Studienberechtigungsprüfung Mathematik 1 VHS polycollege

Studienberechtigungsprüfung Mathematik 1
VHS polycollege Siebenbrunnengasse, 19.1.2013
von 9:00 bis 11:00
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Der Rechenvorgang ist ausführlich darzustellen!
Maximale Punkteanzahl: 20
1. (3 Punkte) Bestimmen Sie Definitionsmenge und Nullstelle der Funktion
2x  1
und skizzieren Sie den Graphen.
f(x) 
x4
2. (2 Punkte) Lösen Sie folgendes Gleichungssystem:
2x  3y + 2z = 2
5x  y  5z = 1
2x  3y  z = 8
3. (2 Punkte) Lösen Sie die folgende Gleichung über die Grundmenge Q:
(2x3)² + (2x4)² = 4(x1)²
4. (2 Punkte) Gegeben sind die Matrizen:
 2 4 
 0 1
 1 3

 C  

A  
B  
 3  1
  2 3
  3 0
Berechnen Sie: A·C + 2·B
5. (2 Punkte) Bestimmen Sie den Inhalt des von den Graphen der
Funktionen f(x) = x³ + 2x +1 und g(x) = x² +2x + 1 begrenzten
Flächenstücks.
6. (3 Punkte) Bestimmen Sie die erste Ableitung der gegebenen Funktionen.
a) f (x ) 
2
3
x²
x
b) y  4  e

2x
3
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von 9:00 bis 11:00
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7. (4 Punkte) Berechnen Sie die angegebenen Integrale
3
a)  (x  1).e x dx 
0
2

1
b)  3. cos x  dx 
3

4
8. (2 Punkte) Der beste Schütze eines Vereins trifft mit einer
Wahrscheinlichkeit von 80% ins Schwarze. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass er bei einer Viererserie
a) immer ins Schwarze
b) mindestens einmal ins Schwarze trifft?
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von 9:00 bis 12:00
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Der Rechenvorgang ist ausführlich darzustellen!
Maximale Punkteanzahl: 30
1. (2 Punkte) Bestimmen Sie Definitionsmenge und Nullstelle der Funktion
2x  1
und skizzieren Sie den Graphen.
f(x) 
x4
2. (2 Punkte) Lösen Sie folgendes Gleichungssystem:
2x  3y + 2z = 2
5x  y  5z = 1
2x  3y  z = 8
3. (2 Punkte) Lösen Sie die folgende Gleichung über die Grundmenge Q:
(2x3)² + (2x4)² = 4(x1)²
4. (2 Punkte) Gegeben sind die Matrizen:
 2 4 
 0 1
 1 3

 C  

A  
B  
 3  1
  2 3
  3 0
Berechnen Sie: A·C + 2·B
5. (2 Punkte) Bestimmen Sie den Inhalt des von den Graphen der
Funktionen f(x) = x³ + 2x +1 und g(x) = x² +2x + 1 begrenzten
Flächenstücks.
6. (2 Punkte) Bestimmen Sie die erste Ableitung der gegebenen Funktionen.
a) f (x ) 
2
3
x²
x
b) y  4  e

2x
3
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von 9:00 bis 12:00
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7. (3 Punkte) Berechnen Sie die angegebenen Integrale
3
a)  (x  1).e x dx 
0
2

1
b)  3. cos x  dx 
3

4
8. (5 Punkte) Von einer regelmäßige vierseitige Pyramide ABCDS mit dem
Mittelpunkt M der Grundfläche und der Höhe h kennt man:
A(4/–9/5), B(8/–4/–6), M(0/–5/–2), h = 18 E.
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABM gleichschenkelig und rechtwinkelig
ist.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten von C, D und der Spitze S (2
Lösungen).
c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
9. (5 Punkte) Ein Grundstück hat die Form eines ebenen, allgemeinen
Vierecks ABCD. Gegeben sind folgende Größen: AB = a = 84,3m BC = b
= 31,2m ABC = 62° BAD = 74,3° BCD = 134,7°
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel, sowie die Länge der
beiden Diagonalen und die Fläche des Grundstückes.
10. (5 Punkte) Gegeben ist die Folge a n 
1  2n²
.
3n²  2
a) Bestimmen Sie ihren Grenzwert.
b) Ab welchem Folgenglied liegen alle weiteren Glieder innerhalb der
Grenzwertumgebung mit ε 1/100 (überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch
Rechnung).
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von 9:00 bis 13:00
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Der Rechenvorgang ist ausführlich darzustellen!
Maximale Punkteanzahl: 40
1. (2 Punkte) Bestimmen Sie Definitionsmenge und Nullstelle der Funktion
2x  1
und skizzieren Sie den Graphen.
f(x) 
x4
2. (2 Punkte) Lösen Sie folgendes Gleichungssystem:
2x  3y + 2z = 2
5x  y  5z = 1
2x  3y  z = 8
3. (2 Punkte) Lösen Sie die folgende Gleichung über die Grundmenge Q:
(2x3)² + (2x4)² = 4(x1)²
4. (2 Punkte) Gegeben sind die Matrizen:
 2 4 
 0 1
 1 3

 C  

A  
B  
 3  1
  2 3
  3 0
Berechnen Sie: A·C + 2·B
5. (2 Punkte) Bestimmen Sie den Inhalt des von den Graphen der
Funktionen f(x) = x³ + 2x +1 und g(x) = x² +2x + 1 begrenzten
Flächenstücks.
6. (2 Punkte) Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der gegebenen
Funktionen.
a) f (x ) 
2
3
x²
x
b) y  4  e

2x
3
7. (3 Punkte) Berechnen Sie die angegebenen Integrale
3
a)  (x  1).e x dx 
0
2

1
b)  3. cos x  dx 
3

4
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von 9:00 bis 13:00
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8. (5 Punkte) Von einer regelmäßige vierseitige Pyramide ABCDS mit dem
Mittelpunkt M der Grundfläche und der Höhe h kennt man:
A(4/–9/5), B(8/–4/–6), M(0/–5/–2), h = 18 E.
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABM gleichschenkelig und rechtwinkelig
ist.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten von C, D und der Spitze S (2
Lösungen).
c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
9. (5 Punkte) Ein Grundstück hat die Form eines ebenen, allgemeinen
Vierecks ABCD. Gegeben sind folgende Größen: AB = a = 84,3m BC = b
= 31,2m ABC = 62° BAD = 74,3° BCD = 134,7°.
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel, sowie die Länge der
beiden Diagonalen und die Fläche des Grundstückes.
10. (5 Punkte) Gegeben ist die Folge a n 
1  2n²
.
3n²  2
a) Bestimmen Sie ihren Grenzwert.
b) Ab welchem Folgenglied liegen alle weiteren Glieder innerhalb der
Grenzwertumgebung mit ε 1/100 (überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch
Rechnung).
11. (5 Punkte) Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung und geben Sie
diese in der Form a+bi an:
(3  4i)5
z4 
(4  3i)3
12. (5 Punkte) An die Parabel y²=24x werden in den drei Punkten, deren
Ordinaten 4, 6 bzw. 12 betragen, die Tangenten gelegt. Dem so
entstehenden Dreieck wird ein Kreis umgeschrieben. Wie lautet dessen
Gleichung?