Eine Auswahl des Stoffes der Vorlesung ”Statistik für

Eine Auswahl des Stoffes der Vorlesung
”Statistik für Wirtschaftswissenschaftler”
Kurs 2007/08
1. Teil
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegriffe der Statistik
1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Grundgesamtheit, Stichprobe . . . . . . . . .
1.3 Merkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Beschreibende Statistik, schließende Statistik
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3
3
3
3
4
2 Teilaufgaben einer statistischen Untersuchung
2.1 Datenerfassung oder Erhebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Aufbereitung und Auszählung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Darstellung des statistischen Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
9
3 Parameter von Häufigkeitsverteilungen
3.1 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Pearsonsches Schiefemaß . . . . . . . . .
3.4 Lorenz–Kurve, Gini–Koeffizient . . . . .
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12
12
13
14
15
4 Maßzahlen, Verhältniszahlen, Indexzahlen
4.1 Maßzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Verhältniszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Einführung der verschiedenen Indizes . . . . . . . . . . . .
4.4 Besondere Indexprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Formale Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Einige Verfahren zur Behandlung von Indexreihen
4.5 Einige regelmäßig veröffentlichte Indizes . . . . . . . . . .
4.6 Subindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17
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21
21
22
23
24
5 Zeitreihenanalyse
5.1 Einführung der Zeitreihen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Komponenten einer Zeitreihe . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Schätzung des Trends . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Die Methode der gleitenden Durchschnitte . . .
5.3.2 Die Methode der exponentiellen Glättung . . .
5.3.3 Drei Funktionsansätze für die Trendschätzung .
5.3.4 Die Freihandmethode . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5 Die Methode der kleinsten Quadrate . . . . . .
5.4 Saisonbereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Ein Verfahren bei additiver Verknüpfung . . .
5.4.2 Ein Verfahren bei multiplikativer Verknüpfung
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26
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28
28
28
30
30
31
1
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6 Lineare Regression
6.1 Einfache Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Zweifache Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
32
33
7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
7.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, stochastische Unabhängigkeit, Formel für die totale
Wahrsch., Formel von Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Erwartungswert, Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Spezielle Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.2 Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.3 Normalverteilung oder Gauß-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.4 Hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Gemeinsame Verteilung mehrerer Zufallvariabler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Kovarianz und Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Gesetz der großen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10 Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
34
36
2
41
42
47
48
48
48
49
51
52
54
55
55
Kapitel 1
Grundbegriffe der Statistik
1.1
Einführung
Allgemeine Beschreibung der Statistik:
Gegenstand: Massenerscheinungen aller Art (nicht auf ein bestimmtes Sachgebiet festgelegt).
Aufgabe: Bereitstellung von Verfahren, mit deren Hilfe Entscheidungen getroffen werden können,
die ein gewisses Maß an Unsicherheit zulassen müssen. Häufig auch nur Informationsbeschaffung.
Aus der konkret gestellten Aufgabe ergibt sich das Ziel der stat. Untersuchung. Dieses Ziel
sollte vor der stat. Untersuchung genau beschrieben werden.
1.2
Grundgesamtheit, Stichprobe
Die Grundgesamtheit (=statistische Masse) besteht aus allen Personen oder Sachen, die
von dem Untersuchungsziel erfaßt werden.
Sie muß
sachlich ( z.B. durch ”erwerbstätige Personen ” );
zeitlich ( z.B. durch einen Stichtag, etwa 1.9.95 );
örtlich ( z.B. durch ”in BW mit Hauptwohnsitz gemeldet ” )
genau abgegrenzt werden. Die Personen oder Sachen in der Grundgesamtheit nennt man statistische Elemente (= statistische Einheiten).
Bei vielen stat. Verfahren untersucht man statt der ganzen Grundgesamtheit nur eine Stichprobe, d.h. eine Auswahl von Personen oder Sachen aus der Grundgesamtheit. Gegenstand der
stat. Untersuchung ist aber die Grundgesamtheit, nicht die Stichprobe.
1.3
Merkmale
An einzelnen stat. Elementen (häufig nicht an allen) werden Merkmale untersucht (z.B. erlernter Beruf). Häufig werden an einem stat. Element mehrere Merkmale untersucht (z.B. Alter,
erlernter Beruf, ausgeübter Beruf). Das Untersuchungsergebnis eines Merkmals bei einem statischen Element heißt Merkmalsausprägung (=Merkmalswert), (z.B. 40 J. , 35 J. , . . . bei
dem Merkmal ”Alter”)
Bem.: Bei den ersten beiden Beispielen in der nachstehenden Tabelle 1.1 ist der Betrieb z.B. in
einer Branche und nicht etwa der einzelne Beschäftigte stat. Element.
