Bordnetze 2011

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Vorwort
Die Hilfsblätter zur Vorlesung bilden eine Sammlung der Themen die in der Vorlesung
behandelt werden. Ein Großteil der Texte ist durch Paste und Copy aus Wikipedia und
anderen Internetquellen entstanden. Die Quellenangaben sind noch nicht vollständig.
Die kopierten Stellen sind am Schriftsatz Times New Roman zu erkennen.
Die Hilfsblätter sind nicht zur Weiterverbreitung zu verwenden und dienen nur der
Lehre in der Vorlesung Bordnetze.
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Inhaltsverzeichnis
1 Einführung Bordnetzstrukturen .......................................................................................................... 5
1.1 Einleitung ...................................................................................................................................... 5
1.2 Von der einfachen Verdrahtung zum smarten KS-Design ............................................................. 5
1.2.1 Fondbeleuchtung.................................................................................................................... 5
1.2.2 Starter-Generator Leitung ...................................................................................................... 8
2. Kabel und Leiter................................................................................................................................. 10
2.1.1 Kupfer ................................................................................................................................... 10
2.1.2 Aluminium ............................................................................................................................ 11
2.1.2 Messing................................................................................................................................. 14
2.1.3 Andere Leiterwerkstoffe ...................................................................................................... 15
2.2 Konstruktive Merkmale ............................................................................................................... 15
2.2.1 Allgemeines zu Kabel und Leitungen.................................................................................... 15
2.2.2 DIN 72 551 Niederspannungsleitungen............................................................................... 16
3. Verbindungstechnik........................................................................................................................... 23
3.1 Löten............................................................................................................................................ 23
3.1.1 Das Lot (Weichlot) ................................................................................................................ 23
3.2 Lötverfahren ................................................................................................................................ 24
3.2.1 Labor-Lötgeräte .................................................................................................................... 24
3.2.2 Der Lötvorgang ..................................................................................................................... 25
3.2.3 Lötarbeitsschritte ................................................................................................................. 25
3.2.4 Entlöten ................................................................................................................................ 25
3.2.5 Lötsysteme in der Serienproduktion .................................................................................... 26
3.2.6 Gängige Reflow-Lötverfahren .............................................................................................. 26
3.2.7 Eutektische Blei-Zinnlegierung ................................................................................................. 33
3.2.8 Bleifreies Löten ......................................................................................................................... 35
3.3 Crimpen ....................................................................................................................................... 37
3.3.1 Begriffe aus der Crimptechnik .............................................................................................. 41
3.4 Schweißen ................................................................................................................................... 43
3.4.1 Elektronenstrahlschweißen .................................................................................................. 43
3.4.2 Reibschweißen ..................................................................................................................... 45
3.4.3 Ultraschallschweißen ........................................................................................................... 46
3.4.4 Orbitalreibschweißen ........................................................................................................... 47
3.4.5 Laserstrahlschweißen ........................................................................................................... 47
Laserschweißen von Metallen ....................................................................................................... 48
4. Hochfrequenzleitungen ..................................................................................................................... 49
4.1 Die homogene Leitung ................................................................................................................ 49
4.2 Die Leitungsgleichungen in Differentialform .............................................................................. 51
4.3 Die Leitungsgleichungen für sinusförmige (harmonische) .......................................................... 54
Ströme und Spannungen ................................................................................................................... 54
4.4 Darstellung von Strom und Spannung durch die Größen am ..................................................... 57
Leitungsende ..................................................................................................................................... 57
4.5 Leitungskenngrößen .................................................................................................................... 58
4.6 Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ............................................................................... 60
5. Wärmeausbreitung............................................................................................................................ 61
5.0 Allgemeines zur Wärmeausbreitung ........................................................................................... 61
5.1 Wärmeleitung.............................................................................................................................. 62
5.1.1 Die Wärmeleitung im homogenen Material ........................................................................ 62
5.1.2 Laufzeiteffekt........................................................................................................................ 63
5.2 Konvektion................................................................................................................................... 64
5.3 Wärmestrahlung.......................................................................................................................... 65
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5.4 Lineare Vorgänge und Grundgrößen........................................................................................... 66
5.4.1 Grundgrößen ........................................................................................................................ 66
5.4.2 Stationäre Wärmeströme..................................................................................................... 68
5.4.3 Transiente Wärmeströme .................................................................................................... 70
5.4.4 Anwendung der Systemtheorie............................................................................................ 72
5.4.5 Vom komplexen Widerstand im Frequenzbereich zur Sprungantwort im Zeitbereich ....... 77
5.4.6 Lösungsbeispiele linearer transienter Vorgänge .................................................................. 78
5.5.1 Der Strahlungswiderstand .................................................................................................... 96
11. Anhang.......................................................................................................................................... 102
11.1. Fehlerrechnung zur Widerstandsmessung eines Sicherungsstreifens ................................... 102
11.2. Materialwerte......................................................................................................................... 104
11.3 Tabelle zur Laplacetransformation.......................................................................................... 105
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1 Einführung Bordnetzstrukturen
1.1 Einleitung
Im Bordnetz werden sowohl elektrische Energie sowie Informationen transportiert.
Vergleicht man ein Fahrzeug mit einem menschlichen Körper, so sind die Kabel die
Blutbahnen und Nervenstränge gleichermaßen. Das Bordnetz besteht physikalisch
aus dem Kabelsatz bzw. aus mehreren Teilkabelsätzen. In den Kabelsätzen (KS)
moderner PKWs werden einige Kilometer an Kabeln und Leitungen verbaut, einige
tausend Kontaktstellen sind verbunden, gewichtsmäßig liegt man im Bereich von
50kg. Die Bedeutung des Kabelsatzes kann man auch an seinem Preis ermessen. Es
ist das teuerste Zukaufteil für PKWs (auch teurer als z.B. der Motorblock).
Daher wird der KS-Entwickler mit hohem Aufwand daran arbeiten Gewicht und Kosten
einzusparen und er muss bestrebt sein, dies mit stetig wachsenden
Qualitätsanstrengungen zu tun.
Hat z. B. ein KS 2000 elektrische Kontakte und dieser würde mit einer Fehlerquote von
0,5‰ für die Kontaktierungen produziert, so wäre jeder KS praktisch fehlerhaft. Nur
Fehlerraten im Bereich unter Eins zu einer Million sind akzeptabel. Kapitel
8
ist
deshalb der KS-Prüftechnik gewidmet.
Der Einsatz von Mikroprozessoren und Halbleitern erfordert eine EMV-feste
Konstruktion im Bordnetz und den dazugehörigen Leitungen. Die EMV wird in diesem
Buch dort wo es erforderlich angesprochen bzw. es wird auf die DIN 40 839
verwiesen.
1.2 Von der einfachen Verdrahtung zum smarten KS-Design
1.2.1 Fondbeleuchtung
Beginnen wir mit dem Beispiel der Fondbeleuchtung. Der Fahrgast auf der Rückbank
kann über einen Schalter an der Lampe die Fondbeleuchtung einschalten.
Informationsgeber ist dabei der Schalter, die Energie wird aus der Batterie
entnommen.
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Information +
Energie
Bild 1.2-1
Fondbeleuchtung Energie-und Informationsfluss
Die einfachste schaltungstechnische Lösung zeigt die nächste Abbildung, damit keine
Brände durch Kurzschlüsse entstehen können, ist noch eine Sicherung eingefügt. Als
Rückleiter kann die Karosserie benutzt werden.
+ -
Bild 1.2-2
Fondbeleuchtung Verdrahtung
In einem Schaltplan verwendet man folgende Symbole:
Bild 1.2-3
Fondbeleuchtung Schaltplan
Eine wichtige Einsparung ist die Verwendung der Karosserie als Rückleiter, im
Schaltplan verwendet man dafür das Massesymbol ┴ . Für störempfindliche Bus-,
Hochfrequenz- oder Audioleitungen darf der Rückleiter nicht über die Karosserie
geführt werden (siehe Kapitel Massekonzepte).
Bis in die 70er Jahre war eine solche Schaltung z.B. im VW-Käfer usus, ausländische
Automobilhersteller hatten zeitweise auf Sicherungen verzichtet, was dann im Falle
eines Crash mit Leitungsbeschädigung leicht zum Abrennen des gesamten Fahrzeugs
geführt hatte.
Obige Schaltung führte allerdings auch dazu, dass sich die Batterie entleerte, wenn
der Fahrgast vergessen hatte, die Lampe wieder auszuschalten. Also war es sinnvoll
die Lampe auch vom Fahrer aus schalten zu können, was zur Einführung einer
Wechselschaltung führte. Dabei müssen zwischen den Wechselschaltern zwei
Leitungen gezogen werden. Damit geht auch einher eine Leitungslängenverdopplung
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oder eher Verdreifachung, weil man die Leitungen im Fahrzeug nur über bestimmte
Kanäle verlegen kann, auch wird die Sicherung nicht unbedingt in Batterienähe sitzen
sondern in einem Sicherungskasten im Frontbereich.
Kl. 15
Vorsicherung
+ -
Bild 1.2-4 Fondbeleuchtung Schaltung mit Wechselschalter und Sicherungen
Für die Hauptversorgungsleitung von der Batterie zum Bordnetzeinschalter gibt es
eine Vorsicherung, damit auch diese Leitung gegen Kurzschluss gesichert ist.
Damit bei parkendem Fahrzeug (abgezogenem Zündschlüssel) auf keinen Fall die
Batterie belastet wird, entnimmt man die Versorgungsspannung hinter dem
Einschalter für die Bordnetzspannung, dieser Punkt trägt die Bezeichnung Klemme 15.
Bei modernen Fahrzeugen lässt man nach dem Bordnetzausschalten (Aussteigen) das
Licht noch für einige Minuten eingeschaltet und dimmt dann erst langsam ab. Eine
Überwachung der Lampe auf Fehlfunktionen (Unterbrechung, Kurzschluss) ist heute
ebenfalls üblich. Es werden also für die relativ unbedeutende Fondbeleuchtung eine
Reihe an Informationen verarbeitet:
Bordnetz eingeschaltet (Zündschlüssel eingesteckt und Fahrzeug
eingeschaltet)
Batteriekapazität ausreichend
Lampentestroutine
Türen geschlossen
Sitze belegt
Fondschalter betätigt
Frontschalter betätigt
Lampe defekt
Diese Informationen könnte man durch den Einsatz von mechanischen Schaltern und
Leitungen allein nicht regeln. In modernen Bordnetzen werden die Informationen von
Mikroprozessoren gesammelt, verarbeitet und über Bussysteme digital codiert
weitergeleitet. In Verbrauchernähe wird die Information zum Einschalten der
Fondlampe von einem nahe gelegenen Bordnetzcontroller auf einen Transistor
gegeben. Den Transistor kann man auch pulsweitenmoduliert schalten, so dass man
die Lampe dimmen kann. Während der Fahrt kommt die Energie übrigens nicht aus
der Batterie, sondern wird von einem Generator (Lichtmaschine oder andere
elektrische Maschine) erzeugt.
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Information
+ -
G
Bild 1.2-5
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Energie
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Fondbeleuchtung, Schaltung mit Bordnetzcontroller und Transistor
Damit das Bild übersichtlich bleibt, ist die Schaltung nicht komplett gezeichnet. Auch
sind EMV-Maßnahmen und Sicherungen der Halbeiter sowie des Generators noch
vollkommen unberücksichtigt. In zukünftigen Hybrid- und E-Fahrzeugen wird zwischen
Generator und Bordnetz ein Spannungswandler sein, der zwischen den
unterschiedlichen Spannungsebenen transformiert.
1.2.2 Starter-Generator Leitung
Ein weiteres Beispiel zu den Anstrengungen, die man unternimmt um Leitungsgewicht
einzusparen (auch Bauraum in Kabelkanälen), ist der Einsatz von massiven
Aluminiumflachleitungen anstelle von flexiblen Kupferlitzen. Der Anlasser (im Eng.
Starter) ist der größte Stromverbraucher im Fahrzeug mit einem konventionellen
Verbrennungsmotor (nicht Hybrid oder E-Fahrzeug). Für einige Sekunden sind 600A
üblich. In den meisten Fällen ist in diesen Fahrzeugen die Batterie im Heck und der
Starter im Motorraum untergebracht, damit dann auf der ca. 5m langen Leitung keine
übermäßigen Spannungsabfälle entstehen, werden große Querschnitte z. B. 90 mm²
Cu-Leitung verlegt. Diese Leitung wiegt immerhin 4 kg. Ein Ersatz des Kupfers setzt
voraus, dass der elektrische Widerstand gleich bleiben muss. Es muss gelten:
ρ Cu
ACu
=
ρ Al
AAl
bzw.
(1.2.2.1)
Eine 90 mm² Cu-Leitung kann also durch eine 150 mm² Al-Leitung ersetzt werden.
Diese hat dann eine Masse von nur noch 2 kg.
Man ersetzt den flexiblen verseilten vieldrähtigen Cu-Leiter durch einen massiven
Leiter, weil man beim Massivleiter weniger Volumen benötigt. Der Massivleiter wird
zudem flach ausgeführt damit er besser im Unterbodenbereich verlegt werden kann.
Der Flachleiter hat den Vorteil einer größeren Wärmebelastbarkeit für Dauerströme,
was allerdings für die kurzzeitigen Anlasserströme nicht ausgenutzt werden kann.
