Formelsammlung (1. Teil

Elektrodynamik
1. Elektrostatik
1.1 Elektrische Ladung
Es gibt positive und negative Ladungen. Sie ist quantisiert, d.h. jede beobachtete Ladung ist ein ganzes
Vielfaches der Elementarladung:
In jedem abgeschlossenen System ist die Summe aller Ladungen konstant.
Die Ladung von Teilchen ist an Masse gebunden und relativistisch invariant (unabhängig von
Geschwindigkeit)
1.2 Coulomb’sches Gesetz
,
∑ ,
,
,
Superpositionsprinzip:
(1.1)
(1.2)
1.3 Das elektrische Feld
Definition: Ist die Kraft, die eine bel. Ladungsverteilung auf eine punktförmige Probeladung ausübt, so
ist die elektrische Feldstärke dieser Verteilung am Ort der Ladung !
,
! Feld einer Punktladung q im Koordinatenursprung
! Feldstärke einer Verteilung von N Punktladungen
"#$ ! ∑
%
&
(1.3)
' ( '
(1.4)
(1.5)
Kontinuierliche Ladungsverteilung
∆ !
/
∆%
/%
1 !/%
0
% | ( |
) ! lim∆%.
Ladungsdichte
! (1.6)
(1.7)
1.4 Das elektrische Potential
Potentielle Energie einer Punktladung q im Feld E einer Ladungsverteilung
Definition:
;! 3456 ! 7 0(: # 8!9 8
<=>?
7 0: # 8!9 8, ";$ @ Potential einer kontinuierlichen Ladungsverteilung
; ! 0%
1!/%
| ( B|
(1.8)
<
A
(1.9),(1.10)
(1.13)
Potentialdifferenz zwischen und C bezeichnet man als elektrische Spannung
DC ;
Es gilt:
Aus Stokes’schen Satz folgt:
! 7
;
!
7 0 !9
E # 9 0
G x IJ 0
(1.14)
(1.15)
(1.16)
Die elektrischen Feldlinien zeigen stets zu Gebieten mit niedrigerem Potenzial.
Der Wert des Potentials kann an einem beliebigen Punkt gleich Null gewählt werden.
1.5 Zusammenhang zwischen Potential und Feldstärke
LM
LM
LM
7 K LN O P LQ R P LS T U 7G;
(1.18),(1.19)
Potential eines Dipols mit Abstand d auf der z-Achse (in Zylinderkoordinaten)
; ! V
W
(1.23)
Dipolmoment
VX
Drehmoment auf Dipol im elektrischen Feld
Y V x (1.25)
Elektrostatische Wechselwirkungsenergie (potentielle Energie) eines Dipols im elektrischen Feld
3Z 7V 1.6 Der Gauß’sche Satz der Elektrostatik
9[: Vektor senkrecht auf Flächenelement der Größe dA, weist bei geschlossener Fläche nach außen
Definition: Elektrischer Fluss ΦZ durch die Fläche A
ΦZ 0A 9[
Gauß’sches Gesetz: Betrachten beliebig geformte, geschlossene Fläche A, die eine Gesamtladung q
umschließt. Der gesamte elektrische Fluss durch diese Fläche ist dann:
ΦZ EA 9[ 0% ) 9@
-
(1.25),(2.1)
Der Fluss durch eine Fläche, die keine Ladung umschließt ist Null
Das elektrische Feld außerhalb einer Kugel mit gleichmäßiger Ladungsverteilung ist äquivalent dem
einer Punktladung
2. Anwendung der Elektrostatik
2.1 Unendlich ausgedehnte, ebene Ladungsschicht
Nur A1 und A2 tragen zum el. Fluss bei, weil die Wände senkrecht
zum elektrischen Feld stehen
Aus Gauß’schen Satz folgt:
# ] P #C ]C #
C A
(2.3)
| | |
| #
^
, _ A Flächenladungsdichte
C
(2.4)
2.2 Elektrisches Feld eines Plattenkondensators
Superposition der Felder: Sie addieren sich im Innenraum und heben sich außen gegenseitig auf
^
Mit (1.14) und (2.5)
Kapazität:
# A
Mit (2.4)
^
D#9 9
A
(2.5)
/
A
(2.6)
o
l m n /, "l$ %
(2.8),(2.9)
Parallelschaltung von Kondensatoren
P C l D P lC D l P lC !D lD
Reihenschaltung von Kondensatoren
(2.10)
C . D D P DC o P o Ko P o U o
(2.11)
2.3 Unendlich langer, geladener Draht
Fluss durch Zylinderfläche ist Null, p ist Ladung pro Längeneinheit
0 9[ q p und 0 9[ # 2sq
#
2.4 Koaxialkabel (Zylinderkondensator)
t
C (2.14)
t
#uvßZx 0, #yxxZx C
D ;z ! 7 ;zC ! |
|
p
9
p
zC
7 { 9 { # 9 {
ln } ~
2sn | 2sn
z
|
|
|
Kapazität für Koaxialkabel der Länge l:
l
m
tC
‚
t €K U
2.5 Elektrisches Feld einer homogen geladenen Kugel
‚
C
q
‚
€K U
(2.16)
‚
EA # 9] # 4sz C Gauß’scher Satz:
#
|
(2.17)
Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel ist im Außenraum genau so groß, als sei
die gesamte Ladung im Kugelmittelpunkt konzentriert.
Feld im Inneren der Kugel, d.h. R<Ro:
|W
W
|
# 4sz C . # Kapazität der Kugel gegenüber Gegenelektrode im Unendlichen:
|
D 7 0: # 9„ |
|
W
|
(2.18)
. l m 4sn z
(2.19)
2.6 Leiter in einem statischen elektrischen Feld
Elektrische Leiter enthalten frei bewegliche Ladungsträger, die in elektrischen Feldern in Folge der
Coulombkraft verschoben werden.
- Das el. Feld im Inneren eines Leiters ist in jedem Punkt 0
- Die elektrische Feldstärke in Hohlräumen innerhalb eines Leiters ist Null (Faraday’scher Käfig)
- Mit Gauß’schen Satz folg aus dem ersten: Die Gesamtladung im Inneren eines Leiters ist Null, d.h.
die Ladungen befinden sich auf der Oberfläche
- In einem Leiter bilden sich immer Oberflächenladungen derart, bzw. vorhandene Ladungen werden
auf der Oberfläche so verteilt, dass E innerhalb des Leiters Null wird (Grund: Zustand kleinster
potentieller Energie)
