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Inhalt
1.
Kinematik: Einleitung
2.
Geradlinige Bewegung, Geschwindigkeit
3.
Geradlinige Bewegung, Beschleunigung
4.
Geradlinige Bewegung, Vektordarstellung
5.
Gleichförmig, geradlinige Bewegung
6.
Gleichmäßig, beschleunigte Bewegung
7.
Freier Fall
8.
Nichtgeradlinige Bewegung, Geschwindigkeit
9.
Nichtgeradlinige Bewegung, Beschleunigung
10.
Kreisbewegung
11.
Schwingungen
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik,I,WS
Physik
WS2015/2016
2015/2016
1
Literatur
•
M. Alonso, E. J. Finn: Physik; dritte Auflage, Oldenbourg Verlag, 2000.
•
Paul A. Tipler: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, sechste Auflage, Springer
Spektrum Verlag, 2009.
•
Hering, Martin, Stohrer: Physik für Ingenieure; Springer Verlag, 2012.
•
Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1, Mechanik und Wärme; sechste Auflage,
Springer Verlag, 2013.
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Physik, WS 2015/2016
2
Einleitung
Die Lehre der Mechanik ist zum großen Teil das Ergebnis von Sir Isaac Newton. Der im 17
Jahrhundert die große Synthese vollzog, die als "Newtonsche Prinzipien" bekannt ist.
Auch andere Wissenschaftler haben zur Entwicklung des Fortschritts Beitrag geleistet.
Dazu gehören Archimedes, Kepler, Descartes, Huygens, Lagrange, Hamilton, Mach und
Einstein.
Die Kinematik ist die Lehre von der Bewegung von Körpern. Zur Beschreibung werden
zeitabhängige Koordinaten des/der Körpers/Körper benötigt.
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Physik, WS 2015/2016
3
Kinematik: Geradlinige Bewegung
Ein Körper ist zu einem anderen relativ in Bewegung, wenn sich seine Lage relativ zum
zweiten Körper mit der Zeit t ändert.
Man sagt: Ein Gegenstand befindet sich relativ in Ruhe wenn sich seine relative Lage mit
der Zeit t nicht verändert.
Ruhe und Bewegung sind relative Begriffe. Sie hängen vom Zustand des Gegenstandes
relativ zum Körper ab.
Bewegung ist relativ
∆x
O
A
B
x
x'
t
t'
v
v'
X
X
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4
Kinematik: Geradlinige Bewegung Geschwindigkeit
Geradlinige Bewegung: Der bewegte Körper beschreibt eine Gerade.
Die Verschiebung x ist eine Funktion der Zeit f(t)
und kann sich somit mit t ändern.
∆x
O
Die Verschiebung x kann negativ oder positiv sein.
Mittlere Geschwindigkeit vm:
A
B
x
x'
t
t'
v
v'
X
Die mittlere Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit) vm ist definiert als:
vm =
x' − x ∆ x
=
t' −t
∆t
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5
Kinematik: Geradlinige Bewegung Geschwindigkeit
Geradlinige Bewegung: Der bewegte Körper beschreibt eine Gerade.
Die mittlere Geschwindigkeit vm während eines bestimmten Zeitintervalls ∆t ist gleich dem
Verhältnis der Verschiebung ∆x zum Zeitintervall.
Augenblickliche Geschwindigkeit v:
Um die augenblickliche Geschwindigkeit zu bestimmen, muss ∆t so klein wie möglich sein.
Der Grenzwert von ∆x/∆t wird berechnet:
v=
lim vm =
∆ t →0
dx
v=
dt
∆x
lim ∆ t
∆ t →0
Das ist die Definition der Ableitung vom Weg x nach der Zeit t
Die augenblickliche Geschwindigkeit ist gleich der zeitlichen
Ableitung der Verschiebung.
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6
Kinematik: Geradlinige Bewegung Geschwindigkeit
Wenn wir wissen wie sich die Geschwindigkeit v zur Zeit t ändert, können wir die Position x
zu jedem Zeitpunkt durch Integration erhalten:
x
t
x0
t0
x0 :
t0 :
x-x0:
∫ dx' = ∫ vdt'
v · dt ist die Verschiebung des Körpers zum kleinen
Zeitintervall dt.
t
x = x0 + ∫ vdt'
t0
t
x − x0 = ∑ vi dti = ∫ vdt'
i
Wert von x zum Zeitpunkt t0
Anfangswert von t
Verschiebung
t0
Die Verschiebung x-x0 kann positiv oder negativ sein,
somit kann die Geschwindigkeit auch positiv oder negativ
sein.