Nun stellt sich die Frage warum man nicht den gesamten Kabelsatz eines Fahrzeugs
mit Al-Leitern bestückt, man könnte 50% Metallgewicht einsparen und da der Preis für
Aluminium an den Metallbörsen zur Zeit auch nur ein Drittel des Preises für Kupfer
beträgt, käme man bei den Metallkosten auf ein Sechstel.
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Nun hat Al gegenüber Cu auch einige Nachteile:
- geringere Reißfestigkeit
- höhere Korrosionsempfindlichkeit
- höheres Volumen bei gleichartigem Leiteraufbau und gleichem el. Widerstand
Bei kleinen Querschnitten überwiegen die Nachteile, so dass man hier heute noch bei
Cu-Leitern bleibt.
In Flugzeugbordnetzen werden übrigens auch bei den kleinen Querschnitten Al-Litzen
verwendet, diese sind allerdings verzinnt, so dass Korrosion ausgeschlossen ist. Dem
Nachteil der geringeren Reißfestigkeit wird durch konstruktive Maßnahmen begegnet
(Bündelverlegung, Zugentlastung). Im Flugzeug ist der Gewichtsvorteil wichtiger als
der Nachteil des größeren Volumens.
Es bleibt noch anzumerken, dass der Volumennachteil bei Signalleitungen
verschwindet, wenn aus rein mechanischen Gründen Mindestquerschnitte verwendet
werden.
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2. Kabel und Leiter
2.1.1 Kupfer
DIN 1708 Kupfer, Kathoden und Gussformate
DIN 1787 Kupfer, Halbzeug
DIN 40 500 Kupfer für die Elektrotechnik
Kupfer
engl. (IUPAC): Copper
Symbol von Kupfer: Cu
Ordnungszahl von Kupfer: 29
Relative Atommasse:
63,546 g/mol
Atomradius:
127,8 pm
Kovalenzradius:
117 pm
Van-der-Waals-Radius:
k.A. pm
Dichte:
8,92 g/cm3
Schmelzpunkt Celsius:
1083,5 °C
Siedepunkt Celsius:
2595 °C
Schmelzpunkt Kelvin:
1356,6 K
Siedepunkt Kelvin:
2868 K
Elektronenkonfiguration:
[Ar] 3d10 4s
Oxidationszahlen:
4, 3, 2*, 1
Elektronegativität:
Allred: 1,8
Pauling: 1,90
Pearson: 4,48 eV (absolut)
Säureeigenschaften:
basisch
Kristallstruktur:
kubisch - flächenzentriert
Vaporisationsenergie:
300.5 kJ/mol (= Verdampfungsenthalpie)
Fusionsenergie:
13.14 kJ/mol (= Schmelzenthalpie)
Spez. el. Widerstand
1,647 µΩ cm
Elektrische Leitfähigkeit:
60.7 · m/(Ωmm²)
Thermische Leitfähigkeit:
401 Wm-1K-1 (bei 300 K)
Spezifische Wärmekapazität:
0.385 Jg-1K-1 (bei 300 K)
Atomvolumen:
7.10 cm3/mol
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synthetisiert:
nein
Metalleigenschaften:
Metall
Entdeckung:
Entdecker: unbekannt
Jahr: 5000 v.Chr.
Häufigkeit:
50 ppm
Erste Ionisierungsenergie:
7,726 eV
Elektronenkonfig.:
[Ar]3d164s1
Atomgewicht
63,546
Stabile Isotope:
Cu-63: 69.17%
Cu-65: 30.83%
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Kupfer (engl. Copper) ist das 29. Element im Periodensystem und befindet sich in der
4. Periode. Kupfer hat das Symbol Cu.
Quelle: Periodensystem der Elemente: Datenblatt Kupfer
periodensystem.info ©2001 by andyhoppe.com · Alle Rechte, Irrtum und Fehler vorbehalten.
Kupferleiter gibt es auch verzinnt, versilbert oder mit anderen Edelmetallen
beschichtet. Verzinnte Leiter sind besonders korrosionsbeständig, versilberte haben
eine gute Leitfähigkeit für Hochfrequenzanwendungen (Skineffekt).
In der Elektrotechnik verwendet man E-Cu mit einem Reinheitsgrad von
> 99,9 % bzw. OF-Cu mit einem Cu-Anteil > 99,95%.
Der Sauerstoffanteil ist entscheidend für die Löt- und Schweißbarkeit. Der
Sauerstoffanteil kann durch geringe Phosphorzugaben gebunden werden und damit
die Löt- und Schweißfähigkeit verbessert werden. Man kann auch zwischen
verschiedenen Härtegraden wählen. Durch Glühen – Ausheilen von Kristallbaufehlern
– wird Kupfer weich.
2.1.2 Aluminium
DIN 1712 Teil 3 Aluminium, Halbzeug
DIN 1725 Teil 1 Aluminiumlegierungen, Knetlegierungen
DIN 40 501 Aluminium für die Elektrotechnik
DIN 40 200 …40 204 Drähte und Seile
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Aluminium
engl. (IUPAC): Aluminium
Symbol von Aluminium: Al
Ordnungszahl von Aluminium: 13
Relative Atommasse:
26,981539 g/mol
Atomradius:
143,1 pm
Kovalenzradius:
125 pm
Van-der-Waals-Radius:
205 pm
Dichte:
2,70 g/cm3
Schmelzpunkt Celsius:
660,5 °C
Siedepunkt Celsius:
2467 °C
Schmelzpunkt Kelvin:
933,52 K
Siedepunkt Kelvin:
2740 K
Elektronenkonfiguration:
[Ne] 3s2 3p
Oxidationszahlen:
3
Elektronegativität:
Allred: 1,5
Pauling: 1,61
Pearson: 3,23 eV (absolut)
Säureeigenschaften:
amphoterisch
Kristallstruktur:
kubisch - flächenzentriert
Vaporisationsenergie:
290.8 kJ/mol (= Verdampfungsenthalpie)
Fusionsenergie:
10.7 kJ/mol (= Schmelzenthalpie)
Spez. el. Widerstand
2,65 µΩ cm
Elektrische Leitfähigkeit:
37.7 · m/(Ωmm²)
Thermische Leitfähigkeit:
237 Wm-1K-1 (bei 300 K)
Spezifische Wärmekapazität:
0.90 Jg-1K-1 (bei 300 K)
Atomvolumen:
10.0 cm3/mol
synthetisiert:
nein
Metalleigenschaften:
Metall
Entdeckung:
Entdecker: Oersted (Dänemark)
Jahr: 1825
Häufigkeit:
82000 ppm
Erste Ionisierungsenergie:
5,986 eV
Elektronenkonfig.:
[Ne]3s23p2
12
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Aluminium (engl. Aluminium) ist das 13. Element im Periodensystem und befindet
sich in der 3. Periode. Aluminium hat das Symbol Al.
Quelle: Periodensystem der Elemente: Datenblatt Aluminium
periodensystem.info ©2001 by andyhoppe.com · Alle Rechte, Irrtum und Fehler vorbehalten.
Aluminiumleiter werden zur Gewichtseinsparung und teilweise auch zur
Kostenreduktion eingesetzt.
Rein-Aluminium ist allerdings besonders korrosionsgefährdet.
Auskunft über die Korrosionsfestigkeit gibt die elektrochemische Spannungsreihe.
Dabei wird die Spannung eines Metalls gegenüber einer von Wasserstoff umspülten
Elektrode in wässriger Lösung gemessen.
Spannungsreihe der Metalle:
Metall
n-fach positives Metallion
Normalpotential [V] bei 25 °C
Li
Li+
-3,01
K
K+
-2,92
Ca
Ca2+
-2,84
Na
Na+
-2,71
Mg
Mg2+
-2,38
Al
Al3+
-2,34
Mn
Mn2+
-1,05
Zn
Zn2+
-0,76
Fe
Fe2+
-0,44
Cd
Cd2+
-0,40
Co
Co2+
-0,28
Ni
Ni2+
-0,23
Sn
Sn2+
-0,14
Pb
Pb2+
-0,13
H2
2H+
0,000
Cu
Cu2+
+0,34
Ag
Ag+
+0,80
Hg
Hg2+
+0,80
Au
Au2+
+1,36
Pt
Pt2+
+1,60
Zum Korrosionsschutz kann man Al-Leiter mit Edelmetallen wie Zinn beschichten.
Verzinnte Al-Litzen werden zum Beispiel in Flugzeugbordnetzen eingesetzt (Airbus).
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2.1.2 Messing
Messing ist das bevorzugte Material für Kabelschuhe und Kontaktteile.
Aus Wikipedia:
Messing ist die Sammelbezeichnung für eine Gruppe von Legierungen mit den
Hauptbestandteilen Kupfer und Zink. Die Farbe von Messing ist abhängig vom Zinkgehalt
und schwankt meist zwischen einem helleren und dunkleren Goldgelb mit großer
Farbähnlichkeit zu natürlichem Gold. Bei Zinkgehalten unter 20 % wird Messing bräunlich
bis bräunlich-rötlich und bei Gehalten über 36 % hellgelb bis fast weißgelb.
Eine ähnliche Legierung aus Kupfer und Zinn wird als Bronze bezeichnet.
Abb. 2.1.2: Gefügeschliffbild von gewalztem und geglühtem Messing (Wikipedia)
Für Kabelschuhe und Kontaktteile wird die Legierung CuZn37 (37% Zn)verwendet, der
spez. elektrische Widerstand dieser Legierung beträgt 66 ·10-6 Ωmm.
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2.1.3 Andere Leiterwerkstoffe
In besonderen Fällen wird Graphit als Leiterwerkstoff eingesetzt wie z. B. in
Zündleitungen. Der relativ hohe spez. Widerstand spielt hierbei keine Rolle, weil die
Spannung sehr hoch und die Leitungslänge kurz ist.
In elektrischen Maschinen kommen Graphit-Kupferlegierungen als Bürsten und
Schleifringkontakte zum Einsatz.
Supraleiter kommen als Leitermaterial in Spulen zur Magnetfelderzeugung bei der
japanischen Magnetschwebebahn Maglev zum Einsatz.
2.2 Konstruktive Merkmale
2.2.1 Allgemeines zu Kabel und Leitungen
Von einem Kabel spricht man bei einer steifen Konstruktion mit massiven Drähten, z.
B. für die feste Verlegung in der Gebäudetechnik.
Leitungen sind flexible Konstruktionen, geeignet z. B. in der Bordnetztechnik.
Leitungen wiederum sind aus symmetrisch verseilten Litzen oder aus
unsymmetrischen zusammengestellten Drähten aufgebaut.
Litzen werden aus Einzeldrähten oder aus Bündeln von Drähten verseilt.
Zwickel sind die Hohlräume zwischen den Drähten bzw. Drahtbündeln.
7-drähtige Litze:
Isolation
Cu-Draht
Zwickel
Abb. 2.2.1: Symmetrischer Leiteraufbau
Bei der Verseilung einer Litze verläuft der mittlere Draht auf einem kürzeren Weg als
die äußeren Drähte (neutrale Phase).
Die Schlaglänge ist der Weg einer 360°-Grad Umschlingung eines äußeren Drahtes.
Die Schlaglänge beeinflusst den Durchmesser und damit auch den elektrischen
Widerstand der Litze.
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2.2.2 DIN 72 551 Niederspannungsleitungen
Leitungen in Straßenfahrzeugen sind einadrige Litzen. Diese sind aus sieben oder 19
Einzeldrähten aufgebaut (verseilt). Für Querschnitte > 4 mm² können auch mehr
Einzeldrähte verwendet werden, um eine besonders hohe Flexibilität zu erreichen. Die
Isolation war in der Vergangenheit meist PVC und kann ein- bis dreifarbig sein.
In der Norm ist eine Leitfähigkeit von 58,5 S m / mm² festgeschrieben. Die
angegebenen Nennquerschnitte sind elektrische Querschnitte. Das heißt, wenn ein
Hersteller sehr reines Kupfer mit einer besseren Leitfähigkeit verwendet, kann der
geometrische Querschnitt des Cu kleiner sein.
Die Bezeichnung einer ungeschirmten Niederspannungsleitung (Fahrzeugleitung FL)
mit dünnwandiger Isolierung (R), Werkstoff der Isolierung PVC (Y), einem
Nennquerschnitt von 1,5mm² (1,5), Leiteraufbau Typ A (A), verzinnten Einzeldrähten
(sn), dreifarbige Kennzeichnung, erste/zweite/dritte Kennfarbe schwarz/weiß/rot ist:
FLRY – 1,5 sn - A – BKWHRD
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2.2 Isolationswerkstoffe
Als Primärisolation werden Kunststoffe verwendet. Man unterscheidet zwischen
Thermoplasten, die bei Temperaturen zwischen 100°C und 300°C aufschmelzen, und
Duroplasten die nach einer chemischen Reaktion nicht mehr aufschmelzen.
Thermoplaste sind zweidimensional (lange Ketten) strukturiert. Die Ketten sind
untereinander mehr oder weniger ungeordnet und können untereinander durch die
schwache Wasserstoffbrückenbindung vernetzt sein.
Duroplaste bilden dreidimensional vernetzte Strukturen die zusätzlich auch
Wasserstoffbrückenbindungen beinhalten.
Weiterhin unterscheidet man zwischen aliphatischen und aromatischen Molekülen.
Aliphatische sind aus linearen Molekülketten zusammengesetzt und aromatische
beinhalten ringförmige Strukturen wie das Benzol.
(Der Name ARAL leitet sich daraus ab).
Der geläufigste Isolationswerkstoff ist thermoplastisches Polyvinylidenchlorid (PVC).
Dieser Kunststoff ist sehr preiswert (< 1€/kg). PVC lässt sich recyceln und kann als
Granulat beigemengt werden. Allerdings kann PVC nicht in Verbrennungsanlagen
verwendet werden, weil bei der Verbrennung Chlor freigesetzt wird.
Auch bei einem PKW-Brand ist Chlor gefährlich, in Verbindung mit Wasserstoff bildet
sich Salzsäure (HCl). Neben dem Chlor sind auch die Weichmacher (wie Blei) im PVC
problematisch. Die Weichmacher können auch in angrenzende Stoffe diffundieren und
diese zerstören. Auch bei der Produktion von PVC sind eventuell freiwerdende
Dämpfe giftig. Deshalb bemüht man sich Ersatzstoffe wie Polypropylen oder
Polyethylen oder vernetztes Polyethylen einzusetzen.
Material
PVC
PE
Vernetztes PE
Betriebstemperaturbereich
-40°C bis +125°C
-40°C bis +100°C
-40°C bis +125°C
Polypropylen PP
-40°C bis +105°C
Polyurethan PU
-60°C bis +130°C
Polyamid
PA -40°C bis +150°C
(Nylon)
Polyesther PT
-60°C bis +150°C
Silikon Si
-60°C bis +180°C
Polyimid PI
-60°C bis +250°C
Teflon
-60°C bis +250°C
Kostenfaktor
PVC
1
1
2
1
2
3
3
10
10
10
zu Bemerkungen
Giftig beim Brand
Nur
kurzfristig
+125°C
Steif
Sehr flexibel
Steif
Schiffskabel
Als Lack oder Folie
weich
Die härteren Materialien wie PP oder PA finden oft in Sekundärisolationen wie
Wellrohre ihren Einsatz. PA muss dann nicht unbedingt teuer sein, weil man mit
reduzierten Wandstärken auskommt.
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Beim Ersatz von PVC spielen sehr viele Faktoren eine Rolle. Es kann sein, des es zum
Beispiel von der Temperaturbelastbarkeit und vom Abriebverhalten einen
höherwertigen Stoff gibt, dieser sich aber nicht dauerhaft einfärben lässt.
Ein neuer Werkstoff muss auch kompatibel zu den vorhanden Werkstoffen und
Chemikalien im Fahrzeug sein. Der Weichmacher von Klebebänder greift zum Beispiel
bestimmte Kunststoffe an. Die Kunststoffe müssen auch resistent gegen alle Arten
von Kraftstoffen sein wie zum Beispiel Biodiesel oder E10.
Die in der DIN festgelegten Prüfungen für Fahrzeugleitungen werden manchmal auch
durch besondere Prüfungen ergänzt. Saab und Volvo verlangen z. B. besondere
Kälteprüfungen (Abknicken der Leitung bei -40°C).
2.2.1 Chemische Strukturformeln der Isolationswerkstoffe
Die Isolationswerkstoffe sind Kunststoffe die durch Polymerisation entstehen.
Polymere sind Verbindungen, die aus einer großen Zahl von gleichen
Strukturelementen aufgebaut sind. Der Grundbaustein das Monomer, kann dabei auf
verschiedene Weise zu langen Ketten kombiniert werden.
Aliphatische Stoffe sind aus linearen Ketten aufgebaut. Aromaten beinhalten
ringförmige Strukturen. Bei den Leiterisolationswerkstoffen hat man es mit zumeist
aliphatischen Stoffen zu tun, die zudem dreidimensional vernetzt sein können.
Polyethylen PE
-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-
H
H
Monomer: Äthen C=C
H
H
Polypropylen PP
CH3
CH2
-CH-CH2-CH-CH2-CH2-CH2CH3
Silikone
-SiH2 - SiH2 - SiH2 - SiH2 - SiH218
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Polyamid PA
O
-C–N–CC
Polyurethan
H
-C-N–C–O–C–
O
aliphatisches PUR:
H
N
C
O
N
C
O
Urethangruppe NHCOO
Biuretgruppe als
3D-Netzpunkt
Polyurethane (PU, DIN-Kurzzeichen: PUR) sind Kunststoffe oder Kunstharze, welche aus der
Polyadditionsreaktion eines Dialkohols mit einem Diisocyanat entstehen. Charakteristisch für
Polyurethane ist die Urethan-Gruppe.
− NH − CO − O −
Polyurethane können, je nach Herstellung hart und spröde, aber auch weich und elastisch sein. In
aufgeschäumter Form ist PUR als Schaumgummi oder als Bauschaum bekannt.
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Polyester
O
C–O–C
CH3
Polyester sind Polymere mit Esterbindungen -[-CO-O-]- in ihrer Hauptkette. Zwar kommen auch in
der Natur Polyester vor, doch heute versteht man unter Polyester eher die große Familie synthetischer
Polymere (Kunststoffe), zu denen die viel verwendeten Polycarbonate und vor allem das
Polyethylenterephthalat (PET) gehören. PET ist eines der wichtigsten thermoplastischen Polyester.
Das erste synthetische Polyester Glycerinphthalat wurde im Ersten Weltkrieg als Imprägnierungsmittel
verwendet. Natürliche Polyester sind seit etwa um 1830 bekannt.
Polyimid
Polyimid (Kurzzeichen PI) ist ein thermoplastischer (seltener durch Vernetzung auch duroplastischer)
Hochleistungskunststoff aus der Gruppe der Polyimide, denen eine charakteristische Imid-Gruppe
gemeinsam ist.
Polyimid wurde zumeist in Form von hellbräunlichen, halbdurchsichtigen Folien zunächst in der Luftund Raumfahrt und später als Isolationswerkstoff in der Elektrotechnik und Elektronik eingesetzt.
Beispielsweise beträgt die Dielektrizitätskonstante von Kapton VN Film (DuPont) ca. 3,5 bei 25 °C.
Bei Kupferdraht ist der Überzug zum Teil kaum sichtbar und er sieht aus wie normaler unisolierter
Draht.
Polyimid ist vor allem unter dem DuPont-Markennamen Kapton bekannt. Weitere Markennamen sind:
Kinel, Upilex, Upimol, Vespel
Kaptonfolie wird in der Röntgenoptik oft als Transmissionsfenster für Strahlrohre und Detektoren an
Synchrotronbeamlines und Laborquellen verwendet, weil es sowohl thermisch als auch mechanisch
stabil ist und kaum Strahlenschäden erleidet
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Monomere des PI
Benzol
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Strukturformel
Name
Andere Namen
Summenformel
Benzol
Benzen
C6H6
Benzol (nach der IUPAC-Nomenklatur als Benzen bezeichnet, ist aber trotzdem kein Alken) ist eine
farblose Flüssigkeit mit charakteristischem Geruch. Es gehört zu den aromatischen
Kohlenwasserstoffen. Die Summenformel ist C6H6. Benzol ist krebserregend und wurde deshalb als
Lösungsmittel durch die weniger gefährlichen methylsubstituierten Benzole Toluol und Xylol
weitgehend ersetzt. Benzol wird heute deshalb fast nur noch als Rohstoff zur Herstellung einiger
Industriechemikalien verwendet. Als erdölbedingter Begleitstoff ist es immer in Autokraftstoff
enthalten.
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2.2.2 Die Wasserstoffbrückenbindung
Zwischen den Polymerketten können zusätzliche sekundäre Bindungskräfte über
Wasserstoffbrückenbindungen bestehen. Über diese Kräfte können auch
