Einblick - Europa

Technische Mechanik
Band 3: Dynamik
Technische Mechanik
Band 3: Dynamik
von
Peter Hagedorn
Jörg Wallaschek
5., vollständig überarbeitete Auflage
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
Europa-Nr.: 56924
Autoren:
Prof. Dr. Peter Hagedorn vertritt an der Technischen Universität Darmstadt das Fach Technische
Mechanik in Lehre und Forschung. Er hat jahrzehntelang Vorlesungen über Technische Mechanik
und über Technische Schwingungslehre für Hörer unterschiedlicher Fachrichtungen gehalten.
Professor Dr.-Ing. Jörg Wallaschek ist Direktor des Institutes für Dynamik und Schwingungen
an der Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover und vertritt die Fächer Technische
Mechanik und Maschinendynamik in der Fakultät für Maschinenbau.
5., vollständig überarbeitete Auflage 2017
Druck 5 4 3 2 1
ISBN 978-3-8085-5693-1
ISBN 978-3-8085-5803-4 (E-Book)
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwendung außerhalb
der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
c 2017 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten
http://www.europa-lehrmittel.de
Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 42477 Radevormwald
Druck: UAB BALTO print, Vilnius LT-08217, Litauen
Vorwort zur fünften Auflage
Die drei Bände zur Technischen Mechanik von Peter Hagedorn haben inzwischen
große Verbreitung als Lehrbücher an Universitäten und Hochschulen gefunden. Mit
der vorliegenden 5. Auflage ist Jörg Wallaschek als Ko-Autor dazu gekommen.
Ein wesentlicher Teil der Überarbeitung der neuen Auflage durch den Erstautor
erfolgte während Gastaufenthalten am Department of Mechanical Engineering der
University of Canterbury, Christchurch, Neuseeland. Der Erstautor dankt dem
Department für die freundliche Aufnahme und dafür, dass das Department die
Infrastruktur zur Verfügung gestellt hat.
Das bewährte Konzept zur Einführung der Grundbegriffe und mathematischen
Hilfsmittel wurde beibehalten. Text, Abbildungen und Aufgaben wurden behutsam
überarbeitet und an einigen Stellen ergänzt, um das Buch noch besser auf die
Anforderungen der Ingenieur-Ausbildung abzustimmen. Die Abbildungen wurden
farbig gestaltet, um die Übersichtlichkeit zu erhöhen.
Bei der Erstellung der Zeichnungen und des druckfertigen Manuskripts wurden wir
von Herrn Dipl. Ing. Hendrik Ohrdes und Herrn M. Sc. Henrik Westermann sowie
Frau Parsamanesh und Frau Wiechens tatkräftig unterstützt, wofür wir herzlich
Dank sagen.
Wir danken dem Verlag Europa-Lehrmittel Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG für
die sehr gute Betreuung unseres Buchprojektes und insbesondere unserem Lektor,
Herrn Klaus Horn für die vertrauensvolle Zusammenarbeit.
Darmstadt / Hannover, im Herbst 2016
Peter Hagedorn
[email protected]
Jörg Wallaschek
[email protected]
Vorwort zur vierten Auflage
Dieser Band entspricht dem dritten Teil einer dreisemestrigen Vorlesung, die ich
seit mehr als 30 Jahren für Hörer verschiedener Fachrichtungen an der Technischen Universität Darmstadt halte; zwei weitere Bände behandeln die Statik und
die Festigkeitslehre. Niveau und Aufbau der drei Bücher orientieren sich an den
Lehrveranstaltungen, wie sie besonders für Ingenieur–Studenten an praktisch allen
Hochschulen angeboten werden.
