Eine kurze Rekapitulation einiger Abschnitte der Grundphysik

Eine kurze Rekapitulation einiger Abschnitte der Grundphysik
Prüfungsrelevantes Ergänzungsmaterial zum Lehrfach „Medizinische Biophysik”
Zusammengestellt von Dr. Ferenc Tölgyesi Universitätsdozent
Semmelweis Universität
Institut für Biophysik und Strahlenbiologie
2013
Vorwort
Das Ziel dieses Skripts ist es, für den Studenten bei dem Verstehen der Vorlesungen des Lehrfaches
„Medizinische Biophysik‖ als auch bei der Prüfungsvorbereitung von Nutzen zu sein. Es soll aber bemerkt
werden, dass die in diesem Skript zusammengefassten Kenntnisse auch in anderen Fächern, wie Chemie,
Biochemie und Physiologie als bekannt vorausgesetzt werden.
Der Inhalt des Skripts gehört zum Biophysik-Prüfungsstoff, auch wenn in den Themenkatalogen des Faches
„Medizinische Biophysik‖ die Begriffe dieses Skripts nicht ausführlich aufgelistet werden und bei den
Prüfungen keine direkten Fragen aus diesem Stoff gezogen werden können. In dem Zulassungstest zu der
mündlichen Prüfung hingegen werden solche grundlegenden Fragen gestellt, die in diesem Skript behandelt
werden.
Das Skript fasst die zum Verstehen der Biophysik-Vorlesungen nötigen Kenntnisse von zwei Gebieten der
Physik zusammen, und zwar aus der Mechanik und der Elektrizitätslehre. Die Begriffe sind in 10 Lektionen
gegliedert und lexikonmäßig aufgeführt. Am Anfang der jeweiligen Lektion dient eine kleine Einführung der
Klarstellung, wo in der Medizin oder in dem medizinischen Studium die Begriffe der Lektion relevant sind.
Beispielaufgaben mit ausführlichem Lösungsweg sollen am Ende der Lektionen bei dem Verstehen der
aufgeführten Zusammenhänge helfen. Übungsaufgaben mit kurz angegebenen Lösungen schließen die
Lektionen.
An dieser Stelle möchte ich meinem früheren Studenten Herrn Karim Kouz für die sprachliche Korrektur und
für die Verbesserungsvorschläge einen besonderen Dank sagen.
Ferenc Tölgyesi
Inhaltsverzeichnis
1. Einige mathematische Hilfsmittel .............................................................. 1
2. Physikalische Größen und Einheiten.......................................................... 9
3. Mechanik Teil 1 — Kinematik................................................................. 13
4. Mechanik Teil 2 — Dynamik................................................................... 19
5. Mechanik Teil 3 — Energie und Arbeit...................................................
25
6. Mechanik Teil 4 — Druck........................................................................ 29
7. Mechanik Teil 5 — Schwingungslehre....................................................
33
8. Mechanik Teil 6 — Wellenlehre..............................................................
39
9. Elektrizitätslehre Teil 1 — Elektrostatik..................................................
47
10. Elektrizitätslehre Teil 2 — Elektrischer Strom.......................................
53
1. Einige mathematische Hilfsmittel
Mathematische Grundkenntnisse sind in der Physik unerlässlich. Ohne Anspruch auf Vollständigkeit werden
hier die wichtigsten grundlegenden, zu dem Biophysik-Kurs notwendigen mathematischen Hilfsmittel
rekapituliert.
In diesem Abschnitt geht es nur noch um Mathe, weshalb man sich keine Sorgen machen muss, wenn die als
Beispiel ab und zu auftauchenden physikalischen Größen, Maßeinheiten und Gesetze noch unbekannt sind. In
den entsprechenden späteren Abschnitten werden sie erklärt.
Zehnerpotenzen: Ganzzahlige Potenzen mit der Basis (Grundzahl) 10 und einem beliebigen, ganzzahligen
Exponenten (Hochzahl) n, also 10n. Einige Zehnerpotenzen als Beispiel:
100 = 1

n = 0:

n ist positiv: 101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
105 = 100000, ...

n ist negativ: 10–1 = 0,1
10–2 = 0,01
10–3 = 0,001
10–4 = 0,0001
10–5 = 0,00001, ...
Rechenregeln für Zehnerpotenzen:



10n  10m  10nm
10n
 10n  m
m
10
m
10n  10nm
 
z.B.: 108 102  106
105
z.B.: 5  1055   1010
10
 
3
z.B.: 103  109
Wissenschaftliche Schreibweise einer Zahl: Die Zahl wird als Produkt aus der Mantisse (m) und einer
Zehnerpotenz geschrieben:
m 10n ,
wobei der Exponent n so gewählt wird, dass die Mantisse m zwischen 1 und 10 ist. Zum Beispiel wird die Zahl
325 000 wissenschaftlich als 3,25·105 geschrieben. Weitere Beispiele:

5 300 000 = 5,3·106

105 000 000 = 1,05·108

0,000 000 5 = 5·10–7

0,000 000 006 6 = 6,6·10–9
Wenn die Zahl größer als 1 ist, ist der Exponent in der wissenschaftlichen Schreibweise positiv; wenn die Zahl
kleiner als 1 ist, ist der Exponent negativ. Mit Hilfe dieser Schreibweise kann man sehr große und sehr kleine
Zahlen kompakt schreiben, die in der Physik oder der Biologie ziemlich häufig vorkommen, z.B.:

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum: etwa 300 000 000 m/s = 3·108 m/s

Elementarladung: 0,000 000 000 000 000 000 16 C = 1,6·10–19 C (Coulomb)

Anzahl der Erythrozyten in einem Liter Blut: etwa 5 000 000 000 000 = 5·1012

Dicke einer Zellmembran: etwa 0,000 000 01 m = 1·10–8 m
Rundung: Werte, die man durch Rechnung mit dem Taschenrechner erhält, sollen in der Regel gerundet
werden. Zum Beispiel möchte man aus den gemessenen Werten, Körpermasse m = 72,5 kg und Körpervolumen
V = 69,5 Liter = 0,0695 m3, eines Patienten auf die durchschnittliche Körperdichte schließen. Wie bekannt,
ergibt sich die Dichte als Quotient aus der Masse und dem Volumen. Tippt man also 72,5 geteilt durch 0,0695
in den Taschenrechner ein, erhält man 1043,165468 für die Dichte (in kg/m3 Maßeinheit). Diese Genauigkeit ist
aber in der Praxis überflüssig und sowieso sinnlos, wenn die Genauigkeit der gemessenen Massen- und
Volumenwerte betrachtet wird. Es soll also gerundet werden - aber wie stark?
1
In dem Biophysik-Kurs wird die folgende Rundungsregel allgemein empfohlen: Rundung auf drei
signifikante Stellen. Von links an betrachtet man die Stellen der zu rundenden Zahl. Die erste von Null
verschiedene Stelle ist die erste signifikante Stelle. Ab dieser Stelle gezählt, wird auf die dritte Stelle gerundet,
und zwar abhängig von der Ziffer an der vierten signifikanten Stelle. Wenn dort eine Ziffer von 0 bis 4 steht,
wird sie abgerundet, im Falle einer Ziffer von 5 bis 9, wird aufgerundet. Nach dieser Regel wird der Dichtewert
des obigen Beispiels auf 1043,165468 kg/m3  1040 kg/m3 gerundet. Weitere Beispiele:

128 845 = 129 000

25,910 78 = 25,9

1,929 856 = 1,93

0,002 385 555 = 0,002 39

0,010 998 589 = 0,011
Zehnerlogarithmus oder dekadischer Logarithmus: Eine mathematische Operation mit der Grundzahl 10 und
mit der Bezeichnung „lg‖. „lg a‖ ist die Zahl x, mit welcher man 10 potenzieren muss, um a zu erhalten:
lg a  x  10x  a .
Zum Beispiel:
lg1000  3  103  1000
lg1  0  100  1
lg 0,01  2  10 2  0,01
Formal ist also der Logarithmus die Lösung der Gleichung a = 10x. Potenzieren und Logarithmieren sind
Umkehroperationen, da nach den obigen Ausdrücken gilt:
 
10lg a  a oder lg 10x  x .
Natürlicher Logarithmus: Analog zum Zehnerlogarithmus, nur mit der Grundzahl e und mit der Bezeichnung
„ln‖ (logarithmus naturalis). Die Grundzahl e ist die Eulersche Zahl: e = 2,718... „ln a‖ ist die Zahl x, mit
welcher man e potenzieren muss, um a zu erhalten:
ln a  x  e x  a .
Für den natürlichen Logarithmus gilt auch:
eln a  a oder ln e x  x .
 
Rechenregeln des Logarithmierens:



lga  b  lg a  lg b
z.B.: lg 25  lg 4  lg25  4  lg100  2
a
lg   lg a  lg b
b
lg a n  n  lg a
 20 
z.B.: lg 20  lg 200  lg
  lg 0,1  1
 200 
z.B.: 2  lg 5  2  lg 2  lg 52  lg 22  lg 25  lg 4  lg100  2
 
   
Gleichungen: In der Physik schreibt man oft ein Gesetz, d.h. einen Zusammenhang zwischen Größen, auf, aus
welchem man eine Größe bestimmen möchte. Diesen Zusammenhang behandelt man als eine Gleichung, die
man nach der zu bestimmenden Größe auflöst. Die zu bestimmende Größe wird im Weiteren Unbekannte
genannt und mit x bezeichnet. In dem Biophysik-Kurs kommen verschiedene Gleichungstypen wie z.B. lineare,
quadratische, trigonometrische und exponentielle Gleichungen vor.
Lineare Gleichung mit einer Unbekannten: Die Gleichung enthält nur die erste Potenz von x. Zum Beispiel:
4 x  5  33 .
Man kann die Gleichung folgenderweise nach x auflösen: Zuerst zieht man von beiden Seiten 5 ab:
4 x  28 ,
2
dann dividiert man beide Seiten durch 4:
28
7.
4
Ein Beispiel aus der Physik: Ein Auto startet aus der Ruhe, beschleunigt gleichmäßig und legt eine Strecke
s = 125 m in einer Zeitspanne t = 6 s zurück. Für solche Bewegungen gilt das sogenannte quadratische
Weggesetz:
1
s  at 2 ,
2
wobei a die Beschleunigung bezeichnet, die unbekannt ist. Die Gleichung löst man nach a auf, indem man die
beiden Seiten zuerst mit 2 multipliziert und dann durch t2 teilt:
x
2s  at 2
2s
a.
t2
Setzt man die Werte ein, so erhält man 250/36 m/s2 = 6,944444444 m/s2. Auf drei signifikante Stellen gerundet
ergibt dies: 6,94 m/s2.
Quadratische Gleichung mit einer Unbekannten: Die Gleichung enthält die zweite Potenz von x. Zum
Beispiel:
5x2  26x  24 .
Man bringt die Gleichung in die allgemeine Form:
a  x2  b  x  c  0 .
Für quadratische Gleichungen gilt die Lösungsformel:
 b  b 2  4ac
,
2a
woraus man die zwei mathematisch möglichen Lösungen x1,2 , d.h. x1 und x2, erhalten kann. Lösen wir die obige
quadratische Gleichung mit der Lösungsformel. Zuerst wird die Gleichung in die allgemeine Form gebracht:
5x2  26x  24  0 .
Das heißt: a = 5, b = –26 und c = –24. Diese Werte können in die Lösungsformel eingesetzt werden:
x1, 2 
x1, 2 
 26  676  480 26  34
.

10
10
Die zwei Lösungen sind:
26  34
6
10
26  34
x2 
 1,2 .
10
Ein Beispiel aus der Physik: Ein Auto startet aus der Ruhe, bewegt sich mit einer Beschleunigung a = 6 m/s2
und legt eine Strecke s = 125 m zurück. Welche Zeitspanne t ist für diese Strecke nötig? Jetzt ist a unbekannt in
dem schon früher zitierten Gesetz:
1
s  at 2 .
2
Man kann die Gleichung nach dem Einsetzen der Werte auch mit der allgemeinen Lösungsformel lösen:
1
125  6t 2
2
x1 
t1, 2
3t 2  0t  125  0
0  0  1500  38,7


 6,45 s .
6
6
Aus den zwei mathematisch möglichen Lösungen ist +6,45 s sinnvoll, währenddessen –6,45 s physikalisch
sinnlos ist. Es soll aber bemerkt werden, dass man bei solchen unvollständigen quadratischen Gleichungen (b
3
war nämlich „0‖) auf die Verwendung der allgemeinen Lösungsformel verzichten kann - es geht nämlich noch
einfacher:
2s
250
t

 6,45 s .
a
6
Gleichungssystem mit zwei Unbekannten: Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten x und y. Zum Beispiel:
3x  2 y  14
x  4y  8
Mit der einen Gleichung drückt man die eine Unbekannte aus, setzt sie in die andere Gleichung ein und erhält
so eine einzige Gleichung mit einer einzigen Unbekannten. Die zweite Gleichung lösen wir im obigen Beispiel
nach x auf und setzen sie in die erste Gleichung ein:
x  8  4y
38  4 y   2 y  14
24  12 y  2 y  14
 10 y  10
y 1
Die Lösung für y setzen wir in den Ausdruck für x ein:
x  8  4y  8  4  4 .
Ein Beispiel aus der Physik: Bei einer optischen Linse der Brennweite f = 30 cm liegt ein Gegenstand auf der
einen Seite und sein durch die Linse abgebildetes Bild auf der anderen Seite der Linse 125 cm weit voneinander
entfernt. Wo liegt die Linse im Vergleich zum Gegenstand und dem Bild, d.h. wie weit entfernt liegen
Gegenstand und Bild von der Linse? Für diesen Fall gilt das Abbildungsgesetz:
1 1 1
  ,
f g b
wobei g die Gegenstandsweite und b die Bildweite bezeichnen. Sie sind jetzt unbekannt. Das Abbildungsgesetz
stellt eine Gleichung dar. Die zweite Gleichung wird aufgrund der weiteren Information in der
Aufgabenstellung (Gegenstandsweite und Bildweite ergeben insgesamt 125 cm) erstellt:
1 1 1
 
30 g b
g  b  125
Die zweite Gleichung lösen wir nach g auf und setzen sie in die erste Gleichung ein:
b  125  g
1 1
1
 
30 g 125  g
Durch Umstellen der Gleichung ergibt sich die quadratische Gleichung:
g 125  g   30125  g   30g
125g  g 2  3750  30g  30g
0  g 2  125g  3750
Dies ist eine vollständige quadratische Gleichung. Aufgrund der Lösungsformel erhält man:
 125  15625 15000 125  25
.
g1, 2 

2
2
Die zwei Lösungen sind:
125  25
g1 
 75 cm ,
2
125  25
g2 
 50 cm .
2
4
Beide Lösungen für g setzen wir in den Ausdruck für b ein:
b1  125  g1  125  75  50 cm
b2  125  g 2  125  50  75 cm
Beide Lösungen sind physikalisch sinnvoll. Entweder stellt man den Gegenstand 75 cm weit vor die Linse, dann
entsteht das Bild auf der anderen Seite der Linse 50 cm weit entfernt von der Linse, d.h. insgesamt 125 cm vom
Gegenstand, oder man stellt den Gegenstand 50 cm weit vor die Linse, dann wird die Bildweite 75 cm sein.
Trigonometrische Gleichung: Die Unbekannte x steht im Argument einer Winkelfunktion. Zum Beispiel:
sin x  0,5 .
Die Lösung ergibt sich einfach durch die Umkehrfunktion von Sinus, die bei den meisten Taschenrechnern
(unglücklicherweise, da mathematisch nicht der Reziprokwert gemeint ist) mit sin–1 bezeichnet ist:
x  sin 1 0,5  30 ,
wenn der Taschenrechner auf die Grad-Einheit gestellt ist („D‖- oder „deg‖-Zeichen auf dem Display wegen des
englischen Wortes degree). Wenn der Taschenrechner auf die Radiant-Einheit gestellt ist („R‖- oder „rad‖Zeichen auf dem Display), dann wird folgendes Ergebnis erscheinen:
x  sin 1 0,5  0,524 .
(Über die Einheiten Grad und Radiant siehe später im Paragraph „Winkelmessung‖.)
Ein Beispiel aus der Physik: Bei einer harmonischen Schwingung wird die Auslenkung des Körpers von der
Ruhelage (y) mit einer Sinusfunktion beschrieben:
y  A  sin 2  f  t  ,
wobei A die Amplitude (maximale Auslenkung) und f die Frequenz (Schwingungszahl pro Zeiteinheit)
bezeichnen. Als Beispiel nehmen wir das Pendel von dem französischen Physiker Foucault in dem Pariser
Pantheon. Das 67 m lange Pendel schwang mit einer Amplitude von etwa 3 m und einer Frequenz von 0,061 Hz
(Hz steht für die SI-Einheit der Frequenz, das Hertz, es entspricht 1/s). Nun stellen wir die Frage, in welcher
Zeitspanne t das Pendel die Auslenkung 2 m von der Ruhelage ausgehend erreicht? Die Unbekannte t steht im
Argument, es handelt sich also um eine trigonometrische Gleichung. Durch Umstellen der Gleichung und durch
die sin–1-Taste (INV+SIN- oder 2ndF+SIN-Tastenkombination bei den meisten Taschenrechnern) ergibt sich die
Lösung:
y
 sin 2  f  t 
A
 y
sin 1    2  f  t
 A
 y
2
sin 1  
sin 1  
 A 
 3   0,7297  1,9 s
t
2  f
2  3,14  0,061 0,3831
Bei dieser Rechnung muss der Taschenrechner unbedingt auf die Radiant-Einheit gestellt sein, da die Einheit
der Frequenz 1/s und nicht º/s ist. (Bei den Zwischenergebnissen wurde hier eine schwächere Rundung
verwendet.)
Exponentialgleichung: Die Unbekannte x steht im Exponenten. Zum Beispiel:
2x  5 .
Die Lösung ergibt sich durch Logarithmieren:
lg 2 x  lg 5
x  lg 2  lg 5
lg 5 0,699
x

 2,32
lg 2 0,301
 
5
Natürlich erhält man das gleiche Ergebnis, wenn statt des dekadischen Logarithmus der natürliche verwendet
wird:
ln 2 x  ln 5
x  ln 2  ln 5
ln 5 1,609
x

 2,32
ln 2 0,6931
Ein Beispiel aus der Physik: Radioaktive Atomkerne zerfallen spontan; die Aktivität () eines radioaktiven
Präparates sinkt exponentiell nach dem sog. Zerfallsgesetz:
 
Λ  Λ0  e  t ,
wobei 0 die Aktivität des radioaktiven Präparates zum Zeitpunkt t = 0, die Aktivität des Präparates zu einem
späteren Zeitpunkt t und  die Zerfallskonstante bezeichnen. Für eine medizinische Untersuchung wird ein
radioaktives Präparat der Aktivität 0 = 200 000 Bq (Bq steht für die SI-Einheit der Aktivität, das Becquerel)
vorbereitet. Nach welcher Zeit wird die Aktivität auf  = 25 000 Bq sinken? Die Zerfallskonstante beträgt
0,005 1/min. Aus dem Zerfallsgesetz kann die Zeit t durch Umstellen und Logarithmieren ausgedrückt werden.
Wir verwenden jetzt den natürlichen Logarithmus:
Λ
 e   t
Λ0
 
