alle 4. Schulaufgaben Klasse 7 - Mathe

Gymnasium
4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7
1.
Vereinfache so weit wie möglich:


3  5
17 
 11
( −17yx + 7y 2 ) − 16xy −  x − 4,8y 2 +
x  −  xy −
x  + 2,2y 2  =
54   4
18 
9


2.
3.
Vereinfache:
a)
1
6
2
4
3
( −b ) ⋅  − ab2  ⋅ ( ab ) =
6
 7
 3
b)
( −3x y ) − ( −13x y ) + 8xy ⋅ ( −5x y ) − 6xy ⋅ ( − x y )
2
3
5
3
5
2
2
2
=
a) Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC aus γ = 90°, c = 5,8 cm und α = 39°.
b) Spiegele das Dreieck ABC an B.
c) Zeichne ein Achsenpaar ein, das dieselbe Abbildung bewirkt.
4.
a) In einem rechtwinkligen Dreieck mit γ = 90° ist β fünfmal so groß wie α.
Berechne α und β
b) In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Winkel 98°50’.
Berechne die beiden anderen Winkel.
c) In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel jeweils um 18° kleiner
als der Winkel an der Spitze. Berechne die drei Winkel.
GM_A0005 **** Lösungen 3 Seiten
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4. Klassenarbeit
Klasse 7
Hinweis: Bei allen Konstruktionen dürfen nur Zirkel und Lineal verwendet werden!
1.
Prüfe, ob die Aussagen wahr (w) oder falsch (f) sind !
a) Jedes Quadrat ist ein Trapez.
c) Jedes Parallelogramm ist eine Raute.
b) Jedes Quadrat ist eine Raute.
d) Jede Raute ist ein Drachenviereck.
2.
Konstruiere die Winkelhalbierende des Winkels β und spiegle an dieser Geraden das
Dreieck ABC !
3.
Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P, der nicht auf g liegt. Konstruiere das Lot
von P auf g und formuliere hierzu eine Konstruktionsanweisung !
GM_A0054 **** Lösungen 3 Seiten
1 (2)
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4.
Drei Wochenendhäuser A, B und C sollen durch einen Brunnen mit Wasser versorgt
werden. Das Bohrloch soll gleich weit von jedem Haus entfernt sein.
Wie weit ist das Bohrloch von den Häusern entfernt ?
( Abstände der Häuser: | AB | = 50 m; | BC | = 80 m; | AC | = 70 m )
5.
Bestimme durch eine Konstruktion alle Punkte, die sowohl von P als auch von g den
Abstand 3 cm haben !
GM_A0054 **** Lösungen 3 Seiten
2 (2)
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4. Klassenarbeit
Klasse 7
Hinweis:
Bei allen Konstruktionen dürfen nur Zirkel und Lineal verwendet werden !
1.
Nenne sechs Beispiele für Symmetrieachsen in Flächen !
2.
Bestimme die Beträge der Winkel
α, γ und δ in der nebenstehenden
Skizze !
(Die Skizze ist nicht maßstabsgerecht !)
3.
Wie groß sind die Außenwinkel eines gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecks?
4.
Konstruiere die Winkelhalbierende
des Winkels γ und spiegle an dieser
Geraden das Dreieck ABC !
5.
Begründe anhand einer Skizze, warum die Summe der Beiträge der Innenwinkel bei
einem Sechs-Eck 720° beträgt !
6.
In einem Garten wurde ein runder Gartenteich angelegt. Drei Kastanienbäume A, B
und C sollen so gepflanzt werden, daß jeder Baum gleich weit von der Teichmitte
entfernt ist. Die Bäume sollen zueinander folgende Abstände haben:
| AB | = 7 m; | BC | = 4 m; | AC | = 5 m.
Wie weit ist die Teichmitte von den Bäumen entfernt ? (Konstruktion !)
GM_A0055 **** Lösungen 2 Seiten
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7
1.
a) Konstruiere das Dreieck ABC aus c = 8 cm, hb = 4,5 cm und hc = 4,8 cm !
(Planfigur und Konstruktionsbeschreibung !)
b) Konstruiere das Viereck ABCD aus a = 4 cm, e = 7 cm, c = 5 cm,
β = 110° und δ = 90°. (Ohne Konstruktionsbeschreibung !)
2.
Löse über der Grundmenge G = Q !
3 ( 2 − 6x ) ≤ 3 ( 3 − 2x ) − 2 ( 5x − 1)
3.
4.
Berechne und vereinfache! (mit geeigneten Zwischenschritten !)
a)
( 8a + 3b )( 3a − 8b ) − ( 6a − 4b )( 4a + 6b − 7 ) =
b)
( 2a − b )( 3b + a )(b + 2a ) =
Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks ist 60 cm. Jeder Schenkel soll
mindestens 7,5 cm länger sein als die Basis.
Welche Länge muss ein Schenkel mindestens haben ?
(Ungleichung aufstellen und lösen !)
GM_A0064 **** Lösungen 2 Seiten
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7
Aufgabe 1:
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen !
a)
5 x + 1 − 3 x + 1 − 2 x + 1 + 9 x + 1 + 15 x + 1 = 3
8
3 4
7 5
5 10
15 16
21 105
b)
0,6(4 + 3x) = 5(0,7 + 0,2x) + 2,5
Die Grundmenge ist dabei jeweils die Menge der negativen, rationalen Zahlen ohne die Null.
Aufgabe 2:
Bestimme die beiden Lösungen der folgenden Gleichung !
1 x 2 − 4 = 3x 2 + 12x + 12
3
3
Aufgabe 3:
Berechne in der nebenstehenden Figur
den markierten Winkel α !
Dabei ist M der Mittelpunkt des angedeuteten
Kreises !
Sämtliche verwendeten Winkel müssen klar
bezeichnet werden; der Lösungsweg muss
nachvollziehbar sein !
Aufgabe 4:
!
Das Dreieck ABC mit A ( 1 / 5 ) , B ( 3 / 3 ) und C ( 4 / 8 ) wird mit dem Verschiebungsvektor v
so verschoben, daß C ’ ( 9 / 7 ) der Bildpunkt von C ist.
a)
Bestimme den Verschiebungsvektor und zeichne Dreieck ABC und Bilddreieck A’B’C’
in ein Koordinatensystem.
b)
Ersetze die Verschiebung durch eine Doppelspiegelung Sa2 " Sa1 . Die Achse a1 soll
dabei durch den Punkt P ( 5 / 7 ) verlaufen.
Aufgabe 5:
Bei einer Drehung seien der Punkt P ( 2 / 1 ) und sein Bildpunkt P ‘ ( 7 / 5 ) vorgegeben.
Konstruiere das Zentrum der Drehung, die P auf P‘ abbildet, für den Drehwinkel ϕ = 110°.
GM_A0083 **** Lösungen 2 Seiten
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7
1.
Zeichne das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A ( - 3 / - 2 ) , B ( 4 / 0 ) und C ( 1 / 4 ) in
ein Koordinatensystem und konstruiere den Umkreismittelpunkt U.
Gib die Koordinaten von U Millimetergenau an.
2.
Konstruiere eine Raute mit der Seitenlänge a = 4 cm und β = 45° .
Gib in Kurzform die Konstruktionsschritte an.
3.
Bestimme in der Grundmenge G = _ die Lösungsmenge L folgender Gleichung:
{
}
5x − 8 = −10 − 7 + 2x − ⎡⎣8 + x − ( −2x + 1) ⎤⎦ + 2x
4.
Ermittle in der Grundmenge der rationalen Zahlen die Lösungsmenge L der
Doppelungleichung
− (4x + 5) < 4x − 7(x + 1) ≤ − (3 + 4x)
Veranschauliche die Lösungsmenge auf der Zahlengeraden und formuliere sie in
der Intervallschreibweise.
GM_A0225 **** Lösungen 2 Seiten
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7
1.
Bestimme jeweils die Lösungsmenge !
(G = _)
a)
3 x − 2 > − 1 (1 − 5x) − 1
8
3
6
2
b)
57 − 5 ⎡⎣ −8x ( 7x + 6 ) − ( −9 − 14x ) ⋅ 4x ⎤⎦ ≤ − ⎡⎣ − ( 5 − 8x ) ⋅ 3 + 6x ⎤⎦ − 84
2.
Frau E. will im Monat August (31 Tage) einen Eisstand mieten. Am See ist die
Standmiete pro Tag um 10 € teurer als im Stadtpark. Pro Portion Eis macht Frau E.
im Stadtpark 2 € Gewinn, am See hingegen macht sie pro Portion 50 Cent weniger
Gewinn.
An Schönwettertagen verkauft sie im Stadtpark 50 Portionen Eis, am See dreimal so
viele. An Schlechtwettertagen verkauft sie im Stadtpark 40 Portionen Eis, am See
dagegen nichts.
Wie viele Schönwettertage müssen im August mindestens sein, damit der Stand am
See mehr Gewinn abwirft als der Stand im Stadtpark ?
3.
Zeichne in ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit C als Spitze ( γ < 90° ) alle Höhen
ein. Die Höhenfußpunkte sind Ha , Hb und Hc . H ist der Schnittpunkt der Höhen.
a) Begründe: Die Ecken des Vierecks CHbHHa liegen auf einem Kreis.
b) Konstruiere den Mittelpunkt M dieses Kreises !
4.
In der Landschaft seiner Modelleisenbahn baut Egon vom Tal auf die Bergspitze
eine Seilbahn und eine Stromleitung. Die benötigten Zahlenwerte findest Du in
untenstehender Skizze.
a) Konstruiere das Dreieck ABC. Fertige dazu einen Konstruktionsplan und die
Konstruktion an.
b) Ermittle die Höhe des Berges durch Messung in Deiner Konstruktion !
GM_A0226 **** Lösungen 3 Seiten
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / (G8)
1.
2.
Ergänze zu einem vollständigen Quadrat !
a)
2,89a2b2 − 6,8ab2 + ______
b)
______ + 11,76x 2 y + 17,64
c)
( −2,6st ______ )
2
= ______ + 16,12s3 t 3 + 9,61s4 t 4
Zerlege soweit wie möglich in Faktoren !
a) a6 − b6
b)
3375x 3 − 512y 3
3.
Berechne: ( 0,19a − 9,1b )
4.
