Dynamotheorie

Dynamotheorie
Vorlesung im Rahmen des Graduiertenkollegs
'Nichtlineare Dierentialgleichungen:
Modellierung, Theorie, Numerik, Visualisierung'
Universitat Freiburg
WS 1997-1998
Mathieu Ossendrijver
Kiepenheuer-Institut fur Sonnenphysik
Inhaltsverzeichnis
-1 Literaturhinweis
0 Identitaten und Abkurzungen
iv
v
1 Magnetfeld von Sonne und Erde
1
2 Magnetohydrodynamik und das Dynamoproblem
7
0.1 Vektoridentitaten und Theoreme der Integration : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
0.2 Abkurzungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.1 Magnetfeld der Sonne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.2 Magnetfeld der Erde : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.1 Von den Maxwellgleichungen zur MHD : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2 Denition des Dynamoproblems : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3 Scheibendynamo
3.1 Kinematisch : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2 Dynamisch : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4 Grundlagen der MHD
4.1
4.2
4.3
4.4
Diusion und magnetische Reynoldszahl
Magnetischer Fluss : : : : : : : : : : : :
Die Energiegleichung : : : : : : : : : : :
Toroidale und poloidale Vektoren : : : :
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Schnelle und langsame Dynamos : : : : : : : : : : : : : : : :
Der stretch-twist-fold-Mechanismus : : : : : : : : : : : : : : :
Exponentielle Streckung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Beispiele : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.4.1 Beltramiwelle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.4.2 MW+ Stromung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.5 Abbildungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.6 Nichtexistenz glatter instabiler Losungen in der idealen MHD
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7.1 Reynolds-Regeln und Mittelung der Induktionsgleichung : : : :
7.2 Raumliche Mittelung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
7.3 Ensemblemittelung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
7.3.1 Stochastische Dierentialgleichungen : : : : : : : : : : :
7.3.2 Dynamogleichung, -Eekt und turbulente Diusivitat :
7.4 Korrekturen zur MF-Dynamotheorie : : : : : : : : : : : : : : :
7.5 Ergebnisse der MF-Dynamotheorie : : : : : : : : : : : : : : : :
7.5.1 Flache MF-Dynamos: Parkerwelle : : : : : : : : : : : :
7.5.2 Spherische MF-Dynamos : : : : : : : : : : : : : : : : :
7.6 Nichtlineare MF-Dynamos : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
7.6.1 -Quenching : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
7.6.2 Dynamisches -Quenching : : : : : : : : : : : : : : : :
7.6.3 Flusseruption : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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5 (Anti)dynamotheoreme
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Mindestforderung fur Dynamowirkung
Cowling-Theorem : : : : : : : : : : : :
Cowling-Theorem (2) : : : : : : : : : :
Toroidaltheorem : : : : : : : : : : : :
Dipolmoment des Dynamos : : : : : :
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6 Fast dynamos
6.1
6.2
6.3
6.4
7 Statistische Dynamotheorie
8 MHD-Turbulenz
8.1 Hydrodynamische Turbulenz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
8.2 MHD-Turbulenz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
ii
v
v
1
4
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9
10
10
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14
14
15
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17
19
19
21
23
24
26
29
29
29
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31
31
32
33
35
37
37
37
41
41
43
46
48
48
52
56
57
59
62
64
64
66
9 Sonnendynamo
9.1
9.2
9.3
9.4
Ort des Sonnendynamos : : : : : : : : : : : : : : :
Zwei-Schichten-Dynamo : : : : : : : : : : : : : : :
Flussrohrendynamo : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Dynamowirkung in der solaren Konvektionsschicht
10 Erddynamo
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70
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iii
-1 Literaturhinweis
Als Quelle fur diese Vorlesung haben u.A. folgende Skripte gedient:
P. Hoyng, Plasma-astrofysica, Universiteit van Amsterdam, 1994
M. Schussler, Die Entstehung kosmischer Magnetfelder I-III, Universitat Gottingen, WS
1979/80{WS 1980/81
M. Schussler und D. Schmitt, Dynamotheorie, Universitat Gottingen, SS 1997
M. Stix, Dynamo-Theorie, Universitat Tubingen, WS 1977/78
Dynamotheorie wird ausfuhrlich behandelt in folgenden Buchern:
Krause, F. und Radler, K.-H., 1980, Mean-Field Magnetohydrodynamics and Dynamo Theory,
Pergamon Press (Krause und Radler)
Moatt, H.K., 1978, Magnetic Field Generation in Electrically Conducting Fluids, Cambridge
(Moatt)
Proctor, M.R.E. und Gilbert, A.D. (Her.), 1994, Lectures on Solar and Planetary Dynamos,
Cambridge University Press (Lectures)
Roberts, P.H., 1967, An Introduction to Magnetohydrodynamics, Longman, London (Roberts)
Zu den einzelnen Kapiteln seien auch erwahnt
1.1 Merrill, R.T. und McElhinny M.W., 1983, The Earth's Magnetic Field, Academic Press (neuer
verbesserter Druck: 1989)
1.2 Stix, M., 1989, The Sun, An Introduction, Springer-Verlag
2 Jackson, J.D., 1975, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, Kapitel 10 (Jackson)
6 Childress, S. und Gilbert, A.D., 1995, Stretch, Twist, Fold: The Fast Dynamo, Springer-Verlag
(Stretch, Twist, Fold)
8 Biskamp, D., 1993, Nonlinear Magnetohydrodynamics, Cambridge University Press
10 Ghil, M. und Childress, S., 1987, Topics in Geophysical Fluid Dynamics: Atmospheric Dynamics, Dynamo Theory, and Climate Dynamics, Applied Mathematical Sciences 60, SpringerVerlag, Kapitel 7-9.
iv
0 Identitaten und Abkurzungen
0.1 Vektoridentitaten und Theoreme der Integration
Folgende Vektoridentitaten und Theoreme der Integration werden oft gebraucht (Quelle: Jackson):
J1) a (b c) = b (c a) = c (a b)
J2) a (b c) = (a c) b ? (a b) c
J3) (a b) (c d) = (a c) (b d) ? (a d) (b c)
J4) r r = 0
J5) r (r a) = 0
J7) r (r a) = r (r a) ? r2a
J8) r a = a r + r a
J9) r(a b) = (a r) b + (b r) a + a (r b) + b (r a)
J10) r (a b) = b (r a) ? a (r b)
J11) r (a b) = a (r b) ? b (r a) + (b r) a ? (a r) b
Sei V ein Volumen mit Rand S, dessen Normalvektor n nach aussen gerichtet ist, dann gilt
J12)
Z
V
dV r A =
Z
S
dS n A (Gauss)
Sei S eine oene Oberache mit Normalvektor n und Rand C , wobei ein Linienintegral entlang C
rechtshandig bezuglich n orientiert sei. Dann gilt
J13)
Z
S
dS n (r A) =
Z
C
dl A (Stokes).
0.2 Abkurzungen
A&A
ApJ
EMK
FD
FOSA
GAFD
KS
MF
MNRAS
OS
Astronomy and Astrophysics
Astrophysical Journal
Elektromotorische Kraft
Fast Dynamo
First Order Smoothing Approximation
Geophysical Astrophysical Fluid Dynamics
Konvektionsschicht
Mean Field
Monthly Notices of the Royal Astronomical Society
Overshootschicht
v
1 Magnetfeld von Sonne und Erde
1.1 Magnetfeld der Sonne
1) Das Magnetfeld (B) in der Sonne ist nicht direkt messbar; auf der Sonnenoberache ist B sehr
unregelmassig verteilt: wahrend eines Sonnenmaximums ist B 0:1 T in < 1% der Oberache
(Flecken + network = Muster bestehend aus magnetischen Elementen (Flussrohren) entlang
die Grenzen der Granulation) und B < 10?4 T auf der ubrigen Oberache;
2) Die Haugkeit der Sonnenecken variiert zyklisch mit einer Periode von etwa 11:1 Jahren,
auch Schwabe-Zyklus genannt (Entdecker: der Apotheker Heinrich Samuel Schwabe in 18431)
(Abb. 1; aus Kippenhahn 19942). Nach jedem Schwabe-Zyklus kehrt die Polaritat des Feldes
um; so entsteht der 22.2-jahrige magnetische Zyklus (auch Hale-Zyklus genannt).
Abbildung 1: Jahrliche Sonneneckenzahl R (Kippenhahn 1994)
3) Schmetterlingsdiagramm (Abb. 2; aus Zirin3): Sonnenecken sind verteilt in zwei Gurteln
entlang den A quator, die wahrend des Zyklus zuerst breiter und dann schmaler werden,

wobei die mittlere Breite der Flecken sich zum Aquator
bewegt (Breitenwanderung der
Sonnenaktivitat).
4) Hale'sche Gesetze: Sonnenecken treten meistens in bipolaren Paaren auf, wobei die fuhrenden Flecke (bez. der Rotation) auf jeder Halbkugel fast ausnahmslos die gleiche Polaritat
haben aber eine unterschiedliche fur N und S. Joy'sche Gesetz: die Achse zwischen den beiden
Flecken eines bipolaren Paares macht einen kleinen Winkel mit dem A quator von etwa 10o ,
leicht abhangig von der Breite und von der Phase des Zyklus (Abb. 3; aus Hoyng 19924).
5) Amplitude (R= Sonneneckenzahl) und Zyklusdauer (P) der magnetischen Sonnenaktivitat
variieren (R bis zu 100%; P bis zu 10%) und sind schwach antikorreliert.
1 Schwabe, H.S., 1843, Astron. Nachr. 20
2
Kippenhahn, R., 1994, Discovering the Secrets of the Sun, John Wiley & Sons, Chichester
3 Zirin, H., 1989, Astrophysics of the Sun, Cambridge University Press
4 Hoyng, P., 1992, in The Sun, a Laboratory for Astrophysics, J.T. Schmelz und J.C. Brown (Her.), Kluwer,
99-138
1
Abbildung 2: Schmetterlingsdiagramm (Zirin 1989)
Abbildung 3: Bipolare Fleckenpaare; magnetisches network; Hale'sche Gesetze (Hoyng 1992)
6) Neben dieser gewonlichen Variabilitat war die magnetische Aktivitat auch manchmalsehr viel
geringer, z.B. das Maunderminimum ( 1645 ? 1715). Aus Messungen der B-korrelierten 14CKonzentration in datierbaren Holzproben geht hervor dass die Sonne sich vielleicht 20%-30%
ihrer Zeit in einer solchen Phase (typische Dauer 100-300 Jahre) befunden hat5 (Abb. 4). Weil
14C etwa 40 Jahre in der Erdatmosphare bleibt bis es von Baumen und Panzen aufgenommen
wird, ist in der 14C-Konzentration der 11-jahrige Sonnenzyklus kaum wahrnehmbar, nur die
langsamen Variationen. Die 10Be-Konzentration in Eisschichten aus Gronland dagegen zeigt
deutlich den Sonnenzyklus, weil 10Be nur wenige Jahre in der Atmosphare bleibt bis es in
Niederschlagen den Erdboden erreicht6 (Abb. 5).
7) Eine Zerlegung des radialen Magnetfeldes auf der Sonnenoberache in Kugelfunktionen,
Br =
1 X̀
X
`=0 m=?`
cm` (t)Y`m (; );
(1)
(Abb. 6; aus Steno und Godel 19887) zeigt dass

a) antisymmetrische Modes (bez. des Aquators;
` ungerade) viel starker sind als symmetrische (` gerade), was vielleicht nur eine Ausdruckung der strengen Einhaltung der
Hale'schen Gesetze ist;
b) die Feldkomponenten mit ` ungerade fast nur eine Periode von etwa 22 Jahren haben,
wahrend die Feldkomponenten mit ` gerade diese Periode kaum aufweisen (nicht zusammen mit dem Sonnenzyklus variieren).
5 Stuiver, M. und Braziunas, T.F., 1988, in Secular Solar and Geomagnetic Variations in the Last 10,000 Years,
Her. F.R. Stephenson und A.W. Wolfendale, NATO ASI 236, Kluwer, Dordrecht
6 Beer, J. et al, 1994, in The Sun as a Variable Star: Solar and Stellar Irradiance Variations, Her. J.M. Pap, C.
Frohlich, H.S. Hudson und S.K. Solanki, Cambridge University Press, S. 291-350
7 Steno, J.O., Godel, M., 1988, A&A 191, 137-48
2
Abbildung 4: 14C-Konzentration in organischem Material. Die rechts angedeuteten positiven Ausweichungen sind das Maunderminimum (rechts) und das Sporerminimum (links) (Stuiver und
Braziunas 1988)
8) Magnetische Aktivitat wird auch in sonnenahnlichen Sternen beobachtet (durch Intensitatsmessungen von B-korrelierten Spektrallinien8 (Abb. 7). Die wichtigsten Ergebnisse sind:
a) In Hauptreihensternen (wie der Sonne) wird magnetische Aktivitat nur beobachtet
im Massenbereich wo stellare Modelle die Existenz einer konvektiven Schicht an der
Sternoberache vorhersagen.
b) Man unterscheidet ache (F), langsam variierende (L), unregelmassige (U) und zyklische
Aktivitat (Z). Sterne der Klassen F, L, Z (darunter die Sonne) haben geringere Aktivitat
als die der Klasse U, rotieren vergleichsweise langsam und sind alt (Korrelation zwischen
Alter, Rotation und Aktivitatslevel).
c) Die Periode der Z-Sterne ist typisch PZyk 7 ? 20 Jahre und ist schwach korreliert mit
der Rossby-Zahl Ro = Prot=c, das Verhaltnis der Rotationsperiode und der konvektiven
Turnoverzeit: PZyk / Ro?1 .
8 Baliunas, S.L. et al, 1995, ApJ 438, 269
Abbildung 5: 10Be-Konzentration in Eisschichten (Beer et al 1994)
3
Abbildung 6: Zerlegung des radialen Magnetfeldes auf der Sonnenoberache in Kugelfunktionen
(Steno und Godel 1988)
Abbildung 7: Magnetische Aktivitat in sonnenahnlichen Sternen. Jede Abbildung enthalt Sternnamen, Farbindex B ? V und eine Klassizierung der Aktivitatskurve (Baliunas et al 1995)
1.2 Magnetfeld der Erde
1) Eine Zerlegung des Magnetfeldes auf der Erdoberache (wie ein Potentialfeld, d.h. deniert
durch J = r B=0 = 0 , B = ?r),
= R
1 X̀ " r ?`?1n
X
m; int
`=1 m=0
R
r `n m; ext
g`
cos m + h`m; int sin m
ext sin m
cos m + hm;
`
o#
o
P`m (cos );
(2)
+ R g`
wo R = 6400 km der Erdradius ist, erlaubte zuerst Gauss (1838) festzustellen dass das
int
m; ext j, jhm; ext j). Die BeMagnetfeld innerhalb der Erde erzeugt wird (jg`m; int j, jhm;
` j jg`
`
stimmung dieser Koezienten durch Inversion erfordert Messungen der drei Feldkomponenten
1 @ 1 @ B = ?r
)
(Br ; B ; B ) = ? @
(3)
@r ; r @ ; r sin @
auf einer Anzahl von Orten, die abhangt vom hochsten Wert ` der noch bestimmt werden
soll. Ab jetzt werden die Bezeichnungen 'ext' und 'int' weggelassen weil immer 'int' gemeint
4
Abbildung 8: Ort des magnetischen Nordpols (Merrill und McElhinny 1989)
sein wird.
2) Das Magnetfeld auf der Erdoberache wird dominiert vom Dipolfeld (` = 1):
B1 (R) 3 10?5 T und BRest (R) 0:25 B1.
3) Das magnetische Dipolmoment der Erde m wird deniert durch
B1 = ?r mr3 r (r R)
m = R3 ? g11 ex ? h11ey + g10ez
)
(4)
(verwende P10() = cos , P11() = ? sin und n = ex sin cos + ey sin sin + ez cos ).
Die Dipolkoezienten (gemessen in T) betrugen in 1980
g10 = ?3:0 10?5;
g11 = ?1:95 10?6;
h11 = 5:634 10?6:
(5)
Es folgt m = jmj 8 1022 A m2. Die Dipolachse macht einen Winkel 11o mit der
Rotationsachse (tan = [(g11 )2 + (h11 )2 ]1=2=g10 ). Beobachtungen bez. des Dipolmomentes:
a) m wandert standig um die Rotationsachse, bleibt gemittelt aber parallel zu (Abb. 8).
Auch der Betrag jmj variiert (z.B. ?7% in den letzten 100 Jahren; siehe Abb. 9).
b) Umpolungen des Erdfeldes: innerhalb kurzer Zeit (103 ? 104 Jahre) und auf unregelmassigen Zeiten (typisches Intervall zwischen zwei Umpolungen etwa 5 105 Jahre) verandert
m seine Orientierung um etwa 180o (siehe Abb. 10);
c) Das Nicht-Dipolfeld BRest bewegt sich um 0:18o jahrlich westwarts relativ zum Dipolfeld.
4) Die Erde besteht aus einem geleitenden metallischen (hauptsachlich Fe) Kern (Radius 3500
km) und einem nicht-geleitenden (haupsachlich Si) Mantel (Dicke 2900 km). Der Kern besteht
aus einem festen innneren Kern (Radius 1400 km) und einem ussigen ausseren Kern (Dicke
2100 km). Rezente seismologische Messungen haben ergeben dass der innere Kern um etwa
2-3o pro Jahr schneller dreht als der aussere Kern9 .
9 Song, X., Richards, P.G., 1996, Nature 382, 221 und Su, W., Dziewonski, A.M., Jeanloz, R., 1996, Science 274,
1883-7
5
Abbildung 9: Dipolmoment jmj des Erdmagnetfeldes (Merrill und McElhinny 1989)
Abbildung 10: Polaritat des Erdmagnetfeldes (Merrill und McElhinny 1989)
6
2 Magnetohydrodynamik und das Dynamoproblem
2.1 Von den Maxwellgleichungen zur MHD
Die Maxwellgleichungen fur die elektromagnetischen Felder E und B lauten in MKS-Einheiten:
r E = ? @@tB
(Maxwell-Faraday)
(6)
r B = J + @@tE
(Maxwell-Ampere)
(7)
rB = 0
(8)
r E = q=:
(9)
Bemerkungen:
1) Im MKS-System wird das elektrische Feld E gemessen in V m?1, das Magnetfeld B in tesla
(T) oder Wb m?2, die Stromdichte J in A m?2 und die elektrische Ladungsdichte q in C m?3.
2) = 0 = 4 10?7 H m?1 (=Wb A?1 m?1=V s A?1 ) ist die Permeabilitat des Vakuums;
= 0 = 8:854 10?12 f m?1 ist die dielektrische Konstante; c = (00 )?1=2 = 2:998 108 m s?1
ist die Lichtgeschwindigkeit.
3) In einem Inertialsystem das mit relativer Geschwindigkeit u bewegt werden Felder E0 und
B0 wahrgenommen, die durch die Lorentztransformation mit E und B zusammenhangen
[ = (1 ? 2 )?1=2 , = u=c]:
E0k = Ek ;
B0k = Bk ;
E0? = (E? + u B)
o
n
B0? = B? ? u c2 E
(10)
Der Term 0 0 @ E=@t in der Maxwell-Ampere-Gleichung wird Verschiebungsstrom genannt. Die
relative Grosse dieses Terms in Vergleich zur linken Seite kann man wie folgt abschatzen: verwende
jrj 1=L, j@=@tj 1=T, L=T u und E=B u wegen (6), so dass
1 @E (11)
c2 @t =jr Bj EB cu2 2:
In der MHD-Annaherung werden dieser und andere Terme von relativer Grosse 2
vernachlassigt. Die Konsequenzen sind:
1) Gleichung (7) reduziert zu
r B = 0 J:
(12)
In der MHD gibt es daher keine elektromagnetische Wellen mehr.
2) Aus (6) folgt r J = ?@q=@t = 0 (Ladungserhaltung) ) q 0 (Neutralitat).
3) Die Lorentztransformationen fur E, B und J reduzieren zu
E0 = E + u B
B0 = B
)
J0 = J
(13)
(14)
Zu den Maxwellgleichungen kommt noch das Ohmsche Gesetz,
J0 = E0
)
J = (E + u B):
(15)
Bemerkungen:
1) ist die elektrische Konduktivitat (
?1 m?1).
2) (15) ist ein fenomenologisches Gesetz das nur gultig ist wenn innerhalb eines fur unser
Problem typischen Zeitintervalls 2=! genugend Kollisionen zwischen den geladenen Teilchen
stattnden, also Kollisionsfrequenz !. Wenn dies nicht der Fall ist, entsteht Ladungstrennung (Bereich der Plasmaphysik).
7
3) Durch (15) wird auch r E festgelegt und ist (9) uberussig geworden.
Durch Substitution erhalt man aus den 'pra-Maxwell'-Gleichungen (6, 8, 12 und 15) die MHDInduktionsgleichung:
@ B = r (u B ? r B);
(16)
@t
wo = (0 )?1 [m2 s?1 ] die magnetische Diusivitat ist. Falls konstant ist, gilt
@ B = r (u B) + r2B
( konstant).
(17)
@t
Zu der Induktionsgleichung kommen noch die hydrodynamischen Gleichungen fur ein nichtrelativistisches Gas:
@ = ?r (u)
(Kontinuitat)
(18)
@t
(Navier-Stokes)
(19)
ddtu = ?rp + g + flor + fvisk
p d
(Energieerhaltung)
(20)
de
dt = dt + r rT + Bemerkungen:
@ + u r ist die materielle Ableitung.
1) dtd = @t
2) in einem Koordinatensystem das mit Winkelfrequenz rotiert entstehen auf der rechten Seite
von (19) die zusatzlichen Terme ?2
u (Corioliskraft) und (
r)2 =2 (Zentrifugalkraft).
3) die Lorentzkraft ist flor = qE + J B J B, denn jqEj=jJ Bj 00 E 2=B 2 2 (9).
Eine alternative Ausdruckung lautet [verwende 12, 8 und B (r B) = rB 2 =2 ? (B r) B
(J9)]:
flor;i = rj mij ;
o
n
mij = 1 Bi Bj ? 21 B 2 ij :
0
(21)
m ist der magnetische Spannungstensor. Der erste Teil beschreibt Spannungskrafte (Kompo-
nenten von (B r)B=0 die k B sind) und Krummungskrafte (Komponenten von (B r)B=0
die ? B sind); der zweite Teil ist der magnetische Druck.
4) die viskose Kraft ist fvisk;i = rj ij , wo
o
n
ij = ( ? 2=3) ij r u + rj ui + ri uj :
(22)
ist der Viskositatsspannungstensor; [m2 s?1 ] ist die kinematische Viskositat und [m2 s?1 ] ist die bulk-Viskositat.
5) e [J kg?1] ist die interne Energie; [J m?1 s?1 K?1 ] ist die thermische Konduktivitat.
6) enthalt die verschiedenen Energiequellen wie zugefuhrte Warme und Dissipation von kinetischer und magnetischer Energie.
7) Die Energiedichte des elektrischen Feldes ist 0 jEj2=2 0u2 B 2 =2 = 2 B 2 =20 und kann in
der MHD vernachlassigt werden gegenuber der magnetischen Energiedichte.
8
2.2 Denition des Dynamoproblems
Gleichungen (16,18-20) bestimmen zusammen das Magnetfeld im Dynamo. Bemerkungen und
Randbedingungen:
D1) die geleitende Flussigkeit (Plasma) bendet sich in einem endlichen Volumen V mit Rand S;
der Aussenbereich V^ = R3=V ist ein Isolator ) in V gilt (16), in V^ gilt J = 0;
D2) B wird vollig in V erzeugt: B ! r?3 fur r ! 1;
R
D3) u ist regular (z.B. riuj endlich und V dV u2=2 endlich fur alle t) und n u = 0 auf S;
D4) B ist kontinuierlich uber S (kein Oberachenstrom auf S).
Die magnetische Energie des Dynamofeldes ist
Z
M(t) = 21
dV B 2 :
(23)
0 V [V^
Das Dynamoproblem ist dann so deniert: gibt es Losungen von (16,18-20) mit der Eigenschaft limt!1 M(t) 6= 0? Im dynamischen Fall werden die (nichtlinearen) Gleichungen (16,18-20)
konsistent gelost. Im kinematischen Fall wird u vorgeschrieben und wird nur die Induktionsgleichung (16) gelost, die dann linear ist.
9
3 Scheibendynamo
3.1 Kinematisch
Als anschauliches mechanisches Beispiel fur Dynamowirkung betrachten wir den Scheibendynamo.
Betrachte zuerst eine geleitende Scheibe ohne Verbindungsdraht in der Anwesenheit eines vertikalen
externen Magnetfeldes B = B0 ez . Wenn die Scheibe sich dreht mit Frequenz dann entsteht im
rotierenden System der Scheibe ein Elektrisches Feld E0 = u B = rB0 e ez = rB0 er , so
dass ein Strom von der Achse zur Rand iesst (bis sich durch Ladungstrennung ein elektrisches
Feld der Grosse ?E0 gebildet hat). Wenn man jetzt eine geleitende Verbindung zwischen Rand
und Achse anlegt, iesst ein Strom I. Dieser Strom erzeugt ein zusatzliches Magnetfeld, das durch
geschickte Orientierung des Drahtes das ursprungliche verstarken kann, wie in Abb. (11a). Das
auferlegte Feld wird dann nur gebraucht als Saatfeld und darf innitesimal klein sein.
Abbildung 11: a) Scheibendynamo b) Stromkreis des Scheibendynamos
Die Spannung zwischen Achse und Rand folgt aus dem Induktionsgesetz. Sei d1 der
magnetische Fluss im Scheibensegment dS (Abb. 12) und s = BS = MI der magnetische Fluss
in der Scheibe (M ist die Induktivitat). Es folgt d1 = B dS = ?BS
dt=2 = ?MI
dt=2, so
dass die induzierte elektromotorische Kraft (EMK)10
1 = MI
Vemk = ? d
(24)
dt
2
betragt. Ebenso folgt fur die Spannung im Spuhl (magnetischer Fluss 2 = LI; L ist die Selbstinduktion des Spuhles)
2 = ?L dI :
(25)
Vsp = ? d
dt
dt
Abbildung 12: EMK der Scheibe
10 In der Dynamotheorie wird, anders als ublich in der Elektrodynamik, oft u B als EMK bezeichnet
10
Um den Strom I zu bestimmen wenden wir das Kirchho'sche Gesetz an (Abb. 11b):
Vemk + Vsp = RI:
(26)
Es folgt
M
n R M
o
L dI
=
?
R
I
)
I(t)
=
I(0)
exp
(27)
dt
2
L 2R ? 1 t :
Abhangig von den Parametern erhalten wir eine exponentiell wachsende oder gedampfte Losung.
Es nden in diesem Dynamo aber keine Umpolungen des Stromes statt. Wichtige Eigenschaften
die auch bei kosmischen Dynamos zuruckkehren sind:
1) Dynamowirkung erfordert dass eine dimensionslose Dynamozahl eine Schwelle uberschreitet:
in diesem Fall M
=2R 1;
2) Der Scheibendynamo funktioniert nur mit einem Schleifkontakt (dierentielle Rotation);
3) Die Anordnung muss einen bestimmten Schraubensinn haben.
3.2 Dynamisch
Die lineare Behandlung des Scheibendynamos fuhrt zu exponentiellem Wachstum von I wenn
die Dynamozahl superkritisch ist. In Wirklichkeit spielt die nicht-lineare Lorentzkraft eine immer
grossere Rolle wenn I anwachst und dies fuhrt laut dem Lenz'schen Gesetz zu einem entgegengesetzten Eekt (Abb. 13): die Lorentzkraft J B bremst die Rotation ab. Betrachte die Gleichung
Abbildung 13: Die Lorentzkraft
fur das Drehmoment der Scheibe,
(28)
C d
dt = G + Mlor ;
wo C das Tragheitsmoment der Scheibe, G das auferlegte (konstante) Drehmoment und Mlor das
Moment der Lorentzkraft sind. Wenn die Scheibe dunn ist (Dicke d; Radius D d), gilt r ? B,
so dass [verwende (J2)] r (J B) = ?rJB ez , wo r der Abstand zur Achse und J = I=2rd die
Stromdichte sind. Es folgt
ZD
Z
2
2
Mlor = dV r (J B) = ? dr rIBez = ? D 2IB ez = ? MI
(29)
2 ez ;
V
0
wo D2 B = s = MI und dV = 2rd dr substituiert worden sind. Gleichung (28) lautet jetzt
M 2
(30)
C d
dt = G ? 2 I :
Es gibt jetzt keine unbeschrankt wachsende Losungen mehr. Die stationaren Losungen sind deniert
durch
8
>
< = 0 = 2R
dI = d
= 0
M
,
(31)
1=2
>
dt dt
: I = I0 = 2G
M
11
Abbildung 14: Verhalten des Scheibendynamos mit Lorentzkraft in der I
-Ebene
Abbildung 15: Zwei gekoppelte Scheibendynamos
Die ubrigen Losungen bilden geschlossene Kurven in der I
-Ebene um die beiden Punkte (I0 ; 0),
verlassen aber die Halbebene I < 0 oder I > 0 nicht (Abb. 14). Es gibt also weiterhin keine
Umpolungen.
