Ergänzung Aug
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Ergänzungen zu Physik II Menschliches Auge und Lupe Menschliches Auge und Lupe Beugungserscheinungen haben einen grossen Einfluss auf die Leistungsfähigkeit optischer Instrumente (Lupe, Fernrohr, Mikroskop, Gitterspektrograph) sowie auch auf das Auflösungsvermögen des Auges. Lupen bewirken (ebenso wie Mikroskop und Fernrohr) in erster Linie eine Vergrösserung des Sehwinkels, unter dem wir einen Gegenstand sehen. Infolge der Beugung gibt es gewisse untere Grenzen für die Grösse von Objekten, die wir noch wahrnehmen können. Das menschliche Auge Linsen Aufhängung Bindehaut A.-K. Iris Netzhautgrube Pupille Linse G Hornhaut Sehnerv Netzhaut Ziliarmuskel Aderhaut Lederhaut n=1 L W n'=1.336 K W K' F N G A.-K. H H' Obwohl das Auge wie eine billige Kamera nur aus zwei Elementen, der Hornhaut und der nicht-sphärischen Linse, besteht, erzeugt es dank der Bildverarbeitung im Gehirn ausgezeichnete Bilder. Die beiden Augen sehen sphärisch (räumlich), kompensieren Fehler, Unschärfen – und das Gehirn korrigiert online verschiedene Abbildungsmassstäbe (Gleitsichtbrille) verbunden mit einem riesigen Empfindlichkeitsbereich, mit dem Intensitätsunterschiede von rund 1015 wahrgenommen werden können. F' 17.06mm 22.80mm 0.25mm Die abbildende Optik besteht aus der Hornhaut (Kornea), der Linse, deren Brechkraft durch den Ziliarmuskel verändert werden kann, und der in der gewölbten Bildebene liegenden Netzhaut (Retina). Das Auge wird durch die skizzierten zwei Brennweiten mit den dazugehörigen Hauptebenen und den 2 Knotenpunkten charakterisiert.1 Unter der sogenannten Brechkraft oder Stärke einer in einem Medium mit Brechungsindex n1 befindlichen Linse der Brennweite f versteht man das Verhältnis n1 /f [mit der Einheit 1m−1 = 1 Dioptrie]. Beim Auge beträgt nun die Brechstärke der Hornhaut 40 dpt, diejenige der entspannten Linse nur 20 dpt, d.h. die hauptsächlichste Brechung findet an der Hornhaut statt. Man kann das wirkliche Auge durch eine reduzierte Optik ersetzen, die aus einer einzigen brechenden Fläche besteht mit einem reduzierten Hornhautradius = 5.12 mm und reduziertem Brechungsindex = 1.34. Die reduzierte Hornhaut liegt 2.3 mm hinter der wirklichen. Die vordere Brennweite beträgt dann 16.74 mm, die hintere 20.1 mm. Es gilt dann:2 1 n n−1 + = p i r (und z.B. r = 5.12 mm, p = ∞ : → f2 = 20.1 mm) . Die Hornhaut und die Linse sind nicht-sphärisch, zusammen mit der gewölbten Netzhaut werden damit Linsenfehler korrigiert. Durch eine verstärkende enzymatische Wirkung wird der Na- und K-Ionenhaushalt der Sehzellen beeinflusst, was zu Membranpotentialen von einigen 10 mV führt.3 Beim 1.5 mm2 grossen gelben Fleck (Macula lutea) handelt es sich um die Stelle des schärfsten Sehens. Die Makula enthält 150000 Zäpfchen pro mm2 , aber keine Stäbchen. Beim blinden Fleck verlassen die Sehnerven den Augapfel. 1 Z.B. Ludwig Bergmann und Clemenz Schäfer, “Lehrbuch der Experimentalphysik”, Bd.3 Optik. die (der Abbildungsgleichung für dünne Linsen entsprechende) Formel (35-8) im Halliday, Kap.35-5 ( Sphärisch ” brechende Flächen“) (ersetze n1 = 1, n2 = n). 3 Scientific American, April 1987. 