Weichmacher eingelagert werden. Das Beispiel zeigt ein Wassermolekül zwischen
zwei Polyrethangruppen:
Im Wasser findet man übrigens Cluster (Gruppen) von Wassermolekülen, die über die
Wasserstoffbrückenbindung zusammengehalten werden. Die Größe der Cluster ist
temperaturabhängig und statistisch verteilt. Über 100°C geht die Wahrscheinlichkeit
gegen Null Wassercluster zu finden. Unter 0°C bilden sich geordnete Riesencluster
bzw. Eiskristalle.
Auch in Kunststoffen findet man teilkristalline Bereiche. Das sind Bereiche in denen
die Polymere eine geordnete Raumstruktur einnehmen.
Kristalline Bereiche können auch eine Flächenstruktur wie im Graphit annehmen.
Innerhalb der teilkristallinen Bereiche kann auch die Leitfähigkeit bis hin zur
Supraleitung ansteigen.
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3. Verbindungstechnik
3.1 Löten
Das Löten ist das Verbinden von Metallteilen durch eine Metalllegierung(das Lot)
unter Einfluss von Wärme/Hitze. Die Schmelztemperatur des Lotes liegt unterhalb der
anderen zu verbindenden Metallen. Ab einer bestimmten Temperatur fließt das
geschmolzene Lot zwischen die beiden Metallteile. Unter günstigen Vorraussetzungen
kommt es zwischen dem Lot und den Metallen zu einer festen, dichten,
korrosionsbeständigen, strom- und wärmeleitenden Verbindung.
Alle weiteren Erläuterungen beziehen sich auf das Löten in der Elektronik und
Elektrotechnik(Weichlöten). Das sogenannte Hartlöten soll hier der Vollständigkeit
nur erwähnt werden.
3.1.1 Das Lot (Weichlot)
Weichlote sind Legierungen aus Zinn(Sn) und Blei(Pb). Zusätzlich werden geringe
Mengen von Antimon(Sb), Silber(Ag) oder Kupfer(Cu) hinzugefügt. Die
Zusammensetzung des Lotes richtet sich nach dem Anwendungsgebiet. Weichlote
sind nach DIN 1707 genormt und durch Kurzzeichen gekennzeichnet.
Kurzzeichen
Zusammensetzung in %
Arbeitstemperatur in °C
Anwendung
PbSn40
60 Pb, 40 Sn
235
Feinbleche
Sn60Pb
60 Sn, 40 Pb
183
Verzinnen
Sn50PbCu
50 Sn, 49 Pb, 1 Cu
190
Elektrogeräte
Sn60PbAg
60 Sn, 36 Pb, 4 Ag
180
Elektronik
Das in der Elektrotechnik übliche Lot wird in der Umgangssprache Lötzinn genannt
und ist eine Zinn-Blei-Legierung dessen Schmelzpunkt zwischen 180 °C und 260 °C
liegt. Die bekannteste Bauform ist ein Hohldraht, in dem sich Kolophonium befindet.
Das Kolophonium dient als Flußmittel, was wiederum Oxidation der Metalle verhindert
und
die
Fließeigenschaften
des
Lotes
optimiert.
Das Weichlot wird verwendet, wenn die Verbindung zweier Metalle dicht und leitfähig
sein soll und wenn an die mechanische Belastbarkeit keine hohe Anforderung gestellt
wird. Folgende Metalle können weichgelötet werden:
Zinn
Zink
Blei
Kupfer
Kupferlegierungen
weicher Stahl
Rotguß
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Kolophonium ist ein sprödes transparentes Naturprodukt (Balsamharz) von roter bis
brauner Farbe. Der Schmelzpunkt liegt zwischen 80 – 125 °C, es ist löslich in Alkohol.
In der Großserienproduktion werden auch andere Flussmittel eingesetzt, wobei man
darauf achten sollte, dass diese säurefrei sind. Säurehaltige Flussmittel bergen die
Gefahr der späteren Korrosion.
3.2 Lötverfahren
Generell unterscheidet man die Lötverfahren Weich- und Hartlöten. Weichlote haben
einen Schmelzpunkt unter 450 °C. Hartlote haben einen Schmelzpunkt zwischen 450
°C und 1100 °C. Welches Lötverfahren angewendet wird entscheidet der
Anwendungszweck.
3.2.1 Labor-Lötgeräte
Im Labor verwendet man zwei Typen von elektrischen Lötgeräten: Lötkolben und
Lötpistole.
Der Lötkolben ist das klassische Lötgerät, das zum Löten von gedruckten Schaltungen
verwendet wird. Es handelt sich dabei um einen Griff mit einem Kabel auf der einen
und einer metallischen Lötspitze auf der anderen Seite. Das Kabel steckt entweder in
der Steckdose oder in einer regelbaren Lötstation, bei der die Temperatur der
Lötspitze geregelt werden kann und als Ablage für den Lötkolben dient. Es gibt auch
Lötkolben mit Akku- oder Gasbetrieb.
Die Lötpistole hat eine typische Pistolenform mit einer Lötspitze vorne und einem
Anschlusskabel im Griff. Die Lötpistole hat den Vorteil, dass die Spitze schneller heiss
wird. Mit ihr lassen sich auch thermoplastische Werkstoffe und großflächige
Metallverbindungen löten.
Beim Kohlestiftlötkolben wird ein Kohlestift durch hohen Strom erwärmt. Das Bauteil
liegt dabei in einer Vorrichtung, die mit dem Minuspol des Lötgerätes verbunden ist.
Beim Widerstandslöten wird ein sehr hoher Strom durch die zu verlötenden Teile
geschickt, so dass über den Widerstand der Bauteile die Lötwärme entsteht.
Heißluftlötgeräte eignen sich zum großflächigen Löten und Entlöten. HeißluftLötstationen sind mit einstellbaren Luftgeschwindigkeit und Temperaturregler
ausgestattet.
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3.2.2 Der Lötvorgang
Vor dem Löten müssen folgende Dinge sichergestellt werden:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Das Lötgerät hat die richtige Lötleistung(Temperatur/Watt).
Die Größe der Lötspitze ist für die Größe der Lötstelle geeignet.
Das Lot ist für die Lötleistung geeignet.
Die Lötstelle ist metallisch rein, d. h. frei von Verunreinigungen und Oxydationsschichten(evt.
mit Alkohol reinigen).
Die Festigkeit der Lötstelle ist höher als die des Lotes.
Die Lötspitze muss verzinnt und frei von Verunreinigungen sein.
Für eine geeignete Ablage für das Lötgerät ist zu sorgen(z.B. Metallständer).
Zum Reinigen der Lötspitze eignet sich ein kleiner nasser Schwamm.
Einmal verlötete Stellen lassen sich nicht mehr rückstandsfrei vom Lötzinn befreien. Deshalb
sollte sparsam mit dem Lötzinn umgegangen werden.
3.2.3 Lötarbeitsschritte
1. Soweit es möglich ist, sollte zwischen den beiden zu verbindenden Metallen eine mechanische
Verbindung bestehen. Drähte sollten miteinander verdrillt werden. Die Beinchen von
elektronischen Bauelementen sollte an der Lötstelle auf der Platine umgeknickt werden, damit
sie nicht verrutschen.
2. Metalle, die vor dem Lötvorgang nicht mechanisch miteinander verbunden werden können,
sollten verzinnt werden.
3. Das Verlöten von elektronischen Bauteilen ohne mechanische Verbindung dauert länger und
kann deshalb zu einem Hitzeschaden an diesem Bauteil führen. Das Bauteil sollte deshalb mit
einer metallischen Spitzzange oder ähnlichem während dem Lötvorgang fixiert werden.
4. Um zwei Metalle zu verlöten werden sie an der Lötstelle auf die richtige Arbeitstemperatur
gebracht. Dazu wird das Lötgerät verwendet. Hat die Lötspitze des Lötgerätes die richtige
Temperatur, dann dauert das ca. 2 bis 3 Sekunden.
5. Danach wird das Lötzinn kurz hinzugeführt(ca. 1 bis 3 Sekunden). Das Lötzinn beginnt im
Optimalfall zwischen die Metalle zu fließen. Dabei steigt ein kleiner Rauchfaden auf und es
knistert etwas an der Lötstelle. Je nach Größe der Lötstelle dauert das zwischen 2 bis 5
Sekunden. Sauber fließendes Lötzinn glänzt silbrig. Hat sich das Zinn verteilt, wird das
Lötgerät entfernt.
6. Danach kühlt die Lötstelle ab. Haben die Metalle eine mechanische Verbindung und werden
keiner Erschütterung(Verwackeln, Zittern) ausgesetzt glänzt die Lötstelle silbrig.
7. Hat die Lötstelle keine Möglichkeit erschütterungsfrei zu erstarren, so entsteht eine
sogenannte kalte Lötstelle bei der es zu keiner Legierung der Metalle kommen konnte. Diese
Lötstelle führt zu einem sehr hohen Übergangswiderstand, der bei ungünstigen Umständen zu
keiner elektrischen Verbindung führen kann. Diese Lötstelle muss noch einmal nachbearbeitet
werden(ab Schritt 4).
8. Überflüssiges Lötzinn oder Flußmittel an der Lötspitze sollte umgehend mittels eines nassen
Schwammes entfernt werden.
3.2.4 Entlöten
Lötstellen sind mechanisch dauerhafte Verbindungen. Diese lassen sich nur mit viel Mühe und
Aufwand wieder entlöten.
Muss Lötzinn entfernt werden, dann kann man sich zwei verschiedener Hilfsmittel bedienen.
Das eine Hilfsmittel ist die Entlötpumpe. Sie wird gespannt auf die erhitzte und flüssige Lötstelle
aufgesetzt und ausgelöst. Dabei wird das heisse und flüssige Lötzinn nach oben weg gezogen. Die
Lötstelle ist dann mit einem leichten Zinn-Rückstand frei gelegt. Die Metalle lassen sich im Regelfall
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voneinander lösen.
Das zweite Hilfsmittel ist die Entlötlitze. Sie ist ein Drahtgeflecht, aus Kupfer und führt in Verbindung
mit der erhitzten Lötstelle zu einem abfließen des Zinns in die Litze. Dazu muss sich die Entlötlitze
zwischen Lötstelle und Lötspitze des Lötgerätes befinden.
3.2.5 Lötsysteme in der Serienproduktion
In der Großserienproduktion verwendet man Gaslötgeräte, Widerstandslöt-systeme,
Wellenlötsysteme, Infrarotstrecken und Dampfphasenlötgeräte .
Bei Widerstandslötsystemen werden beispielsweise beim Verlöten eines Kabelschuhs
an das Ende einer Cu-Leitung die vorgefügten Bauteile zwischen zwei wassergekühlte
Hochstromelektroden geklemmt und mit Strom beaufschlagt. Durch den elektrischen
Widerstand der Bauteile werden diese schnell (Sekundentaktzeiten) bis zur
Löttemperatur aufgeheizt.
Die Bauteile werden automatisch zugeführt sowie mechanisch und elektrisch zu 100%
geprüft.
Beim Wellenlöten werden die zu verlötenden Bauteile über eine flüssige Welle aus Lot
geführt, beispielsweise bedrahtete Bauelemente eines Elektronikboards.
Diese Technik
ist abgelöst worden durch das Reflow-Löten (Wiederaufschmelzlöten). Dieses Lötverfahren eignet sich besonders gut für das Verlöten von SMD
(SurfaceMount Device = Oberflächenmontierbare Bauteile)
Aus Wikipedia:
•
•
•
Im ersten Schritt wird beim Reflow-Löten das Weichlot in Form von Lötpaste vor der
Bestückung auf die Platine/Leiterplatte aufgetragen. Hierin liegt der Hauptunterschied zu
anderen Lötverfahren, wie Lötkolbenlöten, Tauchlöten oder Wellenlöten. Es gibt verschiedene
Möglichkeiten des Lotauftrags, z. B. mittels Schablonendruck (Siebdruck), Dispenser, durch
Lotformteile (Preforms) oder auch galvanisch.
Im nächsten Schritt werden dann die Bauteile bestückt. Die Verwendung von Lötpaste hat den
Vorteil, dass diese klebrig ist und so die Bauteile bei der Bestückung direkt an der Paste
halten. Sie müssen also nicht eigens aufgeklebt werden.
Beim Aufschmelzen des verbleiten Lotes zentrieren sich die bestückten Bauteile durch die
Oberflächenspannung auf den Landepads und setzen sich ab. Bei bleifreien Loten (z. B.
SnAgCu) entfällt dieser Effekt fast vollständig (siehe auch RoHS).
Mögliche Lötfehler die bei dem Reflow-Löten auftreten können sind der Wicking-Effekt, das
Verschwimmen und der Grabsteineffekt.
3.2.6 Gängige Reflow-Lötverfahren
3.2.6.1 Heizplatte
Das mit Bauelementen bestückte Trägersubstrat wird auf eine Heizplatte gelegt und aufgeheizt.
Nachdem das Lot gleichmäßig geschmolzen ist, wird das Trägersubstrat von der Platte genommen.
Dieses Verfahren kann bei anorganischen Trägersubstraten eingesetzt werden. Hierbei wird das
gesamte Trägersubstrat auf Löttemperatur gebracht. Organische Träger sind normalerweise infolge
ihrer Glasübergangstemperatur (z. B. Glasübergangstemperatur bei Standardleiterplatte ca. 140 °C) für
das Kontaktlötverfahren auf der Heizplatte nicht geeignet. Es ist beim Kontaktlötverfahren einseitige
Bestückung möglich. Es gibt Systeme, bei denen das bestückte Trägersubstrat durch ein gleichzeitig
angewendetes Vakuumverfahren lunkerfreie und daher extrem zuverlässige Lötverbindungen
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aufweist. Hauptanwendungsgebiete des Vakuumkontaktlötens sind das Löten von
Leistungshalbleiterchips (Löten ohne gasförmige Einschlüsse), das hermetische Verschließen mittels
Löten und das flussmittelfreie Kontaktieren. Durch den Einsatz einer Vakuumkammer kann inertes
Prozessgas wie Stickstoff, reduzierendes Prozessgase wie Formiergas, bis 100 % Wasserstoff oder
nassaktivierende Ameisensäure geregelt im Lötprozess eingesetzt werden. Um vollständig
rückstandsfrei zu löten, kann im Vakuum eine Plasmaaktivierung während des Lötprozesses
angewandt werden. Durch diese Front-End-Tauglichkeit können auch MOEMS, MEMS und auf
Wafer-Level reflowgelötet werden. Plasmaunterstütztes Löten bietet auch für das Löten von
Leistungshalbleiterchips Vorteile, da der normalerweise nach dem Löten notwendige
Reinigungsprozess vor dem Drahtbonden entfällt.
3.2.6.2 Beheizte Formteile, Bügel und Stempel
Ein auf die Gehäuseform des zu lötenden Bauteils angepasster Stempel oder Bügel wird mit einer
Widerstandsheizung erwärmt. Dieser drückt dann die Bauteilanschlüsse auf die Lötstelle und schmilzt
das Lot auf. Die Heizung wird dann abgeschaltet und der Stempel erst nach dem Erstarren wieder
abgehoben. Die Lötstellen federnder Bauteilanschlüsse können so sicher gelötet werden. In der Regel
werden so nur einzelne Bauteile nacheinander gelötet.
3.2.6.3 Infrarotstrahler
Die zu lötenden Platinen werden in Durchlauflötstrecken gelötet. Das Lötgut wird dabei von einem
Fördersystem durch einen Ofen gefahren. Der Lötvorgang kann durch die Verweildauer in den
verschiedenen Temperaturzonen gesteuert werden. Üblicherweise gibt es vier Zonen, eine zum
Aufwärmen der gesamten Schaltung, die zweite zum Aktivieren des Flussmittels, die dritte zum Löten
und die vierte zum Abkühlen. Das Reflowlöten mit Infrarotstrahler ist ein einfaches Verfahren, um
Platinen in Serie zu fertigen. Nachteilig beim Infrarotstrahler ist die starke Absorption der
Strahlungsenergie durch schwarze Bauelemente (IC-Gehäuse) was eine ungleichmäßige
Wärmeverteilung zur Folge hat und zur lokalen Überhitzung führen kann.
Beim Vakuumlöten (lunker- und flussmittelfrei) ist die Übertragung der Wärme durch Strahlung,
neben der Übertragung der Wärme durch Kontakt die physikalisch einzige Möglichkeit. Übertragung
der Wärme durch Konvektion ist im Vakuum wegen des fehlenden Übertragungsmediums nicht
möglich. Daher wird beim Vakuumlöten sowohl die Übertragung der Wärme durch Kontakt
(Kontaktlöten), als auch die Übertragung durch Strahlung genutzt.
3.2.6.4 Vollkonvektions-Reflow-Löten [Bearbeiten]
Die Vollkonvektions-Reflow-Lötsyteme ähneln den Infrarotstrahler-Systemen, jedoch wird hierbei
Luft erhitzt und über ein Düsensystem an das Lötgut geführt. Dadurch erreicht man eine
gleichmäßigere Wärmeverteilung, als es mit Infrarotstrahlern möglich ist. Ein weiterer Vorteil ist die
größere Wärmekapazität des Ofens. In der Elektronikfertigung wird dieses Verfahren am häufigsten
eingesetzt.
3.2.6.5 Dampfphase (Kondensationslöten)
Das Dampfphasenlöten, (engl.: vapor phase), nutzt zur Erwärmung der Baugruppe die bei der
Phasenänderung eines Wärmeträgermediums vom gasförmigen in den flüssigen Zustand freigesetzte
Wärme. Dabei findet eine Kondensation an der Oberfläche des Lötgutes statt bis die gesamte
Baugruppe die Temperatur des Dampfes erreicht hat. Siedet die Flüssigkeit, bildet sich über ihr eine
gesättigte, chemisch inerte Dampfzone, deren Temperatur mit dem Siedepunkt der Flüssigkeit
weitgehend identisch ist, so dass sich eine optimale Schutzgasatmosphäre ausbildet und Oxidationen
im Dampfphasen-Lötprozess ausschließt.
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Als Wärmeträgermediums werden heute Perfluorpolyether (GALDEN™) eingesetzt. Diese flüssige
Polymere sind ausschließlich aus Kohlenstoff (C)-, Fluor (F)- und Sauerstoff (O)-atomen aufgebaut.
Die im Molekül vorhandenen C-=- und C-F-Bindungen sind äußerst beständig. Sie zählen zu den
stabilsten Bindungen in der Kohlenstoffchemie. Die an die zentrale Polymerkette gebundenen
Fluoratome schirmen das Kohlenstoffgrundgerüst perfekt ab und schützen so die empfindlicheren CC-Bindungen gegen chemische und thermische Angriffe. Sie haben hervorragende
Wärmeübertragungskoeffizienten sowie gute dielektrische Eigenschaften. Gegenüber den FCKWhaltigen Gasen die in der Vergangenheit eingesetzt wurden besitzen (PFPE) kein
Ozonschädigungspotential. [1].
Die Wärmeübertragung ist schnell und geometrieunabhängig, es entstehen keine Kaltzonen im
Schatten großer Bauteile. Durch die genau definierte Löttemperatur und die gleichförmige Erwärmung
ist keine Überhitzung der Bauteile möglich. Dies ermöglicht ein Löten mit gering aktivierten
Flussmitteln. Die Anforderung an Vorwärmzonen ist geringer, dadurch sind Dampfphasenlötanlagen
meist kompakter als Infrarotöfen. Einsatzschwerpunkt ist die Serienproduktion. [2].
3.2.6.6 Laserstrahl
Die Lötstellen werden mit einem Laserstrahl erhitzt, dieser kann punktgenau sehr viel Energie
übertragen. Die Lötstelle wird zeitlich (Lötzeit ca. 0,2–0,4 s) und räumlich sehr eng begrenzt erwärmt.