Eine Moglichkeit Umpolungen zu erzeugen bieten gekoppelte Scheibendynamos (Abb. 15).
Wir nehmen an dass beide Scheiben die gleiche Induktivitat M, das gleiche Tragheitsmoment C
und auferlegtes Drehmoment G, beide Spuhle die gleiche Selbstinduktion L und beide Drahte den
gleichen Widerstand R haben. Die Gleichungen fur Strom und Drehmoment lauten jetzt
(32)
L dIdt1 = M
2 1I2 ? RI1
(33)
L dIdt2 = M
2 2I1 ? RI2
1 = G? MI I
C d
(34)
dt
2 1 2
M
2
C d
(35)
dt = G ? 2 I1 I2 :
Abb. (16) zeigt das Ergebnis einer numerischen Integration dieser Gleichungen, inklusive Umpolungen.
12
Abbildung 16: Verhalten von zwei gekoppelten Scheibendynamos (Moat, x12.4)
13
4 Grundlagen der MHD
4.1 Diusion und magnetische Reynoldszahl
Wenn u = 0 und konstant ist, reduziert die Induktionsgleichung zu einer Diusionsgleichung:
@ B = r2 B
(u = 0, =konstant):
(36)
@t
Wir wollen diese Gleichung in einer einfachen Situation losen: B = Bx (y; t)ex mit Randbedingungen Bx (0; t) = Bx (L; t) = 0. Durch Trennung von Variablen erhalt man
1
X
exp (?n22 t=d );
(37)
Bx (y; t) = cn sin ny
L
n=1
wo
d = L2 =
(38)
die Diusionszeit ist. Die Eigenfunktionen haben jeweils n ? 1 Nulldurchgange entlang die yAchse. Die typische Lange der raumlichen Variierungen einer Eigenfunktion ist ln L=n und die
Abklingzeit ist / ln2 = = d =n2 . Die Koezienten cn werden festgelegt durch eine Anfangsbedingung fur Bx (y; 0). Fur t > d dominiert n = 1, unabhangig von den Anfangsbedingungen (falls
c1 6= 0).
In einem Dynamo muss die Diusion (mindestens) kompensiert werden von der Advektion
r (u B) (17). Das Verhaltnis Advektion/Diusion deniert die magnetische Reynoldszahl:
)
jr (u B)j uB=L
uB=L = uL :
(39)
Rm = B=L
2
2
2
jr Bj B=L
Wenn Rm 1 dominiert Diusion (36); wenn Rm = 1 (, = 1 , = 0) dominiert Advektion
und erhalt man die Induktionsgleichung der idealen MHD:
@ B = r (u B):
( = 0)
(40)
@t
Tabelle 1: Diusionszeiten und Reynoldszahlen von diversen Objekten
Objekt
L [m]
u [m s?1 ] [
?1 m?1 ] [m2 s?1 ] d
Rm
6
Hg (l)
1
1
1 10
0:8
1:2 s
1:2
Erdkern
3:5 106 10?4
3 105
3
105 jr
100
Sonne (Konv.-Schicht) 2 108
10
3 106
0:3
4 109 jr 7 109
Bemerkungen:
1) Moglicherweise hat L nicht einen Wert sondern gibt es einen Bereich von Werten zwischen
Lmax und Lmin . Streng genommen ist = 0 setzen dann nur erlaubt wenn auch Rm;min =
uLmin = 1.
2) Dynamowirkung fordert zumindest Rm > 1, was im Labor problematisch ist, aber nicht in
der Astrophysik (L sehr gross).
3) Das Alter des Erdmagnetfeldes (> 104d ) lasst sofort auf Dynamowirkung schliessen.
4) Fur die Sonne ist d vergleichbar zu ihrem Alter. Dass in der Sonne ein Dynamo funktioniert
geht aber aus der Periodizitat ihres Magnetfeldes vor.
14
Abbildung 17: Flusserhaltung
4.2 Magnetischer Fluss
Der magnetische Fluss durch eine materielle Oberache St ist
(t) =
Z
St
dS B:
(41)
Um zu wissen wie sich verandert verwenden wir zuerst r B = 0 und das Theorem von Gauss
auf das Volumen V zur Zeit t + dt (siehe Abb. 17):
Z
V
dV r B(t + dt) = unten + oben + Seite = 0:
Die Flachenintegrale entwickeln wir fur dt ! 0:
unten = ?
oben =
Seite =
Z
Z
St
St+dt
Z
Ct
dS B(t + dt) = ?(t) ?
Z
St
dS @@tB dt
dS0 B(t + dt) = (t + dt)
(dl udt) B(t + dt) =
Z
Ct
(dl u) B(t) dt
(42)
(43)
(44)
(45)
Anwendung von (a b) c = (b c) a und des Theorems von Stokes auf (45) und Substitution
von (43{45) in (42) liefern
d = Z dS n @ B ? r (u B)o = ? Z dS nr (r B)o:
(46)
dt
@t
St
St
Die magnetischen Feldlinien sind fur = 0 (ideale MHD) auch materielle Linien und werden von
der Stromung u mitgeschleppt (sind 'eingefroren').
Fur ein besseres Verstandnis betrachten wir noch mal den Fall > 0. Substitution der
Faraday-Gleichung (6) in (46) und Anwendung des Theorems von Stokes liefern die FaradayGleichung in Integralform:
d = ? Z dl (E + u B) = ? Z dl E0 :
(47)
dt
Ct
Ct
Die rechte Seite ist die induzierte Spannung und wird auch elektromotorische Kraft genannt.
In der idealen MHD gilt E0 = J= = 0 so dass die elektromotorische Kraft verschwindet. Der
Scheibendynamo funktioniert nur wenn 6= 0, weil sonst kein magnetischer Fluss in die Scheibe
eindringen kann!
Auf Grund des Prinzips der Flusserhaltung ist leicht einzusehen wie es zu einer Verstarkung
des Magnetfeldes kommen kann. Drei wichtige Mechanismen sind Kontraktion, shearing, und
stretching. Betrachten wir die Kontraktion eines Kugels mit Radius R1 / ?1 1=3 (1 ist die mittlere
Dichte) und Magnetfeld B1 . Der magnetische Fluss in der Equatorebene, R21 B1 , ist konstant, so
dass
R1 2 2 2=3
= B1 :
(48)
B2 = B1 R
2
1
15
Zwei Beispiele:
1) Fur die Kontraktion einer interstellaren Wolke zu einem 1 M -Stern ndet man mit 1 10?20 kg m?3, B1 10?10 T und 2 103 kg m?3: B2 2 105 T, viel starker als das
typische Magnetfeld auf der Sonnenoberache (0:1 T).
2) Fur die Kontraktion eines 5 M -Sterns zu einem Neutronenstern ndet man mit 1 10 kg m?3, B1 10?2 T und 2 1018 kg m?3: B2 2 109 T, etwa in U bereinstimmung
mit den Beobachtungen.
Abbildung 18: Feldverstarkung durch Kontraktion, shearing und stretching.
Kontraktion ist ein kompressibeler Mechanismus der Feldverstarkung, aber nicht sehr relevant fur
Dynamowirkung. Kontrahierende Phasen haben eine begrenzte Dauer, wahrend ein Dynamofeld
auch fur t ! 1 existieren soll. Relevanter fur z.B. Erde und Sonne sind inkompressibele Mechanismen, bei denen die Dichte eines mitbewegenden Volumenelements konstant bleibt (siehe 18):
d = 0
,
r u = 0:
(49)
dt
Inkompressibilitat gilt sicher nicht fur vertikale Stromungen in der Sonne wegen der starken
Dichteschichtung = (r), wohl aber fur Stromungen auf Kugelachen r =konstant, wie z.B.
dierentielle Rotation u0 = (r; )r sin e . Zwei mogliche Eekte der dierentiellen Rotation sind
stretching (Streckung) und shearing (Scherung). Bei stretching wird ein Volumenelement entlang die
Feldrichtung gestreckt, bei shearing wird ein Volumenelement senkrecht zur Feldrichtung geschert.
In beiden Fallen gelten (Abb. 18) Volumenerhaltung L1d21 = L2 d22 und Flusserhaltung B1 d21 =
B2 d22 ) B1 =B2 = L1 =L2 (= 1= cos bei Streckung).
4.3 Die Energiegleichung
Die Energiedichte eines MHD-Dynamos hat drei unterschiedliche Beitrage: eine magnetische, eine
kinetische und eine interne. Um die Gleichung fur die magnetische Energiedichte B 2 =2 ab zu
leiten dierenzieren wir nach t:
@ B 2 =6 ? 1 B (r E) 15,J10
1 r (E B) ? u (J B) ? J 2 :
=
?
(50)
@t 20
0
0
Bemerkungen:
1) P = E B=0 ist die Flussdichte der elektromagnetischen Energie, oder Poynting-Fluss.
2) u (J B) = u flor, die von der Lorentzkraft auf die Flussigkeit verrichtete Arbeit.
3) J 2= ist die Ohmsche Dissipation (Erhitzung).
4) Fur die gesamte Energie des Dynamofeldes gilt
Z
B2 ;
dV 2
EM =
0
V [V^
dEM = ? Z dV nu f + J 2 =o;
lor
dt
V
(51)
denn (verwende Gauss)
Z
V [V^
dV r P = 0:
(52)
16
Die Gleichung fur die kinetische Energiedichte u2 =2 erhalten wir durch Dierenzierung nach t
und Substitution der Kontinuitatsgleichung (18) und der Navier-Stokes-Gleichung (19):
@ u2 = u2 @ + u @ u
(53)
@t 2
2 @t
@t
n
o
2
= ? u2 r u + u ? (u r)u ? rp + g + flor + fvisk :
(54)
Schliesslich gilt fur die interne Energie (20):
@ e = de ? r eu = ?r neu ? rT o + p d + ;
(55)
@t
dt
dt
wo
= s + visk + J 2 =
(56)
die gesamte Rate der Energieproduktion in der Flussigkeit bezeichnet; s beschreibt die Energieproduktion durch chemische oder nukleare Reaktionen. Wenn wir (50), (54) und (55) addieren
erhalten wir eine Gleichung fur die gesamte Energiedichte
2
2
g = B2 + ( u2 + e):
(57)
Zwei der drei magnetischen Terme aus (50) fallen jetzt weg. Das lasst sich folgendermassen erklaren:
1) die Arbeit der Lorentzkraft u fLor stellt die Umwandlung von magnetischer in kinetische
Energie (oder andersum) da;
2) J 2= beschreibt die irreversibele Umwandlung von magnetischer Energie in interne Energie.
4.4 Toroidale und poloidale Vektoren
In den meisten Fallen werden wir Dynamos in spherischen Korpern betrachten. Dann ist eine
Zerlegung der Vektorfelder in toroidale und poloidale Komponenten bequem. Jeder divergenzfreie
Vektor, wie z.B. das Magnetfeld B, ist zu schreiben als B = r A, wobei der Vektorpotential A
lautet
A = r + T r + r P r:
(58)
Es folgt
B = r T r + r r P r = B t + Bp ;
(59)
wo Bt die toroidale Komponente und Bp die poloidale Komponente sind. Eigenschaften:
1) Bt = r T r = rT r steht senkrecht auf r (liegt auf Kugelschalen r =konstant).
2) Man kann zu T eine Funktion f(r) addieren ohne Bt zu andern, so dass man immer annehmen
darf dass der Mittelwert von T uber eine Kugelschale verschwindet,
Z 2 Z 0
0
T sin dd = 0:
(60)
3) r Bt = r r T r ist ein poloidaler Vektor.
4) r Bp = r r r P r = ?r r2P r ist ein toroidaler Vektor (verwende J6).
5) Die Zerlegung in T und P ist immer moglich wenn r B = 0, denn T und P konnen gelost
werden aus folgenden partiellen Dierentialgleichungen:
r B = r Bp = r (r rP r);
(61)
r (r B) = r (r Bt ) = r (r rT r):
(62)
6) Bt B0t = ?rfr (rT rT 0)g ist k r und daher ein poloidaler Vektor (verwende J1); Bt B0p
und Bp B0p sind im Allgemeinen gemischte Vektoren.
17
7) Wenn B axialsymmetrisch ist (@=@ = 0) gilt
Bt = er @@ T r = B e ;
(63)
r P r = rP r = A e ) Bp = r A e :
(64)
Das toroidale Feld liegt jetzt auf Kreisen r = konstant und = konstant, das poloidale Feld
in Meridianebenen.
18
5 (Anti)dynamotheoreme
5.1 Mindestforderung fur Dynamowirkung
Wir betrachten das Dynamoproblem mit folgenden zusatzlichen Annahmen:
A1) V ist ein Kugel mit Radius R,
A2) r u = 0 (Inkompressibilitat),
A3) u = 0 auf S (S ist die Oberache r = R),
A4) ist konstant,
und wollen aus der Gleichung fur die gesamte magnetische Energie (51) eine Mindestforderung fur
die magnetische Reynoldszahl Rm ableiten. Der BeweisR geht zuruck auf Backus11 . Zuerst suchen
wir eine Obergrenze fur den Beitrag der Lorentzkraft ? V dV u flor. Nach Substitution von u flor =
?u (B (r B))=0 = ?(u B) (r B)=0 erhalten wir:
Z
Z
? dV u flor = 1 dV (u B) (r B)
0 V
V
Z n h
i
h
io
J10
(65)
= 1 dV r B (u B) + B r (u B :
0 V
Nach Verwendung von Gauss und (A3) verschwindet der erste Term zur rechten Seite von (65).
Wir substituieren r (u B) = (B r)u ? (u r)B (J11, A2) und B (u r)B = 21 r B 2u (A2),
wonach
Z
1 Z dV nB (B r)u ? 1 r B 2 uo
(66)
=
? dV u flor
0 V
2
V
Z
1 Z dV B B e ;
Gauss, A3 1
=
dV
B
B
r
u
=
(67)
i j j i i j ij
0 V
0 V
wo
(68)
eij = 12 (ri uj + rj ui ):
[Im kompressibelen Fall kommt in (66) auf der rechten Seite ein Term ?B 2 (r u)=2, in (67) auf
der rechten Seite ein Term ?(r u) ij g=2 hinzu.] Sei ! der grosste Eigenwert von e, dann folgt
Z
Z
2
? dV u fLor ! dV B 2!EM ;
(69)
0
V
V
R
Als Nachstes wollen
wir eine Untergrenze fur V dV J 2 = ableiten. Dazu bestimmen wir die StromR
dichte J fur die V dV J 2 = den minimalen Wert erreicht unter den folgenden Bedingungen:
a) r J = 0 in V ;
b) EM = EM0 ist konstant.
Bedingung a) folgt aus (12) und fuhrt zu der Randbedingung n J = 0 auf S (wende Gauss an
auf einer kleinen Schachtel die von S durchschnitten wird). Die Minimalisierung erfolgt durch
Variationsrechnung. A hnlich wie in der klassischen Mechanik betrachten wir dazu das Integral
Z n 2
o nZ
B 2 ? E 0 o;
dV 2
(70)
A[J] = dV J + a (r)r J + b
M
0
V [V^
V
wo b (eine Konstante) und a (r) (eine Funktion) die Multiplikatoren sind. Innerhalb
R V setzen
wir J ! J + J und auf S n J = 0. Der erste Term von (70) ergibt als Variation 2 V dV J J=.
Die Variation des zweiten Terms ist (verwende r f a = f r a + a rf):
Z
dV a r J =
Z
o
n
dV r a J ? J ra = ?
V
V
11 Backus, G.E., 1958, Ann. Phys. 4, 372-447
19
Z
V
dV J ra :
(71)
R
R
( V dV r a J = S dS Ja = 0 wegen n J = 0). Die Variation des letzten Terms ist
Z
b EM = b
dV B B:
(72)
0 V [V^
Wir substituieren B = r A und verwenden (J10):
Z
n
o Z
b
dV r (A B) + A (r B) = b dV A J:
(73)
b EM = 0 V [V^
V
In (73) haben wir Gauss angewendet und so den ersten Term zur rechten Seite verschwinden lassen.
Wenn wir die Variationen addieren, erhalten wir
Z
o
n
(fur alle J):
(74)
A = dV J 2 J ? ra + b A = 0
V
Es folgt
J = 2 ra ? 2 b A
(75)
und wenn wir zu beiden Seiten die Rotation nehmen erhalten wir
r2B = ?sB
(in V ):
(76)
Dies ist die Induktionsgleichung fur ein frei zerfallendes Feld (setze u = 0 in 17); die Konstante
s = b =2 entspricht 1=Abklingzeit. Fur die Dissipationsrate ergibt sich
Z
Z
Z (77)
dV J 2= = dV J 21 ra ? sA =a dV 21 r a J ? sA J :
V
V
V
R
R
Aus Gauss und (a) ergibt sich V dV r aJ = S ds a J = 0. Wir substituieren A (r B) =
B 2 ? r (A B) (J10) und verwenden Gauss:
Z B2 s Z
Z
2
(78)
dV J = = s dV ? dS (A B):
0
0 S
V
V
R
R
Das Integral S dS (A B) = S dS B (n A) konnen wir umschreiben mit Hilfe der Randbedingung
R [n A] = 0 auf S. (Beweis: berechne fur eine kleines Rechteck das von S durchschnitten
wird dS B und verwende Stokes und Kontinuitat von B auf S.) Es folgt
Z
S
dS B (n A) = ?
= ?
Substitution in (78) ergibt
Z
V
dV J 2= = s
Z
Z
Z
dS B (n A) = ?
^
S
V^
dV r (A B) = ?
2
V [V^
Z
dV B = 2sEM :
S^
Z
dS (A B)
V^
dV B 2 :
(79)
(80)
(81)
0
Es folgt [substituiere (69) und (81) in (51)]
dEM 2(! ? s) E :
(82)
M
dt
Fur unsere Kugelgeometrie lasst sich beweisen12 s (=R)2. Eine notwendige (aber nicht zureichende) Bedingung fur Dynamowirkung ist also
2
(83)
! R 2 :
Wenn wir ! abschatzen als u=R dann muss die magnetische Reynoldszahl Rm = uR= > 2 sein.
12 Moatt, x2.7
20
5.2 Cowling-Theorem
Das Cowling-Theorem besagt die Unmoglichkeit axisymmetrischer Dynamowirkung. Der Beweis
dem wir hier folgen13 geht aus vom ublichen Dynamoproblem mit folgenden zusatzlichen Bedingungen:
B1) B und u sind axisymmetrisch,
B2) r u = 0 (Inkompressibilitat),
B3) ist konstant.
Wir schreiben B und u als
B = Bt + Bp = Bte + r At;
(84)
u = u t + up :
(85)
Nach Substitution in der Induktionsgleichung (17) und Trennung der poloidalen und toroidalen
Komponenten erhalt man [ut Bt = 0 wegen Axialsymmetrie]
@ Bt = r (u B + u B ) ? r (r B );
(86)
t
p
p
t
t
@t
@ Bp = r (u B ) ? r (r B ):
(87)
p
p
p
@t
Zuerst beweisen wir dass Bp ! 0. Dazu substituieren wir in (87) Bp = r At :
@ At = u (r A ) ? r (r A ):
(88)
p
t
t
@t
Im Allgemeinen kann man zu dieser Gleichung noch ein willkurlicher Gradient r addieren, aber
@=@ = 0 wegen Axialsymmetrie. Wir verwenden Kugelkoordinaten und denieren
s = r sin :
(89)
Die Rotation eines axisymmetrischen Vektors ist
@ A sin ? e @ rA + e n @ rA ? @Ar o:
r A = esr @
(90)
t
r @r t r @r @
Beachte dass die Einheitsvektoren er , e , e Funktionen der Koordinaten sind. Es folgt
n er @ e @ o
(91)
r At = sr
@ ? s @r sAt
n
@ osA = ? e (u r)sA
) up (r At ) = ?e usrp @@ + uspr @r
(92)
t
t
s p
und
n @2 1 @ 1 @ o
?r (r At ) = e r1 @r
2 r + r2 @ sin @ sin At
n @ 2@ 1 @
@ ? 1 oA
r @r + sr @ sin @
= e r12 @r
s2 t
n
o
= e r2 ? s12 At ;
(93)
wo r2 = r r der Laplace-Operator ist. Substitution in (88) ergibt
@At = ? 1 (u r)sA + r2 ? 1 A
(in V );
(94)
t
@t
s p
s2 t
wahrend r B = 0 in V^ :
2 1
(in V^ ):
(95)
r ? s2 At = 0
13 Braginskii, S.I., Sov. Phys. JETP 20, 726-35 und Moat 6.4
x
21
Wir multiplizieren (94) mit s2 At :
1 2@ 2
2 2
(in V ):
2 s @t At = ?sAt (up r)sAt + At (s r ? 1)At
Diese Gleichung wollen wir integrieren uber V . Dazu bemerken wir zuerst
= 21 (up r)s2 A2t = 12 r s2 A2t up ;
sAt (up r)sAt B1,B2
n
o
At (s2 r2 ? 1)At = r sAt r sAt ? sA2t es ? (r sAt )2:
Der Beweis von (98) erfolgt mit rs = es und rsAt = srAt + At es :
n
o
s2 At r rAt = s2 At r 1s rsAt ? es At
oi
o
n
n
h
= r s2 At 1s rsAt ? es At ? (rs2 At ) 1s rsAt ? es At
n
o
= r sAt rsAt ? sA2t es ? (rsAt )2 + A2t :
(96)
(97)
(98)
(99)
(100)
[(100) folgt aus (99) nach Substitution von rs2 At = srsAt + sAt es ]. Wir integrieren (96) uber V
und addieren dazu das Integral des letzten Terms uber V^ (das ist erlaubt wegen 95). Wo moglich
verwenden wir Gauss:
1 d Z dV s2 A2 = ? 1 Z dS u s2 A + Z dS nsA rsA ? sA2 e o
(101)
p
t
t
t
t
t s
2 dt V
2 S
S1
?
Z
V [V^
dV (rsAt )2;
(102)
wo S1 die Oberache eines unendlich grossen Kugels bezeichnet. Das erste Oberachenintegral
verschwindet weil n u = 0 auf S; das zweite weil A / r?2 fur r ! 1. Es ergibt sich:
1 d Z dV s2 A2 = ? Z dV (rsA )2 0;
(103)
t
t
2 dt V
V [V^
und wenn wir absehen von unphysischen Singularitaten folgt At ; Bp ! 0.
Der Beweis fur Bt geht auf ahnliche Weise. Wir setzen Bp = 0 in (86) und substituieren
[up Bt = (up er ? upr e )Bt ; siehe (90) und (93)]:
n@
@u Bo
rupr Bt + @
r (up Bt ) = ? er @r
p t
n @ r2Bt upr 1 @ sin up Bt o
= ? ser r1 @r
r + sin @
s
B t up = ?se r s = ?se (up r) Bst
(104)
o
n
(105)
?r (r Bt ) = e r2 ? s12 Bt :
Substitution in (86) ergibt
@Bt = ?s(u r) Bt + nr2 ? 1 oB :
(106)
p
@t
s
s2 t
Wir multplizieren (106) mit Bt =s2 . Bemerke zuerst (verwende r up = 0)
Bt (u r) Bt = u 1 r Bt2 = 1 r Bt2 up :
(107)
p 2 s2
s p
s
2
s2
Dann folgt
1 @ Bt2 = ? 1 r Bt2 up + Bt r2 ? 1 B
in V :
(108)
2 @t s2
2
s2
s2
s2 t
22
Wir substituieren [verwende r(Bt =s) = (1=s)rBt ? es Bt =s2 ]
Bt r rB = B r nsr Bt + e Bt o
t
s s
s2
s2
s
h n
o
o
n
= r Bs2t sr Bst + es Bst ? (r Bs2t ) sr Bst + es Bst
n
2o
2
(109)
= r Bst r Bst + es Bs3t ? (r Bst )2 + Bs4t
und integrieren (108) uber V ; den letzten Term in (108) aber uber V [ V^ . Die Oberachenintegrale
verschwinden aus den gleichen Grunden wie bei Bp und es ergibt sich
1 d Z dV Bt2 = ? Z dV r Bt 2 0:
(110)
2 dt V s2
s
V [V^
Damit folgt Bt ! 0.
5.3 Cowling-Theorem (2)
Der ursprungliche Beweis von Cowling14 geht aus von einer zusatzlichen Annahme:
@ =0
(Stationaritat):
B4) @t
Die Unmoglichkeit der Dynamowirkung folgt aus einem lokalen Argument. Die Feldlinien von Bp
liegen in Meridianebenen und sind alle geschlossen; weil J = 0 in V^ gibt es in V eine neutrale Linie
CN, wo Bp = 0 (Abb. 19).
Abbildung 19: Die neutrale Linie
Es gibt zwei Varianten des 'Beweises'. Die erste fangt an mit der Bemerkung dass im
Allgemeinen Jt = r Bp =0 6= 0 auf CN, weil Bp geschlossene Kurven um CN bildet. Jetzt
integrieren wir J entlang CN und verwenden Ohm (15) und Stokes. Wegen Faraday (6) und (B4)
gilt E = r; Anwendung von (B1) liefert
Et = 0;
(111)
und wegen (u B)t = up Bp = 0 auf CN ergibt sich
Z
CN
dl J = Z
CN
dl (E + u B) = 0:
(112)
Wegen Axialsymmetrie folgt aus (112) Jt = 0: die elektromotorische Kraft (47) ist nicht im Stande
entlang CN den Strom in Stand zu halten. Wenn Jt 6= 0 auf CN richtig ist, haben wir einen
Widerspruch und damit ware die Unmoglichkeit stationarer axisymmetrischer Dynamowirkung
bewiesen. Diese Annahme ist aber nicht so oensichtlich wie sie erscheinen mag: wenn CN eine
neutrale Linie zweiter Ordnung ist, dann gilt dort auch ri Bp = 0 ) Bp = Jt = 0 auf CN .
14 Cowling, T.G., 1934, MNRAS 94, 39-48
23
In der zweiten Variante wird diese Schwache afgehoben. Wir integrieren B entlang C und
verwenden (111) (siehe Abb. 19):
Z
Z
Z
dl B = 0 dS J = 1 dS (E + u B)
(113)
C
S
S
Z
Z
U
1
(114)
= dS (up Bp ) dS jBp j;
S
S
wo U = maxV up . Aus dieser Ungleichheit ist ein Widerspruch ab zu leiten. Weil Bp ! 0 fur ! 0
gilt
1 Z dS jB j 1 Z jdl B j;
(115)
p
p
S S
L C
wo L die Lange von C bezeichnet. Substitution in (114) ergibt
(116)
1 U LS = U O():
Fur ! 0 entsteht ein Widerspruch. Der physische Hintergrund ist die Unmoglichkeit des Induktionsterms up Bp um in der Nahe der neutralen Linie die Diusion ?r Bp zu kompensieren.
Damit ist das Cowling-Theorem unter Bedingungen (B1-B4) bewiesen. Bemerkungen:
1) Durch Mittelung der Induktionsgleichung (16) uber sieht man dass nur die axisymmetrische
Komponente von u am axialsymmetrischen Teil von B beitragt.
2) Das Cowling-Theorem schliesst keine Dynamowirkung aus fur u axisymmetrisch und B nichtaxisymmetrisch.
3) Ein allgemeiner Beweis des Cowling-Theorems, insbesondere fur kompressibele Stromung ist
noch immer nicht geliefert; siehe Ivers und James15. Ein alternativer Beweis fur inkompressibele Stromung (durch eine Zerlegung in spherisch-harmonische Funktionen, den BullardGellman-Formalismus) ist zu nden bei James et al16.
5.4 Toroidaltheorem
Ein Beispiel eines Antidynamotheorems das Bedingungen auf u aber nicht auf B stellt geht zuruck
auf Elsasser17 und wurde zuerst bewiesen von Bullard und Gellman18; der Beweis der hier behandelt
wird stammt von Backus19 . Die zusatzlichen Annahmen neben den ublichen (2.2) sind:
C1) r u = 0 (Inkompressibilitat);
C2) ist konstant;
C3) up = 0 ) r u = 0 (rein toroidale Bewegung);
C4) V ist ein Kugel.
(C3) besagt dass die Stromung auf Kugeloberachen stattndet; (C4) ist davon die logische Folge.
Zuerst verwenden wir (C1) ) r (u B) = (B r)u ? (u r)B und substituieren das Ergebnis
in die Induktionsgleichung (17):
dB = (B r)u + r2B:
(117)
dt
Wir werden beweisen dass Bp ! 0 und denieren dazu
Q = r B = r Bp :
(118)
Ableitung nach t und Substitution von (117) ergeben
dQ = u B + r dB = u B + r (B r)u + r r2B;
(119)
dt
dt
15 Ivers, D.J. und James, R.W., 1984, Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A 312, 179-218
16 James, R.W., Roberts, P.H. und Winch, D.E., 1980, GAFD 15, 149-60
17 Elsasser W.M., 1946, Phys. Rev. 69, 106-16
18 Bullard, E.C, Gellman, H., 1954, Phil. Trans. Roy. Soc. A247, 213-78
19 Backus, G.E., 1958, Ann. Phys. 4, 372-447
24
wo
d = @ + u r:
dt @t
Wir vereinfachen (119) durch Substitution folgender Identitaten:
(B r) r u = u (B r)r + r (B r)u = u B + r (B r)u;
n
r2r B J9
= r (r r)B + (B r)r + r (r B) + B (r r)
n
= r (r r)B + B + r (r B)
n
o
n
(120)
o
(121)
o
= r r (r B) = ?r r (r B)
o
= r r2B:
(122)
[(B r)r = B, r r = 0 und r (r r)B = r B = 0.] Es ergibt sich
dQ = r2Q + (B r)r u C3
= r2 Q
(in V ),
(123)
dt
r2Q = 0
(in V^ ).