 Λ
ln   ln e   t
 Λ0 
 Λ
ln     t
 Λ0 
 Λ
ln 
 Λ0   t

Nach dem Einsetzen der Werte ergibt sich die gefragte Zeit in Minuten, da die Zerfallskonstante in der Einheit
1/min eingesetzt wird:
 25000 
ln

200000 ln 0,125  2,079
t 


 416 min  6 h und 56 min .
 0,005
 0,005  0,005
Einige spezielle Flächen und Körper:
 Kreis (Radius r):
Umfang: U  2  r  
 Kugel (Radius r):
Oberfläche: A  4  r 2  
Fläche: A  r 2  
4
Volumen: V   r 3  
3
Winkelmessung: Ein Winkel kann entweder in Grad-Einheiten
(º) oder in Radiant-Einheiten (rad) angegeben werden. Bei der
ersten wird die wohlbekannte Vereinbarung verwendet, dass
ein Vollwinkel (ein ganzer Kreis) in 360° eingeteilt ist. Den
Winkel  gibt man in der Radiant-Einheit nach der folgenden
Definitionsformel an:
b
 ,
r
wobei b den zum Winkel  gehörenden Kreisbogen in einem
Kreis des Radius r bezeichnet.
6
Bei einem Vollwinkel ist der Kreisbogen identisch mit dem Umfang des Kreises, also b = 2r, woraus folgt,
dass 360º für den Vollwinkel 2 rad entsprechen:
360  2 rad  6,28 rad .
Daraus folgt des Weiteren, dass
2
1 
 0,01745rad
360
(das Rad-Zeichen wird oft nicht ausgeschrieben) bzw.:
360
1 rad 
 57,3
2
ist.
Übungsaufgaben:
1. Was bedeutet 10–3?
10  10
2. Berechnen Sie den genauen Wert des folgenden Ausdrucks ohne Taschenrechner:
3 2
2
10
4
1010 .
3. Schreiben Sie die folgende Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise: 390 000 000 .
4. Runden Sie den folgenden Wert auf drei signifikante Stellen: 0,004 099 099 .
5. Berechnen Sie den genauen Wert des folgenden Ausdrucks ohne Taschenrechner: 2  lg 5  2  lg 20 .
6. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem:
x  y  3 y
x y3
7. Lösen Sie die folgende Gleichung: sin x  0,72  sin 30 .
8. Lösen Sie die folgende Gleichung: 10000 2  e0,51 x .
9. Welchen Radius besitzt eine Kugel des Volumens 1 m3?
10. Ein Winkel beträgt 80º. Wandeln Sie den Wert in die Radiant-Einheit um.
7
Lösungen:
1. 0,001
2. 100
3. 3,9·108
4. 0,0041
5. 4
6. x = 3, y = 0
7. 21,1º
8. 16,7
9. 62 cm
10. 1,4
8
2. Physikalische Größen und Einheiten
Physik basiert auf Beobachtungen. Diese müssen quantitativ sein, nur dann sind sie nachprüfbar und für die
weitere Forschung und Anwendung geeignet. Die Physik beruht also auf Messungen und sie arbeitet mit aus den
Messungen gewonnenen physikalischen Größen. Jedes Gebiet der Physik hat seine Größen. Die unerlässliche
Grundvoraussetzung für das Verständnis der Physik und deren korrekte medizinische Anwendung ist die genaue
Kenntnis der physikalischen Größen und Einheiten der einzelnen Gebiete.
Physikalische Größe: Wird durch ihre Messvorschrift definiert und meist mit einem Formelzeichen abgekürzt.
Der Wert der physikalischen Größe lässt sich als Produkt angeben:
physikalische Größe = Zahlenwert · Maßeinheit.
Z. B. kann die Körperhöhe mit dem Formelzeichen h abgekürzt werden und ein Messwert wird dann z. B. als
h = 183 cm angegeben. (Der Malpunkt wird in der Regel weggelassen.) Physikalische Größen lassen sich nach
verschiedenen Gesichtspunkten aufteilen: Skalare – Vektoren oder Basisgrößen – abgeleitete Größen.
Skalar (skalare Größe): Eine nicht gerichtete physikalische Größe, also rein durch den Betrag bestimmt, z.B.
die Temperatur eines Körpers. Die Angabe 37°C ist vollständig.
Vektor (vektorielle Größe): Eine gerichtete physikalische Größe, also durch den Betrag und die Richtung
bestimmt, z. B. die Geschwindigkeit eines Körpers. Die Angabe 60 km/h ist nicht vollständig. Zur vollständigen
Beschreibung muss auch noch die Richtung der Geschwindigkeit angegeben werden.
Basisgrößen: Willkürlich ausgewählte Größen, auf die man die anderen Größen zurückführt - z. B. Länge.
(Siehe die sieben willkürlich ausgewählten Basisgrößen des internationalen Einheitensystems in der unten
stehenden Tabelle.)
Physikalische Einheit, Maßeinheit: Eine festgelegte Größe, die als Vergleichsmaß bei der Messung von
Größen der gleichen Art dient, z. B. Meter. Die Maßeinheiten werden auch mit Formelzeichen abgekürzt, z. B.
m für Meter.
Basiseinheiten: Die Maßeinheiten der Basisgrößen. Die weiteren Maßeinheiten können auf die Basiseinheiten
zurückgeführt werden. (Siehe die sieben Basiseinheiten des internationalen Einheitensystems in der Tabelle.)
Internationales Einheitensystem (Système International d’Unités, abgekürzt SI): Systematische
Zusammenstellung von physikalischen Einheiten mit sieben Basiseinheiten, die den sieben Basisgrößen
entsprechen, siehe Tabelle. Es gibt auch Maßeinheiten außerhalb des Internationalen Einheitensystems, deren
Benutzung erlaubt ist, z.B. Minute bei der Zeitmessung.
Internationales Einheitensystem (SI)
Basisgröße
Name
Länge
Masse
Zeit
Elektrische Stromstärke
Thermodynamische Temperatur
Stoffmenge
Lichtstärke
SI-Basiseinheit
gewöhnliches,
jedoch nicht
obligatorisches
Zeichen
l
m
t
I
T
n
I
Name
obligatorisches
Zeichen
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Kelvin
Mol
Candela
m
kg
s
A
K
mol
cd
9
(Die Definitionen der Basisgrößen und –einheiten sind zwar interessant und wichtig, jedoch für
Medizinstudenten als Verwender der Physik nicht von großer praktischer Bedeutung. Deshalb wird hier auf die
ausführliche Einführung verzichtet.)
Abgeleitete Größen und Einheiten: Werden von den sieben Basisgrößen bzw. –einheiten meistens durch eine
Definitionsformel hergeleitet. Z. B. wird die Geschwindigkeit (v) als Quotient der zurückgelegten Strecke (also
Länge, s) und der dazu gehörenden Zeitspanne (t) definiert (
). Dementsprechend ist die SI-Einheit
der Geschwindigkeit Meter/Sekunde (m/s), obwohl die praktische Kilometer/Stunde-Einheit (km/h) auch erlaubt
ist.
Vorsätze: Dezimale Vielfache oder Teile, die in Verbindung mit Maßeinheiten zur Vereinfachung der
Schreibweise von sehr großen oder sehr kleinen Werten benutzt werden - z.B. Kilo (abgekürzt als k) heißt 1000
(103) und so kann 200000 m einfacher als 200 km geschrieben werden. Die meist benutzten Vorsätze und ihre
Bedeutungen sind in der nächsten Tabelle zu sehen.
Vorsätze
Vorsatz
Name Zeichen
Exa
E
Faktor
1018
Peta
P
1015
Tera
T
1012
Giga
G
109
Mega
M
106
Kilo
k
103
Hekto
h
102
Deka
da
10
Dezi
d
10–1
Zenti
c
10–2
Milli
m
10–3
Mikro
10–6
Nano

n
Piko
p
10–12
Femto
f
10–15
Atto
a
10–18
10–9
Beispielaufgaben:
1. Schreiben Sie die folgenden Größen ohne Vorsatz in wissenschaftlicher Schreibweise und auf drei
signifikante Stellen gerundet!
a) 0,004996 PJ =
b) 32,88 fmol =
c) 1198,7 km =
Lösung (zuerst wird die Rundung, dann das Ersetzen des Vorsatzes durchgeführt):
a) 0,004996 PJ = 0,005 PJ = 5·10–3 PJ = 5·10–3·1015 J = 5·1012 J
10
b) 32,88 fmol = 32,9 fmol = 3,29·101 fmol =·3,29·101·10–15 mol = 3,29·10–14 mol
c) 1198,7 km = 1200 km = 1,2·103 km = 1,2·103·103 m = 1,2·106 m
2. Schreiben Sie die folgenden Größen mit Vorsätzen so auf, dass die Werte mit möglichst wenigen Ziffern
geschrieben werden:
a) 0,0025 m =
b) 0,033·108 W =
c) 0,00310–6 mol =
Lösung:
a) 0,0025 m = 2,5·10–3 m = 2,5 mm
b) 0,033·108 W = 3,3·106 W = 3,3 MW
c) 0,00310–6 mol = 3·10–9 mol = 3 nmol
Übungsaufgaben:
Schreiben Sie die folgenden Größen ohne Vorsatz in wissenschaftlicher Schreibweise und auf drei signifikante
Stellen gerundet:
1. 0,2455 m = ..................
2. 3,2982 MJ = ...................
3. 123,5 aJ = .......................
Schreiben Sie die folgenden Größen mit Vorsatz so auf, dass die Werte mit möglichst wenigen Ziffern
geschrieben werden:
4. 5,210–8 s = ......................
5. 0,003 mol = .....................
6. 8750104 J = .....................
Wandeln Sie um:
7. 5106 fmol = ……............. nmol
8. 300 cm2 = ….........……… m2
9. 12 dm3 = ......….........…... cm3
10. 25 m/s = ……...........…… km/h
11
Lösungen:
1. 2,46·10–7 m
2. 3,30·106 J
3. 1,24·10–16 J
4. 52 ns
5. 3 mmol
6. 87,5 MJ
7. 5 nmol
8. 0,03 m2
9. 12 000 cm3
10. 90 km/h
12
3. Mechanik Teil 1 — Kinematik
Kinematik (Bewegungslehre) beschäftigt sich mit der Beschreibung von Bewegungen. Einerseits braucht man
die Begriffe der Kinematik überall in den Naturwissenschaften, andererseits, was die Medizin betrifft, sind sie
in erster Linie in der Biomechanik und Sportmedizin von Nutzen.
Bewegungen sind immer relativ. Ob ein Körper steht oder sich bewegt, hängt von dem gewählten Bezugssystem
ab. Z. B. bewegt sich ein auf der Erde stehender Mensch (der sich im Vergleich zur Erde in Ruhe befindet),
zusammen mit der Erde mit einer ziemlich hohen Geschwindigkeit um die Sonne, sofern man die Sonne als
Vergleichsobjekt betrachtet.
Bezugssystem: Die Gesamtheit von willkürlich ausgewählten Körpern, die sich im Vergleich zueinander nicht
bewegen und zu welchen die Bewegung des untersuchten Körpers beschrieben wird. Beispiel zur
Veranschaulichung: Ein Mensch und ein Baum stehen am Straßenrand und sehen ein Auto vorbeifahren. Der
stehende Mensch und der Baum bewegen sich im Vergleich zueinander nicht. Das Auto, als untersuchtes
Objekt, bewegt sich relativ zum Bezugssystem (Baum und Mensch) auf die beiden zu. Umgekehrt könnte das
Auto mit dem darin sitzenden Menschen als Bezugssystem definiert werden. Relativ zu diesem ruhenden
System würden sich dann der Mensch und der Baum am Straßenrand auf das Auto zubewegen.
Jede beliebige Bewegung eines starren Körpers (ein idealisierter Körper, dessen Form gleich bleibt) lässt sich
aus Translations- und Drehbewegungen zusammensetzen.
Translationsbewegung: Alle Punkte eines Körpers bewegen sich
gleichförmig auf Bahnen, die zueinander parallel sind. Die
Bewegung eines Skispringers ist annähernd eine Translation,
zumindest ein paar Sekunden lang nach Verlassen der
Sprungschanze.
Drehbewegung (Rotation): Die Punkte eines Körpers bewegen
sich auf konzentrischen Kreisen um eine feststehende Achse oder
um einen feststehenden Punkt. Die Pirouette einer Eiskunstläuferin
ist annähernd eine Rotation.
Zunächst beschäftigen wir uns mit der Beschreibung der
Translationsbewegungen.
Translationsbewegung
Ein realer ausgedehnter Körper kann als Massepunkt betrachtet werden, falls von seiner eventuellen
Rotationsbewegung abgesehen wird. Die Grundbegriffe der Kinematik, wie Geschwindigkeit, Beschleunigung,
Periodenzeit, Frequenz, Winkelgeschwindigkeit können durch die Bewegung eines Massepunktes eingeführt
werden.
Geschwindigkeit (Formelzeichen v): Quotient aus der zurückgelegten Strecke (s) und der entsprechenden
Zeitspanne (t):
s
.
v
t
Die Zeitspanne muss klein genug sein, damit die Bewegungsänderung des Körpers während dieser Zeitspanne
vernachlässigt werden kann. Die SI-Einheit der Geschwindigkeit ist m/s. Die Geschwindigkeit beschreibt die
Schnelligkeit einer Bewegung. (Sie ist eigentlich eine vektorielle Größe - hier wird sie der Einfachheit halber im
Weiteren meist als Skalar behandelt.)
13
Gleichförmige geradlinige Bewegung: Eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit. Für eine
gleichförmige Bewegung gilt: s  v  t , d. h. die zurückgelegte Strecke wächst linear mit der Zeit (siehe unten:
Diagramme für eine gleichförmige geradlinige Bewegung).
Beschleunigung (Formelzeichen a): Quotient aus der Änderung der Geschwindigkeit (v) und der
entsprechenden Zeitspanne (t):
v
.
a
t
Die Zeitspanne soll klein genug sein, damit die Beschleunigungsänderung des Körpers während dieser
Zeitspanne vernachlässigt werden kann. Die SI-Einheit der Beschleunigung ist m/s2. Die Beschleunigung
beschreibt, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert. (Auch die Beschleunigung ist eine vektorielle Größe,
die hier im Weiteren meist als Skalar behandelt wird.) Nimmt die Geschwindigkeit eines Körpers bei einer
geradlinigen Bewegung zu, wird die Geschwindigkeitsänderung v und dadurch auch die Beschleunigung des
Körpers positiv sein. Nimmt die Geschwindigkeit hingegen ab, ist die Geschwindigkeitsänderung v (von dem
späteren kleineren Geschwindigkeitswert muss der frühere größere Wert abgezogen werden) und damit auch die
Beschleunigung negativ.
Gleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung: Eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Für eine
gleichförmig beschleunigte Bewegung gilt:
v  a  t  v0 ,
1
s  at 2  v0  t ,
2
wobei v0 die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 bezeichnet. Die erste Gleichung verdeutlicht, dass die
erreichte Geschwindigkeit des Körpers von der ursprünglichen Anfangsgeschwindigkeit ausgehend,
gleichmäßig (linear) mit der Zeit zu- oder abnimmt, abhängig von dem Vorzeichen der Beschleunigung. Da die
Geschwindigkeit des Körpers nicht konstant bleibt, sondern zu- oder abnimmt, wird in den gleichen
Zeitspannen immer mehr (oder immer weniger) Weg zurückgelegt. Der zurückgelegte Weg hängt also
quadratisch von der Zeit ab, wie die zweite Gleichung zeigt (siehe die Diagramme für eine gleichförmig
beschleunigte geradlinige Bewegung). Als Beispiel für eine praktische Verwendung der obigen Formel sei
wieder der Skisprung erwähnt. Obwohl diese Bewegung keine gleichförmig beschleunigte geradlinige
Bewegung ist, kann sie aus mehreren solchen Bewegungen zusammengesetzt werden. Im Besitz der
geometrischen Daten der Schanze und mit der Kenntnis der Beschleunigungswerte des Springers könnte man z.
B. die am Ende der Schanze erreichte Höchstgeschwindigkeit, den höchsten Punkt des Sprunges und die erzielte
Sprunglänge errechnen.
Erdbeschleunigung oder Beschleunigung des freien Falles oder Ortsfaktor (Formelzeichen g): Die
Beschleunigung eines Körpers beim freien Fall (Spezialfall der gleichförmig beschleunigten Bewegung, bei
dem sich ein Massepunkt ausschließlich unter dem Einfluss der Schwerkraft bewegt) im Schwerefeld der Erde.
Sie beträgt im Mittel 9,81 m/s2. D. h. die Geschwindigkeit des frei fallenden Körpers nimmt in jeder Sekunde
um 9,81 m/s zu.
Weg-Zeit-Diagramm: Graphische Darstellung des zurückgelegten Weges gegen die Zeit.
Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm: Graphische Darstellung der Geschwindigkeit gegen die Zeit.
Beschleunigung-Zeit-Diagramm: Graphische Darstellung des zurückgelegten Weges gegen die Zeit.
14
Diagramme für eine gleichförmige geradlinige Bewegung
Diagramme für eine gleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung
Kreisbewegung: Ein Massepunkt bewegt sich auf einer kreisförmigen Bahn. Die Bewegung ist eine
Translationsbewegung und keine Drehung! Des Weiteren ist sie eine periodische Bewegung.
Winkelgeschwindigkeit oder Kreisfrequenz (Formelzeichen ): Der Quotient
aus dem Winkel (), der vom Fahrstrahl (Verbindungslinie zwischen
Massepunkt und Mittelpunkt des Kreises) überstrichen wird, und der
entsprechenden Zeitspanne (t):

.

