Vorschau - Netzwerk Lernen

Besondere Linien am Dreieck erkunden
Reihe 42
S1
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
Jahrmarkt bei den Cherokee – besondere Linien am Dreieck
visualisieren und erkunden
Dr. Christina Collet, Mainz
H
C
S
R
O
V
Chaska
Zeichnungen: Ch. Grundmann bzw. hier O. Wetterauer (Karte)
U
A
I/D
Klasse
7
Dauer
8 Stunden
Inhalt
Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden,
Höhen und Seitenhalbierenden am Dreieck;
deren Schnittpunkte; Umkreis; Inkreis
Ihr Plus Handlungsorientierter Unterricht, Schatzsuche mit Geogebra, Beweispuzzle
Mithilfe der besonderen Linien am Dreieck lassen sich praktische Probleme lösen.
Damit beispielsweise ein Tisch mit dreieckiger Tischplatte stabil steht, bringt Chaska
das Tischbein im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden an. Dieser Punkt ist nämlich der
Schwerpunkt der Tischplatte. Lassen Sie die Lernenden seinen jüngeren Geschwistern,
den Indianerkindern Asha und Chayton, bei ihren geometrischen Konstruktionen zur
Vorbereitung eines Jahrmarkts helfen!
Die Unterrichtsreihe verfolgt einen ganzheitlichen Ansatz.
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65 RAAbits Mathematik Dezember 2010
Besondere Linien am Dreieck erkunden
Reihe 42
S2
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
Didaktisch-methodische Hinweise
Das Thema Besondere Linien am Dreieck eignet sich sehr gut zur ganzheitlichen Förderung
der Schülerinnen und Schüler. Geometrische Konstrukte wie Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden, Höhen und Seitenhalbierenden am Dreieck, ihre Schnittpunkte, Umkreis
und Inkreis erschließen sich den Lernenden auf visuellem Wege.
Der Kontext Jahrmarkt bei den Cherokee motiviert die Schülerinnen und Schüler. Die
Vorstellungsübung zu Beginn der Unterrichtseinheit macht die Mittelsenkrechten erfahrbar. Mithilfe eines Modells stellen die Lernenden die Bewegung der drei Freunde auf der
Wiese nach. Bestimmte Linien am Dreieck exakt zu konstruieren, ist eine geistige Leistung. Diese Leistung ist hier eingebunden in einen Kontext aus Erfahren, Entdecken,
Erforschen und Handeln.
U
A
„Der Schüler wartet nicht mit leerem Kopf darauf, mit Wissen gefüllt zu werden.“
I/D
Gerade das Lernen von Mathematik ist ein ganzheitlicher Reifungsprozess von Geist,
Körper und Seele. Sinneswahrnehmungen, Denkleistungen, Bewegungsabläufe und
Gefühle kann man nicht trennen. Richten Sie in Ihrer Schule Lese- und Schreibecken,
Mathe-Labors und Bastelräume ein. Stellen Sie sich immer wieder die Frage, ob Sie der
geistigen, psychischen und körperlichen Vielfalt Ihrer Schülerinnen und Schüler, ihren
Stärken und Schwächen gerecht werden. Überprüfen Sie, wann und wie Sie die verschiedenen Intelligenzbereiche, vernetztes und ganzheitliches Lernen fördern.
H
C
Folgende Schlüsselaussagen zum ganzheitlichen Lernen werden Ihnen dabei helfen:
S
R
• mit Freude und Neugier forschen und entdecken,
• mit allen Sinnen die Welt wahrnehmen und begreifen,
• eigene und konkrete Erfahrungen machen,
• Bewegungsfreiräume schaffen, Raum und Zeit bewegt erfahren,
O
V
• ins Gleichgewicht mit sich und der Umwelt gelangen,
• Konzentration und Entspannung fördern,
• Denkstrukturen entwickeln, hirngerecht und vernetzt lernen,
• Individualität und differenziertes Lernen fördern,
• erziehliche Partnerschaft, Eigen- und Mitverantwortung entwickeln,
• mit Kopf, Herz und Hand lernen.
