Zufälle in Zahlen

Zufälle in Zahlen
Ein Comic über Statistik
mit einer 95%igen Wahrscheinlichkeit
wirklich einer zu sein
Zufälle in Zahlen
Ein Comic über Statistik
mit einer 95%igen Wahrscheinlichkeit
wirklich einer zu sein
GOVERN DE LES ILLES BALEARS
Vicepresidència i Conselleria
d’Economia, Comerç i Indústria
Direcció General d’Economia
CCIX
© Edition: Amt für Wirtschaft
Projektleitung: Antoni Monserrat I Moll, Generaldirektor der Hauptverwaltung Wirtschaft
Koordination: Jose Antonio Pipo Jaldo. Direktor des IBAE.
Herausgeber: Balearisches Institut für Statistik (IBAE)
Sant Feliu 8-A
07012 - Palma (Mallorca) - SPANIEN
Telefon (34) 971 17 67 55
http://[email protected]
E-mail: [email protected]
Autor: Javier Cubero
Management und Herstellung: I n r e v é s S L L
Illustration: Alex Fito y Linhart
Farben: Pau Genestra
Layout: Xisco Alario et Margalida Capó
Skript angepasst von: Felipe Hernández
Deutsche Übersetzung: T&I Traducción e Interpretación
Linguistische Beraterin: Roser Belmonte Juan
Koordination: Sebastià Marí und Pere Joan
Kollektion: Estadística al carrer. Volum 1
Titel: Zufälle in Zahlen. Ein Comic über Statistik mit einer 95%igen Wahrscheinlichkeit
wirklich einer zu sein
Nr. IBAE: CCIX
Hinterlegung der Pflichtexemplare: 2PM-2463-2002
ISBN: 84-89745-53-6
Druck: Imprenta Latina SL
Herausgabedatum: November 2002
© Copyright: Hauptverwaltung Wirtschaft.
Amt für Wirtschaft, Handel und Industrie
EMPFEHLUNGSSCHREIBEN
Das Studium der Mathematik und statistischer Konzepte waren schon immer als
schwierige Lernfächer bekannt, die unter den Schülern nie besonders beliebt waren.
Daher möchte die Regierung der balearischen Inseln mit der Publikation des Comics
Zufälle in Zahlen zur Verbreitung dieser Kenntnisse beitragen.
Das gegenwärtige Exemplar, herausgegeben vom Balearischen Institut für Statistik
(IBAE) des Amtes für Wirtschaft, Handel und Industrie ist ein wirkungsvolles Instrument,
das einerseits den didaktischen Kriterien des ESO (spanische Sekundärstufe)
Studienplanes entspricht und andererseits auch der Weiterbildung von Erwachsenen
dienen kann. Mit dem Comic wird versucht, all diesen Kenntnisse auf eine einfache und
interessante Weise zu vermitteln.
Diese Publikation ist Teil des Studienplans, den das IBAE mit der Absicht, der
Gesellschaft die von diesem Institut realisierten Studien und Analysen näher zu bringen,
in Gang setzte. Sein Ziel ist aber nicht nur die Vermittlung statistischer Daten, welche
die sozial-ökonomische Realität der Balearen veranschaulichen, sondern auch der
Gesellschaft eine Arbeitsweise näher zu bringen, die für die Planung der Entscheidungen,
auf welche die Zukunft unseres Landes aufbaut, wichtig ist. Daher sind Daten, auf die
man sich verlassen kann, unumgänglich.
Zuletzt möchten wir noch unseren Mitarbeiter unseren Dank aussprechen, die an
einer, unserer Meinung nach innovativen Erfahrung, mitgewirkt haben. Zusätzlich
möchten wir auch noch die Gruppe von Kreativen und Graphikern erwähnen, die an der
Erstellung dieses Comics mitgewirkt haben und den hohen Qualitätsstandard dieses
Sektors auf den Balearen beweist.
Pere Sampol i Mas
Vizepräsident der balearischen Regierung und
Minister des Amtes für Wirtschaft, Handel und Industrie
VORWORT
Aus vielen und sehr verschiedenen Anlässen, ist es für mich eine wirklich große Freude
das Vorwort für das Werk, das du in Händen hältst, zu schreiben. Der erste Grund, jedoch
nicht der Wichtigste, ist die langjährige Freundschaft, die mich mit dem Autor verbindet,
mit dem ich vor nur 35 Jahren den Hörsaal in der Universität teilte. In diesen vergangenen Tagen hätten wir uns nie vorstellen können, dass wir uns nach so langer Zeit wegen
unserer gemeinsamen Liebe zur Statistik wiedertreffen würden.
Der zweite ist das Werk Zufälle in Zahlen selbst, das ich, wie du als schlauer Leser
bestimmt bemerkt hast, nicht als Comic bezeichnen möchte, da ich der Meinung bin,
dass es sich dabei um viel mehr als nur um einen Comic handelt. Dies belegt nicht nur
die Auswahl der Personennamen, die zweifelsohne nicht zufällig oder willkürlich getroffen wurde, denn jeder Name verbirgt seine kleine oder auch große Geschichte, sondern
auch der Geburtstag von 55 am Ende der Geschichte, oder die Rockband Quartil.
Ich möchte einige Details, die mir besonders gut gefallen haben, und die dir vielleicht
zu denken geben, hervorheben. Anfangen werde ich mit den historischen Pinselstrichen
am Beginn jedes Kapitels, fortfahren möchte ich mit den eleganten Erklärungen wie die
des Unterschiedes zwischen einer stetigen Variablen (die Spur der Schnecke) und einer
Diskreten (die Sprünge des Grashüpfers). Ferner ist noch die Art und Weise zu erwähnen,
wie erklärt wird, dass Daten noch viel mehr Information in sich bergen wie man anfangs
vielleicht glauben möchte (das Beispiel mit dem Alter der vier Geschwister), und die
auch nicht weniger originell ist.
Die Art und Weise wie verhindert wurde, Graphiken zu viel zu erörtern, da dies zu
augenscheinlichen Fehlern führen kann, hat mich an einen gemeinsamen Professor
unseres Mathematikstudiums erinnert.
Sehr illustrativ gestaltet sind die Einführungen in die Konzepte der
Bevölkerungsdichte und der Bevölkerungspyramide mit ihren Anwendungen in verschiedenen Städten der balearischen Inseln, gemeinsam mit dem Hinweis auf die
Autounfälle als Krankheit der Jugendlichen von heute, um die Unregelmäßigkeiten der
Pyramide zu erklären.
Wahrscheinlich ist es im Kapitel 8, wo das Können des Autors am offensichtlichsten
wird: die Symbole um die Indexnummern einzuführen sind ganz einfach genial, einerseits
die alten Einheiten (die zugekorkten Falschen ohne Etikett) in Zusammenhang mit den
alten Preisen (Notizblock) und andererseits die neuen Einheiten (Milchboxen in Tetra
Brik) mit den neuen Preisen (Computerbildschirm).
Meine letzten Worte sollen Javier ermuntern das begonnene Werk fortzusetzen, damit
wir uns auf diese Weise bald an einem zweiten Teil erfreuen können.
Granada, im April 2000
Rafael Herrerias Pleguezuelo
Universitätsprofessor angewandter
Wirtschaftswissenschaften
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1 - PIERRE DE FERMAT
S. 10
Kapitele 2 - THOMAS BAYES
S. 15
Kapitel 3 - BLAISE PASCAL
S. 22
Kapitel 4 - ADOLPHE QUÉTELET
S. 28
Kapitel 5 - JAKOB BERNOUILLI
S. 36
Kapitel 6 - CHARLES DODGSON
S. 45
Kapitel 7 - WILLIAM SEALEY GOSSET
S. 52
Kapitel 8 - LASPEYRES UND PAASCHE
S. 61
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
S. 70
ANLAGEN
S. 89
DER SUPERTOLLE
Der
Supertolle
…DIE ALLERWICHTIGSTE PERSON IN DIESEM
COMIC: DU!
6
DIE PERSONEN
55
Rätsi
Zufälli
Binomi
Gaußi
Graphi
7
KAPITEL 1
PIERRE DE FERMAT
Französischer Mathematiker (1601-1665)
Seine Kenntnisse brachten ihm den Beinamen „Prinz der Amateure“.
Er war einer der Begründer der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Kapitel 1 - PIERRE DE FERMAT
DER GRASHÜPFER WIRD GEWINNEN!
WAS FÜR EIN RENNEN!
KLAR, DASS DER GRASHÜPFER GEWINNT,
ER IST NUN MAL DER SCHNELLSTE.
EINS STEHT FEST: DER
GRASHÜPFER WIRD GEWINNEN!
ICH MÖCHTE EINE HYPOTHESE
AUFSTELLEN: WAHRSCHEINLICH
WIRD DIE SCHNECKE VERLIEREN.
GIB MIR EINEN STIFT UND
PAPIER, ICH MÖCHTE DEN VERLAUF
DES RENNENS FESTHALTEN.
…IN BESTIMMTEN PUNKTEN,
WÄHRENDDESSEN DIE SCHNECKE EINE
DURCHGEHENDE FÄHRTE HINTER SICH LÄSST.
ZUM GLÜCK DER
SCHNECKE MACHT DER
GRASHÜPFER ZWISCHEN DEN SPRÜNGEN
EINE PAUSE.
WARTET EINEN MOMENT. DER
GRASSHÜPFER SETZT SICH HÜPFEND
FORT UND HINTERLÄSST SEINE
ABDRÜCKE...
AUF DIESE WEISE KÖNNEN WIR DIE SPUREN
DER WETTBEWERBER AUFZEICHNEN.
9
Kapitel 1 - PIERRE DE FERMAT
SCHON, ABER WIR HABEN EIN
PROBLEM. SCHAUT NUR WIE ES
SICH DER GRASHÜPFER
ÜBERLEGT BEVOR ER HÜPFT...
WIR NENNEN IHN
„HERRN DISKRET”!
HA, HA, HA!
DANN NENNEN
WIR…
SIE NENNT MAN EREIGNISSE,
WEIL SIE SICH EREIGNEN,
NICHT WEIL SIE
ZERSTÖRERISCH SIND,
HOLZKOPF!
DAS GANZE ERINNERT MICH
DARAN, DASS STATISTIKER
EREIGNISSE MIT „DISKRETEN“
UND „STETIGEN“ VARIABLEN
UNTERSUCHEN.
WIR KÖNNTEN EIN LABOR EINRICHTEN UND
EXPERIMENTE MACHEN!
SUPER!
TOLL!
…DIE SCHNECKE
„FRAU STETIG”.
ES KÖNNTE SEIN, DASS DIE
STATISTIKER ANFÄNGLICH
SPIELE GENAUER UNTERSUCHT HABEN…
ICH WEIß NICHT OB
DAS DAMIT ZU TUN HAT,
ABER ICH HABE EINMAL
GEHÖRT, DASS ES
SCHWERER IST ZU
ERRATEN WAS SICH EINE
PERSON WÜNSCHT ALS
DAS, WAS EINE MILLION
BEGEHRT.
DAS BRINGT MICH AUF EINE IDEE! HÖRT ZU.
ICH SCHLAGE VOR WIR SPIELEN EIN SPIEL...
Experimente:
ÜBUNG
WIR WERFEN EINE MÜNZE 8 MAL IN DIE LUFT UND SCHREIBEN
DIE ERGEBNISSE AUF. DAS GANZE WIEDERHOLEN WIR DREI
MAL UND SCHREIBEN AUF WIE OFT KOPF AUFLIEGT.
ANSCHLIEßEND WERFEN WIR EINE MÜNZE 50 MAL
HINTEREINANDER IN DIE LUFT. ICH WETTE, DASS SICH JETZT
DIE ANZAHL DER KÖPFE BESTIMMT MEHR DER ZAHL 25 NÄHERT ALS
DIE ANZAHL DER ERSCHIENEN KÖPFE BEI DER VORHERIGEN
WURFREIHE DER ZAHL 4 GENÄHERT HAT.
DU MEINST ALSO, DASS WIR, JE ÖFTER WIR DAS EXPERIMENT
WIEDERHOLEN, UNS DESTO SICHERER SEIN KÖNNEN, DASS KOPF
UNGEFÄHR HALB MAL SO OFT OBEN LIEGT.
WENN WIR ALSO DIE WÜRFEL 1 MILLION MAL IN DIE LUFT WERFEN, DESTO MEHR WÜRDE SICH DIE
ANZAHL DER AUFLIEGENDEN KÖPFE DER HÄLFTE DER WÜRFE ANNÄHERN. UND WENN WIR 10 MILLIONEN
MAL WERFEN WÜRDEN, NOCH NÄHER. DESHALB ERHÖHT SICH DIE WAHRSCHEINLICHKEIT, DASS ENTWEDER
KOPF ODER ZAHL JE ZUR HÄLFTE DER WÜRFE ERSCHEINT, MIT DER ANZAHL DER GESAMTEN WÜRFE.
10
Kapitel 1 - PIERRE DE FERMAT
Experimente:
JA GUT, ABER DAS IST LEICHT, WEIL JA EINE MÜNZE NUR 2 SEITEN HAT: KOPF ODER ZAHL, DU
GEWINNST ODER VERLIERST. WENN WIR NUN DAS EXPERIMENT MIT EINEM WÜRFEL AUSFÜHREN,
SEHEN WIR, DASS NUN 6 MÖGLICHKEITEN ZUR VERFÜGUNG STEHEN. LASS UNS NUN SEHEN WIE OFT
DIE ZAHL 5, DIE WIR ALS GEWINN BETRACHTEN, AUFLIEGT. WÜRFELN WIR JETZT 90 MAL UND
SCHREIBEN DIE ERGEBNISSE AUF. MAL SEHEN WAS HERAUSKOMMT!
WENN WIR ALSO WEDER GEMOGELT HABEN, NOCH DER WÜRFEL
MANIPULIERT IST, KÖNNEN WIR MIT BESTIMMTHEIT SAGEN, DASS
WIR ETWA 15 MAL GEWONNEN UND 75 MAL VERLOREN HABEN.
1
DAS HEIßT DEMNACH, DASS DIE WAHRSCHEINLICHKEIT, DASS DIE 5 AUFLIEGT, 15 , ALSO 6 , IST,
90
WÄHREND DIE WAHRSCHEINLICHKEIT ZU VERLIEREN, ALSO NICHT 5 ZU WÜRFELN 75 , ALSO 5 , IST.
6
90
SOMIT KÖNNEN WIR AUCH FESTSTELLEN, DASS DIE WAHRSCHEINLICHKEIT ZU VERLIEREN, GLEICH 1
MINUS DER WAHRSCHEINLICHKEIT ZU GEWINNEN, IST.
AUF DIESE WEISE IST DIE WAHRSCHEINLICHKEIT, EIN ERGEBNIS EINES FUßBALLSPIELS ZWISCHEN
ETWA GLEICH GUTEN TEAMS ZU ERRATEN, 1 (WEIL JA 3 MÖGLICHKEITEN VORLIEGEN KÖNNEN:
3
2
GEWINNEN, VERLIEREN ODER UNENTSCHIEDEN), UND DIE, DAS RESULTAT NICHT ZU ERRATEN, 3 .
DAMIT IST BEWIESEN, DASS ES NICHT IMMER LEICHT IST DAS RICHTIGE ZU ERRATEN, GENAUSO
WIE ES SCHWER IST IN DER SCHULE DIE GESTELLTEN FRAGEN RICHTIG ZU BEANTWORTEN, AUßER
NATÜRLICH ICH GEBE DIE ANTWORT.
WIR ERRATEN DAS
RICHTIGE ERGEBNIS,
WENN WIR SAGEN,
DASS DAS ERGEBNIS
ENTWEDER „0“, „X“
ODER „2“ SEIN WIRD.
AUF DIESE WEISE IST
NATÜRLICH DIE
WAHRSCHEINLICHKEIT
ERFOLG ZU HABEN,
GARANTIERT!
UND WENN DIE RICHTIGE LÖSUNG
IST, EINE 7 ZU WÜRFELN?
DANN HABE ICH „0“
WAHRSCHEINLICHKEIT ERFOLG ZU
HABEN. IN DIESEM FALL WÜRDE ICH
„AUF KEINE 7 WÜRFELN“ SETZEN.
Zuerst müssen wir uns darüber einigen, wie wir die Daten festhalten. Lasst uns die
Ergebnisse bis zur Zahl 4 mit senkrechten Strichen aufschreiben. Die Fünf halten
wir fest, indem wir die bisherigen 4 Striche durchstreichen. Auf diese Weise
schreiben wir die Ergebnisse in 5er-Gruppen auf, das uns das Zählen der Ergebnisse
erleichtert und wir können so auch die letzte Gruppe von maximal 4 Ergebnissen
besser hinzufügen.
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Das wäre eine Zählung von 33.
Und dies wäre eine andere Art:
1
10
20
30
11
Kapitel 1 – PIERRE DE FERMAT
Experimente:
Um die Ergebnisse des Experimentes festzuhalten, damit wir sie auch
später verwenden können, füllen wir die untenstehenden Kästchen aus.
Diese Spiele sind eine sehr ernste Sache!
8-MALIGER MÜNZENWURF
Anzahl Zahlen: _____
Anzahl Köpfe: _____
Köpfe
(in rot)
Zahlen
(in blau)
50-MALIGER MÜNZENWURF
Erfolg (in rot)
Misserfolg (in schwarz)
Anzahl Köpfe:
Anzahl Zahlen: 50 – _____
Anzahl Köpfe: _____
WAHRSCHEINLICHKEIT:
Münzenwurf:
Erfolg = Kopf
Misserfolg = Zahl
Möglichkeit auf Erfolg mit nur einem Wurf:
Gesamtanzahl Möglichkeiten:
Würfeln:Erfolg = ”eine FÜNF würfeln“
WAHRSCHEINLICHKEIT=
1
2
Misserfolg = “1 oder 2 oder 3 oder 4 oder 6”
Möglichkeit auf Erfolg mit nur einem Wurf:
1
Gesamtanzahl Möglichkeiten (Erfolg + Misserfolg): WAHRSCHEINLICHKEIT=
6
Würfeln: Erfolg = ”eine DREI würfeln“
Misserfolg = “1 oder 2 oder 4 oder 5 oder 6”
Möglichkeit auf Erfolg mit nur einem Wurf:
1
Gesamtanzahl Möglichkeiten (Erfolg + Misserfolg): WAHRSCHEINLICHKEIT= 6
Würfeln: Erfolg = ”eine DREI oder eine FÜNF würfeln“ Misserfolg = “1 oder 2 oder 4 oder 6”
Möglichkeit auf Erfolg mit nur einem Wurf:
Gesamtanzahl Möglichkeiten (Erfolg + Misserfolg):
WAHRSCHEINLICHKEIT=
2
6
WAHRSCHEINLICHKEIT EINE DREI ODER EINE FÜNF ZU WÜRFELN
Wahrscheinlichkeit eine 3 zu würfeln + Wahrscheinlichkeit eine 5 zu würfeln = 1 + 1 = 2
6
12
6
6
KAPITEL 2
THOMAS BAYES
(1702?-1761)
Englischer Geistlicher der ersten Hälfte des 18. Jahrhunderts,
Vater der Bayes-Statistik.
