pdf, 3.9 M - Walther Meißner Institut

Herstellung von π-Josephson-Kontakten mit
Supraleiter/Ferromagnet/Supraleiter
Schichtsystemen
Bernhard Huber
Diplomarbeit
Advisor: Prof. Dr. R. Gross
2. Februar 2006
Walther-Meissner-Institut
Bayerische Akademie der Wissenschaften
Walther-Meissner-Str. 8
85748 Garching, GERMANY
iv
INHALTSVERZEICHNIS
Teil I
Einleitung
1
Teil II
Theorie
5
1. Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Die makroskopische Wellenfunktion
1.2 Die London-Gleichungen . . . . . .
1.3 Flussquantisierung . . . . . . . . .
1.4 Mikroskopische Theorie . . . . . .
1.5 Der Proximity Effekt . . . . . . . .
1.5.1 An einer SN-Grenzfläche . .
1.5.2 An einer SF-Grenzfläche . .
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7
8
9
10
11
14
14
16
2. Der Josephson-Effekt . . . . . . .
2.1 Tunnelkontakte (SIS) . . . . .
2.2 Andreev gebundene Zustände .
2.2.1 In SNS-Kontakten . .
2.2.2 In SFS-Kontakten . . .
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21
22
25
25
27
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3. Superconducting Quantum Interference Device (SQUID) . . . . . . . . . . 31
3.1 dc-SQUID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 SQUIDs mit pi-Kontakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Teil III
Experiment
39
4. Probenherstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1 Lithographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Verwendeter Ex-Situ Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5. Messanordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1 Kryostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Stromquelle und Ausleseverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6. Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
vi
Teil IV
Inhaltsverzeichnis
Zusammenfassung
51
ZUSAMMENFASSUNG
kommt noch
viii
Zusammenfassung
DANKSAGUNG
Zuallererst möchte ich Prof. Dr. R. Gross, dem Direktor des WMI für das Betreuen
meiner Diplomarbeit danken, wodurch er mir die Möglichkeit eröffnete an topaktueller Forschungsarbeit auf dem Gebiet der Quanteninformationsverarbeitung teilzunehmen. Als nächstes danke ich Dr. A. Marx, der stets bereit war mir zu helfen, wenn ich
Fragen zur Physik der Supraleiter hatte, es Probleme bei der Herstellung meiner Kontakte gab oder es darum ging Messungen durchzuführen. Besonders möchte ich mich
auch bei dem Doktoranden G. Wild bedanken. Meine gesamte Arbeit lief in enger Zusammenarbeit mit ihm ab. Vom Belacken der Substrate bis hin zur Durchführung der
Messungen stand er mir immer mit Rat und Tat zur Seite. Ohne seine Anleitung wäre
ich oft nicht weitergekommen. Dankbar für seine Hilfsbereitschaft und seine Unterstützung bei der Lithographie bin ich dem Doktoranden T. Heimbeck. Die Werkstudenten L. Klam und W. Kaiser führten Untersuchungen durch, die wichtig waren für
Optimierung der Sputterparameter.
x
Zusammenfassung
Teil I
EINLEITUNG
3
Supraleiter und Ferromagneten zeichnen sich beide durch die starke Wechselwirkung ihrer Elektronen aus. Während jedoch ein herkömmlicher Supraleiter die Spins
seiner Elektronen je Paarweise entgegengesetzt zueinander einstellt, bevorzugt ein Ferromagnet eine parallele Ausrichtung. Die beiden Systeme bedienen sich zweier inkompatibler Formen der Ordnung und doch können beide Phänomene, wenn sie in Kontakt
zueinander gebraucht werden, in einem schmalen Bereich um die Grenzfläche koexistieren. Wählt man bei der Herstellung eines SFS-Sandwiches die Schichtdicke des
Ferromagneten klein genug, so kann durch diesen hindurch sogar ein Suprastrom fließen. Dabei tritt ein Interessanter neuer Effekt zutage: Bei einer bestimmten Dicke der
ferromagnetischen Schicht erhält man einen Josephson-Kontakt mit einer intrinsischen
Phasenverschiebung von π. Das heisst, dass die Phasen der Cooper-Paare auf beiden
Seiten des Kontakts im stromlosen Zustand eine Differenz von π aufweisen.
Durch die Untersuchung des Wechselspiels zwischen Supraleitern und Ferromagneten
lässt sich viel über die Natur der Supraleitung lernen.
Ein solcher Kontakt ist unter anderem für die Herstellung supraleitender Quanten-Bits
von Interesse. Ein solches besteht aus einer supraleitenden Leiterschleife mit einer ungeraden Anzahl an Josephson-Kontakten. Um Quanteninformationsverarbeitung damit
betreiben zu können muss das Qubit zuerst in den Entartungspunkt gebracht werden.
Dieser ist genau dann erreicht, wenn im Ring eine zusätzliche Phasendifferenz von
π auftritt, die durch einen Ringstrom kompensiert werden muss. Bewirken kann man
das zum Beispiel durch ein äußeres Magnetfeld das einen magnetischen Fluss in Höhe
eines halben Flussquants durch den Ring bewirkt. Es sind recht hohe Flussdichten und
eine genaue Kalibration nötig um das Qubit optimal betreiben zu können. Mit einem
pi-Josephson-Kontakt im Ring hingegen hat man die benötigte Phasendifferenz schon
eingebaut und kann auf zusätzliche Magnetfelder, die Rauschquellen darstellen und
sich somit negativ auf die Kohärenzzeit auswirken können, verzichten.
Das Ziel dieser Arbeit war es einen Prozess zur Herstellung mikrostrukturierter SFSKontakte zu entwickeln. Hierzu wurden aus verschiedenen Gründen Niob, Aluminiumoxid und Nickel/Palladium als Materialkomponenten für das Schichtsystem gewählt.
Zum einen eignet sich Niob zusammen mit Aluminiumoxid sehr gut für die Produktion
hochwertiger Tunnel-Kontakte. Desweiteren ist es anderen Gruppen bereits gelungen
π-Kontakte aus diesen Komponenten herzustellen. Man weiß also, dass die Materialien geeignet sind. Auch die relativ hohe Sprungtemperatur des Niob kommt einem
zugute, da sie den kryotechnischen Aufwand, der betrieben muss um die Proben zu
messen in Grenzen hält.
Die im Institut etablierten Lithographie-Prozesse sollten auf die neue Nb-Al2 O3 -Ni/PdNb-Technologie angepasst und optimiert werden. Es mussten neue Masken entwickelt
werden, um dem Problem angepasste Strukturen schreiben zu können. Um die Kontakte zu charakterisieren musste desweiteren 3 He-Kryostat modifiziert und Messprogramme geschrieben zum Auslesen der Daten geschrieben werden.
4
Teil II
THEORIE
Kapitel 1
SUPRALEITUNG
Im ersten Kapitel des Theorieteils meiner Arbeit sollen grundlegende Modelle zum
Thema Supraleitung vorgestellt werden. Die namensgebende Eigenschaft eines Supraleiters ist das Verschwinden des elektrischen Widerstands unterhalb einer kritischen
Temperatur Tc . Ein Supraleiter ist jedoch weit mehr als ein idealer Leiter. Eine Entdeckung von enormer Wichtigkeit für das Verständnis der Supraleitung war der MeissnerOchsenfeld Effekt. Dieser besagt, dass das Magnetfeld im Inneren eines Supraleiters
unterhalb Tc und bis zu einer kritischen Feldstärke stets Null ist und zwar unabhängig von dessen Vorgeschichte. Ein idealer Leiter würde das Magnetfeld konservieren.
Dies klassifiziert die Supraleitung als thermodynamische Phase. Um das Phänomen
der Supraleitung zu beschreiben reicht es nicht aus klassische Ansätze zu verwenden.