Dadurch tritt an den Bauteilen nahezu keine thermische Belastung auf. Ein Ablegieren der
Leiterbahnen kann vermieden werden. Aufgrund der hohen Kosten ist dieses Verfahren eigentlich nur
in der Massenproduktion oder bei hochempfindlichen Bauteilen rentabel.
Literatur
•
•
•
•
Klein Wassink, R. J.: Weichlöten in der Elektronik. 2. Auflage. Eugen G. Leuze Verlag, 1991,
ISBN 3-87480-066-0.
Scheel, Wolfgang: Baugruppentechnologie der Elektronik. 1. Auflage. Verlag Technik, 1997,
ISBN 3-341-01100-5.
Bell, Hans: Reflowlöten : Grundlagen, Verfahren, Temperaturprofile und Lötfehler. Bad
Saulgau: Leuze, 2005. ISBN 3-87480-202-7
Rahn, Armin: Bleifrei löten: Ein Leitfaden für die Praxis. Bad Saulgau: Leuze, 2004. ISBN 387480-195-0
Weblinks
1. ↑ http://www.asscon.de/d/pages/technologie/dampfphasenloeten.html
2. ↑ http://englert-berlin.de/englert_baugruppen/
Weitere Quelle : Weller Dampfphasen-Lötanlage WAM 3000 Bedienungsanleitung
28
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3.2.6.7 Dampfphasenlöten
29
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30
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31
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32
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3.2.7 Eutektische Blei-Zinnlegierung
Die Blei-Zinnlegierung mit einem Anteil von 37% Blei und 63% Zinn besitzt einen
definierten Schmelzpunkt bei 182 °C. Dem nachfolgenden Zustandsdiagramm kann
man entnehmen, dass diese eutektische Legierung die optimale Zusammensetzung
für ein Blei-Zinnlot darstellt.
33
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34
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3.2.8 Bleifreies Löten
Seit einigen Jahren arbeitet die Elektro- und auch Automobilindustrie an bleifreien
Alternativen für das Löten.
Dabei kristallisieren sich Zinn-Silberlegierungen als geeignete Lote heraus, diese sind
zwar teurer als Blei-Zinn Lote, bieten aber auch den Vorteil einer höheren
Temperaturbeständigkeit.
In der folgenden Tabelle sind einige alternative Legierungen mit ihren Eigenschaften
aufgeführt:
35
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36
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3.3 Crimpen
Crimpen ist die am meisten eingesetzte Verbindungstechnik in Bordnetzkabelsätzen.
Crimpen ist das Verquetschen eines Kontaktteils mit einem litzenförmigen Leiter. Das
Kontaktteil muss auf den Leiter abgestimmt sein und es muss ein definiertes
Crimpwerkzeug verwendet werden, damit eine einwandfreie Kontaktierung entsteht.
Die häufigste Crimpart ist der B-Crimp. Diese Crimpform hat ihren Namen von der
Querschnittsform des Crimpkontaktes im fertigen Zustand. Eine andere Art ist der
sogenannte Rohrcrimp für einen rohrförmigen Crimpbereich. Der Rohrcrimp wird
mittels eines sechseckförmigen Werkzeugs gleichmäßig verpresst.
Im Gegensatz zu einem verlöteten oder verschweißten Kontakt ist die
Crimpverbindung nicht gasdicht.
In der Serienproduktion werden Geräte mit Crimpkraftüberwachung verwendet, um
die Qualität der Verbindung und des Werkzeugs sicherzustellen.
37
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Abb. : B-Crimp aus verzinntem Messingblech an 0,35mm² Cu-Leitung mit Isolationscrimp und
Stahlüberfeder
38
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Abb. : B-Crimp an 10mm² Cu-Litze mit verlötetem Litzenkopf und Isolationscrimp
Rechteckform als Verdrehschutz
Abb. : Rohrcrimp mit zweifacher Sechskantverpressung und zusätzlicher Verlötung an
50mm² Cu-Leitung
39
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Abb. : Abgewinkelter Kabelschuh mit offenen Crimpkrallen für Leiter und Isolationscrimp
Abb. : Ultraschallverdichtete Litze abgewinkelt an Batterieklemme mit intelligentem
Batteriesensor gelötet
40
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=
3.3.1 Begriffe aus der Crimptechnik
B
H
W
L
B : Crimpbreite
H : Crimphöhe
L : gestreckte Länge
V : Verpressungsgrad
V = X/Y mit
vor
dem
X = geometrischer Leiterquerschnitt
Crimpen
Y = geometrischer
Leiterquerschnitt nach dem Crimpen
CBH : Crimphöhenverhältnis
CBH = B/H
W : Wandstärke des Crimpkontaktes
Eigene empirische Untersuchungen haben gezeigt, dass die absoluten Maße für einen
beliebigen Nennquerschnitt durch Skalieren ermittelt werden können, wenn man
zuvor für einen Querschnitt die optimalen Maße gefunden hat.
Prinzipielle Unterschiede ergeben sich nur durch den Einsatz unterschiedlicher Litzen.
Hochflexible Litzen mit Einzeldrahtdurchmessern ≤ 0,2 mm stellen den „Worst Case“
dar.
Skalieren bedeutet, dass Flächenmaße quadratisch anwachsen. Wird der
Leiterquerschnitt A vorgegeben, errechnet sich beispielsweise die Wandstärke nach
der Formel:
W = 0,4 ⋅ A + 0,15mm
Diese Formel gilt für Nennquerschnitte von 0,1 mm² bis 50 mm²
Um die Vielzahl der Wandstärken zu minimieren, gibt die nachfolgende Tabelle
empfohlene Wandstärken an, so dass für mehrere Querschnitte mit einem
Blechmaterial gearbeitet werden kann.
41
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Nennquerschnitt A / mm²
0,1
0,25
0,3
0,5
0,75
1,0
1,2
1,5
2,5
4,0
5,0
6,0
10
12
15
16
20
25
30
35
38,8
50
=
Wandstärke W / mm
0,28
0,35
0,37
0,43
0,5
0,55
0,59
0,64
0,78
0,95
1,04
1,13
1,41
1,54
1,70
1,75
1,94
2,15
2,34
2,52
2,64
2,98
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_çêÇåÉíòÉ=
Empfohlene Wandstärke
0,3
0,35
0,5
0,5
0,5
0,7
0,7
0,7
0,8
1,0
1,0
1,0
1,6
1,6
1,8
1,8
2,1
2,1
2,5
2,5
2,5
3,0
Ab 50 mm² liefert die Formel Werte für die Wandstärken aus denen dann extreme
Presskräfte folgen, die nur noch mit hydraulischen Pressen erreicht werden können.
Daraus kann man auch schließen, dass andere Systeme wie das Verschweißen oder
zusätzliches Verlöten sinnvoll werden.
Beim Crimpen ist prinzipiell darauf zu achten, dass ein weicher Übergang zwischen
Crimpzone und freier Litze einzuhalten ist. Man spricht auch von der erforderlichen
Crimptrompete. Zusätzlich zum Leitercrimp kann man zur Zug- und Biegeentlastung
einen Isolationscrimp vornehmen.
Trompetenförmiger
Verlauf
42
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3.4 Schweißen
3.4.1 Elektronenstrahlschweißen
Ein durch Erwärmung eines Wolframheizdrahtes erzeugter
Elektronenstrahl der durch ein Hochspannungspotential
zwischen Kathode und Anode beschleunigt ist, wird in einer
Vakuumkammer durch ein elektromagnetisches Linsensystem
zu einem präzisen sehr schlanken Strahl (Ø0,1mm) mit höchster
Leistungsdichte gebündelt.
Damit lassen sich Materialien
Hochspannungsversorgung
verschweißen,
die
mit
mit Elektrode 1
konventionellen
Methoden
Kathode 2
sich nicht oder nur sehr
Anode 3
schlecht verbinden lassen.
Ablenksystem 4
Kanonenabdichtventil 5
Beobachtungstelescope 6
Magnet-Fokusierspulen 7
Strahlablenkspulen 8
Absaugung,
Vakuumkammer 9
Werkstück 10
Die Anwendung des Elektronenstrahlschweißens ermöglicht in vielen Fällen bei gleicher
oder verbesserter Form eines in seiner Funktion festgelegten Teiles die
Verwendung anderer Werkstoffe,
Verringerung des Gewichts,
Änderung des Herstellungsverfahrens
und somit als angestrebtes Ergebnis eine Kosteneinsparung.
Werkstücke, bislang wegen der hohen
Beanspruchung oder Präzision aus einem
Stück gefertigt, werden in einfache Teilstücke
unterschiedlicher Werkstoffe geändert und
anschließend geschweißt.
Beachtliche
Vorteile
des
Elektronenstrahlschweißens sind weiterhin
Erzeugung von Schweißnähten höchster
Präzision ohne Zusatzwerkstoffe
bei minimalem Verzug des Teiles unter
Anwendung hoher Schweißgeschwindigkeit
Quelle: Ellinger GmbH Schweißtechnik und Maschinenbau 1554 Weissach im Tal
Quelle: www.ellinger-schweisstechnik.de/elektronenstrahlschweissen.html
Bearbeitungsbeispiele:
43
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Elektronenstrahlgeschweißtes Blockzahnrad:
In vorliegender Form kann dieses Zahnrad nicht verzahnt werden.
Vorteile des gebauten Teiles:
Platzersparnis
geringer Verzug
Anwendung vereinfachter Fertigungsverfahren für die
Einzelteile
Elektronenstrahlgeschweißtes
Motorenteil
aus
16 MnCr 5
Die Abbildung zeigt fließgepresste
Hohlkörper aus Werkstoff 17 Cr 3
verschweißt mit Bodenplatte aus X 210 Cr 12
W
Schweißnähte
Motorenteil, bei dem im
Grundkörper eine Druckfeder
eingeschweißt wird.
Präzisionsspanndorn mit
geschweißter Außenspannhülse
Hydraulische
Innenspannhülse
44
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3.4.2 Reibschweißen
Aus Wikipedia:
Beim Reibschweißen werden zwei Teile relativ zueinander bewegt, wobei sich die Teile an
den Kontaktflächen berühren. Durch die entstehende Reibung kommt es zur Erwärmung und
Plastifizierung des Materials. Am Ende des Reibvorganges ist es von entscheidender
Bedeutung, die Teile richtig zueinander zu positionieren und einen hohen Druck auszuüben.
Die Vorteile dieses Verfahrens sind, dass die so genannte Wärmeeinflusszone deutlich
kleiner ist als bei anderen Schweißverfahren und dass es nicht zur Bildung von Schmelze in
der Fügezone kommt. Es können eine Vielzahl von Werkstoffen, wie beispielsweise
Aluminium mit Stahl, miteinander verschweißt werden. Auch die Verbindung von
metallischen Werkstoffen, die keine Legierungen miteinander eingehen, ist vielfach
möglich.[15]
Rotationsreibschweißen
Schwungradreibschweißen
Das Rotationsreibschweißen ist ein Pressschweißverfahren. Dabei muss mindestens ein
Fügeteil in der Fügezone eine rotationssymmetrische Gestalt aufweisen. Die Energiezufuhr
wird ausschließlich durch eine Relativbewegung der Fügeteile zueinander unter Druck
eingebracht. Dabei steht ein Fügeteil still und das zweite Teil wird in Rotation versetzt. Weit
verbreitet ist die Anwendung, um an Rohre (Bohrgestängen) Verbinder unterschiedlicher
Materialgüte anzuschweißen.
Das Verfahren wird in Deutschland seit den 1970er Jahren eingesetzt. Die
unterschiedlichsten Materialkombinationen sind der große Vorteil dieses Verfahrens. So
werden millionenfach im Jahr Auslassventile für Verbrennungsmotoren geschweißt
(hochwarmfester Stahl an härtbaren Stahl) und das mit Taktzeiten von weniger als zehn
Sekunden.
Die verwendeten Maschinen ähneln Drehmaschinen. Sie enthalten eine rotierende Spindel
und ein nicht rotierendes Gegenstück, das auf einen axial zustellbaren Schlitten gespannt
und auf das rotierende Teil gedrückt wird. Die Axialkräfte können je nach Abmessung von
wenigen 100 N bis über 10.000 kN (entsprechend etwa der Gewichtskraft von 1000 t)
reichen. Die jeweiligen Maschinen sind dann so groß wie ein Schreibtisch oder aber auch
wie eine Lokomotive. Positioniertes Reibschweißen stellt eine (optionale) Sonderanwendung
dar und bedingt eine Sondersteuerung und einen Spezialantriebsmotor. Anwendungsfälle
hierfür sind Gelenkwellen, Trailerachsen und Achsstabilisatoren.
45
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3.4.3 Ultraschallschweißen
Sonotrode mit Katenoiden-Form zum Ultraschallschweißen
Das Ultraschallschweißen ist ein Verfahren zum Fügen von thermoplastischen Kunststoffen
und metallischen Werkstoffen. Bei den metallischen Werkstoffen kommt es vor allem bei
Aluminium, Kupfer und deren Legierungen zum Einsatz. Die nötige Wärme wird durch eine
hochfrequente mechanische Schwingung erreicht, welche zwischen den Bauteilen durch
Molekular- und Grenzflächenreibung entsteht. Somit gehört das Ultraschallschweißen zur
Gruppe der Reibschweißungen.
46
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Mit Hilfe eines Generators wird hochfrequenter Wechselstrom erzeugt und über ein
geschirmtes Kabel zu einem Ultraschallwandler, dem sogenannten Konverter übertragen,
der daraus mit Hilfe des piezoelektrischen oder des magnetostriktiven Effekts mechanische
Ultraschallfrequenz erzeugt. Diese Schwingungen werden über ein
Amplitudentransformationsstück auf die Sonotrode übertragen. Unterschiedliche
Anwendungen erfordern unterschiedliche Bauformen von Sonotroden, die meist aus Stahl,
Aluminium oder Titan hergestellt werden. Die Amplitude der Schwingung und die
Impedanzanpassung wird durch die Form und Masse des Amplitudentransformationsstückes
beeinflusst.
Die Schwingungen werden unter Druck auf die zu verbindenden Werkstücke übertragen. Sie
erhitzen sich und beginnen zu erweichen, wodurch der Dämpfungskoeffizient ansteigt. Die
Zunahme des Dämpfungsfaktors führt zu höherer innerer Reibung, was die
Temperaturerhöhung beschleunigt. Beim Ultraschallschweißen von Aluminium,
insbesondere bei Folien, dünnen Blechen oder Drähten, wie zum Beispiel bei Drahtbonden
in Chips werden die Fügepartner nicht bis zum Schmelzen erhitzt. Die Verbindung entsteht
nach Aufbrechen der Oxidschicht im wesentlichen durch ein Ineinanderverzahnen der
Fügepartner.
Das Verfahren ist durch sehr geringe Schweißzeiten und hohe Wirtschaftlichkeit
gekennzeichnet.[16]
3.4.4 Orbitalreibschweißen
Orbitalreibschweißen gemäß ISO 15620 ist ein Reibschweißverfahren. Im Unterschied zum
verwandten Rotationsreibschweißen müssen die Teile hier nicht rotationssymmetrisch sein.
Die Energiezufuhr wird mittels einer zirkularen Kreisschwingbewegung der Fügeteile ähnlich wie bei einem Schwingschleifer - unter Druck eingebracht. Hierbei bleibt die
Ausrichtung der Achsen gleich. Beim Multiorbitalreibschweißen schwingen beide Bauteile, im
Unterschied zum Orbitalreibschweißen, welches deshalb „Single Orbitalreibschweißen“
genannt wird. [17]
3.4.5 Laserstrahlschweißen
Laserstrahlschweißen wird vor allem zum Verschweißen von Bauteilen eingesetzt, die mit
hoher Schweißgeschwindigkeit, schmaler und schlanker Schweißnahtform und mit geringem
thermischem Verzug gefügt werden müssen. Das Laserstrahlschweißen oder
Laserschweißen wird in der Regel ohne Zuführung eines Zusatzwerkstoffes ausgeführt.
Die Laserstrahlung wird mittels einer Optik fokussiert. Die Werkstückoberfläche der
Stoßkante, also der Fügestoß der zu verschweißenden Bauteile befindet sich in der
unmittelbaren Nähe des Fokus der Optik (im Brennfleck). Die Lage des Fokus relativ zur
Werkstückoberfläche (oberhalb oder unterhalb) ist ein wichtiger Schweißparameter und legt
auch die Einschweißtiefe fest. Der Brennfleck besitzt typische Durchmesser von einigen
Zehntel Millimetern, wodurch sehr hohe Energiekonzentrationen entstehen, wenn der
eingesetzte Laser die typischen Leistungen von einigen Kilowatt Laserleistung besitzt. Durch
Absorption der Laserleistung erfolgt auf der Werkstückoberfläche ein extrem schneller
Anstieg der Temperatur über die Schmelztemperatur von Metall hinaus, so dass sich eine
Schmelze bildet. Durch die hohe Abkühlgeschwindigkeit der Schweißnaht wird diese je nach
Werkstoff sehr hart und verliert in der Regel an Zähigkeit.[26]
47
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Laserschweißen von Metallen
Beim Laserschweißen wird zwischen Lasertiefschweißen und Wärmeleitungsschweißen
unterschieden. Beide Verfahren unterscheiden sich hauptsächlich durch die verwendeten
Strahlintensitäten.
Tiefschweißen
Lasertiefschweißprozeß
Bei hohen Strahlintensitäten im Fokus (wie bei Stahlwerkstoffen ca. 4 MW/cm² abhängig
u. a. von der Verfahrgeschwindigkeit; bei einer Geschwindigkeit von 1 m/min reichen unter
Umständen auch etwa 2 MW/cm²) bildet sich in der Schmelze in Strahlrichtung eine
Dampfkapillare (mit Metalldampf oder teilionisiertem Metalldampf gefüllter, schlauchförmiger
Hohlraum, auch keyhole genannt) in der Tiefe des Werkstückes aus. Der Werkstoff wird
dadurch auch in der Tiefe aufgeschmolzen, die Schmelzzone kann tiefer als breit sein. Die
Dampfkapillare erhöht aufgrund von Mehrfachreflexionen an den Wandungen die Absorption
der Laserstrahlung im Material, wodurch ein gegenüber dem Wärmeleitungsschweißen
vergrößertes Schmelzvolumen erzeugt werden kann.
15 • Gerd Witt u.a.: Taschenbuch der Fertigungstechnik. Carl Hanser Verlag, München 20006, ISBN 344622540-4. (online auf Google-Books)
16 • Christian Bonten: Produktentwicklung: Technologiemanagement für Kunststoffprodukte. Carl
HanserVerlag, München, ISBN 3-446-21696-0 (online auf Google Books)
17 • Bayrische Forschungsstiftung: Orbitalreibschweißen – eine neue Schlüsseltechnologie zum
Fügen metallischer Werkstoffe
48
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=
4. Hochfrequenzleitungen
Signale und Informationen werden im KFZ zumeist über Busleitungen übertragen.
Dabei werden die Datenraten und damit auch die Übertragungsfrequenzen immer
höher. Die Hochfrequenzeigenschaften von Leitungen gewinnen so auch immer mehr
an Bedeutung.
In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Wellenausbreitung elektromagnetischer
Wellen auf Leitungen und allgemein behandelt. Insbesondere wird auf mögliche