t
Die Zeitspanne soll klein genug sein, damit die Bewegungsänderung des
Körpers während dieser Zeitspanne vernachlässigt werden kann. Die SI-Einheit
der Winkelgeschwindigkeit ist 1/s. (Der Winkel wird hier also in Radiant
gemessen, nur wird das „rad‖ Zeichen nicht ausgeschrieben.)
Gleichförmige Kreisbewegung: Eine Bewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (siehe Abbildung). Bei
einer gleichförmigen Kreisbewegung ändert sich die Richtung der Geschwindigkeit ständig, allerdings nicht ihr
Betrag. Bei einer gleichförmigen Bewegung wächst der zurückgelegte Winkel linear mit der Zeit:     t . Die
Geschwindigkeit des Körpers auf der Kreisbahn ist natürlich abhängig von der Winkelgeschwindigkeit, aber
auch von dem Radius: v  r   . Bei der gleichen Winkelgeschwindigkeit hat nämlich der vom Mittelpunkt
weiter entfernte Körper eine proportional höhere Geschwindigkeit. Bespiel: Laufen zwei Läufer nebeneinander
im Kreis, so muss der weiter vom Mittelpunkt des Kreises entfernte Läufer schneller laufen als sein Nachbar,
damit beide immer auf der gleichen Höhe sind und einen Umlauf gleichzeitig beenden. D.h. die Läufer beenden
einen Umlauf gleichzeitig, wobei ein Läufer einen längeren Weg zurückgelegt und somit auch eine höhere
Geschwindigkeit haben muss.
Radialbeschleunigung oder Zentripetalbeschleunigung (Formelzeichen aR):
Die Beschleunigung, die sich bei einer gleichförmigen Kreisbewegung aus der
Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors ergibt (obwohl der Betrag
der Geschwindigkeit konstant bleibt!). Die Radialbeschleunigung ist konstant
im Betrag und ist stets zum Kreismittelpunkt gerichtet. Es gilt:
v2
aR 
 r 2 .
r
15
Periodenzeit oder Umlaufzeit (Formelzeichen T): Die Zeit, die der Massepunkt bei einer gleichförmigen
Kreisbewegung für einen vollen Umlauf benötigt. Die SI-Einheit der Periodenzeit ist die Sekunde (s).
Frequenz (Formelzeichen f): Die Anzahl der Umläufe pro Zeiteinheit. Es gilt:
1
f  .
T
Die SI-Einheit der Frequenz ist das Hertz (Hz; 1 Hz = 1/s).
Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung sind Frequenz und Winkelgeschwindigkeit zueinander proportional:
. (Deshalb nennt man die Winkelgeschwindigkeit auch Kreisfrequenz.)
Die drei Größen Periodenzeit, Frequenz und Kreisfrequenz sind allgemein bei jeder periodischen Bewegung (z.
B. Schwingung), sogar bei jeder periodischen Änderung (z. B. Druck-, Volumen- oder Potenzialänderungen bei
z.B. der Herztätigkeit) verwendbar.
Rotationsbewegung (Drehung)
Die Drehbewegung (Rotation) eines starren Körpers ist dadurch gekennzeichnet, dass es inner- oder außerhalb
des Körpers eine Gerade (oder einen Punkt) gibt, um welche sich alle Punkte des Körpers auf konzentrischen
Kreisen (oder auf konzentrischen Kugeln) bewegen. Die Punkte führen also Kreisbewegungen durch. Deshalb
können alle Größen der Kreisbewegung wie Winkelgeschwindigkeit, Radialbeschleunigung, Periodenzeit und
Frequenz zur Beschreibung der Drehbewegung benutzt werden, nur werden sie gelegentlich ein wenig anders
bezeichnet. Z. B. wird die Frequenz im Falle einer Rotation manchmal Drehfrequenz oder Drehzahl genannt.
Beispielaufgaben:
1. Ein Ultraschallkopf ist auf die Haut eines Patienten gedrückt. Aus dem Ultraschallkopf tritt ein kurzzeitiger
Ultraschallimpuls in eine bestimmte Richtung aus, dringt in den Körper ein, wird durch die Grenzfläche
eines Organs reflektiert und kehrt zum Ultraschallkopf in einer Zeitspanne von insgesamt 80 s zurück. Wie
tief liegt das reflektierende Organ im Körper? (Die Geschwindigkeit des Ultraschallimpulses im Körper
beträgt 1500 m/s.)
Lösung:
Der Ultraschallimpuls führt eine gleichmäβige Bewegung mit einer Geschwindigkeit von v = 1500 m/s
durch. Die zurückgelegte Strecke s (hin und her!) während der Gesamtzeit t = 80 s = 8·10–5 s ist
s  v  t  1500 8  105  0,12 m .
Die Tiefe ist gerade die Hälfte dieser Strecke, da der Ultraschall in den Körper hinein und nach der
Reflexion am Organ wieder hinaus zum Ultraschallkopf kommt, also 0,06 m = 6 cm.
2. Ein Apfel hängt über dem Kopf eines Menschen. Der Stängel reißt, der Apfel fällt frei herunter und prallt
nach 3 m Strecke auf den Kopf. In welcher Zeitspanne und mit welcher Geschwindigkeit trifft der Apfel auf
den Kopf des Menschen?
Lösung:
Der Apfel startet aus der Ruhe und führt eine gleichmäβig beschleunigte Bewegung durch mit einer
Beschleunigung von a = g = 9,81 m/s2. Die zurückgelegte Strecke ist s = 3 m. Es gilt:
1
1
s  at 2  gt 2 .
2
2
Daraus ergibt sich:
2s
23
t

 0,782s .
g
9,81
16
Die Geschwindigkeit erhält man aus dem Zusammenhang:
m
km
( 27,6
!) .
s
h
(Der Apfel fällt aufgrund des Luftwiderstandes nicht „richtig frei‖ herunter, sodass die erreichte
Geschwindigkeit tatsächlich kleiner ist, als der durch die einfache Rechnung erhaltene Wert.)
v  a  t  g  t  9,81 0,782  7,67
3. Ein Satellit umkreist die Erde auf einer kreisförmigen Bahn 1670 km weit von der Erdoberfläche in 2
Stunden. (Der mittlere Erdradius beträgt 6370 km). Wie groß ist die
a) Periodenzeit?
b) Winkelgeschwindigkeit?
c) Bahngeschwindigkeit des Satelliten (in km/s)?
d) Anzahl der Umkreisungen des Satelliten um die Erde in einer Woche?
Lösung:
Der Satellit führt eine gleichförmige Kreisbewegung durch. Der Radius der Kreisbewegung
beträgt r = 6370 km + 1670 km = 8040 km = 8,04·106 m.
a) Periodenzeit ist die Umlaufzeit, also T = 2 Stunden.
b) In 2 Stunden wird der Fahrstrahl gerade den Vollwinkel 2 überstreichen, also ist die
Winkelgeschwindigkeit:

2
6,28



 8,72  104 s 1 .
t 2  3600s 7200
c) Daraus ergibt sich die Bahngeschwindigkeit:
m
km
.
v  r    8,04  106  8,72  104  7010  25 200
s
h
d) Eine Woche bedeutet 7·24 = 168 Stunden. Das ist das 84-fache der Periodenzeit, also umkreist der
Satellit die Erde in einer Woche 84mal.
4. Wie groß ist die Radialbeschleunigung einer Astronautentestmaschine absolut und im Vergleich zur
Erdbeschleunigung, wenn die Maschine pro Minute 20 Drehungen macht und der Abstand DrehachseKabine 7 m beträgt?
Lösung:
Die Punkte der Kabine und somit auch des Astronauten führen eine gleichförmige Kreisbewegung durch.
In einer Minute wird dabei ein Winkel von 20·2 zurückgelegt. Daher ergibt sich als
Winkelgeschwindigkeit:
 20  2 125,7



 2,09 s 1 .
t
60
60
Die Radialbeschleunigung beträgt:
v2
m
aR 
 r   2  7  2,092  30,6 2 .
r
s
Dieser Wert ist das 3,12-fache von g. (In solchen Testmaschinen werden die Astronauten oft wesentlich
stärkeren Beschleunigungen, z. B. etwa 10·g, ausgesetzt! Die physiologischen Wirkungen hängen von
vielen Faktoren ab - u.a. von der Lage der Körperachse im Vergleich zur Beschleunigungsrichtung.)
17
Übungsaufgaben:
1. Ein Körper wird auf dem Mond mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 senkrecht nach oben geworfen.
Welches der folgenden Diagramme beschreibt die Änderung der Geschwindigkeit aufwärts qualitativ richtig?
2. Stadt B liegt 50 km von Stadt A, Stadt C liegt 120 km von
Stadt B entfernt. Ein Auto startet um 10 Uhr von Stadt C und
fährt nach B mit einer Geschwindigkeit von 140 km/h. Ein
zweites Auto fährt von A nach B mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h. Um wie viel Uhr (mit MinutenGenauigkeit) muss das zweite Auto starten, damit die zwei Autos in Stadt B gleichzeitig ankommen?
3. Man wirft einen Stein vom Boden aus nach oben mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 36 km/h. Wann
erreicht der Stein den höchsten Punkt?
4. Wie hoch fliegt der Stein aus Aufgabe 3?
5. Wann fällt der Stein aus Aufgabe 3 auf den Boden zurück?
6. In einem Karussell sitzt man 8 m weit entfernt von der Drehachse. Das Karussell macht 20 Drehungen in 3,5
Minuten. Wie groß ist die Periodenzeit?
7. Wie groß ist die Frequenz (in Hz-Einheit) in Aufgabe 6?
8. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit in Aufgabe 6?
9. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Mannes in Aufgabe 6?
10. Das Wievielfache von g ist die Radialbeschleunigung des Mannes in Aufgabe 6?
Lösungen:
1. B
2. um 9 Uhr 51
3. in 1,02 s
4. 5,1 m
5. in 2,04 s
6. 10,5 s
7. 0,0952 Hz
8. 0,598 1/s
9. 4,79 m/s
10. das 0,292-fache
18
4. Mechanik Teil 2 — Dynamik
Dynamik beschäftigt sich mit dem Zusammenhang zwischen Kräften und den durch sie verursachten
Bewegungen.
Die Begriffe der Dynamik sind in erster Linie in der Biomechanik, der Sportmedizin und in der Physiotherapie
von Nutzen. Mit Hilfe der Zusammenhänge der Dynamik können z.B. die Kraftbelastungen der Sehnen der
Gelenke bei verschiedensten Bewegungen bestimmt werden. Unter anderem können noch die Reibung zwischen
Knochen in Gelenken, die Schmierung durch Synovialflüssigkeit, die Funktionen des Stütz- und
Bewegungsapparates und die Knochen als Hebel im Rahmen der Dynamik behandelt werden.
Des Weiteren sind die Begriffe der Dynamik, in erster Linie die Kraft, von allgemeiner naturwissenschaftlicher
Bedeutung.
Zwischen Körpern können, abhängig von den Eigenschaften der Körper, verschiedene Wechselwirkungen, z. B.
Gravitation, Reibung, elektrische Wechselwirkung, magnetische Wechselwirkung, starke Wechselwirkung,
usw. wirken. Stehen zwei Körper in Wechselwirkung miteinander, so sagt man, dass sie Kräfte aufeinander
ausüben. Der Begriff Kraft wird zur quantitativen Beschreibung einer Wechselwirkung verwendet. Sog.
Kraftgesetze geben bei den einzelnen Wechselwirkungen die Kraft an.
Eine Kraft erkennt man nur an ihrer beobachtbaren Wirkung, die Bewegungsänderung oder Verformung eines
Körpers sein kann. Zur Definition der Kraft benutzt man eine von diesen zwei möglichen messbaren Wirkungen
und zwar die Bewegungsänderung, die quantitativ mit Hilfe der schon früher eingeführten Größe, der
Beschleunigung, erfasst werden kann.
Kraft (Formelzeichen F): Das Produkt aus der Masse eines Körpers (als Maß der Trägheit des Körpers) und
seiner unter der Kraftwirkung eintretenden Beschleunigung:
F  ma.
kg  m
). Die Kraft ist eigentlich eine vektorielle Größe, ihre
s2
Richtung stimmt mit der Richtung der Beschleunigung (und nicht mit der Bewegungsrichtung!) überein. Hier
wird sie aber der Einfachheit halber im Weiteren meist als Skalar behandelt.
Die SI-Einheit der Kraft ist das Newton (N; 1 N = 1
Es gibt einige einfache Gesetzmäßigkeiten in Bezug auf den Zusammenhang zwischen Kraft und
Bewegungsänderung bzw. auf die Kräfte selbst, die durch die newtonschen Axiome zusammengefasst werden.
Trägheitsgesetz oder 1. newtonsches Axiom: Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder gleichförmigen
geradlinigen Bewegung, sofern er nicht durch eine Kraft gezwungen wird, seinen Bewegungszustand zu ändern.
Dynamisches Grundgesetz oder 2. newtonsches Axiom: Die Beschleunigung eines Körpers ist der
einwirkenden Kraft proportional:
F  ma
oder, wenn mehrere Kräfte auf den Körper wirken, dann:
F  ma ,
wobei F die vektorielle Summe aller auf den Körper wirkenden Kräfte bezeichnet. Wenn also eine einzige
Kraft auf den untersuchten Körper wirkt, ist das dynamische Kraftgesetz praktisch gleich der Definitionsformel
der Kraft. Wenn aber gleichzeitig mehrere Kräfte auf den untersuchten Körper wirken, sagt das 2. Axiom von
Newton etwas mehr aus und zwar, dass die Kräfte unabhängig voneinander ihre Wirkung ausüben und sie
einfach (aber vektoriell  Kräfteparallelogramm,...) summiert werden können. Es soll noch bemerkt werden,
dass das 1. Axiom nur ein Sonderfall des 2. Axioms ist: Ist nämlich die Summe der Kräfte gleich „0―, muss
auch die Beschleunigung auf der rechten Seite der Gleichung „0―sein. Das heißt, dass der Körper seine
Bewegung nicht ändert und somit in Ruhe ist und bleibt, bzw. sich gleichförmig bewegt.
19
Wechselwirkungsgesetz oder 3. newtonsches Axiom: Übt ein Körper A
auf einen Körper B die Kraft F aus, so übt auch der Körper B eine gleich
große Kraft F auf den Körper A aus, die aber entgegengesetzt gerichtet ist.
(Kräfte treten also stets paarweise auf.)
Gleichgewicht: Es herrscht Gleichgewicht, wenn F = 0 ist und
demzufolge die Beschleunigung auch „0― ist. Der Körper befindet sich in Ruhe oder führt eine gleichförmige
Bewegung durch. Mit dieser Situation beschäftigt sich auch das Gebiet der Statik.
Der Begriff Kraft und die newtonschen Axiome gewinnen erst dann wirklich praktische Bedeutung, wenn die
zwischen den Körpern auftretenden Kräfte — ohne die Beschleunigung zu kennen — aufgrund der
Eigenschaften der Körper, ihres Abstandes, ihrer relativen Bewegung, usw. bestimmbar sind, also wenn
sogenannte Kraftgesetze zur Verfügung stehen. In diesem Fall kann man aus den Kraftgesetzen die auf den
untersuchten Körper wirkende Kraft und daraus mit Hilfe des Grundgesetzes der Dynamik die Beschleunigung
des Körpers und schließlich mit Hilfe der kinematischen Formel seine Geschwindigkeit und den zurückgelegten
Weg berechnen. Zusammenfassend erhält man so also die Bahn des Körpers und dies sogar auch für beliebige
zukünftige Zeitpunkte. (Das ist die Grundidee des mechanistischen Determinismus.) Es gibt eine Reihe von
bekannten Kraftgesetzen.
Kraftgesetz: Mathematischer Zusammenhang, der die zwischen zwei Körpern wirkende Kraft in Abhängigkeit
von den Eigenschaften der zwei Körper, von ihrem Abstand, ihrer relativen Geschwindigkeit, usw. angibt.
Beispiele für Kraftgesetze: Gravitationsgesetz, hooksches Gesetz oder aus der Elektrizitätslehre das CoulombGesetz.
Im Folgenden werden einige Kraftgesetze und Kräfte als Beispiel aufgeführt.
Gravitationsgesetz: Für die Anziehungskraft zwischen zwei Körpern der
Masse m1 und m2, die den Abstand r haben, gilt
m m
F  1 2 2 ,
r
wobei  die Gravitationskonstante bezeichnet,  = 6,67·10–11 m3/(kg·s2). Mit
wachsendem Abstand klingt also die Wechselwirkung quadratisch ab (siehe
Abbildung).
Schwerkraft (Formelzeichen FS): Die Gravitationskraft, die die Erde auf einen Körper der Masse m ausübt.
Wenn sich der Abstand zwischen Körper und Erdmittelpunkt praktisch nicht ändert und dieser mit dem
Erdradius gleich ist, können die Konstanten in dem Gravitationsgesetz (, die Masse der Erde und der
Erdradius) in einer Konstanten g zusammengefasst werden und so gilt:
FS  m  g .
Die Konstante g ist die früher schon erwähnte, aus einfachen Beobachtungen bestimmte, Erdbeschleunigung.
Sie ist also nicht richtig konstant, da der Abstand vom Erdmittelpunkt an verschiedenen Orten der Erde ein
wenig unterschiedlich ist. Am Äquator zum Beispiel ist dieser Abstand größer und somit sind die Schwerkraft
und die Erdbeschleunigung geringer.
Gewichtskraft oder Gewicht (Formelzeichen G): Die Kraft, mit der ein Körper aufgrund der Erdanziehung
seine Unterlage oder Aufhängung belastet. Im Gleichgewicht (a = 0) gilt für die Beträge:
G  FS  m  g .
Hooksches Gesetz: Für die Rückstellkraft bei der Verlängerung (s) eines elastischen Körpers (z. B. einer
Schraubenfeder) gilt:
F  D  s ,
wobei D eine Konstante (bei der Feder die Federkonstante) bezeichnet, deren SI-Einheit N/m ist. Das negative
Vorzeichen bedeutet, dass Kraftrichtung und Verlängerungsrichtung entgegengesetzt sind. (Darauf weist auch
der Name „Rückstellkraft‖ hin.) Die in der Feder entstehende Rückstellkraft ist also einfach proportional zur
20
Verlängerung (zumindest für eine ideale Feder). Dieses Gesetz kann z. B. annähernd für Sehnen und Bänder im
Körper verwendet werden, falls sie nicht zu stark gedehnt werden.
Gleitreibungskraft (Formelzeichen FG): Die Kraft, die das Gleiten eines Körpers auf einem anderen Körper
verhindert. Sie ist der relativen Bewegungsrichtung der zwei Körper entgegengerichtet und ihr Betrag ist:
FG  fG  FN ,
wobei fG die Gleitreibungszahl und FN die Normalkraft (d. h. die Kraft, mit der der ein Körper auf den anderen
drückt) bezeichnen. Die Gleitreibungszahl ist stoffspezifisch. Sie ist z. B. kleiner, wenn ein Schlittschuh auf Eis
gleitet und größer, wenn ein Holzstück mit einem Schleifpapier geschliffen wird. Ein anderes Beispiel: Ohne
Synovialflüssigkeit wäre die Reibung zwischen den einander berührenden Knochenflächen in den Gelenken
wesentlich stärker, was zum Abnutzen der Knochenflächen führen würde.
Radialkraft (Formelzeichen FR): Die Kraft, die bei einer gleichförmigen Kreisbewegung auf den Körper wirkt.
Es gilt:
v2
FR  m  aR  m  m  r   2 ,
r
wobei aR die Radialbeschleunigung, v die Geschwindigkeit,  die Winkelgeschwindigkeit des Körpers und r
den Radius der Kreisbahn bezeichnen. (Es ist eigentlich kein Kraftgesetz, da es aus der Beschleunigung des
Körpers hergeleitet wird, jedoch zählt es formal zu den Kraftgesetzen.)
Beispielaufgaben:
1. Eine Kugel der Masse 10 g wird mit einer Geschwindigkeit von 200 m/s in eine Wand geschossen. In der
Wand wird die Kugel in 0,002 s völlig abgebremst. Setzen wir einfach voraus, dass das Abbremsen in der
Wand gleichmäßig abläuft.
a) Welche Kraft wirkt beim Abbremsen auf die Kugel?
b) Wie tief dringt die Kugel in die Wand ein?
Lösung:
a) Die Beschleunigung der Kugel ist:
a
v  200
m

 105 2 .
t 0,002
s
Die auf die Kugel wirkende Bremskraft ist:
F  m  a  0,01  105  1000 N .
Die negativen Vorzeichen weisen darauf hin, dass Beschleunigung und Kraft zur Bewegung
entgegengerichtet sind.
b) Die durch die Kugel zurückgelegte Strecke ist:
1
105
s  at 2  v0  t  
0,0022  200  0,002  0,2 m  0,4 m  0,2 m  20 cm .
2
2
2. Ein Ion der Masse 2,5·10–25 kg wird stets mit einer Kraft von 1,6·10–12 N beschleunigt.
a) Wie groß ist die Beschleunigung des Ions?
b) Wie groß ist seine Geschwindigkeitszunahme in 10 ns?