Der erste, der diese Erkenntnis umsetzen konnte, war F. London. Mit dem Ansatz die
Supraleitung als makroskopisches Quanten-Phänomen (1.1, 1.2) zu betrachten gelang
es ihm viele der bis dahin bekannten experimentellen Tatsachen, wie zum Beispiel die
Flussquantisierung (1.3), mit einem einzigen theoretischen Ansatz zu beschreiben. Für
die Erklärung des Isotopeneffekts reichte die London-Theorie allerdings nicht aus. Es
waren Bardeen, Cooper und Schrieffer, denen es gelang eine mikroskopische Theorie
der Supraleitung (1.4) aufzustellen. Mit Hilfe dieser gelang es viele bis dahin unbeantwortete Fragen zu beantworten. Unter anderem den Proximity-Effekt (1.5) an der
Grenzfläche zwischen einem Supraleiter und einem Normalleiter.
8
Kapitel 1. Supraleitung
1.1
Die makroskopische Wellenfunktion
Nach Entdeckung der Supraleitung wurde intensiv geforscht mit dem Ziel den Ursprung dieses merkwürdigen Phänomens zu finden. Rein klassische Ansätze waren
von vornherein zum Scheitern verurteilt, da es sich bei der Supraleitung um ein kohärentes quantenmechanisches Phänomen handelt, das sich auf makroskopischen Skalen
bemerkbar macht. Der erste Etappensieg wurde durch die Einführung einer makroskopischen Wellenfunktion erreicht. Also einer Wellenfunktion, die für die Gesamtheit
der supraleitenden Elektronen gilt.
Die Ladungsträger im Supraleiter, die den Suprastrom tragen, zeigen im Gegensatz
zum Normalleiter kohärentes Verhalten (bei diesen Ladungsträgern handelt es sich,
wie wir im Abschnitt 1.4 noch sehen werden, um Elektronenpaare nicht um einzelne
Elektronen). Ausgehend von dieser Beobachtung stellen wir folgende Hypothese auf:
Die Gesamtheit der supraleitenden Ladungsträger kann mit einer Wellenfunktion
p
(1.1)
Ψ(~r,t) = ns (~r,t)eiθ (~r,t)
beschrieben werden. Die Wellenfunktion Ψ(~r,t) ist, da sie alle supraleitenden Elektronen beinhalten soll, nicht auf eins sondern auf die Anzahl der supraleitenden Ladungsträger normiert.
Z
Ψ∗ (~r,t)Ψ(~r,t)dV = Ns ,
(1.2)
|Ψ(~r,t)|2 = Ψ∗ (~r,t)Ψ(~r,t) = ns (~r,t).
(1.3)
Hierbei ist ns die lokale Dichte und Ns die Gesamtzahl der Ladungsträger im supraleitenden Zustand.
Wir verwenden in den folgenden Überlegungen das Zwei-Flüssigkeits-Modell. Analog
zur Fluiddynamik betrachten wir die Veränderung der lokalen Dichte der supraleitenden Ladung um Rückschlüsse auf Ströme zu ziehen. Die zweite Flüssigkeit stellen die
normalleitenden Elektronen mit ihrer lokalen Dichte nn und Gesamtzahl Nn dar. Für
die Gesamtdichte der Elektronen gilt n = 2ns + nn . Der Faktor zwei bei ns kommt daher, dass sich ns nicht auf einzelne Elektronen sondern auf Paare bezieht.
In einem elektromagnetischen Feld gehorcht die Wellenfunktion folgender, der SchrödingerGleichung ähnlichen Gleichung:
1
∂ Ψ(~r,t)
=
ih̄
∂t
2ms
h̄~
∇ − qs~A
i
2
Ψ(~r,t) + qs φ Ψ(~r,t)
(1.4)
Die Größen qs und ms sind Ladung und Masse der Paare. Für den Fall ns = konst.
nimmt die Gleichung die Form
− h̄
2
∂ θ (~r,t)
1 ~
=
h̄∇θ − qs~A + qs φ
∂t
2ms
(1.5)
1.2. Die London-Gleichungen
9
an.
Aus Gleichung 1.5 ergibt sich die Suprastromdichte in einem elektromagnetischen
Feld zu
q
h̄
s
~
~Js = qs ns (~r,t)
∇θ (~r,t) − ~A(~r,t) .
(1.6)
ms
ms
Mit dem London-Koeffizienten
Λ=
ms
ns (qs )2
lassen sich die Gleichungen (1.5) und (1.6) umschreiben in
∂ θ (~r,t)
1 ~
=
∇ ΛJs2 + qs φ
∂t
2ns
(1.7)
h̄
Λ~Js = ~∇θ (~r,t) − ~A(~r,t)
qs
(1.8)
− h̄
1.2
Die London-Gleichungen
Gehen wir von einem einfachen Fall eines Supraleiters in einem elektromagnetischen
Feld aus. Die Dichte ns sei konstant über den gesamten Supraleiter und sowohl das
elektrische als auch das magnetische Feld schwach genug um keine wesentlichen Einflüsse auf die Eigenschaften des Supraleiters zu haben. Für ein solches Szenario geben
die London-Gleichungen den Zusammenhang zwischen Suprastrom und elektrischem
bzw. magnetischem Feld an.
Die erste London-Gleichung erhalten wir, wenn wir die zeitliche Ableitung der Suprastromdichte betrachten
!
h̄ ∂ ~∇θ (~r,t) ∂ ~A(~r,t)
∂ ~
ΛJs =
−
.
(1.9)
∂t
qs
∂t
∂t
Diese Gleichung wird unter Verwendung von Gleichung (1.7) und ~E = −∂ ~A/∂t − ~∇φ
zur ersten London-Gleichung
∂ ~ ~
1 ~ 1 2
ΛJs = E −
∇
ΛJ .
(1.10)
∂t
ns qs
2 s
Der zweite Term auf der rechten Seite enthält die kinetische Energie der Elektronenpaare und wird in der Literatur üblicherweise weggelassen.
Die zweite London-Gleichung erhält man aus der Rotation der Gleichung (1.8)
~∇ × Λ~Js = h̄ ~∇ × ~∇θ − ~∇ × ~A = −~B.
qs
(1.11)
10
Kapitel 1. Supraleitung
Diese Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Suprastrom und einem
Magnetfeld. Tief im Inneren des Supraleiters ist das Magnetfeld Null. Was passiert
aber am Rand?
Hierfür betrachten wir einen Supraleiter, der den gesamten Halbraum x > 0 ausfüllt.
Mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen ~∇~B = 0 und ~∇ × ~B = µ0~Js und der Relation ~∇ ×
~∇ × ~B = ~∇(~∇~B) − ∆~B bringen wir Gleichung (1.11) auf die Form
µ0
∆~B − ~B = 0.
Λ
(1.12)
In unserem speziellen Fall reduziert sich das auf
∂ 2 ~ µ0 ~
B − B = 0.
∂ x2
Λ
(1.13)
Die Lösung dieser Differenzialgleichung ist ein exponentieller Abfall des B-Feldes
im Supraleiter. Die charakteristische Länge auf der ~B abklingt ist die London’sche
Eindringtiefe λL . Nach Lösung von Gleichung (1.13) erhält man für sie den Ausdruck
r
ms
(1.14)
λL =
µ0 ns q2s
1.3
Flussquantisierung
Wie am Anfang dieses Kapitel bereits gesagt wurde, verdrängt ein Supraleiter jegliches
Feld aus seinem Inneren. Doch wie sieht es mit folgender Situation aus: An einen Ring
aus supraleitendem Material wird bei einer Temperatur T > Tc ein Magnetfeld parallel
zur Achse des Rings angelegt. Als nächstes kühlt man den Ring unter Tc und schaltet
dann das äußere Magnetfeld ab. Klassisch würde man nun das Verhalten eines idealen Leiters erwarten. Der magnetische Fluss durch den Ring sollte konstant bleiben.
Aufgrund der quantenmechanischen Natur der Supraleitung sind an diesen stationären
Zustand allerdings gewisse Anforderungen gestellt. Die Wellenfunktion der Elektronenpaare darf nicht destruktiv mit sich selbst Interferieren. Hat also die Phase der Paare
an einem bestimmten Punkt des Ringes den Wert θ1 und einen Umlauf um den Ring
am selben Ort den Wert θ2 , so muss für die Differenz der Phase
θ2 − θ1 = 2πn
gelten, mit der ganzen Zahl n.