konstruktive Qualitätsprobleme hingewiesen.
4.1 Die homogene Leitung
Die Ausbreitung elektromagnetischer Energie geschieht durch ein ständiges
Wechselspiel zwischen dem elektrischen und magnetischen Feld. Ein elektrisches Feld
breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit im Raum aus und baut dabei ebenfalls ein
magnetisches Feld auf. Das sich ändernde magnetische Feld (bei Wechselgrößen)
verursacht gleichermaßen wieder ein elektrisches Feld usw.
r
E
r
B
r
E
r
B
r
E
r
B
r
E
r
B
c
Die elektromagnetische Energie kann sich entweder ungebunden durch den freien
Raum (z. B. als Funkwelle) ausbreiten oder aber in geführter Form längs einer Leitung.
Für Hochfrequenzsignale sind verschiedene Leitungsarten möglich:
Doppelstegleitung
Koaxial-.
leitung
Abgeschirmte Zweidrahtleitung
Hohlleitung
10µm
Metall
Isolator
Metall
CPW Coplanar Waveguide (Uchimura 1998)
Grounded CPW
49
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Die offene Zweidrahtleitung hat die Eigenschaft, dass sich ihr elektromagnetisches
Feld sehr weit in den Raum ausbreitet und umgekehrt auch elektromagnetische
Fremdfelder leicht eingekoppelt werden können. Sie findet Anwendung als
Telefonleitung oder Antennenleitung. Für KFZ-Anwendungen ist dieser Leitungstyp
nicht geeignet. Eine Variante der offenen Zweidrahtleitung ist die verdrillte
Zweidrahtleitung. Diese findet man im KFZ als Lautsprecherleitung. Das Einkoppeln
von Störfeldern wird durch die Verdrillung vermieden. (Es findet zwar in jeder
Verdrillungsschleife eine Einkopplung statt, diese hebt sich jedoch wechselweise mit
der jeweiligen benachbarten Schleife auf.)
Die Koaxialleitung besteht aus einem zentralen Innenleiter und einem Außenleiter.
Ein elektromagnetisches Feld tritt nur zwischen den Leitern auf, so dass diese Leitung
die Eigenschaft hat, dass sie „abgeschirmt“ gegen äußere Einflüsse ist. Vorausgesetzt
ist dabei, dass der Schirm (der Außenleiter) auch dicht ist, das heißt einen möglichst
geschlossenes metallisches Schirmgeflecht bildet. Sehr hochwertige Koaxialleitungen
besitzen ein doppeltes Schirmgeflecht und einhergehend damit eine hohe Dämpfung
für äußere HF-Felder. Die Koaxiale Leitung wird bis zu höchsten Frequenzen (ca. 20
GHz = 20 *109 Hz) eingesetzt.
Die abgeschirmte Zweidrahtleitung besitzt den Vorteil der Symmetrie der beiden
inneren Leiter bezüglich des Außenleiters, der z. B. geerdet sein kann. Diese Leitung
findet Anwendung in der Tonstudiotechnik.
Die Hohlleitung besteht nur noch aus „Abschirmung“, innerhalb deren sich eine
elektromagnetische Welle (möglichst ungedämpft) ausbreiten kann. Der sogenannte
Hohlleiter wird in der Höchstfrequenztechnik (1 – 200 GHz) verwendet. Die
Hohlleitung wird hier nicht näher behandelt; es kann aber gezeigt werden, dass für sie
grundsätzlich die gleichen Gesetze für die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen
gilt wie für die Drahtleitungen.
Die Coplanar Waveguides werden auf Mikroelektronikboards eingesetzt und werden
in Lithographie-Ätztechnik hergestellt. Sie werden ebenfalls für Höchstfrequenzen bis
300GHz eingesetzt. Die Leitungsabstände sind abhängig vom Wellenlängenbereich.
Alle Leitungen sollen unabhängig von ihrer Querschnittsform als homogen bezeichnet
werden, wenn der Querschnitt der Leitung längs der Leitung konstant bleibt. Diese
Voraussetzung bedeutet, dass die die elektrischen Eigenschaften beschreibenden
Parameter unabhängig von der Längskoordinate angesehen werden können.
Bei der Behandlung der Leitung soll zunächst vorausgesetzt werden, dass die
Spannungen und Ströme auf der Leitung sinusförmig von der Zeit abhängen. Da sich
die Ströme und Spannungen ebenfalls längs der Leitung ändern, sind sie Funktionen
der Längskoordinate und der Zeit.
Sendet man digitale Signale (Rechteckförmige Spannungen und Ströme) über
Leitungen, so muss man deren Spektrum sinusförmiger Frequenzen berück-sichtigen.
50
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=
4.2 Die Leitungsgleichungen in Differentialform
Wir betrachten ein kleines Stück einer homogenen Zweidrahtleitung. Der Widerstand
des Leitungsstücks sei R, zwischen den Drähten befindet sich der Isolationsleitwert G.
Das betrachtete Leitungsstück besitzt außerdem die Kapazität C sowie eine
Induktivität L.
i(x,t)
u(x,t)
Φ
i(x+∆x,t)
u(x+∆x,t)
R
L
i(x,t)
i(x+∆x,t)
G
C
∆x
Auf das gezeichnete Leitungsstück wenden wir die Maschenregel an:
− u ( x, t ) + Ri( x, t ) + u ( x + ∆x, t ) + L
di ( x, t )
=0
dt
(4.2.1)
Der letzte Term in der Gleichung ist die Selbstinduktionsspannung die äquivalent
auch aus der magnetischen Flußänderung berechnet werden kann
− u ( x, t ) + Ri( x, t ) + u ( x + ∆x, t ) +
dΦ ( x , t )
=0
dt
(4.2.2)
Aus der Knotenregel folgt:
i ( x, t ) = i ( x + ∆x, t ) + u ( x, t )G + C
du ( x, t )
dt
(4.2.3)
51
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=
Die Spannung und der Strom an der Stelle x+∆x kann durch die Spannung und den
Strom an der Stelle x mit Hilfe der linearen Näherung ausgedrückt werden:
u(x)
u(x+∆x)
u(x)
x
x
x+∆x
Die im Allgemeinen gekrümmte Kurve wird auf dem kleinen Stück ∆x durch eine
Gerade angenähert. Der Wert an der Stelle x+∆x ergibt sich aus dem Wert an der Stelle
x und der Steigung der Geraden (1.Ableitung nach x):
u ( x + ∆x, t ) = u ( x, t ) +
∂u ( x, t )
∆x
∂x
(4.2.4)
bzw. für den Strom:
i ( x + ∆x, t ) = i ( x, t ) +
∂i ( x, t )
∆x
∂x
(4.2.5)
Mit dieser Näherung gehen wir in die Maschen- und Knotengleichungen:
(Die Näherung wird im Grenzübergang ∆x --> dx zur exakten Lösung)
4.2.4 in 4.2.1 eingesetzt und 4.2.5 in 4.2.3 eingesetzt:
∂u ( x, t )
∂i ( x, t )
∆x + Ri ( x, t ) + L
=0
∂x
∂t
(4.2.6)
∂i ( x, t )
∂u ( x, t )
∆x + Gu ( x, t ) + C
=0
dx
∂t
(4.2.7)
bzw.
∂u ( x, t ) R
L ∂i ( x, t )
+
i ( x, t ) +
=0
∂x
∆x
∆x ∂t
Glg 4.2.I
∂i ( x, t ) G
C ∂u ( x, t )
+
u ( x, t ) +
=0
∂x
∆x
∆x ∂t
(4.2.8)
(4.2.9)
52
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
Die Größen R´=R/∆x, G´=G/∆x, L´=L/∆x und C´=C/∆x bezeichnen wir als
Widerstandsbelag, Ableitungsbelag, Induktivitätsbelag und Kapazitätsbelag der
Leitung. Sie sind ein Maß für den Widerstand, den Ableitungsleitwert, die Induktivität
und die Kapazität pro Längeneinheit der Leitung.
Die bisher hergeleiteten Gleichungen gelten nicht nur für die Zweidrahtleitung
sondern gleichermaßen auch für die anderen homogenen Leitungsarten.
R´, G´, L´und C´sind bei homogenen Leitungen konstante Größen.
Wird die Gleichung 4.2.8 nach x differenziert und Glg. 4.2.9 nach t differenziert so
gilt:
∂ 2 u ( x, t )
∂í ( x, t )
∂ ²i ( x , t )
+ R′
+ L′
=0
∂x ²
∂x
∂x∂t
(4.2.10)
∂ ²i ( x , t )
∂u ( x, t )
∂ ² u ( x, t )
+ G′
+ C′
=0
∂x∂t
∂t
∂t 2
(4.2.11)
durch Einsetzen von Glg. 4.2.9 und
Differentialgleichung für die Spannung:
Glg. 4.2.11 in Glg. 4.2.10 folgt eine
∂ ² u ( x, t )
∂u ( x, t )
∂ ² u ( x, t )
= R ′G ′u ( x, t ) + ( R ′C ′ + L ′G ′)
+ L ′C ′
∂x ²
∂t
∂t ²
(4.2.12)
Glg. 4.2.12 ist für jede beliebige Zeitabhängigkeit der Spannung (z.B. Rechteckimpulse) gültig und wird auch „Telegraphengleichung“ genannt. Die gleiche Form der
DGL ergibt sich auch für den Strom i(x,t) gültig.
∂ ²i ( x , t )
∂i ( x, t )
∂ ²i ( x, t )
= R ′G ′i ( x, t ) + ( R ′C ′ + L ′G ′)
+ L ′C ′
∂x ²
∂t
∂t ²
(4.2.13)
53
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
4.3 Die Leitungsgleichungen für sinusförmige (harmonische)
Ströme und Spannungen
Es soll nun angenommen werden, dass ein Generator die Leitung mit rein
sinusförmiger Spannung bzw. rein sinusförmigem Strom speist.
Als Lösungsansatz für die Differentialgleichungen 4.2.12 wird ein Produktansatz der
Form u(x,t)= u(x)· u(t) gemacht und speziell für die Zeitabhängigkeit die Form
komplexer Zeiger - wie sie aus der Wechselstromrechnung geläufig sind - gewählt:
u (t ) = Re{uˆe jωt }
(4.3.1)
bzw.
U ( x, t ) = uˆ ⋅ e jωt ⋅ e γx
U ( x ) = e γx
U (t ) = uˆ ⋅ e jωt
mit γ=α+jβ
(4.3.2)
(4.3.3)
(4.3.4)
Die Ableitungen nach t ergeben dann
∂U ( x, t )
= jω ⋅ U ( x , t )
∂t
(4.3.5)
∂ ²U ( x, t )
= ( jω )² ⋅ U ( x, t )
∂t ²
(4.3.6)
damit lassen sich die Differentialgleichungen 4.2.12 und 4.2.13 in komplexer
Schreibweise vereinfachen zu:
∂ ²U ( x, t )
− ( R′ + jω L′)(G ′ + jω C ′)U ( x, t ) = 0
∂x ²
(4.3.7)
∂ ² I ( x, t )
− ( R′ + jω L′)(G ′ + jω C ′) I ( x, t ) = 0
∂x ²
(4.3.8)
Mit
γ = ( R ′ + jωL ′)(G ′ + jωC ′)
(4.3.9)
dem Ausbreitungsmaß, kann eine Lösung für die komplexen Strom- und
Spannungszeiger in der Form
γx
U ( x, t ) =U 1 (t ) ⋅ e +U 2 (t ) ⋅ e
−γ x
(4.3.10)
54
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
γx
I ( x, t ) = I 1 (t ) ⋅ e + I 2 (t ) ⋅ e
=
−γ x
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
(4.3.11)
angegeben werden.
Aus Gleichung 4.2.8 findet man einen Zusammen zwischen Strom und Spannung der
Art:
d U ( x)
= −( R ′ + jωL ′) I ( x)
dx
(4.3.12)
bzw. wenn man 4.3.10 nach x ableitet:
d U ( x, t )
γx
−γ x
= γ U 1 (t ) ⋅ e + γ U 2 (t ) ⋅ e = −( R ′ + jωL ′) I ( x, t )
dx
d U ( x, t )
γx
−γ x
= −( R ′ + jωL ′)( I 1 (t ) ⋅ e + I 2 (t ) ⋅ e )
dx
(4.3.13)
(4.3.14)
daraus folgt für I(x):
I ( x, t ) = −
(G ′ + jωC ′)
(G ′ + jωC ′)
γx
−γ x
U 1 (t ) ⋅ e +
U 2 (t ) ⋅ e
( R ′ + jωL ′)
( R ′ + jωL ′)
(4.3.15)
Die Größe
ZW =
( R′ + jω L′)
(G′ + jωC ′)
(4.3.16)
wird als Wellenwiderstand der Leitung bezeichnet.
Die gefundene Lösung für die Strom- und Spannungszeiger längs der Leitung
γx
U ( x) = U 1 (t ) ⋅ e + U 2 (t ) ⋅ e
I ( x) = −
−γ x
U 1 (t ) γ x U 2 (t ) −γ x
⋅e +
⋅e
ZW
ZW
(4.3.17)
(4.3.18)
beschreibt eine Wellenausbreitung in Richtung der x-Koordinate. Schreibt man die
Zeitabhängigkeit aus ergibt sich z. B. für die Spannung:
U ( x, t ) = uˆ1 ⋅ e
γ x + jωt
+ uˆ2 ⋅ e
− γ x + jω t
(4.3.19)
55
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
− γ x + jωt
Die Funktion e
beschreibt eine in positiver x-Richtung fortschreitende,
gedämpfte Welle. Ist nämlich
γ = α + jβ = α + j
2π
λ
(4.3.20)
mit α dem Dämpfungsmaß und β dem Phasenmaß
dann gilt:
Re{e
− γ x + jωt
} = e −αx ⋅ cos(ωt − βx)
(4.3.21)
(Von den komplexen Leitungsgleichungen muss man in der Realität nur den Realteil in
Betracht ziehen)
λ ist die Wellenlänge, d.h. die Länge längs der Leitung (bei konstanter Zeit), bei der
eine Phasenverschiebung von 2π gemessen werden kann.
γ x + jωt
eine in negativer x-Richtung fortschreitende
Umgekehrt beschreibt die Funktion e
gedämpfte Welle. Die Gesamtlösung für Strom und Spannung auf der Leitung setzt
sich also zusammen aus einer Welle, die auf der Leitung in positiver x-Richtung
fortschreitet ( „hinlaufende Welle“), und einer Welle, die auf der Leitung in negativer
x-Richtung fortschreitet („rücklaufende Welle“).
56
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
4.4 Darstellung von Strom und Spannung durch die Größen am
Leitungsende
L
Zi
Uq
I(x=l) = Io
U(x=L)= Uo
x
Z
U0
Z
l
Es wird eine neue Koordinate l eingeführt, diese beginnt am Leitungsende:
l =L – x
Damit gehen die Leitungsgleichungen über in:
U ( x) = U 1 (t ) ⋅ e
I ( x) = −
γ ( L −l )
+ U 2 (t ) ⋅ e
− γ ( L −l )
U 1 (t )
U (t ) −γ ( L −l )
γ ( L −l )
+ 2 ⋅e
(t ) ⋅ e
ZW
ZW
Für Spannung und Strom am Leitungsende gilt:
Z=
Uo
Io
mit
U (l = 0) = U 1 (t ) ⋅ e
I (l = 0) = −
γL
+ U 2 (t ) ⋅ e
−γ L
= Uo
U 1 (t )
U (t ) −γ L
γL
(t ) ⋅ e + 2 ⋅ e = I o
ZW
ZW
die zweite Gleichung wird mit Zw multipliziert, anschließend werden die beiden
Gleichungen einmal addiert und zum anderen voneinander subtrahiert. Dann folgt:
U 1 (t )e
γL
=
1
(U o − Z w I o)
2
57
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
U 1 (t ) =
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
1
−γ L
(U o − Z w I o)e
2
und
U 2 (t ) =
1
+γ L
(U o + Z w I o)e
2
damit kann man die Leitungsgleichungen im neuen Koordinatensystem schreiben
U (l ) =
1
1
+γ L
−γ L
(U o + Z w I o)e + (U o − Z w I o)e
2
2
I (l ) =
1
1
+γ L
−γ L
(U o + Z w I o)e −
(U o − Z w I o)e
2Z w
2Z w
Werden jeweils die Anteile von Uo und Io mit den Exponentialfunktionen zusammen
gefasst unter Berücksichtigung von
e x − e−x
2
x
e + e−x
cosh x =
2
sinh x =
folgen die Leitungsgleichungen mit Hyperbolikus-Funktionen
U (l ) = U o cosh(γ l ) + Z w I o sinh(γ l )
I (l ) =
Uo
sinh(γ l ) + I o cosh(γ l )
Zw
4.5 Leitungskenngrößen
Betrachtet man eine unendliche lange Leitung so berechnet sich der
Eingangswiderstand ZE aus dem Verhältnis von Spannung und Strom am Eingang der
Leitung:
ZE =
U (l = ∞) U o + Z w I o
=
= Zw
Uo
I (l = ∞)
+ Io
Zw
58
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
Betrachtet man eine endliche Leitung, die mit dem Wellenwiderstand Z w
abgeschlossen ist, so kann man den Wellenwiderstand durch eine unendlich lange
Leitung ersetzen. Insgesamt sieht man am Eingang der Leitung wieder eine unendlich
lange Leitung. Folglich ist der Eingangswiderstand einer Leitung, die mit dem
Wellenwiderstand abgeschlossen ist, der Wellenwiderstand Z w .
ZE =Zw =>
Zw
Allgemein gilt für den Wellenwiderstand:
ZW =
ZW = 4
( R′ + jω L′)
= Z W e jϕ
(G′ + jωC ′)
R ′² + ω ² L ′²
G ′² + ω ² C ′ 2
und den Phasenwinkel
1
2
ϕ = arctan[
ω (G ′L ′ − R ′C ′)
]
R ′G ′ + ω ² L ′C ′
Wellenwiderstand für hohe Frequenzen:
ZW =
R′
+ L ′′
jω
G′
+ C′
jω
mit ω → ∞
Zw =
L′
C′
Dämpfung für hohe Frequenzen:
α=
G ′Z w
R′
+
2
2Z w
Phasenmaß für hohe Frequenzen
β = ω L ′C ′
59
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=
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_çêÇåÉíòÉ=
4.6 Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist identisch mit der
geschwindigkeit:
v Ph =
Phasen-
dx
ω 2π ⋅ f
=± =
λ = f ⋅λ
dt
β
2π
für hohe Frequenzen gilt
v Ph =
ω
= L ′C ′
β
Bei kleinen Frequenzen ist die Phasengeschwindigkeit abhängig von der Frequenz.
Diese Eigenschaft nennt man Dispersion. Die Dispersion bewirkt zum Beispiel, dass
ein Rechteckimpuls, der über eine Leitung übertragen wird und sich im Spektrum aus
vielen Frequenzen zusammensetzt, am Ende der Leitung nicht mehr rechteckförmig
sein muss.
Bei hohen Frequenzen kann die Dispersion vernachlässigt werden.
60
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
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5. Wärmeausbreitung
5.0 Allgemeines zur Wärmeausbreitung
Bei der Entwicklung von neuen elektronischen Bauteilen und Systemen der
Leistungselektronik ist es wünschenswert, vor dem Hardwaretest die Erwärmung von
Bauteilen berechnen zu können. Sowohl die kurzfristige Bauteiltemperatur, wie auch
die sich einstellende Temperatur bei Dauerbetrieb sind von Interesse, weil sie im
direkten Zusammenhang mit der Lebensdauer der Bauteile stehen.
Erwärmt sich z. B. ein konventioneller Siliziumtransistor kurzzeitig über 200°C führt
dies zur sofortigen Zerstörung, weil die Bonddrähte sich vom Chip lösen.
Wird der Transistor bei der maximalen Betriebstemperatur gefahren, erfüllt er seine
Funktion zumindest über die garantierte Lebensdauer zum Beispiel 10000 Stunden
bei 150°C am Silizium.
Will man das Bauteil innerhalb der spezifizierten Grenzen betreiben, muß man jedoch
die Temperaturentwicklung in Abhängigkeit vom elektrischen Strom und der damit
verbundenen Verlustleistung kennen.
Für die Abschätzung der Lebensdauer kommt für den Entwickler oft erschwerend
hinzu, dass viele Bauteile sich in einem Gehäuse befinden und der direkten
Temperaturmessung verschlossen bleiben. Auch hier sind vorab Berechnungen
sinnvoll.
Bei der Lösung von wärmetechnischen Aufgaben stößt man im Allgemeinen auf eine
komplizierte vierdimensionale Raum-Zeit-Differentialgleichung aus der Wärmelehre,
deshalb habe ich eine eigene Methode zur Wärmeberechnung entwickelt.
Diese Methode hat den Vorteil, dass Sie auf Lösungsansätze zurückgreift, die in der
Elektrotechnik bekannt sind.
Weitere Vorteile sind:
- Die Berücksichtigung der Temperaturabhängigkeit von Wärmewiderständen
- Die Einführung von zusätzlichen Strahlungswiderständen
- Die Möglichkeit auch zeitabhängige elektrische Ströme wie zum Beispiel
Anlasserimpulse zu simulieren
In der vorliegen Arbeit werden Wege aufgezeigt, wie man zu vereinfachten
wärmetechnischen Ersatzschaltbildern gelangt.
Für lineares Bauteilverhalten wird der Temperaturverlauf an den Ersatzgrößen mit den
Standardmethoden der Elektrotechnik und der Systemtheorie berechnet.
61
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
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_çêÇåÉíòÉ=
5.1 Wärmeleitung
5.1.1 Die Wärmeleitung im homogenen Material
Mit Hilfe der Vektoranalysis lässt sich die Wärmeleitungsgleichung elegant herleiten.
Ausgangspunkt ist ein skalares Temperaturfeld T(x,y,z,t). Man gelangt zu einem
Vektorfeld indem man den Gradienten von T bildet:
r
− ∇T = f
Abkürzung: ∇ = Gradient
 ∂ 
 