(124)
Gleichung (123) beschreibt die Diusion des poloidalen Feldes im mitbewegenden System. Weil ein
Quellterm fehlt (C3), ist zu erwarten dass Q ! 0. Fur den genauen Beweis multiplizieren wir mit Q
und integrieren uber V [verwende (C1) ) Q(u r)Q = r Q2u=2 und Qr2Q = r QrQ ? (rQ)2]:
1 d Z dV Q2 = Z dV Q @Q = Z dV n ? Q(u r)Q + Qr2Qo
2 dt V
@t
V
V
Z
Z
= ? 12 dV r Q2u + dV Qr2Q
V
V [V^
Z
Z
Z
= ? 21 dS Q2n u + dV (rQ)2
dS Q(n r)Q ? ^
V [V
S1
S
= ?
Z
V [V^
dV (rQ)2 0:
(125)
Das Oberachenintegral uber S verschwindet weil n u = 0 auf S. Wir haben zur rechten Seite das
Integral von r2Q uber V^ addiert, was erlaubt ist wegen (124); das Integral uber S1 verschwindet
weil Q / r?2 fur r ! 1. Aus (125) folgt Q ! 0, wieder abgesehen von unphysischen Singularitaten:
ohne poloidale Geschwindigkeiten kann Bp nicht standhalten.
Es soll jetzt noch bewiesen werden dass auch Bt ! 0. Dazu setzen wir Bp = 0 und Bt =
?r rT (x4.4) in der Induktionsgleichung fur Bt :
@ Bt = r (u B ) + r2B :
(126)
t
t
t
@t
Bemerke dass
= ?r(ut r) T
ut Bt C3
und
) r (ut Bt ) J8
= r r(ut r) T;
(127)
r2(r rT)i = ijk rm rm rj rk T = ijkrm (mj rk T + rj rm rk T)
= ijk (2rj rk T + rj rm rm rk T) = ijkrj rk r2 T
= (r r)i r2T:
(128)
Die Induktionsgleichung (126) lautet jetzt:
2
?r r @T
@t = r r(ut r) T ? (r r)r T:
25
(129)
Es folgt
@T + (u r)T = r2T + f(r);
(130)
t
@t
wo f(r) eine willkurliche Funktion ist. Wir multiplizieren mit T und integrieren uber V . Laut (60)
durfen wir immer annehmen dass das Integral von T uber eine Kugeloberache verschwindet. Aus
(C4) folgt dann
Z
V
dV Tf(r) = 0;
(131)
und es ergibt sich [verwende (C1) und T r2 T = r T rT ? (rT)2 (J7)]
1 d Z dV T 2 = ? Z dS T 2 n u ? Z dV (rT)2 = ? Z dV (rT)2;
(132)
t
2 dt V
S
V
V
und somit T; Bt ! 0. Bemerkungen:
1) Wenn es nur dierentielle Rotation gibt () up = 0) dann keine Dynamowirkung, weil Bp
nicht regeneriert wird.
2) Das Theorem ist auch gultig wenn = (r), aber nicht wenn = (; ) (siehe Bullard und
Gellman). Fur = (r; ) ist es wahrscheinlich gultig20.
3) Ein analoges Theorem gibt es fur Stromung in einer Ebene (d.h. k u = 0)21.
4) Ein vergleichbares Theorem gibt es nicht wenn u auf Zylinderoberachen liegt. Der Grund
ist dass der Diusionsoperator in Zylinderkoordinaten Feldkomponenten senkrecht zur Rotationsachse (es B) und azimuthale Feldkomponenten (es B) vermischt.
5.5 Dipolmoment des Dynamos
Wir betrachten das Dynamoproblem (2.2) mit der Annahme
D1) V ist ein Kugel mit Radius R.
Die formale Losung der MHD-Ampere-Gleichung r2 A = ?0 J (12) ist
0 Z dV 0 J(r0) :
A = 4
(133)
jr ? r0 j
V
Durch Substitution von
1 rl
1 =X
<
(134)
jr ? r0j l=0 r>l+1 Pl (cos );
erhalten wir die Multipolentwicklung des Vektorpotentials, wo r< = min(r; r0), r> = max(r; r0),
= 6 (r; r0), P0 = 1 und P1(cos ) = cos . Ausserhalb V gilt r< = r, r> = r0 )
1 = 1 + r r0 + :::;
(in V^ ):
(135)
jr ? r0j r r3
Der erste Term liefert keinen Beitrag an A weil
Z
V
dV Ji =
Z
V
(J r)ri =
Z
V
dV r riJ =
Z
S
dS rin J = 0:
Der zweite Term liefert den Dipolbeitrag A1. Weil
Z
V
dV riJj =
Z
V
dV ri(J r)rj =
Z
V
dV ri r rj J =
Z
1
= ? dV rj Ji = 2 dV (riJj ? rj Ji )
V
V
20 Donner und Brandenburg, 1991, GAFD 50, 121-9
21 Zel'dovich, Ya.B., 1957, Sov. Phys. JETP 4, 460-2; Moat 6.8
Z
x
26
Z
S
dS rirj n J ?
(136)
Z
V
dV rj (J r)ri
(137)
und r (r0 J) = ?(r r0) J + (r J) r0, ist A1 zu schreiben als
Z
Z
0
0
0
0
0
A1 = 4r3 dV (r r ) J(r ) = ? 8r3 r dV 0r0 J(r0)
V
V
= ? r r3m
(in V^ )
= 3(m nr)3 n ? m
(in V^ );
) B1 J11
= ?r mr3 r J9
wo n = r=r und m das Dipolmoment des Dynamos ist,
0
m = 8
Z
V
dV r J:
(138)
(139)
[Nebenbei sei aufgemerkt dass (138) ein Potentialfeld ist, d.h. B1 = ?r1 mit
(140)
1 = mr3 r = ?(m r) r1 :]
Wir wollen uns jetzt m naher ansehen. Dazu beweisen wir zuerst die Identitat
Z
3
m = 8 dV B:
(141)
V
Substitution von B = r A und Anwendung von Gauss und (133) ergeben
Z
Z
0 Z dS n Z dV 0 J(r0)
dV B =
dS n A = 4
jr ? r0j
S
V
V
S
Z
Z
0
0
0
(142)
= ? 4 dV J(r ) dS jr ?n r0j :
V
S
Im Integral uber S substituieren wir (134), wobei dS = R2d
(D1):
Z
1 2 rl Z
X
< d
Pl (cos ) n:
dS jr ?n r0j = Rl+1
(143)
r
S
l=0 >
Der Normalvektor auf der Kugeloberache ist n = ex sin cos + ey sin sin + ez cos ; wegen
Ortogonalitat der Legendrepolynome bleibt nur l = 1 ubrig. Wir substituieren cos = n n0,
r> = r = R und r< = r0 :
Z
Z
Z
r0 n0i = 4
ri0 :
(144)
dS jr ?ni r0j = r0 d
ni cos = r0n0j d
ninj = 4
3
3
S
R
In (144) benutzen wir d
ninj = 4ij =3, was einfach nachzuprufen ist durch Integration.
Substitution von (144) in (142) ergibt
Z
Z
dV B = ? 30 dV J r = 8
(145)
3 m;
V
V
womit (141) bewiesen ist. Schliesslich schreiben wir m noch mal in einer etwas anderen Form durch
Anwendung folgender Identitat:
Z
V
dV Bi =
und daher
Z
V
dV (B r) ri =
Z
V
dV r ri B =
Z
S
dS ri n B;
(146)
Z
3
m = 8 dS r (n B):
(147)
S
In der idealen MHD ( = 0) gilt Erhaltung des magnetischen Flusses fur jede Oberache im
Dynamo, also auch separat fur die Teile von S wo B n > 0 (S+ ) und die wo B n < 0 (S? ):
+ =
Z
S+
dS B = konstant und ? =
Z
S?
dS B = konstant;
27
(148)
wo + + ? = 0 wegen r B = 0. Es folgt dass auch
0 = + ? ? =
Z
S
dS jn Bj = 2+ = konstant:
(149)
Feldlinien die sich anfanglich innerhalb V benden konnen also spater V nicht verlassen22 . Die
Flusserhaltung hat eine wichtige Folge fur m. Der Absolutwert von m kann laut (147) jetzt so
abgeschatzt werden:
Z
3R+
jmj 3R
(150)
8 S dS jn Bj = 4 = mmax :
Das magnetische Dipolmoment ist in der idealen MHD also begrenzt und erreicht seinen Maximalwert wenn + auf dem einem und ? auf dem anderen Pol konzentriert sind. Wenn wir (141)
nach t ableiten ergibt sich [substituiere die Induktionsgleichung (16)]
dm = 3 Z dV @ B = 3 Z dV r (u B) ? 3 Z dV r (r B)
dt
8 V @t 8 V
8 V
Z
Z
3 dS u (n B) ? 3 dS n (r B):
(151)
= 8
8 S
S
Wenn = 0 kann m nicht weiter anwachsen als bis zum Maximalwert mmax . Es wird dazu eine
Stromung benotigt mit der Eigenschaft (u m) (n B) 0 uberall auf S, damit + und ? auf
gegenseitige Polen konzentriert werden. Das Dipolmoment kann nur uber mmax hinaus wachsen
wenn die magnetische Feldlinien nicht in V eingeschlossen sind ( 6= 0). Wenn = 0 dann ist der
Dynamo praktisch unsichtbar fur einen ausseren Beobachter!
22 Bondi, H. und Gold, T., 1950, MNRAS 110, 607-11
28
6 Fast dynamos
6.1 Schnelle und langsame Dynamos
Die Suche nach einer Losung des Dynamoproblems kann man betrachten als eine Stabilitatsanalyse
der Induktionsgleichung (16) um B = 0. Ungenau formuliert: wenn B eine instabile Losung
ist erfolgt Dynamowirkung; wenn B = 0 stabil ist erfolgt keine Dynamowirkung. Es liegt nahe
dazu eine Wachstumsrate fur B zu denieren. In U bereinstimmung mit der Denition des
Dynamoproblems (2.2) geschieht dies mit Hilfe der magnetischen Energie:
M;
() = sup tlim
sup lnE
(152)
!1
2t
B0
das heisst ist das sup uber alle Anfangsbedingungen B0 = B(r; 0), wobei das limt!1 sup dazu
dient um auch periodische Losungen zuzulassen. Das Kriterium fur Dynamowirkung ist also () 0. Eine interessante Frage ist was geschieht wenn # 0. Dazu deniert man
0 = lim
inf ():
(153)
!0
Man unterscheidet zwei Moglichkeiten. Wenn 0 = 0 spricht man von einem slow dynamo; wenn
0 > 0 von einem fast dynamo (FD). Durch das inf in der Denition kann auch ein Dynamo fur den
lim!0 () nicht existiert als schnell eingestuft werden wenn () 0 > 0. In einem FD nahert
sich fur klein (RM gross) also zu einer Konstante unabhangig von . Der Gedanke ist dass im
FD 0 / u=L, wo (u=L)?1 die typische Advektionszeit der Stromung ist. Der Unterschied zwischen
schnellen und langsamen Dynamos wird daher auch so formuliert: wird in einem FD bestimmt
von der Advektionszeit, in einem SD von der Diusionszeit (d L2=). Die Motivation zu dieser
Klassizierung stammt aus der Beobachtung dass die typischen Zeitskalen des Sonnendynamos
(Monate - Jahre) sehr viel kurzer sind als d 4 109 Jahre, aber vergleichbar zu den Zeitskalen
der Konvektion und der dierentiellen Rotation (Wochen - Monate). Durch eine Untersuchung
von schnellen Dynamos hot man vor allem besseres Verstandnis der solaren Dynamowirkung zu
erhalten.
In einer Stabilitatsanalyse spielen Terme zweiter Ordnung keine Rolle. Wir konnen daher
die Ruckkopplung von B auf u durch die Lorentzkraft vernachlassigen und uns beschranken auf
eine kinematische Betrachtung der Induktionsgleichung (16). Das Dynamoproblem reduziert dann
zu der Suche nach Stromungen u fur die () 0.
Die Theorie des FD sucht eine Antwort auf folgende Fragen: Kann die Existenz von FDs
bewiesen werden fur bestimmte Stromungen? Welche Eigenschaften soll u haben damit ein FD
entsteht? Was ist die typische Struktur von B in einem FD? Zur Zeit sind keine dieser Fragen
endgultig beantwortet. Ein rezentes Buch uber FD-Theorie aus dem das meiste in diesem Kapitel
stammt ist Stretch, Twist, Fold. Bemerkungen:
1) Aus dem Ergebnis von x5.1 konnen wir eine Obergrenze fur () ableiten, indem wir in (82)
durch = ersatzen und die Gleichung losen:
() ! ? s0 ():
(154)
Die Ableitung in x5.1 galt fur inkompressibele Stromung in einem Kugel (s0 = 2 =R2),
aber ist einfach zu erweitern zum kompressibelen Fall und allgemeinen Volumen, so dass
(154) gultig bleibt wenn man ! deniert als grosster Eigenwert von eij ? 12 ij r u und s0
als die geometrieabhangige kleinste Diusionsrate eines frei zerfallendes Feldes.
2) Mann soll 0 streng unterscheiden von (0), die Wachstumsrate in der idealen MHD, denn
es gilt nicht unbedingt lim!0 () = (0)!
3) Ein Beispiel eines langsamen Dynamos ist der Scheibendynamo.
6.2 Der stretch-twist-fold-Mechanismus
Ein elementarer Mechanismus der wahrscheinlich vielen FDs zugrundeliegt ist der stretch-twist-fold
(STF)-Mechanismus. Betrachte einen magnetischen Flussring in einem inkompressibelen idealen
Geleiter (Abb. 20). Zuerst wird der Ring gestreckt (S) und demzufolge das Magnetfeld verstarkt.
Danach wird der Ring gedreht (T) und gefaltet (F) um die ursprungliche Konguration moglichst
29
Abbildung 20: Der STF-Mechanismus. Ein Flussring wird gestreckt (S), gedreht (T) und gefaltet
(F). (Stretch, Twist, Fold)
genau wieder herzustellen. Wenn L ! 2L dann gilt wegen Inkompressibilitat S ! S=2, so dass
wegen Fluerhaltung B ! 2B und daher EM ! 4EM . Wenn T die Periode des STF-Zyklus ist
ergibt sich
(155)
EM / 22t=T
)
(0) = ln2
T :
Stellt der STF-Mechanismus einen FD da? Betrachte dazu einen nicht-idealen aber guten Geleiter.
Dort wo der Ring gefaltet wird entstehen starke Gradienten in B und ist magnetische Diusion
r2B wichtig. Die magnetischen Feldlinien werden sich dort reorganisieren (reconnection) so dass
ein gleichmassigeres Feld entsteht ohne scharfe Gradienten. Da dies nur in einem kleinen Bereich
geschieht ist der damit verbundene Energieverlust wahrscheinlich gering. Wenn das stimmt ergibt
sich indertat ein FD mit [siehe (152)]:
(156)
0 lnT 2 :
Bemerkungen:
1) Der STF-Mechanismus ist essentiell dreidimensional;
2) Ein Beispiel einer Stromung u die den STF-Mechanismus realisiert ist zu nden bei Moat
und Proctor23 .
6.3 Exponentielle Streckung
In der STF-Stromung wird ein materielles Linienelement exponentiell gestreckt. Es ist zu erwarten
dass diese Eigenschaft in jedem FD eine wichtige Rolle spielt. Um dies genauer zu untersuchen
betrachten wir ein innitesimales Linienelement dl. Es gilt
dl(t + t) ? dl(t) = fu(r + dl) ? u(r)gt = t(dl(t) r)u
) dtd dl = (dl r)u:
(157)
Wir markieren jetzt die Koordinaten unterschiedlicher Bahnen in der Flussigkeit durch den Anfangsort:
r(t) = r(a; t);
a = r(a; 0):
(158)
Die Cauchy-Losung von (157) ist dann
i (a; t) da ;
dli (r; t) = @r@a
(159)
j
j
wie man durch Substitution nachprufen kann [verwende die Kettenregel (@rj =@ak )rj = @=@ak ].
Wir wissen bereits dass in der idealen MHD die Feldlinien B auch materielle Linien sind (x4.2).
Das konnen wir nochmals deutlich machen indem wir die Induktionsgleichung anders schreiben.
23 Moat, H.K. und Proctor, M.R.E., 1985, J. Fl. Mech. 154, 493-507
30
In einem inkompressibelen Medium gilt r (u B) = (B r)u ? (u r)B (J11), so dass (16)
reduziert zu
dB = (B r)u
(160)
dt
Die Gleichungen fur dl und fur B sind also identisch wenn = 0 und r u = 0; die Losung lautet
daher
i (a; t) B (a; 0):
Bi (r; t) = @r@a
(161)
j
j
[im kompressibelen Fall gilt das Gleiche fur B=]. Diese Losung ist formal exakt aber nicht sehr
hilfreich denn das Losen der Induktionsgleichung wird ersetzt durch das Losen einer nichtlinearen
Dierentialgleichung fur die Lagrangebahnen,
dr = u(r; t);
r(a; 0) = a:
(162)
dt
Ein exponentielles Anwachsen von dl(a; t) erfordert dass die Losungen von (162) sehr stark abhangig sind von den Anfangsbedingungen, das heisst die Lagrangebahnen mussen chaotisch sein
fur bestimmte a. Ein Mass fur die Streckung der Linienelemente liefert die Jacobi-Matrize oder
Dehnungstensor,
i (a; t) :
Jij (a; t) = @r@a
(163)
j
Betrachte einen normierten Vektor e der sich zu t = 0 in a bendet. Der Vektor wird in der
Flussigkeit mitgefuhrt und nach einer Zeit t ist seine Lange jJ(a; t)ej. Man deniert den LyapunovExponent als
ln jJ(a; t)ej :
(164)
L(a) = max
!1 sup
e rlim
t
Stromungen fur die L(a) > 0 sind gute Kandidaten fur schnelle Dynamos.
6.4 Beispiele
Sind wir jetzt in der Lage zu entscheiden ob eine bestimmte Stromung ein FD ist? Dazu werden
wir einige Beispiele betrachten, sowohl analytisch als numerisch.
Die numerische Untersuchung schneller Dynamos hat besondere Schwierigkeiten. Um einen
FD zu identizieren muss so lange integriert werden bis () konvergiert (152). Dann muss die
Integration wiederholt werden fur moglichst kleine Werte von , wobei hoentlich Konvergenz
() ! 0 beobachtet wird. Je kleiner aber , desto feiner muss das Gitter sein damit auch
die kleinste Lange in der Stromung (bei der RM 1) aufgelost wird. Letztendlich kann aber keine
numerische Simulation im mathematischen Sinne einen Beweis fur schnelle Dynamowirkung liefern!
Das erklart warum die Existenz des FD noch immer unbewiesen ist.
6.4.1 Beltramiwelle
Eine elementare inkompressibele Stromung ist die Beltramiwelle,
u(x) = ey sin qx + ez cos qx;
(165)
mit der Beltrami-Eigenschaft r u = qu. Wegen dieser Eigenschaft hat die Stromung eine nichtverschwindende kinetische Helizitat,
h = u (r u);
(166)
was wichtig ist fur Dynamowirkung, wie sich herausstellen wird. Oensichtlich gilt jhj jujjr uj, aber fur die Beltramiwelle gilt die Gleichheit: sie hat maximale Helizitat. Die Beltramiwelle
verursacht trotzdem keine Dynamowirkung, weil u nur zwei Komponenten hat. Das Antidynamotheorem fur inkompressibele Bewegung in einer Ebene (x5.4, Bem. 3) besagt dass B ! fur 6= 0.
Wir wollen trotzdem B losen fur den Fall = 0. Gleichung (162) kann in diesem speziellen Beispiel
analytisch gelost werden; die Lagrangebahnen sind
r(a; t) = a + ey t sinqax + ez t cos qax;
(167)
31
Abbildung 21: Eigenfunktionen bx(x; y) der MW+ Stromung im Viereck 0 x; y 2 fur k = 0:8
und RM = 10 (a), 102 (b), 103 (c) und 104 (d) (Stretch, Twist, Fold)
und der Jacobian (163) ist
0
1
1
0 0
J(a; t) = @ qt cos qax 1 0 A :
(168)
?qt sin qax 0 1
Wie erwartet ist L = 0: die Beltramiwelle ist kein FD. Das Magnetfeld (161) ist
B(r; t) = B(a; 0) + qtBx(a; 0)(ey cos qax ? ez sin qax):
(169)
Bx bleibt unverandert aber die Komponenten von B in der yz-Ebene wachsen / tBx . Das Beispiel
der Beltramiwelle ist anschaulich aber funktioniert nicht als Dynamo wenn > 0, weil dann Bx ! 0
und daher auch B ! 0.
6.4.2 MW+ Stromung
Ein Beispiel das mehr Erfolg verspricht besteht aus pulsierenden Beltramiwellen:
u(x; y; t) = 2 cos2 t(ey sin x + ez cos x) + 2 sin2 t(ex siny ? ez cos y):
(170)
Diese Stromung enthalt zwei modulierten Beltramiwellen mit q = +1 (daher der Name MW+) und
unterschiedlichen Phasen. Sie ist periodisch in x, y und t und unabhangig von z. Gleichung (162)
kann jetzt nicht mehr analytisch, nur noch numerisch gelost werden. Abb. (21) zeigt das Ergebnis
einer Simulation der Induktionsgleichung im Viereck x; y 2 [0; 2], wobei die z-Abhangigkeit
entfernt worden ist durch den Ansatz
B(r; t) = eikz b(x; y; t):
(171)
Aus Abb. (22) geht hervor dass der MW+ Dynamo wahrscheinlich schnell ist. Wir erwarten darum
chaotische Lagrangebahnen. Um das zu untersuchen projiziert man fur unterschiedliche a die
Lagrange-Koordinate r(a; t) auf die xy?Ebene, wo t = 0; ; 2:::. Der so entstandene PoincareDurchschnitt (Abb. 23) zeigt grosse chaotische Gebiete die auf scheinbar zufallige Weise von Bahnen
gefullt werden, womit der chaotische Karakter der Stromung bestatigt ist. Es gibt auch nichtchaotische Bahnen die gelegen sind auf invarianten Kurven. Indertat ist B stark in den chaotischen
Gebieten wahrend es schwach ist in der Nahe der Inseln.
32
Abbildung 22: Wachstumsrate (RM ; k = 0:8) als Funktion von log RM fur die MW+ Stromung
(Stretch, Twist, Fold)
Abbildung 23: Poincare-Durchschnitt in der xy?Ebene mit Zeitintervall fur die MW+ Stromung
(Stretch, Twist, Fold)
6.5 Abbildungen
Die Lagrangebahnen der Stromung u denieren eine Abbildung
Mt : a ! r(a; t):
(172)
Anstatt sich mit Stromungen zu beschaftigen kann man auch fragen welche Abbildungen zu
schneller Dynamowirkung fuhren. Das hat Anlass gegeben zum Begri der map dynamos. Eine
U bersicht ist zu nden bei Bayly24. In dieser neuen Variante der Dynamotheorie untersucht man
die Dynamowirkung von (volumenerhaltenden) Abbildungen, auch von solchen die nicht zu einer
realistischen (kontinuierlichen) Stromung korrespondieren. Die Zeit wird diskretisiert und eine
Abbildung 24: Die folded-baker-Abbildung (Stretch, Twist, Fold)
Abbildung M wird wiederholt auf alle Punkte in einem Volumen angewendet. Das Magnetfeld
wird zu jedem Zeitschritt transformiert wie in der idealen MHD (161):
B(ri+1; ti+1 ) = J(ri; ti+1 )B(ri; ti) = J(M ?1ri+1 ; ti+1)B(M ?1 ri+1; ti):
(173)
Zwischen den diskreten Zeiten zu denen die Deformation stattndet kann ein Diusionsoperator
auf das Magnetfeld losgelassen werden; siehe Stretch, Twist, Fold oder Bayly.
24 Bayly, B.J., 1994, in Lectures, S. 305-29
33
Abbildung 25: Die stretch-fold-shear (SFS)-Abbildung ( = 1). a) stretch; b) fold; c) shear. Das
Vorzeichen der x-Komponente des Feldes ist + in den grauen Regionen und ? in den weissen
(Stretch, Twist, Fold)
Abbildung 26: Wachstumsrate des Magnetfeldes fur die SFS-Abbildung mit Diusion, fur RM = 105
(durchgezogene Kurve) und RM = 105 (punktierte Kurve) (Stretch, Twist, Fold)
Ein Beispiel ist die gefaltete Backer-Abbildung (folded baker map), im Viereck x; y 2 [0; 1]
deniert durch
( (2x; y=2)
(0 x 1=2)
MFB : (x; y) !
(174)
(2 ? 2x; 1 ? y=2) (1=2 x < 1)
Das Ergebnis dieser Abbildung wird gezeigt in Abb. (24). Diese Abbildung taugt nicht als Dynamo
weil bei wiederholter Anwendung immer dunnere Streifen gebildet werden mit Magnetfeld von
abwechselnder Polaritat. Eine beliebig schwache Diusion wurde das Magnetfeld fur t ! 1
ausloschen. U berdies ndet die Stromung in einer Ebene statt, so dass Dynamowirkung ausgeschlossen ist.
Ein Vergleich mit dem STF-Mechanismus zeigt dass MFB zwar streckt und faltet aber
nicht auf konstruktive Weise. Im STF-Mechanismus wird dies ermoglicht durch das Drehen des

Flussringes. Ahnlich
konnen wir die gefaltete Backer-Abbildung reparieren indem wir eine vertikale
y-abhangige Translation hinzufugen (Abb. 25),
Mtr : (x; y; z) ! (x; y; z + f(y));
(175)
34
wo f(y) = y ? 1=2 und ein freier Parameter ist. Suksessive Anwendung von MFB und Mtr liefert
die stretch-fold-shear (SFS)- Abbildung MSFS = Mtr MFB ,
( (2x; y=2; z + f(y=2))
(0 x < 12 )
MSFS : (x; y; z) !
(176)
(2 ? 2x; 1 ? y=2; z + f(1 ? y=2)) ( 12 x < 1)
Das Ergebnis einer numerischen Simulation der Induktionsgleichung (173) ist zu sehen in Abb. (26).
Wahrscheinlich ist die SFS-Abbildung ein schneller Dynamo.
6.6 Nichtexistenz glatter instabiler Losungen in der idealen MHD
Wenn RM 1 dann sind die magnetischen Feldlinien praktisch eingefroren. Advektion kann
ein anfanglich homogenes Feld immer weiter aufwickeln, wobei immer kleinere Langenskalen und
scharfere Gradienten entstehen. Da 6= 0, verhindert Diusion, wie schwach sie auch ist, die
Bildung von Langen L < =u (fur die RM > 1), so dass kontinuierliche Losungen B zu erwarten
sind, die glatt aussehen bei genugend starker Vergrosserung. In der idealen MHD ( = 0) dagegen
konnen beliebig kleine Langen entstehen. Moat und Proctor25 haben fur den Fall
E1) = 0 (Ideale MHD);
E2) @
@t = ?r u = 0 (Anelastische Annaherung);
E3) @@tu = 0 (Stationare Stromung);
E4) u B 6= 0 in V
bewiesen dass die Induktionsgleichung keine glatte wachsende Losungen hat. Bedingung (E4) ist
etwas merkwurdig aber wird im Beweis benotigt; sie schliesst aus dass u = 0 oder B = 0 oder
u k B. Wegen (E3) konnen wir die zeitliche und raumliche Abhangigkeit von B trennen,
B(r; t) = ept b(r);
(177)
so dass die Induktionsgleichung (17) ein Eigenwertproblem darstellt:
pb = r (u b) + r2b:
(178)
Beachte dass b im allgemeinen komplex ist. Wegen (E1) reduziert (178) zu
pb = r (u b):
(179)
Weil b = r a ist (179) aquivalent zu pa = u b ? r. Wir durfen zu a immer eine Eichtransformation r=p addieren, so dass
pa = u b:
(180)
Es folgt a b = a (r a) = 0. Diese Eigenschaft, auch Integrierbarkeitsbedingung von Frobenius
genannt, erlaubt im Fall a 6= 0 (darum ist (E4) notwendig26) folgende globale Representation von
a:
a = f rg
)
b = rf rg:
(181)
Substitution in (180) ergibt
pf rg = u (rf rg) = (rf) (u r)g ? (rg) (u r)f
) pf rf rg = ?(u rf)rf rg
Weil b 6= 0 wegen (E4) ergibt sich
pf = ?(u r)f und (u r) g = 0:
(182)
Multiplikation von pf mit f und Addierung der komplex konjugierten Gleichung liefert
(p + p ) jf j2 = ?(u r) jf j2 :
(183)
25 Moatt, K. und Proctor, M.R.E., 1985, Journ. Fluid Mech. 154, 493-507
26
Diese zusatzliche Bedingung der Globalitat fehlt in Moat und Proctor (1985); siehe Stretch, Twist, Fold
35
Wir multiplizieren (183) mit und integrieren uber V , was erlaubt ist weil f eine global denierte
Funktion ist [verwende (E2) und Gauss]
(p + p )
Z
V
dV jf j2
=?
