geometrie 1–3

GEOMETRIE 1–3
Wiederholungsaufgaben
GEOMETRIE 1–3
Inhaltsverzeichnis
10 Wiederholungsaufgaben
10.1 Grundlagen der Geometrie . . . . . . . . .
10.2 Geometrische Abbildungen . . . . . . . . .
10.3 Kongruenz von Figuren . . . . . . . . . .
10.4 Flächen- und Volumenberechnung . . . . .
10.5 Die Satzgruppe im rechtwinkligen Dreieck.
10.6 Der Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8 Räumliche Geometrie. . . . . . . . . . . .
10.9 Trigonometrie. . . . . . . . . . . . . . . .
10.10 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
. 1
. 2
. 3
. 4
. 5
. 6
. 7
. 8
. 9
. 10
Wiederholungsaufgaben
10
1
Wiederholungsaufgaben
10.1
Grundlagen der Geometrie
1. Löse die Aufgaben mit Hilfe einer Rechnung:
a) Wie viele Diagonalen hat ein konvexes 13-Eck?
b) Welche Winkelsumme hat ein 22-Eck?
c) Untersuche, ob das regelmässige 90-Eck grundsätzlich mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
2. Untersuche (mit Begründung!), ob folgende Behauptungen wahr oder falsch sind:
a) Ein Sechseck mit allen Diagonalen kann in einem Zug gezeichnet werden.
b) Zwei Geraden und zwei Kreise können sich in maximal 10 Punkten schneiden.
c) Die Menge aller Innenpunkte eines Würfels, welche gleich weit von gegenüberliegenden
Würfelecken entfernt sind, bildet ein regelmässiges Sechseck.
3. Drücke die Winkel δ und ε aus:
a) δ durch α (w ist Winkelhalbierende)
b) ε durch β
w
δ
ε
α
β
β
4. Zeichne ein Dreieck ABC mit den Seiten a = 11 cm, b = 8 cm und c = 12 cm.
#
Konstruiere die Menge aller Punkte P im Innern des Dreiecks, welche zugleich folgende Bedingungen erfüllen:
•
•
•
•
P hat mindestens 1 cm Abstand von c,
P ist näher bei b als bei a,
P ist mindestens 5 cm von C entfernt,
der Winkel BP C ist stumpf.
C
5. Im gleichschenkligen Dreieck ABC gilt:
^BCA = 20◦ , ^P AB = 60◦ , ^ABQ = 50◦ .
a) Berechne in der Figur 1 so viele Winkel wie
möglich.
P
b) In der Figur 2 soll gelten: ^RAB = 20◦ .
Zeige: Das Dreieck ARQ ist gleichseitig.
Q
c) Zeige: Das Dreieck QRP ist gleichschenklig.
A
d) Berechne nun den Winkel ϕ = ^AP Q.
C
P
Q
R
Figur 1
B
#
A
Figur 2
B
#
2
10.2
10.2
Geometrische Abbildungen
Geometrische Abbildungen
1. Konstruiere
a) das Urbild ABCD eines gegebenen Quadrates A0 B 0 C 0 D0 bei einer Geradenspiegelung, wenn A der Mittelpunkt von C 0 D0 sein soll. #
b) das Bild g 0 einer gegebenen Geraden g nach einer Drehung im Gegenuhrzeigersinn
mit dem Drehwinkel 120◦ um das gegebene Zentrum Z. #
c) alle Strecken P Q, deren Endpunkte P und Q auf den Seiten eines gegebenen
Vierecks ABCD liegen, so dass der innerhalb des Vierecks gegebene Punkt M
Mittelpunkt von P Q ist. #
d) bei gegebener Gerade g und gegebener Strecke P Q alle Spiegelachsen s und die
Bildstrecke P 0 Q0 auf g, so dass P 0 und Q0 Spiegelbilder von P und Q sind. #
2. Ein gleichseitiges Waldstück von 10 km Seitenlänge wird von drei geraden Wegen a,
b und c begrenzt. #
a) Der Ort F hat je 2 km Abstand von a und c, der Ort G hat gleichen Abstand von
a und b und 2 km Abstand von c. Zeichne die Situation im Massstab 1 : 100 000.
b) Anstatt dass Rotkäppchen auf dem direkten Weg vom Forsthaus F zum Haus
G der Grossmutter läuft, geht es in der Reihenfolge c, a, b am Wegrand Beeren
pflücken.
Konstruiere mit diesen Voraussetzungen den kürzesten Weg von F nach G.