Integrieren wir nun den Ausdruck für die Stromdichte auf einem Weg C einmal um
den Ring
I I
h̄
~∇θ − ~A d~l.
~
~
(1.15)
ΛJs d l =
qs C
C
1.4. Mikroskopische Theorie
11
Der Integrationsweg sei so gewählt, daß er ausreichend tief im Supraleiter liegt. Dann
gilt dort ~B = 0 und damit auch ~Js = 0. Ausserdem wenden wir auf den Term mit ~A den
Satz von Stokes an und erhalten den Fluss durch den Ring
I
~Ad~l =
C
Z Z
~∇ × ~A d~s = ~Bd~s = Φ,
S
(1.16)
S
mit S, der von C eingeschlossenen Fläche.
So ergibt sich
I
h̄ ~ ~
Φ=
∇θ d l.
qs C
(1.17)
Das Integral über den Phasengradienten ergibt die bereits besprochene Differenz der
Phasen θ2 und θ1 . Als Ergebnis erhalten wir
Φ0
2πn = nΦ0 ,
2π
(1.18)
h
h
= 2, 067 × 10−15V s.
=
qs 2e
(1.19)
Φ=
mit dem Flussquant
Φ0 =
Der magnetische Fluss durch eine supraleitende Leiterschleife darf also nur ganzzahlige Vielfache des Flussquants Φ0 annehmen.
1.4
Mikroskopische Theorie
Laut der BCS-Theorie[1], benannt nach den Herren Bardeen, Cooper und Schrieffer,
beruht der Mechanismus der in konventionellen Supraleitern die Supraleitung hervorruft auf einer attraktiven, durch Phononen vermittelten Elektron-Elektron Wechselwirkung. Der erste Hinweis auf einen Zusammenhang zwischen den Schwingungen des
Kristallgitters und der Supraleitung war die Entdeckung des Isotopeneffekts. Wie man
herausfand, zeigen verschiedene Isotope des selben supraleitenden Materials unterschiedliche kritische Temperaturen Tc .
Man kann sich das ganze so vorstellen: Ein Elektron in einem Gitter aus positiv geladenen Ionen zieht zieht diese aufgrund der Coulomb-Wechselwirkung an. Das Gitter
wird polarisiert. Im stationären Fall reicht das nicht aus, um die negative Ladung des
Elektrons zu überdecken. Bewegt sich das Elektron aber durch ein Gitter so werden die
Gitteratome ausgelenkt und fangen an zu schwingen. Bei resonanter Anregung ist die
Polarisation des Kristalls so groß, dass ein zweites Elektron statt der negativen Ladung
des Ersten eine positive Ladungswolke sieht. Die so veränderte Potentiallandschaft
kann es zwei Elektronen ermöglichen eine Bindung einzugehen und ein Cooper-Paar
zu bilden. Die größte Energie, die bei einer solchen Wechselwirkung zwischen zwei
12
Kapitel 1. Supraleitung
Elektronen über Phononen ausgetauscht werden kann ist h̄ωD . Die Debye’sche Grenzfrequenz ωD ist die höchste mögliche Frequenz die eine Gitterschwingung aufgrund
des Atomabstands besitzen kann.
Sehen wir uns diese Wechselwirkung nun genauer an. Nehmen wir an, wir hätten ein
Metall bei einer Temperatur T = 0. Bis zur Fermienergie εF sind alle ElektronenZustände gefüllt, oberhalb von εF alle frei. Alle Phononen sind bei dieser Temperatur
ausgefroren. Ein freies Elektron mit dem Wellenvektor ~k1 bewegt sich durch den Festkörper und regt zu einem bestimmten Zeitpunkt ein Phonon an. Es geht dabei in den
Zustand ~k10 über. Fast zur gleichen Zeit absorbiert ein zweites Elektron dieses Phonon
und vollzieht einen Übergang vom Zustand ~k2 nach ~k20 . Bei diesem Streuvorgang muß
die Impulserhaltung
~k1 +~k2 =~k10 +~k20
gelten. Soll ein Elektron im Zustand ~k in den Zustand ~k0 gestreut werden muss, um
das Pauli-Prinzip nicht zu verletzen, ~k0 vor dem Streuvorgang leer gewesen sein. Nach
der Streuung ist ~k leer und ~k0 besetzt. Mit dieser Überlegung ist sofort klar, dass ein
solcher Prozess nur in der Nähe der Fermi-Kante stattfinden kann.
Die BCS-Theorie geht von einem kleinen attraktiven Potential aus, das auf Elektronen
wirkt, deren Energie sich um nicht mehr als h̄ωD von der Fermienergie unterscheidet.
Die Energie dieser Wechselwirkung sei -V für Elektronen innerhalb des Energieintervalls und 0 außerhalb. Dieses Potential erlaubt es den Elektronen einen neuen Zustand
zu bilden, bestehend aus zwei Elektronen mit entgegengesetzten Spin und Impuls (~k ↑,
−~k ↓).
Der Grundzustand des Supraleiters
In einem normalen Metall bei T = 0 ist der Zustand niedrigster Energie der, bei dem
innerhalb der Fermi-Kugel alle Elektron Zustände besetzt und alle außerhalb frei sind.
Mit der Wechselwirkung, die eben besprochen wurde, kann die Gesamtenergie des
Systems weiter abgesenkt werden. Möglich ist dies aber nur, wenn vom Zustand (~k1 ,
~k2 ) in den Zustand (~k0 , ~k0 ) gestreut werden kann, sprich (~k1 , ~k2 ) besetzt und (~k0 , ~k0 )
1 2
1 2
frei ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das passieren kann, wird beschrieben durch
2
die Funktionen v~k , die Wahrscheinlichkeit ein Paar im Zustand (~k ↑, −~k ↓) zu fin 2
den, und u~k , die Wahrscheinlichkeit daß (~k ↑, −~k ↓) frei ist. Zwischen ihnen gilt der
2
2
Zusammenhang u~k = 1 − v~k . Mit diesen Funktionen kann die Wechselwirkungswahrscheinlichkeit geschrieben werden als v~k u~k0 .
1.4. Mikroskopische Theorie
13
Aus der Schrödinger-Gleichung des Systems erhält man für v~k und u~k 3


2 1
ε
v~ = 1 − q ~k

k
2
2
2
|∆| + ε~
k


2 1
ε~k
u~ = 1 + q

k
2
2
2
|∆| + ε
(1.20)
(1.21)
~k
Hierbei ist ε~k die Energie eines Elektrons im Zustand ~k von der Fermi-Energie gemessen, und der Ordnungsparameter ∆0 ist gegeben durch
(1.22)
∆0 = −V ∑ u~∗k v~k = −Veiθ ∑ u~∗k v~k .
~k
~k
Die Summe geht über alle ~k deren Energie sich um nicht mehr als h̄ωD von der FermiEnergie unterscheidet. Der Betrag des Ordnungsparameters ist die Paarbindungsenergie pro Elektron. Am größten ist diese, wenn alle Paare die gleiche Phase θ besitzen
und sich so optimal aufsummieren können. Durch die Phasenkohärenz der Paare maximiert der Supraleiter seinen Gewinn an potentieller Energie. Dieser beträgt
1
∆E = − N(0) |∆0 |2
2
(1.23)
mit der Zustandsdichte an der Fermi-Energie N(0). Somit ist das Betragsquadrat des
Ordnungsparameters proportional zur Anzahl der Paare im Kondensat bzw. proportional zur Paardichte ns .
2
2
Abbildung 1.1 zeigt die Abhängigkeit von v~k und
u~k von εk . Nur in einem kleinen Intervall der Breite ∆0 um εk = 0 nimmt u~k v~k von Null verschiedene Werte an.
2
Wie v~k zeigt, sind im Gegensatz zum Normalleiter im Supraleiter auch bei T = 0
Zustände oberhalb der Fermi-Kante besetzt.
Elementare Anregungen: Quasi-Elektronen und -Löcher
Die elementare Anregung der Cooper-Paare ist das Aufbrechen der Paarbindung. Dabei entstehen zwei unabhängige Quasiteilchen mit einer Mindestenergie von je |∆0 |.