Z
S
dS n u jf j2 = 0:
(184)
Instabilitat erfordert p + p > 0 und daher f = 0 in V ) a; b = 0 in V . Die Schlussfolgerung
ist dass es in V keine instabile Losung gibt von (179). Dieses Ergebnis ist ziemlich schwach wegen
Bedingung (E4). Die Vermutung ist aber dass die Nicht-Existenz glatter Eigenfunktionen in der
idealen MHD allgemein gultig ist.
36
7 Statistische Dynamotheorie
Die Stromung in einer stellaren Konvektionsschicht enthalt zeitlich und raumlich rasch variierende
Beitrage und eine realistische Modellierung der Erzeugung des Magnetfeldes in einer stellaren
Konvektionsschicht ist zur Zeit nicht moglich. Im vorigen Kapitel haben wir gesehen dass strecken
und konstruktives Falten typische Eigenschaften sind von Stromungen die zu Dynamowirkung
fuhren. Solche Stromungen sind kompliziert und eine analytische Losung der Induktionsgleichung
ist nur in speziellen Fallen moglich. Wir sind aber interessiert am grossskaligen Magnetfeld des
Sternes. Dies liegt nahe dass wir versuchen zu mitteln uber die rasch variierenden Beitrage der
Stromung. Hoentlich entsteht dann eine Gleichung fur das mittlere Magnetfeld die analytisch
besser zu hantieren ist. Als Einfuhrung zum Mittlungsverfahren behandeln wir zuerst die ReynoldsRegeln und die Raumliche Mittelung; danach die Ensemblemittelung.
7.1 Reynolds-Regeln und Mittelung der Induktionsgleichung
Betrachte willkurliche Funktionen f(r; t) und g(r; t). Eine Mittelungsprozedur muss folgende Bedingungen, die Reynolds-Regeln, erfullen:
R1) hf + gi = hf i + hgi,
R2) hhf hgii = hf i hgi,
D @f E @hf i D @f E @hf i
= @x und @t = @t .
R3) @x
i
i
Aus (R2) folgt hhf ii = hf i. Wenn wir schreiben f = hf i + f1 dann folgt aus (R1) und (R2)
hf1 i = 0. Aus (R2) folgen auch noch hhf ihgii = hf ihgi und hhf ig1 i = 0. Wir mitteln jetzt die
Induktionsgleichung (17) und verwenden dabei die Reynolds-Regeln. Wir schreiben
B = hBi + B1 = B0 + B1 ;
(185)
u = hui + u1 = u0 + u1
(186)
Anwendung der Reynoldsregeln ergibt
@ B0 = r nu B + hu B io + r2 B ;
(187)
0
0
1
1
0
@t
@ B1 = r nu B + u B + u B ? hu B io + r2B :
(188)
0
1
1
0
1
1
1
1
1
@t
Es ist die Aufgabe der Theorie der mittleren Felder um eine geschlossene Gleichung (oder ein
geschlossenes Gleichungssystem) fur B0 abzuleiten. Wie (187) zeigt, soll dazu der Term hu1 B1 i,
auch mittlere elektromotorische Kraft (EMK) genannt, in B0 ausgedruckt werden27 .
7.2 Raumliche Mittelung
In diesem Kapitel wollen wir das Verfahren der Mittelung studieren am Beispiel eines einfachen
raumlich periodischen Dynamos. Betrachte folgende vorgeschriebene Stromung u(x; y)
u = exA sin px cos py ? ey A cos px sin py + ez C sin px sinpy:
(189)
Diese Stromung, auch bekannt als 'G.O. Roberts-Dynamo'28, ist inkompressibel (r u = 0),
periodisch in der xy-Ebene mit Wellenlange 2=p und zweidimensional (unabhangig von z). Die
ubliche Annahme dass der Dynamo sich in einem endlichen Volumen V bendet (x3) wird in
diesem Modell ersetzt durch die Bedingung dass kein Energietransport stattndet zwischen den
Teilvolumina. Aus (189) folgt
r u = ex pC sin px cos py ? ey pC cos px sin py + ez 2pA sin px sinpy;
(190)
so dass die Helizitat h ist
h = u (r u) = pAC(sin2 px + sin2 py):
(191)
27 Diese Denition der EMK, gelaug in der Dynamotheorie (siehe z.B. Moat, S. 148) unterscheidet sich von der
R
R
ublichen in der Elektrodynamik, nach der die EMK = C dl E0 = C dl (E + u B)
28 Roberts, G.O., 1972, Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A271, 411-54
37
Abbildung 27: Raumlich periodische Stromung (189)
Helizitat (Schraubensinn) ist eine Eigenschaft zyklonischer Stromungen. Bemerke dass u das Zeichen wechselt in der xy-Ebene, h aber zeichenfest ist. Wenn pu k r u hat u die BeltramiEigenschaft (maximale Helizitat); das geschieht wenn C = A 2. Wir mitteln jede Grosse uber
eine Zelle in der xy-Ebene,
p 2 Z 2=p Z 2=p
dx
hf i(z; t) = 2
dy f(r; t):
(192)
0
0
Diese Denition erfullt die Reynolds-Regeln, so dass wir (187-188) verwenden durfen. Die mittlere
Helizitat ist
hhi = h0 = pAC:
(193)
Fur (189) gilt u0 = 0. Wir schreiben darum u1 = u und es ergibt sich
@ B0 = r hu B i + r2 B ;
(194)
1
0
@t
@ B1 = r nu B + u B ? hu B io + r2B :
(195)
0
1
1
1
@t
Wir mochten eine konsistente Gleichung fur B0 ableiten und brauchen daher eine Ausdruckung fur
die mittlere elekromotorische Kraft (EMK) hu B1 i. Dazu substituieren wir fur B1 die Losung
von (195); das Ergebnis ist am einfachsten wenn der zweite und dritte Term zur rechten Seite von
(195) vernachlassigt werden, was erlaubt ist wenn
B1 B0 :
(196)
Auf die Bedeutung dieser Forderung kommen wir noch zuruck; wenn sie erfullt ist reduziert (195)
zu
n@
o
2 B = r (u B ) = (B r) u ? (u r) B ;
(197)
?
r
1
0
0
0
@t
wo wir r u = 0 verwendet haben. Diese Gleichung losen wir mit dem Ansatz
B0(z; t) = Re B~ 0 = Re b0 ei(kz+!t)
(b0 konstant);
(198)
B1(r; t) = Re B~ 1 = Re b1(x; y) ei(kz+!t) :
(199)
Substitution in (197) liefert
n
o
i! ? [r2x + r2y ? k2 ] b1 = (b0 r) u ? ik uz b0:
(200)
Die Losung dieser Gleichung ist zu schreiben als homogener Beitrag plus spezielle Losung. Der
homogene Beitrag beschreibt den Zerfall der Anfangsbedingung und ist nach einigen Diffusionszeiten nicht mehr wichtig. Wir betrachten daher nur die spezielle Losung [verwende (r2x + r2y )u =
?2p2 u]:
) u ? ik uz b0 (b0 r) u :
(201)
b1 = (bi!0 +r(2p
2 + k2)
2p2
38
Auf der rechten Seite von (201) haben wir angenommen dass die typische Lange und Zeit der
Variierungen von B0 gross sind verglichen mit der Zellgrosse bzw. der Diusionszeit fur eine Zelle:
jkj p;
j!j p2 = 1=d
(2-Skalen-Annaherung):
(202)
Die 2-Skalen-Annaherung ist sinnvol weil uns nur das grossskalige Verhalten von B0 interessiert,
aber streng genommen nicht notwendig in diesem Fall. Nach Multiplikation mit expfi(kz + !t)g
ergibt sich aus dem reellen Teil
0 r) u
B1 = (B2p
(203)
2 :
Der Betrag von B1 ist jetzt abzuschatzen als B1 =B0 u=p, die magnetische Reynoldszahl RM (p)
bei der typischen Lange der Stromung =p. Bedingung (196) sagt also RM(p) 1 (Diusion
dominiert uber Advektion). Die mittlere EMK wird jetzt
1 hu (B r) ui;
hu B1 i = 2p
(204)
0
2
und ist also proportional zum mittleren Feld B0. Diese Abhangigkeit deniert den -Tensor:
ijk hu (B r) u i = ijkB0l hu r u i = B
hu B1 ii = 2p
(l = x; y)
(205)
k
il 0l
2 j 0
2p2 j l k
8 hu r u i
>
< ijk j 2 l k (l = x; y)
2p
) il = >
:
0
(l = z)
(206)
Nach Substitution von (189) und Anwendung von (192) verschwinden Terme wie
hsin2 px sinpy cos pyi, hsin px cos px sin2 pyi und hsin px cos px sin py cos pyi; es bleiben nur ubrig
hux ry uz i = pAC hsin2 px cos2 pyi = pAC=4;
(207)
huy rxuz i = ?pAC hcos2 px sin2 pyi = ?pAC=4;
(208)
huz rxuy i = pAC hsin2 px sin2 pyi = pAC=4;
(209)
huz ry ux i = ?pAC hsin2 px sin2 pyi = ?pAC=4:
(210)
Es ergibt sich fur den -Tensor
01 0 01
(211)
= 0 @ 0 1 0 A ; wo 0 = ? 41 h0d :
0 0 0
ist proportional zur mittleren Helizitat. In der Gleichung fur das mittlere Feld (194) setzen wir
hu B1 i = B0:
@ B0 = r B + r2 B :
(212)
0
0
@t
Um die Losung zu erhalten verwenden wir (198),
r B~ 0 = 0r (B~0x ex + B~0y ey ) = ik0 ez B~ 0 ;
(213)
so dass (212) liefert
(i! + k2) b0 = ik0 ez b0:
(214)
Diese drei Gleichungen sollen eine nicht-triviale Losung b0 haben; dann muss folgender Determinant verschwinden:
i! + k2 ik
0 ?ik i! + k0 2
0 = 0
0 0
0
i! + k2 n
) (i! + k2) (i! + k2)2 ? k220
o
= 0:
39
(215)
Abbildung 28: Anwachsende Losung B0 fur 0 > 0.
Die Losungen und die zugehorigen Eigenvektoren sind
! = ik2
b0 = b0z ez ;
(216)
! = ik2 ik0
b0 = b0x(ex iey);
wo b0x eine reelle Konstante ist. Oensichtlich ist die Frequenz ! immer rein imaginar; wir schreiben
daher
i! = :
(217)
Der erste Eigenzustand ( = ?k2 ) beschreibt keine Dynamowirkung aber den diusiven Zerfall
von B0z , weil ein Quellterm fur B0z fehlt. Fur Dynamowirkung soll 0 d.h.
= ?k2 k0 0:
(218)
Es gibt jetzt zwei Moglichkeiten fur positives :
0 > 0 und b0 = b0x (ex ? iey ) ) 0 k
(219)
0 < 0 und b0 = b0x (ex + iey ) ) 0 ?k:
(220)
Fur Dynamowirkung muss , also die Helizitat, genugend gross sein oder k genugend klein sein.
In unserem unbegrenzten Volumen konnen wir k beliebig klein wahlen so dass es fur jedes h0 6= 0
einen instabilen Bereich gibt. In einem begrenztem Volumen (typische Lange L) gibt es aber eine
Untergrenze k > 1=L, so dass es eine Schwelle gibt fur h0 uber der Dynamowirkung erst auftritt.
Die zugehorigen Eigenfunktionen sind [verwende Re i expfikz g = ? sin kz]
B0 = Re b0x (ex iey ) ei(kz+!t) = b0x (cos kzex sin kzey ) et
(221)
Abb. (28) zeigt die anwachsende Losung fur 0 > 0 (h0 < 0). Der Schraubensinn der anwachsenden
Losung wird bestimmt durch den Schraubensinn der Stromung. Betrachte dazu
1@ 2
2
(222)
2 @t B0 = 0 B0 (r B0) + B0 r B0 :
Oensichtlich brauchen wir wenn 0 > 0 (h0 < 0) fur Dynamowirkung die Losung mit positiver
magnetischer Helizitat29:
HM = B0 (r B0):
(223)
In unserem Fall gilt
(224)
r B0 = b0x et @z@ ez (cos kz ex sin kz ey ) = kB0 ;
29 Auch hM = A B wird magnetische Helizitat genannt; siehe 8.2
x
40
so dass HM? > 0 und HM+ < 0. Wenn 0 > 0 wirkt die Stromung fur B?0 konstruktiv, fur B+0
destruktiv.
Ist dieser Dynamo schnell oder langsam? Um diese Frage zu beantworten betrachten wir
lim!0 (). Leider sind dann sowohl FOSA (196) als die 2-Skalen-Annaherung (202) nicht mehr
gultig, wie (201) und (202) zeigen. Soward30 hat abgeleitet () O(1= ln ), so dass dieser
Dynamo zwar formal langsam ist, aber schon 'fast schnell' wegen der logaritmischen Abhangigkeit
von .
7.3 Ensemblemittelung
Aus Beobachtungen von magnetischer Aktivitat in Sternen geht hervor dass stellare Dynamowirkung eng zusammenhangt mit der Existenz einer konvektiven Schicht. Konvektion ist eine
raumlich und zeitlich stark veranderliche Stromung. In der solaren Konvektionsschicht gibt es
eine Hierarchie von zellenartigen Strukturen unterschiedlicher Grosse Lc und Lebensdauer c , von
der Granulation (Lc 103 km; c 5 min) bis zu den (hypothetischen) Riesenzellen (Lc 105 km; c 30 d). Daneben gibt es grossskalige, nur langsam variierende Stromungen wie z.B.
die dierentielle Rotation (r; ; t) r sin e. Trotz der unregelmassigen konvektiven Stromung hat
das grossskalige Magnetfeld der Sonne ein sehr regelmassiges Verhalten. Daraus ist zu vermuten
dass die Konvektion einen systematischen mittleren Eekt hat auf das Magnetfeld, der durch eine
gemittelte Induktionsgleichung beschrieben werden kann.
Die Mittelungsprozedur soll wieder die Reynolds-Regeln erfullen. Eine raumliche Mittelung
uber ein Teilvolumen in der Konvektionsschicht oder eine zeitliche Mittelung uber ein endliches
Zeitintervall kommt daher jetzt nicht in Frage, weil nicht alle Reynolds-Regeln erfullt sind. Wir
verwenden daher die Ensemblemittelung, deniert durch
1
hf i(r; t) = Nlim
!1 N
N
X
i=1
f (i) (r; t);
(225)
wobei f (i) (r; t) eine Funktion im i-ten Ensemblemitglied ist. Die Ensemblemittelung ist sinnvoll
wenn im System eine 'zufallige' Grosse zu erkennen ist. Das Ensemble ist eine Sammlung von
unendlich vielen Systemen die sich nur darin unterscheiden dass in jedem Ensemblemitglied die
zufallige Grosse anders realisiert ist. Die Anwendung der Ensemblemittelung auf die Induktionsgleichung beruht also auf der Annahme dass u als stochastische Grosse betrachtet werden darf. In
Wirklichkeit wird u festgelegt durch die Navier-Stokes-Gleichung (19), die nicht-linear aber an sich
deterministisch ist. Wenn aber die hydrodynamische Reynoldszahl Rh = uL= genugend gross ist
(wie in der solaren Konvektionsschicht), wird die Stromung turbulent, d.h. es bilden sich Wirbel
(eddies) verschiedener Dimensionen und Lebensdauern. Die Losungen der Navier-Stokesgleichung
werden zeitlich und raumlich sehr variabel und stark abhangig von den Anfangsbedingungen. Aus
diesem Grund ist turbulente Stromung im praktischen Sinn stochastisch. Um die Ensemblemittelung auszufuhren brauchen wir dann nur die statistischen Eigenschaften der Turbulenz zu wissen.
7.3.1 Stochastische Dierentialgleichungen
Wir betrachten die Induktionsgleichung als eine stochastische Dierentialgleichung, wobei die
konvektive Stromung u1 eine stochastische Funktion ist. Die statistischen Eigenschaften von u1
und auch die mittlere Stromung u0 behandeln wir als externe Grossen. Die Induktionsgleichung
wird also weiterhin kinematisch gelost, was aber bereits schwierig genug ist, weil wir es mit
multiplikativer stochastischer Anregung zu tun haben. Die allgemeine Form einer homogenen
linearen stochastischen Dierentialgleichung multiplikativer Art lautet
@ B = DB = (D + D )B;
(226)
0
1
@t
wo statt des Magnetfeldes B auch ein beliebiger anderer Vektor, Skalar oder Tensor stehen kann,
und D(r; t) ein stochastischer Dierentialoperator ist, der zu schreiben ist als Summe eines (langsam
variierenden) Mittelwertes D0 = hDi und eines stochastischen Termes D1 = D ? D0 . Wir werden
durch eine Ensemblemittelung von (226) uber die Realisierungen von D1 eine Gleichung fur B0 =
hBi abzuleiten, die sogenannte Dynamogleichung. Die allgemeine Theorie dieses Verfahrens ist
30 Soward, A.M., 1986, J. Fluid Mech. 180, 267-95
41
zu nden bei van Kampen31. Um die Mittelung durchzufuhren brauchen wir Kenntnis uber die
statistischen Eigenschaften von D1 . Eine wichtige Annahme sei hier schon aufgemerkt, namlich
dass D1 eine endliche Korrelationszeit c hat (d.h. Terme wie hD1 (t)D1 (t0 )i verschwinden wenn
jt ? t0 j > c ).
Im Fall der Induktionsgleichung ist D0 B = r (u0 B)+r2 B und D1B = r (u1 B).
Die folgende Ableitung der Dynamogleichung beruht auf Hoyng32. Durch Mittelung von (226)
ergibt sich
@ B0 = D B + hD B i;
(227)
0 0
1 1
@t
@ B1 = D B + D B + G;
wo
G = D1B1 ? hD1 B1i:
(228)
0 1
1 0
@t
Diese Gleichungen sind identisch zu (187)-(188). Wie dort ist auch hier Fortschritt nur einfach
wenn G = 0. Der Unterschied ist dass wir die Vernachlassigung von G jetzt nicht rechtfertigen
konnen durch die Annahme jGj jD1 B0j , B1 B0 , weil das sicher nicht richtig ist in der
Sonne. Es bleiben dann noch zwei Moglichkeiten:
B1 M1) jGj @@t
;
M2) jGj jD0B1 j:
Fur die Induktionsgleichung bedeutet dies (jGj u1 B1 =Lc , j@ B1 =@tj B1 =c und D0B1 (u0 =Lc + =L2c ) B1 ; c ist die Korrelationszeit und Lc die Korrelationslange der Turbulenz):
M1) S = uL1c 1;
c
M2a) Rmc = u1Lc 1
oder
M2b) u1 u0:
Bedingungen (M2a) und (M2b) sind nicht erfullt in stellaren Konvektionsschichten, weil dort
Rmc 1 und u1 u0. Die Strouhalzahl S ist das Verhaltnis der Korrelationszeit zur konvektiven
Turnoverzeit Lc =u1. Bedingung (M1) besagt also dass die Korrelationszeit viel kurzer sein muss
als die Turnoverzeit. Auch diese Bedingung ist nicht erfullt in der Sonne, weil dort S 1.
Trotzdem nehmen wir jetzt an dass S 1 und vernachlassigen G. Diese Annaherung wird First
Order Smoothing Approximation (FOSA), Second Order Correlation Approximation (SOCA) oder
Quasilineare Annaherung genannt. Der Einfachkeit halber nehmen wir auch an dass u0 = u0(r),
unabhangig von t.
Die formale Losung von (228) ist dann [wenn die r-Abhangigkeit nicht ausgedruckt wird ist
das Argument immer r; wenn die zeitliche Abhangigkeit von B1 oder D1 nicht gezeigt wird ist das
Argument immer t]:
B1(t) =
e(t?t0 )D0 B
1(t0 ) +
= e(t?t0 )D0 B1(t0 ) +
Zt
t0
d e(t? )D0 D1 ()B0()
Z t?t0
0
d eD0 D1 (t ? )B0 (t ? );
(229)
(230)
wo jetzt als Integrationsvariable = t ? verwendet worden ist. Das Ergebnis substituieren wir
in den letzten Term von (227):
hD1 B1i = hD1e(t?t0 )D0 B1 (t0 )i +
Z t?t0
0
d hD1 eD0 D1(t ? )iB0 (t ? ):
(231)
Die Bezeichnung SOCA lasst sich nun erklaren aus der Tatsache dass nur Korrelationen zweiter
Ordnung in D1 auftreten. Diese Ausdruckung enthalt noch die Anfangsbedingung B1 (t0 ). Nach
einer Zeit t ? t0 > c , ist die Korrelation zwischen D1(t) und B1 (t0) aber verschwunden und somit
31 van Kampen, N.G., 1976, Phys. Reports 24C, 171; van Kampen, N.G., 1981, Stochastic Processes in Physics
and Chemistry, North-Holland, Amsterdam
32 Hoyng, P., 1992, in The Sun, a Laboratory for Astrophysics, J.T. Schmelz und J.C. Brown (Her.), Kluwer,
99-138
42
auch der erste Term. U berdies verschwindet der Integrand des zweiten Termes fur > c ; wir
durfen daher t0 = ?1 setzen, und es ergibt sich
hD1 B1i =
Z1
0
dhD1 eD0 D1(t ? )i B0 (t ? ):
(232)
Jetzt mussen wir noch B0 (t ? ) ausdrucken in B0(t). Weil der Integrand verschwindet fur > c
konnte man annehmen dass sich B0 wahrend dieser Zeit kaum andert: B0(t ? ) B0(t). Eine
bessere Annahme ist dass B0 (t ? ) fur 0 < c von der mittleren Advektion D0 bestimmt wird,
also B0 (t ? ) = exp(?D0 ) B0 (t). Mit dieser Annahme substituieren wir (232) in die Gleichung
fur B0 (227) und es ergibt sich
@ B0 = nD + Z 1 d hD eD0 D (t ? )i e?D0 o B :
(233)
0
1
1
0
@t
0
Diese Gleichung ist ein allgemeines Ergebnis der Theorie der stochastischen Dierentialgleichungen,
gultig wenn S 1.
Eine weitere Annahme wodurch (233) erheblich einfacher wird ist die 2-Skalen-Annaherung
jc D0j 1. Beachte dass der Operator D0 in (233) auf alle Grossen zu seiner rechten Seite wirkt.
Es mussen daher jetzt zwei Bedingungen erfullt sein:
S1) jc D0B0 j=B0 1;
S2) jc D0u1j=u1 1:
Bedingung (S1) bedeutet c (u0=L0 + =L20 ) 1, wo L0 die typische Lange der Variierungen
von u0 und B0 ist. Die Korrelationszeit der Turbulenz muss also viel kurzer sein als die typische
Advektionszeit durch die mittlere Stromung (z.B. dierentielle Rotation) oder die Diusionszeit des
mittleren Feldes. In der solaren Konvektionsschicht (L0 2 108 m) ist c < 20 Tage und L20 = 4 109 Jr (x4.1, Tabelle 1); wenn in der ganzen Konvektionsschicht dierentielle Rotation herrscht
(u0 102 m s?1 ) ist der Geschwindigkeitsgradient etwa u0=L0 5 10?7 s?1 ) L0 =u0 20
Tage, so dass (S1) hochstens marginal erfullt ist. Bedingung (S2) bedeutet c (u0=Lc +=L2c ) 1,
wo Lc die Grosse der turbulenten Zellen vorstellt. In der Sonne ist jedenfalls Lc < 108 m, so dass
auch (S2) bestens marginal erfullt ist. Die 2-Skalen-Annaherung ist also fragwurdig in der Sonne,
weil die grossten konvektiven Zellen wahrscheinlich lang genug leben um von der dierentiellen
Rotation beeinusst zu werden. Trotzdem setzen wir uberall in (233) exp(D0 ) = 1:
@ B0 = D B + hD B i = nD + Z 1 d hD D (t ? )i o B :
(234)
0 0
1 1
0
1 1
0
@t
0
Auch dieses Ergebnis gilt allgemein fur stochastische Dierentialgleichungen, wenn S 1 und
jc D0j 1.
7.3.2 Dynamogleichung, -Eekt und turbulente Diusivitat
Der letzte Schritt in der Ableitung der Dynamogleichung betrit die Mittelung im zweiten Term
von (234). Wir substituieren D1 = r (u1 ) und schreiben der Einfachkeit halber die
zeitliche Abhangigkeit als ut1 = u1(t) u.s.w.:
hD1 B1i = r hu1 B1 i =
= r
Z1 D
0
Z1 D
0
= ijk
0
dhD1D1t? iB0
(235)
n
oE
d ut1 r (u1t? B0) :
Wir erhalten fur die mittlere EMK:
=
hu1 B1ii J11
Z1
(236)
oE
n
d u1 (B0 r)u1t? ? B0 (r u1t? ) ? (u1t? r)B0 i
Z1
0
dhuj B0m rm ukt? ? uj B0k rm umt? ? uj umt? rm B0k i
= ij B0j + ijk rj B0k ;
(237)
(238)
43
wobei ui fur u1i steht. Gleichung (238) deniert den -Tensor und den turbulenten Diffusivitats-
tensor . Der genaue Vergleich mit (237) ergibt
ij =
Z1 n
0
o
d imn hum rj unt? i ? imj hum rnunt? i ;
ijk = ?imk
Z1
0
dhum ujt? i:
(239)
(240)
Im Prinzip ist die Ableitung der Dynamogleichung jetzt fertig. Wir erreichen aber eine weitere
Vereinfachung wenn die Turbulenz isotrop ist, d.h. ihre statistische Eigenschaften sind invariant
unter willkurlichen Drehungen des Koordinatensystems. Dann mussen hui ujt? i und hui rj ukt? i
isotrope Tensoren sein, d.h. [verwende ij ij = 3, ijkijk = 6]:
hui rj ukt? i = C1ijk
)
C1 = 61 ijkhui rj uk i = 61 hu1 (r u1t? i; (241)
hui ujt? i = C2ij
)
C2 = 31 ij huiujt? i = 31 hu1 u1t? i:
(242)
Um diese Eigenschaft zu begreifen betrachte man z.B. den Eekt einer Drehung von 180o um die
x-Achse: (x; y; z) ! (x; ?y; ?z) ) hux uyt? i ! ?hux uyt? i; wegen Isotropie muss huxuyt? i = 0
und analog alle Elemente ausserhalb des Diagonals. Betrachte jetzt eine Drehung von 90o um die
x-Achse: (x; y; z) ! (x; z; ?y) ) huy uyt? i ! huz uzt? i d.h. alle Diagonalelemente sind gleich. Auf
ahnliche Weise geht der Beweis fur hui rj ukt? i ab.
Es ergibt sich fur ij und ijk [verwende ij ij = 3, ijk ijk = 6, mnn = 0 und ijkimk =
2jm ]:
Z1
d hu1 (r u1t? )i = ij ;
(243)
ij = ? 13 ij
0
Z1
ijk = ? 31 ijk
d hu1 u1t? i = ?ijk :
(244)
0
Bei isotroper Turbulenz sind die Tensoren ij und ijk also auch isotrop. Der zyklonische Koezient und die turbulente Diusivitat sind deniert als
Z1
d hu1 (r u1t? )i ? 31 c hu1 (r u1)i;
(245)
= ? 31
0
Z1
1
= 3
(246)
d hu1 u1t? i 31 c hju1j2 i:
0
In (245) und (246) ist die Integration abgeschatzt worden durch ein Faktor c . Wegen der Isotropie
verschwinden ri und ri [betrachte den Eekt einer Drehung von 180o ], so dass bei isotroper
Turbulenz und auch immer homogen (konstant) sind. Bei anisotroper Turbulenz ist die mittlere
EMK ortsabhangig; siehe x7.4. Die Dimension von ist m s?1 und sein Wert ist maximal wenn
die Helizitat maximal ist, d.h. jj < 13 c u21=Lc . Fur die Konvektionsschicht der Sonne (nehme
c 20 Tage und u1 10 m s?1 ) erhalt man jj < u1=3 3 m s?1 ; ein typischer Wert ist
vielleicht jj 0:3 m s?1 (entsprechend einer relativen Helizitat von etwa 10%). Die turbulente
Diusivitat hat die gleiche Dimension wie die magnetische Diusivitat : m2 s?1 . In der solaren
Konvektionsschicht ist c u21 =3 6 107 m2 s?1 0:3 m2 s?1 .
Von der physikalischen Bedeutung von und wird gleich die Rede sein. Zuerst betrachten
wir die Symmetrie-Eigenschaften von und . Deutlich zu sehen ist dass fur ein nicht verschwindendes mittlere Helizitat erforderlich ist. Die Turbulenz darf daher nicht spiegelsymmetrisch, d.h.
invariant sein unter einer Punktspiegelung r ! ?r. Das kan man auf folgende Weise verdeutlichen.