3. Zwei gleich grosse gleichseitige Dreiecke ∆ und ∆0 sind in allgemeiner Lage gegeben.
Konstruiere alle möglichen Drehzentren Z, so dass ∆ nach einer Drehung um Z auf
∆0 zu liegen kommt. #
4. Gegeben sind drei parallele Geraden mit den Abständen 2 cm und 3 cm bzw. 5 cm.
Konstruiere ein regelmässiges Sechseck ABCDEF , so dass A, C und E auf den
gegebenen Geraden liegen. #
5. Gegeben ist ein spitzwinkliges Dreieck ABC und ein beliebiger Punkt P im Innern
dieses Dreiecks.
a) Konstruiere die Bilder C 0 von C und P 0 von P bei einer Drehung um die Ecke
A mit dem Drehwinkel 60◦ , so dass das Dreieck ACC 0 ausserhalb des Dreiecks
ABC zu liegen kommt. #
b) Begründe: Der Streckenzug BP P 0 C 0 ist gleich lang wie die Summe der Abstände
des Punktes P von den Ecken A, B und C.
c) Wo muss ein Punkt Q liegen, damit die Summe seiner Abstände von den Ecken
A, B und C am kleinsten ist? Konstruiere diesen Punkt Q. #
d) Berechne den Winkel AQB.
e) Untersuche den Punkt Q für den Fall, dass das Dreieck ABC stumpfwinklig ist.
10.3
10.3
Kongruenz von Figuren
3
Kongruenz von Figuren
1. Begründen, widerlegen und untersuchen
a) Begründe oder widerlege mit einem Beispiel folgende Aussage:
Zwei Dreiecke, die in zwei Seiten und einem Winkel übereinstimmen, sind immer
kongruent.
b) Welche der Punkte H, U , S und I liegen immer im Innern eines Dreiecks, welche
können auch ausserhalb liegen?
c) In einem spitzwinkligen Dreieck schneidet der Thaleskreis über einer Seite die
beiden anderen Dreiecksseiten in zwei Punkten. Diese werden mit den gegenüberliegenden Ecken verbunden. Wie heisst der entstandene Schnittpunkt?
d) Begründe oder widerlege mit einem Beispiel folgende Aussage: Zwei Vierecke
sind immer kongruent, wenn sie in allen Seiten und in einem der vier Winkel
übereinstimmen.
2. Konstruiere alle nicht-kongruenten Dreiecke ABC mit Zirkel und Lineal:
a) α = 30◦ , hc = 5 cm, wγ = 6 cm
b) β = 90◦ , hb = 5 cm, sc = 8 cm
3. Gegeben sind die Punkte M (6, 5), Z(9, 2), P (1, 7) und Q(8, 9).
Konstruiere alle Rechtecke ABCD mit Mittelpunkt M , so dass die Punkte P und Q
auf benachbarten Rechtecksseiten (oder deren Verlängerungen) liegen. Die Ecke des
Rechtecks, welche nicht mit P und nicht mit Q verbunden ist, soll auf dem Kreis k
mit Zentrum Z und Radius 3 cm liegen. #
4. Beweise:
a) Die Strecken AB und CD sind
gleich lang, wenn über den Dreiecksseiten AC und BC Quadrate
errichtet werden.
b) Das Dreieck AP Q ist gleichseitig,
wenn über dem Quadrat ABCD
gleichseitige Dreiecke errichtet werden.
Q
D
D
C
P
C
A
B
A
B
5. Gegeben sind die Eckpunkte A, B, C und D eines allgemeinen Trapezes (AB k CD).
Konstruiere ein Quadrat P QRS, so dass A auf der Geraden P Q, B auf der Geraden
QR, C auf der Geraden RS und D auf der Geraden SP liegt. #
4
10.4
10.4
Flächen- und Volumenberechnung
Flächen- und Volumenberechnung
1. Berechne
a) die möglichen Werte der anderen Höhe in einem Parallelogramm, wenn die Seite
AB 12 cm, die Seite BC 4 cm und eine Höhe 3 cm misst.
b) den Flächeninhalt eines Rhombus, bei welchem die Diagonalen 10 cm und 16 cm
messen.
c) die Höhe hc in einem rechtwinkligen Dreieck ABC, wenn gilt: a = 6 cm, b = 8 cm
und c = 10 cm.
d) die andere Parallelseite in einem Trapez, wenn die eine Parallelseite 18 cm, die
Höhe 9 cm und der Flächeninhalt 99 cm2 betragen.