3
Arten von Merkmalen
Art des Merkmals
zeitpunktbezogen
nicht häufbar
Beispiele
Anzahl der Beschäftigten
am 1.9.95 (Stichtag)
Anzahl der Neueinstellungen
vom 1.9. − 30.9.95
Jahreseinkommen, Alter,
Anzahl von · · ·
Staatsangehörigkeit,
Geschlecht, Beruf
Körpergröße, Alter
häufbar
Beruf, Staatsangehörigkeit
zeitintervallbezogen
quantitativ
qualitativ
Kennzeichung
geht aus der Bezeichnung hervor
geht aus der Bezeichnung hervor
Ausprägungen sind durch
Zahlen gegeben
Ausprägungen sind durch
Begriffe gegeben
Jedes stat. Elem. kann nur
eine Ausprägung haben
Ein stat. Elem. kann
mehrere Ausprägungen haben
Weitere Unterteilung bei quantitativen Merkmalen:
Art des Merkmals
diskret
stetig
fast stetig
Beispiele
Merkmal
Ausprägungen
Anzahl von . . .
0, 1, 2, 3, ...
Noten bei Prüfungs1.0, 1.3, 1.7, ...
klausuren
..,5.0
Höhen über NN
320m, 310.7m,
Zugkraft bei Zerreißen 30.1t, 28.61t,
eines Seils
31.5t, ...
Jahreseinkommen
20300.-, 31300.-,
in DM
...
Kennzeichnung
Die Skala der denkbaren
Ausprägungen kann nicht
beliebig verfeinert werden
Die Skala der denkbaren
Ausprägungen kann
beliebig verfeinert werden
nicht stetig, aber
näherungsweise
wie ein stetiges Merkmal
zu behandeln
Weitere Begriffe: Die Festlegung der Bezeichnungen bzw. Maßeinheiten für die Merkmalsausprägungen nennt man Skalierung. Bei qualitativen Merkmalen spricht man von einer nominalen
Skalierung, bei quantitativen von einer ordinalen Skalierung, wenn die Ausprägungen eine
Rangfolge erkennen lassen, aber Differenzen und Quotienten der Zahlenwerte keine Bedeutung
haben ( Bsp.:Notenskala), und von einer kardinalen Skalierung, wenn auch Differenzen und
Quotienten von Ausprägungen sinnvoll zu interpretieren sind ( z.B. bei Einkommen ).
1.4
Beschreibende Statistik, schließende Statistik
Ziel der beschreibenden Statistik ist es, die Daten, die eine empirische Untersuchung liefert,
möglichst übersichtlich zu präsentieren, so daß die wesentlichen Informationen schnell aufgenommen werden können.
Bei der schließenden Statistik werden nur stat. Elemente aus einer Stichprobe tatsächlich
untersucht. Von dem Untersuchungsergebnis wird dann auf die Grundgesamtheit geschlossen,
wobei eine gewisse Unsicherheit zugelassen werden muß.
4
Kapitel 2
Teilaufgaben einer statistischen
Untersuchung
2.1
Datenerfassung oder Erhebung
Primärstatistik: Gewinnung der Daten durch Umfragen o.ä.
Vorteil: Die stat. Untersuchung kann genau dem Untersuchungsziel angepaßt werden.
Nachteil: Hoher Aufwand und hohe Kosten. Daher sollten vor einer primärstat. Erhebung
folgende Fragen geklärt werden:
a) Sind die erforderlichen Daten bereits vorhanden, z.B. in Form von Belegen über Vorgänge
im Betrieb oder als Ergebnisse bei einer amtl. Statistik, und sind sie ohne Eingriff in den
Betriebsablauf zu beschaffen ?
b) Sind bereits Daten für eine andere, ähnliche Untersuchung gesammelt worden ?
In beiden Fällen empfiehlt sich als Erhebungsart die Sekundärstatistik: Benutzung vorhandenen Materials.
Weitere Unterscheidungen:
Einfache Zählung der stat. Elemente der Grundgesamtheit.