Kapitel 2 - THOMAS BAYES
HURRA! WAS FÜR EIN GLÜCK! ICH
HABE 3 MÜNZEN GEFUNDEN!
GUT, ABER ES SCHEINT KEIN VERMÖGEN ZU
SEIN. ES SIND AUßERDEM AUSLÄNDISCHE
MÜNZEN... SCHAU, WIE KOMISCH SIE SIND.
WAHRSCHEINLICH SIND SIE WERTLOS.
SCHON, ABER
TROTZDEM GLAUBE
ICH NICHT, DASS
DIES SO
UNGEWÖHNLICH IST.
ABER DAS MEINE ICH DOCH NICHT.
SCHAU HER, ALLE SIND MIT DEM KOPF
NACH OBEN GELANDET!
ALSO… WEIL WIR GESEHEN HABEN,
DASS DIE WAHRSCHEINLICHKEIT,
DASS EINE MÜNZE MIT DEM KOPF
NACH OBEN ZUM LIEGEN KOMMT
1
IST, DANN MÜSSTE DIE
2
WAHRSCHEINLICHKEIT, DASS DREI
MÜNZEN MIT DEM KOPF NACH OBEN
AUFLIEGEN, FOLGENDERMAßEN SEIN:
BEWEISEN WIR ES MIT
EINEM BEISPIEL. WENN
ICH EINE MÜNZE 3 MAL
IN DIE LUFT WERFE,
MIT WELCHER
WAHRSCHEINLICHKEIT
LIEGEN 3 MAL KÖPFE AUF?
UND MIT WELCHER 2 MAL
ZAHL UND EINMAL KOPF?
WAHRSCHEINLICHKEIT
WAHRSCHEINLICHKEIT
K= 1
2
Z= 1
2
GESAMT =
14
1
2
1
+
1
2
+
1
2
=
3
2
UNMÖGLICH! DAS
KANN NICHT STIMMEN,
DENN DAS GÄBE EINE
WAHRSCHEINLICHKEIT
3
VON 2 UND DIE
WAHRSCHEINLICHKEIT
EINES EREIGNISSES
KANN NICHT GRÖßER
SEIN ALS 1!
ICH WÜRDE VORSCHLAGEN DIES GRAPHISCH
DARZUSTELLEN.
Kapitel 2 - THOMAS BAYES
Experimente:
SO.
ODER AUF DIESE WEISE.
K
K
Z
K
K
Z
K
Z
K
Z
K K K
K K Z
K Z K
K Z Z
K Z K K
Z Z K Z
K Z Z K
Z Z Z Z
15
Kapitel 2 - THOMAS BAYES
Experimente:
LASSEN WIR DEN SUPERTOLLEN DAS
SCHEMA FÜR 4 WÜRFE ERSTELLEN.
8 Möglichkeiten
Anzahl 3 x Köpfe = 1
Wahrscheinlichkeit =
1
8
Anzahl 2 x Köpfe und 1 x Zahl = 3
Wahrscheinlichkeit =
3
8
Anzahl 1 x Kopf und 2 x Zahl = 3
Wahrscheinlichkeit =
3
8
Anzahl 3 x Zahl = 1
Wahrscheinlichkeit =
1
8
Gesamtanzahl: 16 Möglichkeiten
Anzahl KKKK = 1
Wahrscheinlichkeit KKKK =
16
4
1
Wahrscheinlichkeit KKKZ =
=
16
4
Anzahl KKKZ = 4
Anzahl KKZZ =
Wahrscheinlichkeit KKZZ =
Anzahl KZZZ =
Wahrscheinlichkeit KZZZ =
Anzahl ZZZZ=
Wahrscheinlichkeit ZZZZ =
Kontrolle:
+
16
+
+
+
=1
16
=
16
=
8
Kapitel 2 - THOMAS BAYES
ALSO, AUS DIESEN EXPERIMENTEN KÖNNEN WIR FOLGENDES ABLEITEN:
1. DIE WAHRSCHEINLICHKEIT EINES SICHEREN EREIGNISSES IST 1.
2. DIE WAHRSCHEINLICHKEIT DES ERFOLGES + WAHRSCHEINLICHKEIT
DES MISSERFOLGES IST GLEICH 1.
3. DIE WAHRSCHEINLICHKEIT DES MISSERFOLGES =
1 – WAHRSCHEINLICHKEIT DES ERFOLGES.
4. DIE WAHRSCHEINLICHKEIT EINES EREIGNISSES =
1 – WAHRSCHEINLICHKEIT DES GEGENTEILS.
OH! STELLT EUCH VOR,
ICH HABE DREI SEHR
WERTVOLLE MÜNZEN VERLOREN! ES HANDELT SICH
UM ECHTE
SAMMLERSTÜCKE, DIE
MEIN VATER IN SEINER
JACKENTASCHE
VERGESSEN HAT.
GOTT SEI DANK, SIE
SIND’S! VIELEN DANK! IHR
HABT MICH GERETTET!
GAUßI, MIT WELCHER
WAHRSCHEINLICHKEIT SIND DIESE
IHRE MÜNZEN?
IM SCHNEE UND SO
KOMISCH? ICH WÜRDE SAGEN
ES HANDELT SICH UM EIN
SICHERES EREIGNIS, ALSO 1.
LASST UNS ZUR SCHUTZHÜTTE ZURÜCKKEHREN.
ES BEGINNT ZU SCHNEIEN UND ICH MÖCHTE
AUßERDEM DIE TOTO-ERGEBNISSE SEHEN.
17
Kapitel 2 - THOMAS BAYES
IHR MÖCHTET ALSO DIE
FUßBALL-TOTO-ERGEBNISSE
WISSEN? ES SCHAUT AUS
ALS OB DER FERNSEHER
KAPUTT SEI... IHR MÜSST
EUCH ALSO DAMIT
ABFINDEN DIE ERGEBNISSE
ZU ERRATEN...
JA, ICH HABE EINEN IN DER
JACKENTASCHE MEINES VATER
GEFUNDEN! DER WÜRFEL HAT
ZWAR 6 SEITEN, DOCH ZWEI
ZEIGEN EINE “1”, ZWEI EIN “X”,
UND ZWEI EINE “2”.
FANTASTISCH! DAS IST DIE
GELEGENHEIT EIN NEUES EXPERIMENT
DURCHZUFÜHREN. HAT JEMAND EINEN
TOTO-WÜRFEL?
Experimente:
Erfahrungen
1
1
X
X
2
1
X
2
2
1
X
2
Schätzungen
Gemäß des aktuellen Standes
3 wenn sie gewinnen
1 wenn unentschieden
0 wenn sie verlieren
3
1
3
1
0
6
4
3
3
4
0
1
0
3
1
2
1
3
1
0
0
Gemäß unserer Schätzung
1 wenn sie gewinnen
0 wenn unentschieden
-1 wenn sie verlieren
1
1
0
-1
2
1
0
SOLL DOCH DER SUPERTOLLE DIE 15
RESULTATE AUSFINDIG MACHEN,
OBWOHL ICH GLAUBE ER BRÄUCHTE
DAZU SEHR VIEL PAPIER...
18
0
1
1
-1
0
-1
0
-1
HMM… ES MUSS DOCH EINE
FORMEL DAZU GEBEN. SIE
SOLLTE SCHNELL UND OHNE
VIEL ARBEIT ZU LÖSEN SEIN...
ICH HOFFE GAUßI FINDET
EINE, O.K.?
1
0
-1
0
-1
-2
HE! JETZT
SIND WIR
DRAN…
Kapitel 2 - THOMAS BAYES
HURRA! ICH HAB’S!
WENN ICH DAS RESULTAT VON NUR EINEM SPIEL ERRATEN MÖCHTE, HABE ICH 3 MÖGLICHKEITEN. ZWEI SPIELE
BIETEN INSGESAMT 9 MÖGLICHKEITEN. GRAPHI STELLT 3
SPIELE GRAPHISCH DAR. MAL SEHEN WAS HERAUSKOMMT!
BEI DREI SPIELEN KOMMEN WIR AUF 27 MÖGLICHKEITEN.
SO KOMME ICH AUF FOLGENDES:
FÜR EIN SPIEL: 3
MÖGLICHKEITEN= 31
FÜR 2 SPIELE: 9
MÖGLICHKEITEN= 3 X 3 = 32
FÜR 3 SPIELE: 27
MÖGLICHKEITEN= 3 X 3 X 3 = 33
DEMNACH MÜSSTEN WIR FÜR 15 SPIELE ... 3 X 3 X 3 …
(15 MAL) = 315 MÖGLICHKEITEN HABEN.
UNSER SUPERTOLLE MÜSSTE ALSO ALLE DIAGRAMME ZEICHNEN, DAMIT WIR WISSEN
WIE DIE SPIELE AUSGEHEN, WENN WIR 15 SPIELE FESTSETZEN:
5 FIXE, 6 MIT EINEM DOPPELRESULTAT, UND 4 MIT EINEM DREIFACHEN RESULTAT.
DIE LÖSUNG WÄRE DEMNACH:
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 = 15 x 26 x 34
TROTZDEM HAT DER,
DER DIE RICHTIGEN
ERGEBNISSE ERRÄT,
EIN RIESENGLÜCK.
WÄHREND IHR ALLE GEPLAUDERT HABT,
HABE ICH DIE ANTENNE
FREIGESCHAUFELT. SIE WAR VÖLLIG
MIT SCHNEE BEDECKT! SCHREIBT LIEBER
GLEICH DIE ERGEBNISSE AUF, BEVOR ES
WIEDER ZU SCHNEIEN BEGINNT!
19
KAPITEL 3
BLAISE PASCAL
Französischer Wissenschaftler (1623-1662)
Wahrscheinlich einer der wichtigsten Pioniere der
Wahrscheinlichkeitstheorie und der kombinatorischen Formeln.
Beeindruckend ist seine wissenschaftlich-briefliche Beziehung mit Fermat.
Kapitel 3 - BLAISE PASCAL
WIE GEHT’S, BINOMI?
EIGENTLICH KÖNNTEN WIR
UNSERE EXPERIMENTE MIT DEN
WÜRFELN FORTFÜHREN...
ICH HABE NOCH IMMER
MUSKELKATER VOM
WOCHENENDE... DESHALB
WERDE ICH IN DER PAUSE
NICHT BASKETBALL SPIELEN.
HEUTE WIRD OHNEHIN NICHT
BASKETBALL GESPIELT, DENN
SIE WERDEN DEN PLATZ ZUM
KUNSTEISLAUF VERWENDEN.
AH, DA KOMMEN AUCH SCHON UNSERE
FREUNDE. VIELLEICHT KÖNNEN SIE UNS
HELFEN.
ICH HABE ZWAR NUR EINEN
WÜRFEL, DOCH WIR
KÖNNEN’S JA PROBIEREN.
Experimente:
WÜRFEL NUN ZWEI MAL UND SCHREIB DANN DIE RESULTATE IN
ZWEIERGRUPPEN AUF. MAL SEHEN WAS PASSIERT...
WISST IHR, DASS
MAN DIESES
DIAGRAMM
„ERGEBNISRAUM”
NENNT? VON NUN
AN WERDEN WIR ES
AUCH SO NENNEN.
ES HÖRT SICH VIEL
TECHNISCHER AN.
21
Kapitel 3 - BLAISE PASCAL
HALLO IHR ALLE! WIE INTERESSANT! WAS WÄRE, WENN WIR DAS GANZE
NOCH KOMPLIZIERTER MACHEN? WAS WÄRE WENN WIR NUR DIE SUMME
DER AUGENZAHLEN DER BEIDEN WÜRFE GELTEN LASSEN?
Experimente:
DAS GEFÄLLT MIR GAR NICHT.
IRGENDWAS KOMMT MIR
KOMISCH VOR.
DU HAST RECHT, WENN WIR AUF „AUF 7 SUMMIEREN“
SETZEN UND DEM SUPERTOLLEN LASSEN WIR „AUF 12
SUMMIEREN“, WIRD ER SICH SCHÖN BLAMIEREN!
GESAMTANZAHL
JA, JA, ES STIMMT,
WAHRSCHEINLICHER IST
ES, DASS DIE AUGENZAHL
BEIDER WÜRFE 7 ERGEBEN
ALS 11 ODER 12. BERECHNEN
WIR DAS GANZE. UND
DAS WIRD UNS LEICHTER
FALLEN, WENN WIR DAS
DIAGRAMM BETRACHTEN.
22
DER
WAHRSCHEINLICHKEIT
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
MÖGLICHKEITEN: 6 x 6 = 36
DER
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
SUMME
“2” ........=
“3” ........=
“4” ........=
“5” ........=
“6” ........=
“7” ........=
“8” ........=
“9” ........=
“10” ........=
“11” ........=
“12” ........=
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Kapitel 3 - BLAISE PASCAL
MIT RECHT KAM MIR
IRGENDWAS KOMISCH VOR.
WIR HABEN 6 GELEGENHEITEN
ZU GEWINNEN, UNSER
SUPERTOLLER NUR 1.
GAUßI, KÖNNTEST DU NICHT ETWAS
ERFINDEN, DAMIT WIR ALLE
SPIELEN KÖNNEN? DASS SICH
JEDER EINE BELIEBIGE SUMME
AUSSUCHEN KANN UND ES NUR VOM
GLÜCK ABHÄNGT, OB MAN GEWINNT
ODER NICHT, UND NICHT VON
JEDER MENGE MATHEMATISCHER
BERECHNUNGEN?
ES KANN SEIN. WENN WIR JEDER
SUMME EINEN BESTIMMTEN PREIS
ZUORDNEN, KÖNNTEN WIR MEINER
MEINUNG NACH DAS SPIEL INS
GLEICHGEWICHT BRINGEN. ABER
ICH WERDE GRAPHIS’ HILFE
BENÖTIGEN UM EINIGE
PREISTABELLEN DARZUSTELLEN.
GRAPHI! KÖNNTEST DU
KOMMEN UND UNS HELFEN?
ABER KLAR! BIN SCHON
UNTERWEGS!
Experimente:
WIR WISSEN JA BEREITS, DASS DIE
WAHRSCHEINLICHKEITEN PROPORTIONAL AUF 1, 2, 3, 4, 5,
UND 6 SIND, RICHTIG? SOMIT MÜSSTEN SICH DIE PREISE
GENAU GEGENTEILIG VERHALTEN.
UNGLAUBLICH! WIE MACHST
DU ES BLOß? WO HAST DU
DENN NUR DIE TOLLE
TABELLE HER?
GEFÄLLT SIE DIR?
HIER HAST DU SIE...
STELLEN WIR DAS GANZE
KLAR. WENN ICH DIE
SUMME „7“ ALS RESULTAT
WÄHLE, HABE ICH 6
MÖGLICHKEITEN MEHR ZU
GEWINNEN ALS EINER DER
DIE SUMME „12“ WÄHLT.
DAMIT MÜSSTE MEIN PREIS
UMGEKEHRT PROPORTIONAL
SEIN ZU SEINEM. DAS IST
NUR RECHT UND BILLIG!
GENAU.
23
Kapitel 3 - BLAISE PASCAL
Experimente
MAL SEHEN, OB ICH ES
VERSTANDEN HABE... MIR
IST WICHTIG, DASS DAS
ERGEBNIS DES SPIELS NUR
VOM GLÜCK ABHÄNGT, WIE
AUCH MEIN NAME SCHON
SAGT.... ALSO WERDE ICH
EINE LISTE AUFSTELLEN:
DAS STIMMT ABER NICHT MIT
DEINER TABELLE ÜBEREIN!
HALT, HALT! DIE
PREISE SIND:
Wahrscheinlichkeit eine “2” zu würfeln =
Wahrscheinlichkeit eine “3” zu würfeln =
Wahrscheinlichkeit eine “4” zu würfeln =
Wahrscheinlichkeit eine “5” zu würfeln =
Wahrscheinlichkeit eine “6” zu würfeln =
Wahrscheinlichkeit eine “7” zu würfeln =
Wahrscheinlichkeit eine “8” zu würfeln =
Wahrscheinlichkeit eine “9” zu würfeln =
Wahrscheinlichkeit eine “10” zu würfeln =
Wahrscheinlichkeit eine “11” zu würfeln =
Wahrscheinlichkeit eine “12” zu würfeln =
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Preis =
Preis =
Preis =
Preis =
Preis =
Preis =
Preis =
Preis =
Preis =
Preis =
Preis =
36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
...
UND ES IST VOR ALLEM DER
WERT 36 … DER ALLES STÖRT!
5
36 36 36 36 36
36
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 WÜRDEN DAS
SPIEL AUSGLEICHEN. JEDOCH
ERSCHEINEN MIR DIE ZAHLEN NICHT
UNBEDINGT GEEIGNET, DA ES SICH
UM ZAHLEN MIT DEZIMALSTELLEN
HANDELT...
24
DESHALB MÜSSEN WIR DIVISIONEN FINDEN, DIE GANZE ZAHLEN
ERGEBEN. JETZT HABEN WIR: 36, 18, 12, 9, 36
UND 6. WENN WIR ABER
5
ALLE MIT 5 MULTIPLIZIEREN, DANN ERGEBEN SICH NUR GANZE ZAHLEN:
180, 90, 60, 45, 36 AND 30.
DOCH DAS ERGIBT NICHT
DAS GLEICHE RESULTAT...
Kapitel 3 - BLAISE PASCAL
HABT DOCH ETWAS GEDULD.... DAMIT
WIR MIT KLEINEREN NUMMERN SPIELEN KÖNNEN, HABE ICH DIE PREISE
DURCH 3 DIVIDIERT. WAS HÄLT IHR
DAVON? DIE RESULTATE WÄREN DANN:
60, 30, 20, 15, 12 UND 10.