Faktorisiere: 2as + at + 2bs + bt + as + 2at + bs + 2bt
5.
Wie groß sind die Winkel eines gleichschenkligen Trapezes, wenn α − γ = 42° ist ?
6.
Konstruiere ein Parallelogramm ABCD aus e − f = 7 cm , b = 9,5 cm , ) ( e, f ) = 120° !
3
Konstruktionsbeschreibung !
GM_A0348 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0348)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / (G8)
( 2x + 3 )
2
( )
− 2 ⋅ (1 − x ) ⋅ (1 + 2x ) = 8 ⋅ 3 − x ⋅ ( − x − 1,5 ) − ( x + 1) ⋅ 5
2
1.
Berechne x:
2.
a) Fünf Schüler vergleichen ihr wöchentliches Taschengeld und stellen fest, dass sie
zusammen im Durchschnitt 12,00 € bekommen. Wie viel Taschengeld erhält
Charly in der Woche, wenn Anton, Bert, Daniel und Eddie jeweils 15,00 €, 19,00 €,
5,00 € und 12,00 € bekommen ?
b) Die Klassen 8a, 8b und 8c des Siggi-Schlau-Gymnasiums nahmen jeweils mit 33,
28 und 29 Schülerinnen und Schülern am landesweiten Englischtest teil und
erreichten die Durchschnittsnoten 2,60, 4,30 und 2,20 (in dieser Reihenfolge).
Welchen Gesamtdurchschnitt erreichten die Schülerinnen und Schüler dieser drei
Klassen ?
3.
Steinkohle als Energieträger wird in Kraftwerken, in
Stahlwerken und in privaten Haushalten genutzt.
In nebenstehendem Diagramm ist die Verteilung der
durch Steinkohle „erzeugten“ Energie skizziert, also nicht
maßstabsgetreu dargestellt.
a) Wie viel Kilogramm Steinkohle entsprechen 100% ?
b) Stelle den gleichen Sachverhalt in einem
Balkendiagramm dar, in dem der Balken, der die
durch die privaten Haushalte genutzte Energie
veranschaulicht, 3,0 cm lang ist.
4.
5.
Der Absatz der Hobbyzeitschrift „Computermäuse“ hat sich seit dem Erscheinungsjahr
2002 jährlich um (genau) 10% erhöht. Wie hoch war die Anzahl der verkauften
Zeitungen im Erscheinungsjahr, wenn im Jahr 2005 insgesamt 79860 Zeitungen
verkauft wurden ?
a) Konstruiere das Dreieck ABC mit positivem Umlaufsinn mit A ( 0 1) , B ( 3 0 ) ,
α = 90° , β = 45° !
b) Trage nun an ⎡⎣ A 1 P mit A 1 ( 4 5 ) und P ( 9 3 ) die Strecke der Länge c1 = AB an.
Du erhältst die Seite A 1 B 1 des Dreiecks A 1 B 1 C 1 mit negativem Umlaufsinn, für
das gilt: α1 = α ; β1 = β .
Konstruiere das Dreieck A 1 B 1 C 1 !
( 1)
→ B1 und das Bilddreieck A 'B1C' von
c) Konstruiere die Achse a1 so, dass B ⎯⎯⎯
Dreieck ABC bei dieser Achsenspiegelung !
A a
GM_A0591 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0591)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / (G8)
1.
Die beiden Diagramme veranschaulichen das Ergebnis einer Umfrage unter den
Schülerinnen einer 10. Klasse nach der Höhe ihres monatlichen Taschengeldes.
a)
b)
c)
d)
Wie viele Schülerinnen hat die Klasse ?
Wie viele Schülerinnen erhalten mehr als 30 € pro Monat ?
Wie viel Prozent der befragten Schülerinnen erhalten mindestens 30 € pro Monat ?
Wie viel erhält eine Schülerin im Durchschnitt ?
2.
Herr Roth kauft einen Computer für 899 € zuzüglich 19% Mehrwertsteuer. Er bezahlt
bar und erhält deshalb einen Preisnachlass von 3% auf den Endpreis.
Wie viel bezahlt er ?
3.
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig.
Sind die Dreiecke ADC und EBC
kongruent ? Begründung !
Gib gegebenenfalls den entsprechenden
Kongruenzsatz an !
Blatt 2 beachten !
GM_A0592 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0592)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / (G8)
4.
Ein Trapez ist ein Rechteck. Bringe den Satz in die „Wenn – dann – Form“ und schreibe
den Kehrsatz auf. Prüfe die Sätze auf „wahr“ oder „falsch“.
Begründe einen falschen Satz !
5.
Gegeben ist folgende Skizze mit AD = 6 cm .
a) Konstruiere einen 75°-Winkel.
b) Konstruiere damit die gegebene Figur.
c) Berechne die Winkel α und γ . Begründung !
GM_A0592 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0592)
2 (2)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / (G8)
1.
Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen:
a)
2.
(a + 5 ) ⋅ (a − 2)
b)
( 3b + 4 ) ⋅ ( 3b + 4 )
a) Zeichne ein stumpfwinkliges Dreieck ABC (mit dem stumpfen Winkel bei B),
das nicht gleichschenklig ist. Trage α , β , γ ein !
b) Zeichne die Parallele g zu a durch A.
c) Durch Verlängerung der Dreiecksseiten b und c entstehen, zusammen mit der
Parallelen g, sechs Teilwinkel bei A. Bezeichne diese mit α , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 und
α 6 und notiere (mit Stichwort zur Begründung), welcher Teilwinkel mit welchem
Innenwinkel des Dreiecks übereinstimmt !
3.
„Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann besitzt es vier rechte Winkel.“
a) Wie lautet die Umkehrung dieses Satzes ?
b) Ist die Umkehrung wahr ? (kurze Begrünung !)
4.
Zeichne zuerst eine Strecke BC mit [BC] = 9 cm . Konstruiere dazu ein Dreieck mit
α = 90° , c = 5 cm und gib eine Konstruktionsbeschreibung für deine Konstruktion an !
Miss die Länge der Seite b !
5.
Führe in einem Koordinatensystem (1 LE = 1 cm) die folgende Konstruktion durch:
(1) P ( 2 1) , Q ( 8 2,5 ) , R ( 3 4 )
(3) k1 (R; r1 = RQ
)
(5) k1 ∩ k 2 = { T; U }
(7) k 3 (M; r3 = MP
)
(2) g = PQ
(4) k 2 ( Q; r2 = r1 )
(6) TU ∩ RQ = { M }
(8) k 3 ∩ MP = { P; S }
Färbe die Geraden g und RS rot ! Welche Lage haben die beiden Geraden
zueinander ?
6.
In untenstehender Figur ist AE & CD und )EDC = 57° . Markiere diesen Winkel auf
dem Aufgabenblatt und ermittle anschließend auf nachvollziehbarem Weg, wie groß
α = ) BAE ist !
GM_A0593 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0593)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / (G8)
1.
a) Wie viele spitze Innenwinkel besitzt ein spitzwinkliges Dreieck, wie viele stumpfe
ein stumpfwinkliges ? Begründe !
b) Zeichne Beispiele für Stufen- und Wechselwinkel an parallelen Geraden !
2.
In einem Dreieck ABC gilt: α = 110° , a = 0,5 cm . Was kannst du über die anderen
Winkel und Seiten sagen ?
3.
„Wenn in einem Dreieck eine der Seiten zugleich Durchmesser des Umkreises ist, so
ist das Dreieck rechtwinklig.“
a) Wie lautet die Umkehrung des Satzes ?
b) Ist die Umkehrung wahr ?
4.
Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis AB und a = 7 cm ,
β = 70° . Gib eine Konstruktionsbeschreibung an !
5.
Zeichne in einen Kreis (um M) mit Radius r = 3,5 cm eine 5 cm lange Sehne AB !
Wie groß ist der Winkel )AMB ? Wähle einen Punkt C auf dem Kreisbogen von B
nach A. Wie groß ist der Winkel ) ACB ?
6.
In der abgebildeten (nicht unbedingt maßstabsgetreuen) Figur ist ) EDC = 64° und AC II DE .
Wie groß ist β ? (Erkläre deinen Lösungsweg !)
7.
Führe die folgende Konstruktion durch: Platzbedarf: ganze Seite
(1) k1 (M; r1 = 4 cm )
(2) A ∈ k1
(3) AM ∩ k1 = {A; B}
(4) g in A mit ) AB, g = 45°
(
(
)
(5) h in B mit ) h, AB = 45°
(6) g ∩ h = {C}
(7) k 2 ( A; r2 = AB
(8) k 3 (B; r3 = r2 )
)
(9) D ∈ k 2 ∩ AC , sodass C ∈ AD
8.
)
(10) E ∈ k 3 ∩ BC , sodass C ∈ BE
Konstruiere in einem Koordinatensystem (mit 1LE = 1cm ) die Tangenten von P ( 3 1)
(
)
an k M ( 7 8 ) ; r = 3,5 cm . Platzbedarf: 0 ≤ x ≤ 12; 0 ≤ y ≤ 12
GM_A0594 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0594)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / (G8)
Alle Konstruktionslinien müssen erkennbar sein. Zum Konstruieren von Parallelen darf das Geodreieck für Lote
benutzt werden; diese müssen aber als rechte Winkel gekennzeichnet werden.
Lösungen 1 bis 3 auf ein Beiblatt, Lösungen 4 bis 6 auf das Aufgabenblatt,
1.
a) Ein DVD-Player kostete ursprünglich 90 €. Dann wurde sein Preis um 19%
reduziert. Was kostet er jetzt ? (Grundgleichung, Rechnung, Antwortsatz)
b) Ein DVD-Player kostete ursprünglich 90 €. Er wird jetzt für 75 € verkauft.
Um wie viel Prozent war er vorher teurer ?
2.
Für die beiden Dreiecke ABC und A ′B′C′ gilt: a = 5 cm ; c = 7 cm ; γ = 95° und
a′ = 7 cm ; b′ = 5 cm ; α′ = 95° . (Keine Konstruktion, nur Skizzen !)
a) Entscheide, ob die Dreiecke mit diesen Angaben kongruent sein können. Begründe.
b) Warum wäre das Dreieck ABC nicht konstruierbar, wenn a = 7 cm ; c = 5 cm ;
γ = 95° betragen würde ?