Die unterschiedliche Vorbildung, die unsere Studenten von der Schule mitbringen,
hat zur Folge, dass in den Vorlesungen für die Erstsemester Grundbegriffe und
mathematische Hilfsmittel sehr elementar eingeführt werden müssen. Ich war in dem
vorliegenden Buch bemüht, das Gebäude der Mechanik auf dem soliden Fundament
dieser Grundlagen systematisch aufzubauen. Die freundliche Aufnahme des Buches,
die sehr schnell Neuauflagen notwendig machte, zeigt mir, dass dies zumindest
teilweise gelungen ist.
Dank des Einsatzes der Herren Dr.–Ing. Daniel Hochlenert und Dipl.–Ing. Florian
Fischer war es möglich, die gesamte Reihe von Grund auf zu überarbeiten, so
dass die drei Bände jetzt in einem neuen Layout vorliegen. Dabei wurden in allen
drei Bänden zahlreiche Verbesserungen, neue Beispiele und – bei der numerischen
Behandlung von Aufgaben mittels Matlab, insbesondere in den Bänden 1 und
3 – eine Reihe von Ergänzungen vorgenommen. Viele dieser Änderungen gehen
direkt auf Anregungen der Herren Hochlenert und Fischer zurück, die auch die
Erstellung der reproduktionsfähigen Vorlagen überwacht haben. Ich danke beiden
für den unermüdlichen Einsatz.
Mit der vorliegenden Auflage des Bandes 3 wurde Kapitel 5 (Dynamik der Systeme)
vollkommen überarbeitet. Dies betrifft sowohl die Darstellung als auch teilweise die
Notation. Weiterhin wurden in Kapitel 3 neue Beispiele zu Stößen starrer Körper mit
und ohne Reibung eingefügt, die klar die Schwierigkeiten der Behandlung von Stößen
in der Starrkörpermechanik belegen. Diese Änderungen wurden im wesentlichen
durch Dr. Hochlenert angeregt, der sie dann auch eingearbeitet hat.
Manche Kollegen und viele Studenten haben mich in der Vergangenheit auf mögliche
Verbesserungen hingewiesen, die hier eingearbeitet wurden. Ihnen allen sei an dieser
Stelle gedankt.
Dem Verlag Harri Deutsch danke ich für die bewährt gute Zusammenarbeit.
Peter Hagedorn
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Kinematik des Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Die geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Erste Bemerkungen zu Differenzialgleichungen . . . . . .
2.1.3 Die allgemeine („krummlinige“) Bewegung . . . . . . . . .
2.2 Kinematik des starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung des
starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Ebene Bewegung starrer Körper, der Momentanpol . . .
2.2.3 Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Ergänzungen zur Kinematik des starren Körpers∗ . . . .
2.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Dynamik des Massenpunktes und des Punkthaufens . . .
3.1 Das Newtonsche Grundgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Freie und geführte Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Der Arbeitssatz für den Massenpunkt . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Der Punkthaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Der Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Arbeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Impulssatz, Anwendung auf den Stoß . . . . . . . . . .
3.4.4 Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Umrechnungsformeln für Impuls, Drehimpuls und
kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.6 Das Zweikörperproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Dynamik des starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Der starre Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Impuls und Drall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Massenträgheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ebene Bewegung starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Schwerpunktsatz und Drallsatz . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Massenträgheitsmomente scheibenförmiger Körper
4.2.3 Arbeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Stoß und Drehstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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123
123
132
142
146
II
Inhaltsverzeichnis
4.3
4.4
5
Allgemeine räumliche Bewegung starrer Körper∗
4.3.1 Schwerpunktsatz und Drallsatz . . . . . . .
4.3.2 Drallsatz im körperfesten Bezugssystem .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dynamik der Systeme∗ . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Eine Umformung der Bewegungsgleichungen
Trägheitskräfte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten
5.3 Lagrangesche Gleichungen . . . . . . . . . . . .
5.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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(D’Alembertsche
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6
Einführung in die Schwingungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Systeme mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Freie gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Systeme mit zwei Freiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Freie ungedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen . . . . . . . . .
6.3 Der Balken: Ein System mit unendlich vielen Freiheitsgraden
6.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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233
7
Elemente der Hydromechanik . . . . . . . . .
7.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Das Grundgesetz der Dynamik für ideale
7.3 Die Bernoullische Gleichung . . . . . . .
7.4 Der Sonderfall der Hydrostatik . . . . . . .
7.5 Der Impulssatz für stationäre Bewegung
7.6 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . .
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8
Aufgaben mit Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Roboterarm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Geführter Bolzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3 Geführte Dreieckscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4 Ebenes Getriebe aus zwei Stangen . . . . . . . . . . . . .
8.1.5 Planetengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.6 Durch zwei Muffen geführte Stange . . . . . . . . . . . .
8.1.7 Verriegelungsmechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.8 Kurbeltrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.9 Sonnenschirm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.10 Ebenes Getriebe mit einer Stange und zwei Rädern .
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Flüssigkeiten
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Inhaltsverzeichnis
8.2
8.3
8.4
Dynamik von Massenpunkten und starren Körpern . . .
8.2.1 Katapultwagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Radrennfahrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Bowlingbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4 Zylindrische Walze auf glatter und rauer Bahn
8.2.5 Schweres Seil auf Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.6 Walze auf Schlitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.7 Walze auf Förderband . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.8 System aus zwei Rollen und Seil . . . . . . . . . .
8.2.9 Kreisscheibe auf schiefer Ebene . . . . . . . . . . .
8.2.10 Kippender Stab auf beschleunigtem Wagen . .
8.2.11 Stoß von Hantel auf starre Unterlage . . . . . . .
8.2.12 Walze auf Knüppeldamm . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.13 Stoß von elastischer Hantel auf Stab . . . . . . .
8.2.14 Hochlauf eines Elektromotors . . . . . . . . . . . .
8.2.15 Stoß einer rollenden Kugel gegen eine Stufe . .
8.2.16 Stoß einer Kreisscheibe auf ein Drehkreuz . . .
8.2.17 Stoß einer Laufkatze auf einen Puffer . . . . . . .
8.2.18 Kippender Quader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.19 Stoß zwischen Stab und Massenpunkt . . . . . .
8.2.20 Blockieren eines Rotors . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.21 Stoß auf rollenden Ring . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.22 Stab auf Transportwalze . . . . . . . . . . . . . . . .
Schwingungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Wagen mit Federkombination . . . . . . . . . . . .
8.3.2 System mit zwei Wagen . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 System zweier Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4 Walze auf einer schiefen Ebene . . . . . . . . . . .
8.3.5 Drehelastisch gelagerter Rotor . . . . . . . . . . . .
8.3.6 Schwingende Walze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.7 Kiste auf LKW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.8 Schwingende Quadratscheibe . . . . . . . . . . . . .
8.3.9 Schwingender, lotrechter Balken . . . . . . . . . .
8.3.10 Schwingende Hantel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.11 Klingel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.12 Balken mit Drehfeder . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.13 Halbzylinder auf Rütteltisch . . . . . . . . . . . . .
Hydromechanik idealer Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Reduzierstück . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Düsenmundstück . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.3 Flüssigkeitsmanometer . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.4 Radialdiffusor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.5 Springbrunnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.6 Druckbehälter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.7 Offener Behälter mit zwei Ausflüssen . . . . . . .
III
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354
355
357
IV
Inhaltsverzeichnis
8.4.8
8.4.9
8.4.10
8.4.11
Fernwärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Behälter mit Verteilerrohr . . . . . . . . . . . . . .
Ausflussrohr mit veränderlichem Querschnitt
Wasserstrahlpumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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359
361
363
366
A
MATLAB-Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1 ARCHIMEDISCHE Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Gelenkviereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Schiefer Wurf mit Luftwiderstand . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Massenpunkt am Ende eines sich verkürzenden Fadens
A.5 Punkt auf rauer, schiefer Ebene (räumlich) . . . . . . . .