WIE IHR SEHT, SIND DIE ZAHLEN KORREKT,
SOLANGE WIR DIE PROPORTIONEN
EINHALTEN. DER SUPERTOLLE WIRD DIES
FÜR UNS NACHPRÜFEN.
WIR SPIELEN ALLE EIN PAAR RUNDEN,
ZUERST OHNE DIE PREISE AUSZUGLEICHEN.
SEHR GUT! MACHEN WIR WEITER!
NATÜRLICH! UND DAMIT WIR DIE RESULTATE
DES EXPERIMENTS VERGLEICHEN KÖNNEN,
SCHLAGE ICH VOR JE 50 MAL, ALSO AUF
BEIDE ARTEN, ZU WÜRFELN.
ICH WÄHLE DIE SUMME “12”.
AUF DIESE WEISE BEWEISE
ICH, DASS MAN MIT DIESER
ZAHL FAST ALLE SPIELE
VERLIERT.
SEI NICHT SO UNGEDULDIG, DENN NACHHER SPIELEN WIR
DIE AUSGEGLICHENE VERSION MIT DEN PREISEN LAUT
DER TABELLE, DIE GAUßI ZUSAMMENGESTELLT HAT. DANN
WERDEN WIR JA SEHEN, WER AM MEISTEN GLÜCK HAT!
WAS HAST DU DENN VOR?
NICHT SO HOCH!
25
KAPITEL 4
ADOLPHE QUÉTELET
Belgischer Statistiker und Astronom (1796 – 1874).
Aufgrund seiner Entdeckung der Normalverteilung ist er
besonders erwähnenswert.
Kapitel 4 - ADOLPHE QUÉTELET
HÖRT MAL HER! ICH HABE MIR VIER
INTERESSANTE AUFGABEN ÜBERLEGT,
DIE FÜR UNSERE UNTERSUCHUNGEN
NÜTZLICH SEIN KÖNNTEN.
ANTWORTET MIR. WAS IST GRÖßER?
EIN HALBER METER ZUM QUADRAT
ODER DIE HÄLFTE EINES METERS ZUM
QUADRAT?
WIR MÜSSEN DIE KONZEPTE
AUFMERKSAM DURCHDENKEN,
UM UNS NICHT FURCHTBAR
ZU IRREN.
SIE SIND GLEICH GROß.
DAS BEZWEIFLE ICH.
ZEICHNEN WIR BEIDE AUF,
DENN SO WERDEN WIR ES
BESSER SEHEN.
Die Hälfte von m2
UFF! JETZT WEIL ICH ES SEHE,
GLAUBE ICH ES AUCH. DIE HÄLFTE
EINES METERS ZUM QUADRAT IST
DAS DOPPELTE EINES HALBEN
METERS ZUM QUADRAT.
1
2
m zum Quadrat
JA, ES IST WAHR, WIR MÜSSEN UNS DIE
ANGABEN WIRKLICH AUFMERKSAM ANSEHEN...
WEIL WIR ES JA MIT VERSCHIEDENEN
FRAGESTELLUNGEN ZU TUN HABEN...
…VORGESTERN, ALS ICH DIE STRAßE ENTLANG GING, WURDE MIR
FOLGENDE AUFGABE GESTELLT: DAS PRODUKT DER JAHRE VON 4
GESCHWISTERN IST 36, UND DIE SUMME IST EINE NUMMER DER
ANDEREN STRAßENSEITE. WIE ALT SIND DIE GESCHWISTER?
HMM! ES FEHLT EINE
INFORMATION.
HM! FAST VERGESSE ICH’S! SIE
SAGTEN MIR AUCH NOCH, DASS DIE
ÄLTERE SCHWESTER
IHRE GRUNDSCHULJAHRE SEHR GUT
ABSCHLIEßT.
27
Kapitel 4 - ADOLPHE QUÉTELET
WIR WERDEN GLEICH WIE IN DEN
VORIGEN SPIELEN VORGEHEN. WIR
MÜSSEN DIE PROBLEMSTELLUNGEN
GENAU DEFINIEREN, DENN
ANSONSTEN KÖNNTEN WIR UNS
SEHR LEICHT IRREN!
SO IST’S BESSER. HABT
IHR GESEHEN WIE WICHTIG
ES IST, DIE DATEN GENAU ZU
BESTIMMEN, UM AUF DIESE
WEISE EIN PROBLEM ZU LÖSEN?
STELLEN WIR UNS ZUM BEISPIEL DIE
KLASSIFIKATIONEN DER FUßBALLTEAMS VOR. WIR
WISSEN ALLE, DASS EIN GEWONNENES SPIEL 3
PUNKTE ERGIBT, EIN UNENTSCHIEDEN 1 PUNKT, UND
EIN VERLORENES SPIEL 0 PUNKTE MACHT.
Experimente:
LASST UNS ALSO
EINE ÄHNLICHE AUFSTELLUNG
MIT DER GLEICHEN
ANZAHL GEWONNENER,
UNENTSCHIEDENER UND
VERLORENER SPIELE ERSTELLEN.
NUR DASS DIE GEWONNENEN
SPIELE JETZT 1 PUNKT ERHALTEN,
DIE UNENTSCHIEDENEN 0 UND
DIE VERLORENEN –1. DAS WÜRDE
DANN SO AUSSEHEN:
J G
E
P
GF
GC
P
23 13
4
6
42
30
43
13
-6
7
2.Saragossa
23 10
9
4
40
24
39
10
-4
6
3.Barcelona
23
11
5
7
43
29
38
11
-7
5
4.Celta
23
11
5
10
31
29
35
11 -10
1
5.Alabés
23 10
5
8
26
25
35
10
-8
2
6.Ath.Bilbao
23
9
8
6
34
34
35
9
-6
3
7.València
23
9
6
8
32
25
33
9
-8
1
8.Reial Madrid
22
8
9
5
38
37
33
8
-5
3
9.Rayo Vallecano
23 10
3
10
32
32
33
10 -10
0
1.Deprtivo
10.REIAL MALLORCA 23
9
5
9
31
31
32
9
-9
0
11.Numància
23
8
7
8
32
36
31
8
-8
0
12.Màlaga
23
7
8
8
33
32
29
7
-8
-1
13.At.Madrid
23
8
5
10
36
37
29
8
-10
-2
14.Espanyol
23
7
7
9
33
34
28
7
-9
-2
15.Valladolid
22
7
7
8
22
25
28
7
-8
-1
16.Betis
23
8
3
12
21
37
27
8
-12
-4
17.Racing
23
6
8
9
35
34
26
6
-9
-3
18.Reial Societat
23
5
10
8
25
29
25
5
-8
-3
19.Reial Oviedo
23
6
7
10
24
38
25
6
-10
-4
20.Sevilla
23
4
8
11
24
36
20
4
-11
-7
AKTUELLE KLASSIFIKATION
28
G P GESAMT
VORSCHLAG
Kapitel 4 - ADOLPHE QUÉTELET
DAS GANZE VERÄNDERT
SICH GANZ SCHÖN, OBWOHL
WIR DIE GLEICHEN DATEN
VERWENDEN...
WIR SEHEN ALSO,
DASS SICH DIE
RANGORDNUNG MIT DEM
NEUEN PUNKTSYSTEM
GRUNDLEGEND
VERÄNDERT HAT!
NICHT’S LEICHTER ALS DAS! DIE
GLEICHEN RESULTATE ORDNEN WIR
DURCH EINE AUSLOSUNG.
SODANN WÜRDEN WIR DIE TEAMS
MIT DER GLEICHEN PUNKTEANZAHL MIT
EINER FORTLAUFENDEN ZAHL
VERSEHEN. ANSCHLIEßEND GÄBEN WIR
NUMMERIERTE KUGELN, SO VIELE WIE
NÖTIG SIND NATÜRLICH, IN EINE
TROMMEL UND WÜRDEN MIT DER
AUSLOSUNG BEGINNEN.
ÜBER UNSER SCHEMA KANN MAN
DISKUTIEREN, ABER ES WÄRE
GÜLTIG, WENN WIR EINIGE
PROBLEMCHEN WIE DIE
ANORDNUNG DER GLEICHEN
ERGEBNISSE LÖSEN WÜRDEN...
EINVERSTANDEN, OBWOHL
ICH GLAUBE, DASS DIES
NICHT GERADE BEGEISTERN
WIRD.
ABER ES WÄRE EINE KORREKTE
MATHEMATISCHE LÖSUNG.
ES HANDELT SICH UM EINE
BESTIMMTE ORDNUNGSART
MIT NUR EINER MÖGLICHEN
INTERPRETATION.
HM! ICH GLAUBE WIR
BEGINNEN EINE TABELLE
MIT ZUFALLSVARIABLEN
ZU ERFINDEN.
HEY! UNSER SUPERTOLLER
HAT BEREITS DIE AUFGABE
MIT DEN GESCHWISTERN
GELÖST UND KOMMT AUF
DAS GLEICHE ERGEBNIS
WIE ICH...
WIR WERDEN ES DEM
SUPERTOLLEN ÜBERLASSEN DAS
GANZE MIT DEN ERGEBNISSEN DER
KLASSIFIKATION DER LETZTEN
WOCHE ZU ÜBERPRÜFEN.
IN SACHEN STATISTIK MÜSSTEN
WIR BEACHTEN, DASS, JE NACHDEM
WELCHE REGELN WIR AUFSTELLEN, DIE
RESULTATE SEHR ABWEICHEND AUSFALLEN
KÖNNEN, OBWOHL MAN DIE GLEICHEN
AUSGANGSDATEN VERWENDET.
29
Kapitel 4 - ADOLPHE QUÉTELET
WIE LAUTET DIE LÖSUNG?
DIE GESCHWISTER
SIND 9, 2, 2 UND 1
JAHR ALT.
UND WIE BIST
DU DARAUF
GEKOMMEN?
ES GAB ALSO DOCH JEDE
MENGE ANGABEN. UND ICH
DACHTE, DASS VIELE
INFORMATIONEN NICHTS
MIT DER AUFGABE ZU TUN
HÄTTEN!
LASS UNS ALLE MÖGLICHKEITEN
ANSCHAUEN UND WENDEN WIR
DANN DIE BEDINGUNGEN AN. (IST
EUCH BURSCHEN AUFGEFALLEN
WELCH „WICHTIGE WÖRTER“ ICH
VERWENDE?) ICH GLAUBE ICH
HABE DAS PROBLEM RECHT GUT
GELÖST. WAS FÜR EINE GROßE
KLEINE ERFINDUNG IST DAS
PAPIER IN VERBINDUNG MIT DER
KAPAZITÄT DES NACHDENKENS,
DEN EIFER EINE LÖSUNG ZU
FINDEN UND DAS AUFMERKSAME
UND AUSFÜHRLICHE STUDIUM!
DAS PRODUKT MUSS 36 ERGEBEN. DIE
SUMME MUSS EINE GERADE ZAHL SEIN,
WEIL SIE DIR DIE AUFGABE AUF DEM
GEHSTEIG MIT DEN UNGERADEN
HAUSNUMMERN GESTELLT HABEN. ES GIBT
EINE ÄLTERE SCHWESTER, DIE ENTWEDER
8, 9, 10 ODER 11 JAHRE ALT IST, DENN SIE
IST IN DER GRUNDSCHULE UND HAT
BEREITS MEHRERE SCHULJAHRE
ERFOLGREICH ABGESCHLOSSEN.
Alter der
Geschwister
Mehrere
gerade
Grundschuljahre Summe
36 1 1 1
18 2 1 1
12 3 1 1
9 4 1 1
x
9 2 2 1
x
x
6 6 1 1
6 3 2 1
4 3 3 1
3 3 2 2
UND NUN EIN ANDERES
RIESENPROBLEM: „EINE FAMILIE
HAT 4 KINDER: PRAXEDES, 10 JAHRE
ALT, AMOR, 8 JAHRE ALT,
MONSERRAT, 5 JAHRE ALT, UND
REYES, 2 JAHRE ALT. WELCHE DER
KINDER SIND MÄDCHEN, UND
WELCHE JUNGS?
DAS HABE ICH ZUERST AUCH
GEGLAUBT. DANN HAT SICH
JEDOCH HERAUSGESTELLT,
DASS ALLE VIER NAMEN FÜR
BURSCHEN ALS AUCH FÜR
MÄDCHEN VERWENDET WERDEN.
30
ANSCHEINEND ENTSCHEIDEN SICH
DIE ELTERN FÜR EINEN NEUTRALEN
NAMEN UND SCHAUEN SICH ERST
SPÄTER DAS ULTRASCHALLBILD AN.
AUF DIESE WEISE WÄHLEN SIE
NAMEN, DIE GLEICHERMAßEN FÜR
MÄDCHEN UND FÜR KNABEN PASSEN.
ABER DAS IST DOCH GANZ
EINFACH. WIR MÜSSEN NUR
SCHAUEN OB DIE NAMEN
MÄNNLICH ODER WEIBLICH SIND...
DANN KÖNNEN WIR
DIE ANTWORT
NUR DURCH
WAHRSCHEINLICHKEITEN FINDEN.
Kapitel 4 - ADOLPHE QUÉTELET
DAS WITZIGE DER GANZEN GESCHICHTE IST, DASS,
ALS ICH DEM MATHEMATIKLEHRER DIE AUFGABE
STELLE, DIESER ANTWORTET, DASS ER IN KLASSE
GERADE DAS THEMA ERKLÄRT, NÄMLICH DIE
BINOMPOTENZEN, DIE ZUR LÖSUNG DIESES
PROBLEMS NÖTIG SIND.
Experimente:
VERSUCHEN WIR DIE AUFGABE GENAU
WIE DIE ANDEREN EXPERIMENTE ZU
LÖSEN, ANSCHLIEßEND SCHAUEN WIR
UNS DIE BINOMPOTENZEN GENAUER AN.
HOFFENTLICH ERHÄLT 55 GUTE NOTEN
IN DER SCHULE, DAMIT SIE ÖFTER MIT
UNS ZUSAMMEN SEIN KANN. NUR WENN
SIE LUST HAT, NATÜRLICH.
MANCHMAL IST ES JA BEREITS SCHWER
BINOMI ALLEIN ZU ERTRAGEN, ICH MAG
GAR NICHT DARAN DENKEN, WIE ES SEIN
WIRD IN HOCH DREI AUSZUHALTEN!
DAS HEIßT KUBIK.
LASST UNS EINE TABELLE ERSTELLEN. IN SACHEN
STATISTIK SIND TABELLEN DAS TÄGLICHE BROT.
MÖGLICHE FÄLLE
PRAXEDES
AMOR
MONSERRAT
REYES
10
8
5
2
?
?
?
?
WIE WEIßT DU DENN, DASS ES
16 MÖGLICHKEITEN GIBT?
M M M M M M M M WWW WW WW
M M M MWWWW M M M M W WW
M M WWM M WW M M W W M WW
M WM WMW M W MW M WW M W
DAS WEIß ICH DESHALB, WEIL DAS ERSTE
KIND 2 MÖGLICHKEITEN HAT. DIESE 2 SIND
MIT DEN 2 OPTIONEN DES ZWEITEN ZU KOMBINIEREN, DAS ERGIBT BEREITS 4. DIESE 4
MÖGLICHKEITEN SIND MIT DEN 2 DES DRITTEN ZU KOMBINIEREN, ALSO SIND ES 8. UND
DIESE WIEDERUM SIND MIT DEN 2 OPTIONEN
DES VIERTEN ZU KOMBINIEREN, DAS ERGIBT
SODANN 16 MÖGLICHKEITEN.
2 X 2 X 2 X 2 = 24 = 16
ERINNERE DICH AN UNSERE ERFAHRUNGEN
MIT DEN KÖPFEN UND ZAHLEN DER MÜNZEN!
31
Kapitel 4 - ADOLPHE QUÉTELET
Experimente:
WENN WIR DIE TABELLE
ANSEHEN, SCHAUT DAS
GANZE SO AUS:
A. 1 MÖGLICHKEIT UNTER 16
B. 4 MÖGLICHKEITEN UNTER 16
C. 6 MÖGLICHKEITEN UNTER 16
D. 4 MÖGLICHKEITEN UNTER 16
E. 1 MÖGLICHKEIT UNTER 16
4 KNABEN
3 KNABEN UND 1 MÄDCHEN
2 KNABEN UND 2 MÄDCHEN
1 KNABE UND 3 MÄDCHEN
4 MÄDCHEN
WIR MACHEN DAS GLEICHE WIE IN UNSEREN ANDEREN SPIELEN.
WIR MÜSSEN DIE AUFGABEN GUT DEFINIEREN, DENN ANSONSTEN
KÖNNTEN WIR UNS LEICHT IRREN.
ALSO ICH WÜRDE SAGEN, ES SIND ZWEI BURSCHEN
UND ZWEI MÄDCHEN, DENN AUF DIESE WEISE HABE
ICH MEHR MÖGLICHKEITEN ZU GEWINNEN.
ICH BIN GERADE AM ÜBERLEGEN, ICH GLAUBE DAS GÄBE
SEHR INTERESSANTE DIAGRAMME...
6
/
16
5
/
16
4
/
16
3
/
16
2
/
16
1
/
16
32
ZU SEIN
ZU SEIN
ZU SEIN
ZU SEIN
ZU SEIN
Kapitel 4 - ADOLPHE QUÉTELET
HUI! DIESES DIAGRAMM ERINNERT MICH
AN EIN ANDERES, DAS ICH IN EINEM BUCH
GESEHEN HABE: ES NENNT SICH
„BINOMINALVERTEILUNGSDIAGRAMM“.
ICH GLAUBE ICH BIN AUF DEN AUSGANGSPUNKT DER SACHE MIT DEN
BINOMPOTENZEN, DIE VORHIN 55 ERWÄHNT HAT, GESTOßEN! ICH
WERDE MICH DAMIT ETWAS NÄHER BESCHÄFTIGEN, OBWOHL ICH
AUCH DER MEINUNG BIN, DASS WIR SPÄTER AUCH NOCH UNSERE
ERFAHRUNGEN MIT DIAGRAMMEN VERTIEFEN SOLLTEN!
WO GEHST DU
DENN HIN?