Lösung:
a) Die Beschleunigung des Ions beträgt:
F 1,6  1012
m

 6,4  1012 2 .
 25
m 2,5  10
s
–8
b) Die Geschwindigkeitszunahme während t = 10 ns = 10 s ergibt sich als:
m
v  a  t  6,4  1012  108  6,4  104 .
s
a
21
3. Wie groß ist die Radialkraft, die auf einen Astronauten der Masse 70 kg in einer Astronautentestmaschine
wirkt, wenn die Maschine pro Minute 20 Umdrehungen macht und der Abstand Drehachse-Kabine 7 m
beträgt?
Lösung:
Die Kabine führt eine gleichförmige Kreisbewegung durch. In einer Minute wird dabei ein Winkel von
20·2 zurückgelegt. Deshalb ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit als:
 20  2 125,7



 2,09 s 1 .
t
60
60
Die Radialbeschleunigung ist:
v2
m
aR 
 r   2  7  2,092  30,6 2 .
r
s
Die Radialkraft ist:
FR  m  aR  70  30,6  2142 N .
4. Ein Mann (m = 70 kg) fällt mit einem Fallschirm. Zu einem gegebenen Zeitpunkt beträgt seine
Beschleunigung 0,5 m/s2 in Richtung Erde. Welche Kräfte wirken in diesem Moment auf ihn?
Lösung:
Es wirken die Schwerkraft FS nach unten und der Luftwiderstand FL nach oben, ihre
vektorielle Summe ist einfach FS – FL. Nach dem dynamischen Grundgesetz gilt für die
Summe:
FS  FL  F  ma  70  0,5  35 N .

Da die Schwerkraft:
FS  mg  70  9,81  687 N
groß ist, muss die andere Kraft FL den Wert:
FL  FS  35  687  35  652 N
haben. Die Schwerkraft ist in diesem Moment also noch größer, als der Luftwiderstand. Daher wird der
Mann mit dem Fallschirm zu dem gegebenen Zeitpunkt noch beschleunigt.
5. Betrachten wir die Achilles-Sehne als eine Schraubenfeder, deren Federkonstante den Wert von 3·105 N/m
besitzt. Welche Kraft ist erforderlich, um die Sehne um 2 mm zu verlängern?
Lösung:
Im Gleichgewicht ist die erforderliche Zugkraft gleich der Rückstellkraft, die nach dem hookschen
Gesetz:
F  D  s  3  105  0,002  600 N
groß ist.
Übungsaufgaben
1. Man zieht zwei hintereinander gekoppelte Körper mit einer
konstanten Kraft von 105 N. Berechnen Sie die
Beschleunigungen der zwei Körper! (Reibung kann
vernachlässigt werden!)
2. Berechnen Sie die Kraft, die das Seil zwischen den zwei Körpern aus Aufgabe 1 spannt!
3. Wie groß ist die Gravitationskraft zwischen zwei Asteroiden (200 000 t bzw. 300 000 t) in dem Moment,
wenn sie im Abstand von 2 km aneinander vorbeifliegen?
22
4. Man zieht einen Schlitten mit einer konstanten Geschwindigkeit. Plötzlich reißt das Seil. Der Schlitten läuft
allein weiter und legt dabei noch einen Weg von 9,2 m innerhalb von 6,1 s zurück und kommt schließlich
zum Stehen. Wie groß war die Geschwindigkeit des Schlittens vor dem Riss des Seils?
5. Wie groß ist die Gleitreibungszahl zwischen Schlitten und Schnee in Aufgabe 4?
6. Im Folgenden sind vier Anordnungen mit
jeweils gleichen Federn und Massen
skizziert. Alle Federn haben die gleiche
Federkonstante c. Die Massen sind jeweils
gleich.
Welches der gezeichneten Systeme wird
durch die angehängte Masse m am weitesten
ausgelenkt?
Die folgenden Aufgaben (7. – 9.) beziehen sich auf die Abbildungen:
7. Ein Ball fliegt nach oben. Welche Abbildung beschreibt die Größe der Schwerkraft während des Fliegens
richtig?
8. Man drückt eine Feder langsam und gleichmäßig zusammen. Welche Abbildung beschreibt die Größe der
Rückstellkraft richtig?
9. Ein Ball fällt frei herunter. Welche Abbildung beschreibt die Größe der Gewichtskraft des Balles während
des Falles richtig?
10. Die Federn in der Abbildung werden jeweils um 10% verlängert, wenn man das gleiche Gewicht an sie
hängt. Welche Feder besitzt die größte Federkonstante?
23
Lösungen:
1. beide 2,5 m/s2
2. 62,5 N
3. 1 N
4. 3,02 m/s
5. 0,0505
6. B
7. B
8. A
9. D
10. A
24
5. Mechanik Teil 3 — Energie und Arbeit
Energie spielt eine zentrale Rolle in der Physik. Sie beschreibt den Zustand eines Systems. Energie und Arbeit
sind eng miteinander verknüpfte Größen. Energie kann aus einem System auf das andere übertragen werden,
indem das eine System auf das andere Arbeit verrichtet. Es gibt verschiedene Energieformen, z. B. kinetische
Energie, potenzielle Energie, innere Energie usw. Die Energieformen können ineinander umgewandelt werden.
Die Gesamtenergie bleibt allerdings bei diesen Umwandlungen konstant – dies wird in dem
Energieerhaltungssatz, einem der wichtigsten Gesetze der Physik, formuliert.
Ein grundlegendes Kennzeichnen des Lebens ist der ständige Umsatz von Energie. Die zur Aufrechterhaltung
der Lebensfunktionen notwendige Energie wird aus chemischen Reaktionen gewonnen. Diese Energie wird
dann z. B. in die kinetische Energie des strömenden Blutes umgewandelt oder auf ihre Kosten können z. B. die
Skelettmuskeln mechanische Arbeit verrichten. Ein Großteil der Energie wird für eine auf den ersten Blick nicht
sichtbare Tätigkeit verwendet, den Betrieb von Ionenpumpen. Allein die Natrium-Kalium-Pumpe verbraucht bis
zu 70% des ATPs einer Zelle, um die Ionenkonzentrationen zu kontrollieren bzw. zu regulieren.
Wenn wir das Beispiel der Herzarbeit ein wenig ausführlicher betrachten, können wir festlegen, dass sowohl
Hubarbeit — das Blut muss angehoben werden, da die Aorta aus dem linken Ventrikel nach oben austritt — als
auch Beschleunigungsarbeit — das Blut wird in Strömung gesetzt — dabei verrichtet werden. Insgesamt
verrichtet das Herz bei einem Herzschlag eine Arbeit von etwa 1 Joule. Die durchschnittliche Herzfrequenz von
einem Schlag pro Sekunde bedeutet dann eine durchschnittliche Leistung von 1 Watt und zwar lebenslang!
Arbeit und Energie dienen immer noch der quantitativen Beschreibung einer Wechselwirkung, nur sind sie
allgemeiner verwendbar als die Kraft. Sie können z. B. auch bei thermischen oder chemischen
Wechselwirkungen benutzt werden. Sie können jedoch am einfachsten bei mechanischen Wechselwirkungen
eingeführt werden.
Arbeit (Formelzeichen W): Wird dann verrichtet, wenn ein Körper unter dem Einfluss einer auf ihn wirkenden
Kraft bewegt wird. Arbeit ist das Produkt aus der Kraft (F) und dem Weg (s):
W  F s,
vorausgesetzt, dass die Kraft längs des gesamten Weges konstant bleibt und Kraftwirkung und Bewegung die
gleiche Richtung besitzen. Stimmen die zwei Richtungen nicht überein, muss noch der Winkel  zwischen
ihnen berücksichtigt werden:
W  F  s  cos .
Die SI-Einheit der Arbeit ist das Joule (J; 1 J = 1 N·m). Obwohl in der Definitionsformel die Kraft eine
vektorielle Größe ist, ist die Arbeit ein Skalar; sie verfügt über keine Richtung. Es soll bemerkt werden, dass die
durch die obere Formel definierte physikalische Arbeit bei senkrecht stehender Kraft- und Bewegungsrichtung
( = 90°, demzufolge cos  = 0) „0― ist, auch wenn im absoluten Betrag die Kraft und der Weg nicht „0― sind
(z.B.: Tragen einer Wasserkiste verrichtet keine Arbeit, obwohl eine Kraft aufgewendet werden muss und beim
Tragen ein Weg zurückgelegt wird!). Je nachdem, um was für eine Kraft es sich handelt, spricht man von
mechanischer oder elektrischer Arbeit usw. Die Formen der mechanischen Arbeit sind: Beschleunigungsarbeit,
Hubarbeit und Spannarbeit (siehe im Folgenden bei den verschiedenen Energieformen).
Leistung (Formelzeichen P): Die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit:
W
P .
t
Die SI-Einheit der Arbeit ist das Watt (W; 1 W = 1 J/s).
Energie (Formelzeichen E): Die Fähigkeit eines Systems, Arbeit zu verrichten. Durch Arbeit wird Energie vom
System abgegeben oder dem System zugeführt. Arbeit und Energie sind also eng miteinander verwandte
Begriffe. Die SI-Einheit der Energie ist demzufolge auch das Joule (J; 1 J = 1 N·m). Andere in der Physik oder
in der Medizin noch häufig gebrauchte Einheiten sind: Elektronenvolt (eV) und Kalorie (cal). Die
Umrechnungen zwischen diesen Einheiten sind in der Tabelle aufgeführt:
25
1J=
1 eV =
1 cal =
Umrechnung von Energieeinheiten
J
eV
1
6,25·1018
1,6·10–19
1
4,186
nicht relevant
cal
0,2389
nicht relevant
1
Es gibt verschiedene Energieformen, z. B. mechanische, elektrische oder innere Energie. Mechanische
Energieformen sind: kinetische, potenzielle und elastische Energie.
Kinetische Energie oder Bewegungsenergie (Formelzeichen Ekin): Die mit dem Bewegungszustand des
Körpers verknüpfte Energie. Sie ergibt sich aus der Formel:
1
Ekin  m  v 2 .
2
Um einen Körper der Masse m aus der Ruhe auf die Geschwindigkeit v zu beschleunigen, muss bei einer
geradlinigen Bewegung eine Arbeit (Beschleunigungsarbeit) von:
1
1
1
2
W  F  s  ma  at 2  mat   m  v 2
2
2
2
verrichtet werden, die dann als kinetische Energie des Körpers erscheint. Diese Energie geht beim Abbremsen
verloren und wird z. B. durch Reibung in thermische Energie (Wärme) umgewandelt. Bewegungsenergie besitzt
z.B. das strömende Blut im Körper.
Potenzielle Energie oder Lageenergie (Formelzeichen Epot): Die mit der Lage des Körpers in dem Schwerefeld
der Erde verknüpfte Energie. Sie ergibt sich aus der Formel:
Epot  m  g  h ,
wobei g die Erdbeschleunigung und h die von einem willkürlich gewählten Niveau gemessene Höhe bezeichnet.
Um einen Körper der Masse m vom gewählten Nullniveau auf eine Höhe h zu heben, muss eine Arbeit
(Hubarbeit) von:
W  F  s  mg  h
verrichtet werden, die dann als potenzielle Energie des Körpers erscheint. Diese Energie wird beim Fall von der
Höhe h auf das Nullniveau völlig in kinetische Energie umgewandelt, falls keine Reibung vorhanden ist oder sie
wird teilweise durch Reibung als Wärme erscheinen. In aufrechter Körperposition besitzt das Blut im
Blutkreislauf mehr potenzielle Energie im Kopf als im Fuß. Das hat Auswirkungen auf die Druckverhältnisse.
Elastische Energie oder Spannenergie (Formelzeichen Eel): Die mit der Form des Körpers verknüpfte Energie,
z.B. die in einer gedehnten Schraubenfeder gespeicherte Energie. Bei der Schraubenfeder ergibt sich diese aus
der Formel:
1
Eel  D  s 2 .
2
Um eine Feder mit der Federkonstanten D um eine Strecke s von der ursprünglichen Länge ausgehend zu
verlängern, muss eine Arbeit (Spannarbeit) von:
1
1
W  F  s  Ds  s  Ds  s  D  s 2
2
2
verrichtet werden, wobei der Strich Durchschnitt bedeutet, da die Kraft bei der Verlängerung nicht konstant
bleibt, sondern nach dem hookschen Gesetz von 0 bis zum maximalen Wert von D·s linear ansteigt. In diesem
Fall kann die durchschnittliche Kraft als die Hälfte der maximalen Kraft beschrieben werden. Diese Arbeit
erscheint dann als in der Feder gespeicherte elastische Energie, die z.B. später in kinetische Energie
umgewandelt werden kann, wenn mit Hilfe der gespannten Feder ein Körper beschleunigt wird. Elastische
Energie besitzen die gedehnten Sehnen und Bänder im Körper.
Energieerhaltungssatz der Mechanik: In einem abgeschlossenen System ist die Summe der mechanischen
Energien konstant, solange die Vorgänge im System reibungsfrei ablaufen:
E
i
 Ekin  Epot  Eel  konstant,
26
wobei Ekin die kinetische Energie, Epot die potenzielle Energie und Eel die elastische Energie bezeichnen. (Ein
abgeschlossenes System ist ein System aus Körpern, die untereinander in Wechselwirkung stehen aber von
außerhalb des Systems nicht beeinflusst werden.)
Der Energieerhaltungssatz der Mechanik kann unter Berücksichtigung von anderen Energieformen (elektrische
Energie, innere Energie usw.) verallgemeinert werden.
Energie-Masse-Äquivalenz: Eine Aussage der Relativitätstheorie, nach welcher die Masse m und die Energie
E gleichwertig sind und für sie gilt:
E  m  c2 ,
wobei c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (c  3·108 m/s) bezeichnet. Bei einem medizinischen
bildgebenden Verfahren, der Positronenemissionstomographie (PET), trifft man auf die Umwandlung von
Masse in Energie — bei der sogenannten Paarvernichtung (Annihilation).
Beispielaufgaben:
1. Ein Vater zieht einen Schlitten mit seinem Kind mit einer Kraft von F = 80 N.
Der Schlitten bewegt sich gleichförmig mit einer Geschwindigkeit von 2,5 m/s.
a) Welche Arbeit verrichtet der Vater dabei in 10 Minuten?
b) Wie groß ist seine Leistung?
Lösung:
a) Der Schlitten legt in 10 Minuten (= 600 s) den Weg:
s  v  t  2,5  600  1500 m
zurück. Dabei wird folgende Arbeit verrichtet:
W  F  s  80  1500  120000 J  120 kJ .
b) Die Leistung beträgt:
W 120000

 200 W .
t
600
2. Ein Stein der Masse 0,3 kg fällt aus einer Höhe von 20 m aus der Ruhe frei herunter auf den Boden.
Berechnen Sie unter Vernachlässigung der Reibung seine kinetische, potenzielle und gesamte Energie
jeweils:
a) beim Start
b) und beim Aufprallen auf den Boden!
c) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Steins beim Aufprallen auf den Boden?
P
Lösung:
a) Beim Start (Moment 1):
Ekin,1  0 ,
Epot,1  m  g  h  0,3  9,81 20  58,86J ,
Egesamt,1  0  58,86  58,86 J ,
vorausgesetzt, dass das Nullniveau der potenziellen Energie auf der Höhe des Bodens festgelegt ist.
b) Beim Aufprallen auf den Boden (Moment 2):
Epot,2  0 .
Da die Reibung nach Aufgabenstellung vernachlässigbar ist, gilt der Energieerhaltungssatz:
Egesamt,2  Egesamt,1  58,86 J ,
Ekin,2  Egesamt,2  Epot,2  58,86  0  58,86 J .
c) Aus dem Teil b), also:
Ekin,2 
1
m  v 2  58,86 J .
2
Daraus ergibt sich die Geschwindigkeit:
v
2 Ekin,2
m

2  58,86
m
 19,8 .
0,3
s
27
3. Wie viel Energie ist in einer Schraubenfeder der Federkonstanten D = 400 N/m bei einer Verlängerung von
5 cm gespeichert?
Lösung:
Die gespeicherte elastische Energie ergibt sich aus:
1
1
Eel  D  s 2  400  0,052  0,5 J .
2
2
4. Welche Energie entspricht der Ruhemasse eines Elektrons (me = 9,11·10–31 kg)? Rechnen Sie die Energie in
die Elektronenvolt-Einheit um!
Lösung:
Nach der Energie–Masse-Äquivalenz gilt:

E  m  c 2  9,11 1031  3  108

2
 8,2  1014 J  8,2  1014  6,25  1018 eV  513 keV .
Übungsaufgaben:
1. Ein Auto (m = 1,2 t) wird vom Stand aus in 12 s auf 100 km/h beschleunigt. Berechnen Sie die
Beschleunigungsarbeit.
2. Berechnen Sie die durchschnittliche Leistung des Motors aus Aufgabe 1.
3. Eine lotrecht stehende Schraubenfeder wird durch eine darauf gelegte Kugel (m = 100 g) um 2 mm
zusammengedrückt. Wie groß ist die Federkonstante?
4. Wie hoch fliegt die Kugel in Aufgabe 3 (vom oberen Rand der entspannten Feder aus gemessen), wenn die
Feder um weitere 15 cm zusammengedrückt und dann plötzlich entspannt wird?
5. Man zieht einen Schlitten (m = 42 kg) mit einer konstanten Geschwindigkeit von 8 km/h. Die Gleitreibungszahl zwischen Schlitten und Schnee beträgt 0,055. Welche Arbeit verrichtet man in einer Minute?
6. Wie groß ist die Leistung in Aufgabe 5?
7. Man zieht einen Eimer (m = 12 kg) gleichmäßig mit einer Geschwindigkeit von 50 cm/s aus einem 8 m tiefen
Brunnen hoch. Berechnen Sie die dazu notwendige Kraft.
8. Berechnen Sie die Arbeit aus Aufgabe 7.
9. Berechnen Sie die Leistung aus Aufgabe 7.
10. Ein Ball (m = 0,8 kg) fällt aus einer Höhe von 2 m frei herunter. Nach der Landung fliegt er wieder 1,2 m
hoch. Wie viel Energie ging dabei verloren?
Lösungen:
1. 463 kJ
2. 38,6 kW
3. 490,5 N/m
4. 5,62 m
5. 3020 J
6. 50,4 W
7. 118 N
8. 942 J
9. 58,9 W
10. 6,28 J
28
6. Mechanik Teil 4 — Druck
Der Begriff Druck wird in der Physik, Chemie, Physiologie, usw. auch allgemein benutzt. In der Medizin taucht
er allerdings in erster Linie als Blutdruck auf.
Der Blutdruck spielt eine grundlegende Rolle bei der Funktion des Körpers. Er addiert sich aus dem durch die
Herzkontraktion erzeugten und dem hydrostatischen Druck, der natürlich von der jeweiligen Körperlage (z. B.
Liegen oder Stehen) stark abhängt. Der Blutdruck wird durch einen zusammengesetzten Mechanismus vieler
beteiligter Organe (z.B. Herz, Niere, Blutgefäße,…) reguliert.
Der Blutdruck schwankt in einem Herzzyklus zwischen dem höchsten Wert (systolischer Blutdruck) und dem
niedrigsten Wert (diastolischer Blutdruck).
Die Blutdruckmessung erfolgt mittels einer aufblasbaren Gummimanschette. Die Manschette wird um den
Oberarm gelegt. Ein Manometer (Druckmesser) zeigt den Druck im Inneren der Manschette stetig an. Der
Druck wird in der Manschette durch Aufblasen erhöht, bis die Arterie (A.brachialis) im Oberarm durch die
Kompression vollständig geschlossen ist. Dann wird der Manschettendruck langsam verringert, bis die erneut
einsetzende Blutströmung ein schlagendes Geräusch verursacht. Diesen Moment stellt der Arzt mit einem
Stethoskop fest und liest den Druck ab, da in diesem Moment systolischer Blutdruck und Manschettendruck
gleich sind. Bei dem zu hörenden Geräusch handelt es sich um ein Verwirbelungsgeräusch, welches aufgrund
der kurzzeitigen turbulenten Blutströmung zu hören ist – es wird Korotkow-Geräusch genannt. Wird der
Manschettendruck weiter vermindert, verschwindet das Geräusch, wenn der Blutstrom völlig ungehindert
wieder fließen kann. In diesem Moment kann der diastolische Druck abgelesen werden.
Wenn Körper einander berühren und dabei Kräfte aufeinander ausüben, kann der Begriff Druck zur
Beschreibung der flächenhaftenVerteilung der Kraftwirkung verwendet werden.
Druck (Formelzeichen p): Wirkt eine Kraft F senkrecht auf eine Fläche der
Größe A, dann wird der Druck als Quotient aus dem Betrag F und der Größe der
Fläche A definiert:
F
p .
A
N
Die SI-Einheit des Druckes ist das Pascal (Pa; 1 Pa  1 2 ). Andere in der Technik und der Medizin
m
gebrauchte Einheiten sind: Bar (bar), physikalische Atmosphäre (atm), technische Atmosphäre (at), Millimeter
Quecksilbersäule (mmHg) auch als Torr (torr) bezeichnet. Die Umrechnungen sind in der Tabelle
zusammengefasst:
Umrechnung der Druckeinheiten
Pa
bar
atm
at
mmHg
1 Pa =
1
10–5
9,87·10–6
1,02·10–5
7,5·10–3
1 bar =
105
1
0,987
1,02
750
1 atm =
1,013·105
1,0133
1
1,0332
760
1 at =
9,81·104
0,981
0,968
1
736
–3
–3
–3
1 mmHg =
133
1,33·10
1,32·10
1,36·10
1
Der Druck wird auch zur Charakterisierung des inneren Zustandes von Gasen und Flüssigkeiten verwendet.
Hydrostatischer oder Schweredruck: Der Schweredruck in einer ruhenden
Flüssigkeit, d. h. der Druck, der von der auf die Flüssigkeit wirkenden
Schwerkraft herrührt. Dieser Druck kann aus der Gewichtskraft und der in
der Abbildung durch die gestrichelten Linien dargestellten Flüssigkeitsmenge
mit dem Volumen V berechnet werden. Sie beträgt:
G  m  g   V  g    A  h  g ,
29
wobei  die Dichte der Flüssigkeit, V das Volumen der dargestellten Flüssigkeitsmenge und g die
Erdbeschleunigung bezeichnen.
Diese Gewichtskraft belastet die Wasserschicht der Fläche A in der Tiefe h. Der hydrostatische Druck ergibt
sich dann aus der Definitionsformel als:
G   A h  g
p 
  h g .
A
A
Der hydrostatische Druck wächst also linear mit zunehmender Tiefe. (Das gilt eigentlich nur für inkompressible
Flüssigkeiten, also für Flüssigkeiten, bei denen die Dichte konstant bleibt.) Diesen Druck spürt man auf dem
Trommelfell beim Tauchen. Die alte in der Medizin aber immer noch benutzte Maßeinheit „mmHg‖ kann als
der hydrostatische Druck, den eine Quecksilbersäule der Höhe 1 mm ausübt, definiert werden. Wenn man die
Dichte des Quecksilbers (13,6 g/cm3) und die Höhe von 1 mm in die Formel einsetzt, erhält man 133 Pa. Dieser
Wert ist in der Tabelle als Umrechnungsfaktor zwischen den beiden Einheiten „mmHg― und „Pa― angegeben.
Hydrostatisches Paradoxon: Der hydrostatische Druck ist nur von
der Dichte der Flüssigkeit und der jeweiligen Tiefe abhängig. Er
hängt also nicht von der Form des Gefäßes ab. In den dargestellten
Gefäßen zum Beispiel herrscht der gleiche Druck am Boden trotz
der unterschiedlichen Flüssigkeitsvolumina in den einzelnen
Gefäßen, da die Füllhöhen jeweils alle gleich sind.
Pascalsches Gesetz: Die Druckkraft wirkt an jeder beliebigen Stelle in einer Flüssigkeit in alle Richtungen
gleichmäßig. Das heißt, dass man den gleichen Druck auf dem Trommelfell beim Tauchen unabhängig davon
spürt, ob das Ohr nach unten oder nach oben gerichtet ist, falls sich das Trommelfell jedes Mal in der gleichen
Tiefe befindet.
Gasdruck: Der von dem Gas auf die Wände eines Behälters ausgeübte Druck. Der Gasdruck lässt sich in der
kinetischen Gastheorie aus den Bewegungen der Gasteilchen ableiten. Nach den Modellvorstellungen dieser
Theorie sind die Gasteilchen ständig in Bewegung, bei der sie untereinander und mit den Wänden elastische
Zusammenstöße durchführen. Die bei diesen Stoßereignissen auf die Wand ausgeübten Druckkräfte ergeben
insgesamt den Gasdruck.
Luftdruck in der Erdatmosphäre: Ist nicht überall gleich. Einerseits sinkt der Luftdruck ausgehend von dem
Wert von ca. 101 kPa (1 atm) auf Meeresniveau mit steigender Höhe, andererseits ist der Luftdruck, abhängig
von den Wetterverhältnissen, zusätzlich noch kleineren oder größeren Schwankungen unterworfen.
Normdruck: Willkürlich festgelegt als 101 kPa (1 atm). Normwerte von chemischen Reaktionen
(Standardbedingungen) sind für den Normdruck angegeben.
Partialdruck (Teildruck): Der von einem Gas in einem Gemisch von vielen Gasen ausgeübte Druck. Zum
Beispiel besteht Luft aus vielen verschiedenen Gasen: Kohlendioxid, Stickstoff, Sauerstoff,... Der Partialdruck
beschreibt wie groß der Druck ist, der von einem dieser Gase z.B. Sauerstoff ausgeübt wird. Der
Stoffmengenanteil von Sauerstoff in der Luft beträgt etwa 21%, sodass damit von dem Gesamtdruck von
101 kPa etwa 21,2 kPa durch Sauerstoff ausgeübt werden. Die Sauerstoffaufnahme und auch Abgabe des
Körpers hängen neben anderen Faktoren stark vom Partialdruck des Sauerstoffes in der Lunge bzw. den anderen
Geweben ab. Ist der Partialdruck in der Lunge zu niedrig, z.B. in großen Höhen, so hat der Körper
Schwierigkeiten, sich ausreichend mit Sauerstoff zu versorgen und wirkt diesem Problem mit vielen
„Notfallprogrammen― entgegen — z.B. einer erhöhten Produktion von Hämoglobin und roten Blutzellen. Zu
erwähnen ist, da dies oft falsch verstanden wird, dass nicht nur der prozentuale Anteil des Sauerstoffs in großen
Höhen abnimmt, sondern lediglich der Partialdruck, da dieser ein Teildruck des Gesamtdrucks ist, welcher mit
zunehmender Höhe ebenfalls abnimmt!
30
Beispielaufgaben:
1. Man drückt bei der Wiederbelebung mit der Hand auf den Brustkorb eines Patienten. Die ausgeübte
Druckkraft beträgt 280 N. Wie groß ist der Druck dabei?
Lösung:
Der Druck hängt von der Fläche ab, auf welche sich die Kraft verteilt. In der Aufgabenstellung ist diese
Fläche nicht definiert. In solchen Fällen soll man durch Messung oder durch eine realistische Schätzung
die fehlenden Werte erhalten. Setzen wir voraus, dass in der beschriebenen Situation die Druckkraft durch
eine Handfläche auf den Brustkorb übermittelt wird. Die innere Handfläche können wir etwa auf
8 cm · 17 cm = 136 cm2  140 cm2 schätzen. Mit dieser Fläche wird der Druck:
F
280
p 
 20 000 Pa  20 kPa sein.
A 0,014
2. Man taucht 10 m tief in einem See (Dichte des süßen Wassers beträgt 1 g/cm3). Es sollen berechnet werden:
a) der hydrostatische Druck
b) der Gesamtdruck
c) die aus der Richtung des Wasser auf das Trommelfell (Fläche etwa 55 mm2) des Tauchers wirkende
Druckkraft!
Lösung:
a) Die Dichte ist zuerst in die SI-Einheit umzuwandeln: 1 g/cm3 = 1000 kg/m3. Der hydrostatische Druck
ergibt sich dann aus der Formel:
p    h  g  1000 10  9,81  98100 Pa  98,1kPa .
Alle 10 m bedeutet dies also eine Druckerhöhung von etwa 1 Atmosphäre.
b) Der Gesamtdruck addiert sich aus dem gerade berechneten hydrostatischen Druck und dem
atmosphärischen Druck, der durch Wasser auch übermittelt wird. Für den letzteren nehmen wir den
Normdruck Somit beträgt der Gesamtdruck:
pgesamt  phydrostatisch  patm  98,1 kPa  101 kPa  199 kPa .
c) Die Fläche ist 55·10–6 m2 groß. Damit beträgt die Druckkraft:
F  p  A  199 000 55  106  10,9 N .
Übungsaufgaben:
1. Beim Kauen treten relativ große Kräfte um etwa 100 N auf. Setzen wir voraus, dass man auf einen winzigen
harten Kern beißt und somit die Druckkraft auf eine kleine Fläche von 1 mm2 ausgeübt wird. Welcher Druck
entsteht dabei?
2. Welchen Druck übt ein Mensch der Masse 70 kg beim Stehen auf den Boden aus? Für die
Unterstützungsfläche der zwei Füße werden insgesamt 200 cm2 angenommen.
3. Welchen Druck übt der Mensch aus Aufgabe 2 beim Schlittschuhlaufen auf den Boden aus? Für die
Unterstützungsfläche werden insgesamt 4 cm2 angenommen.
4. Wie groß ist der hydrostatische Druck des Blutes im Fuß beim Stehen? Die Dichte des Blutes ist etwa
1,05 g/cm3, für die Höhe der „Blutsäule‖ im Menschen bis zum Fuß soll 170 cm angenommen werden.
5. Wie groß ist der Druck 1 km tief im Meer, wenn wir voraussetzen, dass die Dichte des Meereswassers überall
1,08103 kg/m3 ist?
31
6. Der Abfluss des gezeigten Gefäßes ist mit einer Platte verschlossen, die durch eine
Schraubenfeder an den Abfluss gedrückt ist. Die Feder besitzt eine
Federkonstante von 200 N/m und ist um 10 cm gestaucht. Der Abfluss hat eine
Querschnittsfläche von 4 cm2. Bis zu welcher Höhe darf man das Gefäß auffüllen,
damit das Wasser nicht durch den Abfluss abfließt?
7. Wandeln Sie um: 180 mmHg = ......................... Pa
8. Wandeln Sie um: 16 kPa = ............................... mmHg
9. Die Abbildung zeigt ein einfaches Instrument zur Druckmessung. Ein Kolben ist in
einem Zylinder mit Hilfe einer Schraubenfeder befestigt. In dem Zylinder herrscht
Vakuum. Stellt man das Gerät ins Vakuum (also an beiden Seiten des Kolbens
befindet sich nun ein Vakuum), ist die Feder entspannt. Stellt man das Gerät in die
normale Atmosphäre, ist die Feder um 5,1 mm gestaucht. Die Fläche des Kolbens
ist 2 cm2 und die Federkonstante ist 4103 N/m. Wie groß ist der atmosphärische
Druck?
10. Wie groß ist die Stauchung der Feder aus Aufgabe 9, wenn man das Gerät 10 m tief unter Wasser in einen
See stellt?
Lösungen:
1. 100 MPa!!
2. 34,3 kPa
3. 1,72 MPa!
4. 17,5 kPa
5. 10,7 MPa
6. 5,1 m
7. 23,9 kPa
8. 120 mmHg
9. 1,02·105 Pa
10. 10,1 mm
32
7. Mechanik Teil 5 — Schwingungslehre
Schwingungen und die an sie geknüpften Erscheinungen spielen in erster Linie bei der Tonproduktion durch die
Stimme und dem Gehör eine wichtige Rolle. Durch die Schwingungen der Stimmbänder ergeben sich Töne und
die erzwungenen Schwingungen des Trommelfells sind der erste Schritt der Tonwahrnehmung. Durch die
Resonanzerscheinung des äußeren Gehörganges werden die Töne im Frequenzbereich von 3000-4000 Hz am
empfindlichsten aufgenommen. Dies erklärt, warum man am besten in diesem Bereich hört.
Der Begriff Schwingung kann aber allgemeiner benutzt werden — im allgemeineren Sinne ist eine Schwingung
eine periodische Änderung einer Größe. Eine elektrische Schwingung zum Beispiel bedeutet eine periodische
Änderung der elektrischen Spannung. Die meisten Begriffe der mechanischen Schwingungslehre können auch
allgemein verwendet werden.
Im Körper treten viele periodische oder „quasi-periodische‖ (fast periodische) Änderungen, also Schwingungen,
auf, z. B. die elektrischen Signale des Herzens (EKG-Signale), die des Gehirns (EEG-Signale) usw.
Eine Schwingung ist im mechanischen Sinne eine geradlinige periodische Bewegung um eine
Gleichgewichtslage. Es gibt also eine Periode — eine „Grundeinheit‖ — die sich mit der Zeit wiederholt.
Periodenzeit oder Periodendauer oder Schwingungsdauer (Formelzeichen T): Die Zeitdauer einer Periode.
Die SI-Einheit der Periodenzeit ist die Sekunde (s).
Frequenz oder Schwingungszahl (Formelzeichen f): Die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit. Es gilt:
1
f  .
T
Die SI-Einheit der Frequenz ist das Hertz (Hz; 1 Hz = 1/s). Die durchschnittliche Frequenz des Herzens im
Ruhezustand beträgt 72 1/Minute = 1,2 1/s, d. h. 1,2 Hz. Die Pulszahl von 120 pro Minute entspricht also 2 Hz.
Im letzteren Fall ist die Periodenzeit der Herztätigkeit 0,5 s.
Kreisfrequenz (Formelzeichen ): Das 2-fache der Frequenz (entspricht der Winkelgeschwindigkeit bei einer
Kreisbewegung):
  2  f .
Die SI-Einheit der Kreisfrequenz ist 1/s.
Ruhelage oder Gleichgewichtslage: Die Lage, um die die Schwingung läuft und bei welcher keine Kraft auf
den Körper wirkt, sodass die Beschleunigung des Körpers „0― ist.
Auslenkung oder Elongation (Formelzeichen y): Der jeweilige Abstand des schwingenden Körpers von der
Ruhelage.
Amplitude (Formelzeichen A): Die maximale Auslenkung.
Der zeitliche Ablauf, d. h. das Auslenkung-Zeit-Diagramm kann bei den einzelnen Schwingungen sehr
verschieden sein. Ein Spezialfall ist die harmonische Schwingung, die eine zentrale Rolle in der
Schwingungslehre spielt.
Harmonische Schwingung: Eine Schwingung, bei welcher die Auslenkung des Körpers mit einer
Sinusfunktion beschrieben werden kann:
y  A  sin   t  0  ,
wobei A die Amplitude,  die Kreisfrequenz und 0 den sogenannten Nullphasenwinkel bezeichnen. Der
Winkel in Klammern, also  ·t + 0 wird als Phasenwinkel oder kurz Phase bezeichnet. Für die
Geschwindigkeit eines harmonisch schwingenden Körpers gilt:
33
v    A  cos  t  0 
(die erste Ableitung der y(t)-Funktion). Die Geschwindigkeit schwankt also auch periodisch mit dem maximalen
Wert von  ·A. Die Geschwindigkeit ist beim Durchgang durch die Ruhelage maximal und ist an den
Umkehrpunkten „0―. (Daher ist es günstiger, von einer schwingenden Schaukel am Umkehrpunkt abzuspringen,
als in der Ruhelage, da in der Ruhelage die Geschwindigkeit der Schaukel und somit auch der Person maximal
ist.) Für die Beschleunigung gilt:
a   2 A  sin   t   0 
(die zweite Ableitung der y(t)-Funktion). Auch sie schwankt, wird aber in der Ruhelage „0― sein und an den
Umkehrpunkten maximal. Die auf den harmonisch schwingenden Körper wirkende Kraft ist nach dem zweiten
newtonschen Axiom:
F  ma  m 2 A  sin   t  0   m 2 y .
Also ist die Kraft immer proportional zur Auslenkung, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung (negatives
Vorzeichen!). Diese stets in Richtung der Ruhelage wirkende Kraft heißt rücktreibende Kraft.
Oszillator: Ein physikalisches System (z. B. ein Federpendel), das Schwingungen ausführen kann. Führt der
Oszillator harmonische Schwingungen aus, heißt er harmonischer Oszillator.
Es werden zwei Beispiele für harmonische Oszillatoren erwähnt, das Feder- und das Fadenpendel. Sie führen
aber nur dann harmonische, also sinusförmige Schwingungen aus, wenn keine Energieverluste vorhanden sind.
Federpendel: Ein Körper der Masse m ist mit dem Ende einer
elastischen Schraubenfeder der Federkonstanten D gekoppelt.
Nach der Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage wird das
System im Weiteren unter Vernachlässigung der
Energieverluste spontan, d. h. ohne weitere äußere
Einwirkungen harmonische Schwingungen durchführen (freie
Schwingung) und zwar mit einer Periodenzeit von:
m
.
T  2
D
Die aus dieser Periodenzeit erhaltene Frequenz wird als Eigenfrequenz der freien Schwingung des
Federpendels bezeichnet. Die Formel lässt sich unter Verwendung des für harmonische Schwingungen gerade
gewonnenen Zusammenhanges:
F  m 2 y
und dem früheren Zusammenhang für die Schraubenfeder
F  D  s
34
herleiten, wobei die Verlängerung s und die Auslenkung y identisch sind. Aus der Kombination beider
Zusammenhänge ergibt sich die Formel:
D  m 2 ,
welche nach  aufgelöst werden kann:

D
.
m
Schließlich erhält man:
T
1 2
m

 2
.
f

D
Fadenpendel oder Schwerependel oder mathematisches Pendel: Ein mit einem dünnen
Faden der Länge l aufgehängter Körper der Masse m. Nach der Auslenkung des Körpers
aus der Ruhelage wird das System im Weiteren im Schwerefeld der Erde bei kleinen
Auslenkungen und unter Vernachlässigung der Energieverluste spontan harmonische
Schwingungen durchführen, und zwar mit einer Periodenzeit von:
l
,
T  2
g
wobei g die Erdbeschleunigung ist. Die aus dieser Periodenzeit erhältliche Frequenz wird
als Eigenfrequenz der freien Schwingung des Fadenpendels bezeichnet.
Gedämpfte Schwingung: Eine aufgrund von Energieverlusten allmählich abklingende Schwingung, bei
welcher die Amplitude nach bestimmten Regeln kontinuierlich abnimmt. Im alltäglichen Leben laufen die freien
Schwingungen wegen unvermeidbaren Energieverlusten tatsächlich immer gedämpft ab. Die Beschreibung des
Feder- und Fadenpendels mit der harmonischen Schwingung und den obigen Gleichungen ist daher nur eine
Annäherung.
Erzwungene Schwingung: Eine Schwingung, die von einer periodischen äußeren Kraft erregt wird. Dem
schwingenden System wird die Erregerfrequenz aufgezwungen. Die früher als Beispiel erwähnten
Schwingungen im Körper, die Bewegung der Stimmbänder und des Trommelfells, gehören zu den erzwungenen
Schwingungen. Im Falle des Trommelfells zum Beispiel liefern die Luftdruckschwankungen, die in Form von
Schallwellen ankommen, die periodische äußere Erregungskraft für das Trommelfell.
Resonanz: Eine besonders starke erzwungene Schwingung, die dann
eintritt, wenn die Erregerfrequenz (fErreger) mit der Eigenfrequenz (fEigen)
des schwingenden Systems übereinstimmt. Diese Frequenz wird auch
Resonanzfrequenz genannt. Die Resonanzkurve stellt die Abhängigkeit
der Amplitude der erzwungenen Schwingung von der Erregerfrequenz
dar. Der Maximalwert der Amplitude hängt von der Dämpfung ab. Liegt
eine geringe Dämpfung vor, kann die Resonanz zur Zerstörung des
Systems führen (Resonanzkatastrophe). In diesem Fall ist die
Energieübergabe zwischen erregendem und erregtem System am
35
effektivsten. Deshalb dürfen Kompanien eine Brücke nicht im Gleichschritt überqueren. Im Gleichschritt
würden sich nämlich die periodisch auftretenden Stoßkräfte von den Füßen addieren und eine erzwungene
Schwingung der Brücke auslösen. Falls die Schrittfrequenz mit der durch die Geometrie und die Baustoffe der
Brücke bestimmten Eigenfrequenz der Brücke übereinstimmt, könnte die Brücke eventuell einstürzen. Die
Resonanz beschränkt sich nicht auf mechanische Schwingungen - sie ist eine allgemeine und häufige
Erscheinung in der Natur und auch in der Technik. Es sei noch erwähnt, dass in einem medizinischen
bildgebenden Verfahren, in der sogenannten Magnetresonanztomographie (MRT, kurz auch MR), auch
Magnetresonanzimaging (MRI) genannt, eine magnetische Resonanzerscheinung ausgenutzt wird.
Beispielaufgaben:
1. Eine harmonische Schwingung hat die Amplitude A = 3 cm und die Periodenzeit T = 20 s. Bestimmen Sie die
folgenden Werte für die Zeit t = 3 s:
a) Auslenkung
b) Geschwindigkeit und
c) Beschleunigung
Lösung:
a) Die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung ist:
2 6,28
1
  2  f 

 0,314 .
T
20
s
Da der Nullphasenwinkel nicht festgelegt ist und deshalb als 0 = 0 gewählt werden kann, ist die
Auslenkung:
y  A  sin   t  0   3  sin 0,314 3  3  0,809  2,43 cm .
b) Die Geschwindigkeit ist:
cm
.
v    A  cos  t  0   0,314 3  cos0,314 3  0,554
s
c) Die Beschleunigung ist:
cm
a   2 A  sin   t  0   0,3142  3  sin 0,314 3  0,239 2 .
s
Den Phasenwinkel setzt man in der Radiant-Einheit ein. Bei der Rechnung mit dem Taschenrechner muss
das berücksichtigt werden!
2. Die Länge des Sekundenpendels (ein Pendel, dessen halbe Periodenzeit 1 s beträgt) beträgt 99,35 cm.
Berechnen Sie die Erdbeschleunigung daraus.
Lösung:
Aus der Formel für das Fadenpendel kann g ausgedrückt werden:
2
2
m
 2 
 6,28 
g 
 l  
  0,9935  9,8 2 .
s
 T 
 2 
3. Bei einem Federpendel wird die Periodenzeit verdoppelt, wenn die an die Feder gekoppelte Masse um 30 g
vergrößert wird. Wie groß ist die ursprüngliche Masse?
Lösung:
Zwei Gleichungen können für die zwei Situationen aufgestellt werden:
m
,
T  2
D
und
m  0,03
.
2  T  2
D
T kann aus der ersten Formel isoliert und in die zweite eingesetzt werden:
36
m
m  0,03
.
 2
D
D
Nach Kürzung mit 2π und Quadrierung erhält man:
m m  0,03
4 
D
D
4m  m  0,03
und schließlich
m  0,01 kg  10 g .
2  2
Übungsaufgaben:
1. Welche der untenstehenden Aussagen ist für eine harmonische Schwingung richtig?
A: Die Amplitude wächst mit der Zeit.
B: Die Amplitude ändert sich sinusförmig mit der Zeit.
C: Die rücktreibende Kraft ist proportional zur Auslenkung.
D: Der zurückgelegte Weg wächst linear mit der Zeit.
2. Welches der gezeichneten Diagramme stellt eine gedämpfte Schwingung dar?
3. Ein Fadenpendel macht 15 Schwingungen in einer Minute. Geben Sie seine Frequenz in Hz an.
4. Geben Sie die Länge des Fadenpendels aus Aufgabe 3 in cm an.
5. Ein Federpendel schwingt mit einer Periodenzeit von 3 s. Wenn die gekoppelte Masse um 500 g vermindert
wird, sinkt die Periodenzeit auf 2 s. Berechnen Sie die ursprüngliche Masse.
6. Berechnen Sie die Federkonstante aus Aufgabe 5.
7. Eine Schraubenfeder mit einer Federkonstanten von 60 N/m hängt vertikal. Man befestigt eine Kugel der
Masse 0,4 kg am unteren Ende der Feder und lässt die Kugel los. Die Kugel beginnt zu schwingen.
Berechnen Sie die Amplitude für diese Schwingung.
8. Berechnen Sie die Periodenzeit für die Schwingung aus Aufgabe 7.
 1 
9. Eine harmonische Schwingung wird durch die Funktion y  3 cm  sin  0,5  t  beschrieben. Geben Sie die
 s 
Amplitude an.
10. Geben Sie die Periodenzeit der harmonischen Schwingung aus Aufgabe 9 an.
37
Lösungen:
1. C
2. B
3. 0,25 Hz
4. 398 cm
5. 0,9 kg
6. 3,95 N/m
7. 6,54 cm
8. 0,513 s
9. 3 cm
10. 12,6 s
38
8. Mechanik Teil 6 — Wellenlehre
Wellen sind nicht nur wunderschöne und interessante Erscheinungen der Natur; sie spielen eine entscheidende
Rolle in dem Leben, wie wir es heute leben. Zwei Wellentypen – Licht- und Schallwellen - liefern die meisten
Informationen für uns aus der Umwelt, welche durch Sehen und Hören für uns wahrnehmbar sind und somit
wahrscheinlich die wichtigsten Sinnesfunktionen darstellen. In der Audiometrie wird z.B. das Gehör getestet,
indem u.a. eine sogenannte Hörschwellenkurve aufgenommen wird. Die aufgenommene Hörschwellenkurve
(Schwellenintensität–Frequenz-Diagramm) des Patienten wird dann in dem Hörbereich mit der normalen Kurve
verglichen.
Wellen spielen aber nicht nur in der Wahrnehmung und Orientierung eine entscheidende Rolle, sie begenen uns
täglich so z.B. auch Ultraschallwellen. Ultraschallwellen werden in der Medizin sowohl für diagnostische als
auch für therapeutische Zwecke verwendet. In der Sonographie können hauptsächlich Weichteilgewebe und mit
Hilfe der Doppler-Technik die Blutströmung untersucht werden. Ultraschall wird in der Physiotherapie und zum
Beispiel auch für die Zahnsteinentfernung verwendet.
Die in dem vorherigen Abschnitt diskutierten Größen und Begriffe der Schwingungslehre sind auch für Wellen
anwendbar.
Welle: Die Ausbreitung eines Schwingungszustandes in einem schwingungsfähigen Medium. Neben zeitlicher
Periodizität weisen die Wellen auch räumliche Periodizität auf. Die wichtigsten Wellenarten sind mechanische
Wellen, elektromagnetische Wellen und Materiewellen. Während
zur Ausbreitung von mechanischen Wellen Materie nötig ist,
können sich elektromagnetische Wellen (z. B. Licht) auch im
Vakuum fortpflanzen. (Bei elektromagnetischen Wellen ist
nämlich das elektromagnetische Feld das schwingungsfähige
Medium.) Beispiele für mechanische Wellen sind
Wasseroberflächenwellen und Schallwellen.
Wellenlänge (Formelzeichen ): Der Abstand zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Punkten gleicher Phase, d.h. zum Beispiel
der Abstand zwischen zwei benachbarten Wellenbergen. Die SIEinheit der Wellenlänge ist das Meter (m).
Ausbreitungsgeschwindigkeit (Formelzeichen c): Die Geschwindigkeit, mit welcher sich eine Welle
fortpflanzt. Es gilt:

c  f .
T
Abhängig von der Beziehung der Ausbreitungsrichtung der Welle und der Schwingungsrichtung innerhalb der
Welle, teilt man die Wellen in zwei Gruppen: Tranversal- und Longitudinalwellen.
Transversalwelle oder Querwelle: Eine Welle, bei welcher die Auslenkungsrichtung (Schwingungsrichtung)
und die Wellenausbreitungsrichtung senkrecht zueinander stehen. Wasseroberflächenwellen sind annähernd
Transversalwellen. Die elektromagnetischen Wellen, einschließlich des Lichts, gehören alle zu dieser Klasse.
39
Longitudinalwelle oder Längswelle: Eine Welle, bei welcher die Auslenkungsrichtung (Schwingungsrichtung)
und die Wellenausbreitungsrichtung parallel zueinander stehen. Schallwellen in der Luft sind
Longitudinalwellen.
Lineare Polarisation: Bei einer Transversalwelle bestimmt die Tatsache, dass Schwingungsrichtung und
Wellenausbreitungsrichtung zueinander senkrecht stehen, die Schwingungsrichtung noch nicht eindeutig. Es ist
möglich – und tatsächlich ist es oft so - dass sich die Schwingungsrichtung in einer Transversalwelle ändert,
während sie zur Ausbreitungsrichtung aber immer senkrecht bleibt. In diesem Fall spricht man von einer
unpolarisierten Welle. Wird eine Schwingungsrichtung von den vielen möglichen auf irgendeine Art und Weise
festgelegt, spricht man von linearer Polarisation. Die Welle wird dann linear polarisierte Welle genannt. Das
Gerät, das die Welle polarisiert, heißt Polarisator.
Das Licht als Transversalwelle kann auch polarisiert werden. Die Lichtpolarisation spielt z. B. eine interessante
Rolle in der Natur: Insekten und Vögel benutzen die polarisierten Lichtstrahlen zur Orientierung. In der Medizin
wird polarisiertes Licht z. B. in dem Polarisationsmikroskop, in der CD (Zirkulardichroismus)-Spektroskopie
oder aber auch für therapeutische Zwecke verwendet.
Wellenfläche oder Wellenfront: Eine Fläche, auf der sich alle Punkte in gleicher Phase, d. h. im selben
Schwingungszustand befinden.
40
Kugelwelle: Eine von einer punktförmigen Quelle ausgehende Welle, die sich im Raum in jede Richtung
gleichförmig ausbreitet. Die Wellenflächen einer Kugelwelle sind konzentrische Kugelflächen. Zum Beispiel
sind die aus einer punktförmigen Schallquelle in jede Richtung austretenden Schallwellen Kugelwellen.
Ebene Welle: Eine Welle, deren Wellenfronten Ebenen sind, die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
ausgedehnt sind. Die in einem Wellenbad erzeugten parallelen Wasserwellen oder der parallele Laserstrahl eines
Laserpointers sind Beispiele für ebene Wellen.
Reflexion und Brechung von Wellen treten auf, wenn die Welle auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien
trifft. Weitere spezielle Wellenerscheinungen sind Beugung und Interferenz.
Erscheinungen an Grenzflächen: Reflexion und Brechung. Ein Teil der Welle wird an der Grenzfläche
zwischen zwei Ausbreitungsmedien zurückgeworfen, ein anderer Teil wird beim Durchgang durch die
Grenzfläche gebrochen. Das Verhältnis des reflektierten Anteiles zu dem gebrochenen Anteil ist abhängig von
den zwei Medien.
Reflexion: Die Erscheinung, dass eine Welle an der Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen
Ausbreitungsmedien zurückgeworfen wird. Für die Reflexion von ebenen Wellen gilt das Reflexionsgesetz (aus
dem Gymnasium auch bekannt als „Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel―):
 ,
wobei  den Einfallswinkel und  den Reflexionswinkel bezeichnen. Die Ausbreitungsrichtung der Welle vor
und nach der Reflexion und das Einfallslot liegen in einer Ebene. Dieses Gesetz beschreibt jedoch einen
Idealfall. In der Wirklichkeit gibt es keine perfekt reflektierenden Oberflächen, sodass auch immer ein Teil der
Strahlen nicht dem Gesetz folgt. Wichtig ist, dass Einfalls- und Ausfallswinkel zwischen Lot und Strahl liegen
und nicht zwischen Strahl und Grenzfläche, wie oft fälschlicherweise angenommen!
Spiegel werden in vielen medizin-optischen Geräten benutzt. Die Verhältnisse der Lichtreflexion bestimmen
zum Beispiel die Farbe eines undurchsichtigen Körpers. Die Reflexion von Ultraschallwellen ist
Grundvorrausetzung für die Sonographie, da hierdurch das sonographische Bild entsteht.
41
Brechung: Die Änderung der Ausbreitungsrichtung einer Welle beim Durchgang durch die Grenzfläche zweier
Ausbreitungsmedien. Für die Brechung von ebenen Wellen gilt das Brechungsgesetz:
sin  c1
 ,
sin  c2
wobei  den Einfallswinkel,  den Brechungswinkel, c1 die Ausbreitungsgeschwindigkeit im ersten Medium
und c2 die Ausbreitungsgeschwindigkeit im zweiten Medium bezeichnen. Die Ausbreitungsrichtung der Welle
vor und nach der Brechung und das Einfallslot liegen in einer Ebene. Bei der Brechung ändert sich die
Frequenz der Welle nicht, wohingegen sich aber die Wellenlänge und die Ausbreitungsgeschwindigkeit der
Welle ändern.
Lichtbrechende Linsen und Prismen sind Grundbestandteile von vielen medizin-optischen Geräten, wie z. B.
dem Mikroskop, den Spektrometern usw. Die Lichtbrechung ist die Grunderscheinung bei der Bildentstehung
im Auge. Die Lichtbrechung an Regentropfen ist für das Phänomen des Regenbogens verantwortlich.
Interferenz: Überlagerung zweier oder mehrerer Wellen am gleichen Raumpunkt. Ausgeprägte
Interferenzerscheinungen erhält man, wenn die zusammentreffenden Wellen gleiche Amplituden, gleiche
Wellenlängen und eine feste Phasenbeziehung besitzen. Sind die zwei Wellen beim Zusammentreffen genau in
der gleichen Phase, kommt es zur Verstärkung (positive oder konstruktive Interferenz). Die resultierende Welle
hat die doppelte Amplitude. Sind die zwei Wellen beim Zusammentreffen genau in der entgegengesetzten
Phase, kommt es zur Auslöschung (negative oder destruktive Interferenz). Die Amplitude der resultierenden
Welle ist ―0―. Sind die Wellen nicht genau in den erwähnten speziellen Phasenbeziehungen, addieren oder
subtrahieren sie sich nur teilweise.
Die farbigen Muster von Seifenblasen und dünnen Ölschichten auf Wasser sind zum Beispiel durch das
Phänomen der Lichtinterferenz erklärbar. Auf Lichtinterferenz basierende optische Bauteile (Filter,
42
Monochromatoren usw.) sind wichtige Bestandteile von optischen Geräten wie z.B. Spektrometern. Interferenz
von Schallwellen kann zu solchen interessanten Erscheinungen führen wie z.B. der Schwebung. Schwebung
wird z. B. in einer gewissen sonographischen Technik verwendet, bei welcher die Herztöne des Babys für den
Arzt und für die Mutter hörbar gemacht werden können. Typische Interferenzerscheinungen sind auch die
stehenden Wellen.
Stehende Welle: Entsteht, wenn sich zwei ebene Wellen mit gleicher Frequenz und Amplitude, aber
entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung überlagern, z. B. wenn eine Welle reflektiert wird und sich dabei
reflektierte und einfallende Welle überlagern. In einer stehenden Welle schwingen alle Punkte mit gleicher
Phase, aber unterschiedlicher Amplitude. Bei einer in Querschwingung gebrachten Saite mit zwei festen Enden
können nur stehende Wellen entstehen, die die Bedingung:

k  1, 2, 3, ...
l k
2
erfüllen, wobei l die Länge der Saite bezeichnet. Stehende Wellen entstehen also nur bei bestimmten
Wellenlängen. Die zugehörigen Frequenzen sind die Eigenfrequenzen der Saite. Die stehende Welle mit der
größten möglichen Wellenlänge, d. h. mit der kleinsten Eigenfrequenz, nennt man Grundschwingung, alle
anderen sind die Oberschwingungen.
Durch diese Erscheinung lassen sich z. B. die Grund- und Oberschwingungen einer Geigensaite erklären. Die
obige Formel zeigt, warum der Ton der Geige durch Kürzung der jeweiligen Saite erhöht werden kann. Wird
nämlich l verkürzt, muss auch  dementsprechend kleiner und dadurch die Frequenz höher werden (Frequenz
und Wellenlänge sind umgekehrt proportional zueinander). Die Gesamtheit der Grund- und Oberschwingungen
bestimmt die Klangfarbe der Geige. Eine stehende Welle entsteht auch im äußeren Gehörgang des Ohres, nur ist
das Außenohr ein Resonator mit einem festen (Trommelfell) und einem freien Ende (Richtung Außenwelt).
Die Lichtbeugung ist eine spezielle Interferenzerscheinung.
Beugung: Die Abweichung einer Wellenausbreitung von
der ursprünglichen Richtung am Rand eines Hindernisses
oder einer Öffnung. Sie tritt umso deutlicher auf, je größer
die Wellenlänge bzw. je kleiner das Hindernis oder die
Öffnung bei gleicher Wellenlänge ist. Wellen haben somit
die Möglichkeit, in die Schattenräume hinter einem
Hindernis einzudringen, welche sie ohne das Phänomen der
Beugung nicht erreichen könnten.
Die Lichtbeugung ist die Erscheinung, die für die endliche
(begrenzte) Auflösung von optischen Geräten verantwortlich
ist. Ausgehend von der Lichtbeugung lässt sich z. B. die
Auflösungsgrenze des Lichtmikroskops nach der abbeschen
Theorie herleiten. Auch limitiert die Lichtbeugung neben
den biologischen Faktoren die Sehschärfe des Menschen.
Die Beugung lässt sich mit Hilfe des huygensschen Prinzips erklären.
43
Huygenssches Prinzip: Eine Modellvorstellung für die Ausbreitung einer Welle. Nach dieser Vorstellung kann
jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer neuen kugelförmigen Welle, der sog. Elementarwelle,
betrachtet werden. Diese Elementarwellen breiten sich mit derselben Geschwindigkeit aus, wie die
ursprüngliche Welle. Durch die Überlagerung (Interferenz) dieser Elementarwellen ergibt sich die beobachtbare
Wellenfront der ursprünglichen Welle zu einem späteren Zeitpunkt. Sie ist also die Einhüllende der
Wellenfronten der einzelnen Elementarwellen. Reflexion, Brechung und Beugung von Wellen lassen sich mit
Hilfe des huygensschen Prinzips erklären. Als Beispiel betrachten wir die Beugung einer ebenen Welle an einer
sehr kleinen Öffnung. Sei die Öffnung so klein gewählt, dass man sich die Öffnung als einen einzigen Punkt
vorstellen kann. Nach dem huygensschen Prinzip tritt aus diesem einzigen Punkt eine kugelförmige
Elementarwelle aus. Da es keine weiteren Elementarwellen gibt, ist die Wellenfront der einzigen
Elementarwelle identisch mit der beobachtbaren Wellenfront der ursprünglichen Welle hinter der Öffnung.
Zum Schluss beschäftigen wir uns ein bisschen ausführlicher mit der wichtigsten mechanischen Welle - dem
Schall.
Schall: Mechanische Welle. Die Schallwellen können aufgrund des menschlichen Hörens nach ihrer Frequenz
in vier Bereiche eingeteilt werden:
Schallbereiche
Frequenzwerte (Hz)
Infraschall
< 20
Schallbereiche
Hörschall
20–20 000
Ultraschall
20 000–109
Hyperschall
109 <
Schallwellen (und auch alle anderen mechanischen Wellen) breiten sich in festen Medien transversal oder
longitudinal, in Flüssigkeiten und in Gasen hingegen nur longitudinal aus. Die Schallausbreitungsgeschwindigkeit ist im Allgemeinen in Gasen kleiner als in Flüssigkeiten und in Flüssigkeiten kleiner als in
festen Körpern. Dies hängt damit zusammen, dass eine engere Beziehung der schwingenden Teilchen für eine
schnellere Weiterleitung des Schalls sorgt. In Gasen nehmen die Moleküle/Atome einen größtmöglichen
Abstand ein, wohingegen in Festkörpern die Moleküle bzw. Atome in geordneten Gitterstrukturen vorliegen.
Abgesehen vom Material ist die Schallgeschwindigkeit insbesondere bei Flüssigkeiten und Gasen auch von der
Temperatur und dem Druck abhängig. Dagegen ist die Schallgeschwindigkeit praktisch frequenzunabhängig.
Einige Geschwindigkeitswerte sind in der Tabelle aufgeführt.
Einige Schallgeschwindigkeitswerte
Stoff
cSchall (m/s)
Luft (0ºC, 101 kPa)
330
Helium (0ºC, 101 kPa)
965
Wasser (20ºC)
1483
Fettgewebe
1470
Muskelgewebe
1568
Knochen (kompakt)
3600
Eisen
5950
44
Beispielaufgaben:
1. Berechnen Sie die Wellenlänge eines Tones der Frequenz 440 Hz (Kammerton-A) in der Luft!
Lösung:
Die Schallgeschwindigkeit in der Luft kann der Tabelle entnommen werden: c = 330 m/s. Die
Wellenlänge ergibt sich als:
c 330
 
 0,75 m .
f 440
2. Wasserwellen der Frequenz 0,5 Hz laufen in tiefem Wasser mit einer Geschwindigkeit von 3 m/s. Sie treffen
unter einem Einfallswinkel  = 60º auf die Grenzfläche zu einem flacheren Teil, wo sie sich mit 2 m/s
bewegen.
a) Berechnen Sie den Brechungswinkel!
b) Berechnen Sie die Wellenlänge!
Lösung:
a) Aus dem Brechungsgesetz folgt:
sin   sin  
c2
2
 sin 60   0,57735
c1
3
  35,3 .
b) Die Wellenlänge wird in den zwei Teilen aufgrund der verschiedenen Geschwindigkeiten
unterschiedlich sein. In dem tieferen Teil beträgt sie:
c
3
1  1 
6m
f 0,5
und in dem flacheren Teil:
c
2
2  2 
 4m.
f 0,5
Die Frequenz verändert sich nicht und bleibt überall gleich groß.
3. Bestimmen Sie die ersten 4 Eigenfrequenzen einer Saite mit zwei festen Enden. Die Länge der Saite beträgt
30 cm, die Ausbreitungsgeschwindigkeit für die Querwellen ist 180 m/s.
Lösung:
Die Wellenlänge der stehenden Welle mit der größten Wellenlänge beträgt:
2l 2  0,3
 
 0,6 m
k
1
und die zugehörige Eigenfrequenz (die Grundfrequenz) ist:
c 180
f  
 300 Hz .
 0,6
Die weiteren Wellenlängen und Frequenzen erhält man durch Einsetzen von k = 2, 3 und 4 in die erste
Gleichung. Die Ergebnisse sind tabelliert wie folgt:
k
1
2
3
4
2l
(m)
k
0,6
0,3
0,2
0,15

f 
c
(Hz)

300
600
900
1200
45
Übungsaufgaben:
1. Eine Sirene ertönt mit der Frequenz von 880 Hz. Wie groß ist die Wellenlänge der Schallwelle in Luft?
2. Ultraschall der Frequenz f = 5 MHz wird in einer sonographischen Untersuchung verwendet. Wie groß ist die
Wellenlänge im Muskelgewebe?
3. Sechs Meter lange Wasserwellen laufen mit einer Geschwindigkeit von 1,5 m/s gegen ein Ufer. Ein
Holzstück schwimmt auf der Wasseroberfläche weit entfernt vom Ufer. In welchen Zeitabständen sieht man
das Holzstück „auftauchen―?
4. Eine Schallwelle fällt aus der Luft (0ºC) auf eine Wasseroberfläche (20ºC) unter einem Einfallswinkel von
10º. Wie groß ist der Brechungswinkel?
5. In einer Wellenwanne läuft eine Welle von einem seichten Bereich in ein Gebiet mit tieferem Wasser unter
einem Einfallswinkel von 22º und einem Brechungswinkel von 31º. Bestimmen Sie das Verhältnis der
Geschwindigkeiten in beiden Teilen der Wanne.
6. Wie groß ist die Wellenlänge aus Aufgabe 5 im flachen Teil, wenn sie im tiefen 5,5 cm ist?
7. Berechnen Sie die Grundfrequenz einer Saite der Länge 50 cm mit festen Enden, wenn die
Ausbreitungsgeschwindigkeit in der Saite 120 m/s beträgt.
8. Welchen Wert von den Folgenden kann die Wellenlänge einer stehenden Welle auf einer Saite (l = 20 cm)
mit festen Enden besitzen?
A: 30 cm
B: 60 cm
C: 5 cm
D: 6 cm
9. Welche Schallwelle von den folgenden liegt im Hörbereich? (Die Wellenlängenwerte beziehen sich auf Luft.)
A: 3,3 cm
B: 1,1 cm
C: 0,8 cm
D: 0,6 cm
10. Zu welchem Schallbereich gehört Schall der Frequenz 30 kHz?
Lösungen:
1. 37,5 cm
2. 0,314 mm
3. 4 s
4. 51,3º
5. 0,727
6. 4 cm
7. 120 Hz
8. C
9. A
10. Ultraschall
46
9. Elektrizitätslehre Teil 1 — Elektrostatik
Die elektrischen Vorgänge spielen eine wichtige Rolle bei Lebensfunktionen wie z. B. bei der Muskeltätigkeit
oder bei der Reizleitung in Nervenzellen. Die Messung von solchen Vorgängen kann diagnostische
Informationen liefern, z. B. in der Elektrokardiographie (EKG).
Elektrische Kondensatoren werden in medizinischen Geräten benutzt, als Beispiel sei nur der Defibrillator
erwähnt. Bei diesem Gerät wird ein Kondensator vor der Anwendung aufgeladen, damit man die in dem
Kondensator gespeicherte Gesamtladung und Gesamtenergie dann im Notfall in Form eines starken elektrischen
Schocks dem fibrillierenden Herzen zuführen kann.
Elektrische Ladung ist eine spezielle Eigenschaft von Körpern. Manche Körper können zum Beispiel durch
Reibung in einen elektrisch aufgeladenen Zustand gebracht werden. Sie zeigen dann eine neue, die sogenannte
elektrische Wechselwirkung. Ein spezielles Gebiet der Elektrizitätslehre, die Elektrostatik, beschäftigt sich mit
ruhenden elektrischen Ladungen.
Elektrische Ladung (Formelzeichen q): Die Eigenschaft eines Körpers, die die Ursache des elektrischen Feldes
und elektrischer Erscheinungen ist. Es gibt zwei Arten von Ladungen — positive und negative Ladungen.
Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige Ladungen ziehen sich an. Die Wechselwirkungskraft
zwischen zwei punktförmigen Ladungen ist in dem Coulomb-Gesetz formuliert. Die SI-Einheit der Ladung ist
das Coulomb (C). Die kleinste Ladungsmenge ist die sog. Elementarladung (Formelzeichen e) - sie beträgt
1,6·10–19 C. Jede andere Ladung ist ein Vielfaches dieser Elementarladung. (Die Ladung ist eine gequantelte
Größe, d.h. sie kann nur bestimmte Werte, in diesem Fall vielfache der Elementarladung, annehmen.) Ladung
ist immer an Materie gebunden.
Ladungsträger: Teilchen, die elektrisch geladen sind. Der wichtigste Träger ist das Elektron. Seine Ladung ist
–e. Das Proton im Atomkern besitzt hingegen eine Ladung von +e. Atome, Moleküle und demzufolge die aus
ihnen bestehenden makroskopischen Körper sind normalerweise neutral, d. h. sie enthalten genauso viele
positive wie auch negative Ladungsträger. Werden Elektronen aus einem Körper entfernt, entsteht ein
Überschuss von positiven Ladungen, sodass der Körper somit positiv aufgeladen ist. So entstehen die positiv
geladenen Ionen (Kationen) aus neutralen Atomen. Bei einem Überschuss von Elektronen hingegen ist der
Körper negativ aufgeladen. So entstehen die negativ geladenen Ionen (Anionen) aus neutralen Atomen.
Coulomb-Gesetz: Ein Kraftgesetz, das die zwischen zwei punktförmigen Ladungen (q1 und q2) wirkende Kraft
(Coulomb-Kraft) in Abhängigkeit von ihrem Abstand (r) beschreibt:
F k
q1  q2
,
r2
wobei k eine Konstante mit dem Wert von k = 9·109 Nm2/C2 ist. Die Coulomb-Kraft wirkt in Richtung der
Verbindungslinie der zwei Ladungen. Sie ist eine Anziehungskraft bei Ladungen unterschiedlichen Vorzeichens
und eine Abstoßungskraft bei Ladungen gleichen Vorzeichens. Die Coulomb-Kraft hält z.B. die negativen
Elektronen auf ihren Bahnen um den positiv geladen Atomkern in den Atomen. Es sei der Leser hier daran
erinnert, dass das im Abschnitt 4 (Dynamik) kennengelernte Gravitationsgesetz dem Coulomb-Gesetz sehr
ähnlich ist. Die Struktur der zwei Formeln ist gleich, nur steht die Ladung in dem Coulomb-Gesetz statt der
Masse und eine andere Konstante. Diese Ähnlichkeit erklärt, warum viele Eigenschaften der zwei
Wechselwirkungen und der zwei Felder gleich sind.
Elektrisches Feld: Ein Modell für die Beschreibung der Wechselwirkung zwischen Ladungen. Nach diesem
Modell erzeugen Ladungen ein elektrisches Feld um sich herum und üben nicht direkt, sondern durch das
elektrische Feld übermittelt Kräfte aufeinander aus. Das Feld wird durch Feldlinien veranschaulicht; dies sind
Kurven, deren Tangenten an jedem Punkt die Richtung des Feldes — d. h. die Richtung der Kraftwirkung —
anzeigen und deren Dichte zur Stärke des Feldes proportional sind. Das elektrische Feld legt die Coulomb-Kraft
fest, die eine punktförmige positive Ladung von 1 C (die sog. Probeladung) erfahren würde. Ein homogenes
Feld hat an jedem Punkt den gleichen Wert; die Feldlinien laufen parallel zueinander in gleichen Abständen.
47
Andernfalls handelt es sich um ein inhomogenes Feld. Das elektrische Feld einer punktförmigen Ladung ist
inhomogen, das elektrische Feld eines Plattenkondensators (siehe später) hingegen ist homogen.
Elektrischer Dipol: Die Anordnung von zwei gleich großen,
ungleichnamigen Punktladungen (+q bzw. –q) in einem Abstand d. Das
erzeugte inhomogene Feld heißt Dipolfeld. Der elektrische Dipol besitzt ein
elektrisches Dipolmoment (p), das:
Dipol und sein Feld
pqd
groß ist. In dem Wassermolekül z.B. stimmen die Schwerpunkte der
positiven Ladungen (Protonen im Kern) und der negativen Ladungen
(Elektronen) wegen der unterschiedlichen Elektronegativitäten von
Sauerstoff und Wasserstoff nicht überein, weshalb das Wassermolekül ein
elektrischer Dipol ist und ein Dipolmoment besitzt. Das elektrische Feld des
Herzens kann auch annähernd mit einem Dipolfeld modelliert werden. Die
Ausrichtung dieses Dipols kann mit Hilfe des EKGs veranschaulicht werden.
Elektrische Feldstärke (Formelzeichen ): Der Quotient aus der Kraft (F), die in dem elektrischen Feld auf
eine positive Ladung wirkt und aus der Ladung (q):
E
F
.
q
Die Feldstärke gibt also die auf die Probeladung wirkende Kraft an. Die SI-Einheit der elektrischen Feldstärke
ist N/C oder V/m (siehe später). Die elektrische Feldstärke ist eine vektorielle Größe. Richtung und Betrag der
elektrischen Feldstärke sind in einem homogenen Feld überall gleich groß.
Elektrische Spannung (Formelzeichen U): Der Quotient aus der
Arbeit (W), die geleistet werden muss, um eine positive Ladung
von einem Punkt 1 zu einem Punkt 2 in dem elektrischen Feld zu
bringen und aus der Ladung (q):
W
U 21  .
q
Statt der exakten Bezeichnung U21 wird oft einfach U
geschrieben. Die SI-Einheit der elektrischen Spannung ist das
Volt (V; 1 V = 1 J/C). Die Spannung gibt also die Arbeit an, die man verrichten muss, um die Probeladung von
Punkt 1 zu Punkt 2 zu bringen. Muss man gegen das Feld Arbeit verrichten, werden die Arbeit und auch die
Spannung positiv sein. Man sagt, dass der Punkt 2 ein höheres elektrisches Potenzial hat als Punkt 1. Ist die
Arbeit und dementsprechend auch die Spannung negativ, so ist das elektrische Potenzial im Punkt 2 niedriger
als im Punkt 1. Im Wesentlichen ist die Spannung auch ein Maß der Stärke des elektrischen Feldes. Auch in der
Zellmembran herrscht ein elektrisches Feld und es liegt eine elektrische Spannung zwischen den extra- und
intrazellulären Seiten der Membran vor, die etwa –90 mV groß ist. (Hier wird die extrazelluläre Seite
willkürlich als Punkt 1 und die intrazelluläre Seite als Punkt 2 betrachtet.) Dieses elektrische Feld und die
Spannung stehen im Zusammenhang mit der ungleichmäßigen Verteilung der Kationen und Anionen zwischen
48
den extra- und intrazellulären Räumen. Der genaue Spannungswert ist stark abhängig von den jeweiligen
Zellen, da in verschiedenen Zellen zum einen die Ionenkonzentrationen extra- und intrazellulär variieren sowie
auch die Durchlässigkeit der Membran für die verschiedenen Ionen.
Elektrisches Potenzial (Formelzeichen ): Wird ein Punkt (0) gewählt, an welchem das elektrische Potenzial
willkürlich als „0― festgelegt ist ((0) = 0), dann ist das elektrische Potenzial (i) eines beliebigen Punktes i
gleich der elektrischen Spannung Ui0:
 i   U i 0 ,
oder mit anderen Worten: die Spannung ist die Differenz des elektrischen Potenzials zwischen zwei Punkten:
U i 0   i    0
oder
U 21   2   1 .
Deswegen ist die elektrische Potenzialdifferenz ein Synonym für die elektrische Spannung. Da Potenzial und
Spannung im Grunde genommen die gleichen Größen sind, sind ihre Einheiten auch gleich. Die zwischen den
zwei Seiten der Zellmembran herrschende Membranspannung könnte man also auch Membranpotenzialdifferenz nennen, jedoch ist nicht diese Benennung, sondern das kürzere Membranpotenzial (Ruhe- oder
Aktionspotenzial), im Gebrauch in der medizinischen Literatur - eine saloppe Ausdrucksweise.
Äquipotenzialflächen: Flächen mit gleichem Wert des Potenzials. In der Elektrostatik stehen die
Äquipotenzialflächen senkrecht zu den Feldlinien.
Kondensator: Ein elektrisches Bauelement zum Speichern von elektrischer Ladung und Energie. Die einfachste
Bauform ist der Plattenkondensator: ein Kondensator, der aus zwei parallelen, elektrisch leitenden, durch
einen Isolatorstoff getrennten Platten besteht. Wird der Kondensator aufgeladen, dann enthalten die zwei Platten
+q bzw. –q Ladung. Es entsteht ein homogenes elektrisches Feld der Stärke E und eine Spannung U zwischen
den Platten. Es gilt:
U  Ed ,
wobei d den Abstand zwischen den Platten bezeichnet. Je mehr Ladungen sich auf den Platten befinden, desto
stärker wird das Feld und desto größer wird die Spannung. Die Ladungsmenge und die Spannung sind also
proportional zueinander, ihr Quotient ist konstant und wird als Kapazität bezeichnet. Die Zellmembran einer
myelinisierten Nervenzelle kann in guter Näherung als Kondensator angesehen werden.
Kapazität (Formelzeichen C): Der Quotient aus der Ladungsmenge (q) und der Spannung (U) eines
Kondensators:
q
C .
U
Die SI-Einheit der Kapazität ist das Farad (F; 1 F = 1 C/V). Die Kapazität ist ein Maß der
Ladungsspeicherungsfähigkeit des Kondensators. Sie hängt von den geometrischen Gegebenheiten des
49
Kondensators ab: Je größer die Plattenflächen (A) sind, desto mehr Ladung wird für eine bestimmte Spannung
benötigt. Je kleiner der Plattenabstand (d) ist, desto größer muss für eine bestimmte Spannung die elektrische
Feldstärke und damit die Ladung sein. Deshalb gilt:
C  0  r 
A
,
d
wobei 0 die absolute Dielektrizitätskonstante (oder elektrische Feldkonstante) und r die relative
Dielektrizitätskonstante (oder Dielektrizitätszahl) bezeichnen. Der Wert von 0 ist 8,85·10–12 As/(Vm). Das
Schaltzeichen einer elektrischen Kapazität (Kondensator) ist:
Elektrische Energie im Kondensator: Zum Aufladen benötigte Arbeit (W), die in Form elektrischer Energie
im Kondensator gespeichert wird. Es gilt:
1
W  C U 2 .
2
Schaltung von Kondensatoren:
Bei der Parallelschaltung dieser erhält man die Gesamtkapazität C durch Addition der einzelnen Kapazitäten:
C  C1  C2  ...
Bei der Reihenschaltung dieser erhält man die Gesamtkapazität C durch die Reziprokregel:
1
1
1