 ∂x 
∂
∇= 
 ∂y 
 ∂ 
 
 ∂z 
Der Temperaturgradient ist ein Vektor der in Richtung der Temperaturabnahme zeigt.
Der Wärmefluss ist ein Vektor der aus der Multiplikation einer Konstanten mit dem
Temperaturgradienten folgt:
r
r
P = λ ⋅ f = λ ⋅ ∇T
(1.1.2.2)
mit λ = Wärmeleitfähigkeit
Die Energiedichte ρ (Energie pro Volumeneinheit) betrage:
ρ = cρ 0 T
(1.1.2.3)
mit c = spezifische Wärme
ρ0= Dichte
Aus der Energieerhaltung folgt mit dem Integralsatz von Gauss:
r r
d
ρ
dV
=
−
P
dA
∫∫
dt ∫∫∫
Ω
∂Ω
Die Änderung der Energiedichte innerhalb eines Volumens ist gleich der Summe der
Ströme durch die Oberfläche des Volumens.
Differenzieren liefert:
r
dρ
= divP
dt
=>
=>
v dρ
divP +
=0
die Quelle des Wärmeflusses ist die Änderung der Energiedichte
dt
∂T
cρ 0
− λ ⋅ divgradT = 0
∂t
62
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=>
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
∂T
λ
−
∆T = 0
∂t cρ 0
mit der Abkürzung divgrad = ∆ = Laplaceoperator
∆=
∂
∂
∂
+ 2 + 2
2
∂x
∂y
∂z
folgt die allgemeine Wärmeleitungsgleichung in Differentialform:
∂T
λ
=
∆T
∂t cρ 0
5.1.1.2 Das Wiedemann-Franzsche Gesetz
Das Wiedemann-Franzsche Gesetz beschreibt den Zusammenhang
elektrischer Leitfähigkeit λel und der Wärmeleitfähigkeit λ w :
λw
= LT
λel
zwischen
(5.1.1.2)
mit L = 2,1 .. 2,9 ·10-8 WΩK-2 (Lorenzzahl)
In Metallen tragen die Ladungsträger zu einem erheblichen Anteil zur
Wärmeleitfähigkeit bei. Wärme wird aber auch von Gitterschwingungen übertragen, so
dass sich im Allgemeinen zwei Effekte überlagern. Die Energie der
Gitterschwingungen wird in Phononen angegeben (analog zu den Photonen als
kleinste Energieeinheiten des Lichtes).
5.1.2 Laufzeiteffekt
Die materiegebundene Wärmeleitung beruht auf der Tatsache, dass Wärme immer nur
von heißer Materie auf kältere Materie geleitet wird. Materiegebundene Wärme
äußert sich in einer unregelmäßigen statistisch verteilten Bewegungsenergie von
Materieteilchen. Die mittlere Energie E eines Teilchens ist dabei direkt proportional
zur mittleren Temperatur T :
E~T
Für ideale Gase gilt für die mittlere Energie pro Freiheitsgrad
E= ½ k T
Mit k = Boltzmannkonstante
63
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
Wichtig zu wissen ist, dass die im Mittel schnelleren (heißeren) Teilchen häufiger auf
kältere (langsamere) treffen als umgekehrt und deshalb die Wärme immer nur von
Materie höherer Temperatur zu Materie niedrigerer Temperatur fließt.
Der thermische Strom wird in Materie durch das statistisch unregelmäßige Anstoßen
von benachbarten Teilchen übertragen. Das ist ein ähnlicher Vorgang wie bei der
Schallausbreitung, bei welcher die Schallenergie durch Anstoßen und Schwingen
benachbarter Teilchen übertragen wird.
Dadurch ist die maximale Wärmeausbreitungsgeschwindigkeit in Materie gegeben.
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer thermischen Schockwelle ist gleich der
Schallgeschwindigkeit cakustisch, die bei einigen hundert bis tausend Metern pro
Sekunde liegt.
Bei großen Entfernungen muss man berücksichtigen, dass die thermische Ausbreitung
eine gewisse Zeitverzögerung (Totzeit) τ bedeutet.
Beispiel: 10m lange Leitung mit cakustisch = 1000m/s
l
X
wenn zum Zeitpunkt t=0 an der Stelle x=0 eine thermische Anregung erfolgt, so
dauert es mindestens
τ = l/cakustisch = 10-2s
bis eine Reaktion am Ende erfolgt.
Man kann also am Ende der Leitung keine Ergebnisse im Bereich unter 10ms
betrachten.
Bei Abmessungen im mm-Bereich (Transistor-Beispiel) sind Berechnungen unterhalb
von 10µs sinnlos!
Diese Grenzbetrachtungen muß man übrigens auch bei elektrischen Schaltungen
berücksichtigen, nur ist hier die Ausbreitungsgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit, so dass man erst bei größeren Abmessungen die Ausbreitungszeit
berücksichtigen muss, was auch zu den bekannten Wellenphänomenen führt.
5.2 Konvektion
Wärmeübertragung durch Konvektion ist jedem von der Heizung im Haushalt bekannt.
Hier wird zum Beispiel warmes Wasser in Heizungsrohren transportiert. Dieser
Wärmetransport funktioniert durch Schwerkraftunterschiede von heißem und kaltem
Wasser in den Rohren. Das heiße Wasser ist von geringerer Dichte und erfährt so
Auftrieb. Das kalte Wasser fällt in der Rückleitung nach unten, es entsteht ein
Konvektionskreislauf.
Der Wärmetransport wird über einen Massetransport bewerkstelligt.
Wird dabei eine Pumpe eingesetzt spricht man auch von erzwungener Konvektion.
64
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
Wie mit Flüssigkeiten kann man auch mit Gasen Konvektionskreisläufe betreiben,
Gerippte Transistorkühlkörper sind oft als Konvektionskühlkörper ausgelegt, die
angegebenen Wärmewiderstandswerte gelten deshalb nur für den Fall, dass Luft frei
durch die Kühlrippen strömen kann.
5.3 Wärmestrahlung
Bei der Wärmestrahlung wird die Energie durch masselose Photonen übertragen. Da
Photonen keine Ruhemasse besitzen funktioniert die Wärmestrahlung auch im
Vakuum (z. B. Weltraum). Die Energie, die dabei von einem Photon übertragen wird,
beträgt:
E = h ⋅ν
mit
und
h = Plancksches Wirkungsquantum
υ = Frequenz
Man kann dem Photon auch eine relativistische Masse m zuordnen, es breitet sich ja
mit der Lichtgeschwindigkeit c aus.
Die Masse des Photons berechnet sich über die Einsteinsche Formel
E = m ⋅ c2
Bei einem schwarzen Körper (ein Körper der seine Wärme 100%ig abstrahlen kann)
mit einer Temperatur T besitzen die abgestrahlten Photonen aber auch im Mittel die
Energie
E = k ⋅T
mit k = Boltzmannkonstante
Die drei genannten Energieformen eines Photons sind dabei nicht nur äquivalent
zueinander. Es kann auch passieren das bei einem Zusammentreffen sehr heißer
Photonen - also aus reiner Strahlung - Materie (Teilchen und Antiteilchen) entsteht.
Die relativistische Masse der beteiligten Photonen muss dabei mindestens der
Ruhemasse des entstehenden Materie-Teilchen- Antiteilchenpaares sein. Ist die
Energie größer, erfahren die entstehenden Teilchen zusätzlich noch eine
Beschleunigung.[2]
Für die leichtesten denkbaren Materieteilchen, nämlich die Elektronen e- und die
Positronen e+, beträgt die Schwellentemperatur allerdings 6 Millarden °C, was auf der
Erde praktisch nicht vorkommt (Ausnahme: Hochenergieteilchenbeschleuniger)
Deshalb werden wir uns mit der „Abkühlung“ durch Materiebildung auch nicht weiter
befassen.
Im Kapitel 3 leite ich allerdings aus der Strahlungsleistung eines schwarzen Körpers
den nichtlinearen Strahlungswiderstand ab, den man dann wiederum in
Ersatzschaltungen einsetzen kann.
65
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
5.4 Lineare Vorgänge und Grundgrößen
5.4.1 Grundgrößen
Bei der Wärmeleitung breiten sich Teilchen (Phononen) statistisch von einem warmen
Bereich (mit energiereicheren Phononen) zu einem kalten Bereich (mit
energieärmeren Phononen) aus. Der Energietransport pro Zeiteinheit ist der
Wärmestrom.
Zwischen Wärmestrom und Wärmefluss gilt der Zusammenhang:
r P
P= r
A
Im eindimensionalen Fall wird aus Glg. (1.1.2.2)
P = − λA
dT
dx
mit λ = Wärmeleitzahl
A = Durchtrittsfläche
(Das Minuszeichen besagt, dass der Wärmefluss in Richtung Temperaturabnahme verläuft – im
Folgenden betrachten wir den Betrag)
Der Wärmestrom P ist proportional zur Durchtrittsfläche A und zum Temperaturgefälle dT/dx.
Näherungsweise kann man ansetzen:
P = λA
∆T
∆T
=
∆x 1 ∆x
λ A
Den Term unter dem Hauptbruchstrich kann man als Wärmewidertstand R bezeichnen:
R=
1 ∆x
λ A
Bei einem Wärmetransport nur in x-Richtung und bei einem Körper mit kleiner Länge l
=∆x gilt dann
R=
1 l
λ A
Für den Wärmeübergang zwischen Gasen und Festkörpern definiert man den
Wärmeübergangswiderstand
Rα =
1
α⋅A
mit
A = Wärmedurchtrittsfläche
α = Wärmeübergangszahl
66
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
Nach Nusselt gilt für die Wärmeübergangszahl α zwischen Festkörpern und Gasen
näherungsweise für Gasgeschwindigkeiten v ≥ 5m/s
α
W / m² K
= 5,8 + 4
v
m/s
Weitere physikalische Grundgrößen:
die Wärmemenge Q in J oder Ws
Q = cm∆T
mit c : Spez. Wärmekapazität (cp bei konst. Druck)
mit m : Masse
mit ∆T: Temperaturdifferenz
die Wärmekapazität C in J/K
C = cm
c = cp oder cv spez. Wärmekapazität
bei konst. Druck p
bei konst. Volumen v
Die Wärmemenge gibt auch die im Kondensator gespeicherte Energie
E = Q = C ⋅ ∆T
67
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
5.4.2 Stationäre Wärmeströme
Nehmen wir einen einfachen rechteckigen Körper, durch den ein Wärmestrom geführt
wird:
l
T2
P
T1
Wenn man die Wärmekapazität außer Betracht lässt und nur einen Wärmetransport in
x-Richtung annimmt (Der Quader nimmt nur an der vorderen Stirnfläche Wärme auf
und gibt nur Wärme an der hinteren Stirnfläche ab), gilt der Zusammenhang:
T1 − T2 = R ⋅ P
∆T = R ⋅ P
Das ist analog zum „Ohmschen Gesetz“ der Elektrotechnik:
∆U = R ⋅ I
Hier
R = elektrischer Widerstand
I = elektrischer Strom
∆U = elektrische Spannung
Mit der Analogie zur elektrischen Gleichstromlehre kann man auf einfache Weise alle
stationären Vorgänge ausrechnen.
Beispiel: Ein Transistor erzeugt einen konstanten Wärmestrom durch die in ihm
entstehende Verlustleistung. Der Wärmestrom wird über eine Kupferplatte und ein
dünnes Isolationsscheibchen an einen Kühlkörper abgegeben:
P
68
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
Daraus ergibt sich das folgende Wärmeersatzschaltbild und analoge elektrische
Ersatzschaltbild.
P=1W
I=1A
RCu = 0,03 K/W
RCu = 0,03Ω
RIsolation = 0,1 K/W
RIsolation = 0,1Ω
∆T ∆U
RKühlkörper = 3 K/W
RKühlkörper = 3Ω
22°C
22V
Nun kann man die Temperaturdifferenz mit Hilfe der Wärmegleichung ausrechnen:
∆T = P (RCu + RIsolation + RKühlkörper ) = 3,13°C
Bei einer Umgebungstemperatur von 22°C (=295K) steigt die Temperatur am
Transistor auf 25,13°C (=298,13K)*. Man hätte die Wärmegrößen aber auch in
elektrische umwandeln können:
Temperaturdifferenz ∆T
Wärmestrom P
Wärmewiderstand R
Umgebungstemperatur TU
->
->
->
->
∆U
I
R
0V
Spannungsdifferenz
elektrischer Strom
elektrischer Widerstand
Massepotential
Aus dem ohmschen Gesetz folgt aus dem el. Ersatzschaltbild:
∆U = I (RCu + RIsolation + RKühlkörper ) = 3,13V
Durch den umgekehrten Analogieschluss
Spannungsdifferenz -> Temperaturdifferenz
∆U = 3,13V -> 3,13°C =∆T
kann man dann zur gesuchten Temperaturdifferenz ∆T gelangen.
Warum dieser Umweg? Bei einfachen Anordnungen ist dies sicherlich nicht
erforderlich. Bei komplizierten Netzwerken kann man jedoch auf die Methoden der
Elektrotechnik zurückgreifen. Insbesondere wenn man auch die Wärmekapazitäten
berücksichtigt und die dadurch entstehende dynamische (zeitabhängige)
Temperaturentwicklung. Man kann dann auch Simulationsprogramme für elektrische
Schaltungen wie z.B. P-Spice einsetzen.
69
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
5.4.3 Transiente Wärmeströme
Kommen wir noch einmal zurück auf den einfachen Quader durch den ein Wärmestrom
fließt
Dem gesamten Quader kann man eine Wärmekapazität C zuordnen, die sich aus
seiner Masse m und der materialabhängigen speziellen Wärmekapazität cp (bei konst.
Druck) berechnet:
C = cp m
Die Wärmekapazität ist mit der Wärmemenge Q über die einfache
Differentialgleichung
C=dQ/dT
verknüpft.
Für einen elektrischen Kondensator gilt analog (hier Q=Ladungsmenge):
C=dQ/dU
oder nach T bzw. U aufgelöst:
T=
1
Pdt
C∫
U=
1
I (t )dt
C∫
für die wärmetechnischen wie elektrischen Kapazitäten greifen also die gleichen
mathematischen Formeln.
Im Ersatzschaltbild für den einfachen Quader liegen R und C parallel:
T1
R
T2
l
T2
P
C
T1
P
Nun ist dies nicht mehr ganz einleuchtend, wenn man bedenkt, dass der Wärmestrom
der von links einfließt zunächst einen Wärmewiderstand überwinden muss, um zur
Masse der rechten Hälfte des Blocks zu gelangen.
Deshalb findet man in der Literatur auch gelegentlich ein T-Glied als Ersatzschaltung:
T1
R/2
R/2
T2
P
T2
70
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
Das ist dann aber auch nicht ganz korrekt, weil der Wärmestrom auf der linken Hälfte
zunächst nur durch einen Widerstand fließt, obwohl eigentlich sofort ein Teil der
Kapazität wirksam ist.
Das Problem der Ersatzschaltung löst sich auf, wenn man einen realen Quader in eine
Vielzahl n von kleinen Quadern zerlegt und für jeden kleinen Quader den Widerstand
und die Kapazität berechnet.
1
2
3
i
Ci
Ri
n
Rn
Cn
Die Reihenschaltung der Widerstände ist trivial. Die Ersatzschaltung der Kapazität ist
etwas schwieriger zu verstehen. Man wird als Elektrotechniker dazu verleitet, die
Bezugselektroden jeweils links und rechts anzuordnen. Für einen Wärmekondensator
existieren aber keine Kondensatorplatten, sondern es zählt allein die Masse des
Scheibchens. Bezugspotential ist die Umgebungstemperatur, deshalb ist jede
Wärmekapazität einseitig an Bezugspotential (Masse) geklemmt.
Die Erwärmung des Quaders durch einen linearen Wärmestrom der von links nach
rechts fließt, lässt sich anschaulich wie folgt erklären:
Zuerst wird sich die Wärmekapazität der ersten Scheibe aufladen, Punkt 2 ist dabei
noch auf Umgebungstemperatur. Deshalb erfolgt die Aufladung wie bei einem RCGlied nach einer e-Funktion, wie weiter unter näher erläutert. Die Temperatur des
ersten Scheibchens nähert sich einem bestimmten Endwert.
Mit zunehmender Temperatur von Scheibchen 1 kann dann allmählich auch
Scheibchen 2 geladen werden usw.
Diese Ersatzschaltung wird in der E-Technik auch Eimerkettenschaltung genannt. Der
Name Eimerkette rührt von der Vorstellung, dass die Ladungen wie bei einer
Eimerkette weitergereicht werden.
71
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
5.4.4 Anwendung der Systemtheorie
An dieser Stelle wird es auch interessant die Systemtheorie für lineare zeitinvariante
Systeme zu betrachten.
Die Systemtheorie bietet den Vorteil, dass man zunächst die physikalischen Einheiten
fallen lässt.
Es ist dann egal, ob man elektrische Spannungen oder Temperaturen oder andere
physikalische Signale betrachtet. Alle Größen sind normiert: Zeiten auf 1s,
Spannungen auf 1V und Temperaturen auf 1K. Man muss nur am Ende der
Berechnungen die Einheiten wieder einführen. Vorteil der Systemtheorie ist es auch,
dass man das Problem im Zeitbereich und in einem transformierten Bereich (z.B.
Frequenzbereich) berechnen kann.
Die Berechnung im transformierten Bereich ist oft einfacher und führt deshalb leichter
zum Ziel.
5.4.4.1 Lösung für RC-Glieder
Beginnen wir die Systembetrachtungen wieder für einen einfachen nur in x-Richtung
leitendes Scheibchen (Strahlung und Konvektion zu den anderen Richtungen seien
vernachlässigt). Dieses zeigt RC-Verhalten.
Die Sprungantwort erhält man durch Lösung des Zeitverlaufs der dargestellten
Wärmeströme und Temperaturdifferenzen.
PR(t)
t=0
P(t)
PC(t)
P0
T(t)
Zum Zeitpunkt t=0 wird der konst. Wärmestrom P0 eingeschaltet:
P(t) = P0 ε(t)
mit ε(t) : Sprungfunktion
P(t)
P0
t
nach der Knotenregel gilt: Die Summe aller Ströme ist gleich Null
P(t) = PR(t) + PC(t)
72
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
dies führt auf die Differentialgleichung
P0 ⋅ ε (t ) =
T (t )
dT (t )
+C
R
dt
die sich mit Hilfe der Laplace Transformation lösen lässt:
P0 ⋅ ε (t ) =
P0 ⋅
T (t )
dT (t )
+C
R
dt
1 T (s)
=
+ C[ sT ( s ) − T (t = 0)]
s
R
T ( s )=
T (s) =
P0
s (1 / R + Cs )
P0 / C
s (1 / RC + s )
T (t ) = P0 R (1 − e − t / RC )
P0R
T(t)
τ
Mit der Zeitkonstanten τ :
τ = RC
Und dem Endwert der Temperatur Tende :
Tende = P0R
73
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
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_çêÇåÉíòÉ=
=
5.4.4.2 Signaltheoretische Lösung RC-Glieder
Die Signaltheorie liefert den Zusammenhang, dass die Stoßantwort die erste
Ableitung der Sprungantwort ist, und zwar auf den Einheitssprung (P0 =1):
h(t ) =
dg ε (t )
dt
5.4.4.2.1
h(t ) =
d ( R (1 − e − t / τ ))
dt
5.4.4.2.2
In unserem Fall also
h(t ) =
R
τ
e −t / τ =
1 −t / τ
e
C
5.4.4.2.3
Die Stoßantwort h(t) ist das, was ein System eindeutig charakterisiert. Kennt man die
Stoßantwort eines Systems, so kennt man automatisch alle Antworten g(t) des
Systems auf beliebige Eingangssignale s(t) über das Faltungsintegral g(t).
Signal s(t)
AntAntwort
h(t)
g(t) Antwort
t
g (t ) =
∫ s(t − x)h( x)dx
5.4.4.2.4
−∞
Die Gleichung 5.4.4.2.4 ist das sogenannte Faltungsintegral, dafür schreibt man
abkürzend
g(t) = s(t) * h(t)
* ist der Faltungsoperator
Wie oben erwähnt bietet die Systemtheorie den Vorteil, dass man das Signalverhalten
auch in einem transformierten Bereich betrachten kann, z.B. im Frequenzbereich.
Zeitbereich
Frequenzbereich
Signal s(t)
h(t)
g(t) Antwort
S(f)
H(f)
G(f)
Signalspektrum Übertragungsfunktion
Antwortspektrum
74
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
Der Zusammenhang zwischen dem Zeitbereich (mit der Variablen t) und dem
Frequenzbereich (mit der Variablen f) ist über die Fourier-Transformation gegeben.
+∞
F {s (t )} =
∫ s(t )e
− j 2πft
dt
−∞
Für eine Vielzahl von Funktionen liegen Transformationen in Tabellenform vor (z.B.
Bronstein Semendjajew).
Es gibt allerdings eine Reihe von Integralen, die sich nicht lösen lassen, weshalb man
dann die komplexe Frequenz s einführt. Anstelle der Fouriertransformation verwendet
man dann die Laplace-Transformation:
∞
L{s (t )} = ∫ s (t )e − st dt
0
mit s=δ-j2πf
Auch für diese Transformationsvariante gibt es eine Vielzahl bereits berechneter
Funktionen.
Heutzutage kann man auch Mathematikprogramme wie Maple oder Mathcad
einsetzen, um die Transformationsintegrale lösen zu können.
Der Vorteil der Betrachtung im Frequenzbereich wird deutlich, wenn man die Antwort
aus Signal- und Übertragungsfunktion berechnet:
G( f ) = S ( f ) ⋅ H ( f )
Im Zeitbereich galt
g(t) = s(t) * h(t)
Der Faltung im Zeitbereich entspricht eine einfache Multiplikation im Frequenzbereich. Dieser Vorteil wird umso deutlicher, wenn mehrere Systeme hintereinander
geschaltet werden:
s1(t)
h1(t) g1(t)
s2(t) h2(t) g2(t)
s3(t) h3(t) g3(t)
S1(f)
H1(f) G1(f) S2(f) H2(f) G2(f) S3(f)
H3(f) G3(f)
Im Zeitbereich müsste man mehrfach die Faltungsintegrale lösen, im Frequenzbereich
erhält man die Gesamtantwort durch mehrfaches Multiplizieren
G ( f ) = S1 ( f ) ⋅ H 1 ( f ) ⋅ H 2 ( f ) ⋅ H 3 ( f )
75
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
Will man die Gesamtantwort im Zeitbereich haben, muss man nur noch einmal die
Rücktransformation durchführen, also die inverse Fourier- oder Laplacetransformation
durchführen:
g (t ) = L−1{G ( s )}
g (t ) = F −1{G ( f )}
bzw.
∞
+∞
g (t ) = ∫ G ( f )e
− j 2πf
g (t ) = ∫ G ( s )e − sf df
df
0
−∞
Für die Rücktransformation löst man entweder die Integrale oder benutzt wiederum
die Transformationstabellen.
Für unseren Quader galt als Stoßantwort:
h(t ) =
1 −t / τ
e
C
In der transformierten Form (τ=RC):
H ( s) =
1 1
C 1
+s
τ
H(s) nennt man auch die Übertragungsfunktion. In unserem Fall gibt die
Übertragungsfunktion den Zusammenhang zwischen Eingangsspannung und
Eingangsstrom wieder. Bei Kurzschluss des Ausgangs ist in unserem Fall der
Ausgangsstrom = Eingangsstrom. Damit ist der Term
1 1
C 1
+s
τ
identisch mit der Kurzschlußkernimpedanz Zk.
Man könnte auch sagen zwischen „Eingangsgröße“ und „Ausganggröße“ ist das
virtuelle Sytem Kurzschlußkernimpedanz Zk.
Zur Zk gelangt man auch, wenn man den komplexen Widerstand des RC-Glieds bei
kurzgeschlossenem Ausgang berechnet und jω durch s substituiert:
R
P(t)
C
T(t)
Zk =
1
1
+ jωC
R
=
1
1
C 1
+ jω
RC
76
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
5.4.5 Vom komplexen Widerstand im Frequenzbereich zur
Sprungantwort im Zeitbereich
Zu einem wärmetechnischen Problem kann man relativ einfach ein Ersatzschaltbild
aus Widerständen und Kapazitäten erstellen. In den meisten Fällen wird eine Seite der
Schaltung auf Umgebungstemperatur liegen, welche im Ersatzschaltbild als
Bezugspotential bzw. Masse erscheint.
Zur Ermittlung des Zeitverlaufs der
Erwärmung ermittelt man zunächst die Übertragungsfunktion der Schaltung.
Die
Übertragungsfunktion
H(jω)
erhält
man
durch
Bildung
der
Kurzschlusskernimpedanz ZK(jω) der Schaltung, das ist der komplexe Widerstand der
Schaltung den man von der Wärmequelle aus betrachtet „sieht“.
P(jω)
ZK(jω) =>
T(jω)
Abb. 5.4.5
Netzwerk
aus
R und C
Technische Ersatzschaltung
P(s)
ZK(s)
T(s)
systemtheoretische Betrachtung
Eine Übertragungsfunktion gibt allgemein das Verhältnis von Ausgang zu Eingang im
Frequenzbereich an:
Übertragungsfunktion =
Ausgangsfunktion
Eingangsfunktion
Für die Kurzschlusskernimpedanz gilt bei unserer Betrachtung
Z K ( jω ) =
T ( jω )
P ( jω )
Damit können wir ZK(jω) als Übertragungsfunktion identifizieren.
Mit Hilfe der Übertragungsfunktion kann man die Zeitantwort des Systems auf jede
beliebige Anregung erhalten unter der Voraussetzung eines linearen Verhaltens
(Linear Time Invariant).
Für die Wärmerechnung wird man in den meisten Fällen ein plötzliches Einschalten
einer Wärmequelle berechnen wollen. In der Sprache der Systemtheorie ist das die
Ermittlung der Sprungantwort ε(t).
Bevor man zur Sprungantwort gelangt ermittelt man zunächst die Stoßantwort δ(t),
weil diese sich aus der inversen Fourier-Transformation der Übertragungsfunktion
berechnen lässt [Lüke]. In vielen Fällen ist es auch sinnvoll, dazu die inverse LaplaceTransformation zu benutzen, weil diese einen größeren Lösungsbereich abdeckt.
(Die Fourier-Transformation ist quasi eine Achse im komplexen Lösungsbereich der
Laplace-Transformation).
Hat man die Stoßantwort, so muss man nur noch einmalig integrieren, denn zwischen
Stoß- und Sprungantwort besteht der allgemeine Zusammenhang:
77
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
ε (t ) = ∫ δ (t )dt
Die prinzipielle Vorgehensweise ist also:
• Berechnung des komplexen Widerstands (Kurzschlusskernimpedanz)
• Substitution der imaginären Frequenz jω durch die Variable s, das ergibt direkt
die Laplace-Transformierte der Übertragungsfunktion [1]
• Bildung der inversen Laplace-Transformation der Übertragungsfunktion ergibt
die Stoßantwort im Zeitbereich
• Integration der Stoßantwort ergibt die Sprungantwort des Wärmestroms
Die Sprungantwort ist das, was letztendlich benötigt wird, weil der Wärmestrom P in
vielen technischen Anwendungen sprungförmig aufgeschaltet wird.
Beim letzten Schritt muss man darauf achten, dass eine Konstante addiert werden
muss. Diese ermittelt man aus dem Wert für t gegen unendlich.
5.4.6 Lösungsbeispiele linearer transienter Vorgänge
5.4.6.1 Temperaturverlauf in einem Warmwasserspeicher
Mit Warmwasser-Solarkollektoren kann besonders umweltfreundlich Energie sparen.
Dabei tritt immer wieder die Frage auf, wie lange man bei gegebener Speichergröße
noch warmes Wasser zur Verfügung hat. Bei großen Anlagen versucht man die
Speicherzeit auch über 6 Monate zu bringen, um die überschüssige Sommersonnenwärme im Winter nutzen zu könne. Es ist dann die Speichergröße und der
Isolationswiderstand zu berechnen, damit man auf eine entsprechende Speicherzeit
kommt.
Ein mit Hartschaum isolierter Wassertank (300l) hat sich über einen Wärmetauscher,
durch den bei Sonnenschein heißes Wasser fließt, am Tage auf 60°C aufgeheizt. Die
Umgebungstemperatur beträgt durchschnittlich 21°C.
Die Abhängigkeit der Temperatur von der Zeit soll ermittelt werden.
Dazu muss zunächst eine Ersatzschaltung aus Wärmewiderständen und –Kapazitäten
aufgestellt werden.
78
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
Kollektor
Isolierter Wasserspeicher
mit Wärmetauscher
RWärmetauscher P(t)
C
TKollektor
Abb. 5.4.6.1.1 Ersatzschaltbild für das Aufladen der Wärmekapazität
P(t)
TR(t)
RIso
1
C
TC(t)
21°C
Abb. 5.4.6.1.2 Ersatzschaltbild für das Entladen der Wärmekapazität C über den Wärmewiderstand
der Isolation RIso
Tagsüber hat sich der Speicher wie ein Kondensator aufgeladen, nachts fließt ein
Entladestrom, die Temperatur sinkt.
In der Elektrotechnik gilt die Regel: Die Summe aller Spannungen in einem
geschlossenem Stromkreis ist gleich Null. In der Wärmetechnik gilt analog:
Die Summe aller Temperaturdifferenzen in einem geschlossenen Wärmekreis ( 1) ist
gleich Null, also
∆TR (t ) − ∆TC (t ) = 0
oder
P(t ) R −
1
P(t )dt = 0
C∫
⇒
P(t ) =
1
P(t )dt = 0
RC ∫
Die Lösung dieser Integralgleichung für den Strom ist:
79
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
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=
−t
P(t ) = P0 ⋅ e RC
mit
P0 =
∆T0
R
Die Lösung für die Temperatur erhält man über das ohmsche Gesetz der Wärmelehre:
∆T (t ) = R ⋅ P(t ) = R ⋅ P0 ⋅ e
∆T (t ) = ∆T0 ⋅ e
−t
RC
−t
RC
Die zahlenwertmäßige Berechnung sei hier mit Maple demonstriert:
> restart;
> with(plots):
> with(plottools):
> To:=60;
Anfangstemperatur des Speichers in °C
To := 60
> Tu:=21;
Umgebungstemperatur in °C
Tu := 21
> Delta:=To-Tu;
Anfangstemperaturdifferenz des Speichers in °C
Delta := 39
> t_Ende:=100; Ende der Zeitskala in Stunden
t_Ende := 100
> H:=1.35;
Höhe des Tanks in m
H := 1.35
> d:=0.62;
mittlerer Durchmesser des Isolationsmantels in m
d := .62
> lambda:=0.03;spez. Wärmeleitfähigkeit des Isolationsmaterials in J/msK
lambda := .03
> m:=300;
Wassermenge in kg
(1l = 1kg)
80
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
m := 300
Wandstärke der Isolation in m
> W:=0.03;
W := .03
> c:=4.18*10^3;
spezifische Wärmekapazität von Wasser in J/kgK
c := 4180.00
> A:=(2*Pi*d*H)+((Pi*d^2)/2); Oberfläche A des Isoaltionsmantels
A := 1.866200000 Pi
Mantelfläche in m²
> evalf(%,5);
5.8629
Wärmewiderstand R der Isolierung in K/W
> R:=(1/lambda)*W/A;
R := .5358482477 /π
> C:=m*c;
Wärmekapazität C in J/K oder Ws/K
C := 1254000
> tau:=R*C:
Zeitkonstante tau; in Sekunden
> evalf(tau,10);
213889.5065
> tau:=tau/3600;
tau in Stunden
tau := 59,4137
> T:=Tu+Delta*exp(-t/tau);
T := 21 + 39 exp(- t / 59,4137)
> plot(T,t=0..t_Ende);
81
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
T/°C
t/h
Man erkennt anhand des Kurvenverlaufs, dass man durchaus über einen Tag hinaus
mit einem gut isolierten 300l-Tank warmes Wasser speichern kann.
(Bei dieser Rechnung ist nicht die Wärmeableitung über die Anschlussrohre
berücksichtigt, in Wahrheit wird die Abkühlung etwas schneller ablaufen.)
Im Zusammenhang mit der Anschaffung einer Warmwasser-Solaranlage wird auch
immer wieder die Frage gestellt, wie viel Energie E man einsparen kann.
Wenn wir obiges Beispiel zu Grunde legen, können wir die Energieersparnis aus dem
Wärmestrom P(t) berechnen:
E = ∫ P(t )dt
∞
−t
E = ∫ P0 ⋅ e RC dt
0
∞
−t