UND ICH WEIß AUCH SCHON, WER ZU DIESEM THEMA BIS
ZUM UMFALLEN ARBEITEN MUSS. DA ICH MICH MORGEN
AUSSCHLAFEN KANN, WERDE ICH MICH WOHL HEUTE
NACHT MIT BINOMPOTENZEN UND SEINER BEZIEHUNG ZU
DEN WAHRSCHEINLICHKEITSAUFGABEN RUMSCHLAGEN.
HE! WARTE DOCH
AUF UNS!
33
KAPITEL 5
JAKOB BERNOUILLI
Französischer Mathematiker (1601-1665)
Stammt einer Familie großer Wissenschaftler ab (Jakob, Daniel, Nicolas)
Einiger seiner wichtigsten Werke sind Die Kunst der Vorhersage
(hinterlassen) und Das Gesetz der großen Zahlen.
Kapitel 5 - JAKOB BERNOIULLI
WAS FÜR EIN KOMISCHES LAND
FÜR EINEN KLASSENAUSFLUG!
EINS STEHT FEST: WIR SIND
NICHT IN HANOI IN ASIEN!
HANOI!
ENDLICH!
WER HAT ES DENN IN KLASSE VORGESCHLAGEN?
HATTEN WIR NICHT DAVON GEREDET IN EINEN
VERGNÜGUNGSPARK ZU GEHEN?
WAS IST DENN DAS FÜR EIN LAND?
NEIN, IN HANOI DER
PROVINZ TARTAGLIA
IM LAND DES
MITTELWERTS.
ES IST DAS LAND DER
WAHRSCHEINLICHKEITEN.
UND WAS SCHAUEN
WIR UNS HIER AN?
KENNT IHR DEN
TURM VON HANOI?
WIE AUFREGEND! GEHEN WIR
HIN! ES HANDELT SICH ALSO UM
EINEN VERGNÜGUNGSPARK?
JA, UM ETWAS
ÄHNLICHES. ICH GLAUBE
WIR HABEN IHN GENAU
VOR UNS.
35
Kapitel 5 - JAKOB BERNOUILLI
NOCH DAZU HANDELT ES SICH NICHT NUR
UM EINE MATHEMATISCHE KONSTRUKTION,
SONDERN AUCH UM EIN SPIEL.
UND WIE
SPIELT MAN ES?
ALSO GUT. WIR SPIELTEN ES LETZTES JAHR. WIR STELLTEN 3 STÄBE AUF, IN DIE WIR VERSCHIEDEN GROßE
SCHEIBEN MIT EINEM LOCH IN DER MITTE AUFSPIEßTEN. DAS SPIEL BESTEHT NUN DARIN, ALLE SCHEIBEN
EINES STABES AUF EINEN DER ZWEI ANDEREN ZU WERFEN, UND ZWAR UNTER FOLGENDEN BEDINGUNGEN:
1. ES DARF NUR JEWEILS EINE SCHEIBE GEWORFEN WERDEN.
2. EINE GROßE SCHEIBE DARF NIE AUF EINER KLEINEN ZU LIEGEN
KOMMEN. AUF DIESE WEISE KÖNNEN WIR FESTSTELLEN, DASS MAN MIT
3 SCHEIBEN 7 BEWEGUNGEN AUSFÜHREN MUSS.
DAS HEIßT ALSO DANN, 23 - 1 = 8 - 1 = 7
MIT 5 BEWEGUNGEN WÄREN NÖTIG: 25 - 1 = 32 - 1 = 31
MIT 6 BEWEGUNGEN WÄREN NÖTIG: 26 - 1 = 64 - 1 = 63
JA, JA, IST SCHON GUT. MIT „N”
SCHEIBEN, SIND 2n - 1 BEWEGUNGEN
NOTWENDIG.
MENSCH GAUßI! ICH WETTE DU WEIßT
INZWISCHEN SCHON ALLES ÜBER BINOME.
36
LASST UNS EIN SPIEL AUFBAUEN UND BEGINNEN
WIR MIT NUR WENIGEN SCHEIBEN. WENN WIR
NÄMLICH MIT ZU VIELEN SCHEIBEN SPIELEN,
WERDEN WIR ALT DABEI.
EIN BISSCHEN ETWAS, JA,
GLAUBE ICH… WIE WIR
ALLE WISSEN, IST EIN
BINOM DIE ALGEBRAISCHE
SUMME ZWEIER MONOME.
DA WÄREN WIR
SCHON WIEDER…
Kapitel 5 - JAKOB BERNOUILLI
Experimente:
ANDERS AUSGEDRÜCKT: ES IST DIE SUMME ZWEIER ZAHLEN. DER EINFACHSTE FALL
WÄRE (A + B). DA WIR ES JA JETZT MIT BINOMPOTENZEN ZU TUN HABEN, MÜSSEN
WIR WIE FOLGT RECHNEN:
(a + b) X (a + b) = (a + b)2
(a + b) X (a + b) X (a + b) = (a + b)3
ABER WIE MAN MULTIPLIZIERT, DAS HABEN WIR JA BEREITS IN KLASSE GESEHEN.
WIR KÖNNTEN JEDOCH EINIGE SKIZZEN VORBEREITEN, UM UNS DAS GANZE BESSER
VORSTELLEN ZU KÖNNEN. WEIßT DU WIE MAN DAS AM BESTEN DARSTELLT, GRAPHI?
(a + b)2
b
ab
a
a
2
a
b
b
2
ab
b
a
a
b
b
b
a
a
a
a
b
b
IM ERSTEN FALL HABE ICH EIN QUADRAT MIT DER SEITENLÄNGE (A +
B) GENOMMEN. AUF DIESE WEISE WIRD EINE SEITE ZUM QUADRAT
ERHOBEN, DAS IST = (a + b)2.
MAN SIEHT, DASS DAS ERGEBNIS FOLGENDES IST:
a2 + a X b + a X b + b2 = a2 + 2ab + b2
UM DIE SEITE HOCH DREI ZU NEHMEN, HABEN WIR EINEN HEXAEDER
ODER SECHSFLÄCHNER GEZEICHNET...
WIE BITTE?
EINEN WÜRFEL MIT DER SEITENLÄNGE A + B, DER
AUFGEGLIEDERT FOLGENDERMAßEN AUSSCHAUT: 2
WÜRFEL a3 UND b3, PARALLELEPIPEDONS A X A X B,
UND ANDERE 3 SCHIEFE QUADER A X B X B.
WEIL JEDOCH 3 DIMENSIONEN SCHWERER ZU
ZEICHNEN SIND, HABE ICH DAS GANZE AUCH
IN ZWEI DIMENSIONEN DARGESTELLT:
ICH HABE EIN RECHTECK GENOMMEN,
EINE SEITE IST A + B, UND DIE ANDERE
(a + b)2, AUF DAS ERGEBNIS SIND WIR
VORHIN GEKOMMEN...
LANGSAM, LANGSAM, ICH
BIN NOCH IMMER BEIM
„PARALLELEPIPEDON“…
37
Kapitel 5 - JAKOB BERNOUILLI
Experimente:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3a2b + b3
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b
a
ab
a
b
2
2
ab
2
2ab
3
2a b
a
a
a
2
a
2
b b
b
axb
2ab
2
2
ab
b
2
3
ICH ZEICHNE EUCH DIE GLEICHEN
DARSTELLUNGEN AUF KARIERTEM PAPIER MIT
FOLGENDEN GRÖßEN:
(a+b) = (3+2) = 5.
AUF DIESE WEISE KÖNNEN WIR EINHEIT PRO
EINHEIT ZÄHLEN.
2
a
a
b
a
9
6
a=3
a
b
6
4
b=2
ab
a2 = 9
2ab= 12
b2 = 4
(2 + 3)2 = 52 = 5 x 5
= 25
AH, ICH VERSTEHE.
DAS SCHAUT SCHON
GANZ ANDERS AUS.
38
=9
3
2
2ab=12
2
2a b
2ab
2
b =4
2
ab
2
a3 =
3a2b =
3ab2 =
b3 =
(2 + 3)3 = 53 = 5 x 5 x 5
=
b
3
27
54
36
8
125
DANN LASST UNS GLEICH (a + b)4, ZEICHNEN. DAS WÄRE
ALSO EIN QUADRAT MIT DER SEITENLÄNGE (a + b)2.
Kapitel 5 - JAKOB BERNOUILLI
Experimente:
2
2ab
4
2a b
ab
3
4a b
2
2ab
a
2
3
a
a
2ab
2a b
b
2
2
2
a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
b
2
2
ab
2
2ab
2
3
b
3
4
ICH GLAUBE ICH HABE EINE NEUE ENTDECKUNG GEMACHT...
LASS MICH MAL SEHEN... NACH DEINER LETZTEN
ZEICHNUNG, ERGIBT (a + b)4 = (a4 + 4a3b + 6 a2b3 + b4),
DAS MAN AUCH AUF DIESE WEISE SCHREIBEN KANN:
(aaaa + 4aaab + 6aabb + 4abbb + bbbb)
GUT, UND WAS
JETZT?
SEI NICHT SO UNGEDULDIG, DU WIRST ES GLEICH SEHEN. WENN WIR
UNS DAS ERGEBNIS DER 4 JUNGS ODER MÄDCHEN IN ERINNERUNG
RUFEN, HATTEN WIR:
1 MÖGLICHKEIT FÜR DEN FALL MMMM (4 KNABEN)
4 MÖGLICHKEITEN FÜR DEN FALL MMMW (3 KNABEN UND 1 MÄDCHEN)
6 MÖGLICHKEITEN FÜR DEN FALL MMWW (2 KNABEN UND 2 MÄDCHEN)
4 MÖGLICHKEITEN FÜR DEN FALL MWWW (1 JUNGE UND 3 MÄDCHEN)
1 MÖGLICHKEIT FÜR DEN FALL WWWW (4 MÄDCHEN)
EKA!
DIE KOEFFIZIENTEN STIMMEN ÜBEREIN! UND DAS
ERGEBNIS ZEIGT MIR DIE VERTEILUNG AUF
JUNGE/MÄDCHEN, KOPF/ZAHL, ERFOLG/MISSERFOLG...
HEUR
39
Kapitel 5 - JAKOB BERNOUILLI
ABER WAS IST, WENN ICH DIE
WAHRSCHEINLICHKEIT, DASS IN
EINER CLIQUE VON 9 FREUNDEN,
5 JUNGEN UND 4 MÄDCHEN SIND,
WISSEN MÖCHTE? MUSS ICH
DANN EINE TABELLE MIT ALL DEN
MÖGLICHKEITEN ERSTELLEN?
DAZU BRÄUCHTE ICH JA EINE
EWIGKEIT! ODER MUSS ICH EIN
KOMPLIZIERTES DIAGRAMM
ERSTELLEN UM DIE ANTWORT AUF
(a + b)9 ZU FINDEN?
ICH HABE SCHON ERWARTET, DASS DU MIR
DAS SAGEN WÜRDEST. UND BIS WIR EINE
ALLGEMEINE FORMEL FÜR DIE
BINOMPOTENZEN LERNEN, HABE ICH EINE
NUMERISCHE PYRAMIDE GEFUNDEN, DIE
LEICHT ZU ERSTELLEN IST UND UNSERE
AUFGABE LÖSEN WIRD.
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
6
10
15
21
28
36
3
1
6
5
7
8
9
3
4
1
1
4
10
20
35
56
1
5
15
35
70
1
6
21
56
1
7
1
28
84 126 126 84
8
36
1
9
1
ICH BIN MIR SICHER, DASS IHR ES BEREITS ENTDECKT HABT! JEDE ZAHL, AUßER DEN
EINSERN AM RAND DER PYRAMIDE, DIE IMMER GESCHRIEBEN WERDEN, ERHÄLT MAN
DURCH ADDITION DER BEIDEN KOEFFIZIENTEN, DIE ÜBER IHR LIEGEN.
KOEFFIZIENTEN SIND DIE
ZIFFERN, DIE BETRÄGE.
GAUßI, ICH GLAUBE ICH KANN EIN PAAR
NÜTZLICHE SCHLUSSFOLGERUNGEN ZIEHEN:
DIE AUFGABE BESTEHT DARIN, IN
EINER GRUPPE VON 9 PERSONEN,
DIE WAHRSCHEINLICHKEIT VON
MMMMMWWWW ZU BERECHNEN.
40
Kapitel 5 - JAKOB BERNOUILLI
UM DIE MÖGLICHKEITEN ZU BERECHNEN, WERDE ICH ES MIT DEM
VERGLEICHEN, WAS WIR FÜR DIE GRUPPE VON 4 GESCHWISTERN GEMACHT
HABEN. ICH BIN DARAUFGEKOMMEN, DASS FÜR NULL FRAUEN DER ERSTE
KOEFFIZIENT GÜLTIG IST; FÜR EINE FRAU, DIE ZWEITE ZAHL. WIR HABEN
AUCH GESEHEN, DASS DIE GRUPPE VON 4 PERSONEN IN DER REIHE ZU
SUCHEN WAR, DEREN ZWEITE NUMMER 4 IST (ALLE ERSTEN ZIFFERN SIND
EINE EINS). DA DIE JETZIGE GRUPPE AUS 9 PERSONEN BESTEHT, IST DAS
ERGEBNIS IN DER REIHE ZU SUCHEN, DEREN ZWEITE ZAHL EINE 9 IST.
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
UND DA ICH NUN 4 FRAUEN HABE, MUSS ICH DIE FÜNFTE ZAHL SUCHEN, DAS
HEIßT WIR HABEN 126 MÖGLICHKEITEN. UM DIE GESAMTZAHL DER FÄLLE ZU
BERECHNEN, WENDE ICH DEINE REGEL AN... UFF! FÜR 2 WÜRFE WAREN ES 22,
FÜR 3 WAREN ES 23, FÜR 4 WAREN ES 24, ALSO 16.
DEMNACH SIND ES FÜR 9 29…
55, ES SCHEINT ALS OB DU AUCH
ZUR FAMILIE DER BERNOUILLI
GEHÖREN WÜRDEST. DU HAST
BEINAHE DAS INDUKTIONSPRINZIP
BESCHRIEBEN, DOCH DARÜBER
WERDEN WIR UNS AN EINEM
ANDEREN TAG UNTERHALTEN.
LASST MICH MIT MEINEM
RECHNER DIE SUMME
BERECHNEN.... 512!
DAS BEDEUTET, DASS DIE
WAHRSCHEINLICHKEIT
126 IST.
512
ICH MUSS EUCH NOCH SAGEN, DASS MAN AUCH DIE
SUMME DER REIHE, MIT DER MAN ARBEITET, ADDIEREN
KANN, UM AUF DIESE WEISE DIE GESAMTZAHL DER
FÄLLE ZU BERECHNEN.
1 + 9 + 36 + 84 + 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1= 512
WIR LASSEN DEM SUPERTOLLEN FOLGENDE AUFGABE
LÖSEN: GEFRAGT IST DIE WAHRSCHEINLICHKEIT, DASS
IN EINER KLASSE VON 12 SCHÜLERN, 3 JUNGEN UND
DER REST DER SCHÜLER MÄDCHEN SIND.
VORAUSSETZUNG IST NATÜRLICH, DASS DIE
MÖGLICHKEITEN IN DER GLEICHEN KLASSE ZU SEIN
FÜR MÄDCHEN UND FÜR JUNGEN GLEICH IST.
41
Kapitel 5 - JAKOB BERNOUILLI
WIR HABEN DIE
WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR
MMMMMWWWW GESUCHT.
UNSERE FORMEL WÜRDE
ALSO FOLGENDERMAßEN
AUSSEHEN:
(a5 + b4) 126 a5 b4
OBWOHL WIR IN UNSEREM FALL
VORAUSGESETZT HABEN, DASS DIE
WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR
MÄDCHEN UND FÜR BURSCHEN GLEICH IST, WIRD ES FÄLLE GEBEN, IN
DENEN DAS NICHT SO IST.
DESHALB WERDEN WIR UNS EINE
ALLGEMEINE METHODE ANSEHEN,
UM EINE DERARTIGE AUFGABE ZU
LÖSEN.
WIR MACHEN FOLGENDES:
126
X
(
1 5
)
2
X
(
1 4 126
) =
512
2
DAS ERGEBNIS.
NUN WERDE ICH EIN BEISPIEL
MACHEN, IN DEM DIE
WAHRSCHEINLICHKEITEN NICHT DIE
GLEICHEN SIND.
ICH WERDE ES DIR DIKTIEREN,
UND ZWAR MIT EINER DUNKLEN,
BEEINDRUCKENDEN STIMME:
„GEFRAGT IST DIE
WAHRSCHEINLICHKEIT, MIT DER MAN,
WENN MAN INSGESAMT 9 MAL
WÜRFELT, 5 MAL EINE 3 WÜRFELT
UND IN DEN RESTLICHEN WÜRFEN
EINE ANDERE BELIEBIGE ZAHL.“
1
5 6
6
ALSO… DIE WAHRSCHEINLICHKEIT EINE 3 ZU WÜRFELN IST
DIE WAHRSCHEINLICHKEIT KEINE 3 ZU WÜRFELN IST
ERGEBNIS: 26
X
( 1 )5
6
X
( 5 )4
UND SO KOMME ICH ZUM ENDGÜLTIGEN RESULTAT:
126
X
(
1 5
)
6
X
(
5 4
1
) = 126 X (
)
6
7771
78750
= 0, 0078
10077696
X
6
ICH WÜRDE NIE IM
LEBEN EINE DERARTIGE
WETTE ABSCHLIEßEN!
DAMIT HABEN WIR WIEDER EIN
GROßES EXPERIMENT BEENDET.
JETZT IST EUCH HOFFENTLICH
AUCH KLAR WARUM WIR DIESES
LAND DER TÜRME UND
PYRAMIDEN BESUCHT HABEN.
42
ALLES RECHT UND SCHÖN, ABER LASST UNS INS HOTEL
ZURÜCKKEHREN. ICH FREUE MICH SCHON AUF EINEN
ERFRISCHENDEN SPRUNG IN DEN POOL!
(
625
)=
1296
KAPITEL 6
CHARLES DODGSON
Von seinen Anhängern als LEWIS CARROLL bekannt. Englischer
Mathematiker (1832-1898), Autor von „Alice im Wunderland” und
„Alice hinter den Spiegeln”. Seine Erzählungen haben mit der
Spieltheorie zu tun, und in einigen Fällen können seine
Geschichten als Grundlage für statistische Anwendungen
betrachtet werden.