Wenn ein Vektor F nach einer Punktspiegelung transformiert wie r, d.h. F ! ?F nennt man
diesen Vektor polar; wenn F ! F dann ist F ein Pseudovektor oder axialer Vektor. Wenn ein
Skalar nach einer Punktspiegelung das Vorzeichen wechselt ist es ein Pseudoskalar [ein Beispiel ist
r1 (r2 r3)]. Weil r polar ist, sind auch r und u polar; B ist aber axial. Das geht z.B. hervor
aus der Maxwell-Faraday- Gleichung, @ B=@t = ?r E zusammen mit r E = q=0 : weil q ein
Skalar und r ein polarer Vektor ist, ist E auch ein polarer Vektor und daher B ein axialer Vektor.
Betrachte nun die mittlere EMK,
hu1 B1i = B0 ? r B0 :
(247)
44
Abbildung 29: Wirkung der Corioliskraft und -Eekt in der oberen Halfte der KS
Die linke Seite ist ein polarer Vektor, B0 ist ein axialer Vektor und r ist ein polarer Vektor. Daraus
folgt dass ein Pseudoskalar und ein Skalar ist, in U bereinstimmung mit (245) und (246).
Was ist die physische Bedeutung von und ? Nach Subtitution von (247) in (227) ergibt
sich die Dynamogleichung,
@ B0 = r (u B + B ) ? r f( + ) r B g:
(248)
0
0
0
0
@t
Der -Eekt fuhrt zu einem Quellterm r B0 = 0J0, (anti-)parallel zur mittleren Stromdichte.
Um den Vorgang zu verdeutlichen betrachten wir das Ohmsche Gesetz (15) und substituieren die
mittlere EMK (247):
J0 = hE + u Bi = (E0 + u0 B0 + B0 ? 0 J0)
(249)
= t (E0 + u0 B0 + B0 );
(250)
wobei t [
?1 m?1] die turbulente Leitfahigkeit ist,
(251)
t = 1 += :
Der -Eekt bildet also einen mittleren Strom J = t B0, (anti-)parallel zum originellen mittleren Magnetfeld. In Abb. (29) wird gezeigt wie dieser -Strom zustande kommt. Ein Teil einer Flussrohre wird mittgeschleppt von einem aufsteigenden Turbulenten Element. Wenn dieses Element
positive Helizitat (h > 0) besitzt, bildet sich ein kleiner Flussring um die ursprungliche Rohre.
Diesem neuen Flussring entspricht ein Strom antiparallel zu B0 , d.h. < 0. Wenn h < 0,
dann ist die Orientierung des neuen Flussringes andersum, so dass > 0. Helizitat entsteht
durch den Einuss der Corioliskraft. Betrachte dazu ein Volumenelement in der oberen Halfte
der Konvektionsschicht (Abb. 29). Wahrend es aufsteigt (absinkt) expandiert (komprimiert) es
und aus der Expansion uexp und der Corioliskraft 2uexp ergibt sich eine Drehung, wodurch
ein Element nordlich vom A quator negative Helizitat erhalt und ein Element sudlich vom A quator
positive Helizitat. Ein Volumenelement das sich der unteren Grenze der Konvektionsschicht nahert
hort irgendwann auf zu komprimieren und fangt stattdessen an zu expandieren. Wenn es sich wieder
von der unteren Grenze nach oben entfernt komprimiert es zuerst und fangt erst etwas hoher an zu
expandieren. Daher erhalt die untere Konvektionsschicht nordlich vom A quator positive Helizitat
und sudlich vom A quator negative Helizitat. Dieser Wechsel des Vorzeichens der Helizitat am Boden
der KS wird bestatigt in Simulationen (x9.4). Der -Eekt hat ein extra Minuszeichen in Vergleich
zur Helizitat (245); der Grund dafur ist in Abb. (29) leicht zu erkennen.
Ein weiterer Eekt der Turbulenz ist eine eektive Reduzierung der Leitfahigkeit (t ),
d.h. eine Erhohung der Diusivitat ( ). Die Diusionszeit des mittleren Magnetfeldes der
Sonne betragt jetzt L20 = 10 Jahre statt L20 = 4 109 Jahre und ist vergleichbar mit der
Periode des Sonnenzyklus! Die turbulente Diusion beschreibt auf statistische Weise den Eekt
45
Abbildung 30: Turbulente Diusivitat (Hoyng 1992)
der turbulenten Mischung von magnetischen Feldlinien, namlich eektiveren diusiven Transport
und erhohten Zerfall durch Ausmittelung von entgegengesetzten Feldkomponenten (Abb. 30; aus
Hoyng 199233). Beachte dass die turbulente Diusion sich nur auf das mittlere Magnetfeld B0
bezieht und nicht auf B.
7.4 Korrekturen zur MF-Dynamotheorie
Wir haben gesehen dass die MF-Dynamogleichung in der Form (248) gultig ist unter folgenden
Bedingungen:
D1) Die kinematische Annaherung ist erlaubt, d.h. Eekte der Lorentzkraft auf die Stromung
durfen vernachlassigt werden. Das erfordert B Beq .
D2) Die Strouhalzahl S 1, so dass FOSA erlaubt ist.
D3) Die Korrelationszeit ist viel kurzer als die Advektionszeit durch die mittlere Stromung, so
dass die 2-Skalen-Annaherung erlaubt ist.
D4) Die Turbulenz ist isotrop.
Diese Bedingungen sind nicht erfullt in der Sonne. Die A quipartitionsfeldstarke bezuglich der
Konvektion betragt Beq up0 0:3 T in der OS (u 20 m s?1 ist eine typische konvektive
Geschwindigkeit am Boden der KS; OS 230 kg m?3), wahrend B 10 T 30Beq in der OS
(x9). Die Strouhalzahl betragt S 1 und die 2-Skalen-Annaherung ist hochstens marginal erfullt.
Zu D1): es gibt keine mathematisch konsistente nicht-lineare Variante der Mean-Field-Theorie. Die
einzige derzeitige Moglichkeit um innerhalb der MF-Theorie uber die kinematische Annaherung
hinaus zu gehen beruht auf heuristischen nicht-linearen Termen. Einige Beispiele davon werden
besprochen in x7.6.
Zu D3) und D4): ohne 2-Skalen-Hypothese ist die Mittelung der Induktionsgleichung im Allgemeinen schwierig34. Die Anwesenheit einer mittleren Stromung u0 fuhrt u.A. zu anisotroper Turbulenz;
das gleiche gilt fur eine Dichteschichtung. Solche Eekte konnen relativ einfach berucksichtigt
werden durch Symmetrie-U berlegungen. Zum Beispiel ist die allgemeine Form der mittleren EMK
unter Einuss von Rotation und Dichteschichtung r k er
hu1 B1i = 1 (r ) B0 + 2r (
B0 ) + 3
(r B0) ? r B0 + ;
(252)
wo i = i (r) und = (r) (siehe z.B. Roberts35 fur eine Ableitung; nur die wichtigsten Terme
werden hier gezeigt). Der -Tensor hat jetzt drei unterschiedliche Koeziente: 1 fuhrt, wie im
isotropen Fall, zu einer EMK k B0 ; 2 zu einer EMK k r und 2 zu einer EMK k . Die beiden
33 Hoyng, P., 1992, in The Sun, a Laboratory for Astrophysics, J.T. Schmelz und J.C. Brown (Her.), Kluwer,
99-138
34 Krause und Radler, 8
35 Lectures S. 48-50
x
46
letzten werden meistens ignoriert; der erste Term der EMK ist / cos wenn k ez . Aus diesem
Grund verwendet man in stellaren MF-Modellen oft folgende Form der EMK:
hu1 B1i = (r) cos B0 ? (r) r B0 :
(253)
Zu D2): eine Ableitung der MF-Dynamogleichung ohne FOSA ist moglich, aber lastig. Das hier
genannte Beispiel stammt von Nicklaus und Stix36 und beruht auf der Theorie der stochastischen
Dierentialgleichungen. Betrachten wir eine lineare stochastische Dierentialgleichung der Form
@ B=@t = (D0 + D1 )B (226); im Fall der Induktionsgleichung ist D0 B = r (u0 B) + r2B und
D1 B = r(u1 B). Um die Ableitung zu vereinfachen eliminieren wir D0 durch die Transformation
(254)
B~ = e?tD0 B;
(255)
D~1 = e?tD0 D1etD0 ;
wonach (226) immer in der Form @ B~ =@t = D~1 B~ geschrieben werden kann. Wir nehmen im Moment
an D0 = 0 und setzen B~ = B und D~1 = D. Van Kampen37 hat gezeigt dass aus der Gleichung
@B = D B
(256)
@t
folgende Gleichung fur B0 abgeleitet werden kann:
1
o
@ B0 = n X
B0;
(257)
K
m
@t
m=2
wo
Km =
Z t Z t1
0
dt1
0
dt2 Z tm?2
0
dtm?1 hhD(t)D(t1 ) D(tm?1 )ii;
t t1 t2 0:
(258)
Die Km sind integrierte geordnete Kumulanten, z.B.
hhD(t)D(t1 )ii = hD(t)D(t1 )i ? hD(t)ihD(t1 )i;
(259)
hhD(t)D(t1 )D(t2 )ii = hD(t)D(t1 )D(t2 )i ? hD(t)ihD(t1 )D(t2 )i
?hD(t)D(t1 )ihD(t2 )i + hD(t)ihD(t1 )ihD(t2 )i;
(260)
wo t t1 t2 . Die Kumulanten sind so konstruiert dass sie verschwinden wenn zwei Terme
faktorisieren (nicht korreliert sind). Dies geschieht wenn zwei Zeiten mehr als eine Korrelationszeit
c verschieden sind. Es folgt dass alle Zeiten innerhalb eines Intervalls c liegen mussen und dass
Km = O(jDjm cm?1 ) = O(S m?1 ) u1=Lc : die Entwicklung ist konvergent wenn S < 1.
Wenn D0 6= 0 ist es einfach zu kontrollieren [ersetze B0 ! B~ 0 in (257) und D ! D~1 in
(258)] dass die Gleichung fur B0 lautet
1
o
@ B 0 = nD + X
0 B0 ;
(261)
K
0
m
@t
m=2
wo
K0
m
=
Zt Zt
0
dt1
t1
dt2 Z tm?2
0
dtm?1 hhD1 (t)e(t?t1 )D0 D1(t1 )e(t1 ?t2 )D0 (262)
D1 (tm?1 )e(tm?1 ?t)D0 ii:
Der Integrand von Km0 tragt nur bei wenn jti ? tj j < c (fur alle i 6= j). Wenn jc D0j 1 (2-SkalenHypothese) durfen wir also expf(ti ? tj )D0 ! 1 setzen, so dass Km0 = Km ; die einzige Veranderung
in (257) ist dann ein extra Term D0 B0 auf der rechten Seite.
Wenn S 1 darf die Entwicklung abgebrochen werden beim ersten Term (m = 2; FOSA/SOCA), und es ergibt sich die bekannte MF-Dynamogleichung, siehe x7.3.1. Wenn S 1 mussen
mehr Terme berucksichtigt werden; sie wurden erstmals von Knobloch systematisch berechnet38 .
36 Nicklaus, B., Stix, M., 1988, GAFD 43, 149-66
37 Van Kampen, N.G., 1974, Physica 74, 215-38; Van Kampen, N.G., 1974, Physica 74, 239-47
38 Knobloch, E., 1977, J. Fluid Mech. 83, 129; 1978, ApJ 225, 1050
47
Abbildung 31: Dimensionslose Transportkoeziente ( = =4; sin 2 ist ein Mass fur die Helizitat
hu1 (r u1)i) (Nicklaus und Stix 1988)
Nicklaus und Stix haben die Terme bis zu m = 4 analysiert fur homogene isotrope Turbulenz und
erhalten (D0 = 0)
@ B0 = n( + + )r +( + + )r2 + r r2 + r4oB ;
(263)
0
2
3
4
2
3
4
4
4
@t
wo die Indizes die Ordnung der Kumulanten bezeichnen aus den die Koezienten stammen. Die
genaue Form der Koezienten ist kompliziert; 2 und 2 sind identisch zu bzw. der FOSA.
Wenn die Turbulente Stromung u1 eine Gaussische Verteilung hat, kann man zeigen dass 3 =
3 = 4 = 4 = 0. In diesem Fall behalt die Dynamogleichung die alte Form, nur mit neuen
Transportkoezienten,
! 2 + 4 ;
! 2 + 4 :
(264)
Nicklaus und Stix haben diese Koezienten fur ein Ensemble von helikalischen Wellen mit einer
Gaussischen Energieverteilung berechnet als Funktion von S; siehe Abb. (31). Wenn S 1 werden
4 und 4 so gross dass oder verschwinden oder das Vorzeichen wechseln. Es folgt dass
FOSA in der Sonne eine schlechte Annaherung ist und dass die Kumulantenentwicklung nicht
bei m = 4 abgebrochen werden darf. Ob man fur m > 4 eine Dynamogleichung in der alten Form
mit modizierten Koezienten erhalt ist unsicher. Ob es sinnvol ist noch mehr Terme zu berechnen
ist auch unsicher denn die Konvergenz der Entwicklung hangt ab vom unbekannten genauen Wert
von S 1.
Andere mathematische Verfahren die uber FOSA hinaus gehen beruhen z.B. auf einer
Analyse der Greenschen Funktion der Induktionsgleichung39, gultig fur S 1. Carvalho40 verwendet ein iteratives Verfahren das auch gultig ist fur S > 1 aber unter der Annahme jB1j < jB0j,
was problematisch ist in der Sonne.
7.5 Ergebnisse der MF-Dynamotheorie
Das Hauptergebnis von x7.3 war die MF-Dynamogleichung (248),
@ B0 = r nu B + B + r B o
(265)
0
0
0
0
@t
(ab jetzt schreiben wir + ). Um die wichtigsten Eigenschaften von MF-Dynamos zu
illustrieren losen wir diese Gleichung zuerst in acher Geometrie, wo analytische Ergebnisse leicht
zu erhalten sind; danach werden wir die fur stellare Dynamos mehr geeignete kugelformige Geometrie verwenden.
7.5.1 Flache MF-Dynamos: Parkerwelle
Wir betrachten die Dynamogleichung in kartesischen Koordinaten, wobei x, y und z deniert sind
wie angedeutet in Abb. (32). Wir suchen axisymmetrische Losungen (@=@y = 0) und nehmen an
39 Dolginov, A.Z., Silant'ev, N.A., 1992, GAFD 63, 139-78
40 Carvalho, J.C., 1992, A&A 261, 348-352
48
Abbildung 32: Geometrie der Parkerwelle
dass = konstant, u0 = u0(x; z) ey und dass
a = ru0 = konstant:
(266)
Das mittlere Magnetfeld B0 wird zerlegt in poloidale Komponenten ? ey und toroidale Komponenten k ey :
B0 = Bt ey + r Ap ey :
(267)
Fur die einzelnen Terme von (265) erhalt man [verwende (J11), u0 r = 0 und a ey = 0 in (268);
(J6) und r Ap ey = ey rAp = 0 in (269)]
r (u0 B0 ) = (B0 r)u0 = ey (B0 r)u0 = ey fa (r Ap ey )g
= ey f(ey a) rAp g;
(268)
r B0 = r (r Ap ey + Bt ey ) = r Bt ey ? ey r2 Ap :
(269)
Substitution in (265) liefert eine Gleichung vom Typ r wp ey + wt ey = 0 ) wt ey = 0 und
r wp ey = 0 ) wp ey = (r)y = 0, also wp = 0 und wt = 0. Es ergibt sich
@Bt = (e a) rA ? r2A + r2 B ;
(270)
y
p
p
t
@t
@Ap = B + r2 A :
(271)
t
p
@t
Der -Eekt fuhrt zu Quelltermen in beiden Gleichungen; die dierentielle Rotation nur in der
Gleichung fur Bt . Das toroidale Magnetfeld hat also zwei Quellterme. Abhangig von der relativen
Grosse dieser Terme spricht man von einem !-Dynamo (jr2Ap j j(ey a) rAp j), 2 -Dynamo
(jr2Ap j j(ey a) rAp j) oder 2 !-Dynamo (jr2Ap j j(ey a) rApj). Am interessantesten
sind die beiden aussersten Falle; der 2!-Dynamo ist ein Mischwesen.
Wir suchen wellenformige Losungen der Dynamogleichung und machen dazu den Ansatz
(Ap ; Bt ) = Re (A~p ; B~t ) ei(kr+!t) ;
(272)
wo k ein Wellenvektor in der xz-Ebene ist (ky = 0 damit B0 y-unabhangig ist) und A~p und B~t
komplexe Konstanten sind. Substitution in (270-271) liefert
(273)
i!B~t = iksA~p + k2A~p ? k2 B~t ;
i!A~p = B~t ? k2 A~p :
(274)
wo k^ = k=k und
s = (ey a) k^ :
(275)
Betrachten wir zuerst den !-Dynamo. Das toroidale Magnetfeld wird dann nur von der dierentiellen Rotation regeneriert: wir setzen k2A~p = 0 in (273). Starke dierentielle Rotation herrscht
z.B. in der Sonne (der numerische Beweis folgt etwas spater).
49
Diese Gleichungen haben eine nicht-triviale Losung wenn die Determinante verschwindet.
Daraus ergibt sich folgende Dispersionsrelation:
(i! + k2 )2 ? iks = 0:
(276)
p
p
Die beiden Losungen dieser quadratischen Gleichung lauten [ i = (1 + i)= 2]
p
! = ik2 (1 ? i) ks=2:)
(277)
Dies sind zwei Wellen mit Frequenz Re ! und Dampfungsrate Im !, wo
p
(278)
Re ! = kjsj=2 = ;
p
(279)
Im! = k2 sgn(s) kjsj=2:
Solche Wellen wurden zum ersten Mal von Parker untersucht41 . Die Periode der Wellen ist
2
(280)
T = 2
= pkjsj=2 :
und entspricht der Zyklusdauer des Dynamos. Je starker der -Eekt oder die dierentielle Rotation, desto kurzer ist T. Fur die Sonne (jj 0:3 m s?1 , a = jaj u0=L0 , u0 102 m s?1 , Dicke
der Konvektionsschicht L0 2 108 m ) a 5 10?p7 s?1 , 2=k R , k 2=R 3 10?9 m?1,
kjsj jkaj) konnen wir abschatzen T 2= kjaj=2 4 108 s 16 Jahre, in der selben
Grossenordnung als die tatsachliche Zyklusdauer von 22 Jahren. Allerdings ist die dierentielle
Rotation in Wirklichkeit stark konzentriert (a grosser), so dass T kurzer sein soll. Der genaue Wert
von ist aber nicht bekannt; der hier verwendete Wert entspricht einer relativen Helizitat von
etwa 10% und diese konnte kleiner sein, was zu einer Verlangerung der Zyklusdauer fuhren wurde.
Die Bedingung fur Anregung der Wellen lautet Im ! 0; die Welle mit s > 0 (s < 0)
und einem + (?) in (279) ist also immer gedampft und die andere Welle ist angeregt wenn
jsj 2 2 k3 :
(281)
In unserer idealisierten unendlich grossen Geometrie konnen wir k beliebig klein wahlen um (281)
zu erfullen. Ein physischer Dynamo hat eine endliche Dimension L0 so dass k > k0 1=L0 und
(281) nur erfullt ist wenn jsj einen Mindestwert uberschreitet.
Um die Fortpanzung der angeregten Welle zu untersuchen betrachten wir die Gruppengeschwindigkeit ug . Die Frequenz dieser Welle ist ?sgn(s) , so dass
1 @
(282)
ug = ?sgn(s) @
@ k = ?sgn(s) 4
@ k kjsj = 4
a ey :
Die Wellen panzen sich fort senkrecht zu ey und zu a, d.h. entlang die Isorotationsachen u0 =
konstant. Am Boden der solaren Konvektionsschicht z.B. gilt in der Nahe des A quators etwa
a k +ez , so dass nordlich des A quators (wo < 0) ug k +ex und sudlich des A quators (wo > 0)
ug k ?ex , d.h. die Welle bewegt sich immer zum A quator.
Ist diese Wellenfortpanzung auch zu verstehen als ein mittlerer Eekt der einzelnen konvektiven Zellen? Betrachte dazu Abb. (33). Wir nehmen an dass a k +ez und < 0 ( > 0)
nordlich (sudlich) des A quators. Das Magnetfeld ist schematisch dargestellt durch zwei toroidale
Flussringe (a). Der -Eekt erzeugt ein poloidales Magnetfeld (b). Die dierentielle Rotation schert
das poloidale Feld (c). Eektiv fuhrt die Scherung zur Entstehung zusatzlicher Flussringe neben
den ursprunglichen (d). Durch turbulente Diusion vermischen sich die Flussringe so dass eektiv
eine Breitendrift zum A quator zu beobachten ist (e). Auf hoheren Breiten bleibt ein toroidales
Magnetfeld entgegengesetzter Polaritat ubrig: der Anfang eines neuen Zyklus.
Ist die Sonne in der Tat ein !-Dynamo? Das Verhaltnis beider Quellterme in (273) ist
jk2j=j(ey a) kj jjk=a 2 10?3: die dierentielle Rotation ist viel wichtiger fur die Erzeugung
des toroidalen Magnetfeldes als der -Eekt.
Das toroidale Magnetfeld eines !-Dynamos ist starker als das poloidale Magnetfeld. Um
das zu beweisen substituieren wir zuerst (272) in (267):
B0 = Re (ik ey A~p + B~t ey ) ei(kr+!t) :
(283)
41 Parker, E.N., 1955, ApJ 122, 293
50
Abbildung 33: Erklarung der Breitendrift der Parkerwellen
Dann verwenden wir (274), d.h. (i! + k2 )A~p = B~t , und (277):
~
(284)
A~p = (1 ? i) pBt :
2ks
Es ergibt sich
i=4
p
B0 = Re ke
(285)
k^ ey + ey B~t ei(kr+!t) :
ks
Das Verhaltnis der beiden Feldkomponente ist daher etwa
r
B0p pkjj kjj
(286)
B0t
a
kjsj
Die Beobachtungen des Magnetfeldes der Sonne (x1.1) zeigen dass B0p =B0t 1, was bestatigt
dass der Sonnendynamo vom Typ ! ist (die ublichen Parameterwerte liefern B0p =B0t 0:04).
Bemerke dass B0p =B0t 1 fur ein 2!-Dynamo (kjj=a 1).
Betrachten wir jetzt einen 2-Dynamo. Wir setzen iksA~p = 0 in (273) und suchen eine
nicht-triviale Losung. Die Dispersionsrelation lautet jetzt
(i! + k2 )2 ? 2 k2 = 0
(287)
und die Losungen sind
! = i(k2 k):
(288)
Es gibt also keine periodische Losungen oder Wellen (jedenfalls in einer achen Geometrie). Eine
Losung ist immer gedampft; die andere ist angeregt wenn Im ! 0, d.h.
k > jj=:
(289)
Das mittlere Magnetfeld nden wir durch Substitution von (274) und (288),
A~p = B~t =ik
(290)
in (283):
(291)
B0 = Re ? k^ ey + ey B~t ei(kr+!t) :
Das Verhaltnis der poloidalen und toroidalen Feldkomponente ist
B0p = 1:
B0t
51
(292)
Abbildung 34: 2 -Dynamo
Wenn wir die Ergebnisse dieser lokalen Analyse extrapolieren zu einer Kugelgeometrie und annehmen das antisymmetrisch ist relativ zum A quator ( > 0 nordlich des A quators), entsteht
folgendes Bild (Abb. 34). Am Anfang ist nur ein toroidales Dipolfeld gezeichnet (a). Der -Eekt
erzeugt dazu einen toroidalen Strom k B0t im Norden und k ?B0t im Suden (b). Das zugehorige
poloidale Magnetfeld ist gezeichnet in (c). Der -Eekt macht jetzt daraus einen poloidalen Strom,
k B0p im Norden und k ?B0p im Suden (d). Das zugehorige toroidale Magnetfeld verstarkt das
ursprungliche Feld von (a), so dass der Kreis geschlossen ist.
Der 2-Dynamo hat gewisse A hnlichkeiten mit dem Erddynamo. Auch das Erdmagnetfeld
ist nicht periodisch. Dierentielle Rotation ist nicht sehr stark in der Erde aber trotzdem genugt
der geringe Geschwindigkeitsunterschied zwischen Innenkern und Aussenkern wahrscheinlich um
den Erddynamo als !/2!-Dynamo einzustufen (siehe x10).
7.5.2 Spherische MF-Dynamos
Man darf nicht immer die Ergebnisse der lokalen Analyse extrapolieren zu einer anderen (endlichen)
Geometrie. So gibt es z.B. durchaus periodische Losungen des 2-Dynamos in einer Kugel, obwohl
die meisten Losungen in der Tat nicht periodisch sind. Auch ist in einem endlichen Volumen die
Wellenzahl k nicht mehr beliebig. Die Werte von k formen ein diskretes Spektrum und es gibt
eine Untergrenze k < 1=L0, bestimmt durch die Dimension des Dynamos. Um zu wissen welche
globale Eigenschwingungen angeregt werden konnen muss die Dynamogleichung in der geeigneten
Geometrie gelost werden.
In einem spherischen Dynamo liegt es nahe B0 zu zerlegen in toroidale und poloidale
Komponenten (x4.4). Der Einfachkeit halber gehen wir aus von Axialsymmetrie (@=@ = 0). Das
mittlere Magnetfeld darf dann geschrieben werden als
B0 = Bt + Bp = Bt e + r Ap e :
(293)
Sei die mittlere Stromung rein toroidal,
u0 = u0 e ;
u0 = r sin ;
(294)
wo (r; ) die dierentielle Rotation darstellt. Dann folgt aus (265)
@ Bt = r (u B ) + r B ? r ( r B );
(295)
0
p
p
t
@t
@ Bp = r B ? r ( r B ):
(296)
t
p
@t
Wir betrachten zuerst alle Terme zur rechten Seite. Die Rotation des Vektors u0 Bp = u0(B er ?
Br e ) in Kugelkoordinaten lautet [s = r sin ; = u0=s; vergleiche die Ableitung von (104)]:
n@
@ u B o = se nr u0Bp o = se (B r) ru0Br + @
r (u0 Bp ) 90
= er @r
p
0 s
= r
rsAp :
(297)
52
Im letzten Schritt haben wir
= ? 1s e rsAp
Bp = r Ap 90
(298)
gesetzt. Da jetzt nicht mehr konstant genommen werden darf, ist auch der nachste Term etwas
komplizierter:
n@
@ B o = r B + e nB @ ? Br @ o
rB ? @
r Bp 90
= er @r
p
@r
r
r @
= r r Ap e + (r Bp )
(299)
Im ersten Term von (299) substituieren wir
n
o
r r Ap e 93
= ?e r2 ? s12 Ap = ?e 0Ap :
(300)
Der zweite Term von (299) lautet
r Bp 298
= ? 1s r (e rsAp ) = ?e 1s (r r)sAp ;
(301)
so dass
r Bp = ?e 0Ap ? e 1s (r r)sAp :
(302)
Der letzte Term von (295) ist zu schreiben als
? r r Bt 93
= e 0 Bt :
(303)
Gleichung (296) ist durch Substitution von Bp = r Ap e zu schreiben in der Form r wt = 0 ) wt = (r) = 0 und darf also 'entrotiert' werden. Der letzte Term von (296) wird
durch Anwendung von (93) umgeschrieben. Schliesslich berechnen wir fur alle Terme von (295)
den Skalarprodukt mit e und verwenden (J1) fur den Skalarprodukt mit (297). Nach diesen
Manipulationen ergibt sich aus (295-296)
@Bt = (e r
) rsA ? 0A ? 1 (r r) sA + 0 B ;
(304)
p
p
p
t
@t
s
@Ap = B + 0 A :
(305)
t
p
@t
Diese Gleichungen sind denen der achen Geometrie (270-271) sehr ahnlich, nur hat der Gradient
von zu einem neuen Term Anlass gegeben. Als Beispiel suchen wir Losungen fur den Fall
@
= 0 = konstant;
(306)
= (r);
@r
= m cos :
(307)
Der erste und dritte Term von (304) reduzieren zu
@ A sin ;
(e r
) rsAp = 0 @
(308)
p
0 @
? 1s (r r) sAp = ? s @
Ap sin ;
(309)
wo 0 = @=@. Wir suchen Losungen der Form
ikr
Ap = RRe P e r ;
(310)
ikr
(311)
Bt = Re T e r
wo P = P(; t) und T = T(; t) komplexe Funktionen sind und R ein Radius ist der spater festgelegt
wird. Durch den Faktor R in der Denition von Ap erhalten P und T die gleiche Dimension [T m?1].
Es gilt
o ikr
n @ 1 @
ikr
2 Pe
sin
?
k
(312)
0P e r = r12 @
sin @
r
53
und ahnlich fur T exp (ikr)=r. Alle Ableitungen nach r sind jetzt verschwunden. Wir setzen uberall
r = R und denieren dimensionslose Grossen
~ 0 = R2 0;
~ = =m;
= t=R2 :
(313)
Es ergeben sich folgende Gleichungen fur P und T:
n @ ~ 0o
@ P sin ? C ~~ 0P ? C ~ 0 @ P sin;
T
=
C
?
(314)
!
sin @
@
@
n @ ~ 0o
(315)
@ ? P = C ~ T;
wo
0 3
C! = R ;
C = m R ;
C = C C!
(316)
die Dynamozahlen der dierenziellen Rotation (C! ) bzw. des -Eektes (C ) sind. Ein !-Dynamo
hat jC! j jCj, ein 2!-Dynamo jC! j jCj und ein 2-Dynamo jC! j jCj.