3.
Berechne ε . Begründe die Rechenschritte.
4.
Konstruiere einen Winkel der Größe 165°, gib deine Rechenüberlegung an.
Blatt 2 beachten !
GM_A0595 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0595)
1 (2)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / (G8)
5.
Konstruiere die Geraden g 1 und g 2 durch A, die vom Punkt Q den Abstand 1,8 cm
haben. Schließe die Figur zu einem Dreieck ABC mit B ∈ g 1 und C ∈ g 2 und mit
AB = 9 cm , so dass auch BC den Abstand 1,8 cm vom Punkt Q besitzt.
(Konstruktionsbeschreibung !).
6.
Konstruiere ein Dreieck ABC aus Winkel β , Höhe hc und Winkelhalbierender w β .
(Skizze – kein Kongruenzsatz – Konstruktion – Konstruktionsbeschreibung)
GM_A0595 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0595)
2 (2)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
a) Erkläre kurz, wie man den Umkreismittelpunkt und den dazugehörigen Umkreis für
ein Dreieck findet. Welche besondere Eigenschaft hat der Umkreismittelpunkt?
b) Konstruiere die Tangenten durch den Punkt P   7 1 die den Kreis berühren, der
durch die Punkte A   3  2  , B  4 0  und C  0 3  geht.
c) Begründe, ob es auch bei Vierecken einen Umkreis geben kann.
2.
a) Begründe, wie viele geeignete Stücke (Seiten, Innenwinkel, Diagonalen)
mindestens gegeben sein müssen, damit man ein beliebiges Viereck eindeutig
konstruieren kann.
b) Konstruiere ein Parallelogramm ABCD mit den Maßen: CD  c  6 cm ,
AC  e  8 cm und dem Winkel CMD  90 , wobei M der Diagonalenschnittpunkt
ist. Fertige dazu eine Planfigur an, beschreibe deine wesentlichen Konstruktionsschritte.
c) Begründe, welcher weitere Viereckstyp bei Teilaufgabe b entstanden ist.
3.
Über der Seite [AB] des Rechtecks ABCD ist ein Halbkreis gezeichnet.
a) Berechne die Größe des Winkels  .
b) Berechne die Größe des Winkels  .
c) Sind die Geraden BE und MF parallel?
4.
Larissa mischt 0,2 Liter Apfelsaft und 0,3 Liter Wasser zu einer Apfelsaftschorle.
a) Wie viel Prozent der Schorle sind Apfelsaft?
b) Wie viel Liter Apfelsaft braucht Larissa, wenn sie nach obigem Mischungsverhältnis 30 Liter Apfelsaftschorle für ein Schülerfest herstellen will?
c) Larissa verkauft auf dem Schülerfest die gesamten 30 Liter Apfelsaftschorle in
Bechern zu je 0,2 Liter. Ein Becher Schorle kostet 50 Cent. Welchen Betrag nimmt
Larissa ein?
GM_A0596 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0596)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
Warum sind zwei Dreiecke nicht unbedingt kongruent, wenn sie in den folgenden
Stücken übereinstimmen?
a  5 cm ,   35 , c  8 cm
Konstruiere ein solches Dreieck und begründe deine Antwort anhand einer Zeichnung.
2.
Betrachte das nebenstehende
gleichschenklige Dreieck ABC.
Es gilt AC  AB und der
Winkel  sei 30°.
Die Mittelpunkte der Kreislinien
k1 und k 2 sind M und E.
a) Welches Teildreieck ist aufgrund
der eingezeichneten Kreise
rechtwinklig?
b) Welches Teildreieck ist gleichschenklig?
c) Berechne die Winkel 1 und 2 .
3.
Von zwei stumpfwinkligen Dreiecken
sind die folgenden Übereinstimmungen bekannt:
   und AB  EF
Welche zusätzliche Übereinstimmung
ist mindestens erforderlich damit die
Kongruenz gefolgert werden kann?
Es gibt mehrere Möglichkeiten! (nummerieren!)
Gib bei jeder Möglichkeit den Kongruenzsatz (abgekürzt) an, der dabei zutrifft.
4.
Bei jedem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem
Punkt. Um welchen besonderen Punkt handelt es sich?
5.
Im Fahrradgeschäft sind die Preise nach Ostern um 12% erhöht worden. Das Fahrrad,
das Felix kaufen möchte kostet nun 728,-. Welchen Betrag hätte er sparen können,
wenn er das Fahrrad noch vor der Preiserhöhung gekauft hätte?
GM_A0597 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0597)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
Bei der 4. Mathematikschulaufgabe der Klasse 7a ergab sich folgendes Notenbild:
Note
1
2
3
4
5
6
Anzahl
1
5
11
8
4
1
Berechne den Notendurchschnitt.
2.
Michaela kauft sich einen Computer für 800 € zuzüglich 19% Mehrwertsteuer. Da sie
den Computer bar bezahlt, erhält sie 2% Preisnachlass auf den Endpreis.
Berechne, was Michaela für den Computer bezahlen muss.
3.
Fertige von der nachfolgenden Abbildung eine vereinfachte Zeichnung im Maßstab
1 : 4.000 an und bestimme damit die Höhe h des Eiffelturms in Metern.
4.
Es gilt: In jedem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Mittelsenkrechte
der Basis das Dreieck in zwei kongruente Teildreiecke.
Kreuze an, welche der folgenden Argumentationen richtig sind.
Die zwei Teildreiecke sind kongruent, …
… weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Winkeln
übereinstimmen und Dreiecke, die in allen drei Winkeln übereinstimmen, immer
kongruent sind.
… weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Seiten übereinstimmen
und Dreiecke, die in allen drei Seiten übereinstimmen, immer kongruent sind.
… weil man zeigen kann, dass die Flächeninhalte der Teildreiecke gleich groß sind
und Dreiecke, die den gleichen Flächeninhalt besitzen, immer kongruent sind.
… weil die Mittelsenkrechte Symmetrieachse das gleichschenklig-rechtwinkligen
Dreiecks ist.
GM_A0598 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0598)
1 (2)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
5.
Gegeben ist die folgende – nicht maßstabsgetreue – Figur. Berechne die Winkel  , 
und  . (Begründe jeweils kurz deine Vorgehensweise!)
6.
Konstruiere ein Dreieck ABC aus c  7,2 cm , ha  6,4 cm und hb  5,5 cm .
(Planfigur – Konstruktionsplan – Konstruktion)
GM_A0598 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0598)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
Der Flächeninhalt eines Trapezes errechnet sich nach der Formel A  1   a  c   h .
2
Löse die Formel nach c auf.
2.
a) Löse die Gleichung; die Grundmenge ist  .
x  2 1  2  x  7   3  2  3x 
5 5
5
b) Gib einen Term an, mit dem man die Basiswinkel  eines gleichschenkligen
Dreiecks berechnen kann, wenn der Winkel  an seiner Spitze bekannt ist.
3.
Das Dreieck ABC der nebenstehenden
Figur ist gleichschenklig mit AC  BC .
a) Zeige durch Rechnung:   69 .
Argumentiere stichhaltig.
b) Begründe damit, welche weiteren
Strecken in der Figur gleich
lang sind.
4.
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Hypotenuse c und der Kathete a
und gib den Konstruktionsplan an!
Bestimmungsstücke:
siehe Blatt 2 !
GM_A0599 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0599)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
5.
Konstruiere die beiden Tangenten t 1 und t 2 an den Kreis k, die durch den Punkt P
verlaufen. Benenne die beiden Berührpunkte mit T1 und T2 .
Mit welchem geometrischen Satz ist die Konstruktion durchführbar und warum ist dies
der Fall?
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
2.
a) Vereinfache so weit wie möglich:
 3a  b 
b) Faktorisiere so weit wie möglich:
18r s  2r 3  12r 2 s 
2
 3a  2a  3b  
2
a) Bringe die folgende Aussage in die Wenn - Dann - Form und schreibe auch den
Kehrsatz auf:
„Ein Rechteck ABCD hat einen Umkreis“.
b) Beweise oder widerlege jeweils den Satz und den Kehrsatz aus Teilaufgabe a).
3.
Von zwei Dreiecken ABC und DEF ist bekannt:
bf
    42
  53
  85
Nebenstehende Zeichnung
ist nicht maßstäblich!
Zeige, dass die Dreiecke kongruent sind, und gib den Wortlaut des verwendeten
Kongruenzsatzes an.
4.
Berechne die fehlenden Winkel in
der Figur rechts.
Begründe kurz deine Rechnungen.
5.
Fertige für die folgende Konstruktion eine Planfigur und eine
Konstruktionsbeschreibung an:
Konstruiere ein Dreieck ABC aus a  8 cm , h b  6 cm und hc  7 cm
siehe Blatt 2 !
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
6.
Konstruiere denjenigen Punkt P, der von den Geraden g und h gleich weit entfernt und
ebenso von den Punkten A und B gleichweit entfernt ist.
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
Löse die folgende Gleichung über der Grundmenge  :
 24
2