- Das Potential im Inneren eines Leiters und auf dessen Oberfläche ist konstant. Die Oberfläche ist
Äquipotentialfläche
-
Die Ladungen verteilen sich auf der Oberfläche entsprechend der Krümmung: _ E ist größer an Oberflächenteilen mit starker Krümmung
Leitende Kugel
E-Feld steht immer Senkrecht auf Metalloberfläche (Aquipotentialfläche)
Feld an Oberfläche:
Mehrere Kugeln, leitend verbunden
Potential für beide Kugeln gleich: ; ;C ;
Da z † zC folgt aus (2.20) # ‡ #C
M
#|
Metalloberfläche ist Äquipotentialfläche höhere Flächenladungsdichte an Spitzen
/
/A
~
|
(2.20)
Laplace-Gleichung für das Potential
EA # 9] 0%A! ) 9@
EA 9] 0%A! ˆ 9@
Gauß’scher Integralsatz:
1
ˆC ; 7 Poisson-Gleichung:
(2.20)a
Eindeutigkeitssatz der Elektrostatik
Ist für ein elektrostatisches Problem eine Lösung ;‰, Š, ‹! bekannt, so ist dies zugleich die einzig mögliche
Lösung
2.7 Feldelektronen-Mikrospkop
Wolframspitze mit sehr kleinem Krümmungsradius ragt in Glaskolben, an dessen Innenseite ein leitender,
floureszierender Schirm aufgebracht ist. Glaskolben ist mit He-Atomen gefüllt. Man legt sehr hohe
Spannungen zwischen Wolframspitze und Floureszenzschirm an (Spitze pos, Schirm
neg). Es entsteht eine hohe Feldstärke an Spitze. He-Atome stoßen mit Wolframspitze
zusammen und geben Elektron ab, sausen dann auf Schirm zu (parallel zu den radialen
elektrischen Feldlinien) und entwerfen dort beim Auftreffen ein vergrößertes Bild der
Wolframoberfläche.
2.8 Rastertunnelmikroskop
Wenn man eine metallische Spitze im Abstand von nur einigen
Angstrom über eine elektrisch leitende Kristalloberfläche führt, ist der
Tunnelstrom ein Maß für den Abstand zwischen Spitze und Substrat
Abbildung der Kristalloberfläche
2.9 Faraday’scher Käfig
Das Feld innerhalb von Hohlräumen in einem elektrischen Leiter ist Null.
Mit Gauß’schem Satz folgt, dass die Gesamtladung im Hohlraum Null sein muss.
Es gilt: Eo 9 0
Betrachten nun Integration längs C:
Da im Leiter E=0 ist in diesem Bereich 0o 9 0
Damit dann Eo 9 0 muss für Hohlräume 0o 9 0 gelten
Da dies für beliebige Kurven C gelten muss, folgt E=0 im Hohlraum
Van de Graaff-Generator
Ladungsübertragung im feldfreien Hohlraum einer
Metallkugel Kugel kann auf wesentlich höheres
Potential aufgeladen werden als es der Spannung
entspricht.
2.10 Influenz
In einem elektrisch neutralen Leiter im elektrischen Feld E werden
Ladungsträger verschoben und sammeln sich an der Oberfläche. Sie erzeugen
ein Feld, dass das angelegte Feld im Inneren kompensiert.
2.11 Bildladung
Gauß’scher Satz gut anwendbar bei ortsfester Ladungsverteilung,
problematisch jedoch bei Leitern, da Ladung frei beweglich.
Feldlinien haben links den gleichen Verlauf, als ob sich hinter der
Metalloberfläche eine neg. Ladung befinden würde
2.12 Energie des elektrischen Feldes
Gespeicherte Energie in einem Kondensator ist die Arbeit, die aufgewendet werden muss um Kondensator
von Null auf +-Q aufzuladen:
o
A
Mit # 3 0 D8!98 C
und D # 9
C l DC C
o
<
C n # C
%
3C
Energiedichte des E-Feldes:
(2.21)
D
(2.22)
(2.22) gilt allgemein für jedes beliebige Feld
Gesamtarbeit zum Aufbau eines beliebigen Systems von Ladungen
3. Materie im elektrischen Feld
3 0%
C
n # C 9@
(2.22)a
Dielektrikum: elektrisch nichtleitendes Material (Isolator)
Spannung U sinkt ab, wenn ein nichtleitendes Medium in den Zwischenraum gebracht wird
ŒI„J, D l D& l&
Definition:
n oŽ
o
m
m † 1
Ž
A
(2.23)
A
l& n n / n /
(2.24)
3.1 Elektrostatik in einem Dielektrikum
Polarisierbarkeit: Eigenschaft eines Dielektrikums ein angelegtes E-Feld zu beeinflussen
Bildung der Ladungen:
a) Verschiebungspolarisation: Es entstehen induzierte Dipolmomente durch Verschiebung der
Ladungsschwerpunkte
b) Orientierungspolarisation: vorhandene polare Molekül, die infolge Wärmebewegungen ungeordnet
sind, werden im Feld teilweise ausgerichtet
Polarisation:
o
 V n ‘, "’$ &
‘: atomare Polarisierbarkeit
“Zy : frei bewegliche Ladungen (z.B. auf Platten des Kondensators)
45 : gebundene Ladungen (Polarisationsladungen, Bestandteile des Dielektrikums)
(3.1)
Dielektrischer Block:
Die Netto-Polarisation ist im Inneren in jedem makroskopischen Volumen Null,
nur an Grenzflächen tritt Oberflächenladung auf
'45 'q ’@ ’]q . ’ '=>• '
A
'_45 '
(3.4),(3.5)
Änderung des E-Feldes aufgrund der auftretenden Polarisation:
E – 9[ 745
Gesamtladung:
n E 9[ —Z˜u&6 “Zy P 45
(3.6)
(3.7)
En P !9[ “Zy
Mit (3.6)
Vektor der „dielektrischen Verschiebung“:™ n P , "š$ (3.9)
o
&
(3.10)
Gauß’sches Gesetz für Dielektrika:
E ™ 9[ “Zy
(Maxwell Gleichung in Integralform)
Elektrische Suszeptibilität
›Z : elektrische Suszeptibilität, "›Z $ 1
›Z ‘ n 7 1