Kapitel 6 - CHARLES DODGSON
ES IST ES WERT EINE WANDERUNG ZU
MACHEN. WAS FÜR EINE TOLLE AUSSICHT!
NOCH DAZU HATTEN WIR GLÜCK MIT DEM WETTER!
ES IST SO EIN KLARER TAG HEUTE, WIR KÖNNEN
FAST DIE GANZE INSEL SEHEN, DIE KÜSTE, DIE
STÄDTE, DIE DÖRFER UND DIE WÄLDER.
BINOMI, HAST DU EINE
LANDKARTE MITGEBRACHT, DAMIT
WIE WISSEN WELCHE STÄDTE
ODER DÖRFER WIR SEHEN?
NATÜRLICH, GERADE GESTERN HABEN SIE UNS EINE KARTE DER BALEAREN
GEGEBEN, DER DIE AUSDEHNUNGEN DER STÄDTE UND DÖRFER IN KM2 UND
DEREN EINWOHNERZAHL ANGIBT. UNSER LEHRER HAT UNS AUFGEGEBEN,
DIE BEVÖLKERUNGSDICHTE DER INSELN AUSFINDIG ZU MACHEN.
SEHR INTERESSANT. DU HAST ALSO
DIE DATEN DER AUSDEHNUNG UND
DER EINWOHNER.
ICH GLAUBE DIE ANTWORT IST EINFACH: IM
SOMMER UND AN DER KÜSTE GIBT ES SEHR VIELE
LEUTE, DOCH IM WINTER NUR SEHR WENIGE.
DAS IST JA KEIN
SCHLECHTER ANFANG!
DIE ANGELEGENHEIT GEHT MEHR ODER WENIGER IN DIESE
RICHTUNG... APROPOS, DAZU FÄLLT MIR EIN BEISPIEL EIN…
DAS DIR, RÄTSI, BESONDERS GEFALLEN WIRD, DENN ES HAT
MIT MUSIK ZU TUN. HÖR ZU, KÜRZLICH HABE ICH MIT
FREUNDEN VON MIR GESPROCHEN. SIE SIND ROCKER UND
HABEN GEMEINSAM EINE BAND MIT DEM NAMEN „QUARTIL“
GEGRÜNDET. SIE HABEN SICH EIN LOKAL GEMIETET, UM
DORT ZU ÜBEN. DOCH SIE BESCHWERTEN SICH, DASS DAS
LOKAL ZU KLEIN SEI, DENN ES HATTE 12 m2, WÄHREND EINE
ANDERE BAND EIN LOKAL MIT 25 m2 HATTE.
44
Kapitel 6 - CHARLES DODGSON
UND DA HABEN SIE
DOCH AUCH RECHT...
ICH BIN MIR NICHT SICHER,
DENN ES FEHLEN MIR EINIGE
ANGABEN.
DAS IST RICHTIG. DIE ANDERE
MUSIKGRUPPE NENNT SICH
„DEZIL“, UND BESTEHT NATÜRLICH
AUS 10 MUSIKERN.
JETZT IST DIE SACHE SCHON ETWAS KLARER. DIE ROCKER DER GRUPPE „QUARTIL“ SIND
IM IRRTUM, DENN PRO MITGLIED ENTSPRICHT IHNEN
12
= 3 M2, WÄHREND JEDEM
25 4
MUSIKER DER GRUPPE „DEZIL“ EIN ANTEIL VON
= 2,5 M2 ENTSPRICHT.
10
AUSGEZEICHNET! SO IST ES. SOMIT KÖNNEN WIR UNS SCHON MIT
DER BEVÖLKERUNGSDICHTE BESCHÄFTIGEN. DIESE ERHÄLT MAN,
WENN MAN DIE EINWOHNERZAHL EINER STADT DURCH SEINE
AUSDEHNUNG, ALSO DURCH DIE ANZAHL DER km2, DIVIDIERT.
JA, ES IST BESSER DIE AUSDEHNUNGEN IN km2, ZU BERECHNEN, WEIL m2 WÜRDE EINE
ZU KLEINE MESSEINHEIT FÜR EINE GANZE STADT SEIN.
MAL SEHEN OB ICH’S
VERSTANDEN HABE.
WENN WIR DIE GANZE SACHE ANSCHAULICH DARSTELLEN MÖCHTEN,
MÜSSTEN WIR EIN GEMEINDEGEBIET AUSSUCHEN UND DESSEN
AUSDEHNUNG IN EINEM RELATIV GROßEN MAßSTAB ZEICHNEN.
ANSCHLIEßEND MÜSSTEN WIR DAS GEBIET IN QUADRATISCHE PARZELLEN
MIT EINER SEITENLÄNGE VON 1 km2 AUFTEILEN UND DANN DIE
PERSONEN NACH UND NACH AUF DIE PARZELLEN AUFTEILEN, DAMIT SICH
AUF JEDER PARZELLE LETZTENDLICH GLEICH VIELE PERSONEN BEFINDEN.
DANN KÖNNTE ES ABER PASSIEREN,
DASS WIR DEZIMALSTELLEN
ERHALTEN, DAS HEIßT GANZE
PERSONEN UND NOCH ETWAS...
45
Kapitel 6 - CHARLES DODGSON
JA, JA, ABER WIR SPRECHEN JA VON EINEM MATHEMATISCHEN
MITTELWERT, EINER QUOTE, EINEM QUOTIENTEN, EINER
VERHÄLTNISZAHL, UND NICHT VON EINER MESSEINHEIT EINES
TISCHLERS... ICH WILL DAMIT SAGEN, DASS WIR NIEMANDEN
AUSEINANDERSCHNEIDEN MÜSSEN...
HEY, MEN! WAS FÜR „ÜBERWICHTIGE WÖRTER“
IHR DOCH VERWENDET!
DU BRAUCHST DIR ABER WIRKLICH KEINE SORGEN MACHEN,
DENN ALL DIESE WÖRTER BEDEUTEN DAS GLEICHE! SIE SIND
SEHR NÜTZLICH, WENN DU DICH NICHT WIEDERHOLEN
WILLST.
IN ANDEREN WORTEN, WIR NEHMEN DIE EINWOHNERZAHL
MEINES DORFES (DEN GANZEN GEMEINDEBEZIRK) UND
DIVIDIEREN SIE DURCH SEINE AUSDEHNUNG.
ICH BIN GERADE AM ÜBERLEGEN... GOTT SEI DANK MÜSSEN WIR
DIE BEVÖLKERUNGSDICHTE DER BALEAREN BERECHNEN, UND NICHT
DIE VON HONG KONG. DORT SIND ES JA NUR WENIGE km2 UND
WIR MÜSSTEN DESHALB DIE PERSONEN WIE PYRAMIDEN
ÜBEREINANDER STAPELN, DAMIT SIE ALLE PLATZ HÄTTEN. .
HMM…. GUT….
46
UND ES WIRD NOCH
BESSER, RÄTSI!
Kapitel 6 - CHARLES DODGSON
AUF, AUF, LASST UNS GEHEN. WIR HABEN DIE KARTE UND WIR
MÜSSEN DEN ENTSPRECHENDEN AUFKLEBER AUF JEDE STADT KLEBEN.
BEGINNEN WIR ZU RECHNEN:
DIE BEVÖLKERUNGSDICHTE DER BALEAREN:
796.483
= 158,896
5.012,6
Personen/km2
DIE BEVÖLKERUNGSDICHTE VON FORMENTERA:
5.859
83,20
= ...............
DIE BEVÖLKERUNGSDICHTE VON IBIZA:
8.444
572,6
= ...............
DIE BEVÖLKERUNGSDICHTE VON MALLORCA:
.............
= ...............
3.640
DIE BEVÖLKERUNGSDICHTE VON MENORCA:
.............
............
= 96,466
Personen/km2
47
Kapitel 6 - CHARLES DODGSON
STADT
Illes Balears
Einwohner Ausdehnung Bevölkerungsdichte
796483
5012,60
158,896 Pers./km2
Alaró
3834
45,70
Pers./km2
Alcúdia
10581
60,00
Pers./km2
Algaida
3542
89,80
Pers./km2
Andratx
8333
81,50
Pers./km2
Artà
5936
139,80
Pers./km2
503
18,10
Pers./km2
5019
29,80
Pers./km2
951
8,30
Pers./km2
4338
84,70
Pers./km2
32587
145,00
Pers./km2
Campanet
2277
34,70
Pers./km2
Campos
6944
149,70
Pers./km2
Capdepera
6752
54,90
Pers./km2
Consell
2210
13,70
Pers./km2
Costitx
849
15,40
Pers./km2
Deià
625
15,20
Pers./km2
Escorca
275
139,40
Pers./km2
Esporles
3811
35,30
Pers./km2
Estellencs
338
13,40
Pers./km2
14600
169,80
Pers./km2
580
19,50
Pers./km2
21103
58,30
Pers./km2
837
17,40
Pers./km2
Lloseta
4529
12,10
Pers./km2
Llubí
1893
34,90
Pers./km2
Llucmajor
21771
327,30
Pers./km2
Manacor
30177
260,30
Pers./km2
Mancor de la Vall
936
19,90
Pers./km2
Maria de la Salut
1733
30,50
Pers./km2
Marratxí
18084
54,20
Pers./km2
Montuïri
2235
41,10
Pers./km2
Muro
6028
58,60
Pers./km2
Palma
319181
208,60
Pers./km2
Petra
2571
69,90
Pers./km2
Pollença
13450
151,70
Pers./km2
Porreres
4226
86,90
Pers./km2
sa Pobla
10064
48,60
Pers./km2
1163
42,30
Pers./km2
Banyalbufar
Binissalem
Búger
Bunyola
Calvià
Felanitx
Fornalutx
Inca
Lloret de Vistalegre
Puigpunyent
Kapitel 6 - CHARLES DODGSON
Sencelles
1969
52,90
Pers./km2
Sant Joan
1662
38,50
Pers./km2
Sant Llorenç
5594
82,10
Pers./km2
1114
20,30
Pers./km2
Santa Margalida
7107
86,50
Pers./km2
Santa Maria del Camí
4558
37,60
Pers./km2
Santanyí
7974
124,90
Pers./km2
Selva
2918
48,70
Pers./km2
ses Salines
3240
39,10
Pers./km2
Sineu
2616
47,70
Pers./km2
Sóller
11207
42,80
Pers./km2
Son Servera
8065
42,60
Pers./km2
Valldemossa
1599
42,90
Pers./km2
Vilafranca de Bonany
2249
24,00
Pers./km2
772
23,90
Pers./km2
637510
3640,80
Pers./km2
7046
109,90
Pers./km2
Ciutadella
21785
186,30
Pers./km2
Ferreries
3921
66,10
Pers./km2
22358
117,20
Pers./km2
es Mercadal
2723
158,00
Pers./km2
Sant Lluís
4106
34,80
Pers./km2
es Castell
6005
11,70
Pers./km2
1126
32,00
Pers./km2
69070
716,00
96,466 Pers./km2
5859
83,20
Pers./km2
Eivissa
31582
11,10
Pers./km2
S. Antoni de Portmany
14849
126,80
Pers./km2
Sant Josep
13364
159,40
Pers./km2
3943
121,70
Pers./km2
Santa Eulàlia des Riu
20306
153,60
Pers./km2
EIVISSA
84044
572,60
Pers./km2
Santa Eugènia
Ariany
MALLORCA
Alaior
Maó
es Migjorn Gran
MENORCA
Formentera
S. Joan de Labritja
KAPITEL 7
WILLIAM SEALEY GOSSET
Britischer Statistiker (1876-1937)
Er war Chemiker der Guinness Fabrik und beeindruckte vor allem
mit seinen hervorragenden statistischen Werken über kleine
Stichproben. Bekannt ist er nicht mit seinem Namen, sondern mit
seinem Pseudonym „Student“. Aus diesem Grund nennt sich seine
Errungenschaft Student-t-Verteilung.
Kapitel 7 - WILLIAM SEALEY GOSSET
HEUTE BESUCHEN WIR DAS
STATISTISCHE INSTITUT DER
BALEAREN. ICH HABE GEFRAGT, OB
WIR UNS HIER TREFFEN KÖNNEN,
DENN HIER STEHEN UNS JEDE
MENGE DATEN ZUR VERFÜGUNG.
WIE DIE DINGE HIER FUNKTIONIEREN, INTERESSIERT
MICH AUßERORDENTLICH. DIE STATISTIK FÄNGT AN MIR
ZU GEFALLEN UND ES WÄRE WICHTIG, DASS SIE MICH
HIER KENNEN LERNEN, DENN EINES TAGES, WENN ICH
BEREITS ALLES WEIß, KÖNNTEN SIE MICH JA UNTER
UMSTÄNDEN ZU IHREM DIREKTER ERNENNEN.
LASST EUCH NICHT ZUVIEL
SEHEN, WENN IHR NICHT
WOLLT, DASS SIE UNS MIT
EINER STUDIE BEAUFTRAGEN.
JETZT HABEN WIR
WIRKLICH JEDE MENGE
DATEN FÜR UNSERE
EXPERIMENTE.
SCHAUT EUCH DIESES DIAGRAMM AN! ES ZEIGT DIE
WAHRSCHEINLICHKEITEN MEHRERER MÜNZWÜRFE, ODER
DIESES HIER DIE WAHRSCHEINLICHKEITEN MEHRERER
SPIELE MIT ERFOLG-MISSERFOLG MIT DER
WAHRSCHEINLICHKEIT
1
.
2
51
Kapitel 7 - WILLIAM SEALEY GOSSET
Experimente:
1
1/2
1/4
1/8
1/4
3/4
3/8
3/8
4
16
1
16
1/2
6
16
1/8
4
16
1
16
WIR KÖNNEN SIE ABZEICHNEN UND SIE MIT MEINER GRAPHIK VERGLEICHEN.
Z
K
KK
KKZ
KKK
KKKK
52
KKKZ
ZZ
KZ
ZZZ
KZZ
KKZZ
KZZZ
ZZZZ
Kapitel 7 - WILLIAM SEALEY GOSSET
Experimente:
DAS WIRD JA IMMER INTERESSANTER. SCHAUT EUCH DIESES
DIAGRAMM AN. ES MUSS MIT DEM, WAS WIR GESEHEN HABEN, ZU
TUN HABEN, WEIL SIE ES BEVÖLKERUNGSPYRAMIDE NENNEN.
100 - ....
95 - 99
90 - 94
85 - 89
80 - 84
75 - 79
70 - 74
65 - 69
60 - 64
55 - 59
50 - 54
45 - 49
40 - 44
35 - 39
30 - 34
25 - 29
20 - 24
15 - 19
10 - 14
5 -9
0 - 4
40.000 30.000 20.000 10.000
10.000 20.000 30.000 40.000 50.000
53
Kapitel 7 - WILLIAM SEALEY GOSSET
JA, ES IST EIN THEMA, DAS
UNSERE VORIGE STUDIE ÜBER
DIE BEVÖLKERUNG VON
EINWOHNERN…
ICH HÄTTE AUCH
BEVÖLKERUNG VON
PERSONEN SAGEN KÖNNEN,
ABER WIE IHR VIELLEICHT
WISST, IN STATISTIK
MEINT MAN MIT
BEVÖLKERUNG DIE
GESAMTHEIT VON
STUDIENOBJEKTEN, SEIEN
DIES PERSONEN, PFLANZEN,
PREISE, AUSGABEN, ETC...
WARUM SAGST DU
BEVÖLKERUNG VON
EINWOHNERN?
MENSCH, GAUßI, KOMM ZUR
SACHE! WAS IST DENN EINE
BEVÖLKERUNGSPYRAMIDE?
EIGENTLICH SIND DIES DIAGRAMME, DIE AUF ZWEI SEITEN
LEBENDE MENSCHEN NACH IHREM ALTER DARSTELLEN: AUF DER
EINEN SEITE DIE MÄNNER, AUF DER ANDEREN DIE FRAUEN. SIE
IST GANZ LEICHT ZU VERSTEHEN.
SAG JA NICHT EINFACH. ES IST SCHON EHER
GANZ SCHWIERIG, ABER WEIL WIR JA SCHON SOWEIT
FORTGESCHRITTEN SIND, KÖNNEN WIR SIE VERSTEHEN.
UND WARUM
DAS?
54
SCHAU HER. JEDER BALKEN ZEIGT DIE ANZAHL DER LEBENDEN MENSCHEN IN DER ALTERSGRUPPE, DIE IN DER MITTE
ANGEFÜHRT WIRD: AUF EINER SEITE DIE BURSCHEN, AUF
DER ANDEREN DIE MÄDCHEN. DIESE GRAFIK NENNT MAN
PYRAMIDE, WEIL, JE HÖHER, ALSO JE ÄLTER DIE
BEVÖLKERUNG, DESTO MEHR NIMMT DEREN ZAHL AB.
ICH HABE EINE ANDERE GEZEICHNET. DIE
JUNGS MÜSSEN AUF SICH AUFPASSEN,
...UND DIE MÄDCHEN AUCH.
Kapitel 7 - WILLIAM SEALEY GOSSET
SCHAUT EUCH DEN
ALTERSABSCHNITT VON 15
BIS 25 JAHRE AN! DORT NÄMLICH NIMMT DIE PYRAMIDE
MEHR AB ALS SIE SOLLTE.
IHR SEHT ALSO, DASS MAN VON
RICHTIGEN DATEN VIELE
SCHLUSSFOLGERUNGEN ZIEHEN
KANN, UND NOCH DAZU
ZUVERLÄSSIGE!
DAS IST AUF DIE MOTORRÄDER UND
AUTOS ZURÜCKZUFÜHREN. ICH MEINE
DIE KRANKHEIT VON HEUTE: DIE
UNFÄLLE.
WIR SOLLTEN UNS IM LEBEN AMÜSIEREN, ABER MIT DER
BEDINGUNG, DASS WIR NOCH MIT 90 JAHREN
STATISTIKEN ERSTELLEN KÖNNEN, WENN WIR MÖCHTEN.
JA, DENN MIT ETWAS GLÜCK MÜSST IHR ALLE KOMMEN,
WENN SIE MIR DEN NOBELPREIS VERLEIHEN.
55
Kapitel 7 - WILLIAM SEALEY GOSSET
BBRRRRUMM... !!!
HA, HA, HA!
HA, HA, HA!