 26 2 : 10  x 2  x  x  x  21
2.
Wie viele Winkel in einem Dreieck
können größer als 90° sein?
Wie heißt ein Dreieck mit einem Winkel,
der größer als 90° ist?
Wie heißt in einem rechtwinkligen
Dreieck die längste Seite?
3.
Konstruiere einen Winkel der Größe 15° und einen Winkel der Größe 225°.
Erkläre jeweils Deine Vorgehensweise.
4.
a) Wie groß ist der Winkel, den je zwei von einer
Würfelecke ausgehende Flächendiagonalen
(siehe Zeichnung) miteinander bilden?
Begründe Dein Ergebnis.
b) Konstruiere das Dreieck ABC.
5.
Von einem Dreieck ist bekannt, dass zwei
Seiten gleich lang sind und ein Winkel die
Größe 110° besitzt.
Berechne nachvollziehbar die anderen Winkel in diesem Dreieck.
6.
Ein Dreieck hat die Maße a  5 cm , c  4 cm und   90 .
a) Ist das Dreieck eindeutig durch die gegebenen Größen bestimmt?
Begründe Deine Entscheidung.
b) Konstruiere das Dreieck (Geodreieck erlaubt).
c) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks nachvollziehbar.
d) Nenne die Voraussetzungen und die Folgerung des Satzes von Thales.
GM_A0601 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0601)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
Untersuche, ob aus folgenden Bestimmungsstücken jeweils ein Dreieck eindeutig
konstruierbar ist. Gib den zugehörigen Kongruenzsatz an.
a) c  6,0 cm ,   125 , a  4,4 cm
b)
2.
c  5,0 cm , a  4,0 cm ,   90
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit Basislänge c  5 cm und   48 .
a) Begründe, warum die Konstruktion eindeutig ist.
b) Gib eine Konstruktionsbeschreibung an.
3.
Sind in einem Viereck zwei Winkel gleich und mindestens 90°, so ist das Viereck ein
Trapez.
a) Begründe durch ein Gegenbeispiel, dass der Satz falsch ist.
b) Gib den Kehrsatz an, und begründe ob dieser wahr oder falsch ist.
4.
Sind in einem Dreieck zwei Winkel mit 57° und 66° gegeben, so ist das Dreieck
gleichschenklig.
a) Ist diese Aussage wahr oder falsch? Begründe!
b) Bilde den Kehrsatz und begründe ob dieser wahr oder falsch ist.
5.
Gegeben ist der Winkel   56 .
Bestimme alle weiteren benannten
Winkel.
Arbeite übersichtlich und
nachvollziehbar.
GM_A0602 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0602)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
6.
Konstruiere einen 150°-Winkel im Punkt A mit erstem Schenkel [AB.
7.
Konstruiere aus den gegebenen Stücken zwei Dreiecke, die zueinander nicht
kongruent sind. Benenne die gegebenen Stücke in deinen Dreiecken.
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
Ich denke mir eine Zahl und verkleinere sie um 15%. Anschließend vergrößere ich die
so erhaltene Zahl um 20% und erhalte 204. Welche Zahl habe ich mir ausgedacht?
2.
Begründe, ob die Aussagen richtig oder falsch sind:
a) Jedes gleichschenklige Dreieck ist gleichseitig.
b) Jedes gleichschenklige Dreieck mit einem 45°- Winkel ist rechtwinklig.
c) Jedes gleichseitige Dreieck ist kongruent zu einem Dreieck mit einem 60°- Winkel.
3.
Gegeben ist die nebenstehende
– nicht maßstabsgetreue – Figur.
Berechne die Winkel  ,  und  .
(Begründe jeweils kurz deine
Vorgehensweise!)
4.
a) Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Hypotenuse  AB mit
AB  10 cm und BC  5 cm .
Planfigur, Konstruktionsplan und Konstruktion!
b) Wie groß ist der Winkel  ? Begründung!
siehe Blatt 2 !
GM_A0603 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0603)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
5.
Konstruiere ein Dreieck ABC mit der Seite b, der Seitenhalbierenden sb und dem
Winkel  .
Erstelle dazu eine Planfigur und trage dort alle gegebenen Größen ein.
Gib eine aussagekräftige Konstruktionsbeschreibung an.
Bestimmungsstücke:
GM_A0603 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0603)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
Faktorisiere so weit wie möglich:
a)
51x 2 y  85x y 3  102 x 2 y 2
b)
28x  4a  2b   7y  2b  4a 
2.
Wenn man bei einem Quadrat alle Seiten um je 6 cm verlängert, so entsteht ein neues
Quadrat, dessen Flächeninhalt um 72 cm² größer ist als der des ursprünglichen
Quadrats. Welche Seitenlänge hat das ursprüngliche Quadrat? (x-Ansatz!)
3.
Ein Würfel hat die Oberfläche 96 cm². Wie lang ist eine Kante des Würfels?
4.
Anwendung der Zinsrechnung
a) Welches Kapital bringt in 9 Monaten bei einem Zinssatz von 3% 81 € Zinsen?
b) Familie Schwarz erbt einen Geldbetrag, auf den sie 4% Zinsen pro Jahr erhält.
Die Jahreszinsen werden dem Kapital zugeschlagen, das sich dadurch auf
5408 € erhöht. Wie hoch war es ursprünglich?
5.
a) Konstruiere ein Dreieck ABC aus: b  9,5 cm ,   70 , hc  6,0 cm
(Planfigur; Konstruktion; Beschreibung)
b) Beschreibe wie du den Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC findest.
(Keine Konstruktion!)
siehe Blatt 2 !
GM_A0604 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0604)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
6.
Zeichne einen Kreis k um M mit Radius 3 cm und wähle einen beliebigen Punkt A mit
MA  7 cm
a) Konstruiere von A die Tangenten an Kreis k. Bezeichne die Berührpunkte mit B 1
und B 2 .
b) Gib den Namen und drei Eigenschaften des Vierecks M B1 A B2 an.
c) Bestimme (durch Ausmessen geeigneter Größen) den Flächeninhalt von Viereck
M B 1 A B2 . Achte auf einen klaren Lösungsweg.
GM_A0604 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0604)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
Weinhändler Gradwohl kauft 150 Flaschen Mosel-Weißwein zum Preis von 450 € beim
Winzer ein. Mit einem Aufschlag von 40% bietet der Weinhändler dann diesen Wein in
seinem Geschäft an.
a) Wie viel kostet eine Flasche Wein im Geschäft?
b) Nach Ostern senkt der Weinhändler seinen Verkaufspreis für eine Flasche Wein
um 25%. Liegt dieser Preis über oder unter dem Einkaufspreis? Berechne!
2.
Markus legt einen Geldbetrag von 2000 € für insgesamt 3 Jahre als Festgeld an.
Erst nach Ablauf dieser 3 Jahre kann er das Geld und die Zinsen abheben. Die Zinsen
werden jeweils am Jahresende dem Kapital gutgeschrieben. Der Zinssatz
in den ersten drei Jahren liegt bei 2,5%.
Entwickle einen Term, mit dem der Geldbetrag nach Ablauf von 3 Jahren berechnet
werden kann. (Die Berechnung des Geldbetrags ist nicht verlangt!)
3.
Das Bild zeigt 2 Würfel mit den
Kantenlängen 3,0 cm. Die drei
eingezeichneten Flächendiagonalen bilden das Dreieck ABC.
Konstruiere das Dreieck ABC in
wahrer Größe!
Welche besondere Eigenschaft
hat dieses Dreieck?
4.
Im abgebildeten Dreieck gilt:
  4   und a  b .
Berechne die Größe des Winkels  .
Achtung!
Die Zeichnung ist nicht
maßstäblich.
5.
Für alle Dreiecke ABC kann man einen Inkreis und einen Umkreis konstruieren.
a) Beschreibe die Eigenschaften des Inkreises.
Gib an, wie man den Mittelpunkt des Inkreises konstruiert.
b) Beschreibe die Eigenschaften des Umkreises.
Gib an, wie man den Mittelpunkt des Umkreises konstruiert.
GM_A1772 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L1772)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
Faktorisiere soweit wie möglich.
169 x 3 y 3 z 2  91x 2 y 2 z  39 y 2 z 
2.
Multipliziere aus und fasse anschließend zusammen.
3a3 b  a2  1 ab  2b2 1 a2  3ab 
3
2
3.
Löse die Gleichung.