 ...
C C1 C2
Parallelschaltung
Reihenschaltung
Beispielaufgaben:
1. Berechnen Sie die Coulomb-Kraft zwischen einem Elektron und einem Proton bei einem Abstand von
100 pm.
Lösung:
Der Abstand ist also 100 pm = 10–10 m. Beide Teilchen tragen die Elementarladung, allerdings mit
unterschiedlichen Vorzeichen. Deshalb wird die Kraft anziehend sein mit einem Betrag von:

q q
1,6  1019
F  k 1 2 2  9  109 
2
r
1010



2
 2,3  108 N  23 nN .
50
2. Ein Körper der Ladung q = 0,1 C wird in einem homogenen Feld der
Feldstärke E = 1200 N/C parallel zu den Feldlinien von Punkt 1 zuPunkt
2, welcher 2 cm entfernt liegt, bewegt.
a) Welche elektrische Kraft wirkt auf den Körper?
b) Welche Arbeit muss man bei der Bewegung gegen die elektrische
Kraft verrichten?
c) Wie groß ist die Spannung zwischen den zwei Punkten?
Lösung:
a) Die Kraft ergibt sich aus der Formel:
F  q  E  0,1  1200  120 N .
b) Bei der Bewegung muss man eine der elektrischen Kraft entgegengesetzte, aber im Betrag gleich große
Kraft ausüben. So liegen Bewegung und Kraft in der gleichen Richtung und die Arbeit ist:
W  F  s  120  0,02  2,4 J .
c) Die Spannung erhält man durch die Definitionsformel:
W 2,4
U 21 

 24 V .
q 0,1
3. Im Defibrillator ist ein Plattenkondensator der Kapazität von 50 F auf eine Spannung von 5000 V
aufgeladen.
a) Wie viel Ladung ist im Kondensator gespeichert?
b) Wie viel Energie ist im Kondensator gespeichert?
Lösung:
a) Die Ladung beträgt:
q  C  U  50  106  5000  0,25 C .
b) Die Energie beträgt:
1
1
W  C  U 2   50  106  50002  625 J .
2
2
4. Zwei Kondensatoren von je 10 nF werden zusammengeschaltet. Berechnen Sie die Gesamtkapazität:
a) bei einer Parallelschaltung;
b) bei einer Reihenschaltung.
Lösung:
a) Bei einer Parallelschaltung gilt die einfache Addition:
C  C1  C2  10  10  20 nF .
b) Bei einer Reihenschaltung werden die Reziprokwerte addiert:
1
1
1
1 1
2


  
C C1 C2 10 10 10
10
C
 5 nF .
2
51
Übungsaufgaben:
1. Körper A und Körper B besitzen gleich große Ladungen (qA und qB). Zwischen ihnen wirkt eine Kraft. Die
Ladung qB wird verdoppelt. Welche Aussage trifft zu?
A: Die auf Körper A wirkende Kraft verdoppelt sich.
B: Die auf Körper A wirkende Kraft halbiert sich.
C: Die auf Körper A wirkende Kraft ändert sich nicht, weil qA sich nicht ändert.
D: Die Richtung der Kraft ändert sich.
2. Zwei Körper der gleichen positiven Ladung haben einen Abstand von 1 m. Es wirkt eine Kraft von 9000 N
zwischen ihnen. Wie groß sind die Ladungen der beiden Körper jeweils?
3. Wie groß ist die elektrische Feldstärke in dem Punkt, in welchem auf eine Ladung von 0,5 C eine elektrische
Kraft von 480 N wirkt?
4. Ein Körper der Ladung q = 5 nC wird in einem elektrischen Feld durch eine Spannung von 2000 V bewegt.
Welche Arbeit wird dabei verrichtet?
5. In einer Röntgenröhre wird ein Elektron in einem elektrischen Feld durch eine Spannung von 80 kV bewegt
und beschleunigt. Welche Arbeit wird dabei verrichtet?
6. Die berechnete Arbeit aus Aufgabe 5 erscheint als kinetische Energie des Elektrons. Wie groß wäre seine
Geschwindigkeit, wenn seine Masse konstant m = 9,11·10–31 kg wäre?
7. Die elektrische Ladung eines Plattenkondensators der Kapazität C = 50 nF beträgt 30 C. Berechnen Sie die
Spannung am Kondensator.
8. Wie viel Energie ist im Kondensator aus Aufgabe 7 gespeichert?
9. Zehn Kondensatoren mit je einer Kapazität von C = 3 nF sind parallel geschaltet. Wie groß ist ihre
Gesamtkapazität?
10. Zwei Kondensatoren, C1 = 10 nF und C2 = 40 nF, sind in Reihe geschaltet. Wie groß ist ihre
Gesamtkapazität?
Lösungen:
1. A
2. 1 mC
3. 960 N/C
4. 10 J
5. 12,8 fJ
6. 1,68·108 m/s
7. 600 V
8. 9 mJ
9. 30 nF
10. 8 nF
52
10. Elektrizitätslehre Teil 2 — Elektrischer Strom
Elektrischer Strom fließt im Körper z. B. bei Muskel- oder Nerventätigkeit. Elektrische Stromkreise sind
praktisch in jedem medizinischen Gerät zu finden.
Elektrischen Strom verwendet der Arzt direkt z. B. im Herzschrittmacher oder bei der sog. Reizstromtherapie.
Mikroskopische Teilchen, wie Elektronen oder Ionen, führen ständig zufällige Bewegungen in einem Stoff
durch. In einem elektrischen Feld kommt noch eine gerichtete kollektive Bewegung dieser Teilchen dazu, da sie
elektrisch aufgeladen sind und das elektrische Feld eine Kraft auf sie ausübt. Diese kollektive Wanderung von
Ladungsträgern nennt man elektrischen Strom.
Elektrischer Strom: Der gerichtete Transport von elektrischen Ladungen. Dazu sind frei bewegliche
Ladungsträger (z.B. freie oder „quasi‖-freie Elektronen oder Ionen) nötig. Sind solche in einem Stoff
vorhanden, so nennt man ihn einen elektrischen Leiter (z.B. Metalle). Der Stoff, der solche nicht enthält oder
nur in geringer Menge, heißt Isolator. Ist die Stromstärke zeitlich konstant, spricht man von Gleichstrom,
andernfalls von Wechselstrom. In der Praxis spielt der sinusförmige Wechselstrom die wichtigste Rolle.
Die Richtung des elektrischen Stromes ist nach Vereinbarung die Bewegungsrichtung der positiven
Ladungsträger. Dies ist die sog. technische Stromrichtung. Die Elektronen bewegen sich wegen ihrer
negativen Ladung tatsächlich in die umgekehrte Richtung.
Elektrische Stromstärke (Formelzeichen I): Der Quotient aus der durch den Querschnitt des Leiters
transportierten Ladungsmenge q und der Zeitspanne t:
q
.
I
t
Die Stromstärke gibt also die pro Zeiteinheit transportierte Ladungsmenge an. Die SI-Einheit der elektrischen
Stromstärke ist das Ampere (A; 1 A = 1 C/s). Für die Elektroreizung reicht schon eine Stromstärke von ein paar
mA. Bei der Verwendung des Defibrillators fließt hingegen, wenn auch nur kurzzeitig, ein wesentlich stärkerer
Strom von etwa 1 A durch den Körper.
Ohmsches Gesetz: Die elektrische Stromstärke in einem Leiter ist der angelegten Spannung proportional:
U  RI ,
wobei der Proportionalitätsfaktor R elektrischer Widerstand genannt wird. R ist also konstant und hängt nicht
von der Spannung ab.
Elektrischer Widerstand (Formelzeichen R): Der Quotient aus der an einen Leiter angelegten Spannung (U)
und der durch ihn fließenden Stromstärke (I):
U
R .
I
Die SI-Einheit des elektrischen Widerstandes ist das Ohm (; 1  = 1 V/A). Wenn der gesamte Energieverlust
in einem Widerstand in joulesche Wärme umgesetzt wird, nennt man ihn einen ohmschen Widerstand. Unter
elektrischem Widerstand versteht man das Bauelement eines Stromkreises, bei dem diese Eigenschaft die
bestimmende Rolle spielt. Das Schaltzeichen eines elektrischen Widerstandes ist:
Der elektrische Widerstand eines Leiters hängt von seinen geometrischen
Gegebenheiten ab: Je größer die Länge des Leiters (l) ist, desto schwächer wird das Feld und demzufolge die
Bewegung der Ladungsträger und somit die Stromstärke in dem Leiter sein. Das bedeutet einen größeren
53
Widerstand. Je größer die Querschnittsfläche des Leiters (A) ist, desto mehr Ladungen wandern bei gleicher
Spannung durch den Querschnitt, d.h. desto größer wird die Stromstärke sein. Das bedeutet einen kleineren
Widerstand. Deshalb gilt:
l
R ,
A
wobei  den spezifischen Widerstand bezeichnet. Die SI-Einheit des spezifischen Widerstandes ist ·m. In der
Technik ist das Temperaturverhalten des Widerstandes wichtig. Bei den meisten Materialien nimmt der
Widerstand mit zunehmender Temperatur zu.
Elektrischer Leitwert (Formelzeichen G): Der Kehrwert des elektrischen Widerstandes:
1
G .
R
Die SI-Einheit des elektrischen Leitwertes ist das Siemens (S; 1 S = 1/).
Elektrische Leitfähigkeit (Formelzeichen ): Der Kehrwert des spezifischen Widerstandes:
1
 .

Die SI-Einheit der elektrischen Leitfähigkeit ist S/m.
Stromarbeit oder elektrische Arbeit oder joulesche Wärme (Formelzeichen WStrom): Die von einem
elektrischen Feld beim Transport elektrischer Ladungen verrichtete Arbeit, durch die die elektrische Energie in
andere Energieformen umgewandelt wird. In Ohmschen Widerständen wird diese Energie völlig in Wärme
umgewandelt. Bei einem Gleichstrom mit der Stromstärke I während einer Zeitspanne t beträgt die Stromarbeit:
WStrom  U  I  t ,
wobei U die Spannung bezeichnet. Die SI-Einheit der Stromarbeit ist das Joule, wie bei der mechanischen
Arbeit. Mithilfe des ohmschen Gesetzes kann die Stromarbeit auch anders formuliert werden:
WStrom  R  I 2  t
oder
U2
WStrom 
t .
R
Elektrische Leistung (Formelzeichen Pel): Die pro Zeiteinheit verrichtete elektrische Arbeit. Bei einem
Gleichstrom beträgt sie:
Pel  U  I .
Die SI-Einheit der elektrischen Leistung ist das Watt, wie bei der mechanischen Leistung.
Schaltung von Widerständen: Bei einer Reihenschaltung erhält man den Gesamtwiderstand R durch Addition
der einzelnen Widerstände:
R  R1  R2  ...
Bei einer Parallelschaltung erhält man den Gesamtwiderstand R durch die Reziprokregel:
1 1
1


 ...
R R1 R2
Reihenschaltung
Parallelschaltung
54
Stromkreis: Eine geschlossene Anordnung von elektrischen Schaltelementen (z.B. Spannungsquellen,
Kondensatoren, Widerständen), durch die ein elektrischer Strom fließen kann.
Kirchhoffsche Regeln: Zusammenhänge für die Verteilung von Strom und Spannung in Stromkreisen. Die 1.
kirchhoffsche Regel (Knotenregel) besagt, dass in einem Verzweigungspunkt die Summe der Stromstärken
der zufließenden Ströme gleich der Summe der Stromstärken der abfließenden Ströme ist. Die 2. kirchhoffsche
Regel (Maschenregel) besagt, dass in einem geschlossenen Stromkreis (Masche) die Summe der
Teilspannungen an den einzelnen Elementen (Widerständen, Spannungsquellen, ...) gleich Null ist.
Wechselstromkreis: Ein Stromkreis, bei dem sich Stromstärke und Spannung periodisch ändern. Meist ändern
sie sich sinusförmig nach den Funktionen:
(
und
),
wobei Imax und Umax die Maximalwerte (oder Amplituden), die sog. Scheitelwerte,  die Kreisfrequenz und 
die Phasenverschiebung zwischen Stromstärke- und Spannungsänderung sind. (Stromstärke und Spannung
müssen sich nämlich nicht unbedingt in gleicher Phase ändern.) Die Effektivwerte von Stromstärke und
Spannung sind diejenigen Werte, bei denen ein Verbraucher unter Gleichspannung dieselbe Wärmeleistung
aufnehmen würde (eine Art von „Durchschnittwerten‖). Bei sinusförmigem Wechselstrom sind:
und
√
√
.
In einem Wechselstromkreis vertritt neben dem ohmschen Widerstand auch ein Kondensator einen Widerstand,
der als kapazitiver Widerstand (XC) bezeichnet wird. Er hängt von der Kapazität des Kondensators (C) und der
Kreisfrequenz des Stromes () ab:
Der kapazitive Widerstand geht also gegen unendlich, wenn  gegen Null geht (der Kondensator leitet den
Gleichstrom nicht) und verkleinert sich mit zunehmender Frequenz. Den Gesamtwiderstand des
Wechselstromkreises nennt man Impedanz.
Beispielaufgaben:
1. Man legt eine Spannung von 110 V an einen metallischen Leiter des Widerstandes R = 20  an.
a) Berechnen Sie die Stromstärke des auftretenden Stromes.
b) Welche Ladungsmenge wird in einer Stunde durch den Leiter transportiert?
c) Wie viele Elektronen tragen diese Ladungsmenge, abgesehen von dem Vorzeichen, der transportierten
Ladung? Drücken Sie die Menge der Elektronen auch in der Mol-Einheit aus.
Lösung:
a) Aus dem ohmschen Gesetz ergibt sich:
I
U 110

 5,5 A .
R 20
b) Aus der Definitionsformel der Stromstärke ergibt sich die transportierte Ladungsmenge für die
Zeitspanne von 1 h = 3600 s:
q  I  t  5,5  3600  19800 C .
c) In einem metallischen Leiter sind die Elektronen verantwortlich für die Leitung. Da ein Elektron,
abgesehen von dem Vorzeichen, die Elementarladung e trägt, ergibt sich die Zahl der transportierten
Elektronen aus dem Verhältnis:
q
19800
N

 1,24  1023 .
19
e 1,6  10
Die Stoffmenge der Elektronen erhält man wie folgt:
55

N 1,24 1023

 0,206 mol .
N A 6,02 1023
2. Man nimmt einen 20 m langen Kupferdraht der Querschnittsfläche A = 1,5 mm2. Der spezifische Widerstand
von Kupfer beträgt 1,78·10–8 m.
a) Berechnen Sie den Widerstand des Drahtes.
b) Berechnen Sie den Leitwert des Drahtes.
c) Berechnen Sie die Leitfähigkeit von Kupfer.
Lösung:
a) Die Querschnittsfläche ist A = 1,5 mm2 = 1,5·10–6 m2. Der Widerstand ist:
R
l
20
 1,78  108 
 0,237  .
A
1,5  106
b) Der Leitwert ist:
G
1
1

 4,21 S .
R 0,237
c) Die Leitfähigkeit ist der Kehrwert von dem spezifischen Widerstand:

1


1
S
 5,62  107 .
8
m
1,78  10
3. Zwei Widerstände von je 5 k werden zusammengeschaltet. Berechnen Sie den Gesamtwiderstand:
a) bei einer Reihenschaltung;
b) bei einer Parallelschaltung.
Lösung:
a) Bei einer Reihenschaltung gilt die einfache Addition:
R  R1  R2  5  5  10 k .
b) Bei einer Parallelschaltung werden die Reziprokwerte addiert:
1
1
1 1 1 2


  
R R1 R2 5 5 5
5
R   2,5 k .
2
4. Eine Spannung von 230 V wird an einen Wolframfaden einer Glühbirne angelegt. Der Widerstand des
Wolframfadens im Betrieb beträgt 529 .
a) Wie viel Wärme entsteht in der Glühbirne an einem Tag?
b) Wie groß ist die Leistung der Glühbirne?
Lösung:
a) Der Wolframfaden stellt einen ohmschen Widerstand dar, bei welchem die Stromarbeit völlig in
Wärme umgesetzt wird:
U2
2302
Q  WStrom 
t 
 24  3600  8,64 106 J  8,64 MJ .
R
529
b) Die elektrische Leistung ist:
U 2 2302
Pel  U  I 

 100 W .
R
529
56
5. Die aus dem Alltag bekannteste Wechselspannung ist die Netzspannung, die sich in Europa nach der
Funktion:
(
) ändert. Bestimmen Sie:
a) den Scheitelwert der Spannung,
b) die effektive Spannung,
c) die Kreisfrequenz des Stroms und
d) die Frequenz des Stroms.
Lösung:
a) Der Scheitelwert ist einfach aus der Formel abzulesen: 325 V.
b) Die effektive Spannung ist:
√
√
c) Die Kreisfrequenz ist wieder ablesbar aus der Formel: 314 1/s.
d) Die Frequenz erhält man durch die allgemeine Formel:
6. Man schaltet einen Kondensator der Kapazität 20 F an eine Spannungsquelle. Berechnen Sie den
kapazitiven Widerstand, wenn:
a) die Spannungsquelle Gleichspannung liefert,
b) die Spannungsquelle die Netzspannung liefert,
c) die Spannungsquelle Wechselspannung mit einer Frequenz von 5000 Hz liefert.
Lösung:
a) Bei einer Gleichspannung (ω = 0) ist der kapazitive Widerstand unendlich groß.
b) Die Frequenz der Netzspannung beträgt 50 Hz. Somit ist der kapazitive Widerstand:
c) Bei einer Frequenz von 5000 Hz (100-mal größer als 50 Hz) wird der Widerstand 100-mal kleiner, also
1,59  sein.
Übungsaufgaben:
1. 1,875·1018 Elektronen treten in einer Minute durch die Querschnittsfläche der Elektrode in einer
Röntgenröhre. Welche Ladungsmenge (ohne Vorzeichen) wird dabei in einer Minute transportiert?
2. Berechnen Sie die Stromstärke aus Aufgabe 1.
3. Ein Strom von 20 mA fließt durch einen Leiter bei einer Spannung von 6 kV. Berechnen Sie den Widerstand
des Leiters.
4. Berechnen Sie den Leitwert des Leiters aus Aufgabe 3.
5. Die Leitfähigkeit einer Elektrolytlösung in einer Röhre beträgt 12 mS/m. Die Länge der Röhre ist l = 6 cm
und die Querschnittsfläche A = 2 cm2. Berechnen Sie den Leitwert der Lösung in der Röhre.
6. Berechnen Sie den spezifischen Widerstand der Lösung aus Aufgabe 5.
7. Berechnen Sie den Widerstand der Elektrolytlösung in der Röhre aus Aufgabe 5.
57
8. Fünfzig Widerstände, mit je 10 k, sind parallel geschaltet. Berechnen Sie den Gesamtwiderstand.
9. Die Leistung einer Glühbirne beträgt 15 W. Wie viel Wärme entsteht in der Glühbirne in einer Woche?
Berechnen Sie auch die Stromstärke in der Glühbirne, wenn die angelegte Spannung 230 V beträgt.
10. Die Wechselspannung mit der Funktion
(
500 nF gelegt. Wie groß ist der kapazitive Widerstand?
) wird an einen Kondensator der Kapazität
Lösungen:
1. 0,3 C
2. 5 mA
3. 0,3 M
4. 3,33 S
5. 40 S
6. 83,3 m
7. 25 k
8. 200 
9. 9,07 MJ und 65,2 mA
10. 318 
58