(Aus: Charmaine Liebertz: Warum ist ganzheitliches Lernen wichtig? WWD 2001, Ausgabe
75, S. 12 – 13)
Aufbau der Reihe
Die Unterrichtsreihe ist in drei Einheiten gegliedert:
– Die Mittelsenkrechten in einer Vorstellungsübung visualisieren und erkunden (M 1 und
M 2); Geschichte zu den Cherokee mit der Konstruktion der Mittelsenkrechten (M 3);
Beweispuzzle (M 4) und Expertenaufgabe zur Konstruktion des Umkreises (M 5)
– Lerntheke: Die Winkelhalbierenden am Dreieck (inklusive Beweispuzzle und Aufgabe
zur Konstruktion des Inkreises, L 1 bis L 4); binnendifferenziertes Material zu den Höhen
am Dreieck (L 5 und L 6) und ein Material zu den Seitenhalbierenden (L 7)
– Schatzsuche mit Geogebra und Google Earth (M 6 bis M 10)
Die Einheiten lassen sich unabhängig voneinander einsetzen und grundsätzlich auch in
verkürzter Form realisieren. Lassen Sie dann die Aufgaben für Experten weg.
65 RAAbits Mathematik Dezember 2010
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Besondere Linien am Dreieck erkunden
Reihe 42
S7
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
Auf einen Blick
Einstieg: Die Mittelsenkrechten
Material
M 1
Thema
Stunde
Die Mittelsenkrechten am Dreieck – eine Vorstellungsübung
1
Individuelle Vorstellungen zu den Mittelsenkrechten am
Dreieck und deren Schnittpunkt entwickeln; die Vorstellungen
und Bilder zu der beschriebenen Situation skizzieren
M 2
Zur Vorstellungsübung: die Mittelsenkrechten erkunden
Die Situation in M 1 in Gruppenarbeit nachstellen
U
A
Material pro Gruppe: 1 Korkplatte, 1 Papierdreieck, 3 Pinnwandnadeln, 1 Gummiring
I/D
Die Mittelsenkrechten am Dreieck mit Zirkel und Lineal
konstruieren
M 3
O si yo! Bodaway da wa’ toi a!
H
C
2 und 3
Jahrmarkt bei den Cherokee – eine Geschichte motiviert zur
Beschäftigung mit den Mittelsenkrechten am Dreieck; den
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten konstruieren
M 4
Ein Beweispuzzle zu den Mittelsenkrechten lösen
S
R
Beweis zum Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
Vorlage zum Beweisen und Beweisschnitzel auf CD-ROM 40
M5
Für Experten: Das Zirkuszelt aufbauen
Den Umkreis konstruieren
O
V
Lerntheke zu den Winkelhalbierenden
Material
L 1
Thema
Stunde
Die Geschwister beraten – die Winkelhalbierenden entdecken
3 und 4
Die Winkelhalbierenden durch Falten eines Dreiecks entdecken
Material: Für alle Schüler Dreiecke bereitlegen
L 2
Darts spielen – die Winkelhalbierende konstruieren
Die Lernenden schneiden Kreise aus und ordnen sie geschickt
so an, dass deren Mittelpunkte auf der Winkelhalbierenden
liegen.
L 3
Für Tüftler – den Inkreis konstruieren
Konstruktion des Inkreises mit Zirkel und Lineal
L 4
Wo schneiden sich die Winkelhalbierenden? –
Ein Beweispuzzle lösen
Beweis zum Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
Vorlage zum Beweisen und Beweisschnitzel auf CD-ROM 40
„Für Experten” kennzeichnet hier schwierigeres Material, das aber inhaltlich für alle Lernenden interessant ist.
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65 RAAbits Mathematik Dezember 2010
Besondere Linien am Dreieck erkunden
Reihe 42
M 1
Verlauf
Material
S1
LEK
Glossar
Lösungen
Die Mittelsenkrechten am Dreieck –
eine Vorstellungsübung
Lesen Sie Ihrer Lerngruppe den folgenden Text vor. Sprechen Sie ruhig und gelassen und
machen Sie genügend Pausen zum Atmen.
Phase 1: Individuelle Vorstellungen aufbauen
U
A
Es ist Winter. Einige Zentimeter Schnee bedecken den Boden. Deine drei Freunde stehen auf
der Mitte der Dreiecksseiten und schauen sich
an. Du siehst sie von oben. Langsam bewegen
sie sich senkrecht zu ihrer jeweiligen Seite nach
vorn. Ihr Gummiband halten sie fest in der Hand
und dehnen es zur Mitte des Dreiecks hin.
H
C
S
R
Von oben kannst du ihre Fußspuren im Schnee
erkennen. Die drei Freunde treffen sich in einem
Punkt. Wo befindet sich dieser Punkt?
I/D
Foto: Pixelio
Stelle dir eine große, ebene Wiese vor. Auf dieser
Wiese hat ein Bauer in einiger Entfernung voneinander drei Pflöcke in den Boden geschlagen.