Um ein Paar aus dem Grundzustand zu holen ist also mindestens eine Energie in
Höhe der doppelten Paarbindungsenergie erforderlich. Das hat zur Folge, daß in der
Quasiteilchen-Zustandsdichte eine Energielücke der Breite 2 |∆0 | um die Fermi-Energie
entsteht. Hieraus erklärt sich das Verschwinden des Widerstands im Supraleiter, da
elektrischer Widerstand auf der Streuung von Elektronen beruht.
14
Kapitel 1. Supraleitung
2
2
Abb. 1.1: Die Wahrscheinlichkeiten v~k und u~k als Funktion von εk
Betrachtet man die Änderung der Gesamtenergie und -ladung des Systems bei hinzufügen eines Quasiteilchens, so erhält man für Energie EQuasi und Ladung qQuasi der
Anregung im Zustand ~k die Ausdrücke16
q
EQuasi = ε~2 + |∆0 |2
(1.24)
k
qQuasi =
ε~k
EQuasi
e= q
ε~k
ε~2 + |∆0 |2
e,
(1.25)
k
mit der Elektronenladung e. Quasiteilchen-Energie und -Ladung sind in Abbildung 1.2
dargestellt. Das Vorzeichen der Ladung von Anregungen mit k > kF ist gleich dem der
Ladung von Elektronen. Sie werden als Quasi-Elektronen bezeichnet. Entsprechend
sind Anregungen mit k < kF Quasi-Löcher.
1.5
Der Proximity Effekt
1.5.1
An einer SN-Grenzfläche
Ist ein Supraleiter in gutem elektrischem Kontakt mit einem Normalleiter so verändert
das die Eigenschaften beider Materialien in der Nähe der Grenzfläche. Zum Einen dringen Cooper-Paare aus dem Supraleiter bis in eine gewisse Tiefe in den Normalleiter
1.5. Der Proximity Effekt
15
Abb. 1.2: Energie und Ladung der Quasiteilchen als Funktion des Wellenvektors k.
ein. Die charakteristische Längenskala hierfür ist die Kohärenzlänge ξN . Im diffusen
Grenzfall beträgt diese2, 5
r
h̄D
ξN =
.
(1.26)
2πkB T
Hierbei ist
1
D = vF l.
3
die Diffusionskonstante, mit der mittleren freien Weglänge l der Elektronen. Eine dünne, aus normalleitendem Metall bestehende Schicht im Kontakt zu einem Supraleiter
wird also auch supraleitend. Das nennt man den Proximity-Effekt. Zum Anderen fehlen die Cooper-Paare im Supraleiter. Mit der Paardichte verkleinert sich auch der Ordnungsparameter. Der Verlauf des Ordnungsparameters an einer NS-Grenzfläche ist in
Abbildung 1.3 gezeigt.
Die mikroskopische Erklärung dieses Verhaltens liefert die Andreev-Reflektion. Nehmen wir an, ein Elektron läuft im Normalleiter auf einen Supraleiter zu. Wir betrachten
den eindimensionalen Fall. Ist die Energie des Elektrons kleiner als die Energielücke
des Supraleiters, kann es nicht direkt in den Supraleiter eintreten, sondern bedarf eines
zweiten Elektrons mit entgegengesetztem Spin und Impuls. Dabei bleibt im Normalleiter ein Loch zurück, das sich vom Supraleiter entfernt (siehe Abb. 1.4). Dieser Prozess
läuft kohärent ab. Das Loch trägt also die Phaseninformation des Elektrons und des
Ordnungsparameters des Supraleiters. Ein Elektron mit Energie εk , Impuls kF + δ k
16
Kapitel 1. Supraleitung
Abb. 1.3: Der Ordnungsparameter in der Nähe einer NS-Grenzfläche. In N fällt der Ordnungsparameter exponentiell mit ξN ab. Der Sprung bei x = 0 kommt durch den Einfluss der Grenzfläche
zustande.
und Spin ↑ wird als Loch mit Energie −εk , Impuls kF − δ k und Spin ↓ reflektiert. Dabei wird im Supraleiter ein Cooper-Paar mit Ladung 2e und Impuls 2δ k erzeugt. Durch
das Andreev-reflektierte Loch wird also die Leitfähigkeit der N/S-Grenzfläche um den
Faktor 2 gegenüber einer N/N-Grenzfläche erhöht.
1.5.2
An einer SF-Grenzfläche
Befindet sich der Supraleiter in Kontakt mit einem Ferromagneten, so verändert sich
die Situation im Vergleich zum vorherigen Abschnitt ein wenig. Stellen wir uns vor,
dass ein Cooper-Paar adiabatisch von einem Supraleiter in einen Ferromagneten transportiert wird. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass keine Spin-BahnWechselwirkung auftritt. Die Impulse der Elektronen seien senkrecht zur Grenzfläche. Sobald das Paar den Ferromagneten erreicht, wird seine Amplitude exponentiell
abfallen, da der Cooper-Paar-Zustand, wie auch im Normleiter, hier kein Eigenzustand ist. Die Längenskala ist die Kohärenzlänge im Ferromagneten ξF . Aufgrund des
Austausch-Feldes Eex ist diese allerdings komplexwertig und kleiner als in normalen
Metallen. Im diffusen Grenzfall beträgt diese12 13
s
1
h̄D
=
ξF = 1
,
(1.27)
1
2 (πkB T + iEex )
+ iξ
ξ
F1
F2
1.5. Der Proximity Effekt
17
Abb. 1.4: Schematische Darstellung einer Andreev-Reflektion. Ein Elektron mit der Energie εk
kommt aus Richtung Normalleiter an der NS-Grenzfläche an und wird als Loch mit der Energie
−εk reflektiert.
mit
v
u
u
ξF1,2 = t q
h̄D
2 ± πk T
(πkB T )2 + Eex
B
r
≈
πkB T
h̄D
1∓
Eex
2Eex
(1.28)
Der Ausdruck ganz rechts in Gleichung (1.28) ist eine Näherung für den Fall Eex >>
kB T . Das Paar besteht aus einem Spin ↑ und einem Spin ↓ Elektron, die unterschiedlich auf das intrinsische Magnetfeld des Ferromagneten reagieren. Das Spin ↑ Elektron
senkt seine potentielle Energie um Eex . Aus Gründen der Energieerhaltung muss sich
also seine kinetische Energie um den selben Betrag anheben. Im Gegensatz dazu steigt
die potentielle Energie des Spin ↓ um Eex und seine kinetische Energie sinkt entsprechend. Als Folge davon nimmt der Schwerpunktsimpuls des Paares um Q = 2Eex /h̄vF
zu. Bei einem Paar mit vertauschten Spins ändert sich der Schwerpunktsimpuls um
−Q6 .
Während in einem normalen Metall die Dekohärenz eines Andreev-reflektiertes ElektronLoch Paars nur von der Energie ε der Quasiteilchen abhängt, findet man in einer ferromagnetischen Schicht zusätzlich einen starken Einfluss der Austausch-Energie Eex auf
die Kohärenzlänge.
18
Kapitel 1. Supraleitung
Abb. 1.5: Andreev-Reflektion: Ein einlaufendes Elektron wird kontinuierlich in ein Loch umgewandelt und so reflektiert. Dabei entsteht im Supraleiter ein Cooper-Paar
1.5. Der Proximity Effekt
Abb. 1.6: Ein Cooper-Paar im Supraleiter und im Ferromagneten. ∆p = Eex /vF
19
20
Kapitel 1. Supraleitung
Kapitel 2
DER JOSEPHSON-EFFEKT
Trennt man zwei supraleitende Elektroden durch eine isolierende Schicht (Supraleiter
/ Isolator / Supraleiter), so kann man ein interessantes Phänomen beobachten: den
Josephson-Effekt. Benannt ist dieser nach Brian D. Josephson, der ihn im Jahr 1962 im
Rahmen einer theoretischen Arbeit über supraleitende Tunnelkontakte (2.1) vorhersagte10 .