2. Berechne den Bruchteil des markierten sternförmigen Gebiets in Bezug auf das umgebende Quadrat, wenn die eingezeichneten Punkte Seitenmitten sind.
b)
a)
3. Berechne das Volumen des aus einem Quader mit 12 cm Länge, 10 cm Tiefe und
6 cm Höhe durch Abschneiden von geraden Prismen entstandenen Körpers, wenn
die eingezeichneten Punkte Kantenmitten sind.
a)
b)
C
4. Mit der nebenstehenden Konstruktion erhält
man aus dem Dreieck ABC das Dreieck AM P .
=
a) Begründe, weshalb das Dreieck AM P die
Seitenlängen sa , sb und sc (Seitenhalbierende des Dreiecks ABC) besitzt.
=
A
B
=
b) Welchen Bruchteil des Inhalts des Dreiecks
ABC macht der Inhalt des Dreiecks AM P
aus?
M
=
P
10.5
10.5
Die Satzgruppe im rechtwinkligen Dreieck
5
Die Satzgruppe im rechtwinkligen Dreieck
1. Berechne
a) den Umfang des Dreiecks ADC,
wenn gegeben sind: AB = 50 mm,
AC = 40 mm und DE = 7 mm.
C
b) die Länge der Seite BC im Trapez
ABCD, wenn gelten soll: AE = 5 cm,
AD = 13 cm, CD = 3 cm, und der
Trapezinhalt 120 cm2 beträgt.
D
A
D
E
A
B
C
E
B
2. Prüfe mittels einer ”Kopfrechnung”, ob das Dreieck ABC rechtwinklig ist.
b)
c)
a)
C
C
C
2
5
A
5
5 5
B
A
1.5
4
3
5
3
B
1.2
A
2
B
3. Beim gezeichneten Quader kennt man die angeschriebenen Streckenlängen.
17
a) Berechne die unbekannte Quaderseite.
cm
9 cm
b) Berechne den Inhalt der grössten Diagonalschnittfläche (Rechteck durch gegenüberliegende
Quaderkanten).
m
8c
4. Bei einem Quadrat ABCD mit Seitenlänge s werden über zwei benachbarten Seiten
AB und BC gleichseitige Dreiecke ABP und BCQ gezeichnet.
Drücke AQ und P Q durch s aus.
5. In der gezeichneten Figur wird über der Strecke AB und über den Teilstrecken AT
und BT je ein Halbkreis gezeichnet. Im Punkt T wird zudem eine Senkrechte zu AB
errichtet.
a) Berechne den Durchmesser der beiden Kreise, wenn gilt: AT = 6 cm und BT = 14 cm.
Welche Vermutung ergibt sich?
b) Bestimme den Durchmesser der Kreise in
Abhängigkeit der beiden Radien x = 12 AT
und y = 12 BT .
A
T
B
6
10.6
10.6
Der Kreis
Der Kreis
1. Berechne den Winkel ϕ
a) mit δ = 53◦ und ε = 35◦ :
b) mit Hilfe einer Gleichung:
δ
ε
ϕ
3ϕ
ϕ
2. Einem Quadrat werden ein regelmässiges Achteck mit 1 cm Seitenlänge und ein Kreis
einbeschrieben.
Berechne den Umfang des Achtecks und vergleiche ihn mit demjenigen des Kreises.
3. a) Mit welcher Geschwindigkeit (in km/h) bewegt sich der Mond auf einer Kreisbahn um die Erde, wenn sein Zentrum 3.8 · 108 m vom Erdmittelpunkt entfernt
ist und er 27.3 Tage für eine Erdumkreisung benötigt.
b) Wie oft pro Minute dreht sich das Rad (Durchmesser: 70 cm) beim Velo einer
Schülerin auf ihrem Schulweg, wenn sie für die 5.6 km lange Strecke 18 Minuten
benötigt?
4. Drücke durch r aus: (Die eingezeichneten Punkte sind Zentren von Kreisbogen.)
a) den Umfang der ”Herzfigur”:
b) den Flächeninhalt des markierten Gebiets:
r
r
r
r
r
r
5. Zeichne eine Gerade g und zwei Punkte P und Q, so dass die Strecke P Q nicht
parallel zu g liegt.
Konstruiere den Kreis k, welcher durch P und Q geht und g berührt.