Das Vorzeichen der Geschwindigkeit im Fall der
geradlinigen Bewegung zeigt in Richtung der Bewegung.
Einheiten der Geschwindigkeit: m/s
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Kinematik: Geradlinige Bewegung Geschwindigkeit
Schnelligkeit:
Schnelligkeit = Entfernung/Zeit
Bemerkungen:
Die durchschnittliche Schnelligkeit hat nicht den gleichen Wert wie die durchschnittliche
Geschwindigkeit.
Die Verschiebung x-x0 auch in der Zeit t-t0 darf nicht mit der Entfernung verwechselt
werden, die im gleichen Zeitraum zurückgelegt wurde.
Beispiel:
Ein Auto fährt von A nach B. B liegt 100 km südlich von A. Der Fahrer macht einen Umweg und
fährt über C. C ist 50km nördlich von A entfernt.
Die zurückgelegte Entfernung ist 200 km. Aber die Verschiebung (direkter Abstand) ist 100 km.
Die durchschnittliche Schnelligkeit beträgt bei 4 Stunden 50 km/h.
Die durchschnittliche Geschwindigkeit aber beträgt 25 km/h von A nach B.
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Kinematik: Geradlinige Bewegung Beschleunigung
Mittlere Beschleunigung am:
Annahme:
Zum Zeitpunkt t befindet sich der Gegenstand bei A
mit der Geschwindigkeit v. Zum Zeitpunkt t' befindet
sich der Gegenstand bei B mit der Geschwindigkeit
v'. Dann gilt für die mittlere (durchschnittliche)
Beschleunigung:
am =
∆x
O
A
B
x
t
v
x'
t'
v'
X
v' −v ∆ v
=
t' −t ∆ t
Die mittlere Beschleunigung (Durchschnittsbeschleunigung) am während eines bestimmten
Zeitintervalls ist gleich dem Verhältnis der Änderung der Geschwindigkeit zur Länge des
Zeitintervalls.
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Kinematik: Geradlinige Bewegung Beschleunigung
Augenblickliche Beschleunigung a:
Um die augenblickliche Beschleunigung zu bestimmen, muss ∆t so klein wie möglich sein.
Der Grenzwert von ∆v/∆t wird berechnet:
a=
lim am =
∆ t →0
a=
dv
dt
∆v
lim ∆ t
∆ t →0
Das ist die Definition der Ableitung von v nach der Zeit t.
Die augenblickliche Beschleunigung ist gleich der zeitlichen
Ableitung der Geschwindigkeit.
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Kinematik: Geradlinige Bewegung Beschleunigung
Wenn wir die Beschleunigung a zur Zeit t kennen, können wir die Geschwindigkeit v zu
jedem Zeitpunkt durch Integration erhalten:
v
t
v0
t0
v0 :
t0 :
v-v0 :
∫ dv' =∫ adt'
t
a · dt ist die Änderung der Geschwindigkeit des Körpers
zum kleinen Zeitintervall dt.
v = v0 + ∫ adt'
t0
t
v − v0 = ∑ ai dti = ∫ adt'
i
Wert von v zum Zeitpunkt t0
Anfangswert von t
Änderung der Geschwindigkeit
t0
Die Änderung der Geschwindigkeit v-v0 kann positiv oder
negativ sein, somit kann die Beschleunigung auch positiv
oder negativ sein.
Einheiten der Beschleunigung: m/s2
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Kinematik: Geradlinige Bewegung: Vektordarstellung der Geschwindigkeit und
der Beschleunigung
r r
r dv
a = ua = u
dt
r r
r dx
v = uv = u
dt
Die Vektoren a und v zeigen in Richtung vom Einheitsvektor u oder in entgegengesetzter
Richtung.
v
u
X
P a
0
v·a > 0
0
v·a < 0
a
v
P
Verzögerte Bewegung
u
X
a P
0
v·a > 0
Beschleunigte Bewegung
u
v
Beschleunigte Bewegung
X
u
0
v
a X
P
v·a < 0
Verzögerte Bewegung
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Kinematik: Bewegungstypen: Gleichförmige, geradlinige Bewegung
Wenn ein Gegenstand in gleichförmiger, geradliniger Bewegung ist, ist seine
Geschwindigkeit konstant. Es gibt also keine Beschleunigung.
