Übung Musiktheorie vor 1600: Mathematische Grund

Übung Musiktheorie vor 1600: Mathematische Grundbegriffe
Dozent: Albert Gräf ([email protected]), Wintersemester 2012
Zur Festlegung musikalischer Intervalle gibt es zwei komplementäre Vorgehensweisen, die
eine (nach Pythagoras) orientiert sich an der multiplikativen Struktur einfacher Frequenzverhältnisse wie 2/1 (Oktave), 3/2 (Quinte) usw., die andere (nach Aristoxenos) betont
die additive Struktur abstrakter Intervallgrößen, die uns durch die moderne Musiktheorie
geläufig ist. Die beiden Systeme sind grundsätzlich unvereinbar, daher gibt es in der
(abendländischen) Musikgeschichte eine Vielzahl von Versuchen, eine Kompromisslösung
zu finden, die sowohl den Forderungen nach Reinheit des Klangs als auch den Anforderungen der Musiktheorie einigermaßen entspricht.
Zum Verständnis dieser Zusammenhänge benötigt man einige mathematische Konzepte,
insbesondere Exponentialfunktion, Logarithmen und die Fourier-Reihe. Im Folgenden
führen wird diese Begriffe kurz ein und erläutern ihre musikalische Bedeutung. Für weiterführende Fragestellungen siehe die Übungen/Diskussionspunkte am Ende.
1 Exponentialfunktion
exp (x) = ex = lim
n→∞
1+
x
n
n
=
∞
X
xk
k!
k=0
exp (1) = e = 2.71828 ist die Eulersche Zahl . Die Potenzfunktion x
Basis a > 0 definiert als:
ax ist für gegebene
ax = exp (x ln a)
Dabei ist ln der natürliche Logarithmus (Logarithmus zur Basis e, s.u.). Beachte: Für eine
natürliche Zahl n ist xn = x
x. Weitere wichtige Rechenregeln:
n
a0 = 1 ax+y = ax a y a−x = 1/ax
√
a1 = a axy = (ax) y a1/x = x a
Insbesondere ist also a−1 = 1/a und a1/2 =
√
a.
2 Logarithmen
Der Logarithmus loga zur Basis a ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion x
1
ax,
d.h. es ist definitionsgemäß loga y = x genau dann wenn y = ax. Dies ist definiert für alle
positiven reellen Zahlen y. Zum Beispiel ist log2 8 = 3, da 23 = 3 × 3 × 3 = 8. Für Werte,
die keine ganzzahligen Potenzen der gegebenen Basis a sind, bestimmt man loga mit dem
Taschenrechner. Dieser hat normalerweise den dekadischen Logarithmus (log10 , auch kurz
einfach als log bezeichnet) und/oder den natürlichen Logarithmus (loge , Bezeichnung ln )
eingebaut. Zur Berechnung anderer Logarithmen verwendet man die Formel:
logb x =
loga x
loga b
Speziell benötigen wir im Folgenden die Zweierlogarithmen: log2 x = ln x/ln 2 = log x/log 2.
Weitere wichtige Rechenregeln für den Logarithmus ergeben sich unmittelbar aus den
entsprechenden Rechenregeln der Potenzen:
loga 1 =0 loga (x y) =loga x + loga y loga (x/y) =loga x − loga y
√
y
loga a =1 loga (x y ) =y loga x
loga ( x ) =loga x/y
Beispiele:
> using math;
> log2(x) = ln x/ln 2; cent x = 1200 log2(x);
> map log2 [1/1, 10/9, 9/8, 6/5, 5/4, 4/3, 3/2, 2/1];
[0, 0.152003093445, 0.169925001442, 0.263034405834, 0.321928094887,
0.415037499279, 0.584962500721, 1]
> map cent [1/1, 10/9, 9/8, 6/5, 5/4, 4/3, 3/2, 7/4, 2/1];
[0, 182.403712134, 203.910001731, 315.641287001, 386.313713865,
498.044999135, 701.955000865, 968.825906469, 1200.0]
3 Sinusoide a.k.a. „reine Töne“
In der Musik interessieren wir uns speziell für Töne, die eine wahrnehmbare Tonhöhe
haben. Die alten Griechen wussten schon, dass dazu bestimmte Arten von „Schwingungen“
oder „Vibrationen“ gehören. Heute weiß man, dass es sich dabei um mechanische Schwingungen handelt, die sich durch periodische Funktionen f : R R beschreiben lassen. Der
einfachste Typ einer solchen periodischen Funktion ist der Sinus, der jedem (üblicherweise
im Bogenmaß angegebenen) Winkel die Länge der Gegenkathete im Einheitskreis angibt:
2
f (t) = sin (t)
t
Berechnen lässt sich der Sinus ähnlich der Exponentialfunktion wieder durch eine mathematische Reihe:
sin (x) =
∞
X
(−1)k
k=0
x x3 x5
x2k+1
= − +
∓
(2 k + 1)! 1! 3! 5!
