−i −j .
• Wir haben sogar eine schärfere Aussage gezeigt:
• fast alle Graphen haben maximale Distanz zwei.
• Da 1 − p i q j < 1, geht dieser Wert für n → ∞ gegen 0.
• Ebenso lässt sich zeigen, dass fast alle Graphen eine hohe
chromatische Zahl in der Größenordnung von n/ log n haben.
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• sei t (n) eine Funktion und T eine Eigenschaft von Graphen
• t (n) heißt Schwellenfunktion für T , wenn gilt:
Gliederung
• informelle Einführung
• Zusammenhang mit den Ramsey-Zahlen
p(n)/t (n) → 0 =⇒ fast kein Graph hat die Eigenschaft T ,
p(n)/t (n) → ∞ =⇒ fast alle Graphen haben Eigenschaft T
• Erwartungswerte
• Eigenschaften fast aller Graphen
• Schwellenfunktionen
• wir beschränken uns im folgenden auf spezielle Eigenschaften T
• T heißt monoton, wenn sie bei Hinzufügen von Kanten erhalten bleibt
• wir wollen versuchen, für monotone Eigenschaften Schwellenfunktionen
zu bestimmen
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• wir werden dabei für eine Zufallsvariable x mit den bisher bekannten
Lemma 11 (Tschebyschev-Ungleichung)
Methoden das Ergebnis E (x ) → ∞ ableiten können
Für jedes reelle t > 0 gilt:
“˛
”
h
i
˛
P ˛x − E (x )˛ ≥ t ≤ E (x − E (x ))2 /t 2 .
• wir würden daraus gerne die Aussage P (x = 0) → 0 ableiten
• obwohl dieser Schluss nahe liegt, ist er i.A. nicht richtig:
• betrachte etwa P (x = 0) = 1/2 und P (x = n) = 1/2
• der gewünschte Schluss ist jedoch möglich, wenn wir sicherstellen,
Beweis:
dass die Werte sich nicht sehr weit vom Erwartungswert entfernen
• aus der Markov-Ungleichung 4 folgt:
• dazu betrachten wir zweite Momente, d.h.
“˛
”
“`
”
h`
˛
´2
´2 i
P ˛x − E (x )˛ ≥ t = P x − E (x ) ≥ t 2 ≤ E x − E (x ) /t 2 .
• die Erwartung von x 2 und
h`
´2 i
• die Varianz E x − E (x )
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Als Folgerung ergibt sich:
Veranschaulichung des Konzeptes der Schwellenfunktion
• wir leiten eine Schranke dafür her, dass jeder Knoten mindestens einen
Lemma 12
2
Nachbarn hat
2
Gilt E (x )/E (x ) → 1, so folgt P (x = 0) → 0.
• dies ist etwas schwächer als den Zusammenhang zu fordern
Beweis:
• dafür trennen wir das Verhalten schärfer als bei den
• für Graphen mit x (G) = 0 gilt |x (G) − E (x )| = E (x )
Schwellenfunktionen gefordert
• somit folgt aus Lemma 11:
• dazu einige Vorüberlegungen ohne Beweis:
“˛
”
˛
P (x = 0) ≤ P ˛x − E (x )˛ ≥ E (x )
h`
´2 i
≤ E x − E (x ) /E (x )2
“
”
= E (x 2 ) − E (x )2 /E (x )2
• ist p = c ln n/n für eine beliebige Konstante c, so folgt
np 2 (1/2 + p/3 + p 2 /4 + . . .) → 0,
• für −1 ≤ x < 1 ist ln(1 − x ) = −x −
x2
2
−
x3
3
− ... ,
• ne −np = n 1−c
→ 0.
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Zufallsgraphen
Lemma 13
Lemma 14
Sei p = c ln n/n für eine Konstante c > 1. Dann haben fast alle Graphen in
G(n, p) keine isolierten Knoten.
Sei p = c ln n/n für eine Konstante c < 1. Dann haben fast alle Graphen in
G(n, p) isolierte Knoten.