Die Symmetrie der Losungen bezuglich der A quatorebene = =2 wird als Paritat bezeichnet; sie ist antisymmetrisch (A) oder symmetrisch (S). Im allgemeinen ist eine Losung zu schreiben
als T = TA + TS und P = PA + PS . Wenn man jetzt die symmetrischen und antisymmetrischen
Teile von (314-315) trennt, zeigt sich dass TA nur an PS gekoppelt ist und TS nur an PA , denn
Multiplikation mit oder Ableitung nach tauscht die Paritat um; Multiplikation mit sin lasst
die Paritat unverandert.
Betrachten wir zuerst einen !-Dynamo, wobei wir naturlich den Sonnendynamo im Auge
behalten. Gleichungen (314-315) reduzieren zu
n @ ~ 0o
@
(317)
@ ? T = C! @ P sin ;
n @ ~ 0o
(318)
@ ? P = C ~ T
Die Losungen erhalten wir durch eine Zerlegung in Legendrefunktionen,
P(; ) = Ce
T(; ) = e
1
X
n=1
1
X
n=1
an Pn1(cos );
(319)
bnPn1(cos ):
(320)
Die Aufnahme des Faktors C in P wird sich spater als bequem erweisen. Die Legendrefunktionen
sind Losungen der Gleichung
~ n1 = ?n(n + 1)Pn1;
P
(321)
d.h. es sind Losungen von (317) wenn C! = 0 oder von (318) wenn C = 0 (frei zerfallende Felder
oder decay modes). Die Pn1(x) [x = cos ] haben die Eigenschaften
(2n + 1)xPn1 = nPn1 + (n + 1)Pn1?1;
(322)
1
n = nxP 1 ? (n + 1)P 1 :
(x2 ? 1) dP
(323)
n
n?1
dx
Wir verwenden Identitaten (321-323) um die einzelnen Terme von (317-318) als Kombinationen
von Pn1 zu schreiben. Bemerke dazu:
o
n
(324)
~ 0Pn1 = ? n(n + 1) + (kR)2 Pn1;
@ P 1 sin = n(n + 1) nP 1 ? P 1 o;
@ n
2n + 1 n+1 n?1
o
n
Pn1 cos = 2n 1+ 1 nPn1+1 + (n + 1)Pn1 ;
Substitution von (325-326) in (317-318) liefert fur diese Terme nach Umnummerierung
54
(325)
(326)
Abbildung 35: Eigenfunktionen von (317- 318) mit kR = 3 und C = Ckrit = ?1319. Gezeigt sind
Konturlinien von T(; ) fur die ersten sechs Eigenmodes. Der exponentielle Zerfall der Obertone
ist entfernt worden fur die Anschaulichkeit.
1 n n(n ? 1)
@ P sin = Ce X
(n + 1)(n + 2) a o P 1;
C! @
a
n
?
1?
n+1 n
2n ? 1
2n + 3
n=1
C ~T = Ce
n + 2 b o P 1:
b
+
2n ? 1 n?1 2n + 3 n+1 n
1 n n?1
X
n=1
(327)
(328)
Gleichungen (317-318) ergeben somit folgende Beziehungen zwischen den Entwicklungskoezienten:
n
o
n ? 1)
(n + 1)(n + 2) a o;
+ (kR)2 + n(n + 1) bn = C n(n
(329)
a
?
n+1
2n ? 1 n?1
2n + 3
n
o
n?1 b + n+2 b :
+ (kR)2 + n(n + 1) an = 2n
(330)
? 1 n?1 2n + 3 n+1
Die Legendrefunktionen Pn1 sind S bezuglich des A quators fur n ungerade (z.B. P11 = sin ) und A
fur n gerade. Gleichungen (329-330) bestatigen also die Kopplung zwischen symmetrischem T und
antisymmetrischem P bzw. zwischen antisymmetrischem T und symmetrischem P.
Der einzige Parameter in (329-330) ist C; die Losungen hangen also nur vom Produkt C =
CC! ab. Das gilt nicht fur das Verhaltnis P=T: wenn wir (317-318) absch
p atzen durch T C! P und P CT, folgt durch Substitution jj2 jC j ) jP=T j jC=C! j. Das mittlere
Magnetfeld hat folgende Beziehung zu P und T [verwende (293), (298) und (310-311)]:
n
h
i
o
B0 = Re T e ? sin1 e ikRer + e @@ P sin eikr =R:
(331)
Wenn kR = O(1) erhalten wir
r
B0p P C :
(332)
C! B0t T p
Dieses Ergebnis besagt also B0p =B0t jm =
0R2 j, ahnlich wie in der achen Geometrie (286).
55
Tabelle 2: Dimensionslose Wachstumsraten und Frequenzen der ersten sechs Eigenschwingnungen
fur kR = 3 und C = ?1319
i Paritat
0
A
1
S
2
S
3
A
4
S
5
A
i
0.00
?2:09
?8:94
?17:4
?28:4
?42:1
!i
27.9
27.6
0.00
26.2
27.4
31.0
Die rekurrenten Beziehungen (329-330) konnen numerisch gelost werden indem man die
Summierung abbricht bei n = N. Die 2N Gleichungen fur 2N Unbekannte werden als Matrize
geschrieben und fur diese Matrize werden Eigenvektoren fa1; a2; ; aN ; b1; b2; ; bN g und Eigenwerte i berechnet. Dabei soll N so gross gewahlt werden dass die Eigenvektoren genugend
konvergieren. Aus jedem Eigenvektor erhalt man durch Summierung der Legendrefunktionen (319320) eine Eigenfunktion der Dynamogleichung, Pi (; ) und Ti (; ). Abb. (35) zeigt die ersten
sechs Eigenfunktionen fur einen !-Dynamo mit kR = 3 und C = ?1319; die zugehorigen
Eigenwerte sind zu nden in Tabelle (2). Die Losungen sind gezeichnet als Schmetterlingsdiagramme (Hohenlinien) von Ti (; ). Die Eigenwerte,
i = i!i + i ;
(333)
sind beim !-Dynamo meistens komplex, so dass die Eigenfunktionen periodisch sind (!i 6= 0),
obwohl in Abb. (35) auch eine stationare (d.h. nicht-periodische) Eigenfunktion gezeigt wird (!2 =
0). Die Wachstumsraten i hangen wie !i ab von C - meistens (aber nicht immer) gilt i " wenn
jC j ". Die Eigenfunktionen werden ublicherweise so nummeriert dass 0 1 2 . Die kritische
Dynamozahl Ckrit;i einer Eigenschwingung ist deniert durch
C = Ckrit;i
,
i = 0;
(334)
d.h. die Eigenschwingung i ist marginal stabil. Meistens bezeichnet man Ckrit;0 einfach als Ckrit ,
die Dynamozahl bei der die dominante Eigenfunktion marginal stabil ist und die ubrigen gedampft
sind. Das negative Vorzeichen von C sorgt dafur dass die Dynamowellen zum A quator laufen. Das
Schmetterlingsdiagram fur die erste Eigenschwingung sieht erstaunlich gut aus und reproduziert
essentielle Eigenschaften des solaren Magnetfeldes (Abb. 2). Durch eine geschickte Wahl von R2=
kann man bewirken dass die Zyklusdauer 2R2=!0 22 Jahre ist.
7.6 Nichtlineare MF-Dynamos
Wenn die Dynamozahl jC j > jCkrit j ist ergibt sich nach der (linearen) MF-Theorie ein exponentiell
anwachsendes mittleres Magnetfeld. Dies entspricht nicht den Beobachtungen des Sonnenzyklus,
denn abgesehen von Fluktuationen bleibt jBj etwa konstant, wenn gemittelt uber suksessive Zyklen.
In der (linearen) MF-Theorie ist man daher gezwungen kunstlich C Ckrit zu setzen. Auch ist
wegen der Linearitat die absolute Grosse von B0 nicht festgelegt. In Wirklichkeit wird B bei
einer superkritischen Dynamozahl beschrankt durch nichtlineare Eekte wie die Lorentzkraft und
Flusseruption. Da diese Eekte ab einem bestimmten Schwellwert (typisch die A quipartitionsfeldstarke Beq ) wichtig werden, liefern sie einen Referenzwert fur jBj (vergleiche den Scheibendynamo,
x3).
Daneben bieten nichtlineare Oszillationen vielleicht eine Erklarung fur die beobachtete Variabilitat im Sonnendynamo, d.h. Variierungen der Lange und Amplitude des Sonnenzyklus (Maunderminimum) und fur die Asymmetrie im Schmetterlingsdiagram (gemischte Paritat).
Leider ist die Ableitung der Dynamogleichung (x7.3) nur gultig im kinematischen Bereich.
Trotzdem mochte man die (mit Sicherheit stattndende) Ruckwirkung des Magnetfeldes auf die
Stromung auch in der MF-Theorie berucksichtigen. Dies tut man auf heuristische Weise, indem
man z.B. die Dynamoparameter (, , u0) zu Funktionen von B0 macht (quenching) oder die MFDynamogleichung ausbreitet mit einem nichtlinearen Verlustterm (Flusseruption). Zum Teil sind
solche Ansatze fur - und !-Quenching und Flusseruption unterstutzt durch Berechnungen der
56
mittleren EMK hu1 B1i(B0 ) in einem turbulentem Medium unter der Annahme eines uniformen
konstanten mittleren Feldes B0 (z.B. Arbeiten von Kitchatinov, siehe x7.6.3). Man muss aber im
Auge behalten dass es keine konsistente Ableitung einer nichtlinearen MF-Dynamogleichung gibt.
Die Lorentzkraft besteht aus zwei Termen von dem der erste Spannungs- und Krummungskrafte, der zweite die magnetische Druckkraft beschreibt:
flor = J B J9
= 1 (B r) B ? 21 rB 2 :
(335)
0
0
Wir zerlegen die Lorentzkraft in einen Mittelwert und einen variierenden Beitrag:
hflor i = J0 B0 + hJ1 B1i;
(336)
0 = flor ? hflor i = J0 B1 + J1 B0:
flor
(337)
Die mittlere Lorentzkraft hflor i beeinusst die mittlere Stromung u0; dieser Eekt wird bezeichnet
0 beeinusst die turbulente Geschwindigkeit u1 und somit alle Turbulenzparaals -Quenching. flor
meter; dies gibt Anlass zu - und -Quenching. Bemerke dass flor sowohl vom mittleren Feld B0
als vom kleinskaligen Feld B1 abhangt, d.h. = (B0; B1) und ahnlich fur und . Die MFDynamogleichung liefert aber nur B0. Wir mussen daher annehmen B1 B1(B0 ), so dass , und als Funktionen von B0 betrachtet werden durfen.
Es gibt eine Vielzahl von Untersuchungen zu MF-Dynamos mit nicht-linearen Termen. In
den folgenden Abschnitten (xx7.6.1-7.6.3) werden nur einige Beispiele von -, -Quenching und
Flusseruption erwahnt; mehr sind zu nden bei u.A. Weiss, Cattaneo und Jones42 . Ein MF-Dynamo
mit -Quenching ist zu nden bei Rudiger et al43.
7.6.1 -Quenching
Die genaue Feldstarke bei der die Lorentzkraft wichtig wird ist noch umstritten. Oft wird angenommen dass der Schwellwert liegt bei B0 Beq , das heisst wenn A quipartition herrscht zwischen
magnetischer Energie des mittleren Feldes und kinetischer Energie der Konvektion. Fur B0 > Beq
lassen Spannungs- und Krummungskrafte dann keine Drehung der magnetischen Schleifen durch
die Corioliskraft mehr zu, so dass ! 0. Zwei Beispiele davon werden jetzt erwahnt. Sei
(r; B0) = 0 (r) f(B0 );
(338)
dann lautet der cut-o- von Stix44:
h
? Bc i
;
(339)
f1 (B0 ) = 21 1 ? erf B0B
p R
wo erf(x) = =2 0x dt expf?t2 g und Bc Beq (Abb. 36). Stix hat diesen Eekt in einem 1D
!-Dynamo untersucht. Dazu wurde die Dynamogleichung in entdimensionierter Form numerisch
gelost:
n @ @2 o
@P
(340)
@ ? @x2 T = C! @x ;
n @ @2 o
(341)
@ ? @x2 P = C cos x f1 (B0 )T;
p
wo x die Breite darstellt und B0 = T 2 + (@P=@x)2 . Abb. (37) zeigt eine superkritische periodische Losung. Wenn jT j < Bc dann funktioniert der -Eekt und steigt P rasch an zu einem
Maximum; die dierentielle Rotation erzeugt daraus ein toroidales Feld das etwas spater sein
Maximum erreicht. Die Abhangigkeit der Amplitude und der Periode von C=Ckrit wird gezeigt in
Abb. (37). Ein zweites Beispiel stammt von Jepps45 und lautet
(342)
f2 (B0 ) = 1 + (B1 =B )n ;
0 c
42 Weiss, N.O., Cattaneo, F. und Jones, C.A., 1984, GAFD 30, 305-41
43 Rudiger, G., Kitchatinov, L.L, Kuker, M. und Schultz, M., 1994, GAFD 78, 247-59
44 Stix, M., 1972, A&A 20, 9
45 Jepps, S.A., 1975, Journ. Fluid Mech. 67, 625-46
57
Abbildung 36: -Quenching
Abbildung 37: a) 1D !-Dynamo mit cut-o-; C = 5Ckrit . Gezeigt werden T=Bc (oben) und
P=Bc (unten) als Funktion von bei festem x. b) Amplitude und Periode als Funktion von C=Ckrit
(='P=Pc') (Stix 1972)
siehe Abb. 36. Jepps hat diesen Ansatz verwendet in einem spherischen axialsymmetrischen !Dynamo [siehe (304-305) ohne die 2-Terme]. Fur 0(r; ) und u0(r; ) verwendete er u.A. ('Model
2')
h
i
(343)
0 = 12 1 + erf r ?d r2 cos ;
h
i
u0 = 21 1 ? erf r ?d r2 r sin e ;
(344)
wo d r2, so dass und die dierentielle Rotation in unterschiedlichen Schichten existieren: r > r2
bzw. r < r2 . Aus praktischen Grunden ersetzte er (342) durch 1=(1 + jT jn), was erlaubt ist weil in
einem !-Dynamo meistens jT j jP j. Abb. (38) zeigt einige numerische Losungen ohne und mit
-Quenching. Je grosser n ist, desto starker weichen die Losungen ab vom linearen Fall (a); fur
 ange zwischen zwei periodischen Losungen
n = 3 und C=Ckrit genugend gross gibt es z.B. Uberg
(d).
Vainstein
al46 betonen dass in einem turbulentem Medium schon bei einer Feldstarke
pR etstark
B0 Beq = m p reduziert ist, weil das kleinskalige Magnetfeld bereits dann A quipartition
erreicht: B1 B0 Rm . Dies stellt die Moglichkeit eines 'klassischen' -Eektes in Frage. Wenn
das Ergebnis von Vainshtein et al auch in der Sonne gultig ist, kann der Sonnendynamo nur auf
Grund eines vollig anderen -Eektes funktionieren.
Eine mogliche Losung beruht auf einer magnetischen Instabilitat von toroidalen Flussrohren.
Diese Instabilitat wird verursacht von der magnetischen Auftriebskraft und tritt nur auf wenn die
magnetische Feldstarke in der Flussrohre BT > BT1 105 G ist; wenn BT zu gross ist, nimmt wieder ab weil die Flussrohren zu rasch aus der Dynamoschicht entfernt werden. Mehr uber diese
Instabilitat ist zu nden in x9.3. Die U bersetzung in die Sprache der MF-Theorie erfordert eine
Umrechnung B0 fBT , wo f die Volumenfraktion der Flussrohren ist. Somit kann dieser -Eekt
46 Vainshtein, S.I., Cattaneo, F. (1992), ApJ 393, 165-71; Tao, L., Cattaneo, F., Vainshtein, S.I., in Solar and
Planetary Dynamos, Proctor, M.R.E. et al (eds.), Cambridge 1993
58
Abbildung 38: -Quenching in einem spherischen !-Dynamo. Gezeigt sind Schmetterlingsdiagramme von T fur linksoben (a) C = Ckrit , f = 1; rechtsoben (b) C=Ckrit = 10, f = f2, n = 1;
linksunten (c) C=Ckrit = 7, f = f2 , n = 1. rechtsunten (d) Periode als Funktion von C=Ckrit
(='P') fur n = 3. (Jepps 1975)
in der MF-Dynamogleichung schematisch modelliert werden durch den Ansatz
8
(B0 < Bc1 )
>
<0
f3 (B0 ) = 1
(Bc1 < B0 < Bc2 )
(345)
>
:0
(B0 > Bc2 );
wo Bc1 = fBT1 und Bc2 = fBT2 ; siehe Abb. 36. Fur ein numerisches Beispiel eines MF-Dynamos
mit diesem -Eekt, siehe x9.
7.6.2 Dynamisches -Quenching
Die Eekte der Lorentzkraft konnen auch modelliert werden durch zusatzliche (nichtlineare) Dierentialgleichungen fur , oder u0. Ein Beispiel stammt von Tobias und Weiss47. Sie modellieren
den Sonnendynamo als !-Dynamo in einer axialsymmetrischen kartesischen 2D-Geometrie. Die
Koordinaten sind deniert wie bei der Parkerwelle (x7.4.1); x = 0 und x = Lx bezeichnen Nordpol
bzw. A quator, z ist der radielle Koordinat, wobei ?Lz < z < 0 die Overshoot-Schicht (OS; siehe
x9) und 0 < z < Lz die Konvektionsschicht (KS) sind. Dierentielle Rotation u0 = u0 ey ist in der
OS konzentriert und in der KS, eine Idee die zuruckgeht auf u.A. Parker48 und die weiter unten
begrundet wird (x9.2). Nach einer Zerlegung von B0 in toroidale und poloidale Komponenten,
B0 = Bt ey + r Ap ey , lautet die MF-Dynamogleichung (vergleiche 270-271):
n@
o
2 B = (e a) rA ;
(346)
?
r
t
y
p
@t
o
n@
2 A = B ;
(347)
?
r
p
t
@t
47 Tobias, S.M., 1996, A&A 307 L21-4; Weiss, N.O. und Tobias, S.M., 1997, in Solar and Heliospheric Plasma
Physics, G.M. Simnett (Her.) Springer
48 Parker, E.N., 1993, ApJ 408, 707-19
59
wo a = ru0. Diese Gleichung erzeugt Parkerwellen, die sich entlang die Grenze der beiden Schichten
fortpanzen, sogenannte surface-waves (x9.2). Fur und u0 wird folgender Ansatz verwendet:
x = 0(z) cos 2L
;
(348)
x
x u0 = v(z) sin 2L
+ w(x; z; t):
(349)
x
Abb. (39) zeigt 0 und v0 = @v=@z als Funktionen von z. Die turbulente magnetische Diusivitat
Abbildung 39: z-Abhangigkeit von und dierentieller Rotation v0
wird konstant genommen. Der erste Teil von u0 stellt die (radielle) dierentielle Rotation da,
wobei der Faktor sin(x=2Lx ) die Konzentration am A quator und das Verschwinden an den Polen
modelliert. Aus (349) folgt
x @w i h 0 x @w i
h
(350)
+ @x ex + v sin 2L + @z ez :
a = ru0 = 2L v cos 2L
x
x
x
Der zweite Teil von u0 enthalt die Ruckwirkung der Lorentzkraft und wird bestimmt durch eine
gemittelte Navier-Stokesgleichung (19):
@w = hJ Bi + r2w;
(351)
y
t
@t
wo t eine turbulente kinematische Viskositat ist. Die mittlere Lorentzkraft (336) wird
Abbildung 40: Schematisches Diagram der Bifurkationen (Weiss und Tobias 1997)
abgeschatzt durch
n p @Bt @Ap @Bt o
(352)
? @z @x :
= 1 (B0 r) Bt = 1 @A
hJ Biy (J0 B0 )y J9
0
0 @x @z
Die Vernachlassigung von hJ1 B1 iy ist notig aber nicht unproblematisch denn jB1j ist wenigstens
so gross als jB0j in der Sonne. Es ergibt sich
n@
o
n@
o
@u0 @Ap @u0 @Ap
2
@t ? r Bt = @z @x ? @x @z ;
(353)
2
@t ? r Ap = Bt ;
(354)
o
1 n @Ap @Bt ? @Bt @Ap o:
2
?
tr w =
@t
0 @x @z @x @z
n@
60
(355)
Die Eigenschaften der Losungen werden gesteuert von der Dynamozahl,
0 3
C = mvm2 Lz ;
(356)
wo m und vm0 typische Werte von bzw. von v0 sind. Wenn jC j " ergibt sich eine Reihe von
Bifurkationen wie schematisch gezeigt wird in Abb. (40). Die Dynamozahl wird negativ gewahlt
damit die Dynamowellen sich zum A quator bewegen. Die erste Bifurkation (H1, wo B0 = 0 instabil
wird) tritt auf bei C = ?279 fur eine Dipollosung (Bt antisymmetrisch) und bei C = ?325
fur eine Quadrupollosung (Bt symmetrisch). Durch Randbedingungen ist es moglich die Paritat
der Losungen vorzuschreiben: antisymmetrisch wenn @Ap =@x = Bt = @u0=@x = 0 fur x = Lx ;
symmetrisch wenn @Bt =@x = Ap = @u0=@x = 0 fur x = Lx .
Abbildung 41: Schmetterlingsdiagramme (sudliche Halbkugel) von Bt fur Dipollosungen mit (a)
C = ?500 und (b) C = ?1500 (Weiss und Tobias 1997)
Abb. (41) zeigt Beispiele von rein antisymmetrischen Losungen. Nach der ersten HopfBifurkation gibt es periodische Losungen mit endlicher Amplitude (C = ?500). Nach einer zweiten
Hopf-Bifurkation entstehen modulierte Zyklen (C = ?1500). Die Berechnungen zeigen dass die
Periode der Modulation etwa (t=)?1=2 mal die Zyklusdauer ist; in den Abbildungen ist t = =
0:01. Die Modulationen entstehen durch Phasenunterschiede zwischen u0 und B0 die eine Folge
sind der unterschiedlichen Diusionszeiten L2z = und L2z =t . Moglicherweise sind die Intervalle
reduzierter Aktivitat zu vergleichen mit dem Maunder-Minimum der Sonne. Je grosser jC j, desto
langer dauern diese Intervalle; fur C = ?2000 sind die Losungen chaotisch geworden (Abb. 42).
Abbildung 42: Attraktoren fur Dipollosungen: hBt2 ixz gegen hu20ixz fur (a) C = ?1500 und (b)
C = ?2000 (Weiss und Tobias 1997)
Wenn keine Paritat wird vorgeschrieben entsteht (fur t= = 0:1) eine Sequenz von Losungen
wie gezeigt in Abb. (43). Nach der ersten Bifurkation ergibt sich eine stabile Dipollosung (C =
61
?300); nach der zweiten Bifurkation entsteht eine Losung gemischter Paritat (C = ?400) und
fur C = ?500 entsteht eine stabile Quadrupollosung. Schliesslich ergibt sich fur C = ?1200 eine
Losung mit gemischter Paritat, die regelmassige Intervalle reduzierter Aktivitat aufweist. Wahrend
dieser Intervalle ist der Symmetrieverlust am starksten, was auch fur die Sonneneckenverteilung im
Maunder-Minimum gilt. Unregelmassige Variationen, wie sie beobeachtet werden im Sonnenzyklus,
ergeben sich in dieser Rechnung nur wenn C stark superkritisch gewahlt wird (> 2000). Es ist unklar
ob dann noch realistische Maunder-Minima vorkommen.
Abbildung 43: Schmetterlingsdiagramme ohne vorgeschriebene Paritat fur (a) C = ?300, (b)
C = ?400, (c) C = ?500 und (d) C = ?1200 (Weiss und Tobias 1997)
7.6.3 Flusseruption
Neben der Lorentzkraft ist Flusseruption (buoyancy) ein zweiter nichtlinearer Eekt zur Festlegung
der magnetischen Feldstarke. Das Magnetfeld eines turbulenten Mediums wie z.B. das der solaren
Konvektionsschicht neigt zur Bildung starker raumlicher Inhomogenitaten. Magnetische Volumenelemente (Flussrohren) sind daher eingebettet in einem extermen nicht-magnetischen Gas, mit dem
sie in Druckgleichgewicht sind,
BT2 ;
pe = pi + 2
(357)
0
wo BT die Feldstarke in den magnetischen Elementen ist (B0 =BT f ist die Volumenfraktion der
Flussrohren). Wenn Ti = Te = T dann folgt aus der idealen Gasgleichung ( = p=RT)
2
T :
e ? i = 2BRT
(358)
0
Betrachten wir eine magnetische Flussrohre (Radius a) dann wirkt auf sie eine Auftriebskraft
(buoyancy force) [N m?1]
Fb = (e ? i )ga2 ;
(359)
62
Abbildung 44: Schmetterlingsdiagramme des toroidalen Magnetfeldeseines !-Dynamos mit a) Quenching, C = ?2000, drei unterschiedlichen Anfangsfeldern. b) Flusseruption; oben: C = 1200;
Mitte: C = 2000; unten: C = 12000 (Schmitt und Schussler 1989)
und eine Reibungskraft (drag force),
Fd = CD e au2b ;
(360)
wo ub die Geschwindigkeit der aufsteigenden Flussrohre ist. Im Gleichgewicht Fb = Fd gilt
gaBT2 :
=
(361)
u2b = e ? i ga
20CD pe
e CD
Abhangig von der Tiefe auf der sich die Flussrohren benden kann man aus ub eine Schatzung
fur die typische Verlustzeit b geben. Flusseruption wird oft (zuerst vorgeschlagen von Leighton)49
modelliert durch einen extra Term in der Dynamogleichung der Form B0 f(B0 )=b , wo f(B0 ) = B0n .
Berechnungen von Kitchatinov und Pipin50 zeigen allerdings dass die Abhangigkeit von B0 im
Allgemeinen viel komplizierter ist und dass f(B0 ) = B0n mit n = 2 nur bei Feldstarken B0 Beq
eine gute Annaherung ist.
Folgendes Beispiel stammt von Schmitt und Schussler51 . Sie betrachten einen axialsymmetrischen !-Dynamo in spherischer Geometrie und losen (314-315) fur kR = 0 mit einem zusatzlichen Term Qg(B0 ) in der Gleichung fur das toroidale Feld (314), wo Q = R2=b (1=Q ist die
entdimensionierte Verlustzeit) und
( ?sgn(T) [Bn ? Bn] (B0 Bc);
0
c
g(B0 ) =
(362)
0
(B0 < Bc ):
In der Rechnung wurde Bc gleich 0 oder 1 gesetzt, abhangig davon ob eine Schwelle angenommen
werden sollte fur das Auftreten von Flusseruption. Gleichung (315) fur das poloidale Magnetfeld
wurde nicht verandert. Der Vergleich zwischen -Quenching und Flusseruption (Abb. 44) zeigt
dass Flusseruption zu realistischeren Schmetterlingsdiagrammen fuhrt mit klarer Dipolparitat (A),
wahrend bei -Quenching die Paritat der Losung oft gemischt (A+S) ist und die Breitenwanderung
nicht mehr zum A quator stattndet.
49 Leighton, R.B. 1969, ApJ 156, 1
50 Kichatinov, L.I., Pipin, V.V., 1993, A&A 274, 647-52
51 Schmitt, D., Schussler, M., 1989, A&A 223, 343-51
63
8 MHD-Turbulenz
MF-Dynamotheorie liefert eine Beschreibung des mittleren Magnetfeldes B0 aber gibt keine Information uber das kleinskalige Magnetfeld B1 = B ? B0 . Die Starke des kleinskaligen Feldes wird
abgeschatzt als B1 Rm B0 B0 , was eine Obergrenze darstellt weil die Ableitung beruht auf
der Annahme dass die Induktionsgleichung linear in B ist (keine Lorentzkraft). Beobachtungen
des solaren Magnetfeldes und Simulationen von Dynamowirkung in einem konvektiven Medium
bestatigen aber dass B1 nicht klein ist im Vergleich zu B0 . Nichtlineare Eekte der Lorentzkraft
konnen daher wichtig sein auch wenn B0 schwach ist. Das Magnetfeld der Sonne enthalt eine
Vielzahl von Langenskalen, variierend von etwa R bis zur Dissipationslange. Die Bildung eines
solchen Spektrums von Langenskalen in der Stromung u ist typisch fur turbulente Flussigkeiten,
d.h. wenn Rh 1. Wenn Rm 1, wie in der solaren Konvektionsschicht, sind wegen des
Alfvenschen Theorems sowohl u als B turbulente Grossen. Die Theorie der MHD-Turbulenz
versucht auf statistische Weise die (nichtlineare) Evolution von u und B bei allen Langenskalen
zu untersuchen. Die Methoden der Turbulenztheorie beruhen auf einer Zerlegung der relevanten
Grossen (hjuj2i, hjBj2i usw.) in Fourierkomponenten. Weil die Anwesenheit eines Magnetfeldes
zu erheblichen Komplikationen der Turbulenztheorie fuhrt, werden wir zuerst hydrodynamische
Turbulenz betrachten und danach die Modikationen durch das Magnetfeld.