A.6 Schwingung auf rauer, schiefer Ebene . . . . . . . . . . . .
A.7 Rutschende Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8 Beschleunigung eines PKW . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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369
369
371
373
375
379
383
385
388
B
Massenträgheitsmomente starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
C
Beweis der Identität (5.151) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Die mit ∗ gekennzeichneten Abschnitte können bei einer ersten Lektüre weggelassen werden.
1
Einleitung
In diesem Buch befassen wir uns mit der Bewegung von Massenpunkten und starren
Körpern unter dem Einfluss von Kräften, d. h. wir behandeln die Kinetik einfacher
mechanischer Systeme. Im internationalen Sprachgebrauch hat sich hierfür allerdings statt des korrekten Ausdrucks „Kinetik“ die Bezeichnung Dynamik (englisch:
dynamics) durchgesetzt. Eigentlich bedeutet Dynamik ja „Lehre von den Kräften“,
während hier die Bewegung unter der Wirkung von Kräften im Mittelpunkt unserer
Betrachtungen steht. Wir schließen uns dem modernen Sprachgebrauch an und
verwenden die Bezeichnung „Dynamik“ anstelle von „Kinetik“.
Als Lehre von den Bewegungen und den Kräften verwendet die Dynamik Begriffe der
Statik, d. h. der Geometrie der Kräfte, und der Kinematik, also der Geometrie der
Bewegung. Mit der Statik haben wir uns schon in TM 1 (= Technische Mechanik,
Bd. 1) beschäftigt. Die Kinematik wurde bisher noch nicht behandelt. Wir müssen
uns daher zunächst der Beschreibung der Bewegungen, d. h. also der Kinematik,
widmen, bevor wir dann in der Dynamik den Zusammenhang zwischen den Kräften
und den Bewegungen genauer untersuchen. Zu den Grundbegriffen aus der Statik
(TM 1) und der Festigkeitslehre (TM 2) tritt dabei als zusätzlicher, neuer Begriff die
Zeit auf. Damit sind Raum, Zeit, Masse und Kraft die wichtigsten Grundbegriffe
der Dynamik.
In der klassischen Newtonschen Mechanik1 , die für eine hinreichend genaue Behandlung der meisten mechanischen Probleme der Technik ausreicht, geht man von
der Existenz einer absoluten Zeit sowie eines absolut ruhenden Bezugssystems, eines
so genannten Inertialsystems, aus. Lediglich bei wenigen, speziellen Problemen der
Technik muss man über den Rahmen dieser klassischen Mechanik hinausgehen, um
auf zufrieden stellende Lösungen zu kommen.
Wir fassen die Grundlagen der klassischen Mechanik in den Newtonschen Gesetzen
zusammen, die in etwas anderer Form auch schon in TM 1 angegeben wurden.
Sie sind zwar nicht in dieser Formulierung bei Newton zu finden, es ist jedoch
heute allgemein üblich, sie mit seinem Namen zu verbinden. Das erste Gesetz, auch
Trägheitsgesetz genannt, besagt:
Es existiert ein Bezugssystem (Inertialsystem), bezüglich dessen jeder
Massenpunkt in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung bleibt,
wenn keine Kräfte auf ihn wirken.
1
Nach dem Physiker und Astronom Sir Isaac Newton, *1643 in Woolsthorpe, †1727 in Kensington
(heute London).
2
1 Einleitung
Das zweite Gesetz (= Bewegungsgesetz, Grundgesetz der Dynamik) lautet:
In diesem Inertialsystem gilt für einen Massenpunkt der Zusammenhang
F = m a,
(1.1)
d. h. der Kraftvektor ist proportional zum Beschleunigungsvektor; die Proportionalitätskonstante ist die Masse (träge Masse).