Sie begrenzen ein allgemeines Dreieck, also ein
Dreieck, das keinerlei Besonderheiten (wie einen
rechten Winkel oder gleich lange Schenkel)
aufweist. Zwischen den Pflöcken sind drei lange
Gummibänder gespannt, die jeweils die Ecken
des Dreiecks miteinander verbinden.
Fußspuren im Schnee
Konzentriere dich noch einen Moment mit geschlossenen Augen auf deine Vorstellung.
Öffne dann deine Augen.
O
V
Phase des Verschriftlichens: Dokumentation der individuellen Vorstellungen
a) Wo befindet sich der Punkt, an dem sich die Fußspuren der drei Freunde treffen? Was
kannst du über die Länge der Gummibänder an diesem Punkt aussagen?
Beschreibe deine Vermutungen und fertige eine Skizze an.
b) Schreibe alle deine Vorstellungen – Bilder und Handlungen –, die du im Verlauf der
Übung hattest, in dein Heft, ohne dabei mit dem Nachbarn zu reden. Hierfür hast du
circa 5 Minuten Zeit.
c) Welche deiner Vorstellungen aus b) waren im Hinblick auf deine Vermutung aus a)
nützlich? Welche waren eher hinderlich?
Phase der Besprechung und Reflexion
Entwickle deine Vorstellungen im Gespräch mit der Gruppe weiter. Berichte von deinen
Eindrücken und Schwierigkeiten. Trage deine Vorstellungen dann im Plenum vor.
Niemand beurteilt dich.
Der Begriff Mittelsenkrechte hilft dir weiter.
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65 RAAbits Mathematik Dezember 2010
Besondere Linien am Dreieck erkunden
Reihe 42
M 3
Verlauf
Material
S4
LEK
Glossar
Lösungen
O si yo! Bodaway da wa’ toi a!
Hohe Arbeitslosigkeit, niedrige Einkommen, Alkoholprobleme und eine Selbstmordrate,
die doppelt so hoch ist wie im übrigen Land – auch im 21. Jahrhundert geht es den Indianern nicht sehr gut. Am besten angepasst an die weißen Eindringlinge hat sich der Stamm
der Cherokee.
Aber Bodaway („der Feuermacher“) kämpft für die Wiederherstellung der indianischen
Identität. Sprache, Kunst und Kultur seines Volkes sollen nicht untergehen!
Nahe der Hauptstadt Tahlequah im
US-Bundesstaat Oklahoma soll es
wieder Bisons geben!
U
A
Die Regierungsbehörde hat zugestimmt,
dem Indianerstamm Weidefläche für
etwa 500 Tiere zu überlassen.
I/D
„Wir machen ein großes Fest!“, sagt
Ananda („die Fröhlichkeit, das Glück“),
seine Frau.
„Wir gründen ein Spielkasino! Büffelzucht ist eine Möglichkeit, Arbeitsplätze
zu schaffen. Aber noch wichtiger ist
der Tourismus“, sagt sein ältester Sohn
Chaska.
H
C
Foto: Pixelio
Heute hat er Grund zum Feiern:
Ein amerikanischer Bison
S
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Doch Chayton („der Falke“), sein jüngerer Sohn, und Asha („die Hoffnung“), seine Tochter,
wünschen sich nichts sehnlicher als einen Jahrmarkt.
„Einen Jahrmarkt?“, fragt Bodaway erstaunt, „so was muss man doch gut planen.“
O
V
Aber Chayton ist schon Feuer und Flamme: „Auch die Leute aus Delaware County und
Mayes County sollen kommen. Eine Schießbude, eine Schiffschaukel, ein Riesenrad, eine
Eisbude und eine Geisterbahn – wir werden ihnen ordentlich was bieten. Um die kulinarische Versorgung kümmert sich Ananda.“
Asha überlegt: „Zwei der nahe gelegenen Indianerdörfer könnten wir tatsächlich mit
einbeziehen. Aber der Ort, wo der Jahrmarkt stattfindet, muss von Tahlequah und den
beiden Dörfern gleich weit entfernt sein.“
Aufgabe
Finde den Ort, der von Tahlequah (T), Dorf A und Dorf B
gleich weit entfernt ist.
|TA| = 12 km, | TB| = 7 km, ) ( ATB) = 60°
1. Fertige zunächst eine Skizze an. Konstruiere den
gesuchten Ort mit Zirkel und Lineal.