a=
dv
=0
dt
t
x = x0 + v ∫ dt'
t0
x = x0 + v( t − t0 )
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13
Kinematik: Bewegungstypen: Gleichförmige, geradlinige Bewegung
t0 = 0
x = x0 + v( t − t0 )
x0
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Kinematik: Bewegungstypen: Gleichförmige, geradlinige Bewegung
v = const
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15
Kinematik: Bewegungstypen: Gleichmäßig, geradlinige, beschleunigte Bewegung
Wenn ein Gegenstand gleichmäßig geradlinig, beschleunigt wird, ist seine Beschleunigung
konstant.
da
=0
dt
a=
t
v = v0 + a ∫ dt'
t0
v=
dv
= kons tan t
dt
dv = a ⋅ dt
dx
dt
v = v0 + a( t − t0 )
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16
Kinematik: Bewegungstypen: Gleichmäßig, geradlinige, beschleunigte Bewegung
mit:
dx
=v
dt
dx
= v0 + a( t − t0 )
dt
t
t
t0
t0
x − x0 = v0 ∫ dt' + a ∫ ( t' −t0 )dt'
Eliminierung von t0:
v − v0
( t − t0 ) =
a
dx = [ v0 + a( t − t0 )] dt
1
x = x0 + v0 ( t − t0 ) + a( t − t0 )2
2
v 2 = v0 2 + 2a( x − x0 )
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17
Kinematik: Bewegungstypen: Gleichmäßig, geradlinige, beschleunigte Bewegung
1
x = x0 + v0 ( t − t0 ) + a( t − t0 )2
2
Mit x0, t0, v0 als Anfangswerte gleich Null gilt dann:
x=
1 2
at
2
Die Verschiebung eines gleichmäßig, beschleunigten Körpers ändert sich quadratisch mit
der Zeit.
Wenn t0 = 0 und x0 = 0 gesetzt wird gilt:
v = v0 + at
und
1
x = v0 t + at 2
2
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18
Kinematik: Bewegungstypen: Gleichmäßig, geradlinige, beschleunigte Bewegung
v = v0 + at
v0
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19
Kinematik: Bewegungstypen: Gleichmäßig, geradlinige, beschleunigte Bewegung
Darstellung der Verschiebung
Weg x
1
x = v0 t + at 2
2
hier: v0 = 0, x0 = 0
Zeit t
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20
Zusammenfassung der wichtigsten Beziehungen für die geradlinige Bewegung
Gleichförmige
geradlinige
Bewegung
Gleichmäßig
beschleunigte
Bewegung
Freie
senkrechte
Bewegung
a =0
v = const
x = x0 + v( t − t0 )
a = const
v = v0 + a( t − t0 )
1
x = x0 + v0 ( t − t0 ) + a( t − t0 )2
2
a = −g
v = v0 − g( t − t0 )
1
y = y0 + v0 ( t − t0 ) − g( t − t0 )2
2
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21
Freier Fall, Beispiel geradlienige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung
X
v=0
B
x0 = 100 m
v0
C
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22
Kinematik: Nichtgeradlinige Bewegung: Geschwindigkeit
Ein Teilchen beschreibe eine gekrümmte Bahn.
Zur Zeit t ist das Teilchen bei A = OA. Zur Zeit t' ist
das Teilchen bei B = OB.
Das Teilchen hat sich entlang ∆s bewegt.
Die Verrückung ist aber durch r'-r = AB = ∆r
gegeben.
Z
t
s
O0
A
r
t'
B
∆s
∆r
vm
r'
P
Die Verschiebung innerhalb des Zeitintervalls:
∆t = t'- t ist r'- r = AB = ∆r.
O
X
Y
Die mittlere Geschwindigkeit vm ist auch ein Vektor:
vm =
r' −r ∆ r
=
t' −t ∆ t
Die mittlere Geschwindigkeit vm ist ein Vektor
parallel zur Verrückung ∆r .
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Kinematik: Nichtgeradlinige Bewegung: Geschwindigkeit
Augenblickliche Geschwindigkeit v:
T
Um die augenblickliche Geschwindigkeit zu
bestimmen, muss ∆t so klein wie möglich sein.