Diese sogenannten Josephson-Kontakte spielen heutzutage eine wichtige Rolle in Anwendungen der Supraleitung, unter anderem als schnelle Schaltelemente oder in hochempfindlichen Magnetfelddetektoren. Wie sich schnell heraustellte existiert der JosephsonEffekt nicht nur in Tunnelkontakten sondern auch in anderen Kontakten bei der die
Verbindung zwischen den supraleitenden Elektroden durch einen Bereich mit stark
unterdrücktem kritischem Strom hergestellt wird, sogenannten „weak links“7, 16 . Beispiele für „weak links“ sind neben SIS-Kontakten Punkt-Kontakte und Sandwiches
mit normalleitender (Supraleiter / Normalleiter / Supraleiter) (2.2.1) oder ferromagnetischer Zwischenschicht (Supraleiter / Ferromagnet / Supraleiter) (2.2.2).
Der Strom über einen Josephson-Kontakt hängt von der Differenz der Phasen φ =
θ1 − θ2 der Ordnungsparameter der beiden Supraleiter ab. Diese Relation ist auch bekannt als die Strom-Phasen-Beziehung. Im folgenden Kapitel werde ich diese und weitere Zusammenhänge für verschiedene Typen von Josephson-Kontakten besprechen.
22
Kapitel 2. Der Josephson-Effekt
2.1
Tunnelkontakte (SIS)
Der einfachste Fall eines Josephson-Kontaktes ist der zweier supraleitender Elektroden aus gleichem Material getrennt durch eine homogene isolierende Schicht. Bei
der Temperatur T = 0 sind im Supraleiter keine Quasiteilchen vorhanden. Oberhalb
der Energielücke sind alle Zustände frei und unterhalb alle Zustände besetzt. Einzelne Elektronen können also bei einer zwischen den Elektroden angelegten Spannung
V < 2 |∆0 | /e die Barriere nicht überwinden. In diesem Zustand wird der Strom durch
die Barriere allein von kohärent tunnelnden Cooper-Paaren getragen und es fällt keine Spannung über den Kontakt ab. Es fließt ein Suprastrom Is durch die Barriere. Bis
zu einer kritischen Stromstärke Ic kann der Strom über den Kontakt durch den Suprastrom getragen werden. Die Strom-Phasen-Beziehung, auch als die erste JosephsonGleichung bekannt, für diesen Fall lautet7
Is (φ ) = Ic sin(φ ).
(2.1)
Betrachten wir als nächstes die Kopplungsenergie eines Josephson-Kontaktes. Solange der Strom Ic nicht überschreitet können die Cooper-Paare zwar über den Kontakt
fließen ohne Widerstand zu verursachen, um den Strom aber auf einen gewissen Wert
hochzufahren, müssen jedoch Cooper-Paare beschleunigt werden8 . Die Energie , die
auf diese Weise in dem Kontakt gespeichert ist, erhält aus dem Integral des Stroms
Is (φ ) über die Phasendifferenz φ 7 . Aus Gleichung (2.1) erhält man für die Kopplungsenergie EJ den Ausdruck
EJ (φ ) =
Φ0 Ic
(1 − cosφ ) = EJ0 (1 − cosφ )
2π
(2.2)
Diese Gleichung wird auch die Energie-Phasen-Beziehung genannt. Abbildung 2.1
zeigt Strom und Kopplungsenergie in Abhängigkeit von φ .
Betrachten wir nun die Reaktion eines Josephson-Kontaktes auf ein Magentfeld.
Gehen wir von einem Schichtpaket aus, wie es in Abbildung 2.2 gezeigt ist: Zwei supraleitende Elektroden S1 und S2 der Dicke t1 und t2 getrennt von einer dünnen Schicht
der Dicke d mit Grenzflächen parallel zur yz-Ebene. Die Fläche des Kontaktes beträgt
L ·W mit L,W > > d. Strom fließt in x-Richtung. Die Elektroden sollen dabei sehr viel
dicker sein als die London’schen Eindringtiefen λ1 und λ2 der Materialien von S1 und
S2 . Nun wenden wir ein Magnetfeld der Flussdichte B~ext = (0, By , 0) auf den Kontakt
an. Unter Berücksichtigung der Eindringtiefen definieren wir eine magnetische Dicke8
tB = d + λ1 + λ2 .
(2.3)
Damit ergibt sich für den Fluss durch die Fläche des Kontaktes
Φ = BytB L.
(2.4)
2.1. Tunnelkontakte (SIS)
Abb. 2.1: Strom- und Energie-Phasen-Beziehung eines SIS-Kontaktes
Abb. 2.2: Schematische Darstellung eines SIS-Kontaktes im Magnetfeld8 .
23
24
Kapitel 2. Der Josephson-Effekt
An dieser Stelle muss man unterscheiden, ob man es mit einem kleinen oder einem
großen Josephson-Kontakt zu tun hat. Bei einem kleinen Josephson-Kontakt sind die
Abmessungen der Kontaktfläche kleiner als die Josephson-Eindringtiefe. Das durch
den Josephson-Strom erzeugte Magnetfeld ist hier vernachlässigbar gegenüber dem
externen Magnetfeld. Bei einem großen Kontakt ist die räumliche Ausdehnung des
Kontakts größer als die Josephson Eindringtiefe und damit das durch den JosephsonStrom erzeugte Magnetfeld nicht mehr vernachlässigbar8 . Zunächst wollen wir uns mit
kleinen Kontakten beschäftigen. Die Josephson Eindringtiefe ist gegeben durch
s
Φ0 LW
λJ =
(2.5)
2π µ0tB Ic
Eine Integration der Phase entlang des rot markierten Wegs in Abbildung 2.2 und
das ganze Integriert über die Fläche des Kontakts ergibt die Abhängigkeit des kritischen Stroms Icm vom magnetischen Fluss Φ durch den Kontakt. Diese entspricht
einem Fraunhofer Beugungsbild (siehe Abb. 2.3) an einem Spalt der Breite L
sin πtB L B sin πΦ Φ0 y Φ0 m
(2.6)
Ic = Ic πtB L
= Ic πΦ .
B
y
Φ0
Φ0
Bei großen Kontakten ist die Sache etwas komplizierter und die Magnetfeld-Abhängigkeit
des kritischen Stroms muss in den meisten Fällen numerisch berechnet werden. Der
Grund dafür ist, dass ein großer Kontakt genügend Strom tragen kann, um kleine Magnetfelder einfach abzuschirmen.
2.2. Andreev gebundene Zustände
25
Abb. 2.3: Kritischer Strom Icm eines kleinen Josephson-Kontakts über den magnetischen Fluss senkrecht zur Kontaktfläche.
2.2
Andreev gebundene Zustände
2.2.1 In SNS-Kontakten
Die Andreev-Reflektionen an den Grenzflächen eines normalleitenden Metalls zwischen zwei Supraleitern erzeugen diskrete gebundene Zustände der Elektron-LochPaare im Normalleiter. Für eine Energie εn der Andreev gebundenen Zustände gilt
0 < εn < ∆. An den Grenzflächen entspricht die Phase der Elektron-Loch-Paare φeh =
φe − φh der Phase der Cooper-Paare im Supraleiter θ1 / θ2 plus einem zusätzlichen
Term −/ + arccos (εn /∆). Der zusätzliche Term stammt vom abklingenden Teil der
Wellenfunktion des Zustandes im Supraleiter. Im ballistischen, ein-dimensionalen Fall
hat der Schwerpunktsimpuls der Elektron-Loch-Paare im Normalleiter eine Phasenverschiebung von ∆ϕ = 2δ k d über den Kontakt zur Folge, wobei d die Dicke des
Normalleiters ist und δ k = ε/h̄vF . Gebundene Zustände bilden sich bei den Energien,
aus bei denen die Phasendifferenz ∆ϕ über den Kontakt gleich der Phasendifferenz
φ = θ1 − θ2 an den Grenzflächen plus ein ganzzahliges Vielfaches von 2π ist. Es muss
die Gleichung
ε εn
n
∆ϕ = 2
= ±φ + 2 arccos
+ 2πn
(2.7)
ET h
∆
gelten, wobei ET h = h̄vF /d die Thouless-Energie ist. Der Abstand zweier aufeinander
folgender Niveaus für ε << ∆ beträgt πET h .