#
10.7 Ähnlichkeit
10.7
7
Ähnlichkeit
1. Berechne x und y in den Strahlensatzfiguren:
a)
b)
y
4
6
6
7
x
1
y
4
3
5
x
w
2. Gegeben sind die Mittelpunkte M1 (0, 0) und M2 (6, 4) zweier Kreise k1 und k2 mit
den Radien r1 = 3 cm und r2 = 2 cm sowie der Punkt R(4, 2).
Konstruiere alle Strecken P Q, mit P auf k1 , Q auf k2 und R auf P Q, so dass P R
doppelt so gross wie QR ist. #
3. Berechne x, y und z
a) im Quadrat:
b) im Kreis:
1
3
9
x
y
8
1
2
z
z
y
x
4
4. Zeichne ein gleichseitiges Dreieck mit seinem Umkreis und die Gerade durch zwei
Seitenmitten P und Q des Dreiecks. Die Gerade schneidet den Umkreis in den Punkten S und T , so dass Q zwischen P und T liegt. (Konstruktion von G. Odom, 1982)
In welchem Verhältnis teilt Q die Strecke P T ?
5. Berechne mit den gegebenen Masszahlen der Inhalte der Flächenteile
a) den Flächeninhalt des markierten
b) den Flächeninhalt des markierten
Vierecks:
Dreiecks:
19
10
15
8
6
30
Tipp: Zerlege das Viereck in zwei Teildreiecke und stelle geeignete Proportionen auf.
8
10.8
10.8
Räumliche Geometrie
Räumliche Geometrie
1. Welche der aus zwölf gleichen Würfelchen zusammengesetzten Körper sind deckungsgleich, welche sind spiegelbildlich zueinander?
A
B
C
D
2. Zeichne die Schnittstrecke(n) der Würfelschnitte und färbe die Vielecke unter Berücksichtigung ihrer Sichtbarkeit. #
a)
b)
3. Konstruiere den Durchstosspunkt der Geraden g = P Q mit der Ebene E = U V W
unter Berücksichtigung der Sichtbarkeit von g. #
a) P (3, 4, 1), Q(1, 0, 3) und U (0, 1, 2), V (0, 3, 3), W (4, 3, 1)
b) P (0, 0, 1), Q(6, 3, 3) und U (3, 1, 2), V (1, 4, 2), W (5, 1, −1)
4. Eine regelmässige sechsseitige Pyramide wird aus einem sternförmigen Netz gefaltet,
welches aus einem regelmässigen Sechseck mit 8 cm Seitenlänge und sechs an seinen
Seiten angehefteten gleichschenkligen Dreiecken mit je 19 cm Höhe besteht.
Berechne die Oberfläche und das Volumen der Pyramide.
5. Berechne die Kantenlänge und den Anteil des Volumens (in %) eines einer Kugel
mit Radius r einbeschriebenen
a) Würfels.
b) Oktaeders.
c) Tetraeders.
6. Das Volumen einer Kugelschicht mit den Kreisradien r1 und r2 und der Dicke h
ergibt sich als Differenz der Volumina eines Zylinders und eines Kegelstumpfes.
Leite eine Formel her für das Volumen einer Kugelschicht.
10.9
10.9
Trigonometrie
9
Trigonometrie
1. Berechne im rechtwinkligen Dreieck ABC mit den Katheten a = 13 und b = 84 den
Winkel α, die Winkelhalbierende wβ , die Schwerlinie sc und den Winkel δ zwischen
sb und der Seite c.
2. Berechne (alle möglichen Lösungen!) im allgemeinen Dreieck ABC
a) alle Winkel, wenn a = 7, b = 5, c = 8 gilt.
b) die fehlenden Seiten und Winkel, wenn α = 34◦ , a = 9, c = 6 gilt.
c) die Seite a und den Winkel γ, wenn ha = 6, sa = 7, β = 50◦ gilt.
3. a) Ein Turm erscheint von einem Punkt aus unter einem Höhenwinkel von 45◦ .
Geht man 10 m näher zum Turm hin, erscheint er unter einem Höhenwinkel von
54◦ . Wie hoch ist der Turm?
b) Berechne die Höhe einer Bergspitze S (mit Fusspunkt F ) über der Horizontalebene , wenn dort eine (horizontale) Standlinie AB mit 120 m Länge gemessen
wurde und die Winkel ^BAF = 48◦ , ^F BA = 76◦ und ^F AS = 71◦ betragen.