Vollerhebung: Untersuchung aller Elemente der Grundgesamtheit.
Vorteil: Vollständigkeit der Untersuchung
Nachteile:
a) sehr aufwendig und kostspielig,
b) nicht immer durchführbar oder sinnvoll,
c) Erhebung und Auswertung brauchen viel Zeit, daher verminderte Aktualität des Materials.
Teilerhebung: Untersuchung der Elemente einer Stichprobe, dann Schluß auf die Grundgesamtheit.
Vorteile:
a) billiger,
b) die Ergebnisse liegen früher vor, daher größere Aktualität,
5
c) intensivere Untersuchung möglich, daher u.U. genauere Ergebnisse als bei der Vollerhebung.
Nachteil: Die Stichprobe kann eine andere Zusammensetzung haben als die Grundgesamtheit,
was u.U. falsche Ergebnisse zur Folge hat.
Beispiel für eine einmalige Erhebung: Zählung der am 1.1.95 beschäftigten Personen. Keine
weiteren Zählungen geplant.
Beispiel für eine laufende Erhebung: Monatliche Zählung der jeweils am 1. des Monats beschäftigten Personen.
Bt := Zahl der Beschäftigten z. Zeit t. (Bsp. für eine Bestandsmasse)
Zt1 ,t2 := Zahl der Zugänge zwischen t1 und t2 , d.h. Zahl der in diesem Zeitintervall neu eingestellten Personen
At1 ,t2 := Zahl der Abgänge zwischen t1 und t2 , d.h. Zahl der Personen, die in diesem Zeitintervall
aus dem Betrieb ausscheiden. (Zwei Beispiele für Bewegungsmassen)
Fortschreibung: Bestimmung weiterer Werte von Bt über Zugänge und Abgänge:
Bt2 = Bt1 + Zt1 ,t2 − At1 ,t2
Beispiele von Quellen, die bei sekundärstatistischer Erhebung benutzt werden können, und zwar
für betriebsinterne Daten:
a) Belege, z.B. Krankheits-, Lohn- u. Gehaltslisten, Stücklisten, Preislisten usw...
b) Zahlenmaterial aus Buchhaltung, Kostenrechnung, Planung, usw...
c) Information aus Betriebsberichten
und für betriebsexterne Daten:
a) statistische Jahrbücher, z.B. der BRD
b) Zeitschrift ”Wirtschaft und Statistik”
c) Fachserien des Statistischen Bundesamtes
d) Veröffentlichungen der Statistischen Landesämter und der kommunalstatistischen Ämter
e) Veröffentlichungen der Bundesanstalt für Arbeit
f) Monatsberichte der Deutschen Bundesbank
g) Statistiken von Wirtschaftsinstituten, Industrie- und Handelskammern, Gewerkschaften
2.2
Aufbereitung und Auszählung
Zur Aufbereitung gehören z.B. folgende Tätigkeiten: Verschlüsselung (hauptsächlich von Ausprägungen qual. Merkmale)
Beispiel:
1
Energiewirtschaft, Wasserversorgung und Bergbau
10
Energiewirtschaft und Wasserversorgung
11
Bergbau
6
110
Steinkohlebergbau u. Kokerei
Prüfen des stat. Materials z.B. auf Vollständigkeit, Ablochen auf Datenkarten.
Das Auszählen geschieht in der Regel maschinell. Nur bei kleineren Problemen sind noch manuelle Verfahren (z.B. Strichliste) sinnvoll.
Eine erste Sammlung der Daten in der Reihenfolge, wie sie gerade registriert werden, heißt Urliste.