Das dritte Gesetz (= Gegenwirkungsgesetz, Gesetz von actio & reactio) besagt:
Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper 1 eine Kraft auf einen
Körper 2 aus, so ist diese gleich groß und entgegengerichtet zu der Kraft,
die der Körper 2 auf den Körper 1 ausübt.
Dieses dritte Newtonsche Gesetz wird auch oft prägnant durch die Gleichung
actio = reactio
(1.2)
formuliert. Wir nehmen im Folgenden an, dass die drei Gesetze für Massenpunkte
gelten und werden daraus dann Aussagen für andere Körper herleiten. Als von den
Newtonschen Gesetzen unabhängiges Axiom führen wir in Kapitel 3 und 4 noch
den Drehimpulssatz oder Drallsatz ein, den man nur für Spezialfälle aus diesen
„Gesetzen“ ableiten kann.
2
Kinematik
2.1
Kinematik des Punktes
2.1.1
Die geradlinige Bewegung
In der Kinematik beschreiben wir die Lage von Körpern in Abhängigkeit von der Zeit.
Zunächst behandeln wir die Kinematik eines Punktes und führen die Grundbegriffe
Geschwindigkeit und Beschleunigung anhand der geradlinigen Bewegung ein.
Gemäß Abb. 2.1 betrachten wir einen sich auf einer gegebenen Geraden bewegenden
Punkt P. Seine Lage wird auf der Geraden durch die einzige Koordinate x beschrieben.
Als Bewegung bezeichnen wir die Funktion x(t), also die Abhängigkeit der Variablen
x von der Zeit t. Grafisch kann sie z. B. wie in Abb. 2.2 dargestellt werden.
x
∆x
α
O
P
x(t)
t
2.1: Zur geradlinigen Bewegung eines
Punktes
t + ∆t
t
2.2: Zum Begriff der mittleren Geschwindigkeit
Die mittlere Geschwindigkeit in dem Zeitintervall von t bis t + ∆t ist durch den
Quotienten
vm =
x( t + ∆t) − x( t )
∆x
=
∆t
∆t
(2.1)
definiert (∆ = „Delta“). Gemäß Abb. 2.2 ist die mittlere Geschwindigkeit in dem
gegebenen Zeitintervall proportional zur Steigung der Sekante an die gegebene
Kurve x(t):
vm ∼ tan α
(2.2)
(α = „alpha“). Als momentane Geschwindigkeit oder auch einfach Geschwindigkeit
zum Zeitpunkt t = t bezeichnen wir den Grenzwert
v( t ) := lim
∆t→0
∆x
= ẋ( t )
∆t
(2.3)
4
2 Kinematik
der mittleren Geschwindigkeit für ∆t → 0. Wie man sieht, ist dies die Ableitung
von x(t) nach t. Die Geschwindigkeit v(t) ist demnach proportional zur Steigung
der Tangente an der Stelle t = t in Abb. 2.2.
Die mittlere Beschleunigung in dem Zeitintervall (t, t + ∆t) ist als
am =
∆v
∆t
(2.4)
definiert und die (momentane) Beschleunigung zum Zeitpunkt t als
a( t ) := lim
∆t→0
∆v
= ẍ( t ) .
∆t
(2.5)
Kennt man die Bewegung x(t), so kann man Geschwindigkeit ẋ(t) und Beschleunigung ẍ(t) durch Differenziation bestimmen. Die Formelzeichen v und a für Geschwindigkeit und Beschleunigung sind international gebräuchlich, sie entsprechen den
englischen Bezeichnungen „velocity“ bzw. „acceleration“, die ihrerseits aus dem Lateinischen kommen. Definitionsgemäß werden Geschwindigkeit und Beschleunigung
im SI-System in m/s bzw. m/s2 gemessen.