8.1 Hydrodynamische Turbulenz
Betrachten wir eine Flussigkeit ohne Magnetfeld unter den Bedingungen
H1) inkompressibele Stromung: r u = 0,
H2) Dichte und kinetische Viskositat konstant,
dann wird die Stromung beschrieben durch die Navier-Stokes-Gleichung [siehe (19)],
@ u + (u r) u = ?rp~ + r2u + ~f ;
(363)
@t
wo
~f = f =:
p~ = p=;
(364)
Das Verhaltnis des (nichtlinearen) Advektionstermes zum diusiven Term deniert die (hydrodynamische) Reynoldszahl Rh ,
j(u r) uj uL = R ;
(365)
h
j r2uj
wo u und L eine typische Geschwindigkeit und Lange der Stromung sind. Experimente zeigen dass
wenn Rh einen Schwellwert 1 uberschreitet Turbulenz entsteht: es bildet sich eine Hierarchie von
Strukturen (Wirbeln) unterschiedlicher Grossen ` und Lebensdaurn t` . Eine turbulente Stromung
ist zeitlich und raumlich sehr variabel und hat praktisch stochastische Eigenschaften. Daher wird
eine statistische Beschreibung verwendet (siehe x7.3).
Nehmen wir an dass sich Turbulenz gebildet hat mit folgenden statistischen Eigenschaften:
H3) hui = 0,
H4) Stationaritat: @ hui i=@t = 0,
H5) Homogenitat: hui (r) uj (r + x) i = unabhangig von r,
H6) Isotropie (Invarianz unter willkurlichen Drehungen).
Wir multiplizieren (363) mit u und mitteln das Ergebnis; aus (H1) und (H5) folgt
(366)
hu (u r) ui = r h 21 juj2ui = 0;
hu rp~i = r hup~i = 0;
(367)
Fur stationare Turbulenz (H4) ergibt sich dann
h~f ui = hu r2ui = ;
(368)
64
Abbildung 45: Energiekaskade hydrodynamischer Turbulenz
d.h. Gewinn und Verlust von kinetischer Energie sind im Gleichgewicht. Der Quellterm ist die
Arbeit die von f auf die Flussigkeit wird ausgeubt, auch mittlere Injektionsrate genannt; der
Verlustterm ist die mittlere Dissipationsrate der kinetischen Energie (beide haben als Dimension
[J kg?1 s?1 ]). Bemerke dass der nichtlineare Term (u r) u keinen Energieverlust oder Gewinn
verursacht aber verantwortlich ist fur den Energietransport zwischen Eddies unterschiedlicher
Grossen `. Die Dissipiationsrate ist am starksten fur die kleinsten Wirbel. Stationaritat erfordert
daher dass standig kinetische Energie von grossen Wirbeln auf kleine Wirbel ubertragen wird.
Nehmen wir an dass die Kraft f eine typische Korrelationslange `0 hat, dann ndet die Injektion
hauptsachlich statt bei `0 . Dissipation wird wichtig fur ` < ` `0 , wobei ` die Wirbelgrosse ist
fur die Rh (`) 1. Im zwischenliegende Bereich, der inertial range,
` ` `0 ;
(369)
ist die kinetische Energie erhalten: alle Energie die bei `0 eingefuhrt wird, muss auf immer kleinere
Wirbel ubertragen werden bis es bei ` dissipiert werden kann. Dieser Transport einer erhaltenen
Grosse entlang die `-Achse (oder k-Achse im Fourrierraum) wird Kaskade genannt; Abb. (45) ist
eine idealisierte Darstellung der Energiekaskade. (Injektion geschieht bei k0 1=`0, Dissipation
bei k 1=` .) Sei v` die typische Geschwindigkeit bei Wirbelgrosse `, d.h.
X1 2 1 2
v` 2 hjuj i:
(370)
` 2
Die Transportrate (transfer rate) der kinetischen Energie ist abzuschatzen als v`2 =t`, wo t` `=v`
die Turnoverzeit ist, ein Mass fur die Zeit die ein Wirbel braucht um seine kinetische Energie los
zu werden (transfer time). Es ergibt sich fur stationare Turbulenz
v`3 = ,
v` (`)1=3 :
(371)
`
Mit diesem Ergebnis konnen wir ` abschatzen: Rh (` ) 1 ,
` v (` )1=3
)
` ( 3=)1=4;
(372)
`
die sogenannte Kolmogorov micro scale. Die Formel besagt dass je kleiner die Viskositat , oder je
grosser die Injektionsrate sind, desto kleiner muss ` sein um die fur Stationaritat erforderliche
Dissipation zu ermoglichen. Aus (371) folgt auch
` R?3=4(` );
Rh (`)
4=3
(373)
)
0
h
Rh (`0 ) (`=`0 )
`0
so dass ` `0 wenn Rh (`0 ) 1. Sei E(k) das Energiespektrum von u (die kinetische Energiedichte im k-Raum). Wir konnen uns den Inertialbereich schematisch vorstellen als ein diskretes
Spektrum von Wirbelgrossen `0 ; `0 =; `0=2; , wo > 1. Wenn E(k) = Ck , dann ist die
kinetische Energiedichte bei einer Wirbelgrosse ` abzuschatzen als
1 v2 Z k` dk E(k) = CC 0k +1 = C 0k E(k );
(374)
`
`
`
2 ` k`
65
wo C 0 = ( +1 ? 1)=( + 1) = O(1). Nach Substitution von (371) ergibt sich das KolmogorovSpektrum [Abb. (45)]:
E(k) = CK 2=3k?5=3;
(375)
wo CK eine Konstante ist.
8.2 MHD-Turbulenz
Zur Beschreibung von MHD-Turbulenz brauchen wir die Navier-Stokes-Gleichung mit Lorentzkraft
(19) und die Induktionsgleichung (17). Unter Bedingungen (H1) und (H2) ergibt sich [verwende
r (u B) = (B r) u ? (u r) B]
@ u + (u r) u = (b r) b ? rp~ + r2u + ~f ;
(376)
tot
@t
@ b + (u r) b = (b r) u + r2b;
(377)
@t
wo p~tot = p~ + jBj2=20 der Gesamtdruck und b die Alfvengeschwindigkeit ist, deniert als
b = pB :
(378)
0
Gleichungen (376-377) sind nicht-linear und haben im Fall = = 0 (keine Dissipation), rp~tot = 0
(konstanter Druck) und ~f = 0 (keine zusatzliche Krafte) einfache exakte Losungen:
u = U(r ? b0t);
b = b0 ? u oder
(379)
u = U(r + b0t);
b = b0 + u;
(380)
wo U eine beliebige Funktion ist und b0 ein konstantes Hintergrundmagnetfeld ist. Diese Losungen
sind Alfvenwellen die sich ohne Formveranderung entlang b0 fortpanzen. Die Storungen des
Magnetfeldes sind b1 = b ? b0 = u, d.h. b1 und u sind (anti)parallel und von gleicher Grosse.
Dieser Alfven-Eekt hat wichtige Folgen fur MHD-Turbulenz, denn die Anwesenheit eines Hintergrundfeldes B0 , wie klein auch, fuhrt zu schneller Equipartition von magnetischer und kinetischer
Energie bei kleinen Langen. Die Evolution von b erfolgt dann dynamisch, nicht mehr kinematisch.
Der traditionelle kinematische -Eekt (x7.3) wird reduziert (gequencht) durch den Alfveneekt,
weil die mittlere EMK hu1 B1 i verschwindet fur Alfvenwellen.
Auch die Energiekaskade wird von der Anwesenheit eines Magnetfeldes beeinusst. EnergieTransport erfolgt jetzt durch nichtlineare Wechselwirkung der Alfvenwellen. Betrachten wir stationare schwache MHD-Turbulenz bestehend aus Alfvenwellen, d.h. v` b` b0 . Eine Wechselwirkung kann stattnden wenn zwei Wellenpakketen (Lange `) entlang eine Feldlinie B0 auf sich
zu bewegen; dies geschieht mit relativer Geschwindigkeit 2b0. Die Dauer der Interaktion ist daher
tA b` ;
(381)
0
d.h. fur schwache Turbulenz viel kurzer als die Turnoverzeit,
t` v` b` :
(382)
`
`
Bei jeder Wechselwirkung andert sich v` b` etwa um ein Faktor tA=t` , aber dies geschieht auf
zufallige Weise; es sind daher etwa (t` =tA)2 Wechselwirkungen notig um die Alfvenwelle signikant
zu modizieren. Daher ist der Energietransport zwischen den Wirbeln fur MHD-Turbulenz eektiv
langsamer als in der Hydrodynamik und die neue transfer time ist:
2
T` tt` `bv20 ;
(383)
A
`
Bemerke dass T` von B0 abhangt: das Hintergrundmagnetfeld beeinusst alle Wechselwirkungen.
Die Transportrate der Energie ist
4
2
(384)
Tv` `bv` , v`2 (`b0 )1=2:
`
0
66
Fur stationare Turbulenz ist unabhangig von `. Das Energiespektrum lautet:
E(k) 374
= CK0 (b0 )1=2k?3=2;
(385)
das Iroshnikov-Kraichnan-Spektrum. Es ist acher als ein Kolmogorov-Spektrum weil im Vergleich
zu jenem die Wechselwirkungszeit um ein Faktor t` =tA / `?1=4 langer ist, so dass bei kleinerem
` relativ grossere Energiewerte erforderlich sind um die gleiche Transportrate zu erhalten. Bemerkung: genaue Berechnungen zeigen dass dieses Spektrum nur gultig ist wenn b` b0, so dass u
und B schwach korreliert sind; auch die Anwesenheit von (mittlerer) kinetischer Helizitat kann das
Spektrum andern. Siehe Biskamp 199352.
Abbildung 46: Energiepektren von MHD-Turbulenz. a) Evolution von EM(k); Ausbreitung des
Inertialbereichs EM(k) / k?3=2; nur Injektion von kinetischer Energie. b-d) Injektion von
kinetischer Energie und kinetischer Helizitat. b) Evolution von EM(k). c) Inverse-Kaskade von
hM ; links und rechts der vertikalen Linie ist hM < 0 bzw. > 0. d) Evolution von hEMi, hEK i, hhM i
und hhK i. (Pouquet et al 1976)
Die Energiekaskade hort dort auf wo T` t (angenommen dass ). Daraus ergibt sich
die modizierte Kolmogorov micro-scale:
`b0 `2
)
`0K = ( 2b0)1=3?1=3:
(386)
v`2 Bis jetzt ist nur die Rede gewesen von einer Kaskade der kinetischen und magnetischen Energie.
Daneben gibt es bei MHD-Turbulenz eine Kaskade der magnetischen Helizitat,
hM = A B:
(387)
Dies setzt voraus dass hM im inertial Range (keine Dissipation) eine erhaltene Grosse ist. Aus der
Faraday-Gleichung (6), B = r A und E = ?u B [ideale MHD; siehe (15)] folgt
@ A = ?E ? r = u B ? r;
(388)
@t
52 Biskamp, D., 1993, Nonlinear Magnetohydrodynamics, Cambridge Universtiy Press
67
wo noch frei zu wahlen ist; wir setzen = u A. Betrachte jetzt
@hM = @ A B + A @ B = A nr (u B)o ? B r(u A)
@t
@t
@t
n
o
= ?r A (u B) ? r (u A) B:
(389)
(390)
Nach Substitution von A [r (u B)] = ?r [A (u B)] (J10) und A (u B) =
(A B) u ? (u A) B (J2) ergibt sich
@hM + r (h u) = 0:
(391)
M
@t
R
Dies ist eine Erhaltungsgleichung fur hM (Integration uber V liefert d=dt V dV hM = 0 wenn
u n = 0). Die magnetische Helizitat ist eng verbunden mit der kinetischen Helizitat,
hK = u (r u):
(392)
Der Alfven-Eekt fuhrt dazu dass hM 6= 0 wenn hK 6= 0, weil B1 = u. So entsteht bei kleinen
`-Werten, wo die Turbulenz am starksten von Alfvenwellen gepragt ist, magnetische Helizitat, die
dann in einer Inverse-Kaskade zu grosseren ` transportiert wird, d.h. es entsteht ein grossskaliges
Magnetfeld. Der traditionelle (lineare) -Eekt wird also in der MHD-Turbulenz ersetzt durch
nicht-linearen Alfven-Eekt plus Inverse-Kaskade der magnetischen Helizitat. Simulationen von
Abbildung 47: Simulation von MHD-Turbulenz (Meneguzzi et al 1981)
Pouquet et al53 haben diese Prozesse bestatigt. Ihre Methode beruht auf einer Ensemblemittelung
der Gleichungen fur uiuj , Bi Bj und ui Bj (symbolisch zu schreiben als @ huui=@t = huuui; es wird
angenommen dass hui = 0). Um diese Gleichungen zu losen werden weitere Gleichungen benotigt,
@ huuui=@t = huuuui. Pouquet et al schliessen das Gleichungssystem ab durch die Annaherung
huuuui = huui2. Die resultierenden Gleichungen werden im Fourierraum gelost und um einen nicht
zu grossen inertial Range zu erhalten wird eine turbulente Viskositat eingefuhrt; die so entstandene
Methode heisst EDQNM (Eddy-Damped Quasi-Normal Markovian). Die wichtigsten Ergebnisse
werden gezeigt in Abb. (46). Direkte Simulationen von dreidimensionaler MHD-Turbulenz durch
Meneguzzi et al54 (643 Gitterpunkte, Rh Rm 100, = = 1) bestatigen die meisten Ergebnisse
der EDQNM-Methode (Abb. 47).
Die Ergebnisse der Turbulenztheorie bestatigen dass die Anwesenheit von kinetischer Helizitat zu Dynamowirkung, d.h. zur Erzeugung eines grossskaligen Magnetfeldes fuhrt. Die Frage ist
aber ob diese Ergebnisse relevant sind fur stellare Dynamos:
1) das solare Magnetfeld wird wahrscheinlich erzeugt in einer dunnen Overshootschicht (OS)
unter der eigentlichen Konvektionsschicht (KS). Dort ist viel weniger Turbulenz als in der
KS,
53 Pouquet, A., Frisch, U.,Leorat, J., 1976, Journ. Fluid Mech. 77, 321-54
54 Meneguzzi, M., Frisch, U., Pouquet, A., 1981, Phys. Rev. Letters 47, 1060-6
68
2) die kinetische
Energiedichte inRder solaren KS (und OS) ist viel grosser als die magnetische:
R
EK = V dV juj2=2 EM = V dV jBj2=20. Das solare Magnetfeld ist namlich lokalisiert
in Flussrohren die nur einen kleinen Teil des Mediums fullen, das ubrigens magnetfeldfrei ist
(x9). Obwohl die Feldstarke in den Flussrohren der solaren OS wahrscheinlich viel grosser ist
als Beq , spielen die magnetischen Wirbel der MHD-Turbulenz insgesamt keine grosse Rolle
und ist der Alfveneekt daher nicht sehr wichtig.
69
9 Sonnendynamo
9.1 Ort des Sonnendynamos
Es wird heute angenommen dass der Sonnendynamo sich in der Overshootschicht (OS) unterhalb
der Konvektionszone (KS) bendet (obwohl vielleicht Dynamowirkung in der KS auch eine Rolle
spielt; siehe unten). Diese Idee stammt u.A. von Spiegel und Weiss55 und Galloway und Weiss56.
Argumenten fur den Overshootdynamo sind:
1) Instabilitat der KS. Aus Beobachtungen von magnetischen ('aktiven') Gebieten an der Sonnenoberache geht hervor dass der gesamte magnetische Fluss in der Sonne wahrend eines
Sonnenmaximums 1016 Wb betragt. Bei einer homogenen Verteilung uber die KS (Breite
60o ) L 6 108 m; Dicke D 2 108 m) entspricht das einer Feldstarke =DL 0:08 T. Die KS hat eine instabile Schichtung ( = r ? rad > 0); es stellt sich heraus dass
Abbildung 48: Drehfrequenz der Sonne als Funktion von r am A quator (durchgezogen), bei
45o (gestrichelt) und am Pol (punktiert) (Goode 1995)
die magnetische Aufriebskraft (siehe x7.5.3) dann nicht kompensiert werden kann. Durch
Konvektion und Auftriebskraft wurde der magnetische Fluss innerhalb etwa 1 Monats zur
Oberache aufsteigen. Auch wurde die Konvektion dieses schwache Magnetfeld (verglichen
mit Beq 0:3 T) zerreissen und seine eventuelle Ordnung zerstoren. Die Beobachtungen
(Hale'sche Gesetze, x1) weisen aber auf die Existenz eines grossskaligen regelmassigen toroidalen Magnetfeldes in der Sonne. Die Konvektion kann also nur beschrankten Einuss auf die
aufsteigenden magnetischen Elemente haben und dies setzt voraus dass B > Beq . Es folgt
dass nicht homogen uber die KS verteilt sein kann sondern lokalisiert ist, moglicherweise in
der Form von Flussrohren. Wenn der gesamte magnetische Fluss in der Sonne 1016 Wb
betragt, ist die mittlere Feldstarke in der OS (Breite 60o ) L 6 108 m; Dicke D 2 107 m)
B0 =DL 0:8 T. Wenn die Feldstarke in den Flussrohren 10 T ist, fullen sie nur 8%
des Volumens der OS. Simulationen von aufsteigenden dunnen Flussrohren zeigen dass fur
B 10 T die Breitenverteilung der Sonnenecken und die Hale'sche Gesetze reproduziert
werden konnen57 . Der Ort des Entstehens dieses Magnetfeldes kann nicht die KS sein, weil
die magnetische Auftriebskraft bei diesen Feldstarken zu stark ist, so dass nicht genugend
Zeit vorhanden ist um durch Scherung (dierentielle Rotation) B zum gewunschten Wert zu
verstarken.
55 Spiegel, E.A., Weiss, N.O., 1980, Nature 287, 616
56 Galloway, D.J., Weiss, N.O., 1981, ApJ 243, 945-953
57 Caligari, P., Moreno-Insertis, F., Schussler, M., 1995, ApJ 441, 886-902
70
2) Unterhalb der KS ist eine dunne (d 107 m) stabile Overshootschicht (OS), wo < 058. Eine
Stabilitatsanalyse von dunnen toroidalen Flussrohren zeigt dass dort ein starkes Magnetfeld
gespeichert werden kann wenn B < 10 T (siehe unten).
3) Aus Inversion der helioseismologischen Messungen geht hervor dass die dierentielle Rotation
im unteren Bereich der KS (r=R 0:7) konzentriert ist (Abb. 48; aus Goode59). Somit ist
eine Quelle fur die Erzeugung des starken toroidalen Magnetfeldes anwesend in (der Nahe)
der OS. Aus Abb. (48) konnen wir den Frequenzunterschied zwischen oberem und unterem

Rand der OS am Aquator
abschatzen als 40 2 nHz ) u r
125 m s?1 .
Bemerke dass @
=@r an den Polen negativ ist und im Absolutwert grosser ist als am A quator,
wahrend Sonnenecken nur in A quatornahe vorkommen.
Die obengenannten Beobachtungen und U berlegungen fuhren zu einem Dilemma: der Sonnendynamo erzeugt ein Magnetfeld das wegen seiner Starke grossen Einuss auf die Bewegung des magnetisierten Plasmas haben muss. Ein -Eekt der ausgeht von passiver Advektion des Magnetfeldes
durch die Konvektion kann daher nicht funktionieren in der OS. Zur Losung dieses Dilemmas
sind zwei Dynamomodelle vorgeschlagen worden, die sich unterscheiden was Ort und Ursache
des -Eektes angeht: der Zwei-Schichten-Dynamo und der Flussrohrendynamo. Diese Modelle
werden demnachst besprochen. Obwohl es Argumente fur und gegen beide gibt, ist eine denitive
Entscheidung zwischen diesen Modellen derzeit oen, u.A. weil realistische MHD-Simulationen
des Sonnendynamos noch nicht moglich sind. Um zu illustrieren wie beide Modelle funktionieren
konnten greift man nachwievor oft zuruck auf die MF-Theorie. Man soll dabei im Auge behalten
dass die MF-Theorie nicht mehr als illustrierende Funktion haben darf weil ihre Anwendung in
der Sonne mathematisch zweifelhaft ist. Die Gultigkeit des einen oder anderen Modells kann daher
nicht denitiv entschieden werden durch MF-Berechnungen!
9.2 Zwei-Schichten-Dynamo
Der klassische -Eekt (x7.3.2) funktioniert nicht in der OS weil die starken Magnetfelder kein
passives Mitschleppen durch die Konvektion erlauben. Parker hat darauf ein Modell fur den
Sonnendynamo vorgeschlagen in dem der -Eekt nur in der KS, dierentielle Rotation nur in
der OS existieren60 . Zur Illustration betrachten wir die MF-Dynamogleichung fur dieses Problem
in der !-Annaherung in einer kartesischen axialsymmetrischen Geometrie. Es ergibt sich folgendes
Gleichungssystem (B0 = Bt0 ey + r Ap0 ey ; 1=OS; 2=KS):
n@
o
n@
o
2 B (1) = (e a) rA(1);
2 A(1) = 0;
?
r
?
r
y
1
1
t0
p0
p0
@t
(393)
n @t@
o
o
n
@ ? r2 A(2) = B (2) ;
2 B (2) = 0;
?
r
t0
p0
t0
@t 2
@t 2
wo a = ru0(z). Die OS ist weniger turbulent als die KS, weil sie stabil geschichtet ist und weil
dort ein starkes toroidales Magnetfeld Bt Beq die Konvektion durch Lorentzkrafte erschwert
(abhangig von der Volumenfraktion magnetisch/nicht magnetisch). Die turbulente Diusivitat in
der OS ist daher 1 2 , darf aber nicht verschwinden weil das toroidale Magnetfeld durch
Diusion von der OS in die KS transportiert werden muss und umgekehrt das poloidale Magnetfeld
von der KS in die OS. Die Dynamowirkung ist daher optimal in der U bergangsschicht OS-KS und
die Losungen von (393) sind Parkerwellen die sich entlang diese Grenzschicht fortpanzen (Abb. 49;
aus Ossendrijver und Hoyng61). Fur eine nicht-lineare Variante dieses Modells: siehe x7.6.2.
Es ist die Frage ob gerade uber der OS die magnetische Feldstarke klein genug ist (B < Beq )
so dass der klassische -Eekt funktionieren kann. Wahrscheinlicher ist dass die aufsteigenden
Flussrohren erst ziemlich hoch in der KS Werte kleiner als Beq erreichen (zufolge der Expansion und
Flusserhaltung). In dem Fall ist der klassische -Eekt auch unten in der KS noch stark reduziert
und gibt es eine grosse Distanz zwischen OS und -Schicht, so dass Dynamowirkung dann (bestens)
sehr inezient ist. In der KS existiert aber neben dem starken Magnetfeld der aufsteigenden
Flussrohren auch ein schwaches Magnetfeld (B < Beq ), das entweder ein Abfallprodukt der Flussrohren (Sonnenecken) ist oder durch separate Dynamowirkung (2; turbulenter Dynamo) innerhalb der KS entsteht (x9.4). Dies konnte auch als Quelle fur das poloidale Feld dienen. Ein weiteres
58 Skaley, D., Stix, M., 1991, A&A 241, 227
59
Goode, P.R., 1995, in Fourth Soho Workshop: Helioseismology, Her. J.T. Hoeksema, V. Domingo, B. Fleck, B.
Battrick, ESA SP-376, Vol. 1, pp 121
60 Parker, E.N., 1993, ApJ 408, 707-19
61 A.J.H. Ossendrijver and P. Hoyng, 1997, A&A 324, 329-43
71
Abbildung 49: Parkerwelle im Zwei-Schichten-Dynamo in kartesischer Geometrie; x und z
bezeichnen hier, anders als im Tekst, Radius bzw. Breite (Ossendrijver und Hoyng 1997)
Problem des Zwei-Schichten-Modells ist dass der klassische
-Eekt in einem turbulentem Medium
wahrscheinlich bereits bei einer Feldstarke B Beq R?M1=2 stark reduziert wird (x7.6).
9.3 Flussrohrendynamo
Die zweite Losung des Dilemmas beruht auf einer Instabilitat der magnetischen Flussrohren,
verursacht von der magnetischen Auftriebskraft. Durch diese Instabilitat bilden sich in einer
toroidalen Flussrohre aufsteigende Schleifen die von der Corioliskraft (systematisch) gedreht werden
und so eine poloidales Feld erzeugen. Ein solcher dynamischer -Eekt wurde schon von Parker
vorgeschlagen62. Starke Magnetfelder sind fur diesen -Eekt kein Hindernis sondern erforderlich
denn die Instabilitat tritt nur auf wenn B eine Schwelle B1 Beq uberschreitet63 . Eine analytische
Untersuchung dieser Instabilitat in der Annaherung der dunnen Flussrohren haben u.A. Ferriz-Mas
und Schussler64 unternommen fur nicht-axialsymmetrische toroidale Flussrohren. Betrachten wir
eine toroidale Flussrohre in der OS und sei (= 0) die Lange entlang die ungestorte Rohre.
Wir wollen die mittlere EMK infolge kleiner Storungen dunner Flussrohren um ein Gleichgewicht
deniert durch r(a; 0) = a = R0 eR + z0 ez und B(a; 0) = B0 e untersuchen (R; ; z bezeichnen
Zylinderkoordinate). Weil B0 konstant ist, hat die mittlere EMK keine Beitrage stammend von
Gradienten des mittleren Feldes und kann ein -tensor deniert werden durch
hu bi = B0 ;
(394)
wo hi keine raumliche Mittelung ist sondern eine Ensemblemittelung uber die Realisierungen von
u und b. Wegen des rein toroidalen axialsymmetrischen Anfangsfeldes konnen nur drei Komponenten von bestimmt werden, namlich
i = hu bii=B0 :
(395)
62 Parker, E.N., 1971, ApJ 168, 239
63
B bezeichnet in diesem Abschnitt stets BT , das Magnetfeld in der Flussrohre; B0 ist hier eine Konstante und
nicht das mittlere Magnetfeld der MF-Theorie; dies ware B0 fBT, wo f die Volumenfraktion der Flussrohren ist.
64 Ferriz-Mas, A., Schussler, M., 1995, GAFD 81, 233-65
72
Wichtig fur den Sonnendynamo ist die poloidale Komponente von r (u b) , die toroidale
Komponente der EMK, d.h. . Die Storungen aus dem Gleichgewicht sind deniert durch
r = a + ;
B = B0 + b:
(396)
Die Ausweichung wird bestimmt durch eine nichtlineare Dierentialgleichung [im Wesen die
Navier-Stokesgleichung (19)]. Wenn jj jaj darf diese Gleichung linearisiert werden; siehe u.A.
Ferriz-Mas and Schussler. Um zu berechnen, soll b gelost werden aus der Induktionsgleichung.
In der idealen MHD ( = 0) gilt @ B=@t = r (u B) , dB=dt = ?B(r u) + (B r)u; dies
fuhrt nach Substitution der Kontinuitatsgleichung d=dt = ?r u zu
d B = B ru:
(397)
dt Siehe auch x6 fur die Bedeutung dieser Gleichung. Die Cauchy-Losung lautet
Bi (r; t) = @ri (a; t) Bj (a; 0) ;
(398)
(r; t)
@aj (a; 0)
wo summiert wird uber j, wie ab jetzt uber alle doppelte Indizes. Wenn die Storung jj jaj,
durfen wir entwickeln (r; t) (a; 0) + raja;0 so dass nach Substitution von (396) in erster
Ordnung konstant genommen werden darf:
@
(399)
b(r; t) = (B0 ra) (a; t) = RB0 @
0
Weil u = @ =@t, kann die EMK jetzt in ausgedruckt werden:
@ :
u b = BR0 @@t @
(400)
0
Die EMK einer einzelnen Eigenschwingung wurde berechnet von Ferriz-Mas, Schmitt und Schussler65. Die Eigenschwingungen von ndet man durch Substitution des Fourieransatzes
= Re ~ ei(m+!t)
(401)
in die Bewegungsgleichung
= R;
(402)
wo R ein Dierentialoperator ist der Terme bis zu zweiter Ordnung in @=@t und @=@ enthalt; siehe
Ferriz-Maz und Schussler (1995). Jede Eigenfrequenz !km (k = 1; 2; ;6) ist entweder reell, so dass
diese Eigenschwingung stabil ist, oder sie existiert in einem komplex konjugierten Paar, so dass
mindestens eine Eigenschwingung instabil ist. Angenommen dass die Frequenz einen komplexen
Teil hat,
!km = Re !km ? ikm ;
(403)
konnen wir die Ausweichung der Flussrohre zufolge einer einzelnen Eigenschwingung schreiben als
o
n
= 12 ~kmei + ~kme?i ekm t;
(404)
wo = m+Re !km t und ~km ein Eigenvektor von R ist. Die Storungen der Geschwindigkeit und
des Magnetfeldes sind daher
o
n
~ e?i ekm t;
u = 2i !km ~km ei ? !km
(405)
km
B0 n~ ei ? ~ e?i o ekm t ;
b = mi
(406)
km
2 R0 km
und die EMK ist
(407)
u b = mi2km BR0 ~km ~km e2km t:
0
Eine einzelne Eigenschwingung kann daher einen -Eekt verursachen unter zwei Bedingungen:
65 Ferriz-Mas, A., Schmitt, D., Schussler, M., 1994, A&A 289, 949-56
73
1) die Eigenschwingung ist nicht axialsymmetrisch (m 6= 0). Nur dann kann die Corioliskraft
eine Drehung in der Rohre verursachen;
2) die Eigenschwingung ist instabil (km 6= 0). Nur dann konnen u und b eine Phasendierenz
haben, so dass sie nicht parallel sind, wie auch deutlich wird in (405{406).