Der Grenzwert von ∆r/∆t wird berechnet:
vm”
B”
v=
lim vm =
∆ t →0
r
r dr
v=
dt
∆r
lim ∆ t
∆ t →0
B'
v
uT
vm'
vm
B
∆r
A
Die momentane Geschwindigkeit ist bei einer gekrümmten
Bewegung ein Vektor tangential zur Bahn.
Die momentane Geschwindigkeit bei der gekrümmten Bewegungsform ist gleich der
zeitlichen Veränderung des Ortvektors des Teilchens.
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Kinematik: Nichtgeradlinige Bewegung: Geschwindigkeit
r r r
vx ,v y ,vz
r r
r
r
r = ux x + u y y + uz z
Einheitsvektoren
Z
t
x,y,z Koordinaten des bewegten Teilchens
s
Die Komponenten der Geschwindigkeit in X,Y,Z:
dx
vx =
dt
dy
vy =
dt
dz
vz =
dt
O0
A
r
t'
B
∆s
∆r
vm
r'
P
O
X
Y
s (siehe Bild) ist die Bahn entlang der Kurve O0 A.
Wenn sich das Teilchen entlang der Kurve s bewegt, dann ist die Verschiebung
von A nach B (Bogen) vom Teilchen ∆s.
v=
∆s ds
lim ∆ t = dt
∆ t →0
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25
Kinematik: Nichtgeradlinige Bewegung: Geschwindigkeit
ds ist die Verschiebung entlang der gekrümmten Bahn zur
v=
Zeit dt.
Deshalb ist ds vergleichbar mit dx bei einer geradlinigen
Bewegung.
∆s ds
lim ∆ t = dt
∆ t →0
T
r r ds
v = uT
dt
vm”
B”
gekrümmte Bewegung
r r dx
v =u
dt
B'
v
uT
r r
r dv
geradlinige Bewegung
a = u ⋅a = u
dt
vm'
vm
B
∆r
A
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26
Kinematik: Nichtgeradlinige Bewegung: Beschleunigung
Bei einer nichtgeradlinigen Bewegung ändert sicht fast immer die Geschwindigkeit in Richtung
und Betrag.
In Betrag, weil das Objekt schneller oder langsamer werden kann.
In Richtung, da die Geschwindigkeit tangential zur Bahn verläuft.
Z
Mittlere Beschleunigung am:
t
A
Annahme:
Zum Zeitpunkt t befindet sich der Gegenstand
bei A mit der Geschwindigkeit v. Zum Zeitpunkt
t’ befindet sich der Gegenstand bei B mit der
Geschwindigkeit v’. Dann gilt für die mittlere
(durchschnittliche) Beschleunigung:
r
r
∆v
am =
∆t
am ist ein Vektor parallel zu ∆v.
v
t'
B
v'
a
am
v
∆v
v'
O
Y
X
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27
Kinematik: Nichtgeradlinige Bewegung: Beschleunigung
Augenblickliche Beschleunigung a:
r
a=
r
a
lim m =
∆ t →0
r
∆v
lim ∆ t
∆ t →0
r
r dv
a=
dt
r r
r
r
v = u xvx + u y v y + u z vz
ax =
dv y
dvx
ay =
dt
dt
az =
dvz
dt
Die augenblickliche (momentane) Beschleunigung ist ein Vektor mit der gleichen Richtung wie
die momentane Änderung der Geschwindigkeit.
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28
Kinematik: Nichtgeradlinige Bewegung: Beschleunigung
Beziehung zwischen Beschleunigung und Geschwindigkeit bei einer krummen Bahn
v
a
v
a
v
a
a
a
v
v
• Die augenblickliche (momentane) Beschleunigung ist ein Vektor mit der gleichen Richtung wie
die momentane Änderung der Geschwindigkeit.
• Die Geschwindigkeit ändert sich mit der Krümmung. Dadurch zeigt die Beschleunigung immer
in Richtung der konkaven Kurvenseite (Talseite).
• Die Beschleunigung ist weder tangential zur Bahn, noch ist sie senkrecht zu ihr.
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29
Kinematik: Nichtgeradlinige Bewegung: Beschleunigung
T
Zwei Beschleunigungskomponenten:
v
• Die Tangentialbeschleunigung: aT läuft parallel zu AT
Änderung des Betrages der Geschwindigkeit:aT
• Die Zentripetalbeschleunigung: aN verläuft parallell zur
Normalen AN
Änderung der Richtung der Geschwindigkeit:
Normalbeschleunigung aN
C
aT
A
a
aN
N
r r
r
a = aT + aN
dv
aT =
dt
aT :
aN :
R :
Betrag Tangentialbeschl.