Beweis:
Beweis:
• sei xi die Indikatorfunktion, die anzeigt, ob der Knoten vi isoliert ist
• für c < 1 folgt aus den obigen Überlegungen E (x ) → ∞.
• sei x die Zufallsvariable der Anzahl der isolierten Knoten
• wegen der Linearität des Erwartungswertes und der Eigenschaft
• dann ist E (x ) =
P
i
xi2 = xi der
folgt
P Indikatorfunktionen,
P
E (x 2 ) = ni=1 E (xi2 ) + 2 i <j E (xi xj ) = E (x ) + n(n − 1)E (xi xj ).
E (xi ) = n(1 − p)(n−1)
• mit den vorigen Bemerkungen folgt:
• das Produkt xi xj ist wiederum eine Indikatorvariable, die genau dann
(1 − p)n = e n ln(1−p) = e −np e −np
2
den Wert 1 annimmt, wenn beide Knoten isoliert sind.
(1/2+p/3+...)
• damit ist E (xi xj ) = (1 − p)2n−3 .
• weiter folgt dann (1 − p)n ∼ e −np
• da wie vorher (1 − p)n ∼ e −np , folgt E (xi xj ) ∼ e −2np .
• da (1 − p)−1 ∼ 1, ergibt sich E (x ) ∼ ne −np
• aus den vorigen Bemerkungen ergibt sich E (x ) ∼ n
• somit ergibt sich E (x 2 ) ∼ E (x ) + E (x )2 und somit E (x 2 )/E (x )2 → 1.
1−c
• da c > 1, folgt E (x ) → 0.
• aus dem Lemma 12 folgt dann P (x = 0) → 0.
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Korollar 15
Als Folgerungen ergeben sich aus diesem Satz:
Die Funktion ln n/n ist eine Schwellenfunktion für das Verschwinden
isolierter Knoten.
Korollar 17
Für k ≥ 3 ist t (n) = 1/n eine Schwellenfunktion für das Auftreten eines
Kreises der Länge k .
• mit ähnlichen Methoden lässt sich das folgende allgemeine Resultat
zeigen.
• Insbesondere ist die Schwellenfunktion unabhängig von k .
• dazu heiße ein Graph H ausgewogen, wenn der durchschnittliche
• Damit treten ab der Kantenauswahlwahrscheinlichkeit 1/n bereits
Knotengrad in einem Teilgraphen nie größer ist als der von H .
Kreise jeder konstanten Länge auf.
Satz 16
Korollar 18
Ist H ein ausgewogener Graph mit k Knoten und l Kanten, so ist
t (n) = n −k /l eine Schwellenfunktion für das Auftreten von H als
Teilgraph.
Ist T ein Baum auf k Knoten, so ist t (n) = n −k /(k −1) eine
Schwellenfunktion für das Auftreten von T als Teilgraph.
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Zufallsgraphen
Lässt man die Kantenwahrscheinlichkeit langsam anwachsen, so zeigt sich
folgendes Verhalten:
• unterhalb von 1/n 2 hat fast jeder Graph nur isolierte Knoten,
• ab 1/n 2 tauchen erste Kanten auf, die noch isoliert bleiben,
3
• ab 1/n 2 hat fast jeder Graph Komponenten mit mehr als zwei Knoten,
• bei n −(1+1/k ) haben die Graphen Bäume mit k + 1 Knoten, aber sind
weiterhin kreisfrei. Für jedes k sind dies Schwellenfunktionen, die das
Auftreten von Bäumen mit k + 1 Knoten von denen mit k + 2 Knoten
trennen,
• ab 1/n tauchen Kreise auf,
• mit wachsendem p erhalten die Kreise Sehnen, d.h. die Graphen sind
nicht mehr planar. Eine der Komponenten schwillt an,
• bis bei ln n/n diese Komponente die anderen verschluckt und die
Graphen zusammenhängend werden,
• danach hat für alle k jeder Knoten mindestens k Nachbarn.
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