2  x  7   19  2  x   7x
4.
Der Geburtstag wird bei uns durch den Tag, den Monat und das Jahr festgelegt.
Verwende für folgenden Term die Variable t als Platzhalter für den Tag, die Variable m
für den Monat und die Variable j für das Jahr.
a) Stelle den Term auf für:
Multipliziere den Tag mit 2 und addiere 8. Multipliziere das Ergebnis mit 200.
Addiere nun den Monat und subtrahiere das Jahr.
b) Berechne den Wert des aufgestellten Terms für eine Person, die am 19. Mai 1980
Geburtstag hat.
5.
Bei einer schulinternen Befragung der Schülerinnen und Schüler aller 7. Klassen wird
untersucht, welches der beiden Schulfächer Mathematik und Englisch beliebter ist.
Von den 140 befragten Jungen und Mädchen bevorzugen 45% Englisch, während
42 Siebtklässler für Mathematik stimmen. Der Rest kann sich nicht entscheiden.
a) Berechne, wie viele Teilnehmer der Befragung
für das Schulfach Englisch stimmten und wie
viel Prozent Mathematik bevorzugten.
b) In einem Kreisdiagramm ist der Anteil der
Unentschlossenen eingetragen.
Berechne, welchen Winkel du für das Fach
Englisch verwenden musst und vervollständige
das Diagramm.
6.
Der Punkt C des Dreiecks ABC liegt auf dem
Halbkreis über der Strecke [AB], M ist der
Mittelpunkt dieser Strecke.
a) Der Winkel  ist um 20% kleiner als der
Winkel  .
Berechne die Größe von  und  .
b) Berechne die Größe des Winkels  ,
wenn   35 groß ist.
Begründe deine Berechnungen.
GM_A1773 **** Lösungen 1 Seite (GM_L1773)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.