> using gnuplot; using namespace gnuplot;
> let set(0,"defaultlinelinewidth",1.0,"defaulttextfontname","Helvetica",
"defaultaxesfontname","Helvetica","defaultaxesfontsize", 8.0);
> splot = axis "tight",psplot("tmp.eps","-S500,333");
> let t = linspace(−4 π, 4 π); let fig1 = plot(t, map sin t); let splot;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-10
-5
0
5
10
Der Sinus ist periodisch mit Periode 2 π = 360ř: sin (t) = sin (t + 2 k π) für alle k ∈ Z. Fassen
wir t als einen Zeitwert in Sekunden auf, so bedeutet dies: Die Schwingung wiederholt sich
1
1
alle 2 π Sekunden, hat also eine Frequenz von 2 π s−1 = 2 π Hz (die Frequenz ist der Kehrwert
der Periode). Um eine Schwingung mit einer vorgebenen Frequenz ν Hz zu erhalten, müssen
wir also das Argument t mit 2 π ν multiplizieren, man nennt dies auch die Kreisfrequenz .
Auf diese Weise erhält man ein so genanntes Sinusoid. Beipiel: ν = 10Hz (Periode: 0,1 s).
> sinusoid ν t = sin (2 π ν t);
> let t = linspace(−0.2, 0.2); let fig2 = plot(t, map (sinusoid 10) t); let splot;
3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Neben der Frequenz ist ein Sinusoid durch zwei weitere Parameter charakterisiert: seine
Phase (Winkelwert ϕ zur Zeit t = 0) und seine Amplitude (maximale Auslenkung A, für
den Sinus selbst haben wir A = 1). Die allgemeine Funktionsgleichung eines Sinusoids lautet
also:
f (t) = A sin (2 π ν t + ϕ)
Z.B. erhält man für eine Phase von π/2 = 90ř und die Amplitude A = 2:
> clear sinusoid
> sinusoid A ν ϕ t = A sin (2 π ν t + ϕ);
> let fig3 = plot(t, map (sinusoid 2 10 (π/2)) t); let splot;
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
4 Superposition von Sinusoiden
Bei der Superposition von Sinusoiden handelt es sich einfach um deren punktweise Addition, die Sinustöne werden also „abgemischt“. Dabei multipliziert man meistens die
einzelnen Sinusoide auch noch mit verschiedenen Amplituden.
Wie man leicht nachrechnen kann, gibt die Summe zweier Sinusoide gleicher Frequenz (aber
u.U. verschiedener Phase und Amplitude) wieder ein Sinusoid derselben Frequenz, wobei es
je nach Phasenverschiebung zu einer mehr oder weniger starken gegenseitigen Verstärkung
oder Auslöschung kommen kann, auch Interferenz genannt. Beispiel:
4
> u(t) = sin (20 π t); v(t) = sin (20 π t + ϕ);
> let ϕ = 3 π/4;
> let fig4 = plot(t, map (\t → u(t) + v(t)) t); let splot;
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Bei der Superposition von Sinustönen verschiedener Frequenz erhält man dagegen ein
Frequenzgemisch. Speziell ergibt sich eine so genannte harmonische Obertonreihe, wenn
alle Frequenzen ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind, z.B.:
2 k
=
1
> let a = 0:
∞
;
πk > f n ν t=
n
X
ak sin (2 π k ν t);
k=1
> let fig5 = plot(t, map (f 7 10) t); let splot;
1
0.5
0
-0.5
-1
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Durch Änderung der Amplituden (und Phasen) der Obertöne erhält man andere Wellenformen, z.B.:
4
> let a = 0:
(k mod 2) k = 1 ∞ ;
πk
> let fig6 = plot(t, map (f 7 10) t); let splot;
5
1
0.5
0
-0.5
-1
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
8
> let a = 0: 2 2 (k mod 2) (−1)k div 2
π k
0.15
0.2
k = 1 ∞ ;
> let fig7 = plot(t, map (f 7 10) t); let splot;
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
5 Die Fourier-Reihe
Nach Fourier lässt sich jede1 periodische Funktion f : R R durch eine Reihe von sinusförmigen Funktionen (Sinusoide) darstellen, deren Frequenzen alle ganzzahlige Vielfache
einer Grundfrequenz ν sind (nämlich ν = 1/T , wobei T die kleinste Periode von f ist, d.h.,
f (t + T ) = f (t) f.a. t ∈ R). Eine gebräuchliche Form der Fourier-Reihe ist die folgende
Amplituden-Phasen-Darstellung:
f (t) = a0 +
∞
X
ak sin (2 π k ν t + bk)
k=1
1. „Jede“ Funktion meint in Wirklichkeit jede hinreichend „glatte“ (z.B. Lipschitz-stetige, stückweise stetig differenzbare oder L2-integrierbare) Funktion, was für die meisten Anwendungsfälle erfüllt ist. In der Praxis ist f häufig
auch durch eine endliche Folge von Abtastwerten xn = f (t0 + n ∆ t) gegeben; in diesem Fall ist die Fourier-Reihe
eine endliche Summe, die mit effizienten Verfahren (FFT = Fast Fourier Transform) berechnet werden kann.