4. Bestimme die Periodenlängen (ausgedrückt durch ein Vielfaches von π) der folgenden
Funktionen:
a) f (x) = cos(x) + 2 cos( 21 x) + 4 cos( 41 x) + 8 cos( 81 x)
b) g(x) = sin(x) + 3 sin( 13 x) + 51 sin(5x) + 7 sin( 17 x)
5. Berechne alle Nullstellen der folgenden Funktionen für x ∈ R:
a) f (x) = tan(3x) − 1
b) g(x) = sin(2x) + 12 sin(4x)
P
6. Die folgende Figur ist eine sogenannte
”Neusis-Konstruktion”, d.h. sie wurde mit
Hilfe eines Einschublineals erzeugt und
kann nicht mit Zirkel und Lineal allein konstruiert werden. Mit Hilfe der Teilaufgaben
findet man schliesslich die Lösung für die
Berechnung von x und y. Setze ϕ = ^QRS.
1
1
y
1
1
Q
1
S
R
x
O
a) Begründe, weshalb das Dreieck OQP einen rechten Winkel bei Q hat, und berechne den exakten Wert von x.
b) Drücke sin ϕ im Dreieck QRS durch y aus.
c) Drücke sin ϕ im Dreieck QRP durch y aus.
d) Zeige: Durch Gleichsetzen der beiden Terme für sin ϕ und Umformen entsteht
die Gleichung y 4 + 2y 3 − 2y − 4 = 0.
e) Löse diese Gleichung exakt und interpretiere das Resultat.
10
10.10
10.1
10.2
10.10
Lösungen
Grundlagen der Geometrie (Seite 62)
1.
a) 65
b) 3600◦
c) 9
2.
a) falsch
b) falsch
c) wahr
4.
a) δ = 45◦ + α : 2
b) ε = 2 · β
5.
ϕ = 30◦
Geometrische Abbildungen (Seite 63)
d) 120◦
5.
10.3
Lösungen
Kongruenz von Figuren (Seite 64)
keine numerischen Resultate!
10.4
Flächen- und Volumenberechnung (Seite 65)
1.
a) 9 cm, 1 cm
2.
a)
3.
a) 360 cm3
2
3
4.
10.5
b)
c) 4.8 cm
d) 4 cm
1
3
b) 450 cm3
b)
3
4
Die Satzgruppe im rechtwinkligen Dreieck (Seite 66)
1.
a) 90 mm
b) 15 cm
2.
a) ja
b) ja
3.
a) 12 cm
b) ≈ 145 cm2
i
p
p
√
√
√ h
√
AQ = 12 8 + 4 3 · s, P Q = 12
2 + 6 · s = 12 8 + 4 3 · s
2xy
a) 8.4 cm
b)
x+y
4.
5.
10.6
b) 80 cm2
Der Kreis (Seite 67)
1.
a) 92◦
2.
≈ 7.58 cm
3.
a) ≈ 3642 km/h
4.
a)
14
3 πr
b) 18◦
b) ≈ 2548
√
b)
3 − 13 π r2
c) ja
10.10
10.7
Lösungen
11
Ähnlichkeit (Seite 68)
1.
a) x = 10, y = 3.5
b) x = 2, y = 1.5
3.
a) x = 2.4, y = 1.8
b) x = 6, y = 10, z = 12
z = 2.56
10.8
4.
Goldener Schnitt
5.
a) 17
Räumliche Geometrie (Seite 69)
1.
A≡B≡D∼
=C
4.
S ≈ 478.28 cm2 , V ≈ 609.682 cm3
√
√
a) 32 3 r, ≈ 36.8% b) 2 r, ≈ 22.5%
V = 61 πh 3r12 + 3r22 + h2
5.
6.
10.9
b) 12
c)
2
3
√
6 r, ≈ 12.3%
Trigonometrie (Seite 70)
1.
α ≈ 8.8◦ ,
2.
a) α = 60◦
β≈
wβ ≈ 17.1, sc = 42.5, δ ≈ 8.4◦
38.2◦
γ ≈ 81.8◦
b) b ≈ 13.3
β≈
124.1◦
a) ≈ 37 m
b) ≈ 408 m
4.
a) 16π
b) 42π
5.
+ k · 13 π
√
a) x = 2 3
√
e) y = 3 2
6.
1
12 π
γ1 ≈ 26.1◦ , γ2 ≈ 109.9◦
γ ≈ 21.9◦
3.
a)
c) a1 ≈ 17.3, a2 ≈ 2.8
b) k · 21 π oder 12 π + k · π
p
√
b) 12 y 2 − 1
c) 12 3 ·
1
y+1