RC
E =  P0 (− RC ) ⋅ e 

0
∞
−t


E = − ∆T0 ⋅ C ⋅ e RC 

0
E = ∆T0 ⋅ C
E = 39 K ⋅ 1254000 J / K
E = 48906000Ws
E = 13,585kWh
Nehmen wir an, dass 1kWh ca. 0,25 Euro kostet und man die gespeicherte Wärme an
100 Tagen im Jahr nutzen kann, so erwirtschaftet die oben genannte Anlage mit dem
300l-Tank jährlich 250 Euro.
Man kann auch sofort erkennen, dass eine um 10K höhere Speichertemperatur
(T=70°C und ∆T0 = 49K) schon ca. 20% mehr Energiegewinn bringen.
(An sonnenarmen Tagen können geringere Energiemengen zum Jahresertrag
beisteuern.)
82
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
5.4.6.2 RRC-Glied
Gegeben ist ein System bestehend aus zwei Widerständen und einem Kondensator:
T1(t)
P(t)
T2(t)
R2
R1
C
T(t)
Der Wärmestrom wird sprungförmig eingeschaltet:
P(t ) = ε (t ) ⋅ P0
Zu berechnen sind die Gesamttemperatur T(t), T1(t) undT2(t)
83
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
Lösung:
Bestimmung der Kurzschlusskernimpedanz:
Z K ( jω ) = R1 +
1
R 2 + jω C
Ersetzen von jω durch s:
Z K ( s ) = R1 +
1
R2 + sC
Z K ( s ) = R1 +
1 1
C 1
+s
mit τ 2 = R2 ⋅ C 2
τ2
H ( s) = Z K (s )
Eingangssignal ist die Sprungfunktion des Wärmestroms:
s (t ) = ε (t ) ⋅P 0 die Laplacetransformierte S ( s ) =
G (s) = S (s) ⋅ H (s) =
P0
s
s (t )
h(t )
g (t )
S (s )
H(s)
G(s)
P0
PR
P /C 1
1 1
[ R1 +
]= 0 1 + 0
1
s
C 1
s
s
+s
+s
τ2
τ2
Die Rücktransformation liefert die Sprungantwort:
−t
τ2
g (t ) = T (t ) = P0 R1ε (t ) + P0 R2 (1 − e )
84
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
5.4.6.3 Fünffach RC-Glied
Lösung mit Maple:
[>
[>
[>
[>
[>
[>
[>
restart;
with(plots);
with(inttrans);
k:=1:
C:=1/5:
R:=1/5:
Yp:= s*C + 1/R;
s
Yp := + 5
5
[> for k to 4 do
Zk := 1/Yp + R:
Yp := 1/Zk + s*C:
[> od:
1
Zk :=
1
1
1
[> Zk:= 1/Yp;
s
+
1
1 5
+
1
s 5
+
1
1 5
+
1
s 5
+
1
1 5
+
s
5
+5
5
Zk = H(s)
+
1
5
+
s
5
[> h5:=invlaplace(Zk, s, t); Berechnung der Stoßantwort aus der inversen
Laplacetransformierten
h5 :=
( _α t )
1 

( _α + 100 ) e
∑


55 

2
3
4
5
 _α = RootOf( 5859375 _Z + 9765625 + 546875 _Z + 17500 _Z + 225 _Z + _Z )

85
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
[> sprung5:=int(h5,t=0..x);
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
Sprungfunktion durch Integration von h5
x
⌠

sprung5 := 



⌡0
( _α t )
1 

( _α + 100 ) e
∑
 dt
55 

2
3
4
5
 _α = RootOf( 5859375 _Z + 9765625 + 546875 _Z + 17500 _Z + 225 _Z + _Z )