‘: atomare Polarisierbarkeit, "‘$ œ
Materialgleichung für dielektrisches Medium: ’ ›Z n #
™ n P  1 P ›Z !n n n n
E: Feldstärke im Inneren des Mediums
Plattenkondensator mit und ohne Füllung
“Zy ŒI„J
š n n # n #
#
ž
Ÿ
(3.11)
(3.12)
(3.13)
3.15!
Berechnung der Feldstärke
_“Zy
1
# ,# _
P _45 !
n
n “Zy
(3.13) und (3.11) š n# _“Zy . # ^£Ÿ¤¥
Allgemein gilt:
Bei Erfüllung des Raumes zwischen isolierten geladenen Leitern (“Zy ŒI„J! mit einem homogenen
Dielektrikuim sinken Feldstärke, Potentiale, gegenseitige Kräfte und Feldenergien um den Faktor Ÿ
3.2 Das Feld einer polarisierten Kugel
Im Inneren der Kugel ist die gemittelte Ladung Null
Bei makroskopischer, quasikontinuierlicher Ladungsverteilung: Verschiebung von pos. und neg.
geladener Kugel gegeneinander um Länge d:
P sei vom Betrag und Richtung im ganzen Volumen konstant
Feld der Kugel gleich dem eines Dipols am Ursprung, bei dem gesamte in Punkten konzentrierte
positive und negative Ladung —Z˜ um Strecke d gegeneinander verschoben sind