Betrag Zentripetalbeschl.
Radius Bahnkrümmung
v2
aN =
R
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30
Kinematik: Nichtgeradlinige Bewegung: Beschleunigung
T
• Ist die Bewegung gleichförmig, dann ist v = const und aT = 0.
v
• Ist die Bewegung geradlinig (Richtung von v ändert sich
nicht), dann ist aN = 0 da der Radius der Kurve ∞ ist.
C
aT
A
a
aN
N
r r
r
a = aT + aN
dv
aT =
dt
aT :
aN :
R :
Betrag Tangentialbeschl.
Betrag Zentripetalbeschl.
Radius Bahnkrümmung
v2
aN =
R
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31
Kinematik: Herleitung Beschleunigung
∆v = v' −v
Die tangentiale Komponente von ∆v :
Tangente
v'
PS = v' cos ∆θ − v
S
v
Die normale Komponente von ∆v :
B
SQ = v' sin ∆θ
P
∆s
A
Für die mittlere Beschleunigung ∆a gilt:
Tangential komponente =
v' cos ∆θ − v
∆t
∆v
v
∆θ
Q
v'
A
Normale
R
v' sin ∆θ
Normalkomponente =
∆t
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∆θ
C
32
Kinematik: Herleitung Beschleunigung
Für die Tangentialkomponente der Beschleunigung gilt mit:
∆t → 0 ,∆θ → 0
∆ t →0
Tangential komponente =
aT =
lim cos ∆θ = 1
v' cos ∆θ − v
∆t
v' −v
∆v dv
= lim
=
dt
∆ t →0 ∆t
∆ t →0 ∆t
aT = lim
v' cos ∆θ − v
∆t
∆ t →0
aT = lim
dv
dt
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33
Kinematik: Herleitung Beschleunigung
Für die Normalkomponente der Beschleunigung gilt mit:
∆t → 0 , sin ∆θ = ∆θ
∆t → 0 ,v' = v
aN = lim v
∆ t →0
v' sin ∆θ
Normalkomponente =
∆t
∆θ
∆t
mit
∆θ =
∆s
R
v' sin ∆θ
∆t
∆ t →0
aN = lim
1 ∆s v 2
aN = lim v
=
R
∆
t
R
∆ t →0
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34
Kinematik: Nichtgeradlinige Bewegung: Konstante Beschleunigung
Bei einer in Betrag und Richtung konstanten Beschleunigung gilt:
v
t
v0
t0
v0 :
r r
d
v
∫ ' =a ∫ dt'
Geschwindigkeit bei t0
Die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt
r r
r
v − v0 = a( t − t0 )
r v r
v = v0 + a( t − t0 )
r
t
t
t
r0
t0
t0
t0
r v
r
r
v
[
]
d
r
'
=
v
+
a
(
t
'
−
t
)
dt
'
=
v
dt
'
+
a
0
∫ ∫ 0
∫0
∫ ( t' −t0 )dt'
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35
Kinematik: Nichtgeradlinige Bewegung: Konstante Beschleunigung
Die Position des Teilchens zu jedem Zeitpunkt:
r r r
1v
r = r0 + v0 ( t − t0 ) + a( t − t0 )2
2
Im allgemeinen Fall können die Geschwindigkeit v0 und die Beschleunigung a
unterschiedliche Richtungen aufweisen. Deshalb ist v nicht parallel zu a. v liegt aber immer
in einer Ebene, die durch v0 und a definiert ist.
Der Endpunkt des Vektors r liegt immer in der Ebene parallel zu vo und a. Die Ebene geht
durch den Punkt der durch ro definiert ist.
Die Bewegung bei konstanter Beschleunigung läuft in einer Ebene ab.
Die Bewegungsbahn wird durch eine Parabel beschrieben.