b) Löse die Gleichung: 2  3  4x   5  6x  7  8  x   9
2.

a) Vereinfache folgenden Term: 2a 3a  2b2  b  b  4ab   6 a2  b2 
Familie Sperling kauft in einem Tierfachgeschäft einen Papagei. Der Geschäftsinhaber
bekommt für den Vogel 40% mehr, als er selbst für das Tier bezahlt hat. Nach einigen
Monaten muss Familie Sperling in die USA umziehen, und können den Papagei
dorthin nicht mitnehmen. Sie verkaufen ihn an eine andere Familie für 280 €. Dies sind
nur 32% des Betrages, den Familie Sperling für den Papagei bezahlt hat.
Wie hoch war der Kaufpreis im Tierfachgeschäft und zu welchem Preis hat der
Geschäftsinhaber den Papagei eingekauft?
3.
Konstruiere ein Dreieck ABC aus a  6 cm , c  7 cm ,   42 .
(Planfigur, Konstruktion, Konstruktionsbeschreibung, Eindeutigkeit)
4.
Überprüfe, ob ein Dreieck mit folgenden Angaben eindeutig konstruierbar ist.
Begründe deine Antwort.
Angaben
Eindeutig
konstruierbar?
Begründung (z.B. Kongruenzsatz)
c  5 cm; a  4,5 cm;   22
b  4 cm;   76 cm;   105
c  8 cm;   45 ;   60
5.
Die Mathelehrerin notiert sich jede nicht gemachte Hausaufgabe aus der Klasse 7a
und erstellt zum Zwischenzeugnis eine Statistik über die Häufigkeit der vergessenen
Hausaufgaben.
Häufigkeit
0
1
2
3
4
5
Zahl der Schüler in der 7a
1
4
5
10
3
2
a) Berechne, wie oft jeder Schüler im Durchschnitt seine Hausaufgaben vergaß.
b) Wie viel Prozent der Jugendlichen aus der 7a haben ihre Hausaufgaben 2 - mal
vergessen? (Grundgleichung der Prozentrechnung)
c) Stelle die Verteilung in einem Kreisdiagramm (Radius 4cm) dar. Gib deinen
Rechenweg an.
d) Auch für die Klasse 7b gibt es eine ähnliche Statistik:
Häufigkeit
0
1
2
3
4
5
Zahl der Schüler in der 7b
3
6
3
8
4
6
Wie viel Prozent beider Klassen zusammen haben ihre Hausaufgaben mehr als
3 - mal vergessen?
GM_A1774 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1774)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
a) Im Juli 2011 stieg der Preis für eine Feinunze Gold von 1300 Dollar auf 1600
Dollar. Um wie viel Prozent ist die Feinunze Gold damit teurer geworden?
b) Zum 50 - jährigen Firmenjubiläum reduziert ein Elektromarkt Kaffeemaschinen
um 45% auf nunmehr 209 €. Wie viel kosteten die Kaffeemaschinen vor der
Preissenkung?
2.
Das Durchschnittsalter eines Jugend-Musikchors beträgt 14,5 Jahre. Nachdem zwei
13 Jährige und ein 12 Jähriger hinzugekommen sind, ist das Durchschnittsalter auf
14,0 Jahre gesunken. Wie viele Mitglieder hat der Chor jetzt?
3.
Das Dreieck ABC im Bild rechts ist gleichschenklig
mit [AC] = [BC].
Berechne die Winkel 1 und 2 für
36 .
Hinweis: Die Zeichnung ist nicht maßstäblich!
4.
Von einem Dreieck ABC sind die Eckpunkte
A und B, sowie der Mittelpunkt M i des
Inkreises bekannt. Konstruiere das Dreieck ABC.
5.
Manuel blickt von einem Turm aus 35m Höhe
auf einen Baum herab.
Die Baumspitze sieht er unter einem
Winkel von 82° zur Senkrechten,
den Fuß des Baumes unter 60°.
Welche Höhe x hat der Baum?
Zeichne die geometrischen
Verhältnisse möglichst genau im
Maßstab 1:500 und bestimme damit
die Baumhöhe.
Hinweis: Die Skizze ist nicht maßstäblich!
GM_A1775 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L1775)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
a) Gib die Grundgleichung der Prozentrechnung an.
Forme die Grundgleichung so um, dass mit der umgestellten Formel der
Grundwert berechnet werden kann.
b) In einem Autohaus wird am 1. März der Preis für einen Kleinwagen um 8%
gesenkt um mehr Käufer für das Modell zu gewinnen. Nach dieser Aktion
erhöht das Autohaus am 1. Mai den Preis für dieses Modell um 10%.
Nun kostet der Kleinwagen genau 6578 Euro.
Berechne schrittweise den Preis vor dem 1. Mai und vor dem 1. März.
2.
Konstruiere ein Dreieck ABC von dem folgende Stücke bekannt sind:
Seite c  6,0 cm , Winkel   50 , Umkreisradius rU  3,5 cm .
(Planfigur mit gegebenen Stücken, beschriftete Konstruktion)
3.
Die Seite [AB] des Dreiecks ABC ist Durchmesser
eines Kreises mit Mittelpunkt M. Der Punkt C liegt
auf diesem Kreis (vgl. Skizze rechts).
Berechne die Größe der Winkel  ,  und 
wenn   55 .
4.
Zeichne die beiden Punkte P und Q so,
dass gilt: PQ  6,5 cm .
Konstruiere nun eine Gerade g, die den Punkt Q enthält und vom Punkt P den
Abstand 3,0 cm hat. (Konstruktion mit Konstruktionsbeschreibung)
5.
Formuliere in der Wenn - dann - Form:
„Ein Rechteck mit zwei gleich langen Seiten ist ein Quadrat.“
Widerlege diesen Satz (Zeichnung; kurze Begründung in Textform).
6.
Berechne:
a) 75% von
b)
151 von 3 min
51 von 2 kg
34
c) 12% von 1 t
d)