2.1.2
Erste Bemerkungen zu Differenzialgleichungen
Im Newtonschen Grundgesetz (1.1) sind die Kräfte in der Regel nicht konstant;
nur in wenigen Fällen sind sie vorgegebene Funktionen der Zeit. Meist hängen die
Kräfte vom Ort und auch von der Geschwindigkeit ab. Die Luftwiderstandskraft
ist ein typisches Beispiel einer geschwindigkeitsabhängigen Kraft. Nehmen wir an,
dass die Kraft als Funktion des Ortes, der Geschwindigkeit und der Zeit gegeben
ist, so nimmt das Newtonsche Grundgesetz (1.1) für die geradlinige Bewegung die
Form
m ẍ(t) = F (x(t), ẋ(t), t)
(2.6)
an, wobei die Funktion F (x, ẋ, t ) bekannt und gleich der Summe aller auf den
Massenpunkt in x-Richtung wirkenden Kräfte ist.
Das Grundgesetz der Dynamik führt also auf eine Gleichung der Art
ẍ(t) = a(x(t), ẋ(t), t) ,
(2.7)
wobei die rechte Seite eine Funktion von x, ẋ und t ist. Wir nehmen jetzt an,
dass die Funktion a(x, ẋ, t ) bekannt und die Bewegung x(t) zu bestimmen ist.
Gleichungen der Art (2.7), die einen Zusammenhang zwischen den Ableitungen einer
(unbekannten) Zeitfunktion, der Funktion selbst und der Zeit herstellen, bezeichnet
man als Differenzialgleichungen. Eine Lösung der Differenzialgleichung (2.7) ist eine
Funktion x(t), die – in (2.7) eingesetzt – diese für alle Zeiten erfüllt.
2.1 Kinematik des Punktes
5
In der Mechanik, aber auch in vielen anderen Bereichen der Physik und der Technik,
spielen Differenzialgleichungen eine zentrale Rolle, und entsprechend viel Aufmerksamkeit wird ihnen in den Mathematik-Vorlesungen gewidmet. Da dies aber oft
erst zu einem späteren Zeitpunkt geschieht, werden wir (2.7) an dieser Stelle etwas
näher beleuchten. Zunächst stellen wir fest, dass die Differenzialgleichung (2.7) von
zweiter Ordnung ist (Die Ordnung einer Differenzialgleichung ist die Ordnung der
höchsten in ihr auftretenden Ableitung). Der Grund dafür ist, dass im Grundgesetz
der Dynamik zwar Beschleunigungen, aber keine höheren Zeitableitungen von x(t)
auftreten.
Beschleunigung als Funktion der Zeit
Im Folgenden besprechen wir die wichtigsten Spezialfälle von (2.7). Zunächst betrachten wir den Fall, in dem die Beschleunigung lediglich eine Funktion der Zeit
ist. Dann reduziert sich (2.7) zu
ẍ(t) = a(t) ,
(2.8)
wobei die rechte Seite eine gegebene Funktion der Zeit t ist. Die Integration dieser
Gleichung bezüglich t liefert
Z
v(t) = ẋ(t) = a(t) dt + C1 .
(2.9)
Die Geschwindigkeit kann also durch Integration aus der Beschleunigung ohne
weiteres bestimmt werden, wenn a(t) vorgegeben ist. Die Integrationskonstante
C1 ist dabei noch festzulegen. Sie ergibt sich z. B. aus einer Anfangsbedingung
für die Geschwindigkeit. Anstelle des unbestimmten Integrals kann man auch das
bestimmte Integral
Z t
(2.10)
v(t) − v(0) =
a(t) dt
0
schreiben, bzw.
t
Z
v(t) =
a(t) dt + v(0) ,
(2.11)
0
wobei
v(0) = ẋ(0) = v0
(2.12)
jetzt die Bedeutung der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, d. h. der Anfangsgeschwindigkeit hat. Ganz analog liefert eine zweite Integration nunmehr
Z t
x(t) =
v(t) dt + x0
(2.13)
0
mit x0 als Anfangslage.