6
Umgekehrt ist jede Schwingung dieser Form (sofern die Reihe konvergiert) eine periodische
Funktion. Man beachte, dass das nullte Glied der Reihe immer eine Konstante a0 ist
(„Schwingung“ mit der Frequenz 0 bzw. unendlicher Periode, wird gelegentlich auch als
„DC-Offset“ bezeichnet2). Die Gesamtheit der Amplituden ak und Phasenverschiebungen bk
(k = 1, 2, ) bezeichnet man auch als Amplituden- bzw. Phasen-Spektrum von f . Wichtige
Spezialfälle (vgl. Übung 1):3
(k = 1, 2, 3, )
2
Sägezahnwelle: ak = π k
Rechteckwelle: ak =
Dreieckwelle:
ak =
4
πk
8
(−1)(k−1)/2
π2 k2
(k = 1, 3, 5, , sonst ak = 0)
(k = 1, 3, 5, , sonst ak = 0)
Diese Zerlegung gilt insbesondere auch für periodische Schallwellen (Klänge). Die Grundfrequenz ν entspricht dabei normalerweise der empfundenen Tonhöhe des Klangs, die
Amplituden ak der Sinusoide bestimmen Lautstärke und Klangfarbe. Die Sinusoide mit
den Frequenzen k ν, aus denen sich der Klang zusammensetzt, werden (je nach Zusammenhang) dann auch als Harmonische, Ober-, Teil- oder Partialtöne bezeichnet. Genauer
spricht man auch von einer harmonischen Obertonreihe zu einer gegebenen Grundfrequenz ν. Teiltöne, die nicht ganzzahlige Vielfache einer gegebenen Grundfrequenz ν sind,
bezeichnet man auch als nicht-harmonische Teiltöne (vgl. Übung 2 und 3).
Aus dem Theorem von Fourier folgt, dass sich jeder periodische Klang durch die Addition
geeigneter Sinusoide approximieren lässt (additive Synthese). Darüber hinaus ergibt sich
aus der Betrachtung der Obertonreihe und den Erkenntnissen der Psychoakustik (Helmholtz, Plomp/Levelt u.a.) aber auch die These, dass in einfachen Frequenzverhältnissen
gestimmte Intervalle deswegen als besonders „rein“ gelten, da es zwischen den Obertönen
der beteiligten Klänge (unter der Annahme eines harmonischen Oberton-Spektrums) keine
Schwebungen gibt.
6 Frequenzverhältnisse und musikalische Intervalle
Bekanntlich entspricht die Oktave immer einer Frequenzverdoppelung. Allgemein sind
musikalische Intervalle immer durch das Verhältnis zweier Frequenzen definiert, nicht
durch deren Differenz! Ein Intervall ist also gegeben durch einen dimensionslosen Bruch
4 Ist das Frequenzverhältnis irrational, so gibt man es
x/y, z.B.: 3/2, 4/3, 5/4, usw.√
12
direkt als reelle Zahl an, z.B. 2 . Frequenzverhältnisse x/y > 1 bedeuten dabei Schritte
nach oben, deren Kehrwerte (x/y)−1 = y/x < 1 Schritte nach unten. Ist ein Ton mit
der Grundfrequenz x und ein Intervall (Frequenzverhältnis) q gegeben, so berechnet man
die Frequenz y des anderen Tons des Intervalls durch Multiplizieren, d.h. y = q x. Beispiel: reine Quinte über einem Grundton von 440 Hz = 3/2 × 440 = 660 Hz; kleine
Terz unter einem Grundton von 660 Hz = (6/5)−1 × 660 = 5/6 × 660 = 550 Hz.