33 1 % von 3 von 2 h
3
4
GM_A1776 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1776)

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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichung.
3  1  2x  74   2  x  8   2  8x  17 
6
3
2.
Ein Rechnungsbetrag wurde nach Abzug von 15% Rabatt mit 340 Euro beglichen.
Wie hoch war der Rechnungsbetrag?
3.
Von einem Dreieck ABC sind gegeben:
Seite a  8 cm , Höhe ha  7 cm , Höhe hb  6 cm .
Konstruiere das Dreieck.
Erstelle dazu eine Planfigur und eine Konstruktionsbeschreibung in Kurzform.
4.
Für nebenstehende Figur gilt   34 .
Berechne die Größen der Winkel  ,  und  .
Begründe jeden Schritt kurz. Gib dabei ggf.
auch das verwendete Dreieck an.
Falls zur Berechnung weitere Winkel
erforderlich sind, so trage diese in die
Zeichnung ein.
5.
Begründe die Richtigkeit folgender Aussage:
In einem gleichseitigen Dreieck hat der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten
von allen drei Seiten den gleichen Abstand.
6.
Auf dem abgebildeten Grundstück wird ein kreisförmiges Gebäude errichtet. Das
Gebäude soll das Grundstück größtmöglich ausnutzen.
Zeichne die notwendigen Strecken im Maßstab 1:1000, konstruiere den Kreis und
bestimme so den maximalen Durchmesser des Gebäudes.
GM_A1777 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1777)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
Der Büroartikelladen in unserer Stadt hat verschiedene Taschenrechner im Angebot.
Zum Schulbeginn verändert der Ladeninhaber seine Preise.
a) Der Schulrechner „Nautilus“ hat vorher 19 € gekostet. Sein Preis wird um 8%
reduziert. Berechne den jetzt gültigen Verkaufspreis.
b) Der Verkaufspreis des Spitzenmodells „Supercalc“ wird von 49 € auf 47,04 €
gesenkt. Um wie viel Prozent ist der Rechner nun billiger?
c) Das Einsteigermodell „Mathegenie“ kostete vorher 14 € und ist nun für 12 € zu
haben. Um wie viel Prozent war der Rechner vorher teurer?
d) Formuliere zu der folgenden Gleichung eine Textaufgabe mit Fragestellung, die die
Preisänderung eines Bürorechners beschreibt:
 x  0,13  x   0,15   x  0,13  x   89
2.
Gegeben ist im Dreieck ABC der Winkel
  120 (vgl. Abb. rechts). Die Punkte B,
C, D und E liegen auf einer gemeinsamen
Geraden.
Berechne schrittweise die restlichen
angegebenen Winkel.
Begründe kurz die einzelnen Rechenschritte.
3.
Gegeben sind folgende Stücke eines Dreiecks ABC:
Seite b  6 cm , Seite c  7 cm , Winkel   56 .
 Skizziere eine Planfigur und trage alle gegebenen Stücke ein,
 Fertige einen vollständigen Konstruktionsplan an,
 Konstruiere das Dreieck ABC,
 Formuliere den Kongruenzsatz in Worten, der die Eindeutigkeit des Dreiecks ABC
beschreibt.
 Für welche Länge der Seite [AB]  c existiert kein Dreieck ABC, wenn die Länge der
Dreiecksseite b und der Winkel  unverändert bleiben?
4.
Herr Moosheimer, Verkaufsleiter der Firma
„Mega-XL“, muss vor der Geschäftsleitung
die Umsätze der Firma im ersten Halbjahr
präsentieren.
Das rechts abgebildete Diagramm hat Herr
Moosheimer dafür vorbereitet.
a) Beschreibe, welchen falschen Eindruck
das Diagramm auf den ersten Blick
vermitteln könnte.
Mio. EURO
25
20
15
10
Jan
Feb März April
Mai
Juni
b) Erstelle ein neues Diagramm, das die Entwicklung der Umsätze der Firma
„Mega-XL“ realistisch darstellt. Benutze einen geeigneten Maßstab.
GM_A1778 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L1778)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungen. Grundmenge ist  .
a)
5  x  2   18  13x  4  3  x 
b)
2  5 x  3 x  0,5   1 1 3  1,5x