Die Stabilitatsanalyse zeigt dass wenn die magnetische Feldstarke einen Schwellwert uberschreitet,
nicht-axialsymmetrische Storungen instabil werden. Der Schwellwert der Instabilitat hangt u.A.
ab von der Superadiabatizitat = r ? rad und von der Breite auf der die Rohre sich anfanglich
bendet. Abb. (50) zeigt ein Beispiel eines Stabilitatsdiagrammes. Die Instabilitat fuhrt hauptsachlich zuruck auf eine nach unten laufende Stromung in der aufsteigenden Schleife der Flussrohre,
wodurch die Auftriebskraft verstarkt wird.
Abbildung 50: (In)stabilitat toroidaler magnetischer Flussrohren fur m = 1; 2 als Funktion
von Breite (0o = A quator; 90o = Nordpol) und B0 . Die Zahlen uber den Konturen sind die
Anwachszeiten der Instabilitat (Ferriz-Mas et al 1994)
Weil die Berechnung der mittleren EMK auf einer linearen Analyse beruht, ist die Amplitude
von nicht festgelegt. Trotzdem kann man sich eine Vorstellung der Abhangigkeit von B0 und
Breite machen wenn man den Betrag der Amplitude der Ausweichung in einer Meridianebene
konstant setzt, j~R j2 + j~z j2 = d2, wo z.B. d 104 km. Nach Substitution der Eigenwerte ! und
Eigenfunktionen ~ fur jeden Punkt in Abb. (50) ergibt sich unter dieser Annahme Abb. (51).
Abbildung 51: -Eekt durch Flussrohreninstabilitat als Funktion von Breite (0o = A quator; 90o
= Nordpol) und Magnetfeld B0 (Ferriz-Mas et al 1994)
Numerische Losungen der (nichtlinearen) Bewegungsgleichungen fur bestatigen die Ergebnisse der (linearen) Stabilitatsanalyse. Die weitere nichtlineare Entwicklung einer instabilen Flussrohre zeigt dass die aufsteigenden Schleifen durch die KS nach oben gehen, wahrend die absinkenden
Schleifen verankert werden in der OS. In dieser Phase tragt die Flussrohre nicht mehr bei zu einem
74
-Eekt in der OS weil die aufsteigenden Schleifen aus der OS entfernt sind und die absinkenden
Schleifen (praktisch) nicht mehr bewegen () keine Corioliskraft mehr).
Es gibt drei Bereiche in Abb. (50) wo ein -Eekt existiert. Stabile toroidale Flussrohren
werden standig geschert durch die dierentielle Rotation, d.h. bewegen nach rechts in Abb. (50)
und konnen dadurch in einen instabilen Bereich geraten. Es bildet sich dann eine aufsteigende
Schleife aber wenn die Instabilitat nur langsam wachst kann die Schleife lang genug in der OS
bleiben um zur Dynamowirkung beizutragen (wie auch die absinkende Schleife). In Bereich II
wird die Flussrohre sogar wieder stabilisiert wenn B weiter anwachst. Wenn die Anwachszeit kurz
wird im Vergleich zum Alter der Flussrohre, kann die aufsteigende Schleife nicht lange in der OS
bleiben und tragt die Flussrohre nicht mehr bei zur Dynamowirkung. Das Alter einer Flussrohre,
d.h. die Zeit die gebraucht wird um sie durch Scherung zu erzeugen, ist wiefolgt abzuschatzen:
ein anfanglich radiell orientierte Flussrohre (Lange L1) in der OS (Dicke L0 2 107 m; gesamte
Geschwindigkeitsdierenz u0 100 m s?1 ) empndet eine dierentielle Rotation u0 L1 =L0,
so dass nach einer Zeit t die Lange L2 tu0 L1 =L0 ist. Weil B2 =B1 L2 =L1 (x4.2) folgt
tdi (B2 =B1)L0 =u0 2 105B2 =B1 2:3B2=B1 Tage. Wenn z.B. B2 = 10 T und B1 = 0:1
T ergibt sich tdi 200 Tage; diese Abschatzung berucksichtigt aber keine Verzogerung durch
die Lorentzkraft (magnetische Spannung) und ist daher eine Untergrenze. Aus diesem Vorgang
folgt, wie denn auch, dass Bereich II (Abb. 51) fur den -Eekt wichtiger ist als Bereich III, weil
die Anwachszeiten fur B > 10 ? 15 T viel kurzer als 200 Tage werden. Eine Konzentration des
-Eektes in der Nahe des A quators ist im Einklang mit den helioseismologischen Ergebnissen
fur die dierentielle Rotation (Abb. 48). Diese Messungen zeigen starke dierentielle Rotation in
der OS beim A quator und vor allem an den Polen; wenn der -Eekt auch an den Polen existiert
(z.B. wenn = 0 cos ) dann musste dort starke Dynamowirkung auftreten, was nicht mit den
Beobachtungen (Schmetterlingsdiagramm) ubereinstimmt. Das Problem einer zu starken polaren
Aktivitat in den MF-Modellen ist z.B. auch von Rudiger und Brandenburg66 und Prautzsch67
beobachtet worden, siehe Abb. (52).
Abbildung 52: Schmetterlingsdiagramme fur einen !-Dynamo in der solaren OS mit (r; ) wie
in den helioseismologischen Messungen und (a) = 0 cos(), (b) konzentriert bei 70o 10o
(Prautzsch 1993)
Das Vorzeichen von hangt auf komplizierte Weise von den Parametern ab und ist im
Beispiel von Abb. (51) meistens positiv in der Nahe des A quators auf der nordlichen Halbkugel,
wie zu erwarten ist wenn Plasma in der Flussrohre vom Gipfel der aufsteigenden Schleife zu beiden
Seiten nach unten stromt (und die Schleife sich um weniger als 180o dreht). Nach der linearen MFTheorie laufen die Dynamowellen dann vom A quator zum Pol laufen statt vom Pol zum A quator.
Dieses Problem kann moglicherweise auf folgende Art gelost werden:
a) die Vorhersagungen der linearen MF-Theorie beruhen u.A. auf FOSA und sind nicht unbedingt gultig in der Sonne; in einer hoheren Annaherung ergibt sich moglicherweise eine
Dynamowelle die zum A quator lauft obwohl @
=@r > 0.
b) es gibt kleine Bereiche wo < 0 im N; durch A nderung der Parameter konnten diese Bereiche
vielleicht vergrossert werden;
66 Rudiger, G., Brandenburg, A., 1995, A&A 296, 557-66
67
Prautzsch, T., 1993, in Solar and Planetary Dynamos, eds. M.R.E. Proctor, P.C. Matthews und A.M. Rucklidge,
Cambridge University Press, p. 249
75
c) die beobachtete Breitenwanderung der Sonnenecken ist vielleicht keine Dynamowelle sondern ein Eekt der Wanderung der instabilen Bereiche wahrend des Sonnenzyklus (weil B0
sich andert);
Der dynamische -Eekt tritt nur auf wenn die Flussrohre (massig) instabil ist: B > B1 . dann
funktioniert der 'normale' Sonnendynamo und gibt es Sonnenecken. Wenn B < B1 , ist der
Dynamo abgeschaltet weil es keine instabile Flussrohren gibt in der OS, und demzufolge auch keine
Sonnenecken. Die instabilen und stabilen Bereiche der Flussrohren entsprechen moglicherweise
dem heutigen Zustand des Sonnendynamos bzw. dem Zustand wahrend des Maunderminimums.
Wenn B > B2 wird reduziert weil die magnetische Auftriebskraft zu stark wird (vgl. die
sehr unterschiedliche Modellierung der Flusseruption in x7.6.3). Fur das Hin- und Herschalten
Abbildung 53: 2D MF-Simulation des Flussrohrendynamos in einer Kugelschale zwischen 0:7 und
1 R (OS: 0:7 < r < 0:8R) mit zufalligen Flussinjektionen und -Eekt der Flussrohreninstabilitat. Gezeigt wird ein Schmetterlingsdiagramm des toroidalen Magnetfeldes fur die nordliche
Halbkugel etwa mitten in der OS.
zwischen den Phasen ist vielleicht ein separater Dynamo in der KS verantwortlich. Dieser Dynamo
produziert ein unregelmassiges und schwaches Magnetfeld, das durch konvektives Overshooting
oder konvektive Downdrafts68 in die OS gelangen und B stochastisch modizieren kann (x9.4).
Schmitt, Schussler und Ferriz-Mas69 haben diesen Vorgang erstmals in einem spherischen 1D !Dynamo illustriert (317{318, 310{311). Fur den -Eekt wurde (345) verwendet und die Zufuhr
des magnetischen Flusses aus der KS wurde modelliert durch einen additiven Quellterm in (318)
der Form S(; t), eine zufallige Zahl die nach einer Korrelationszeit tc in jedem Breitenintervall c
unabhangig bestimmt wird. Durch den kumulativen Eekt vieler solcher Flussinjektionen kann B0
(das mittlere Feld) die Schwelle Bc1 passieren. Die Maunderminima die dadurch entstehen konnen
sowohl zyklisch als nicht-zyklisch sein, wobei die Zykluslangen wahrend der Maunderminima unregelmassiger sind als ausserhalb der Minima. Abbildung (53) zeigt das Ergebnis einer ahnlichen
Simulation in 2D [d.h. die Rechnung fand statt auf einem r-Gitter, ohne Ansatz (310{311)]. Die
neuesten Ergebnisse der 10 Be-Messungen70 zeigen dass der Sonnenzyklus wahrend des Maunderminimums schwach aber ununterbrochen weiterging. Ob der Zwei-Schichten-Dynamo oder der Flussrohrendynamo diese Beobachtung besser erklaren kann ist noch oen. Eine alternative Erklarung
fur das Heraustreten aus einem Maunderminimum wurde sich ergeben wenn stochastische Storungen stabiler Flussrohren (km = 0) auch zu einem (geringen) -Eekt fuhren wurden; dies ist
aber nicht so, jedenfalls wenn die auferlegte Storung eine additive Kraft in der Bewegungsgleichung
ist71.
9.4 Dynamowirkung in der solaren Konvektionsschicht
Neben dem Dynamo in der OS, verantwortlich fur das starke toroidale Magnetfeld, funktioniert
wahrscheinlich ein Dynamo in der KS der ein schwaches Feld produziert (B < Beq ). Im Zwei68 Nordlund, A. et al 1992, ApJ 392, 647
69 Schmitt, D., Schussler, M., Ferriz-Mas, A., 1996, A&A 311, L1-4
70
Beer und Weiss, erscheint 1998
71 Ossendrijver, M. und Schussler, M., erscheint 1998
76
Schichten-Dynamo von Parker (x9.2) ist Dynamowirkung in der KS wichtig weil so das poloidale
Magnetfeld erzeugt werden kann. Im Rahmen des Flussrohrendynamos (x9.3) wird der KS-Dynamo
gebraucht um den OS-Dynamo anzuschalten und um die Variabilitat des Sonnenzyklus, einschliesslich Maunderminima, zu erklaren.
Die KS hat nur wenig dierentielle Rotation verglichen mit der OS, hat eine instabile
Schichtung ( = r?rad > 0) und starke Turbulenz (Rh 1). Der KS-Dynamo ist daher vom Typ
2 oder 2 !, so dass jBp j jBt j. Das produzierte Magnetfeld ist relativ schwach (B < Beq < 0:3 T),
weil es nicht stabil gespeichert werden kann in der KS; die magnetische Auftriebskraft kann in einer
instabilen Schichtung nur durch Advektion nach unten kompensiert werden. Weil die Feldstarke
des KS-Dynamos hochstens Beq ist, konnte dort vielleicht der klassische -Eekt funktionieren,
mit > 0 oben in der nordlichen KS und < 0 unten in der nordlichen KS (x7.3.2), wie der
Grenzschichtdynamo von Parker es braucht.
Brandenburg et al72 haben in einer 3D-Simulation den -Eekt eines KS-Dynamos untersucht. Dazu wurden in einem kartesischen Modell (einem Rechteck am Sudpol der Sonne; z nimmt
zu mit der Tiefe und umfasst etwa eine Druckskalenhohe) die vier Gleichungen des Dynamoproblems (Induktion, Navier-Stokes, Kontinuitat und Energie) gelost, mit als Anfangsbedingung fur
B ein homogenes Magnetfeld, zuerst ein vertikales (k ez ). Wenn wir annehmen dass der -Eekt
isotrop ist (ij = ij ; siehe x7.3.2) kann berechnet werden nach Mittelung der EMK in der
xy-Ebene:
hu1 B1i = hBi
,
= hu1 B1i hBi=jhBij2:
(408)
Abbildung 54: -Eekt in einer 3D-MHD-Simulation. links) B0 k ez : (z) (oben) und h(z) (unten);
rechts) B0 ? ez : H(z) (oben) und h(z) (unten) (Brandenburg et al 1990)
Das Ergebnis ist zu sehen in Abb. (54): wechselt sein Vorzeichen in den unteren Regionen,
hat aber fast uberall das gleiche Vorzeichen als die Helizitat (h = hu1 (r u1)i) im Gegensatz
zum FOSA-Ergebnis ?c h=3 (x7.3.2). Um den Vorgang naher zu untersuchen muss man die
Isotropie von aufgeben und die Tensorkomponente ij berechnen. Wichtig fur den Sonnendynamo
ist namlich nur die poloidale Komponente von r (u1 B1 ) , die toroidale (hier: horizontale)
Komponente der EMK, d.h. H. Dazu schreiben die Autoren
hu1 B1i = HhBH i + VhBV i
(409)
und nehmen jetzt als Anfangsbedingung fur B ein homogenes horizontales Magnetfeld (? ez ). Dies
erlaubt eine Berechnung des horizontalen -Eekts durch
H = hu1 B1 i hBH i=jhBHij2;
(410)
wo B = BH + BV . Abb. (54) zeigt das Ergebnis; H hat das 'erwartete' Vorzeichen, anders als ,
ist aber etwa 4 mal kleiner als V (nicht gezeigt). Der grosste Tensorkomponent ist oensichtlich
72 Brandenburg, A., Nordlund, A., Pulkkinen, P., Stein, R.F., Tuominen, I., 1990, A&A 232, 277-91
77
zz = V und dieser dominiert . Der Grund fur die Anisotropie und fur die unterschiedlichen
Vorzeichen von V und H scheint sowohl die Gravitation g (Richtung der Downdrafts) als die
Rotation zu sein. Das Ergebnis zeigt dass die Annahme der Isotropie ij = ij im Allgemeinen
falsch ist. Wichtig fur den Grenzschichtdynamo ist der Hinweis dass in den unteren Regionen der
KS ein -Eekt funktionieren konnte.
Nordlund et al73 haben 3D-Simulationen turbulenter Dynamowirkung durchgefuhrt in einem
rotierendem Kubus (sich bendend auf 30o S) bestehend aus einer instabilen und darunter einer
stabilen Schicht, vergleichbar mit KS und OS (allerdings ohne dierentielle Rotation). Der vertikale
Bereich umspannt vier Skalenhohe. Als Anfangsbedingung wird ein inhomogenes Magnetfeld angenommen mit raumlichem Mittelwert hBiV = 0. Die wichtigsten Ergebnisse sind:
Abbildung 55: Magnetische und kinetische Energie als Funktionen der Zeit in MHD-Simulationen
bei verschiedenen magnetischen Prandtlzahlen (Nordlund et al 1992)
1) Dynamowirkung erfordert eine magnetische Prandtlzahl PrM = = > 1. Eine 'Erklarung'
dieser Forderung stammt von Batchelor74 und beruht auf der Identitat von Induktionsgleichung und Rotation der Navier-Stokes-Gleichung fur inkompressibele Stromung, konstante
Dichte (Barotropie p = p() genugt auch) und nur konservative Krafte (keine Lorentzkraft).
Wenn wir in (363) (u r) u = ru2=2 ? u (r u) (J9) substituieren und dann die Rotation
nehmen entsteht namlich folgende Gleichung fur ! = r u:
@ ! = r (u ! ) + r2!:
(411)
@t
Betrachte eine Flussigkeit ohne Magnetfeld in der sich stationare Turbulenz gebildet hat.
Wenn ein schwaches Magnetfeld eingefuhrt wird, verstarkt die Stromung in gleicher Masse
B und !. Fur ! sind Produktion und Dissipation wegen der Stationaritat gerade in einem
Gleichgewicht; es folgt dass die magnetische Energie anwachst wenn PrM = = > 1 und
zerfallt wenn PrM < 1. Der Vergleich ist fragwurdig weil B und u unterschiedliche Grossen
sind wahrend ! und u zusammenhangen durch ! = r u: die Induktionsgleichung ist linear
in B aber (411) ist nichtlinear. Trotzdem wird eine Bedingung PrM > 1 fur Dynamowirkung
bestatigt in den Simulationen (Abb. 55).
2) Fur = > 1 wachst die magnetische Energie anfanglich exponentiell an: EM / exp(t=c ),
wo c die Turnoverzeit ist. Eine solche Wachstumsrate ist typisch ist fur einen fast dynamo
(x6). Nach einiger Zeit stoppt die Lorentzkraft den Wachstum und entsteht ein Gleichgewicht
zwischen Injektion (Arbeit gegen die Lorentzkraft) und Dissipation (siehe 51).
3) Die magnetische Energiedichte ist viel kleiner als die kinetische und das Magnetfeld ist
sehr inhomogen (konzentriert in Flussrohren). Es fehlt also ein homogenes Hintergrundsfeld,
73 Nordlund, A., Brandenburg, A., Jennings, R.L., Rieutord, M., Ruokolainen, J., Stein, R.F, 1992, ApJ 392,
647-52
74 Batchelor, G.K., 1950, Proc. Roy. Soc. London A 201, 405-16
78
Abbildung 56: Vertikale Prole der Energiebilanz, erhalten durch horizontale Mittelung einer MHDSimulation (Nordlund et al 1992)
notwendig fur die Fortpanzung von Alfvenwellen: keine MHD-Turbulenz. Dies erklart wahrscheinlich warum die kinetische Energie EK (k) im Inertialbereich ein (hydrodynamisches)
Kolmogorov-Spektrum EK (k) / k?5=3 (375) aufweist.
4) Magnetische Energie wird von der instabilen Schicht in die stabile Schicht transportiert. Dies
folgt aus der Divergenz des horizontal gemittelten Poynting-Flusses: ?hr (E B)i=0 < 0
(> 0) in der (in)stabilen Schicht (siehe 50 und Abb. 56). Die Ursache dieses Transports sind
lokalisierte Downdrafts, die sich uber mehrere Druckskalenhohen ausstrecken, mehrere c
uberleben und bis in die stabile Schicht hineindringen (siehe z.B. auch Rieutord und Zahn75
und Brummel et al76). Die Downdrafts erlauben den Transport des poloidalen Magnetfeldes
von der KS in die OS und erzeugen gleichzeitig einen -Eekt, weil die Corioliskraft sie auf
systematische Weise dreht. Gegenuber der normalen Konvektion haben die Downdrafts den
Vorteil dass sie schneller bewegen und daher ein grosseres Beq haben ( 1T statt 0:3T). Sie
passen daher gut im Rahmen des Grenzschichtdynamos von Parker. Beim Flussrohrendynamo
konnen diese Downdrafts dienen als Ursache fur die stochastischen Storungen des OS-Dynamos.
Aus den obengenannten Simulationen ist nicht zu schliessen ob der Zwei-Schichten-Dynamo oder
der Flussrohrendynamo das richtige Modell des Sonnendynamos ist, weil dierentielle Rotation
noch nicht berucksichtigt worden ist. Die dierentielle Rotation produziert ein starkes toroidales
Magnetfeld in der OS, das durch die Bildung von aufsteigenden Schleifen einen grossen Eekt auf
den KS-Dynamo haben konnte. Die genaue Art der Wechselwirkung zwischen OS-Dynamo und
KS-Dynamo (und ob diese Trennung realistisch oder kunstlich ist) ist noch nicht bekannt. Noch
weiter weg sind realistische MHD-Simulationen des Sonnendynamos in einer spherischen Geometrie.
Solche Simulationen mussten sowohl den magnetischen Sonnenzyklus als auch die Konvektion und
die dierentielle Rotation reproduzieren; siehe z.B. Brandenburg77 fur die damit verbundenen
Schwierigkeiten.
Schliesslich noch eine Bemerkung zur Energieversorgung des Sonnendynamos. Die gesamte
magnetische Energie des Sonnendynamos betragt (Abstand OS-Zentrum ROS 5 108 m; Feldstarke der Flussrohren 10 T; lling factor f = 8%): EM 2ROS fDLB 2 =20 1032 J, so
dass die Dissipationsrate=Produktionsrate der magnetischen Energie QM EM =11 Jahre 3 1023 W L = 4 1026 J. Es ist also reichlich Energiezufuhr vorhanden um den Dynamo zu
75 Rieutord, M., Zahn, J.-P. 1995, A&A 296 127-38
76 Brummel, N., Cattaneo, F., Toomre, J., 1995, Science 269, 1370-9
77
Brandenburg, A., 1994, in Lectures, S. 117
79
futtern. Ein Teil des Energieusses aus dem Sonnenkern wird gespeichert in der dierentiellen
Rotation. Der Energie-Inhalt der dierentiellen Rotation (OS 230 kg m?3) betragt Edi 2ROS DLOS (u0=2)2=2 1031 J. Wenn der Dynamo seine gesamte magnetische Energie aus
diesem Speicher entnimmt, ist die typische Abklingzeit der dierentiellen Rotation Edi =QM 1 Jahr. Daraus ist zu schliessen dass der Mechanismus der fur den Aufbau von (r; ) sorgt
mindestens so schnell funktionieren muss; dies stellt wahrscheinlich keine grosse Anforderung.
80
10 Erddynamo
Die Eigenschaften des Erdmagnetfeldes sind beschrieben worden in x1; siehe auch Merrill und McElhinny78. Ausfuhrliche Beschreibungen der Dynamotheorie fur das Erdmagnetfeld gibt es bei Ghil
und Childress79 . Die wichtigsten Unterschiede zwischen Sonnendynamo und Erddynamo sind80:
1) Die Erde ist ein schneller Rotator. Das Verhaltnis Inertialkraft zu Corioliskraft deniert die
Rossby-Zahl,
uc :
Ro = j2(uju r)
ujj 2
L
(412)
c
2)
3)
4)
5)
6)
Fur den Erdkern (uc 10?4 m s?1 ; Lc 3 106 m; = 7 10?5 s?1 ) ergibt sich Ro 2 10?7,
wahrend in der solaren KS (uc 100 m s?1 ; Lc 2 108 m; = 2:7 10?6 s?1 ) Ro 0:1.
Nur schwache Turbulenz in EK2. Die typische Zeit der Veranderungen des Erdmagnetfeldes,
etwa die Dauer einer Umpolung, ist 2 103 Jahre, ein Faktor 50 kleiner als die (nichtturbulente) Diusionszeit d 105 Jahr (x4), wahrend dieses Verhaltnis in der Sonne etwa
108 ist.
Energieversorgung. Die magnetische Feldstarke in EK2 ist schlecht bekannt: Extrapolierung
des Dipolfeldes an der Erdoberache liefert B 4 10?3 T in EK2; andere Modelle ergeben
B 2 ? 4 10?2 T. Die gesamte magnetische Energie des Erdkerns (V 1020 m3) ist dann
EM V B 2 =20 1021 ? 1023 J. Die Dissipationsrate der magnetischen Energie (wahrend
einer Umpolung) ist also QM EM =2 103 Jahre 2 1010 ? 2 1012 W, wahrend die
Warmezufuhr aus dem Erdkern L 3 1012 W betragt. Die vorhandene Warmezufuhr genugt
kaum fur den Erddynamo und erlaubt auch nur schwache thermische Konvektion; daher
wird vermutet dass neben thermischer auch kompositionelle Konvektion fur den Erddynamo
verantwortlich ist (Wachsen des inneren Erdkerns (EK1) durch Absinken von schweren Elementen und Aufsteigen von leichten Elementen zufolge der langsamen Abkulung der Erde).
Der Boden des EK2 ist nur etwa 10% dichter als die Erdoberache, wahrend die solare KS
9 Skalenhohen der Dichte umfasst. Die magnetische Auftriebskraft, so wichtig in der solaren
KS, spielt daher keine Rolle in der Erde.
Die magnetische Reynoldszahl RM 100 gegen 7 109 in der solaren KS: der Erdkern ist
kein so idealer Geleiter wie die solare KS. Dadurch ist der Bereich von typischen Langen
(Inertialbereich) viel kurzer als in der Sonne, was ein grosser Vorteil ist bei numerischen
Simulationen.
Das Verhaltnis Lorentzkraft/Corioliskraft, die Elsasserzahl
2
E = j2jJuB
j j uB L
0 c c
(413)
betragt in EK2 ( 104 kg m?3) maximal E 3; in der solaren OS (B 10 T; uc 10 m
s?1 ) maximal E 3 102. In beiden Himmelskorpern ist die Lorentzkraft sehr wichtig (strong
eld regime).
Die turbulente Diusivitat ist L2c =c 1:4 102 m2 s?1 ( 50); jj ist etwa c hhi=3 <
c u2c=3Lc uc =3 3 10?5 m s?1 . Rezente Untersuchungen zeigen dass EK1 etwa 3o pro Jahr
schneller dreht als EK2: ?1:7 10?9 rad s?1 ; die dierentielle Rotation unten in EK2 (Dicke
R 2:3 108 m) ist daher mindestens 0 =R ?7 10?16 m?1 s?1 . Es folgt (R 3:5 106
m):
0 3
jCj jjR 1:
(414)
C! R ?200;
78 Merrill, R.T. und McElhinny, M.W., 1983,The Earth's Magnetic Field, Academic Press, London
79 Ghil, M., und Childress, S., 1987, Topics in Geophysical Fluid Dynamics: Atmospheric Dynamics, Dynamo
Theory, and Climate Dynamics, Springer-Verlag
80 Roberts, P.H., 1993, in The Cosmic Dynamo, IAU-Symposium 157, Kluwer (Dordrecht), S. 431-40
81
In der Sprache der MF-Theorie ist der Erddynamo wahrscheinlich ein !- oder 2!-Dynamo. Die
Anwendung der MF-Theorie ist aber fur den Erddynamo ebenso problematisch wie fur den Sonnendynamo. Zudem sind !-Dynamos meistens periodisch; nur fur besondere Werte der Parameter
sind auch stationare (nicht-periodische) Losungen moglich. Hollerbach und Jones81 haben mit
einem (nicht-linearen) MF-Modell gezeigt dass EK1 einen stabilisierenden Einuss hat auf das
Erdfeld, weil die Diusionszeit dort langer ist als in EK2 (1 < 2). Statt nur oszillierende
Losungen (um B0 = 0) erzeugt die MF-Dynamogleichung (zusammen mit einer nicht-linearen
Dierentialgleichung fur u0) dann fur bestimmte Parameterwerte Losungen mit einem Dipolmoment das zeichenfest oszilliert um einen endlichen Wert. Das Modell weist also keine Umpolungen
auf. Eine Moglichkeit Umpolungen zu erhalten sind -Fluktuationen der Form = 0 cos +
(; t). Abb. (57) zeigt ein Beispiel einer numerischen Losung der MF-Dynamogleichung in der
!-Annaherung in spherischer 1D-Geometrie (317-318) unter Verwendung von Ansatz (310-311)
mit kR = 0:5 und C = 100 (die dominante Eigenschwingung ist dann ein nicht-periodischer
superkritischer Dipolmode; andere Eigenschwingungen sind periodisch und gedampft). Zur Stabilisierung der Losung ist -Quenching verwendet worden.
Abbildung 57: 1D-MF-Simulation des Magnetfeldes der Erde mit -Fluktuationen. Gezeigt sind
Konturlinien des toroidalen Magnetfeldes
Die Bedingungen des Erdkerns sind gunstiger fur MHD-Simulationen als die der solaren
KS/OS. Tatsachlich ist man bei der numerischen Simulation des Erddynamos schon viel weiter
als beim Sonnendynamo. Glatzmaier und Roberts82 haben erstmals in einer realistischen MHDSimulationdes Erdkerns eine (einzelne) Umpolung des Erdfeldes erreicht, nach einer Rechenzeit von
1 Jahr (= 40000 simulierte Jahre). Ihre Simulation bestatigt dass EK2 von sich aus geneigt ist haug
umzupolen und dass diese Umpolungen fast immer verhindert werden durch den stabilisierenden
Einuss von EK1. In einer weiteren Simulation haben Glatzmaier und Roberts83 annehmlich
gemacht dass gerade diese Kopplung zwischen EK1 und EK2 verantwortlich ist fur die schnellere
Rotation von EK1 bezuglich EK2.
81 Hollerbach, R., Jones, C.A., 1993, Nature 365, 541-3
82 Glatzmaier, G.A., Roberts, P.H., 1995, Nature 377, 203-9
83 Glatzmaier, G.A., Roberts, P.H., 1996, Science 274, 1887-91
82