2. Engl. DC = Direct Current = Gleichstrom.
3. DC a0 und das Phasenspektrum bk, k ≥ 1, sind bei diesen Wellenformen 0, bei der Dreieckwelle steckt die
Phasenverschiebung im Vorzeichen von ak. Ferner beachte man, dass bei den Rechteck- und Dreieckwellen nur die
ungeraden Reihenglieder eine von 0 verschiedene Amplitude haben.
4. In der Musiktheorie findet man stattdessen häufig die Schreibweise y: x, z.B. 2:3, 3:4 usw.
7
Weitere Rechenregeln für Intervalle:
Intervallschichtung: q = q1 q2
Restintervall:
q = q1 q2−1
(q > 1)
Umkehrung:
q ′ = 2 q −1
′
−1
(q ≤ 1)
q = (2 q)
Beispiel:
Beispiel:
Beispiel:
Beispiel:
3/2 × 4/3
3/2 × (4/3)−1
2 × (3/2)−1
(2 × 5/6)−1
=
=
=
=
2/1
9/8
4/3
3/5
Ein Tonsystem wird normalerweise durch eine endliche Menge S ⊆ R von Intervallen
innerhalb einer Oktave charakterisiert, die man je nach Zusammenhang auch als Skala,
Stimmung oder Temperatur bezeichnet. Zur Festlegung der absoluten Tonhöhen wird
außerdem ein fester Bezugston benötigt, der durch seine Frequenz x0 ∈ R gegeben ist,
z.B. der Kammerton x0 = 440 Hz. Die Skala wird üblicherweise im Oktavabstand wiederholt, so dass die theoretische Gesamtmenge der Töne dann gegeben ist durch S̄ =
{x0 q k |q ∈ S , k ∈ Z}.5 Durch Einschränkung dieser Menge auf einen Frequenzbereich
[xmin, xmax] = {x|xmin ≤ x ≤ xmax} erhält man für xmin > 0 eine endliche Grundmenge
von Frequenzen S̄ ∩ [xmin, xmax] = {x ∈ S̄ |xmin ≤ x ≤ xmax}.
In der Musikgeschichte und in den einzelnen Musikethnien finden wir eine Vielzahl verschiedener Stimmungen. Z.B. werden in der Pythagoreischen Stimmung alle Intervalle durch
Schichtungen und Restintervalle der Oktave 2/1 und der Quinte 3/2 festgelegt. In der
reinen Stimmung kommt noch die große Terz 5/4 hinzu. Diese Intervalle sind schwebungsfrei. Damit kann man im Prinzip Stimmungen für alle Tonarten im Quintenzirkel festlegen,
jedoch lässt sich daraus kein geschlossenes Tonsystem gewinnen, und viele abgeleitete
Intervalle klingen sehr „verstimmt“ (vgl. Übung 4 und 5).
Daher wird in der westlichen Musikkultur heutzutage hauptsächlich die gleichstufige Temperatur 6 verwendet, in der alle zwölf Halbtöne innerhalb einer Oktav√exakt gleich groß
sind, d.h. die kleine Sekunde entspricht hier dem Frequenzverhältnis 12 2 = 1, 059463 Daraus ergeben sich alle anderen Intervalle als Potenzen der Form 2k/12, k ∈ Z, z.B. die
temperierte Quinte = 27/12 = 1, 498307 Daher kann man in der gleichstufigen Temperatur
durch Logarithmieren zur Basis 2 jedes Frequenzverhältnis in die entsprechende Anzahl
von Oktaven oder Halbtönen umrechnen, und umgekehrt einer Anzahl von Oktaven bzw.
Halbtönen durch Potenzieren zur Basis 2 wieder das entsprechende Frequenzverhältnis
zuordnen. Für historische und mikrotonale Stimmungen verwendet man häufig auch die
von Alexander J. Ellis eingeführte Cent-Skala, die den temperierten Halbton in 100 Cents
unterteilt.
m = log2 q
q = 2m
(m = Anzahl Oktaven)
n/12
n = 12 log2 q
q =2
(n = Anzahl Halbtöne)
c/1200
c = 1200 log2 q q = 2
(c = Anzahl Cent)
Für einen gegebenen Bezugston x0 kann man damit wie folgt zwischen Frequenzen x und
Halbton-Nummern n umrechnen,wobei für n = 0 die zugehörige Frequenz x = x0 gesetzt
wird:
n = 12 log2 (x/x0) x = x0 2n/12
5. Man beachte, dass S̄ auch alle Elemente x0 q k mit k < 0 enthält, die Tonmenge wird also vom Bezugston x0
ausgehend sowohl nach oben als auch nach unten fortgesetzt.