[> plotsprung5 := plot(sprung5, x = 0..10, colour=green ):
[> plotsprung1 := plot(1-exp(-x), x = 0..10, colour = red):
[> display({plotsprung1,plotsprung5});
t
86
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
5.4.6.4 Schmelzsicherungen
5.4.6.4.1 Variante 1 Zinn-Messing-Sicherung
Messing
Zinn
Die Sicherung besteht aus einem sich verjüngenden Messing-Blechstreifen von 1,5mm
Dicke. In der Mitte befindet sich ein 2mm * 10mm breiter Zinnstreifen. Übersteigt die
Temperatur die Schmelztemperatur des Zinns (232°C), löst die Sicherung aus.
Der Engpass von 10mm * 10mm *1,5mm hat einen elektr. Widerstand Rel von 50µΩ.
In allererster Näherung nimmt man an, dass die Verlustwärme mittig eingespeist wird
und zu gleichen Teilen links und rechts abfließt.
Für kurze Zeiten kann man annehmen, dass sich die Anschlusslaschen auf
Umgebungstemperatur befinden.
Für die Engstelle kann man jeweils einen Wärmewiderstand und einen
Wärmekondensator für den Wärmestrom nach links und rechts berechnen:
P
P
Tu
Tu
Rl
C
Rr
Zusammengefasst:
P
R
Mit R = 2,22K/W (= Rr/2)
C
und C =0,378J/K
Dieses RC-Glied erwärmt sich nach einer e-Funktion:
−
t
∆T = ∆TEnd ⋅ (1 − e τ )
mit
∆TEnd = P ⋅ R
τ = R ⋅C
87
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
Der Wärmestrom P ist identisch mit der elektrischen Verlustleistung, die sich aus dem
elektr. Strom I und dem elektr. Widerstand Rel berechnet:
P = I ² ⋅ Rel
Fließen zum Beispiel 300A an elektrischem Strom durch die Sicherung entpricht das
einer Verlustleistung von 4,5W. Der Wärmestrom P ist dann ebenfalls 4,5W. Für diesen
Strom kann man dann den Endwert der Temperatur ∆TEnd und die Zeitkonstante τ
berechnen:
K
= 10 K
W
J
K
τ = 0,378 ⋅ 2,22 = 0,84s
K
W
∆TEnd = 4,5W ⋅ 2,22
Die Zeit τ ist die Zeit, nach der die e-Funktion den 1/e-fachen Wert also etwa 63% des
Endwertes erreicht hat.
Diese Sicherung wird sich also bei 300A nach einigen Sekunden um 10K über die
Umgebungstemperatur aufheizen. Ist die Umgebungstemperatur 25°C so wird die
Endtemperatur dann 35°C sein.
Man kann jetzt natürlich auch ausrechnen bei welchem el. Strom der
Temperaturendwert von 232°C erreicht wird. Bei dieser Temperatur wird das Zinn
schmelzen und die Sicherung auslösen.
Bei Tu = 25°C beträgt ∆TEnd = 232°C - 25°C = 207K
Und
P=
∆TEnd
207 K
=
= 93,24W
K
R
2,22
W
Aus Leistung P berechnet man dann den elektrischen Strom
I=
P
= 1363 A
R el
Im Einsatz als PKW-Sicherung löst diese Sicherung erst bei Kurzschlussströmen über
1363A aus.
88
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
5.4.6.4.2 Variante 2:
35
25
14
10
60
Der Sicherungsstreifen besteht aus einem 2mm dicken Messingblech.
Der schmale mittlere Steg mit einer Breite von 3,3mm ist das auslösende Element,
weil es den höchsten elektrischen Widerstand aufweist und damit bei el. Stromfluss
am wärmsten wird.
Steigt die Temperatur über die Schmelztemperatur von 900°C löst die Sicherung aus.
Genau genommen muss man dann noch die Schmelzwärme und die
Verdampfungswärme des Metalls in einem Bereich von 1-2mm in der Mitte
berücksichtigen. Beim Aufschmelzen verringert sich der elektrische Querschnitt, so
dass die letzte Stufe explosionsartig erfolgt und die Zeitspanne im Vergleich zur
gesamten Aufheizzeit vernachlässigbar ist.
Der elektr. Widerstand beträgt Rel = 225µΩ.
Der Wärmewiderstand nach oben genanntem Ersatzschaltbild R = 12K/W
Die Wärmekapazität C = 0,4 J/K
Daraus folgt eine Zeitkonstante τ = 4,8s
Bei 300A gilt für die Temperaturerhöhung ∆TEnd = 243K
Die Berechnung des Stroms, bei dem die Schmelztemperatur von Messing 900°C
erreicht wird, ergibt. I = 569A
89
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
5.4.6.4.3 Vergleich der beiden Sicherungen
Im Kurzeitbereich (<5s ) reagiert Variante 2 träger wegen τ2 > τ1
(Das ist zum Beispiel wichtig für Anlasserimpulse)
Variante 2 löst aus bei Kurzschlussströmen ab 570A
Variante 1 löst aus bei Kurzschlussströmen ab 1370A
Das Auslöseverhalten von Variante 1 ist wegen des niedrigen Schmelzpunktes (232°)
stark abhängig von der Umgebungstemperatur
Variante 2 ist auch als Hochtemperaturbauteil bis 160°C Dauerbetriebs temperatur
einsetzbar, ohne dass sich die Auslösecharakteristik ändert.
5.4.6.5 Die Eigenerwärmung einer elektrischen Leitung in erster
Näherung
In einer elektrischen Leitung entsteht die Erwärmung durch die ohmschen Verluste am
elektrischen Widerstand der Leitung. Die Verlustleistung entsteht homogen an jedem
Punkt der Leitung, die Leitung wird sich Längsrichtung gleichmäßig erwärmen
(T(x)=konst.)
(Dies gilt streng genommen nur für el. Gleichstrom, bei dem Stromverdrängung und
Skineffekt keine Rolle spielen. Da der radiale Wärmewiderstand des metallischen
Leiters jedoch wesentlich kleiner ist, als alle anderen Wärmewiderstände gilt dies
näherungsweise auch für el. Wechselspannung. Das soll heißen, falls durch
Stromverdrängung oder Skineffekt sich der Leiter am äußeren Umfang mehr erwärmt
als im Inneren, dann findet über den im Verhältnis zur Längenausdehnung kleinen
Radius ein schneller Wärmeausgleich statt.)
Betrachtet man z. B. eine 1m lange Kupferleitung und unterteilt diese gedanklich in
100cm, so wird wärmemäßig jeder Zentimeter von der gleichen Verlustleistung - dem
gleichen Wärmestrom - gespeist. Jeder Zentimeter der Leitung wird sich
gleichermaßen erwärmen. Nur an den Leitungsenden könnten Unterschiede auftreten,
diese lassen wir zunächst unberücksichtigt. Die folgenden Betrachtungen gelten also
für eine langen Leitung mit l >>r.
Da sich also jeder Zentimeter der Leitung gleichermaßen erwärmt, kann keine Wärme
in Längsrichtung der Leitung fließen, dazu wäre ja ein Temperaturgefälle erforderlich.
Die Wärme kann nur über die Mantelfläche der Leitung abfließen, dass heißt über
Strahlung oder Konvektion.
90
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
Daraus ergit sich folgendes Ersatzschaltbild:
P
RCu
P
RIso P
RStr
RKon
CCu
Der radiale Wärmewiderstand des Leiterkupfers RCU ist wesentlich kleiner als der
Isolationswiderstand und auch wesentlich kleiner als die anderen Wärmewiderstände
der Leitung, deshalb kann man ihn vernachlässigen.
In erster Näherung kann man die verbleibenden Wärmewiderstände zu einem
konstanten Wärmewiderstand zusammenfassen.
Dann gelangt man wieder zu dem schon bekannten RC-Verhalten.
Bei den verbleibenden Größen ist es egal welche Längeneinheit man betrachtet. Man
kann wegen der Parallelschaltung die gesamte Leitungslänge und die gesamte
Leistung ansetzten oder n-mal einen n-ten beliebigen Bruchteil, es führt immer zum
gleichen Ergebnis:
P0
P0/n
R
n∙R
= n·
CCu
CCu/n
Die Erwärmung erfolgt nach der bekannten Gleichung:
T (t ) = P0 ⋅ R ⋅ e
−t
R⋅C Cu
91
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
4.4.6.6 Die Eingangswärmeimpedanz einer Leitung
4.4.6.6.1 Rekursive Lösung
In vielen Fällen wird eine Leitung von einer Seite von einer Wärmequelle gespeist, zum
Beispiel durch eine Sicherung, eine Glühlampe oder einen Halbleiter. Die Leitung dient dann
als Wärmesumpf. Dabei interessiert dann neben der Eigenerwärmung die eingangsseitige
Wärmeimpedanz für die externe Wärmequelle.
Die Berechnung der Wärmeimpedanz lässt sich leicht nachvollziehen, wenn man die Leitung
gedanklich wieder in kleine Stücke aufteilt z.B.in cm. Jeder Zentimeter besitzt einen radialen
Strahlungswiderstand RStr, einen radialen Wärmewiderstand der Isolation RIso, einen
Wärmewiderstand in Längsrichtung Rl sowie eine Wärmekapazität Cm durch die Masse des
metallischen Leiters. Den radialen Wärmewiderstand des Leiters kann man vernachlässigen,
weil er wesentlich kleiner ist, als alle anderen Wärmewiderstände.
Rl
RIso P
Yp
Cm
RStr
Bei einer 1m langen Leitung hat man also 100 dieser Teilstücke in Reihe zu schalten.
Das Ende der Leitung kann man auf Umgebungstemperatur (Masse) annehmen.
(Wenn die Leitung lang genug ist, ist das exakt so.)
externe Quelle
100.
99. ….
4.
3.
2.
1.
Po
Ze
Die Eingangsimpedanz lässt sich sukzessive berechnen. Riso und Rstr liegen in Reihe
zueinander und parallel zu Cm. Diese drei Elemente haben den komplexen Wärmeleitwert
Yp:
1
1
YP =
+ jωC m bzw. YP =
+ sC
Rstr + Riso
Rstr + Riso
am Leitungsende (1.cm) liegen Rl und YP parallel und ergeben den komplexen
Wärmeleitwert Y1:
92
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
Y1 = Y p +
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
1
Rl
Für den 2. cm liegen Rl und Y1 in Reihe und ergeben Z1:
1
Y1
und dazu liegt wiederum Yp parallel. Der Eingangsleitwert für den 2.cm lautet dann:
Z 1 = Rl +
Y2 = YP +
1
Z1
Für die weiteren Stücke folgt immer wieder die Reihenschaltung von Rl bzw. die
Parallelschaltung von YP. Will man den Eingangsleitwert des dargestellten Beispiels
einer Leitung mit 100 Teilstücken berechnen muss man dies folglich 99mal tun und
einmal am Leitungsende den Widerstand Rl parallel rechnen.
Das wiederum macht man elegant mit einem Programm. Dazu ein
Programmierbeispiel in Maple:
[>
[>
[>
[>
[>
[>
[>
k:=1:
Y1:=Yp+(1/Rl):
komplexer radialer Wärmeleitwert des 1. cm der Leitung
for k to 99 do
Zk:=Rl+(1/%): sukzessive Berechnung der Wärme-Leitungsimpedanz
Yk:=Yp+(1/%):
od:
Ze:=1/Yk:
(Das %-Zeichen bedeutet: Verwende das Ergebnis der letzten Berechnung.)
Diese sieben Programmzeilen reichen also aus, um die eingangsseitige komplexe
Wärmeimpedanz der Leitung zu berechnen.
Um die Temperaturerhöhung am Eingang der Leitung zu bestimmen, geht man wieder
den Weg über die inverse Laplace-Transformation zur Stoßantwort
[> Stoßantwort := invlaplace(Ze,s,t);
und mit einmaligem Integrieren gelangt man zur Sprungantwort:
[> Sprungantwort := int(Stoßantwort, t=0..x);
93
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
5.4.6.5 Transistorkühlung
5.4.6.5.1 Beispiel 1: IPB072N153G auf einem Cu-Board
Ein MOSFET Transistor mit einem Ron von 7,2mΩ wird mit einem konstanten Strom
von 50A betrieben.
Der Transistor ist direkt auf ein Cu-Board gelötet
mit den Abmessungen 2,5cm x 1,5cm x 0,5cm.
Die Wärmeableitung über die Anschlussdrähte wird vernachlässigt.
CSi = 3,5·10-3 J/K
RthJC = 0,5 K/W
RthJA = 21 K/W
CCu = 5 J/K
Lösung mit OrCAD Capture PSpice:
Abb. 5.4.6.5.1.1: Schaltplanansicht in PSpice
Bei der Eingabe in PSPice ist R12 erforderlich, weil der Schalter einen endlich hohen
Widerstand (1M) auch im offenen Zustand hat. Bei den Kapazitäten muss darauf
geachtet werden, dass der Parameter IC (Initial Condition) auf 0V gesetzt wird.
94
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
Das Ergebnis der Temperaturerhöhung erhält man in grafischer Form:
Temperaturerhöhung
am Silizium (Junction)
Temperaturerhöhung
am Gehäuse (Case)
Abb. 5.4.6.5.1.2
: PSpice liefert den Temperaturverlauf als Grafik. Die Einheit V (Volt) entspricht
K (Kelvin). Beispielweise beträgt die Gehäusetemperatur nach zehn Sekunden
35K (plus die Umgebungstemperatur)
95
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
5.5.1 Der Strahlungswiderstand
Kommen wir noch einmal auf das Beispiel der Transistorerwärmung zurück. Ursache
der Erwärmung ist der Ron des Feldeffekttransistors. Im stationären Zustand erwärmt
sich der Transistor auf einen bestimmten Endwert. Im Beispiel waren dies 25,31°C. Bei
der erhöhten Temperatur steigt aber auch der Ron. Bei konstantem elektrischem
Strom steigt dann die Verlustleistung bzw. der Wärmestrom. Mit größer werdendem
Wärmestrom steigt wiederum die Endtemperatur und damit wächst der Ron bis ins
Unendliche.
Wenn der Wärmestrom nicht unterbrochen wird oder ein Wärmewiderstand mit
negativem Temperaturkoeffizienten vorhanden ist, steigt die Temperatur am
Transistor stetig an. In dem aufgeführten Beispiel ist keiner der Widerstände so
geartet, dass er mit steigender Temperatur kleiner wird. Also müsste dies letztendlich
zur unendlichen Temperaturerhöhung bzw. zur Zerstörung des Bauteils führen.
Glücklicherweise existiert in der Realität jedoch der Strahlungswiderstand des
Kühlkörpers, der mit der 3. Potenz der Temperatur abnimmt. Die Definition des
Strahlungswiderstands gelingt über den Ansatz:
Rstr =
∆T
Pstr
Pstr ist die Strahlungsleistung nach dem Planckschen Strahlungsgesetz
Damit gilt für den Strahlungswiderstand Rstr:
R str =
∆T
σA((273°C + ∆T + TU ) 4 − (273°C + TU ) 4 )
mit
∆T = Temperaturdifferenz zur Umgebung in °C
σ
= 5,669 10-8 Wm-2K-4 Strahlungskonstante
eines schwarzen Körpers
A = Strahlungsfläche in m²
TU = Umgebungstemperatur in °C
Mit zunehmender Temperatur sorgt der Strahlungswiderstand dafür, dass ein Teil des
Wärmestroms kurzgeschlossen wird. Das gesamte System kann
sich bei
entsprechender Dimensionierung des Kühlkörpers auf einen festen Endwert einregeln.
96
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
5.5.1.1 Eigenerwärmung einer Leitung unter Berücksichtigung des
Strahlungswiderstands
In einer elektrischen Leitung entsteht die Erwärmung durch die ohmschen Verluste am
elektrischen Widerstand der Leitung. Die Verlustleistung entsteht homogen an jedem
Punkt der Leitung, die Leitung wird sich Längsrichtung gleichmäßig erwärmen
(T(x)=konst.)
(Dies gilt streng genommen nur für el. Gleichstrom, bei dem Stromverdrängung und
Skineffekt keine Rolle spielen. Da der radiale Wärmewiderstand des metallischen
Leiters jedoch wesentlich kleiner ist, als alle anderen Wärmewiderstände gilt dies
näherungsweise auch für el. Wechselspannung. Das soll heißen, falls durch
Stromverdrängung oder Skineffekt sich der Leiter am äußeren Umfang mehr erwärmt
als im Inneren, dann findet über den im Verhältnis zur Längenausdehnung kleinen
Radius ein schneller Wärmeausgleich statt.)
Betrachtet man z. B. eine 1m lange Kupferleitung und unterteilt diese gedanklich in
100cm, so wird wärmemäßig jeder Zentimeter von der gleichen Verlustleistung - dem
gleichen Wärmestrom - gespeist. Jeder Zentimeter der Leitung wird sich
gleichermaßen erwärmen. Nur an den Leitungsenden könnten Unterschiede auftreten,
diese lassen wir zunächst unberücksichtigt. Die folgenden Betrachtungen gelten also
für eine langen Leitung mit l >>r.
Da sich also jeder Zentimeter der Leitung gleichermaßen erwärmt, kann keine Wärme
in Längsrichtung der Leitung fließen, dazu wäre ja ein Temperaturgefälle erforderlich.
Die Wärme kann nur über die Mantelfläche der Leitung abfließen, dass heißt über
Strahlung oder Konvektion.
Daraus ergibt sich folgendes Ersatzschaltbild:
P
RCu
P
RIso P
RStr
RKon
CCu
Der radiale Wärmewiderstand des Leiterkupfers RCU ist wesentlich kleiner als der
Isolationswiderstand und auch wesentlich kleiner als die anderen Wärmewiderstände
der Leitung, deshalb kann man ihn vernachlässigen.
97
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
=
Die Konvektion soll im folgenden zunächst außer Acht gelassen werden. Dann bleibt
wieder ein RC- Esatzschaltbild
P0
RIso P
RStr
CCu
Bei den verbleibenden Größen ist es egal welche Längeneinheit man betrachtet. Man
kann die gesamte Leitungslänge und die gesamte Leistung ansetzten oder einen
beliebigen Bruchteil, es führt immer zum gleichen Ergebnis:
P0/n
P0
nRIso
RIso P
RStr
CCu
nRStr
= n·
P
CCu/n
Am einfachsten ist es, wenn man auf ein Meter Leitungslänge bezieht, dann sind die
Größen beispielsweise für eine 35mm²-Cu-Leitung mit
Wandstärke der Kunststoffisolation
1,5 mm
Außendurchmesser der isolierten Leitung
12 mm
Wärmewiderstand der Kunststoffisolation RIso
= 0,08 K/W
Wärmekapazität der Leitung
CCu
= 93,45 J/K
Der Strahlungswiderstand ist nicht konstant und stark nichtlinear, er wird erst bei
Erreichen eines Temperaturendwertes der Leitung konstant bleiben. Man kann den
Strahlungswiderstand sukzessive berechnen, wenn man die Temperaturdifferenz
kennt. Die kennt man aber nicht, weil man den Strahlungswiderstand anfänglich nicht
kennt. Das scheint zunächst unlösbar, ist es aber nicht:
Wir wissen, dass die Erwärmung exponentiell beginnt, wie in Kap. 2.5 gezeigt
T (t ) = P0 R (1 − e − t / RC )
98
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
Der Beginn der e-Funktion ist eine Gerade mit dem Anstieg, den man aus der ersten
Ableitung zum Zeitpunkt t=0 berechnen kann
T ′(t ) = P0 R
1 −t / RC
e
RC
T ′(t = 0) =
P0
C
bzw.
Die anfängliche Erwärmung ist also unabhängig vom Widerstand im RC-Glied. Hier
wird also die Anfangserwärmung nur von P0 und CCu abhängen und damit kann man
die sukzessive Berechnung starten.
Auf das gleiche Ergebnis kommt man auch durch folgende Überlegung. Für t=0
existiert keine Temperaturdifferenz, folglich ist die abgestrahlte Leistung Null und
folglich entspricht dies einem unendlich hohen Strahlungswiderstand. Damit bleibt im
Ersatzschaltbild nur die Kapazität CCu wirksam. Ein Kondensator lädt sich auf nach der
Integralformel
T (t ) =
1
C Cu
∫ P dt
0
da P0 konstant ist, folgt als Lösung des Integrals
T (t ) =
P0
t
CCu
als Anfangsbedingung.
Es folgt die konkrete Berechnung mit Hilfe eines Maple-Programms für eine 35mm²
Cu-Leitung:
restart;
Materialkonstanten
roCu:=1.7*10^(-8):
cCu:=.3:
lamdaiso:=.5:
a:=0.0015:
sigma:=5.669*10^(-8):
Abmessungen
riso:=0.006:
rCu:=0.003337:
wiso:=0.0015:
lCu:=1:
spez. el. Widerstand von Cu in Ohm Mete
spez. Wärmekapazität von Cu in J/gK
Wärmeleitzahl von Polymer in W/mK
linearer TK des spez. el. Widerstands
Strahlungskonstante eines schwarzen Körpers in
Wm-2K-4
Radius der Leitungsisolation in m
Radius der 35mm² Cu-Leitung (rechnerisch ohne
Litzenfreiräume)
Wandstärke der Isolation 1,5 mm
Länge der Cu-Leitung 1m
99
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
Cu-Querschnitt in m²
Mantelfläche der Leitung
Masse der Cu-Leitung in g
elektrischer Widerstand der Leitung
ACu:=35*10^(-6):
Aiso:=2*3.14*riso*lCu:
mCu:=8.9*lCu*ACu*10^6;
RelCu:=roCu*lCu/ACu;
mCu := 311.5000000
RelCu := 0.0004857142857
CCu:=cCu*mCu;
Riso:=wiso/(lamdaiso*Aiso);
Wärmekapazität der Cu-Leitung in J/K
Wärmewiderstand der Kabelisolierung in radialer
Richtung
CCu := 93.45000000
Riso := 0.07961783439
Tu:=25:
Umgebungstemperatur 25°C
el. Strom in A
Io:= 600:
Tliste:=NULL:
Temperturwertearray initialisieren
Rliste:=NULL:
T:=Tu:
t:=1:
PCu:=Io^2*RelCu;
Elektrische Verlustleistung = Wärmestrom
Deltaeigen:=(PCu/CCu)*t;
Eigenerwärmung nach der ersten Sekunde
T:=Deltaeigen+Tu;
Rstr:=Deltaeigen/(sigma*Aiso*((273 + T)^4-(273+Tu)^4));
Strahlungswiderstand nach dem ersten
Zeitintervall
PCu := 174.8571429
Deltaeigen := 1.871130475
T := 26.87113048
Rstr := 4.381124922
from t to 600 do
PCu:=Io^2*RelCu*(1+a*(T-25)): Verlustleistung mit linearem TK des el.
Widerstands
Deltaeigen:=PCu*Rstr*(1-2.718^(-(t/(Rstr*CCu)))): ΔT
T:=Deltaeigen+Tu;
Rstr:=Deltaeigen/(sigma*Aiso*((273 + T)^4-(273+Tu)^4)):
t:=t+1:
if (t mod 10) = 0 then
alle 10s
Tliste:=(Tliste),T:
Speichern der Temperaturwerte
Rliste:=(Rliste),Rstr: Speichern der Strahlungswiderstandswerte
fi:
od:
i:=1:
100
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
from i to 60 do
print(evalf(Tliste[i],5)):
i:=i+1:
od:
i:=1:
from i to 60 do
print(evalf(Rliste[i],5)):
i:=i+1:
od:
Eigenerwärmung einer 35mm² Cu-Leitung
350
Temperatur in °C
300
250
200
Reihe1
150
100
50
0
1
5
9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
Zeit in 10s
Der Kurvenverlauf ist etwas progressiver als der rein exponentielle Verlauf bei
konstantem Rstr. Als Vergleich dazu die e-Funktion:
101
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
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_çêÇåÉíòÉ=
11. Anhang
11.1. Fehlerrechnung zur Widerstandsmessung eines
Sicherungsstreifens
R=ρ
l
bd
Eine Abweichung ∆R berechnet sich aus der Summe der Abweichung der verschiedenen
Variablen
Der Fehler einer Variablen berechnet sich aus der Steigung (Ableitung) multipliziert mit der
Abweichung der Variablen
∆R
∆d
∆R =
∂R
∂R
∂R
∂R
∆ρ +
∆l +
∆b +
∆d
∂ρ
∂l
∂b
∂d
∆R =
l
ρ
ρl
ρl
∆ρ + ∆l −
∆b −
∆d
A
A
db 2
bd 2
d
Beispiel:
Der spez. Widerstand sei konstant 5,9 10-6Ωcm (Messing).
l=2,5cm, d=0,2cm, b=0,3cm
R beträgt dann 245,8 10-6Ω
In der Fertigung tritt eine Breitenabweichung (∆b) von 1µm auf.
∆b
1
= −245,8 ⋅10−6 Ω
= 0,08µΩ
b
3000
bd
Um diese Abweichung messen zu können, müsste ein Gerät 1/100µΩ messen können
bzw. 0,33 Promille auflösen können.
Beispiel:
∆R = −
ρl
2
∆d = − R
102
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=
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_çêÇåÉíòÉ=
Bei der 275A Generatorsicherung ist der Querschnitt 6,85 mm² +/- 0,125mm².
Der spez. Widerstand der verwendeten Legierung CuZn37 beträgt: 66 * 10-6 Ωmm.
Falls man die Abweichungen im Querschnitt A berücksichtigen will lautet die
Fehlerformel:
∆R =
∂R
ρl
66 ⋅10−6 Ωmm ⋅ 24, 5mm
∆A = −
∆A = −
⋅ ( ±0,125mm 2 ) = m4, 3µΩ
2
2 2
∂A
A
(6, 85mm )
Der Sollwert des inneren Sicherungsstreifens beträgt (l = 24,5mm):
R=
ρ ⋅l
A
=
66 ⋅10−6 Ωmm ⋅ 24, 5mm
6, 85mm 2
= 236 µΩ m 4, 3µΩ
103
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=
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11.2. Materialwerte
1J=0,00234kcal
1kcal= 4186 Joule
Material
Spezifische
Wärmeleitfähigkeit
λ in W/mK
Spezifische
Wärmekapazität
cp in J/gK
Ag
Al
Bernstein
Beton
Blei
Chromstahl
Cu
CuCrZr
Eis
Eisen
Glas
Glaswolle
Graphit
Hartschaum
Holz
Kohle
Konstantan
Lötzinn
Luft trocken
Manganin
Messing
CuZn37
Platin
Polymer
Polymer gefüllt
Porzellan
Silikon
Silizium
421
209
0,91
Wasser
Ziegel
Zinn
0,8…1,3
35,3
20…40
380
320
2,23
80,2
0,7
0,04
0,88
0,13
Spezifischer Dichte
El.
In g/cm3
Widerstand
in Ω cm
1,6 *10-6
2,8 *10-6
2,7
1018
20,8*10-6
11,34
0,3
0,3
1,7 *10-6
8,9
0,48
8,9 *10-6
1013…1014
7,87
20 *10-4
1015…1017
0,035
1,89
40*104
50 *10-6
40
0,034
22
75
0,2
0,41
0,3
0,5
2
0,88
0,88
1
150(bei 300K)
100(bei 400K)
75 (bei 500K)
0,58
0,35 – 0,9
64
0,5
0,7
4,18
0,84
0,25
6,6 *10-6
11 *10-6
108…1014
10-4…1014
3*1014
1
104
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=
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_çêÇåÉíòÉ=
11.3 Tabelle zur Laplacetransformation
105
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=
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_çêÇåÉíòÉ=
106
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=
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107
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råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
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108
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
109
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
110
c~ÅÜÜçÅÜëÅÜìäÉ=açêíãìåÇ==
råáîÉêëáíó=lÑ=^ééäáÉÇ=pÅáÉåÅÉë=
=
mêçÑK=aêKJfåÖK=dK=_~ÄáÉä=
_çêÇåÉíòÉ=
11.4 Literaturverzeichnis
[1]
P.W. Atkins
Physical Chemistry
Oxford Student Edition
[2]
Steven Weinberg
Die ersten drei Minuten
Piper
[3]
H.D. Lüke
Signaltheorie
[4]
A. Einstein
Grundzüge der Relativitätstheorie
Vieweg
[5]
W. Ameling
Laplace-Transformation
Vieweg
[6]
A. Krawietz
Maple V
Springer
[7]
R. Heinemann
PSPICE
Hanser
[8]
C. Kittel
Einführung in die Festkörperphysik
Oldenbourg
[9]
A. Keil, W.A. Merl, E. Vinaricky
Elektrische Kontakte und ihre Werkstoffe,
Springer-Verlag
[10]
H. Kaufmann, UTB Birkhäuser
Grundlagen der organischen Chemie,
Bleifreies Löten, ZVEI, www.zvei.org/bleifrei/Lf-Blei-DE.pdf
[11]
www.Isabellenhuette.de
[12]
www.periodensystem.info
[13]
www.lpm.uni-sb.de/chemie/begleitmaterial/Metallkunde.pdf
111