6
2 Kinematik
Als erstes Beispiel zu (2.8) betrachten wir den Sonderfall der Bewegung mit
konstanter Beschleunigung
a(t) ≡ a0 = const .
(2.14)
Dies führt mit (2.11) auf
v(t) = a0 t + v0
(2.15)
und daraus folgt mit (2.13)
x(t) = a0
t2
+ v0 t + x 0 ,
2
(2.16)
d. h. die Koordinate x(t) ist eine quadratische Funktion der Zeit, während die
Geschwindigkeit v(t) = ẋ(t) linear in t ist (s. Abb. 2.3).
ẍ
a0
t
ẋ
v0
t
x
x0
t
2.3: Zur Bewegung (2.16)
Als zweites Beispiel behandeln wir die Bewegung mit harmonischer Beschleunigung
a(t) = â sin ωt ,
(2.17)
wobei ω (ω = „omega“) und â gegebene Konstanten sind. Hier ergibt die Integration
der Beschleunigung
Z t
t
1
v(t) = â
sin ωt dt + v0 = − â cos ωt + v0 ,
(2.18)
ω
0
0
so dass
v(t) = −
â
(cos ωt − 1) + v0
ω
(2.19)
2.1 Kinematik des Punktes
7
a = ẍ
a = ẍ
â
π/ω
2π/ω
π/ω
t
2π/ω
t
v = ẋ
v = ẋ
â/ω
t
t
x
x
â/ω 2
t
t
2.4a: Zur Bewegung (2.20) für
v0 = −â/ω, x0 = 0
2.4b: Zur Bewegung (2.20) für v0 = 0,
x0 = 0
ist. Eine weitere Integration liefert schließlich
Z
â t
(cos ωt − 1) dt + v0 t + x0
ω 0
â
â
t + x0
= − 2 sin ωt + v0 +
ω
ω
x(t) = −
(2.20)
Das Ergebnis hängt von den Anfangsbedingungen ab. Der Verlauf der Beschleunigung a(t), der Geschwindigkeit v(t) und der Bewegung x(t) ist für x0 = 0, v0 = −â/ω
in Abb. 2.4a dargestellt. Man bezeichnet eine solche durch trigonometrische Zeitfunktionen beschriebene Bewegung als harmonische Schwingung. Offensichtlich
gehören zu einer harmonischen Schwingung x(t) eine Geschwindigkeit und eine
Beschleunigung, die ebenfalls harmonisch sind. Wählt man als Anfangsbedingungen
x0 = 0, v0 = 0 so ergibt sich der in Abb. 2.4b dargestellte Verlauf von Beschleunigung, Geschwindigkeit und Auslenkung. Diese Bewegung ist keine harmonische
Schwingung.
Beschleunigung als Funktion der Geschwindigkeit
Als zweiten Sonderfall von (2.7) betrachten wir
ẍ(t) = a ẋ(t) ;
(2.21)
8
2 Kinematik
hier ist die Kraft bzw. die Beschleunigung als Funktion der Geschwindigkeit vorgegeben, wie es z. B. beim Luftwiderstand der Fall ist. Mit
v = ẋ
(2.22)
schreibt sich (2.21) als
dv
= a(v)
dt
(2.23)
und dies kann auch als
dv
= dt
a(v)
(2.24)
geschrieben werden („Trennung der Veränderlichen“). Auf der linken Seite steht in
(2.24) jetzt ein Ausdruck, der lediglich von v abhängt, während die rechte Seite nur
t enthält. Beide Seiten können daher gemäß
Z
v
v0
dv
=
a(v)
t
Z
dt
(2.25)
0
integriert werden. Bezeichnet man die Stammfunktion (d. h. das Integral) von 1/a(v)
mit G(v), so folgt
G(v) − G(v0 ) = t .
(2.26)
Damit ist t als Funktion von v bekannt. Gelingt es, (2.26) nach v aufzulösen, so
ergibt sich daraus
v(t) = f (v0 , t) .