26
Kapitel 2. Der Josephson-Effekt
Abb. 2.4: Diskretes Spektrum der Andreev-gebundenen Zustände in einem langen ein-dimensionalen
ballistischen SNS-Kontaktes15
Das (+) auf der rechten Seite von Gleichung (2.7) steht für einen Zustand bei dem der
Strom über den Kontakt das selbe Vorzeichen wie die Phasendifferenz aufweist. Das
(−) bezeichnet hingegen einen Zustand der Ladung entgegen der von der Phasendifferenz angegebenen Richtung transportiert.
Der Zustand kleinster Energie ist der am meisten bevölkerte und gibt somit die Richtung des resultierenden Stroms an. Bei φ = 0 sind die Energien der (+)- und (−)Zustände gleich und der resultierende Strom ist null. Mit wachsender Phasendifferenz
φ verringert sich die Energie des untersten (+)-Niveaus, während die Energie des
(−)-Niveaus steigt. Dadurch nimmt der Strom zu. Der maximale Strom fließt, wenn
die Phasendifferenz φ den Wert π erreicht und die Energie des untersten Niveaus null
wird (siehe Abb. 2.4). Überschreitet die Phasendifferenz gerade den Wert π, so entsteht bei der Energie ε = 0 ein neues (−)-Niveau. In diesem Moment fließt wieder der
maximale Strom allerdings in die entgegengesetzte Richtung. Das Ergebnis ist die in
Abb. 2.5 gezeigte 2π-periodische Sägezahnform der Strom-Phase-Beziehung. Daraus
ergibt sich nach
dE Φ0 Is
=
dφ
2π
eine quadratische Energie-Phasen-Beziehung (siehe Abb. 2.5).
2.2. Andreev gebundene Zustände
27
Abb. 2.5: Strom-Phasen- und Energie-Phasen-Beziehung eines SNS-Kontaktes.
2.2.2
In SFS-Kontakten
Bei ferromagnetischen Kontakten enthält die Phasendifferenz ∆ϕ zusätzlich den Term
±Qd = ±φex , da der Schwerpunktsimpuls durch die Austausch-Energie beeinflusst
wird. Aus Gleichung (2.7) wird
ε εn ± Eex
n
∆ϕ = 2
= ±φ + 2 arccos
+ 2πn
ET h
∆
(2.8)
Ein (↑↓) Elektron-Loch-Paar (Elektron ↑, Loch ↓) erfährt eine positive Phasenverschiebung. Die Energie des zugehörigen Zustands sinkt. Entsprechend steigt die Energie eines (↓↑)-Paares. Dadurch spalten die einzelnen Energieniveaus in zwei SpinKomponenten auf.
Die genauen Auswirkungen dieses Effekts auf die Strom-Phasen-Beziehung hängen
vom Wert von φex = 2Eex /ET h ab. Im Folgenden sollen zwei Spezialfälle betrachtet
werden: Zum Einen der Fall φex = π und zum anderen kurz der Fall φex = π/2.
Ist φex = π und damit Eex = (π/2)ET h , so ist das unterste (↑↓)-Niveau für φ = 0 von
der Energie ε = (π/2)ET h auf null verschoben. Der (+)-Zustand verschwindet sobald
sich die Phasendifferenz erhöht und die Energie des (−) steigt. Dieser stellt nun das unterste Niveau dar und bestimmt somit die Richtung in der Strom fließt. Die Vorzeichen
von Strom und Phase sind also entgegengesetzt. Bei Betrachtung der Strom-PhasenBeziehung und Energie-Phasen-Beziehung stellt man fest, dass diese die gleiche Form
28
Kapitel 2. Der Josephson-Effekt
haben, wie die eines SNS-Kontaktes, aber um π phasenverschoben sind. Das Minimum
der Energie, welches den Grundzustand des Kontaktes kennzeichnet, liegt bei φgs = π
statt wie im Normalfall bei null. Ein Josephson-Kontakt mit dieser Eigenschaft heißt
auch π-Kontakt.
Beträgt die Austausch-Energie Eex = (π/4)ET h , so liegt eine Kreuzung zwischen 0-
Abb. 2.6: Strom-Phasen- und Energie-Phasen-Beziehung eines SFS-Kontaktes mit Eex = (π/2)ET h
und π-Zustand vor. Die (↑↓)- und (↓↑)-Niveaus liegen nicht mehr übereinander, sondern wechseln sich in Intervallen von (π/4)ET h ab. Die Abstände benachbarter Niveaus sind nur noch halb so groß wie bei einem SNS-Kontakt, was zu einer Halbierung
der Periode der Strom-Phasen-Beziehung führt. 0- und π-Zustand sind entartet.
2.2. Andreev gebundene Zustände
29
Abb. 2.7: Strom-Phasen- und Energie-Phasen-Beziehung eines SFS-Kontaktes mit Eex = (π/4)ET h
30
Kapitel 2. Der Josephson-Effekt
Kapitel 3
SUPERCONDUCTING QUANTUM INTERFERENCE DEVICE
(SQUID)
3.1
dc-SQUID
Zwei parallel geschaltene Josephson-Kontakte verbunden durch eine supraleitende
Schleife ergeben eine Schaltung, die als „direct current superconducting interference
device“ (dc-SQUID) bekannt ist. Es kann unter anderem zur Messung sehr kleiner Magnetfelder eingesetzt werden. Bei der Betrachtung wird der Einfachheit halber davon
ausgegangen, dass die beiden Josephson-Kontakte exakt gleich sind. Fließt ein Strom
über die Parallelschaltung (vgl. Abbildung 3.1), so gilt für diesen folgende Gleichung:
φ1 − φ2
φ1 + φ2
Is = Ic1 sin(φ1 ) + Ic2 sin(φ2 ) = 2Ic cos
sin
(3.1)
2
2
32
Kapitel 3. Superconducting Quantum Interference Device (SQUID)
Abb. 3.1: dc-SQUID
Einer ähnlichen Argumentation wie im Abschnitt 1.3 über Flussqantisierung folgend erhält man für die Phase und den magnetischen Fluss im supraleitenden Ring
Φ
φ2 − φ1 = 2π n +
.
(3.2)
Φ0
Die Schleife des SQUIDs versucht wie ein supraleitender Ring den magnetischen Fluss
durch seine Fläche auf ein ganzzahliges Vielfaches eines Flussquants zu bringen.
Damit lässt sich Gleichung (3.1) umschreiben in
Φ
Φ
Is = 2Ic cos π
sin φ1 + π
.
(3.3)
Φ0
Φ0
Der maximale Suprastrom durch das SQUID beträgt also
Φ m
Ic = 2Ic cos π
.
Φ0 3.2
(3.4)
SQUIDs mit pi-Kontakten
Da man die Phasendifferenz über einen Josephson-Kontakt nicht direkt messen kann,
ist es nicht ganz leicht die π-Phasenverschiebung eines π-Kontakts nachzuweisen und
3.2. SQUIDs mit pi-Kontakten
33
Abb. 3.2: Maximaler Suprastrom über ein SQUID in Abhängigkeit vom Magnetfeld durch die
SQUID-Schleife
diesen so als π-Kontakt zu identifizieren. Man kann diesen Nachweis aber mit Hilfe
von SQUIDs führen. Im Folgenden möchte ich nun zwei mögliche Schaltungen hierfür
vorstellen.
Die erste Methode verwendet dc-SQUIDs mit unterschiedlichen Josephson-Kontakten
und prüft ihre Phase anhand des Verhaltens der SQUIDs im Magnetfeld9 . Nehmen
wir hierzu an Kontakt 1 aus Abbildung 3.1 sei ein herkömmlicher Josephson-Kontakt
und Nummer 2 ein π-Kontakt. Die Phasendifferenz über Kontakt 2 lautet dann φ2 + π.