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36
Kinematik: Nichtgeradlinige Bewegung: Bewegung eines Geschosses
Hier ist a die Gravitationsbeschleunigung g
g zeigt in Y-Richtung (Abbildung). g = -uyg
v0 x = v0 cos α
v0 y = v0 sin α
Y
v0
v0y
Betrag der Geschwindigkeit zur Zeit t:
v=
0
α
g
+ v 2y
g
v
h
Koordinaten des Teilchens als Funktion von der
Zeit t:
x = v0 xt
g
v y = v0 y − gt
vx = v0 x
v0x
A
P(x,y)
g
t0 = 0 gesetzt
vx2
v
v0x
X
B
R
g
v0
1
y = v0 yt − gt 2
2
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37
Kinematik: Nichtgeradlinige Bewegung: Bewegung eines Geschosses
Die Zeit die das Geschoss braucht um die maximale
Höhe zu erreichen bei A:
vy = 0
t=
v0 y
g
v sin α
t= 0
g
Y
v
v0
v0y
g
P(x,y)
g
Die maximale Höhe ist dann:
1
v sin α
y = v0 yt − gt 2 t = 0
2
g
v0x
A
g
v
h
v02 sin 2 α
h=
2g
0
α
g
v0x
X
B
R
g
v0
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38
Kinematik: Nichtgeradlinige Bewegung: Bewegung eines Geschosses
Die Zeit die das Geschoss braucht um zu Boden zu
gelangen (Punkt B) wird erreicht wenn y = 0 gesetzt
wird (Flugzeit):
1
y = v0 yt − gt 2
2
1
0 = v0 yt − gt 2
2
Y
v
v0
v0y
v0x
A
g
P(x,y)
g
g
v
h
t=
2v0 sin α
g
0
α
v0x
g
Die Reichweite OB = gesamte zurückgelegte
Entfernung in der Horizontalen:
Wert für die Flugzeit einsetzen in:
x = v0 xt
x = v0 cos α ⋅ t
X
B
R
g
v0
2v02 cos α ⋅ sin α
x=R=
g
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39
Kinematik: Nichtgeradlinige Bewegung: Bewegung eines Geschosses
Die Reichweite OB = gesamte zurückgelegte
Entfernung in der Horizontalen:
Wert für die Flugzeit einsetzen in:
2v02 cos α ⋅ sin α
R=
Y
v
v0
v0y
v0x
A
g
P(x,y)
g
g
g
v
h
Oder mit:
sin 2α = 2 sin α cos α
0
α
v0x
g
v02 sin 2α
R=
g
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X
B
R
g
v0
40
Kinematik: Nichtgeradlinige Bewegung: Bewegung eines Geschosses
Y
A
P
v0
y
O
vx
vy
v
40°
B
x
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X
41
Kinematik: Kreisförmige Bewegung: Winkelgeschwindigkeit
Die Geschwindigkeit v ist tangential zu R = CA.
Messungen der Entfernung auf der Kreisbahn s = Rθ
v=
v
ds
dθ
=R
dt
dt
R
θ
dθ
ω=
dt
Winkelgeschwindigkeit
C
A
s
O
X
Winkelgeschwindigkeit ω = zeitliche Änderung des
Winkels der durch R (Radius) überstrichen wird.
Die Winkelgeschwindigkeit wird in rad/s angegeben.
v =ω⋅R
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42
Kinematik: Kreisförmige Bewegung: Winkelgeschwindigkeit
Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Vektor senkrecht zur
Bewegungsebene. Rechte-Hand-Regel
Z
Ist die Winkelgeschwindigkeit konstant, dann handelt es sich
um eine gleichförmige Kreisbewegung:
ω = const
ω
Winkelgeschwindigkeit
Die Bewegung ist periodisch und das Teilchen
durchläuft den Kreis in geregelten Zeitintervallen.
R
v
A
Die Periode T ist die Zeit die für einen Umlauf gebraucht
wird (Umlaufzeit).
Die Frequenz f ist die Umkehrung der Periode f = 1/T
Einheit von f = Hz (Hertz)
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43
Kinematik: Kreisförmige Bewegung: Winkelgeschwindigkeit
Wenn die Winkelgeschwindigkeit ω konstant ist dann gilt:
θ
t
0
t0
∫θ dθ ' = ω ∫ dt'
θ = θ 0 + ω( t − t 0 )
Für den Fall t0 = 0, θ0 = 0 gilt:
θ =ωt
ω=
θ
t
Für eine ganze Umdrehung t = T und θ = 2π
ω=
2π
T
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44
Kinematik: Kreisförmige Bewegung: Beispiel Winkelbeschleunigung
Ändert sich die Winkelgeschwindigkeit ω
eines Teilchens mit der Zeit, dann ist die
Winkelbeschleunigung α:
ω0 :
Winkelgeschwindigkeit bei t0
dω d 2θ
α=
= 2
dt
dt
Einheit Winkelbeschleunigung α = 1/s2
Ist die Winkelbeschleunigung α konstant
dann gilt für die Winkelgeschwindigkeit ω:
ω
t
∫ω dω' = α ∫ dt'
0
ω = ω0 + α ( t − t0 )
t0
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45
Kinematik: Kreisförmige Bewegung: Beispiel Winkelbeschleunigung
Für den Winkel zu jedem Zeitpunkt gilt dann:
θ
t
0
t0
Winkelgeschwindigkeit bei t0
t
∫θ dθ' = ∫ ω dt' + α ∫ ( t' −t
0
ω0 :
0
)dt'
t0
Winkelposition zu jedem Zeitpunkt gilt dann:
1
2
θ = θ0 + ω0 ( t − t0 ) + α ( t − t0 )2
Wenn to = 0 und θ0 = 0
1
2
θ = ω0 t + α t 2
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46
Kinematik: Geschwindigkeit und Beschleunigung bei der kreisförmigen Bewegung
Z
Ein Teilchen bewegt sich gleichförmig auf
eine Kreisbahn (Abbildung).
