Vorlesung 7

Nr.7 16.06.2016
Die Mittelsenkrechte im
deduktiven Aufbau
Bisher war die Mittelsenkrechte eine Ortslinie
Jetzt wird deduktiv geordnet:
- Definition der Mittelsenkrechte
- Sätze zur Mittelsenkrechten
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Die Mittelsenkrechte im
deduktiven Aufbau
Definition: Zu einer Strecke AB heißt eine Gerade m Mittelsenkrechte,
wenn sie durch die Mitte von AB verläuft und zu AB
orthogonal ist.
Satz MS-a: Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B
liegt, dann hat P von A und von B den gleichen Abstand.
Satz MS-b: Wenn ein Punkt P von zwei Punkten A und B den gleichen
Abstand hat, dann liegt P auf der Mittelsenkrechten m von AB.
In der Schule kein Beweis
Beweisskizze Folie 3-4.
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Die Mittelsenkrechte
Definition: Zu einer Strecke AB heißt eine Gerade m Mittelsenkrechte,
wenn sie durch die Mitte von AB verläuft und zu AB
orthogonal ist.
Satz MS-a: Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B
liegt, dann hat P von A und von B den gleichen Abstand.
Beweis: m ist Symmetrieachse von AB. P liegt auf m (Voraussetzung)
A und B liegen symmetrisch; AP und BP liegen symmetrisch.
P
Symmetrische Strecken sind gleich lang.
Beweismittel:
a) Die MS einer Strecke ist Symmetrieachse der Strecke.
b) Symmetrisch liegende Strecken sind gleich lang.
A
B
m
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Die Mittelsenkrechte
Satz MS-b: Wenn ein Punkt P von zwei Punkten A und B den gleichen
Abstand hat, dann liegt P auf der Mittelsenkrechten m von
A und B.
Beweis mit Kontraposition: Liegt Q nicht auf m, dann AQ≠BQ
QR + RB > QB (Dreiecksungleichung) und RA = RB
Deshalb QR + RA > QB,
Deshalb AQ > BQ.
P
Q
R
Diese Begründung ist nur mit erheblichen formalen
Abstrichen in der Schule zu leisten.
A
B
m
C Umsetzungsbeispiele
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Umkreismittelpunkt
Satz U-1: Wenn U der Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten
des Dreiecks ABC ist, dann hat U von allen drei Ecken A, B, C
denselben Abstand.
C
Beweis: U sei Sch.p. von mc und mb
Da U auf mc liegt, ist AU = BU (a)
Da U auf mb liegt, ist AU = CU (a)
Aus AU = BU und AU = CU folgt
AU = BU = CU.
Welche Sätze werden verwendet ?
a) P auf m → AP = BP
oder / und
b) AP = BP → P auf m
C Umsetzungsbeispiele
mB
U
A
B
mA
„Begründungs- „KommunikationsKompetenz“
Kompetenz“
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Umkreismittelpunkt
Folgerung aus Satz U-1: Zu jedem Dreieck gibt es einen
Kreis, der durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks geht.
C
U
A
B
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Umkreismittelpunkt
Satz U-2: In jedem Dreieck schneiden sich alle drei Mittelsenkrechten in einem gemeinsamen Punkt.
C
Beweis: U sei Sch.p. von mc und mb
Da U auf mc liegt, ist AU = BU (a)
Da U auf mb liegt, ist AU = CU (a)
Daher BU = CU
Daher liegt U auf ma (b)
Welche Sätze werden verwendet ?
a)P auf m → AP = BP
oder / und
b) AP = BP → P auf m
U
A
B
Begründungs- Kommunikationskompetenz
kompetenz
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Begründungsbasis für Kl. 7-8
Satz v.d. Mittelsenkrechten
S.v. Mittelsenkrechten a)
P
s
MS
d
P auf MS → s = d
S.v. Mittelsenkrechten b)
P
s
d
MS
s
s = d → P auf MS
Satz v.d. Winkelhalbierenden
S.v. Winkelhalbierenden a)
s
P
d
P auf WH → s = d
S.v. Winkelhalbierenden b)
s
WH
P
WH
d
s = d → P auf WH
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Inkreismittelpunkt
Satz I-1: Wenn I der Schnittpunkt von zwei Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC ist, dann hat I von allen drei Seiten a, b,
c denselben Abstand.
Folgerung aus Satz I-1: Zu jedem Dreieck gibt es einen Kreis,
der durch alle drei Seiten des Dreiecks berührt.
Satz I-2: In jedem Dreieck schneiden sich alle drei
Winkelhalbierenden in einem gemeinsamen Punkt.
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Begründungsbasis für Kl. 7-8
Scheitelwinkelsatz
Wenn zwei Winkel Scheitelwinkel
sind, dann sind sie gleich weit.
S.v. Nebenwinkel
β
α
α=β
Nebenwinkelsatz
Wenn zwei Winkel Nebenwinkel sind,
dann haben sie zusammen die
Winkelweite 180°.
S.v. Scheitelwinkel
α
β
α + β = 180°
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Begründungsbasis für Kl. 7-8
Satz vom Stufenwinkel a)
Wenn g und h parallel sind, dann
sind Stufenwinkel an g und h gleich
groß.
S.v. Stufenwinkel a)
β
h
g
α
g||h → α = β
S.v. Stufenwinkel b)
Satz vom Stufenwinkel b)
Wenn Stufenwinkel an g und h gleich
groß sind, dann sind g und h parallel.
β
h
g
α
α = β → g||h
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Begründungsbasis für Kl. 7-8
Satz vom Wechselwinkel a)
Wenn g und h parallel sind, dann
sind Wechselwinkel an g und h gleich
groß.
S.v. Wechselwinkel a)
Satz vom Wechselwinkel b)
Wenn Wechselwinkel an g und h
gleich groß sind, dann sind g und h
parallel.
S.v. Wechselwinkel b)
β
h
g
α
g||h → α = β
β
h
g
α
α = β → g||h
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Winkelsumme im Dreieck
Begründungsbasis:
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel
Satz:
Die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck ist 180°.
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Winkelsumme im Dreieck
Wie kommen Schüler auf die Beweisidee?
Berechne alle weiteren Winkel?
30°
50°
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Winkelsumme im Dreieck
Beweis, auch in der Schule:
1) Zeichne g||AB
C
g
α*
γ
β*
2) α* = α; WW a)
3) β* = β; WW a)
α
A
β
B
4) α*+β*+γ=180°
Nebenwinkel
5) α+β+γ=180° ; q.e.d
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Außenwinkel
α*, β*, γ*
heißen Außenwinkel
Es gilt:
1) α* = β+ γ
2) β* = α+ γ
3) γ* = α +β
C
γ
α*
α
A
γ*
β β*
B
4) α*+ β*+ γ* = 360°
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Übung
Beweise: δ2 = 2δ1
Winkelhalbierende
δ2
Winkelhalbierende
δ1
α
β
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Winkelsumme im Vieleck
Winkelsumme im Viereck.
Begründungsbasis wie beim Dreieck:
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel
Oder eine neue Idee?
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