Gleichung (3.2) wird zu
1 Φ
,
(3.5)
φ2 − φ1 = 2π n − +
2 Φ0
und Gleichung (3.4) zu
Icm
Φ + Φ0 /2 = 2Ic cos π
.
Φ0
(3.6)
Gegenüber einem herkömmlichen dc-SQUID ist die Kennlinie also um Φ0 /2 verschoben. Handelt es sich nicht nur bei Kontakt 2 um einen pi-Kontakt sondern auch bei
Kontakt 1, dann kompensieren sich die zusätzliche Phasenverschiebung von 1 und
2 gegenseitig und man erhält den selben Zusammenhang wie für ein normales dcSQUID. Um Unterscheiden zu können, misst man also die Reaktion auf ein äußeres Magnetfeld von SQUIDs, die nahe genug nebeneinander liegen um das gleiche
34
Kapitel 3. Superconducting Quantum Interference Device (SQUID)
Magnetfeld zu spüren. Abbildung 3.3 zeigt die Kennlinien von SQUIDs mit zwei 0Kontakten, zwei π-Kontakten und solchen mit einem 0- und einem π-Kontakt.
3.2. SQUIDs mit pi-Kontakten
35
Abb. 3.3: Modulation des kritischen Stroms von verschiedenen SQUIDs. In einem Feld dargestellte
Kurven wurden zur gleichen Zeit aufgenommen. Man sieht die erwartete Verschiebung der Kurve
des 0 − π-SQUIDs zu den beiden anderen Typen. Die Messungen wurden von W.Guichard et al.
durchgeführt und in [9] veröffentlicht.
36
Kapitel 3. Superconducting Quantum Interference Device (SQUID)
Die zweite Methode verwendet eine Anordnung von zwei SQUID-Schleifen mit
je drei gleichen Kontakten, von denen einer zu beiden Schleifen gehört. Die gesamte
Phasendifferenz muss in beiden Schleifen jeweils ein ganzzahliges Vielfaches von 2π
ergeben. Handelt es sich bei den Kontakten um 0-Kontakte, so ergibt sich daraus kein
Problem. Hat man es aber mit π-Kontakten zu tun, so muss ohne angelegtes Magnetfeld ein Ringstrom nahe dem kritischen Strom der Kontakte fließen um die ungerade Zahl an π-Phasendifferenzen in jeder der inneren Schleifen durch eine zusätzliche
Verschiebung um 2 · π/2 auszugleichen. Damit befindet sich der kritische Strom der
beiden SQUIDs in einem Minimum und die Magnetfeldabhängigkeit weist eine Verschiebung um Φ0 /2 gegenüber den fünf 0-Kontakten auf.
Der Vorteile dieser Anordnung gegenüber der vorherigen ist, dass sie leichter herzustellen ist. Wie oben bedarf es allerdings wieder einer Vergleichsmessung um die
Verschiebung nachzuweisen (siehe Abb. 3.5).
Abb. 3.4: Schematische Darstellung eines Netzwerks mit 5 Josephson-Kontakten zum Nachweis von
π-Kontakten14 .
3.2. SQUIDs mit pi-Kontakten
37
Abb. 3.5: Abhängigkeit des kritischen Transportstroms einer wie der in Abbildung 3.4 gezeigten
Struktur. Bei a) befinden sich die Kontakte im 0-Zustand und bei b) im π-Zustand14
38
Kapitel 3. Superconducting Quantum Interference Device (SQUID)
Teil III
EXPERIMENT
Kapitel 4
PROBENHERSTELLUNG
4.1
Lithographie
Naßprozesse
Spin coating T-Profil Belichten und Entwickeln AZ 5114E Der Begriff Naßprozess
umfasst alle Prozesschritte, die mit der Bearbeitung des Lack zusammenhängen.
Dauer (min)
8
8
2
5
2
Chemikalie
Temperatur (◦ C) Stufe Ultraschallbad
Aceton(techn.)
117
Aceton(techn.)
117
danach
Aceton(techn.)
Zimmertemp.
1
Aceton(techn.)
117
Isopropanol p.A.
Zimmertemp.
umgehend mit N2 trockenblasen
Tab. 4.1: Lift-off-Prozess
Sputtern
Der Prozess des Sputterns kann definiert werden als Ausstoß von Teilchen aus einem
Festkörper, dem Sputter-Target, durch Beschuss mit beschleunigten Teilchen. In einer
gängigen und auch von dem mir zur Verfügung stehendem Gerät verwendeten Methode wird eine Vakuumkammer mit einem konstantem Strom an Argon-Gas versorgt.
Das Argon wird ionisiert und mittels eines elektrischen Feldes auf das Target beschleunigt. Die beim Aufprall der Argon-Ionen freigesetzten Target-Teilchen füllen zusammen mit dem Argon das Innere der Vakuumkammer. Wenn sie auf eine Oberfläche,
zum Beispiel die des Substrats, treffen, können sie sich dort anlagern und dort beginnt
ein Film zu wachsen. Einer der großen Vorteile des Sputterns ist seine universelle Einsetzbarkeit. Da die Target-Teilchen durch einen Stoßprozess aus der Oberfläche gelöst
werden, kann nahezu jedes Material verwendet werden. Desweiteren eignet sich die
Methode auch zum Auftragen von Legierungen, da die Zusammensetzung des TargetMaterials beim Sputtern unter gewissen Voraussetzungen erhalten bleibt4 .
42
Kapitel 4. Probenherstellung
Abb. 4.1: Blick durch auf ein Sputter-Target
Als Target-Materialien verwendete ich Niob als Supraleiter, eine Nickel/PalladiumLegierung mit einem Nickelanteil von 12% wie sie auch von T. Kontos11 verwendet wurde als Ferromagnet und Aluminium zur Herstellung einer Oxidbarriere. Das
Schichtwachstum der einzelnen Materialien wurde linear in der Zeit angenommen.
4.2
Verwendeter Ex-Situ Prozess
Prozesschritte verwendete Masken Der von mir verwendete Ex-Situ-Prozess ist ein
sehr einfach konzipiertes Verfahren zur Herstellung Josephson-Kontakten. Im ersten
Schritt wird ein Waver mit dem T-Profil-Prozess belackt und am Mask-Aligner mit
Zuleitungsstrukturen versehen. Um die Zuleitungen im Mikroskop der optischen Bank
sehen zu können muss man die Probe nun für 50-60 s in den Entwickler tauchen.
Kapitel 5
MESSANORDNUNG
5.1
Kryostat
verwendeter Kryostat Temperaturmessung Heizwiderstände Probenhalter mit Spulen
(Magnetfeld)
5.2
Stromquelle und Ausleseverfahren
Stromquelle Vorverstärker Messprogramme
44
Kapitel 5. Messanordnung
Kapitel 6
ERGEBNISSE
Naßprozesse Bilder von Lackprofil Fehler beim Entwickeln/Lift-off
Sputterparameter des Niob-Target
Die ersten Versuche Josephson-Kontakte mit einem Nb-Ni/Pd-Nb-Schichtsystem herzustellen schlugen fehl: Im Rahmen der Genauigkeit der Messapparatur lies sich bei
einer Temperatur von 4,2 K kein Suprastrom über das Niob feststellen. Eine genauere
Untersuchung des elektrischen Widerstands eines Niob-Films ergab mit 0.5 kΩ zwischen zwei 4 mm voneinander entfernten Aluminium-Bonds einen für ein Metall viel
zu hohen Wert. Auch der Kontaktwiderstand der Al-Bonds lag mit 15-25 kΩ viel zu
hoch. Eine Analyse der Schichtdicke mit Röntgen-Reflektometrie war ebenfalls nicht
möglich, da die Messungen keine für einen Fit tauglichen Oszillationen aufwiesen. Eine Verfärbung des Probenträgers aus Edelstahl wies auf hohe Temperaturen während
des Sputtervorgangs hin. Ein Blick auf das Thornton-Diagramm4 lies die Schlussfolgerung zu, dass das Niob bei dem verwendeten Druck und der geschätzten Temperatur
in zur Oberfläche spitz zulaufenden durch Leerräume getrennte Türmchen (Zone I)
aufgewachsen war.
