4. Der euklidische Algorithmus, 5. Lineare diophantische

Elementare Zahlentheorie
Jörn Steuding (Uni Würzburg)
Wintersemester 2016/17
D
C
E
A
B
Literaturempfehlungen
• J. Appell, K. Appell: Mengen - Zahlen - Zahlbereiche, Spektrum
2005
• K. Reiss, G. Schmieder: Basiswissen Zahlentheorie, Springer 2007,
2. Auflage
• Nicola Oswald, Jörn Steuding: Elementare Zahlentheorie – Ein
sanfter Einstieg in die höhere Mathematik, Springer 2015
• Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, herausgegeben von Nicola
Oswald, Springer 2016
II. Teilbarkeitslehre
§4 Der euklidische Algorithmus
Im Folgenden bezeichnen kleine lateinische Buchstaben stets ganze
Zahlen.
Wir sagen d teilt n oder d ist ein Teiler von n, wenn ein b existiert,
so dass n = bd gilt; in Zeichen: d | n. Natürlich gilt in diesem Fall
auch b | n; dabei heißt b der zu d komplementäre Teiler. Ansonsten
ist d kein Teiler von n, was wir mit d ∤ n notieren.
Beispielsweise gelten
2 | 100,
11 | 165,
−13 | 169,
5 ∤ 21.
§4 Der euklidische Algorithmus
Im Folgenden bezeichnen kleine lateinische Buchstaben stets ganze
Zahlen.
Wir sagen d teilt n oder d ist ein Teiler von n, wenn ein b existiert,
so dass n = bd gilt; in Zeichen: d | n. Natürlich gilt in diesem Fall
auch b | n; dabei heißt b der zu d komplementäre Teiler. Ansonsten
ist d kein Teiler von n, was wir mit d ∤ n notieren.
Beispielsweise gelten
2 | 100,
11 | 165,
−13 | 169,
5 ∤ 21.
§4 Der euklidische Algorithmus
Zur Teilbarkeit bestehen die folgenden Rechenregeln:
1
2
3
4
5
6
7
1 | n und n | n und d | 0;
0 | d ⇒ d = 0; d | 1 ⇒ d = ±1;
d | n, n | m ⇒ d | m;
d | a, d | b ⇒ d | (ax + by ) für alle x, y ∈ Z;
bd | bn, b 6= 0 ⇒ d | n (Kürzungsregel);
d | n, n 6= 0 ⇒ |d | ≤ |n|;
d | n, n | d ⇒ d = ±n.
Hierbei ist der Betrag |x| definiert als das Maximum von x und −x.
§4 Der euklidische Algorithmus
Zur Teilbarkeit bestehen die folgenden Rechenregeln:
1
2
3
4
5
6
7
1 | n und n | n und d | 0;
0 | d ⇒ d = 0; d | 1 ⇒ d = ±1;
d | n, n | m ⇒ d | m;
d | a, d | b ⇒ d | (ax + by ) für alle x, y ∈ Z;
bd | bn, b 6= 0 ⇒ d | n (Kürzungsregel);
d | n, n 6= 0 ⇒ |d | ≤ |n|;
d | n, n | d ⇒ d = ±n.
Hierbei ist der Betrag |x| definiert als das Maximum von x und −x.
§4 Der euklidische Algorithmus
Zur Teilbarkeit bestehen die folgenden Rechenregeln:
1
2
3
4
5
6
7
1 | n und n | n und d | 0;
0 | d ⇒ d = 0; d | 1 ⇒ d = ±1;
d | n, n | m ⇒ d | m;
d | a, d | b ⇒ d | (ax + by ) für alle x, y ∈ Z;
bd | bn, b 6= 0 ⇒ d | n (Kürzungsregel);
d | n, n 6= 0 ⇒ |d | ≤ |n|;
d | n, n | d ⇒ d = ±n.
Hierbei ist der Betrag |x| definiert als das Maximum von x und −x.
§4 Der euklidische Algorithmus
Zur Teilbarkeit bestehen die folgenden Rechenregeln:
1
2
3
4
5
6
7
1 | n und n | n und d | 0;
0 | d ⇒ d = 0; d | 1 ⇒ d = ±1;
d | n, n | m ⇒ d | m;
d | a, d | b ⇒ d | (ax + by ) für alle x, y ∈ Z;
bd | bn, b 6= 0 ⇒ d | n (Kürzungsregel);
d | n, n 6= 0 ⇒ |d | ≤ |n|;
d | n, n | d ⇒ d = ±n.
Hierbei ist der Betrag |x| definiert als das Maximum von x und −x.
§4 Der euklidische Algorithmus
Zur Teilbarkeit bestehen die folgenden Rechenregeln:
1
2
3
4
5
6
7
1 | n und n | n und d | 0;
0 | d ⇒ d = 0; d | 1 ⇒ d = ±1;
d | n, n | m ⇒ d | m;
d | a, d | b ⇒ d | (ax + by ) für alle x, y ∈ Z;
bd | bn, b 6= 0 ⇒ d | n (Kürzungsregel);
d | n, n 6= 0 ⇒ |d | ≤ |n|;
d | n, n | d ⇒ d = ±n.
Hierbei ist der Betrag |x| definiert als das Maximum von x und −x.