RUHE IM SAAL! ICH MUSS EUCH
AUF EINE TATSACHE AUFMERKSAM
MACHEN, UND ICH WERDE MICH
BEMÜHEN, DIES SO „SYMPATISCH“
WIE MÖGLICH ZU TUN.
MAN MUSS DIE GRAPHIKEN IMMER
UNTER DIE LUPE NEHMEN: SICH
DIE VERWENDETEN MAßSTÄBE UND
ALLE DETAILS GENAU ANSEHEN.
UM AUF DIESE WEISE
DIE NUMERISCHEN
DATEN ZU BEWEISEN.
WARUM SAGST
DU DENN DAS?
Experimente:
ICH WERDE EUCH EIN BEISPIEL
ZEIGEN, DAS IN BÜCHERN ÜBER
OPTISCHE TÄUSCHUNGEN
VORKOMMT.
VERGLEICHT DIE ZWEI GRAPHIKEN..
56
Kapitel 7 - WILLIAM SEALEY GOSSET
Experimente:
SIE BESTEHEN AUS DEN GLEICHEN FORMEN, SIE SIND NUR AUF
VERSCHIEDENE WEISE ANGEORDNET:
ZWEI DREIECKE AUS 16 X 6 RASTER.
ZWEI RECHTECKIGE TRAPEZE MIT EINER GRUNDFLÄCHE VON 6
UND 10, UND EINER HÖHE VON 10.
AUS DIESEM GRUND MÜSSEN DIE FLÄCHEN DES QUADRATS
UND DES RECHTECKS GLEICH GROß SEIN.
NÄMLICH:
QUADRAT: 16 X 16 = 256
RECHTECK: 26 X 10 = 260
SIE MÜSSTEN DOCH DIE GLEICHE
GRUNDFLÄCHE HABEN.
NICHT SCHON WIEDER!
HAT ES NICHT DEN
ANSCHEIN, DASS STRICH A
KÜRZER IST ALS STRICH B?
BEVOR ICH ES EUCH ERKLÄRE,
ZEICHNEN WIR:
ICH VERSPRECHE, DASS DIE ZWEI GLEICH LANG SIND, UND
IHR KÖNNT EUCH GERNE ÜBERZEUGEN. DAS GLEICHE GILT
FÜR DIE VORIGE GRAPHIK: WENN WIR SIE MIT DÜNNEREN
STRICHEN ZEICHNEN, SEHEN WIR, DASS DIE FIGUREN
NICHT ÜBEREINSTIMMEN.
57
Kapitel 7 - WILLIAM SEALEY GOSSET
Experimente:
IN
ROT S
IND D
IE
4 FEH
LENDE
N
RASTE
R
ANGE
ZEIGT
.
DER SUPERTOLLE SOLL DIE
FIGUREN ZEICHNEN UND DIE
FORMEN AUSSCHNEIDEN. DANN
WERDEN WIR SEHEN, DASS SIE
NICHT ÜBEREINSTIMMEN.
DESHALB MÜSSEN WIR DIE
GRAPHIKEN IMMER IN
ZUSAMMENHANG MIT DEN
NUMERISCHEN DATEN
BETRACHTEN.
UND WAS MACHEN WIR JETZT?
WIR KÖNNTEN DOCH EIN
VOLLEYBALLMATCH SPIELEN?
IN ORDNUNG, ABER ICH
BIN NICHT
SCHIEDSRICHTER.
58
LASST UNS ALSO GEHEN!
KAPITEL 8
ETIENNE L. LASPEYRES UND HERMANN PAASCHE
Erfinder des Preisindexes für die Lebenshaltungskosten, die auch
heute noch verwendet werden.
Kapitel 8 - LASPEYRES UND PAASCHE
HE! HIER IST EIN
BUCH, IN DEM WIR
VORKOMMEN!
WIR WERDEN DOCH
NICHT SCHON
BERÜHMT SEIN!
LASS MAL SEHEN... AH DU HAST RECHT, ES
HANDELT SICH UM EINE STATISTIK ÜBER
SCHULAUSBILDUNG. BESTIMMT SIND WIR IN
DIESEN ZAHLEN ENTHALTEN.
Ausbildungsstatistik
Jahrgang
88-89
89-90
90-91
91-92
92-93
93-94
94-95
95-96
96-97
97-98
98-99
Balearische Inseln:
Kindergarten
Index
Grundschule
Index
19.957
19.958
19.220
19.313
19.706
20.123
20.719
22.063
23.169
23.982
24.449
1
1,0001
0,9631
0,9677
0,9874
1,0083
1,0382
1,1055
1,1609
1,2017
1,2251
96.772
95.596
92.481
89.024
85.944
83.197
80.008
77.419
64.165
55.294
55.600
1,1260
1,1123
1,0761
1,0358
1
0,9680
0,9309
0,9008
0,7466
0,6434
0,6469
UFF! ICH HABE MIR SCHON ALL DEN
JOURNALISTENRUMMEL VORGESTELLT! BESTIMMT
SIND WIR SCHLIMMEREM ENTGANGEN!
60
Sekundärschule
ESO
Index
4.432
8.683
10.742
13.609
28.975
38.872
39.821
1
1,9592
2,4237
3,0706
6,5377
8,7708
8,9849
Kapitel 8 - LASPEYRES UND PAASCHE
HMMM! MIR IST DIE ANZAHL DER
KINDER, DIE IM KINDERGARTEN SIND,
DIE SCHÜLER, WELCHE DIE GRUNDSCHULE
BESUCHEN UND DIEJENIGEN, DIE WIE
WIR IN DER SEKUNDÄRSCHULE SIND,
KLAR, DOCH ICH WEIß NICHT WAS DAS
MIT DEN INDEXEN BEDEUTEN SOLL!
NEIN, DAS BESTIMMT NICHT. ES
MUSS SICH UM EIN STATISTISCHES
KONZEPT HANDELN.
ES WIRD WAHRSCHEINLICH
DIE SEITE SEIN, AUF DER
WIR SIND.
ABER NATÜRLICH. IN STATISTIK,
EIN INDEX IST EIN
PROZENTANTEIL, DEN MAN VON
EINER ZAHL BERECHNET, DIE MAN
ALS BASIS VERWENDET.
ICH STELLE EINIGE BERECHNUNGEN DER
ZAHLEN AN, DIE AUF DER SEITE, DIE WIR
VORHIN GEFUNDEN HABEN, STEHEN. DABEI
BIN ICH DRAUFGEKOMMEN, DASS SICH DER
INDEX DER SPALTE DES KINDERGARTENS,
AUS DER DIVISION DER SCHÜLER EINES
SCHULJAHRES DURCH DIE ANZAHL DER
SCHÜLER EINES ANDERES JAHRES, NÄMLICH DIE DES SCHULJAHRES 89/90 ERGIBT.
19.958
= 1,0001
19.957
10.220
= 0,9631
19.957
23.169
= 1,1609
19.957
DU MEINST ALSO DIE DIVISION
DER ANZAHL DER SCHÜLER EINES
SCHULJAHRES DURCH EINE ANDERE,
DIE WIR ALS AUSGANGSZAHL
VERWENDEN.
WAS WIR BIS JETZT ENTDECKT
HABEN, IST SCHON SEHR GUT. IHR
SEHT ALSO, DASS DER INDEX DER
SPALTE KINDERGARTEN DIE
UNTERSCHIEDE ZWISCHEN GRUPPEN,
ÄH... DAS HEIßT ZWISCHEN
SCHULJAHREN MISST. ABER ICH
HABE JA BEREITS GESAGT, DASS
MAN DURCH EINE ZAHL TEILEN
MUSS, DIE MAN ALS BASIS NIMMT.
ABER DAS GILT NICHT FÜR DIE SPALTE DER
GRUNDSCHULE, UND ICH KOMME NICHT
DRAUF WIE DORT DER INDEX BERECHNET
WURDE.
AHA! JETZT HAB ICH’S! IN DER SPALTE
GRUNDSCHULE VERWENDET MAN DAS
SCHULJAHR 92/93 ALS BASIS...
JA, DAS WAR WIRKLICH EIN
BEDEUTENDES JAHR, DENN DAMALS
ÄNDERTEN SICH UNSERE CHANCEN.
DU HAST RECHT, IN DIESEM
JAHR TRAT DIE NEUE
SCHULREFORM LOGSE, UND
DAMIT DIE NEUE
SEKUNDÄRSCHULE ESO, IN
KRAFT.
61
Kapitel 8 - LASPEYRES UND PAASCHE
DEMNACH LÄSST SICH AUS DER TABELLE
ABLESEN, DASS IN DEN SCHULJAHREN
90/91, 91/92, 92/93 WENIGER KINDER DEN
KINDERGARTEN BESUCHTEN, WÄHREND
MAN IM SCHULJAHR 98/99, VERGLICHEN
MIT DEN JAHREN 88/89, EINEN ZUWACHS
VON 22% VERZEICHNETE.
UND AUCH DIE
SPALTE DER
SEKUNDÄRSTUFE
NIMMT DASSELBE
JAHR ALS REFERENZ.
MEHR NOCH, WENN WIR DIE INDEXE FÜR DIE
SEKUNDÄRSCHULE BEOBACHTEN, SEHEN WIR, DASS WIR
NICHT NUR UM 22% MEHR SIND, SONDERN DASS WIR
UNS IM VERGLEICH ZU DEN SCHÜLERN, DIE IM JAHR
1992 BEGONNEN HABEN, SOGAR VERNEUNFACHT HABEN.
JETZT IST ES MIR KLAR! TEILWEISE AUF DIESEN
ANSTIEG, ABER AUCH AUF DIE EINFÜHRUNG DES
ERSTEN ABSCHNITTES DER NEUEN SEKUNDÄRSCHULE
ZURÜCKZUFÜHREN, HAT SICH EIN RÜCKGANG DER
SCHÜLERANZAHL IN DER GRUNDSCHULE ERGEBEN,
WEIL ES JA DAS 7. UND 8. SCHULJAHR DER
GRUNDAUSBILDUNG NICHT MEHR GIBT.
DAS HEIßT ALSO, DASS WIR MIT HILFE VON INDEXEN
SCHNELLER UND VIEL LEICHTER SCHLUSSFOLGERUNGEN
ZIEHEN KÖNNEN, WEIL DIE NUMMERN IMMER MIT DER
EINHEIT 1 VERGLICHEN WERDEN.
62
PERFEKT. DAS WIRD JA IMMER BESSER.
ES FING MIT DER ERKLÄRUNG VON
BINOMI AN, DER ZWISCHEN DEM 22%IGEN ZUWACHS UND DER
VERNEUNFACHUNG DER SCHÜLER ZU
UNTERSCHEIDEN WUSSTE...
UND DA WIR DIESEN INDEX
VERSTANDEN HABEN, KÖNNEN WIR
AUCH DEN DES EINKAUFSKORBES, DES
BRUTTOSOZIALPRODUKTES UND, JA
EIGENTLICH ALLE, INTERPRETIEREN.
Kapitel 8 - LASPEYRES UND PAASCHE
ALLERDINGS SIND DIESE SCHON
ETWAS KOMPLIZIERTER. ABER
DENKT IHR NUR WEITER
DARÜBER NACH WELCHE DATEN
WIR FÜR UNSER EXPERIMENT
BENÖTIGEN, WÄHREND ICH
MICH ERKUNDIGEN GEHE.
SCHAUT HER WAS ICH HIER HABE!
ES SCHEINT ALS OB DU ’S
BEREITS WÜSSTEST.
ALSO, PASST MAL GENAU AUF, DENN ES GIBT VERSCHIEDENE
ARTEN VON INDEXES: DIE EINFACHEN, WIE DER, DEN WIR SOEBEN
ENTDECKT HABEN, UND ANDERE, DIE ETWAS SCHWIERIGER SIND,
WIE ZUM BEISPIEL DER VPI (VERBRAUCHERPREISINDEX). AUF ALLE
FÄLLE HABEN SIE MIR EIN DIAGRAMM GEZEICHNET, UND WENN
UNS DIE SACHE ETWAS KLARER IST, KÖNNEN WIR JA KOMMEN,
DAMIT SIE UNS ZEIGEN, WIE MAN SIE UND DIE DAZUGEHÖRENDEN
STATISTIKEN ERSTELLT.
GIB MIR EIN BISSCHEN ZEIT, ICH
MÖCHTE DEINE AUFZEICHNUNGEN
ETWAS ÜBERSICHTLICHER DARSTELLEN…
WÄHREND IHR DIE GRAPHIKEN VORBEREITET,
WERDE ICH EUCH EINE AUFGABE STELLEN. ICH
HABE ICH GELESEN, DASS DER FRANZÖSISCHE
KÖNIG LUDWIG XV ÜBER EIN JÄHRLICHES
EINKOMMEN VON 100 MILLIONEN VERFÜGTE.
63
Kapitel 8 - LASPEYRES UND PAASCHE
!!!
¡¡¡
ABER ZWEIHUNDERT JAHRE VORHER, LUDWIG
XII HATTE EINKÜNFTE VON 8 MILLIONEN. WER
GLAUBT IHR HAT MEHR VERDIENT?
¡¡¡
!
¡¡ ¡ !!
!!!
¡¡¡ !!!
DAS IST WIE DIE FRAGE NACH DER FARBE
DES WEIßEN SCHIMMELS...
EBEN NICHT! UND WEIL EIN
WISSENSCHAFTLER DES 12. JAHRHUNDERTS
SICH WIE WIR DAMIT BESCHÄFTIGT HATTE,
EXPERIMENTE ZU MACHEN, UND AUCH
BERECHNUNGEN MIT EINER ART VON
EINKAUFSKORB (DEN WIR HEUTE
VERBRAUCHSGÜTERINDEX NENNEN WÜRDEN)
ANSTELLTE, KONNTE ER NACHWEISEN, DASS
SICH DIE WÄHRUNG SEIT DEN ZEITEN
LUDWIGS XII BIS ZUM KÖNIG LUDWIG XV
1
UM DEN INDEX VON
ABGEWERTET
22
HATTE. RECHNET’S EUCH AUS UND IHR
WERDET SEHEN, DASS LUDWIG XII MEHR
VERDIENTE.
MÜNZEN, SCHMUCK, ETC…
MÜNZEN,
SCHMUCK, ETC…
LUDWIG XII
LUDWIG XV
Euro 0,5
DM 0,05
Euro 1,25
DM 1,75
Euro 1
DM 1,-
64
ANTIKE LEBENSMITTEL (PREISE
IN
DEUTSCHE MARK)
MODERNE LEBENSMITTEL (PREISE
IN
EURO)
Kapitel 8 - LASPEYRES UND PAASCHE
WENN MAN NICHT GENAU SCHAUT UND
NICHT BEMERKT, DASS DIE PREISE IN
EURO ANGEGEBEN SIND, MEINT MAN,
DASS DIE PREISE IN DEN LETZTEN 60
JAHREN NICHT GESTIEGEN SIND.
DARUM MUSS MAN DEN
WERT DER WÄHRUNG IMMER
BERÜCKSICHTIGEN, WIE IM
FALL DER BEIDEN KÖNIGE...
ICH HABE DIE GESCHICHTE GEHÖRT UND SIE
SCHEINT MIR, FÜR DAS, WOMIT WIR UNS
BESCHÄFTIGEN, SEHR PASSEND.
LASPEYRES-INDEX
ALTE
EINHEITEN
ALTE
EINHEITEN
IL=
NEUE
PREISE
ALTE
PREISE
ALTE EINHEITEN X NEUE PREISE
ALTE EINHEITEN X ALTE PREISE
65
Kapitel 8 - LASPEYRES UND PAASCHE
PAASCHE-INDEX
NEUE
NEUE
EINHEITEN
PREISE
NEUE
EINHEITEN
ALTE
PREISE
IP=
NEUE EINHEITEN X NEUE PREISE
NEUE EINHEITEN X ALTE PREISE
IHR SEHT ALSO, DASS NEBEN DEN EINFACHEN INDEXEN, DIE
WIR ENTDECKT HABEN, AUCH NOCH VIELE ANDERE
EXISTIEREN. EINIGE ERHÄLT MAN DURCH DIE BERECHNUNG
DES MITTELWERTS VON ANDEREN...
=
MITTELWERT... DAS WORT KOMMT MIR
BEKANNT VOR, DOCH ICH WEIß NICHT MEHR
WAS ES BEDEUTET...
66
Kapitel 8 - LASPEYRES UND PAASCHE
ICH WERDE ES FÜR DAS NÄCHSTE
EXPERIMENT AUFSCHREIBEN.
UM FORTZUFAHREN... DIESE
DARSTELLUNGEN WERDEN UNS
WEITERHELFEN. AN EINEM ANDEREN
TAG KOMMEN WIR WIEDER INS
INSTITUT, DAMIT SIE UNS DIE
RESTLICHEN DATEN GEBEN.
ICH MÖCHTE EUCH DARAN ERINNERN, DASS WIR NÄCHSTE
WOCHE EINE GEBURTSTAGSFEIER HABEN. BRINGT BITTE
MORGEN DAS GELD FÜR DAS GESCHENK MIT, ALLE BIS AUF 55
NATÜRLICH, UND AUCH DAS GELD FÜR DIE GEBURTSTAGSFEIER.
JEDER GIBT WAS ER KANN, UND WENN JEMAND NICHTS
BEISTEUERN KANN, GIBT ER DAS NÄCHSTE MAL MEHR.
ABER ES WERDEN
AUCH NOCH ANDERE
FREUNDE KOMMEN.
IN ORDNUNG. UND BRINGT ES IN ZWEI
GESCHLOSSENEN KUVERTS, DENN WIR
KÖNNEN DAS GANZE DAZU VERWENDEN
VON MITTELWERTEN, MEDIANEN UND
VON DEN WAHRSCHEINLICHSTEN
WERTEN ZU SPRECHEN.
WAS FÜHRT IHR
DENN IM SCHILDE?
SAG IHNEN SIE SOLLEN
DASSELBE TUN. SCHHHHH,
ES KOMMT 55.
OH NICHTS! IMMER SO
SCHARFSINNIG...
67
KAPITEL 9
ABRAHAM DE-MOIVRE UND CARL FRIEDRICH GAUß
De Moivre (1667-1754). Wichtiger Wissenschaftler mit verschiedenen Fachgebieten der
Mathematik. Mit dem Schritt von der Binomial- zur Normalverteilung trug er erheblich zur
Weiterentwicklung der Statistik bei. Eines seiner wichtigsten Werke „Über das Maß des
Zufalls“ oder auch „Über die Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen“ genannt, wendet er die
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten an.