 3 8
3  8
4

c)
6  5x  4   3 10x  2   10
d)
5x  12  7x  9  7
6
15


2.
Katharina ist vier Jahre jünger als ihre Schwester Elisabeth. In 6 Jahren sind beide
zusammen 34 Jahre alt. Wie alt ist Katharina heute?
3.
Von vier Zahlen ist die zweite um 6 größer als die erste und halb so groß wie die dritte.
Die vierte Zahl ist so groß wie die erste und die zweite zusammen.
Wie heißen diese vier Zahlen, wenn deren Summe 138 ist?
4.
Absolute und relative Häufigkeit
Bei Einführung des G8 in Bayern hat der Mathematiklehrer einer 7. Klasse die
Mathematiknoten des Zwischenzeugnisses den Noten im Jahreszeugnis gegenübergestellt. Die beiden nachfolgenden Diagramme zeigen den Sachverhalt.
a) Bestimme aus den Diagrammen die jeweilige Durchschnittsnote der Klasse.
b) Beurteile die Leistung im ersten Halbjahr (bis zum Zwischenzeugnis) und die
Ergebnisse im Jahreszeugnis. Ist eine Verbesserung oder eine Verschlechterung
im Fach Mathematik eingetreten? Begründe deine Aussage kurz.
5.
Konstruiere ein Dreieck ABC mit den angegebenen Größen:
Seitenlänge a, Seitenlänge c, Höhe ha .
Skizziere dazu eine Planfigur (gegebene Größen farbig einzeichnen und beschriften).
Erstelle eine Konstruktionsbeschreibung.
GM_A1779 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L1779)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
In nebenstehender Zeichnung sind die
Geraden g und h zueinander parallel.
Berechne die Maße der Winkel  ,  ,  und  .
2.
Konstruiere ein Drachenviereck ABCD
mit der Diagonalen BD als Symmetrieachse und AC  5 cm,   60 ,   90 .
Skizziere auch eine Planfigur.
Eine Konstruktionsbeschreibung ist
nicht verlangt.
Welche besondere Eigenschaft hat das
Dreieck ABC? Begründe genau!
3.
Zerlege folgende Figuren in jeweils vier zueinander kongruente Teilfiguren.
4.
Kreuze an: W = Wahr, F = Falsch.
Begründe deine Antwort, bzw. gib ein Beispiel an.
5.
a)
Es gibt Dreiecke, die gleichschenklig und zugleich rechtwinklig sind.
b)
Es gibt Dreiecke, die gleichseitig und zugleich rechtwinklig sind.
c)
Man kann jedes rechtwinklige Dreieck in zwei gleichschenklige
Dreiecke zerlegen.
d)
Man kann jedes gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige
Dreiecke zerlegen.
e)
Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und dem Umkreisradius
übereinstimmen, sind kongruent.
In nebenstehender Figur ist AB  AC .
Berechne die Winkel  , 1 und  2 .
Notiere deine Überlegungen klar und
nachvollziehbar.
Hinweis: Die Skizze ist nicht maßstäblich!
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
6.
Von einem Dreieck ABC sind gegeben:
Seite c  6 cm , Winkelhalbierende w a  5 cm , Winkel   50 .


7.
Erstelle eine Planfigur und eine Konstruktionsbeschreibung.
Konstruiere das Dreieck ABC.
Konstruiere den Mittelpunkt des Kreises.
Nutze hierfür einen bekannten Satz über
Dreiecke.
Begründe deine Konstruktion kurz.
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit   90 ,   40 und a  6 cm .
Fertige zunächst eine Planfigur an. Erstelle eine Konstruktionsbeschreibung.
2.
Zerlege jede der drei Figuren in vier kongruente Teilfiguren.
3.
Im Parallelogramm ABCD sind die Winkel
1  26 ,   68 und   76 gegeben.
Berechne 2 .
4.
Lässt sich ein Dreieck aus folgenden Stücken eindeutig konstruieren?
Begründe jeweils deine Antwort.
a)   60 , c  7 cm .
b)
a  4,6 cm, b  3,8 cm, c  8,2 cm .
c)
  105 ,   85 , a  6 cm .
d)
  80 ,   40 ,   60 .
e)
  45 , a  3 cm , b  5 cm .
5.
Konstruiere ein Rechteck, dessen eine Seite dreimal so lang ist wie die andere und
dessen Umfang insgesamt 24 cm beträgt.
6.
Löse die Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen.
Der Taschenrechner ist nicht erlaubt.

 
2 x  5 2x  1 1  3 2x  1
3
8
3
4
2
7.

Berechne die Winkel:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist  um 25% größer als  .
(Ansatz und Berechnung!)
GM_A1781 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1781)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
1.
Konstruiere ein Dreieck mit folgenden Eigenschaften:
a  8,5 cm, c  4 cm,   45 .
Fertige zuerst eine Planfigur und eine Konstruktionsbeschreibung an.
Warum sind diese Angaben für die eindeutige Konstruierbarkeit ausreichend?
Welcher Kongruenzsatz besagt das?
2.
Konstruiere ein Dreieck mit:
b  4 cm,   2   ,     20 .
3.
Bestimme die Höhe h des Turmes. Wie
weit ist er vom Beobachter entfernt?
Löse die Aufgabe mit Hilfe einer
passenden Konstruktion.
Wähle dazu einen geeigneten Maßstab.
4.
Berechne in nebenstehender Abbildung die
Winkel  ,  ,  ,  und  .
Begründe jeweils deine Rechenschritte.
5.
Berechne die Winkel eines gleichschenkligen
Dreiecks, wenn der Basiswinkel  um 30%
größer ist, als der Winkel  an der Spitze.
6.
Es ist g parallel zu h und w halbiert den Winkel
zwischen g und k.
Untersuche ohne zu messen, ob das
Dreieck ABC gleichschenklig ist.
Beschreibe deine Überlegungen genau.
7.
Bringe die Aussagen in die Wenn-Dann-Form und schreibe die Kehrsätze auf.
Prüfe, ob der Kehrsatz wahr ist.
a) In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.
b) Zwei kongruente Dreiecke stimmen in drei Winkeln überein.
c) Ein gleichseitiges Dreieck hat 60°-Winkel.
d) Das Produkt von zwei geraden Zahlen ist gerade.
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
Arbeitszeit: 90 Minuten
1.
Ein Schiffsmast wurde vom Sturm geknickt. Seine Spitze
berührt 8 m vom Mast entfernt den Schiffsboden.
Der abgeknickte Teil des Mastes schließt mit dem noch
verbliebenen Teil einen Winkel von 75° ein.
Wie hoch war der Mast ursprünglich?
Fertige eine Konstruktion im Maßstab 1:100
an und entnimm der Zeichnung die
erforderlichen Maße.
2.
Bei Ausgrabungen wurden die
Überreste eines Brunnens gefunden.
Wie kann man den Durchmesser bzw.
den Mittelpunkt des Brunnens bestimmen?
Gib eine Konstruktionsbeschreibung
anhand einer Skizze.
3.
Gegeben sind drei gleich lange
Gelenkstangen ( AB BC BD ).
In Bild 1 ist die Strecke AC eine
Gerade.
Weise nach oder wiederlege:
Die Strecke AC in Bild 2 ist
ebenfalls eine Gerade.
4.
Für die unten dargestellte Figur
gilt:
36 ,
75 und
1,4 1 .
2
Berechne die Größen der Winkel
, 1, 2 .
GM_A1783 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1783)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 7 / G8
5.
In der rechts abgebildeten Figur
liegen die Punkte A, B und C
auf einem Kreis mit Mittelpunkt M.
Berechne die Größe der Winkel
und für
20 .
6.
Die 12 m lange Strecke PQ liegt in
einer Flucht mit dem Fuß eines
Turms der Höhe h.
Die Spitze des Turms wird von P aus
unter
48 anvisiert.
25 und von Q aus unter
Wie hoch ist der Turm? Fertige dazu eine Zeichnung im Maßstab 1 : 200 an.
7.
Eine Kugel mit Durchmesser 35 mm liegt in
einer symmetrisch angeordneten Rinne
(siehe Zeichnung rechts).
Wie weit ist die Kugel noch vom Boden der
Rinne entfernt (Maß x)?
Ermittle das Maß x durch eine genaue Konstruktion.
8.
M ist Mittelpunkt eines Halbkreises mit dem
Durchmesser AB . Bestimme die Größe des
Winkels , wenn MC BD und CD II AB .
Begründe deine Rechnungen.
GM_A1783 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1783)
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