Die Überlegung, die zur Lösung führte war folgende: Durch den hohen Prozessdruck
kam es zu einem großen Wärmeübertrag vom Plasma zu Probe und -träger, der nicht
über Kühlung verfügt. Wenn man den Druck senken würde würde sich die Probe weniger erhitzen und sollte dem Thornton-Diagramm folgende in Zone T landen. Ich
startete einen neuen, diesmal von Erfolg gekrönten Versuch mit einem Prozessdruck
knapp über dem kleinsten Druck, bei bei das Plasma gerade noch zündete. Dieser war
in etwa einen Faktor 10 kleiner, als der alte.
Zur Bestimmung der Wachstumsrate des Films wurden Substrate besputtert und die
Dicke der aufgebrachten Schicht mittels Röntgen-Reflektometrie bestimmt. Das Ergebnis war eine Sputterrate für Niob von 0.154±0.001 nm/s für eine Armposition von
180◦ Longitudinal, 199◦ Rotation und eine Leistung von 50 W. Diese Rate erwies sich
im gewünschten Druckbereich (4-5 · 10−3 mbar) als nicht vom Druck abhängig (siehe
Abb.6.1). Druckschwankungen im Bereich 1 · 10−3 mbar sollten also keine Auswirkungen haben.
Es stellte sich allerdings heraus, dass die vertikale Entfernung des Substrats von der
Mitte des Targets einen gewissen Einfluss auf die Dicke der gewachsenen Schicht hat.
46
Kapitel 6. Ergebnisse
Prozessdauer (s)
300
300
300
570
Prozessdruck (µbar) Schichtdicke (nm)
2,72
46,88
4,58
46,52
5,01
46,4
4,7
86,5
Rauhigkeit (nm)
0,6
0,6
0,31
0,75
Tab. 6.1: Daten zur Bestimmung der Wachstumsrate von Niob-Filmen. Schichtdicke und Rauhigkeit
wurden mit Hilfe einer Röntgen-Reflektometrie-Messung bestimmt.
Abb. 6.1: Wachstumsrate eines Nb-Films über dem Druck in der Sputterkammer. Die Linie stellt die
errechnete Sputterrate und die Kreuze die Datenpunkte aus Tabelle 6.1 dar. Im verwendeten Druckbereich ist das Wachstum unabhängig vom Druck.
47
Abb. 6.2: Foto des Probenträgers, mit dem der Zusammenhang zwischen der Sputterrate und dem
vertikalen Abstand zur Target-Mitte untersucht wurde. Das auf dem Bild unterste Substrat befand
sich genau vor der Target-Mitte.
Die Substrate wurden bei einem Druck von 5,0 · 10−3 mbar, einer Leistung von 50 W
einer Armposition von 180◦ Longitudinal, 199◦ Rotation für 480 s besputtert. Über
eine Distanz von 22 mm (nicht ganz 1’) variierte die Schichtdicke um nm was % der
Schicht des mittleren Substrats ausmachte. Zur Bestimmung von Sputterraten wurden
die Substrate stets mittig platziert.
Position oberhalb Target-Mitte (mm)
0
11
22
Schichtdicke (nm) Rauhigkeit (nm)
46,88
0,6
46,52
0,6
46,4
0,31
Tab. 6.2: Abhängigkeit der Sputterrate des Nb von der Höhe
Sputterparameter des Nickel/Palladium-Target
Für die Sputterrate des Ni/Pd-Targets ergab sich ein Wert von 0,44±0,02 nm/s bei
einer Armposition von 275◦ Longitudinal, 204◦ Rotation, einem Prozessdruck von
20,4 · 10−3 mbar und einer Leistung von 50 W.
Sputterparameter des Aluminium-Target
Das Al-Target wies eine Sputterrate von 0,15 nm/s auf. Die Position des Arms betrug
40◦ Longitudinal, 204◦ Rotation, der Prozessdruck 20 · 10−3 mbar und die Leistung 97
48
Kapitel 6. Ergebnisse
Zeit (s)
15
60
60
Prozessdruck (µbar)
20,03
20,46
20,45
Schichtdicke (nm)
7,04
26
28,86
Rauhigkeit (nm)
0,39
0,3
0,61
Tab. 6.3: Daten zur Bestimmen der Sputterate von Ni/Pd
Abb. 6.3: Schichtdicke Ni/Pd über der Sputterdauer
W.
Eine von L. Klam und W. Kaiser durchgeführte Untersuchung der Druckabhängigkeit
der Sputterrate ergab den in Abbildung 6.4 dargestellten Verlauf.. Bei diesen Messungen war die Position des Arms 40◦ Longitudinal, 204◦ Rotation.
Al2O3-Barriere Widerstand in Abh. von Oxidschicht
Messungen UI-Kennlinien Ic(B) Ic(T) M(T) -> BO12 + Ni/Pd
49
Druck (µbar)
2,5
3,8
8,4
15
20
30
Sputterrate (nm/s)
0,66
0,52
0,29
0,19
0,15
0.10
Zeit (s)
15
30
300
300
300
300
Dicke (nm) Rauhigkeit (nm)
9,95
1,24
15,5
86
3,9
58,3
4,4
45,7
3,7
29,5
4,9
Tab. 6.4: Daten zur Druckabhängigkeit der Sputterrate bei Al.
Dicke Al (nm)
2,3
2,3
2,3
2,3
2,3
45
18
18
18
Druck O2 (µbar)
29,7
0,7
10
5,1
2,3
4,8
5,1
5,4
5,4
Zeit O2 (s)
300
30
120
60
60
60
60
60
60
Dicke Ni/Pd (nm)
4,4
4,4
4,4
4,4
4,4
4,4
4,4
4,4
6,6
8,8
Widerstand(Ω)
0,013-0,055
0,26-3,3
0,013-0,023
0,003-0,006
0,1-0,17
0,007
0,15
0,04-0,06
0,07-0,23
120
Tab. 6.5: Einfluss der Al2 O3 -Barriere auf den normalleitenden Widerstand der Kontakte
50
Kapitel 6. Ergebnisse
Abb. 6.4: Druckabhängigkeit der Sputterrate bei Al
Teil IV
ZUSAMMENFASSUNG
53
Im Rahmen dieser Arbeit sollte ein Prozess zur Herstellung von pi-Kontakten aus
SFS-Schichtsystemen entwickelt werden. Die Erforschung von SFS-Kontakten ist zum
Einen wichtig um ein tieferes Verständnis der Physik der Supraleitung zu erhalten. Die
Wechselwirkung der Cooper-Paare mit dem Austauschfeld des Ferromagneten erlaubt
es einem die Beschaffenheit der Paarbindung zu untersuchen. Zum anderen sind πKontakte ein möglicher Schlüssel für die Entwicklung des Quantencomputers. Die
Verwendung von π-Kontakten erlaubt es einem Qubits ohne die Verwendung eines
konstanten äußeren Magnetfelds zu betreiben. Dadurch schaltet man eine der Rauschquellen aus und verbessert dadurch eine für Qubits sehr wichtige Eigenschaft: die Kohärenzzeit.
Die Aufgabenstellung sah vor Nb-Al2 O3 -Ni/Pd-Nb Schichtsysteme zu verwenden.
Dafür gab es mehrere Gründe: Die mit T = 9,25 K für konventionelle Supraleiter recht
Hohe Sprungtemperatur von Niob verringert die kryotechnischen Anforderungen, die
an die Messapparatur gestellt werden. Außerdem ist es mit Nb-Al2 O3 -Nb Kontakten
möglich hochwertige Josephson-Kontakte herzustellen. Die negative Grenzflächenenergie zwischen Nb und Al verbessert die Oberflächenrauhigkeit und sorgt dafür, dass
die untere Nb-Elektrode vollständig mit Al bedeckt und damit nach der Oxidation gut
von der Oberen isoliert ist. Ein weiterer Vorteil ist, dass es anderen Gruppen bereits
gelungen ist mit Schichtpaketen der Form Nb-Al2 O3 -Ni/Pd-Nb π-Kontakte herzustellen. Man weiß also, dass das Schichtpaket geeignet ist.
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