Foto: Pixelio
2. Lies Info-Text I 1 zum Thema Die Mittelsenkrechten.
Tipi
65 RAAbits Mathematik Dezember 2010
Anmerkung: „O si yo! Bodaway da wa’ toi a!“ ist Cherokee-Dialekt und
heißt „Hallo! Ich heiße Bodaway!“. (http://www.indianersprachen.de/
kurs4.php)
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Reihe 42
M 4
Verlauf
Material
S5
LEK
Glossar
Lösungen
Ein Beweispuzzle
zu den Mittelsenkrechten lösen
Wir brauchen eine Eisbude, die vom
Darts-Stand (A), der Geisterbahn (B)
und der Schiffschaukel (C)
gleich weit entfernt ist!
Wie wär’s mit dem
Schnittpunkt der
Mittelsenkrechten?
U
A
I/D
H
C
Asha
Chayton
S
R
Aufgabe
Begründe, warum Chayton recht hat. Ordne den Feststellungen die richtige Begründung
zu. Bringe die Feststellungen (mit ihren Begründungen) in die richtige Reihenfolge.
O
V
(F1) Die Mittelsenkrechte der Seite b (mb)
verläuft auch durch M. M hat also von allen
drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen
Abstand.
(B2) Die Mittelsenkrechte der Seite b
(mb) ist Symmetrieachse zu dieser
Seite.
(F3) Die Strecken MB und MC
sind gleich lang.
(B4) Die Mittelsenkrechte der Seite c
(mc) ist Symmetrieachse zu dieser
Seite.
(F5) Die Strecken MA und MB sind
gleich lang.
(B1) MB = MC = MA
(F2) Also sind auch die Strecken
MA und MC gleich lang.
(F4) Die Mittelsenkrechte der Seite a
(ma) und die Mittelsenkrechte der Seite c
(mc) schneiden sich im Punkt M.
(B3) Die Seiten a und c des Dreiecks
sind nicht parallel.
(B5) Die Mittelsenkrechte der Seite a
(ma) ist Symmetrieachse zu dieser Seite.
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Besondere Linien am Dreieck erkunden
Reihe 42
L3
Verlauf
Material
S 10
LEK
Glossar
Lösungen
Für Tüftler – den Inkreis konstruieren
Aufgabe: Köpfchen, Köpfchen ist bei dieser Jahrmarktsbude gefragt!
Chaska und seine Schwester Asha haben sich für die Cherokee eine mathematische Jahrmarktbude ausgedacht. An dieser gibt es dreieckige Holzplatten. Preise gibt es für diejenigen Cherokee, die es schaffen, aus einer dreieckigen Holzplatte den größtmöglichen
Kreis auszusägen.
Bei dieser mathematischen
Jahrmarktbude müssen die
Cherokee richtig knobeln!
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A
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C
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V
Asha
Chaska
Fertig?
Kontrolliere deine
Lösung!
Foto: Pixelio
I/D
Aber du schaffst das mit links!
Mein Tipp: Konstruiere zunächst alle
Winkelhalbierenden des Dreiecks!
Welche Eigenschaften haben die
Punkte auf den Winkelhalbierenden?
Aufgabe
Wie würdest du an das Problem herangehen?
Dokumentiere deine Lösung und dein Vorgehen.
Ein Steinadler kann etwa 5 kg schwer
werden. Dann hat er eine Flügelspannweite von 2,30 m.
Lies Info-Text I 4 zum Thema Der Inkreis.
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Besondere Linien am Dreieck erkunden
Reihe 42
I1
Verlauf
Material
S 15
LEK
Glossar
Lösungen
Die Mittelsenkrechten (Info-Text)
Definition
Die Mittelsenkrechte der Strecke AB steht senkrecht auf der Strecke AB und ist von A und B
gleich weit entfernt.
Alle Punkte, die von A und B den gleichen Abstand haben, liegen auf der Mittelsenkrechten.
U
A
Aufgabe
I/D
Hier siehst du, wie du die Mittelsenkrechten eines Dreiecks und ihren Schnittpunkt mit
Zirkel und Lineal konstruierst. Beschreibe die Konstruktion in deinem Heft und probiere
es dann an einem eigenen Beispiel aus.
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C
c
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d
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e
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Reihe 42
I2
Verlauf
Material
S 16
LEK
Glossar
Lösungen
Die Winkelhalbierenden (Info-Text)
Definition
Die Winkelhalbierende wĮ eines Winkels Į ist die
Symmetrieachse des Winkels.
wα
Die Winkelhalbierende besteht aus allen Punkten,
die von den Schenkeln des Winkels denselben
Abstand haben.
U
A
Aufgabe
I/D
Hier siehst du, wie du die Winkelhalbierende wĮ mit Zirkel und Lineal konstruierst.
Beschreibe die Konstruktion. Fülle den Lückentext aus. Probiere deine Anleitung dann an
einem eigenen Beispiel aus.