2 Vgl. 1 Ergänzungen zu Physik II Menschliches Auge und Lupe Krümmungsradius der Hornhaut vorderer Linsenkrümmungsradius hinterer Linsenkrümmungsradius n Kammerwasser, n Glaskörper n Linse Pupillendurchmesser vordere Brennweite f hintere Brennweite f’ Abstand der Hauptebenen h Nahpunktentfernung 7.83 mm 5.5–10 mm 5.5–6 mm 1.3365 1.358 2–8 mm 14–17 mm 19–23 mm 0.25 mm 25 cm Die Netzhaut enthält ' 7 × 106 farbempfindliche Zäpfchen und 1.3 × 108 hell-dunkel empfindlichen Stäbchen. Die Zäpfchen enthalten die rasch regenerierenden Sehpigmente Jodopsin und Zyanopsin, die Stäbchen das langsam regenerierende Rhodopsin (’Sehpurpur’). Die Sehpigmente werden durch das Licht zersetzt. Einige Ausdrücke: • Myopie = Kurzsichtigkeit, Augapfel ist zu lang, wird durch Zerstreuungslinsen korrigiert. • Hyperopie = Weitsichtigkeit. • Akkomodationsvermögen = Fähigkeit des Auges zum Anpassen der Brennweite. Mit zunehmendem Alter verliert das Auge sein Akkomodationsvermögen. Empfindlichkeit • Adaptationsvermögen = Fähigkeit des Auges zur Anpassung an die Lichtintensität. Die Hellanpassung geht durch die Pupillenverengung sehr schnell vor sich. Die Dunkeladaptation dauert als Folge der langsamen Regeneration des Rhodopsins rund 20 Minuten. blau grün Das Farbensehen beruht auf drei Arten von Zäpfchen mit breiten Farbempfindlichkeiten. Die maximale Empfindlichkeit der Zäpfchen liegt, wie die Untersuchung der häufigen Farbblindheit ergibt, bei: λmax (rot) = 570 nm, λmax (grün) = 535 nm, λmax (blau) = 455 nm. rot 700 600 500 400 /nm Das Auflösungsvermögen des Auges Mit einem nicht-akkommodierten Auge wird ein sehr weit entfernter Gegenstandspunkt auf die Netzhaut abgebildet. Infolge der Wellennatur des Lichtes ist der Bildpunkt aber kein mathematischer Punkt, sondern das Beugungsbild der Pupille, die den Strahlengang begrenzt. Das Licht wird an dieser kreisförmigen Öffnung ( D) gebeugt4 und erzeugt auf der Netzhaut ein ringförmiges Interferenzmuster. Sollen von zwei sehr weit entfernte Punkte P und Q noch getrennt wahrgenomP men werden, so nimmt man an, dass diese Trennung noch gelingt, wenn 1 1 das Intensitäts-Maximum 0. Ordnung des Punktes P auf das 1. MiniD mum der Intensitätsverteilung des Punktes Q fällt. Beide mögen einen von λ Abstand d haben. Für das 1. Minimum gilt5 sin α1,min ≈ 1.22 D bzw. Q λ für sehr kleine α: α1min ≈ 1.22 D . Dieser Winkel ergibt die notwendige Winkeldistanz, damit zwei Objekte noch getrennt wahrgenommen I werden können. Den Kehrwert dieser Distanz, also die Grösse 0.2 U := 0.0 4 Vgl. 5 Vgl. 5 definiert man als Auflösungsvermögen. Dem Winkel α1,min entspricht auf der Netzhaut eine Distanz von d ≈ f α1,min , wenn f die bildseitige Brennweite ist. _ 1,min 0 1 D = 0.82 α1,min λ 10 _1 Kap.37-5 ( Beugung an einer kreisrunden Öffnung“) im Halliday. ” Formel (37-12) ebenda. 2 Ergänzungen zu Physik II Menschliches Auge und Lupe Mit einer mittleren Wellenlänge λ = 0.5µm = 5 · 10−7 m und D = 3 mm erhält man α1,min ≈ 42 Bogensekunden und d ≈ 4.7µm. Diese Entfernung entspricht – nach einer optimalen Anpassung im Verlaufe der Evolution – in etwa auch dem Abstand benachbarter Zäpfchen. Durch Akkommodation (d.h. zusätzliche Krümmung der Augenlinse) kann die Brennweite f des Auges verkleinert werden, sodass auch näher am Auge gelegene Gegenstände gesehen werden können, und zwar bis hinunter zu etwa L = 25 cm, der deutlichen Sehweite. e O L Ein Gegenstand O möge bei diesem Abstand unter einem Winkel θ erscheinen. Dieser Beobachtungswinkel wird grösser, wenn O näher ans Auge rückt. Das Auge kann aber Gegenstände innerhalb der deutlichen Sehweite nicht mehr scharf wahrnehmen, da dann das Bild hinter die Netzhaut fällt. e' Bv Eine Lupe (Sammellinse) muss zur Hilfe genommen werden, deren virtuelles Bild wieder im Abstand L unter dem vergrösserten Beobachtungswinkel θ́ wahrgenommen wird. Es gilt O F p L also: tan θ = O , L 1 1 1 − = p L f tan θ́ = O p und wegen der Abbildungsgleichung (L = 25cm) und tan θ́ = O 1 1 + f L . Für die durch M := θ́/θ definierte Winkelvergrösserung erhält man bei kleinen Winkeln, d.h. für tan θ ≈ θ und tan θ́ ≈ θ́: θ́ M := = L θ 1 1 + f L =1+ L . f 3