(2.27)
Eine weitere Integration liefert dann
Z
x(t) = x0 +
t
f (v0 , t) dt .
(2.28)
0
Im Gegensatz zu dem ersten Sonderfall (2.8) der Differenzialgleichung (2.7) war es
hier nicht möglich, beide Seiten von (2.21) ohne weiteres zu integrieren, da in (2.21)
die rechte Seite nicht als Funktion von t vorliegt. Es war daher notwendig, zunächst
die Trennung der Veränderlichen durchzuführen.
Als Beispiel zu (2.21) behandeln wir die Differenzialgleichung
ẍ(t) = g − k ẋ2 (t) ,
(2.29)
wobei g und k konstant sind. Diese Differenzialgleichung beschreibt einen Körper
im freien Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes, der in guter
2.1 Kinematik des Punktes
9
Näherung quadratisch in der Geschwindigkeit ist. Trennung der Veränderlichen in
(2.29) liefert zunächst mit ẋ = v
dv
= dt ,
g − k v2
(2.30)
und die Integration mit v0 = 0 ergibt
v
Z
0
dv
=
g − k v2
Z
t
dt ,
(2.31)
s !
k
=t
g
(2.32)
0
woraus
1
√
artanh v
gk
folgt. Auflösung nach v liefert
r
p g
tanh t g k ,
v(t) =
k
(2.33)
und der Verlauf dieser Funktion ist in Abb. 2.5 wiedergegeben. Man erkennt an
(2.29) (durch Nullsetzen von ẍ) und auch an (2.32), dass für große Zeiten die
Geschwindigkeit gegen den endlichen Grenzwert
r
g
(2.34)
vend := lim v(t) =
t→∞
k
strebt. Die Beschleunigung zum Zeitpunkt t = 0 entspricht der Steigung im Koordinatenursprung in Abb. 2.5, und es gilt tan α ∼ g. Eine weitere Integration von
(2.33) ergibt x(t).
v
vend
α
t
2.5: Verlauf der Geschwindigkeit gemäß (2.33)
Beschleunigung als Funktion der Lage
Als dritten Sonderfall von (2.7) untersuchen wir noch die Differenzialgleichung
ẍ(t) = a x(t) ,
(2.35)
10
2 Kinematik
die sich ergibt, wenn die Beschleunigung als Funktion der Lage gegeben ist. Dabei
schreiben wir (2.35) zunächst als
dv
= a(x)
dt
(2.36)
dv = a(x) dt .
(2.37)
bzw.
Multiplikation beider Seiten mit v ergibt
v dv = a(x) v dt ,
(2.38)
wobei nun auf der rechten Seite das Produkt vdt durch dx ersetzt werden kann.
Damit kann (2.38) gemäß
Z
v
Z
x
v dv =
v0
a(x) dx
x0
(2.39)
integriert werden. Mit H(x) als der Stammfunktion von a(x) folgt hieraus
v 2 − v02
= H(x) − H(x0 ) ,
2
(2.40)
und Auflösung nach v bzw. ẋ (sofern möglich) liefert
ẋ = h(x, x0 , v0 ) .
(2.41)
Hier kann nun wieder die Trennung der Veränderlichen durchgeführt werden, und
die Integration von
Z
x
x0
dx
=
h(x, x0 , v0 )
Z
t
dt
(2.42)
t0
ergibt schließlich t(x), also die Zeit t als Funktion der Ortskoordinate x.
Als Beispiel betrachten wir die Bewegung mit zum Weg proportionaler Beschleunigung, die auf die Differenzialgleichung
ẍ(t) = − ω 2 x(t)
(2.43)
mit der positiven Konstanten ω 2 führt. Das Minuszeichen in (2.43) zeigt an, dass
die Beschleunigung dem Weg entgegengerichtet ist. Wir schreiben (2.43) als
dv
= − ω 2 x(t) ,
dt
(2.44)