Gauß, ein deutscher Mathematiker und Statistiker (1777-1855), ist vor allem für seine
Werke bekannt, welche Themen wie die Normalverteilung, die Streuung, das
Fehlerfortpflanzungsgesetz, die Summe der kleinsten Fehlerquadrate,... behandeln.
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
MACHT SCHNELL,
55 WIRD GLEICH
KOMMEN!
WÄHREND IHR DEN GARTEN
SCHMÜCKT, GEHE ICH DAS ESSEN
UND DIE GETRÄNKE FÜR DIE FEIER
KAUFEN. HABT IHR ALLE DIE
UMSCHLÄGE MIT EUREM BEITRAG
DABEI?
JA, WIR HABEN 15 KUVERTS FÜR DAS
GESCHENK, WIR WERDEN SIE „G“
-UMSCHLÄGE NENNEN, UND 16
UMSCHLÄGE FÜR DAS FEST.
WAS? 16 KUVERTS?
WEIßT DU, ES WAR
NÄMLICH SO: ICH HABE
55 UND ZUFÄLLI
GETROFFEN. DA
ZUFÄLLI MIR DIE
UMSCHLÄGE GEGEBEN
HAT, WOLLTE MIR 55
AUCH EINEN GEBEN.
ABER SEID BERUHIGT,
SIE HAT NATÜRLICH
KEINE AHNUNG, DASS
DIE GEBURTSTAGSFEIER
UND DAS GESCHENK
FÜR SIE SIND.
LASST UNS ALSO DEN INHALT DER UMSCHLÄGE ZÄHLEN
UND SIE AUF ZWEI STÖßE AUFTEILEN, EINEN STOß „G“
UND EINEN STOß „F“. BEEILT EUCH, DENN BALD WERDEN
SIE KOMMEN!
69
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
Experimente:
G...
F....
100
300
350
400
425
475
500
100
200
250
300
400
G...
F....
1 UMSCHLAG MIT 100
5 UMSCHLÄGE MIT 300
3 UMSCHLÄGE MIT 350
2 UMSCHLÄGE MIT 400
1 UMSCHLAG MIT 425
2 UMSCHLÄGE MIT 475
1 UMSCHLAG MIT 500
KOMMT ALLE, SIE
NÄHERN SICH SCHON.
70
1 UMSCHLAG MIT 100
5 UMSCHLÄGE MIT 200
4 UMSCHLÄGE MIT 250
5 UMSCHLÄGE MIT 300
1 UMSCHLAG MIT 400
WIE ICH SEHE HABT IHR DAS
EXPERIMENT OHNE UNS BEGONNEN.
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
NEIN, ÄH, EIGENTLICH NICHT. WIR HABEN NUR
ZWEI TABELLEN MIT DEN DATEN, DIE UNS ZUR
VERFÜGUNG STANDEN, ERSTELLT. UND GAUßI HAT
NUR NOCH DARAUF GEWARTET BIS IHR KOMMT.
WIR MACHEN EIN
SCHULABSCHLUSSFEST?
ÄH! WIE IHR ALLE WISST, SOLLEN WIR HEUTE
DEN MITTELWERT, DEN MEDIAN UND DEN MODUS
BERECHNEN. DAZU HABEN WIR BEREITS ZWEI TABELLEN
ERSTELLT: DIE ERSTE IST EINE GEHEIME LISTE, UND
DIE ZWEITE BEINHALTET DIE AUFSTELLUNG DER
BEITRÄGE FÜR EIN FEST. JEDER HAT EINEN BELIEBIGEN
BETRAG, JEDER SO VIEL ER BEITRAGEN KONNTE,
BEIGESTEUERT. UND AUFGRUND DIESER DATEN WERDEN
WIR DIE FOLGENDEN MITTELWERT-KENNGRÖßEN
BERECHNEN.
WER WEIß? ÄH, WOLLEN
WIR ALSO BEGINNEN.
ICH HABE FOLGENDE GRAPHIK
GEZEICHNET. SIE KÖNNTE UNS
ALS GRUNDLAGE DIENEN.
DARSTELLUNG
LASST UNS MIT DEM MITTELWERT BEGINNEN. WIR WERDEN
ZUERST EINMAL DEN ARITHMETISCHEN MITTELWERT
BERECHNEN. DAZU DIENT UNS FOLGENDES BEISPIEL:
ALSO, WIR GEHEN DAVON AUS, DASS WIR EINE
EINHEITLICHE GRUPPE SIND. JEDER TRUG BEI, SO VIEL ER
KONNTE. NEHMEN WIR AN, DASS UNS GLEICHE TEILE
ENTSPRECHEN MÜSSTEN. DAS HEIßT ALSO, DAS WIR DEN
GESAMTBETRAG AUF ALLE AUFTEILEN MÜSSEN, DAMIT
JEDER GLEICH VIEL BEKOMMT. DAZU ADDIEREN WIR ALLE
BETRÄGE UND DIVIDIEREN DIE GESAMTZAHL DURCH DIE
ANZAHL DER TEILNEHMER.
DA HÖRT SICH JA GANZ LEICHT AN.
71
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
LASST MICH DIE BETRÄGE
DER REIHE „G“ ADDIEREN:
100 + 300 + 300 + 300 + 300 +
300 + 350 + 350 + 350 + 400 +
400 + 425 + 475 + 475 + 500.
UFF! GEBT MIR EINEN
TASCHENRECHNER!
WARTE EINEN MOMENT. 55 HAT
RICHTIG GERECHNET, DOCH ES GEHT
AUCH ANDERS, UND ZWAR:
100 X 1 + 300 X 5 +
350 X 3 + 400 X 2 +
425 X 1 + 475 X 2 +
500 X 1, UND DANN
DIVIDIEREN WIR
DURCH 15.
ICH HABE MEINEN COMPUTER
DABEI UND GLAUBE, DASS
MAN DIES GANZ EINFACH
MIT EINER EXCEL-TABELLE
AUSRECHNEN KANN.
Modus
Median
Mittelwert
GESAMT:
Mittelwert
JA DAS STIMMT. LASS MICH DIE REIHE
„F“ MIT DEM COMPUTER BERECHNEN.
72
WARTE NOCH EIN BISSCHEN.
ICH WERDE VERSUCHEN MIT
DEM COMPUTER EINE
GRAPHIK ZU ERSTELLEN.
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
GRAPHIK
Gesamt:
Mittelwert
SUPER! ES HAT GEKLAPPT!
DANN WÄRE DIE
REIHE „F” ALSO
FOLGENDERMAßEN:
GRAPHIK
Gesamt:
Mittelwert
73
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
DAS WÄRE SO:
GRAPHIK
DER ARITHMETISCHE MITTELWERT IST DIE AM HÄUFIGSTEN VERWENDETE MITTELWERT-MESSGRÖßE UND IST GLEICHZEITIG AUCH
DIE, WELCHE SICH AM BESTEN FÜR BERECHNUNGEN EIGNET. DOCH
IN EINIGEN FÄLLEN SIND ANDERE KENNGRÖßEN EMPFEHLENSWERTER, DA SIE MEHR ÜBERBLICK VERSCHAFFEN, ODER WEIL ES GANZ
EINFACH UNMÖGLICH IST, DEN MITTELWERT ZU BERECHNEN. EIN
BEISPIEL WÄRE DAS FOLGENDE:
WIR HABEN:
30 MIT 100
50 MIT 200
20 MIT 500
10 MIT MEHR ALS 1000
IN DIESEM FALL VERKOMPLIZIERT SICH DIE BERECHNUNG, DA WIR JA
NICHT WISSEN MIT WELCHER ZAHL WIR 10 MULTIPLIZIEREN SOLLEN,
MAL TAUSEND, MAL ZWEITAUSEND ODER MAL...
74
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
ICH HABE MICH ALSO ZU
FRÜH GEFREUT...
RUHIG BLUT. IN DIESEM FALL
BERECHNEN WIR DEN MEDIAN,
AUCH ZENTRALWERT GENANNT.
ÜBER IHM LIEGEN 50 % DER
BETRÄGE UND UNTER IHM DIE
RESTLICHEN 50 %. IN DEM FALL
DER VORIGEN SEITE IST DER
MEDIAN 200. DEUTLICH SIEHT
MAN’S AUF DEN GRAPHIKEN VON
„G“ UND „F“.
Median
Mittelwert
Median
Mittelwert
IM ZWEITEN FALL STIMMEN
MITTELWERT UND MEDIAN ÜBEREIN,
NATÜRLICH DESHALB, WEIL DIE BETRÄGE
SYMMETRISCH ANGEORDNET SIND.
DAS HEIßT ALSO, DASS, WENN
WIR BEIDE WERTE BERECHNEN,
WISSEN WIR MEHR ÜBER DIE
VERTEILUNG DER WERTE.
GENAU SO IST’S, RÄTSI. UND
WIR WERDEN AUCH NOCH EINE
WEITERE MITTELWERT-MESSGRÖßE
EINFÜHREN. WIR NENNEN SIE
MODUS ODER HÄUFIGSTER WERT,
UND ES HANDELT SICH DABEI, WIE
SCHON SEIN NAME SAGT, UM DEN
WERT, DER AM HÄUFIGSTEN
VORKOMMT.
75
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
ES KÖNNTE ALSO MEHRERE
MODI GEBEN...
GENAU. ES KANN ZWAR IMMER NUR EINEN MITTELWERT
UND EINEN MEDIAN GEBEN, DOCH IM FALLE DES MODUS,
HÄNGT DIE ANZAHL VON DEN UMSTÄNDEN AB. SCHAUEN
WIR UNS NOCH EINMAL DIE GRAPHIKEN AN.
Median
MODUS
Mittelwert
Median
Mittelwert
MODUS
ICH HATTE ALSO RECHT.
IN DER VERTEILUNG „F“
GIBT ES ZWEI MODI.
76
MODUS
JA, DIE WINTER
-UND SOMMER MODE.
IN DIESEM BEISPIEL FALLEN DER
MITTELWERT UND DER MEDIAN
IN DEN FRÜHLING.
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
IN ANDEREN WORTEN, WIR WISSEN JETZT, DASS WIR FÜR
DAS MUTMAßLICHE FEST DURCHSCHNITTLICH 250 PESETEN
BEIGESTEUERT HABEN, UND DASS AM HÄUFIGSTEN
ENTWEDER 2,5 DM ODER 3 DM GEGEBEN WURDEN. DAS IST
NATÜRLICH EINFACH, WENN ES SICH UM KLEINE GRUPPEN
WIE UNSERER HANDELT. DOCH ES WÄRE GANZ ETWAS
ANDERES, WENN WIR EIN FEST FÜR 3000 JUNGS UND 5000
MÄDCHEN ORGANISIEREN WÜRDEN.
ABER KLAR. ES
KÖNNTE SICH GENAU SO
GUT UM EIN
SCHULABSCHLUSSFEST
ALS AUCH UM EINE
EHRUNG ODER SOGAR UM
EIN GEBURTSTAGSFEST
HANDELN.
UND WANN
FINDET ES
STATT?
JA, WIR WISSEN ZWAR SCHON VIEL,
DOCH ES GIBT NOCH VIELE DINGE ZU
LERNEN. WAS IST DENN DER ANLASS
DES FESTES? OBWOHL, WENN ICH’S
MIR RECHT ÜBERLEGE – UND ES MIR
DIE STATISTIK ERLAUBT – FÜR EIN
FEST IST JEDER GRUND MIT DER
WAHRSCHEINLICHKEIT 1 EIN GUTER.
DAS SPIELT DOCH KEINE ROLLE.
ES HANDELT SICH JA NUR UM EIN
MUTMAßLICHES FEST, DAS SICH IN
ERSTER LINIE SEHR GUT FÜR UNSERE
EXPERIMENTE EIGNET.
ABER STELL DIR VOR
HEUTE SEI MITTWOCH.
NATÜRLICH. JETZT MÖCHTE ICH NOCH ZWEI WEITERE AUFGABEN
BESPRECHEN UND ENDLICH DAS FEST VERGESSEN. WAS ICH EUCH
NOCH SAGEN WOLLTE, DENN OBGLEICH DER MITTELWERT DIE
NÜTZLICHSTE MESSGRÖßE IST, HABEN WIR GESEHEN, DASS
DIESER IN MANCHEN FÄLLEN NICHT ZU BERECHNEN IST, UND
AUßERDEM HAT ER NOCH EINEN NACHTEIL: ER REAGIERT
EMPFINDLICH AUF EXTREME WERTE .
WAS? WIE? WO?
77
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
LASST EUCH DIESES BEISPIEL
DURCH DEN KOPF GEHEN.
Median = 11
33
=11
3
MODUS: keinen
Mittelwert =
Gesamt:
konzentriert
Median = 11
33
=11
3
MODUS: keinen
Mittelwert =
Gesamt:
gestreut
Median
Mittelwert
Alle wären Modi, weil jeder Betrag
einmal vorkommt. In diesem Fall
würden wir sagen, dass es keinen
Modus gibt.
Median
Mittelwert
konzentriert
G
E
S
T
R
WIE IHR AN DIESEM FALL SEHT, IST ES DER
PARAMETER ODER KENNGRÖßE DER AUFTEILUNG, DER
DIE KONZENTRATION ODER STREUUNG DER WERTE
MISST, UND DER EINE LISTE VON DER ANDEREN
UNTERSCHEIDET.
78
E
U
T
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
UND NOCH EIN BEISPIEL:
Modus
Median
Mittelwert
Mittelwert
Modus
Median
Mittelwert
Mittelwert
Modus
Median
Mittelwert
Mittelwert
AUS DIESEM BEISPIEL KÖNNEN WIR ABLEITEN, DASS, WENN MAN
EINEN AUSREIßER, DAS HEIßT EINEN WERT, DER SEHR WEIT VON DEN
ANDEREN ENTFERNT IST (GROßE STREUUNG WIE DIE NUMMER 48 IN
UNSEREM FALL) DURCH EINEN KONZENTRIERTEREN WERT, IN UNSEREM
BEISPIEL DIE NUMMER 9, AUSTAUSCHT, DIE MITTELWERTE DER BEIDEN
FÄLLE SEHR VONEINANDER ABWEICHEN, WÄHREND SICH DER MEDIAN
UND DER MODUS NICHT VERÄNDERN.
IM GEGENSATZ DAZU, WENN WIR WERTE IM MITTELFELD
MODIFIZIEREN (WIE IN DEN LETZTEREN), ÄNDERT SICH DER
MITTELWERT NUR WENIG, DER MEDIAN UND DER MODUS
BLEIBEN WIEDER GLEICH (OBWOHL SIE SICH IN ANDEREN
FÄLLEN VERÄNDERN KÖNNTEN).
DAS IST AUCH DER GRUND, WARUM WIR MESSGRÖßEN SUCHEN, DIE UNS ANZEIGEN, OB
DIE VERTEILUNG DER WERTE MEHR ODER WENIGER GESTREUT SIND. DAS AM HÄUFIGSTEN
VERWENDETE MAß FÜR DIE STREUUNG IST DIE TYPISCHE ODER STANDARDABWEICHUNG,
DIE WIR IN DEN BEISPIELEN, DIE WIR VORBEREITEN, SEHEN WERDEN. WIR WERDEN ALSO
EIN KLEINES EXPERIMENT DER STANDARDABWEICHUNG MIT DEM SO OFT VERWENDETEN
BEISPIEL DER ZWEI SCHINKEN, OFT AUCH MIT HÄHNCHEN, DURCHFÜHREN.
79
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
WIR HABEN ZWEI PERSONEN,
DIE ZUM ESSEN KOMMEN, UND
ZWEI SCHINKEN.
JA. EINER DER BEIDEN ISST
ZWEI SCHINKEN, DER ANDERE
KEINEN. DER MITTELWERT ERGIBT
EINEN, DAS HEIßT ALSO, DASS, IN
STATISTISCHER HINSICHT, JEDER
EINEN SCHINKEN GEGESSEN HAT.
WIR HATTEN EINMAL
ZWEI SCHINKEN...
NEIN. WENN WIR AUCH DIE
STANDARDABWEICHUNG BERÜCKSICHTIGEN,
UND NICHT NUR DEN MITTELWERT, SCHAUT
DIE SACHE GANZ ANDERS AUS:
Σ Summen
Mittelwert
Standardabweichung =
DIE STANDARD- ODER TYPISCHE ABWEICHUNG WIRD FOLGENDERMAßEN BERECHNET:
1. WIR BERECHNEN DEN UNTERSCHIED ZWISCHEN JEDEM ELEMENT UND DEM MITTELWERT.
2. WIR NEHMEN DIESEN ZUM QUADRAT (AUF DIESE WEISE VERSCHWINDEN DIE NEGATIVBETRÄGE).
3. DANN MULTIPLIZIEREN WIR IHN MIT DER HÄUFIGKEIT (IN UNSEREM BEISPIEL IST DAS GANZ
LEICHT, DEN DIE ESSER SELBST SIND DIE HÄUFIGKEIT, ALSO: EINER UND NOCH EINER).
4. ANSCHLIEßEND DIVIDIEREN WIR DURCH DIE GESAMTANZAHL DER HÄUFIGKEIT (IN UNSEREM
FALL, 2 ESSER).
5. ZULETZT ZIEHEN WIR DIE QUADRATWURZEL.
80
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
GANZ SCHÖN
KOMPLIZIERT...
DU HAST MICH MIT DER HAND IM
SCHLAMMASSEL ERWISCHT, GAUßI.
SAG MIR DAS NICHT, DENN ICH
BIN ÜBERZEUGT, DASS DU ALLE
RECHENGÄNGE MIT DEM COMPUTER
DURCHGEFÜHRT HAST.
Wir multiplizieren jede Reihe:
Und ziehen den Mittelwert ab
Mittelwert
Erheben zum Quadrat
Multiplizieren mit f
Dividieren
Und ziehen die Quadratwurzel
Standardabweichung = 1
ICH WERDE DAS BEISPIEL MIT ANDEREN
DATEN BERECHNEN. ICH NEHME AN EINER
ISST 12 UND DER ANDERE 1 1 .