R = r sin γ
mit
ω
r r
v =ω⋅R
ω
r r r
C a = ω ×v
r r r
v = ω ⋅ r sin γ
R
r r r
v =ω×r
r
γ
r
r
r dv v dr v r v v r
a = = ω × = ω ×v = ω ×( ω × r )
dt
dt
r
v
A
r r r
v =ω×r
O
Y
X
Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist die
Beschleunigung senkrecht zu der Geschwindigkeit und
r
zeigt nach Innen.
aT = 0
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47
Kinematik: Geschwindigkeit und Beschleunigung bei der kreisförmigen Bewegung
r
r
r dv v dr v r v v r
a=
= ω × = ω ×v = ω ×( ω × r )
dt
dt
Die Beschleunigung die durch diese Gleichung
beschrieben wird, ist die Zentripetalbeschleunigung aN.
Da ω senkrecht zu v ist, gilt:
2
aN = ω R
v2
aN =
R
Bei der gleichförmigen Kreisbewegung, ist der Betrag
der Geschwindigkeit v konstant.
Die Ursache für die Änderung der Geschwindigkeit ist die Richtungsänderung der Bewegung.
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48
Kinematik: Geschwindigkeit und Beschleunigung bei der kreisförmigen Bewegung
Bei einer gleichmäßig, beschleunigten Kreisbewegung,
ändert sich der Betrag und die Richtung der
Geschwindigkeit v.
Die Änderung des Betrages der Geschwindigkeit führt zu
einer tangentialen Beschleunigung aT.
aT = R
dω
= Rα
dt
v
v = Rω
aT = Rα
a
v2
aN =
R
Die Änderung der Richtung der Geschwindigkeit führt zu
einer normalen (zentripetalen) Beschleunigung aN.
2
aN = ω R
v2
aN =
R
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49
Kinematik: Geschwindigkeit, gleichmäßige Beschleunigung in der Kreisbahn
Bei einer gleichmäßig, beschleunigten Kreisbewegung ändert sich die Geschwindigkeit in
Betrag und Richtung. Die Änderung des Betrages der Geschwindigkeitskomponente wird
durch die Tangentialbeschleunigung aT beschrieben. Die Änderung der Richtung der
Geschwindigkeitskomponente wird durch aN beschrieben.
r
r
r
r
r d v v d r d v r  d ω r  r d r 
a=
= ω × = ( ω × r ) =  × r  + ω × 
dt
dt dt
dt 
 dt  
aT
aN
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50
Zusammenfassung der wichtigsten Beziehungen für die Kreisbewegung
Gleichförmige
KreisBewegung
α =0
ω = const
v = const
θ = θ0 + ω( t − t0 )
Gleichmäßig,
beschleunigte
KreisBewegung
α = const
ω = ω0 + α ( t − t0 )
v = v0 + a( t − t0 )
1
θ = θ0 + ω0 ( t − t0 ) + α ( t − t0 )2
2
Gleichmäßig,
beschleunigte
KreisBewegung
v = ωR
aN = ω 2 R
dω
aT = R
= Rα
dt
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51
Geschwindigkeit und Beschleunigung an einem Punkt auf der Erdoberfläche
r = 6,35 ⋅ 106 m
R = r · cos λ
ω :
r :
λ :
Winkelgeschwindigkeit
Erdradius
Geographische Breite vom Punkt A
Quelle: Alonso, Finn
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