,
 4
W ‹
—Z˜ Mit (1.23) und Fernfeldnäherung
;
V —Z˜ X ¦

X
  ‹, mit  X
/

#§v—Z 7G; 7 /S ;T 7 
(3.17)
(3.18)
(3.19)
Feld in der Kugel ist homogen und konstant, außerhalb gleicht das Feld des einen Dipols mit Dipolmoment
V 

 Befindet sich die Kugel in einem äußeren elektrischen Feld, so muss nach dem Superpositionsprinzip dieses
noch zu E hinzuaddiert werden.
3.3 Die Dielektrizitätskonstante eines dichten Mediums
Dichtes Medium (Flüssigkeit): Jedes Atom ist in einem isotropen Isolator so von Nachbaratomen umgeben,
dass es in einem nahezu kugelförmigen Hohlraum sitzt.
¨5©ª P «¬­® . ¨5©ª 7 §v—Z P

’ ‘n K P  U ›Z Für dichte Medien:
¯°
(
±²
W
¯°
(
±²
W
n #
, n 1 P ›Z 1 P
/
/ž!
/
(3.21),(3.22)
(3.23)
±²
W
! ³ P ( Δ µ / ∆ ¶Z
Feld nimmt mit r ab (3.20)
¯°
(
Clausius-Mosotti-Beziehung
3.4 Die Orientierungspolarisation – Parelektrizität
Molekulare Gase mit permanenten Dipolen (z.B. HCl)
- Im homogenen E-Feld (siehe Kapitel 1.5)
- Im inhomogenen E-Feld (Dipol im Feld einer Punktladung)
a) Dipol liegt in Richtung von E


/ !
/
(3.24)
ist negativ Dipol wird in Bereich höherer Feldstärke gezogen
Allgemein gilt:
! ¶Z ·¸9 # ¶Z G#
b) Dipol liegt nicht in Richtung von E
! µ ¶Z
/ !
cos ‘ , ‘
/
º , V !
(3.25)
(3.26)
Auch nichtpolares Atom oder Molekül wird in Richtung des wachsenden Feldes gezogen
In parelektrischen Medien ist die elektrische Suszeptibilität temperaturabhängig
¯4¤
»¼ ½
’ ›Z # 
# ¾½ #
(3.27)
Curie-Verhalten
3.5 Elektrische Polarisation in Festkörpern
Ferroelektrizität: Kristalle, die oberhalb einer kritischen Temperatur (TC) paraelektrisch sind, unterhalb der
kritischen Temperatur richten sich spontan alle Dipole aus es tritt auch ohne Feld eine makroskopische
Polarisation auf.
“Z5
›Z
¾ ½(½
¿
(3.28)
Piezo- (oder Pyroelektrischer) Effekt
Polarisation im Kristall kann durch die Anwendung von Druck, bzw. Temperatur geändert werden, dabei
ändert sich die Oberflächenladung.