2
81
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
SCHINKEN
ESSER
Σ Summe
Mittelwert
Standardabweichung =
UND ICH NEHME AN, DASS JEDER
EINEN SCHINKEN ISST:
SCHINKEN
ESSER
Σ Summe
Mittelwert
Standardabweichung =
UNSER
SUPERTOLLER WIRD SICH MITHILFE DER STANDARDABWEICHUNG DER
UNTERSCHIEDE ZWISCHEN DEN DREI FÄLLEN
BEWUSST WERDEN. ALLE DREI BEISPIELE HABEN
ZWAR DEN GLEICHEN MITTELWERT 1, DIE AUFTEILUNG
JE EINES SCHINKENS AUF EINEN ESSER ERGIBT EINE
ABWEICHUNG „0“, WÄHREND, WENN SICH DER
FRESSSACK DEN BAUCH VOLL SCHLÄGT UND DEM, DER
NUR NOCH HAUT UND KNOCHEN IST, NICHTS
ÜBRIG LÄSST, SICH EINE ABWEICHUNG „1“
ERGIBT, EXTREM HOCH IN
DIESEM FALL.
82
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
IN SACHEN ERNÄHRUNG SOLLTE EIN MITTELMAß
GEGESSEN WERDEN UND SICH DIE STANDARDABWEICHUNG
DER 0 NÄHERN. DER MAGERSUCHT UND DER FRESSSUCHT
SOLLTE DER KAMPF ANGESAGT WERDEN.
JETZT DA DU VON MITTELWERTEN UND STREUUNG
SPRICHST,... ZUFÄLLI UND ICH HABEN AUF EIGENE
FAUST ERMITTLUNGEN ANGESTELLT UND SIND
AUF FOLGENDES GESTOßEN: EINE AUFTEILUNG, DIE
EINDEUTIG VOM MITTELWERT UND DER STREUUNG
BESTIMMT IST, WIRD HÄUFIG IN EXPERIMENTEN
VERWENDET, DIE GROßE DATENMENGEN ÜBER ALTER,
GEWICHT, GRÖßE VON PERSONEN, ETC. BERECHNEN.
SCHON GUT, ABER
LASS AUCH WAS
FÜR SPÄTER...
JA, ABER DAS INTERESSANTE KOMMT NOCH:
DIESE AUFTEILUNG, DIE SICH „NORMAL“
NENNT, HAT DIE FORM EINER GLOCKE.
Standardabweichung
2
Standardabweichung
0,5
Standardabweichung
1
83
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
UND SIE HEIßT...
MM!!!
M BU
M
U
B
M
U
R
A
B
BUMM
GAUßKURVE
ODER -GLOCKE!!!
DIE GAUßKURVE IST ANSCHEINEND
„NORMAL”, ABER UNSER GAUßI, NAJA, SO
RICHTIG NORMAL, IM WAHRSTEN SINN
DES WORTES... IST ER NICHT. ER IST VOR
ALLEM EIN GUTER UND FLEIßIGER MENSCH.
84
IHR WERDET SCHON NOCH SEHEN,
WENN ER AN DER UNIVERSITÄT
UNTERRICHTET UND NEUE
THEORIEN ENTDECKT.
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
2
1
2X
1
X
UND WENN ZUFÄLLI EIN
FORSCHUNGSZENTRUM FÜR
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNGEN
UND EINEN LOTO TOTO CLUB FÜHRT.
UND STELLT EUCH RÄTSI
VOR, WENN ER BEI DEN
STATISTISCHEN
BERECHNUNGEN FÜR EIN
FORSCHUNGSPROJEKT EINER
NEUEN IMPFUNG MITHILFT,
UND 55 MIT IHREN
DETAILLIERTEN
SOZIOLOGISCHEN STUDIEN...
UND WENN GRAPHI IHRE MARKTSTUDIEN DEM VORSTAND
EINER GROßEN FIRMA PRÄSENTIERT, UND BINOMI MIT
NEUEN MATHEMATISCHEN FORMELN FORTSCHRITTE IN
DER STATISTIK MACHT.
JETZT ABER GENUG DAMIT.
DENN ICH, WEIL WIR IN
DER SCHULE SOKRATES
DURCHGENOMMEN HABEN,
WEIß, DASS ICH NICHTS
WEIß. ABER ICH VERSTEHE
MEHR DINGE, UND DIE
AUCH BESSER.
WAS ICH EUCH
SAGEN KANN
- ICH MEINE IN BEZUG
AUF DIE STATISTIK DASS ICH EINE
WAHRSCHEINLICHKEIT
VON 0,3 HABE MICH ZU
IRREN.
85
Kapitel 9 - DE MOIVRE UND GAUSS
OKAY, OKAY. JETZT IST ALLES KLAR. ES FEHLT
NUR EINE SACHE, EINE DER WICHTIGSTEN, DIE
WIR NICHT VERGESSEN HABEN.
LASST UNS FÜR EINEN MOMENT
IN DEN GARTEN GEHEN.
ABER WAS IST DENN DAS?
EIN FEST?
DU HÄTTEST ES ABER
NICHT VERGESSEN, ODER? WIR
AUF ALLE FÄLLE NICHT! WIE
KÖNNTEN WIR AUCH DEINEN
GEBURTSTAG VERGESSEN?
ALLES GUTE ZUM GEBURTSTAG!
ENDE
86
ANLAGEN
ANLAGE 1
MÜNZENWURF 8
ANZAHL KÖPFE: _____
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
Köpfe
(in rot)
88
MAL
ANZAHL ZAHL: _____
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
Zahlen
(in blau)
ANLAGE 2
MÜNZENWURF 50
MAL
Erfolge (in rot)
Misserfolge (in schwarz)
Erfolge (in rot)
Misserfolge (in schwarz)
Erfolge (in rot)
Misserfolge (in schwarz)
Erfolge (in rot)
Misserfolge (in schwarz)
Erfolge (in rot)
Misserfolge (in schwarz)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
ZIEHST DU EINE SCHLUSSFOLGERUNG AUS DEN FARBEN?
89
ANLAGE 3
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNER
WAHRSCHEINLICHKEIT
AUFBAU
2
3
Erfolg
1 Versuch
Misserfolg
1
3
1 Versuch
Quadrat (a+b)
2 Versuche
(a+b)2 = (a+b)
3 Versuche
(a+b)3 = (a+b)2 x (a+b)
4 Versuche
(a+b)4 = (a+b)2 x (a+b)2
5 Versuche
(a+b)5 = (a+b)4 x (a+b) = (a+b)3 x (a+b)2
a
x
(a+b)
b
Es ist die Anzahl der Quadrate
1 Versuch
des entsprechenden
Monoms durch die Gesamtzahl
der Quadrate zu dividieren.
a b
a a2 ab
a
a2 a3
a2b
b ab b2
ab a2b
b
a2
ab
a2
a4
a3b a3b
a2b2
ab2
ab
a3b
a2b2 a2b2
ab3
ab a2b
ab2
ab
a3b
a2b2 a2b2
ab3
b2 ab2
b3
b
a2b2
ab3 ab3
b4
2 Versuche
3 Versuche
ab b
4 Versuche
a3
a2b
a2b
a2b
ab2 ab2 ab2 b3
a2
a5
a4b
a4b
a4b
a3b2 a3b2 a3b2
ab
a4b
a3b2
a3b2
a3b2
a2b3 a2b3 a2b3
ab
a4b
a3b2
a3b2
a3b2
a2b3 a2b3 a2b3
ab4
b2
a3b2
a2b3
a2b3
a2b3
ab4 ab4 ab4
b5
a2b3
ab4
5 Versuche
QUADRATE
QUADRATE
VON
a4 GESAMTZAHL QUADRATE
QUADRATE
a x a x a x a = a4
1 x 16 = 16
81=
0,1975
Wahrscheinlichkeit von 3 Erfolgen und 1 Misserfolg in 4 Versuchen
a x a x a x b = a3b
4 x 8 = 32
81=
0,3950
Wahrscheinlichkeit von 2 Erfolgen und 2 Misserfolgen in 4 Versuchen
a x a x b x b = a2b2
6 x 4 = 24
81=
0,2962
Wahrscheinlichkeit von 1 Erfolg und 3 Misserfolgen in 4 Versuche
a x b x b x b = ab3
4x2=8
81=
0,0098
Wahrscheinlichkeit von 4 Misserfolgen in 4 Versuchen
b x b x b x b = b4
1x1=1
81=
0,0123
BEISPIEL:Wahrscheinlichkeit von 4 Erfolgen in 4 Versuchen
GESAMT=1
90
ANLAGE 4
WAHRSCHEINLICHKEIT
2
3
Erfolg
1 Versuch
Misserfolg
a
b
1 2 3 4 5 6
1
3
a
b
1
2
3
4
5
6
a2
ab
ab
b2
2 Versuche
a2
ab
ab
b2
a2
a4
a3 b
a 3b
a2b2
ab
a3b
a2b2
a2b2
ab3
ab
a3b
a2b2
a2b2
ab3
b2
a2b2
ab3
ab3
b4
4 Versuche
91
ANLAGE 5
WAHRSCHEINLICHKEIT
Erfolg
1 Versuch
Misserfolg
5
6
a
b
1 2 3 4 5 6
1
6
a
b
1
2
3
4
5
6
a2
ab
ab
b2
2 Versuche
a2
ab
ab
a2
a4
a3b
a 3b
ab
a3b
a2b2
a2b2
ab
a3b
a2b2
a2b2
b2
a2b2
ab3
ab3
4 Versuche
92
b2
a2b2
ab3
ab3
b4
ANLAGE 6
WAHRSCHEINLICHKEIT
Erfolg
1
3
Misserfolg
2
3
1 Versuch
e
f
e
e
f
e
f
1 Versuch
ee ef
ef
ff
ee ef
e
f
2 Versuche
ef
ff
ee
ef
ef
3 Versuche
ff
4 Versuche
ee ef
ef
ff
eee eef eef eef
eff
eff
eff
fff
eee
eef
eef
eef
eff
eff
eff
fff
5 Versuche
6 Versuche
93
ANLAGE 7/1
WAHRSCHEINLICHKEIT
Erfolg
1
2
Misserfolg
1
2
1 Versuch
PLATZ
FÜR
STICHPROBEN
KOPF
(Erfolg)
1,2,3,4,5,6,7,8
94
VON
UND
ZAHL
(Misserfolg)
9 VERSUCHEN
ANLAGE 7/2
95
ANLAGE 8
Balearische Inseln
Schüler
Schuljahr
Kindergarten
Index
Grundschule
Index
Sekundärschule
Index
88-89
89-90
90-91
91-92
92-93
93-94
94-95
95-96
96-97
97-98
98-99
19957
19958
19220
19313
19706
20123
20719
22063
23169
23982
24449
1,012737237
1,012787983
0,975337461
0,980056835
1
1,021161068
1,051405663
1,119608241
1,175733279
1,216990
1,240688115
96772
95596
92481
89024
85944
83197
80008
77419
64165
55294
55600
1,125989016
1,112305687
1,076061156
1,035837289
1
0,968037327
0,93093177
0,900807503
0,746590803
0,643372429
0,646932887
4432
8683
10742
13609
28975
38872
39821
1
1,95916065
2,423736462
3,070622744
6,537680505
8,770758123
8,984882671
Balearische Inseln
Schuljahr
BUP-COU
88-89
89-90
90-91
91-92
92-93
93-94
94-95
95-96
96-97
97-98
98-99
21209
21982
22185
22590
21038
19926
18513
15571
11772
8901
4946
Schüler
Bach-Logse
921
2646
3911
5019
5551
7100
9083
Balearische Inseln
Bach-Exper.
Gesamt
Index
813
1240
2664
4922
2567
237
22022
23222
24849
27512
24526
22809
22424
20590
17323
16001
14029
1
0,929992661
0,914295034
0,839517247
0,706311669
0,652410
0,572005219
Schüler
Schuljahr
FP1
Index
FP2
Index
CFGM
Index
CFGS
Index
88-89
89-90
90-91
91-92
92-93
93-94
94-95
95-96
96-97
97-98
98-99
7108
7049
6360
5114
3919
2662
2318
1789
1360
686
184
1,1176
1,1083
1
0,8041
0,6162
0,4186
0,3645
0,2813
0,2138
0,1079
0,0289
4056
4172
4613
4996
5062
4697
3826
2588
1738
1016
480
0,8793
0,9044
1
1,0830
1,0973
1,0182
0,8294
0,5610
0,3768
0,2202
0,1041
75
180
553
813
1050
1225
1763
2466
2903
1
2,4000
7,3733
10,8400
14,0000
16,3333
23,5067
32,8800
38,7067
76
243
226
300
394
698
993
1481
1774
1
3,1974
2,9737
3,9474
5,1842
9,1842
13,0658
19,4868
23,3421
96
ANLAGE 9
Bevölkerung per Altersgruppe und Geschlecht
Gesamt
Männer
Frauen
Gesamt
Bevölkerung per Altersgruppe und Geschlecht
Frauen
Männer
Männer
Bevölkerung
Frauen
Männer
Frauen
97
ANLAGE 10
STADT
GESAMT
MÄNNER
FRAUEN
Balearische Inseln
796483
392835
403648
Alaró
3834
1834
2000
Alcúdia
10581
5345
5236
Algaida
3542
1766
1776
Andratx
8333
4164
4169
Artà
5936
2963
2973
503
264
239
5019
2424
2595
951
470
481
4338
2144
2194
32587
16293
16294
Campanet
2277
1115
1162
Campos
6944
3478
3466
Capdepera
6752
3374
3378
Consell
2210
1090
1120
Costitx
849
415
434
Deià
625
311
314
Escorca
275
148
127
Esporles
3811
1900
1911
Estellencs
338
176
162
14600
7268
7332
580
290
290
21103
10425
10678
837
415
422
Lloseta
4529
2231
2298
Llubí
1893
926
967
Llucmajor
21771
10804
10967
Manacor
30177
14988
15189
Mancor de la Vall
936
453
483
Maria de la Salut
1733
861
872
Marratxí
18084
9101
8983
Montuïri
2235
1105
1130
Muro
6028
2979
3049
Palma
319181
154748
164433
Petra
2571
1244
1327
Pollença
13450
6713
6737
Porreres
4226
2102
2124
Banyalbufar
Binissalem
Búger
Bunyola
Calvià
Felanitx
Fornalutx
Inca
Lloret de Vistalegre
ANLAGE 11
sa Pobla
10064
5169
4895
Puigpunyent
1163
576
587
Sencelles
1969
1009
960
Sant Joan
1662
826
836
Sant Llorenç
5594
2793
2801
1114
548
566
Santa Margalida
7107
3532
3575
Santa Maria del Camí
4558
2243
2315
Santanyí
7974
4026
3948
Selva
2918
1425
1493
ses Salines
3240
1642
1598
Sineu
2616
1278
1338
Sóller
11207
5565
5642
Son Servera
8065
4061
4004
Valldemossa
1599
779
820
Vilafranca de Bonany
2249
1101
1148
772
379
393
637510
313279
324231
7046
3490
3556
Ciutadella
21785
10853
10932
Ferreries
3921
2050
1871
22358
10878
11480
es Mercadal
2723
1353
1370
Sant Lluís
4106
2058
2048
es Castell
6005
3017
2988
1126
576
550
69070
34275
34795
5859
2966
2893
Eivissa
31582
15728
15854
Sant Antoni
14849
7507
7342
Sant Josep
13364
6815
6549
Sant Joan
3943
1991
1952
Santa Eulàlia
20306
10274
10032
EIVISSA
84044
42315
41729
Santa Eugènia
Ariany
MALLORCA
Alaior
Maó
es Migjorn Gran
MENORCA
Formentera
ANLAGE 12
Tabelle der Größen in cm von 40 Grundschülern:
145
160
149
144
169
148
162
151
147
149
152
167
155
141
151
167
171
172
150
152
170
170
167
140
163
132
148
163
152
164
120
168
151
161
170
139
175
142
170
142
18
17
16
Tabelle in aufsteigender Reihenfolge
120
1
145
9
151
17
162
25
169
33
132
2
147
10
151
18
163
26
170
34
139
3
148
11
152
19
163
27
170
35
Median : 152
140
4
148
12
152
20
164
28
170
36
141
5
149
13
152
21
167
29
170
37
(
20
Zehner
Zehner
Zehner
Zehner
Zehner
Zehner
100
142
6
149
14
155
22
167
30
171
38
142
7
150
15
160
23
167
31
172
39
20
von
von
von
von
von
von
120
130
140
150
160
170
15
144
8
151
16
161
24
168
32
175
40
14
13
12
Diagramm „Stämme und Blätter”
)
cm
cm
cm
cm
cm
cm
12:
13:
14:
15:
16:
17:
0
2
0
0
0
0
9
1
1
1
0
2
1
2
0
2
1
3
0
4
2
3
1
5
2
4
2
7 8 8 9 9
2 5
7 7 7 8 9
5
ANLAGE 13
x
50%
Median
50%
Modus=170
Mittelwert =
f
xf
120
132
139
140
141
142
144
145
147
148
149
150
151
152
155
160
161
162
163
164
167
168
169
170
171
172
175
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
2
1
3
3
1
1
1
1
2
1
3
1
1
4
1
2
1
120
132
139
140
141
284
144
145
147
296
298
150
453
456
155
160
161
162
326
164
501
168
169
680
171
172
175
Summe
40
6209
6209
40
Standardabweichung =
= 155,225
x-x
-35,225
-23,225
-16,225
-15,225
-14,225
-13,225
-11,225
-10,225
-8,225
-7,225
-6,225
-5,225
-4,225
-3,225
-0,225
4,775
5,775
6,775
7,775
8,775
11,775
12,775
13,775
14,775
15,775
16,775
19,775
(x-x)2
1240,801
539,401
231,801
202,351
202,351
174,901
126,001
104,551
67,651
52,201
38,751
27,301
17,851
10,401
0,051
22,801
33,351
45,901
60,451
77,001
138,651
163,201
189,751
218,301
248,851
281,401
391,051
(x-x)2f
1240,801
539,401
231,801
202,351
202,351
349,801
126,001
104,551
67,651
104,401
77,501
27,301
53,552
31,202
0,051
22,801
33,351
45,901
120,901
77,001
415,952
163,201
189,751
873,203
248,851
281,401
391,051
6282,975
Varianz =
6282’975 =
40
157,074
Varianz = 12,533
101
Gedruckt auf recyceltem Papier
Zufälle in Zahlen