H
C
S
R
O
V
Konstruktionsbeschreibung
Zeichne ____________________ um den Scheitelpunkt S des Winkels Į.
Du erhältst zwei _____________________ mit den Schenkeln. Bezeichne diese
_____________________ mit P und Q. Zeichne um ___ und ___ jeweils einen
____________ mit __________________________.
Die beiden ____________________ schneiden sich in S1 und S2. Mit der Geraden
durch ___ und ___ (__________________
_________________________.
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___ zu PQ) erhältst du die
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Reihe 42
Verlauf
I3
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S 17
LEK
Glossar
Lösungen
Der Umkreis (Info-Text)
Der Umkreis
In jedem Dreieck schneiden die Mittelsenkrechten der drei Seiten einander in
einem gemeinsamen Punkt M.
Der Punkt M hat von den drei Eckpunkten
des Dreiecks den gleichen Abstand. Die
drei Eckpunkte des Dreiecks liegen also
auf einem Kreis um M. Der Kreis heißt
Umkreis des Dreiecks.
U
A
Man bezeichnet die Mittelsenkrechten nach der Dreiecksseite, von
der sie Mittelsenkrechte sind. Beispiel:
ma – Mittelsenkrechte der Seite a.
Aufgabe
I/D
H
C
Konstruiere selbst einen Umkreis an einem Dreieck deiner Wahl.
S
R
I4
Der Inkreis (Info-Text)
In jedem Dreieck schneiden die Winkelhalbierenden der drei Innenwinkel einander in
einem gemeinsamen Punkt W.
O
V
Der Punkt W hat von den drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand. Die drei Seiten
des Dreiecks werden daher von einem Kreis um W berührt, dem Inkreis des Dreiecks.
Man bezeichnet die Winkelhalbierende nach dem Winkel, den sie halbiert.
Beispiel: wα – Winkelhalbierende des Winkels α.
Aufgabe
Konstruiere selbst einen Inkreis
an einem Dreieck deiner Wahl.
γ
β
α
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Besondere Linien am Dreieck erkunden
Reihe 42
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
S1
Lösungen und - Tipps zum Einsatz
M 1: Die Mittelsenkrechten am Dreieck – eine Vorstellungsübung
a) Der Punkt, an dem sich die Fußspuren der drei Freunde treffen, ist der Schnittpunkt
M der Mittelsenkrechten. Alle Gummibänder sind an diesem Punkt auf die Länge 2 r
gedehnt (r = |MA| = |MB| = | MC| ), da der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zugleich
Mittelpunkt des Umkreises ist. Dieser Punkt ist von jeder Ecke des Dreiecks gleich weit
entfernt.
b) und c) Individuelle Antworten
U
A
M 2: Zur Vorstellungsübung: die Mittelsenkrechten erkunden
I/D
Für jede Gruppe sollten Sie folgende Materialien bereitstellen:
1 Korkplatte (Pinnwand), 1 Dreieck aus Papier (möglichst nicht stumpfwinklig), 3 Pinnwandnadeln mit dicken Köpfen und 1 leicht dehnbaren Gummiring, den die Schülerinnen
und Schüler jeweils zwischen zwei Pinnwandnadeln spannen.
H
C
Gehen Sie vorab mit Ihren Schülerinnen und Schülern den Arbeitsauftrag durch, sodass
alle wissen, was zu tun ist.
Aufgabe 2
S
R
a) Mittelsenkrechte
b) Die Schneespur ( = Mittelsenkrechte) ist die
Menge aller Punkte, die von den Ecken der
jeweiligen Dreiecksseite gleich weit entfernt
sind.
O
V
c) Der Treffpunkt ist von allen Ecken des
Dreiecks gleich weit entfernt.
Aufgabe 3
a) Man zeichnet mithilfe des Geodreiecks die
Mittelsenkrechten ein (siehe Abb.).
M 3: O si yo! Bodaway da wa’ toi a!
Man verbindet die Punkte T, A und B,
sodass ein Dreieck entsteht, das genau die
angegebenen Maße (Strecken und Winkel)
hat. Anschließend konstruiert man mit
Zirkel und Lineal die Mittelsenkrechten
des Dreiecks. Der Schnittpunkt der
Mittelsenkrechten gibt den Ort an, der von
allen drei Punkten gleich weit entfernt ist.
|TM| = |AM| = |BM|
Um die Lösungen der Schüler möglichst
schnell zu korrigieren, fertigen Sie eine
Lösungsfolie an, die Sie auf die Schülerlösung
legen (Vorlage auf CD-ROM 40).
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