6. Genauer: gleichstufige 12-Ton-Temperatur (engl. 12-TET = 12 tone equal temperament), in der älteren Literatur findet man auch den (etwas mißverständlichen) Begriff der gleichschwebenden Temperatur. Näherungen der
gleichstufigen Temperatur waren für Lauteninstrumente bereits seit dem 16. Jahrhundert in Gebrauch.
8
Ist n eine ganze Zahl, so ergibt sich ferner die Oktavnummer m und die Tonigkeit k
(Halbtonnummer innerhalb der Oktave) als m = n div 12 und k = n mod 12. Beispiel:
64 div 12 = 5, 64 mod 12 = 4. (n = 64 repräsentiert z.B. in MIDI das eingestrichene e, die
Nummerierung ist hier relativ zum Grundton c in der Subsubkontra-Oktave, x0 ≈ 8, 2 Hz.)
Aus den Rechenregeln der Logarithmen folgt außerdem, dass dem Multiplizieren und
Dividieren von Frequenzverhältnissen bei den logarithmischen Intervallgrößen die einfache
Addition und Subtraktion entspricht. Z.B. ist 200 Cent + 200 Cent = 400 Cent, in der
gleichstufigen Temperatur ist eine große Terz also immer die Summe zweier Ganztöne
(was in anderen Stimmungen nicht notwendig der Fall ist).
Eine kurze Tabelle wichtiger Intervalle (Cent-Werte sind auf Hundertstel gerundet):
reine Intervalle
Prim
kleiner Halbton
kleiner Ganzton
großer Ganzton
kleine Terz
große Terz
reine Quarte
kleiner Tritonus
großer Tritonus
reine Quinte
kleine Sexte
große Sexte
kleine Septime
große Septime
Oktave
Ratio
Cents temperierte Intervalle
1/1
0,00 Prim
16/15 111,73 kleine Sekunde
10/9
182,40 große Sekunde
9/8
203,91
6/5
315,64 kleine Terz
5/4
386,31 große Terz
4/3
498,04 Quarte
45/32 590,22 Tritonus
64/45 609,78
3/2
701,96 Quinte
8/5
813,69 kleine Sexte
5/3
884,36 große Sexte
16/9
996,09 kleine Septime
15/8 1088,27 große Septime
2/1
1200,00 Oktave
Ratio
1/1
21/12
22/12
Cents
0,00
100,00
200,00
23/12
24/12
25/12
26/12
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
27/12
8/12
800,00
2
9/12
900,00
2
10/12 1000,00
2
211/12 1100,00
2/1
1200,00
Einige musikalisch bedeutsame Restintervalle:
Restintervall
Ratio
Cents Bedeutung
Schisma
32805/32768
1,95 P − S
Syntonisches Komma
81/80
21,51 S = (4 Q − 2 O) − T
Pythagoreisches Komma 531441/524288 23,46 P = 12 Q − 7 O
kleine Diësis
128/125
41,06 O − 3 T
Limma
256/243
90,22 3 O − 5 Q
Apotome
2187/2048
113,69 7 Q − 4 O
O = Oktave, Q = Quinte, T = große Terz in reiner Stimmung
(Siehe dazu auch Übung 6–8.)
9
Übungen/Diskussion
1. Bestimme die Funktionsgleichungen von Sägezahn-, Rechteck- und Dreieck-Welle.
2. Strenggenommen ist jede Summe endlich vieler Sinusoide wieder periodisch. Warum
und wann spricht man dann aber auch von nicht-harmonischen Obertönen bzw.
Obertonreihen?
3. Gibt es in der Musik auch nichtperiodische Klänge? Wie lassen sich deren Wellenformen beschreiben? Haben diese Klänge ein Spektrum und wie sieht dieses aus?
4. Was ist ein schwebungsfreies Intervall? Warum ergeben diese Intervalle kein
geschlossenes Tonsystem? Warum klingen manche Intervalle in der reinen Stimmung trotzdem schlecht?
5. Welche weiteren Stimmungen gibt es neben der reinen Stimmung und der gleichstufigen Temperatur? Wie sind diese definiert?
6. Berechne die Größe der „Wolfsquinte“ in der (1/4-Komma-) mitteltönigen Stimmung.
7. Was ist die Bedeutung der kleinen Diësis (auch enharmonisches Komma genannt)
in der mitteltönigen Stimmung?
8. Welche musikalische Bedeutung hat das Schisma?
10