Beispiel: Stampfzeiten von
3.4 3.6 3.8 3.8 4.2
4.5 4.0 3.6 3.7 3.3
3.5 4.2 3.6 3.8 3.7
Betonelementen in Minuten:
3.0 4.1 3.5 3.2 3.9 3.5
3.9 4.0 4.4 3.9 3.7 3.9
4.4 4.2 3.6 4.3 3.8 3.3
4.0
4.3
3.8
Ordnet man diese Daten der Größe nach, so erhält man eine Rangliste:
3.0 3.2 3.3 3.3 3.4 3.5 3.5 3.5 3.6 3.6 3.6 3.6
3.7 3.7 3.7 3.8 3.8 3.8 3.8 3.8 3.9 3.9 3.9 3.9
4.0 4.0 4.0 4.1 4.2 4.2 4.2 4.3 4.3 4.4 4.4 4.5
Tabelle 2.1: Häufigkeitstabelle oder Frequenztabelle aus den obigen Daten
Stampfzeit xi
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Summe
fi
1
0
1
2
1
3
4
3
5
4
3
1
3
2
2
1
36
hi
0.028
0.000
0.028
0.056
0.028
0.083
0.111
0.083
0.139
0.111
0.083
0.028
0.083
0.056
0.056
0.028
1.001
h′i
2.8
0.0
2.8
5.6
2.8
8.3
11.1
8.3
13.9
11.1
8.3
2.8
8.3
5.6
5.6
2.8
100.1
fi ist die (absolute) Häufigkeit (Abk.: Hf.) des Merkmalswerts xi .
fi
hi := P
k
ist die relative Häufigkeit des Merkmalswerts xi .
fj
j=1
h′i := hi · 100 ist die prozentuale Häufigkeit des Merkmalswerts xi .
Zu dem Bsp. einer klassierten Häufigkeitstabelle (untenstehende Tabelle 2.2):
Eine Klasse (oder Gruppe) ist die Menge sämtlicher empirischer Daten, die innerhalb festgelegter Grenzen liegen, z.B. ”von 3600 bis unter 4800 (DM)”. Die Differenz der beiden Klassengrenzen heißt Klassenbreite .
7
Die kumulierten Häufigkeiten (= Summenhäufigkeiten ) beschreiben die (abs., rel. oder
proz.) Häufigkeiten der Merkmalswerte unter einem bestimmten Wert bei aufsteigender Kumulation bzw. von einem bestimmten Wert an bei absteigender Kumulation.
Für die aufsteigende Kumulation ist die obere Klassengrenze und für absteigende Kumulation
die untere Klassengrenze der maßgebenden Wert, damit jeweils die ganze Klasse erfaßt wird.
Für Werte innerhalb der Klassen können die kumulierten Häufigkeiten nur näherungsweise
angegeben werden, z.B. über die untenstehende lineare Interpolationsformel (2.2.1). Würde man
nämlich mit (2.2.1) die kumulierte Hf. für alle Werte innerhalb einer Klasse exakt berechnen
können, so müßten die Merkmalswerte innerhalb dieser Klasse gleichmäßig verteilt sein. Da man
aber die exakte Hf.-verteilung innerhalb der Klassen i.a. nicht kennt, kann man die Gleichverteilung nur als Näherungsanahme verwenden.
Tabelle 2.2: Aufteilung der Lohnsteuerpflichtigen 1961 nach Bruttolohngruppen
Bruttojahreslohngruppe von
. . . bis . . . unter
(in Tsd DM)
0 - 1.2
1.2 - 2.4
2.4 - 3.6
3.6 - 4.8
4.8 - 6.0
6.0 - 7.2
7.2 - 8.4
8.4 - 9.6
9.6 - 12
Summe
fi
h′i
1892641
1638205
1866273
2437081
2795752
2967843
2545287
1646398
1525416
19314895
9.16
7.93
9.03
11.79
13.53
14.36
12.31
7.97
7.38
93.46
kumul.
proz. Hf
aufsteig.
Kum.
9.16
17.08
26.11
37.90
51.43
65.79
78.10
86.07
93.45
×
kumul.
proz.Hf.
absteig.
Kum
100.00
90.84
82.92
73.89
62.10
48.57
34.21
21.90
13.93
×
12 - 16
16 - 20
20 - 25
25 - 36
36 - 50
50 - 75
75 - 100
ab 100
834763
285345
131707
66662
21088
9236
2703
3056
4.04
1.38
0.64
0.32
0.10
0.04
0.01
0.01
97.49
98.87
99.50
99.83
99.93
99.97
99.99
100.0
6.55
2.51
1.13
0.50
0.17
0.07
0.03
0.01
Summe
1354560
6.54
×
×
(2.2.1)
y
y = y1 +
6
x−x1
x2 −x1
(y2 − y1 )
y1
y
y2
-
x1
x
x2
x
Anhaltspunkte für die Klassenbildung:
a) Die Zahl der Klassen soll etwa zwischen 10 und 20 liegen (genauer vgl. DIN 55302).
b) Die Klassen sind so festzulegen, daß jeder Merkmalswert nur einer Klasse angehört. Das
wird in Tabelle 2.2 durch die Bezeichnung ”von ...bis unter...” erreicht.
8
c) Es sollen keine Klassen gebildet werden, die keine Merkmalswerte enthalten.
d) Offene Klassen (=Flügelklassen) wie z.B. die letzte Klasse in Tabelle 2.2 sind nach Möglichkeit zu vermeiden.
2.3
Darstellung des statistischen Materials
Schematische Darstellung der Bezeichnungsweisen in Tabellen (vgl. DIN 55301):
Überschrift (Titel und wichtige Angaben)
Tabellenkopf
...
Fach
Zeile
Zeile
Fach
...
Vorspalte
Spalte
Spalte
Quelle/Fußnoten
Weitere Regeln für den Aufbau einer Tabelle:
a) Jede Tabelle soll eine Überschrift haben, die den wesentlichen Tabelleninhalt in möglichst
knapper Form kennzeichnet. Der Titel soll sowohl die wesentlichen Gliederungsmerkmale
in Tabellenkopf und Vorspalte als auch den Erhebungssektor kennzeichnen.
b) Zahlentabellen sollen keine leeren Fächer enthalten. Sind aus irgendwelchen Gründen in
bestimmte Tabellenfächer keine Zahlen einzutragen, so hat man statt dessen eines der folg.
Zeichen einzusetzen:
”×”, wenn aus sachlichen Gründen keine Eintragung gemacht werden kann.
”−”, wenn der Zahlenwert genau Null ist,
”0”, wenn der Zahlenwert von Null verschieden, aber kleiner als die Hälfte der Einheit
von dem niedringsten, in der Tab. noch angegeb. Stellenwert ist,
”·”, wenn der Zahlenwert unbekannt ist oder nicht mitgeteilt wird,
”· · ·”, wenn der Zahlenwert erst in einem späteren Zeitpunkt zu erwarten ist.
9
c) Vorläufige Zahlen werden durch beigefügtes ”p”, berichtigte Zahlen durch ”r”, geschätzte
Zahlen durch ”s” gekennzeichnet. Diese Bedeutung der Buchstaben ”p,r,s” ist unter der
Tab. anzugeben.
d) Das Fach über der Vorspalte ist (wie etwa in Tab. 2.2) im allgemeinen als Kopf zur Vorspalte zu benutzen. Eine andere Verwendung ist wie folgt zu kennzeichnen:
XX
XXX
XXX Vorspalte zum Kopf
XX
XXX
XXX
XX
XX
Kopf zur Vorspalte
X
Vorspalte zum Kopf
-
e) Häufig ist eine Numerierung der Tabellen und auch der Zeilen und Spalten in den Tabellen
zweckmäßig.
f) Ebenso ist die Bildung von Unterspalten zulässig und in vielen Fällen zweckmäßig.
Beispiele von graphischen Darstellungen:
Stabdiagramm
Zahl der Beschäftigten
6
100
80
60
40
20
-
Montage
Ersatzteile Reparatur
Lager
10
Verwaltung
Betriebszweig
Histogramme zu klassierten Häufigkeitstabellen · · ·
- mit variabler Klassenbreite (Siehe Tab. 2.2)
- mit konst. Klassenbreite
Proz. Hf auf die Klassenbreite 1200 DM umgerechnet
6
Zahl der Großhändler
6
15
15
10
10
5
5
-
10
30
Umsatz in 1000 Euro
80
-
1.2
4.8
9.6
Bruttolohn in 1000 DM
12
16
20
Regel: Die Flächen der Rechtecke sind proportional zur (abs., rel. bzw. proz.) Häufigkeit. Für
die Höhen gilt das bei variabler Klassenbreite i.a. nicht.
(2.3.1)
Rechteckhöhe = (abs., rel., bzw. proz) Hf.
Bezugsklassenbreite
Klassenbreite
Einige der im folgenden behandelten Sachverhalte bei Hf-Verteilungen lassen sich am besten an
graphischen Darstellungen mit glatter Kurve (vgl u.) statt der Stufenkurve des Histogramms
erläutern. Eine solche glatte Kurve erhielte man in vielen Fälle als Grenzkurve, wenn man die
Zahl der Merkmalswerte immer weiter erhöhen und die Klassenbreiten immer weiter verkleinern
würde (im Gegensatz zu der Regel a) Abschn. 2.2.)
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