§4 Der euklidische Algorithmus
Zur Teilbarkeit bestehen die folgenden Rechenregeln:
1
2
3
4
5
6
7
1 | n und n | n und d | 0;
0 | d ⇒ d = 0; d | 1 ⇒ d = ±1;
d | n, n | m ⇒ d | m;
d | a, d | b ⇒ d | (ax + by ) für alle x, y ∈ Z;
bd | bn, b 6= 0 ⇒ d | n (Kürzungsregel);
d | n, n 6= 0 ⇒ |d | ≤ |n|;
d | n, n | d ⇒ d = ±n.
Hierbei ist der Betrag |x| definiert als das Maximum von x und −x.
§4 Der euklidische Algorithmus
Zur Teilbarkeit bestehen die folgenden Rechenregeln:
1
2
3
4
5
6
7
1 | n und n | n und d | 0;
0 | d ⇒ d = 0; d | 1 ⇒ d = ±1;
d | n, n | m ⇒ d | m;
d | a, d | b ⇒ d | (ax + by ) für alle x, y ∈ Z;
bd | bn, b 6= 0 ⇒ d | n (Kürzungsregel);
d | n, n 6= 0 ⇒ |d | ≤ |n|;
d | n, n | d ⇒ d = ±n.
Hierbei ist der Betrag |x| definiert als das Maximum von x und −x.
§4 Der euklidische Algorithmus
Aus Rechenregel (vi) folgt, dass eine ganze Zahl 6= 0 nur endlich
viele Teiler besitzt. Damit besitzen a, b ∈ Z, nicht beide gleich Null,
sogar einen größten gemeinsamen Teiler ggT(a, b) ∈ N, für den also
gilt
ggT(a, b) | a und ggT(a, b) | b;
wenn d | a und d | b, dann d | ggT(a, b).
Wir setzen ggT(0, 0) = 0. Gilt ggT(a, b) = 1, so nennen wir a und
b teilerfremd.
Beispielsweise ist also
ggT(11, 14) = 1, ggT(21, 14) = 7, ggT(210, 140) = 70.
§4 Der euklidische Algorithmus
Aus Rechenregel (vi) folgt, dass eine ganze Zahl 6= 0 nur endlich
viele Teiler besitzt. Damit besitzen a, b ∈ Z, nicht beide gleich Null,
sogar einen größten gemeinsamen Teiler ggT(a, b) ∈ N, für den also
gilt
ggT(a, b) | a und ggT(a, b) | b;
wenn d | a und d | b, dann d | ggT(a, b).
Wir setzen ggT(0, 0) = 0. Gilt ggT(a, b) = 1, so nennen wir a und
b teilerfremd.
Beispielsweise ist also
ggT(11, 14) = 1, ggT(21, 14) = 7, ggT(210, 140) = 70.
§4 Der euklidische Algorithmus
Aus Rechenregel (vi) folgt, dass eine ganze Zahl 6= 0 nur endlich
viele Teiler besitzt. Damit besitzen a, b ∈ Z, nicht beide gleich Null,
sogar einen größten gemeinsamen Teiler ggT(a, b) ∈ N, für den also
gilt
ggT(a, b) | a und ggT(a, b) | b;
wenn d | a und d | b, dann d | ggT(a, b).
Wir setzen ggT(0, 0) = 0. Gilt ggT(a, b) = 1, so nennen wir a und
b teilerfremd.
Beispielsweise ist also
ggT(11, 14) = 1, ggT(21, 14) = 7, ggT(210, 140) = 70.
§4 Der euklidische Algorithmus
Aus Rechenregel (vi) folgt, dass eine ganze Zahl 6= 0 nur endlich
viele Teiler besitzt. Damit besitzen a, b ∈ Z, nicht beide gleich Null,
sogar einen größten gemeinsamen Teiler ggT(a, b) ∈ N, für den also
gilt
ggT(a, b) | a und ggT(a, b) | b;
wenn d | a und d | b, dann d | ggT(a, b).
Wir setzen ggT(0, 0) = 0. Gilt ggT(a, b) = 1, so nennen wir a und
b teilerfremd.
Beispielsweise ist also
ggT(11, 14) = 1, ggT(21, 14) = 7, ggT(210, 140) = 70.
§4 Der euklidische Algorithmus
Herr Müller erzählt seinem neuen Nachbarn, dass er drei Töchter
habe. ”Wie alt sind die denn?” möchte dieser wissen. ”Wenn ich ihre
Alter multipliziere, so kommt 36 heraus, und wenn ich sie addiere,
ergibt sich die Hausnummer dort drüben.” Der Nachbar antwortet
”Schön und gut, aber damit weiß ich jedoch nicht sicher, wie alt
Ihre Töchter sind.” Daraufhin entgegnet Herr Müller ”Das stimmt,
aber wissen Sie, meine älteste Tochter spielt Cello.” Jetzt entgegnet
der kluge neue Nachbar ”Danke, jetzt weiß ich Bescheid.”
Wie alt sind die Töchter?
§4 Der euklidische Algorithmus
Herr Müller erzählt seinem neuen Nachbarn, dass er drei Töchter
habe. ”Wie alt sind die denn?” möchte dieser wissen. ”Wenn ich ihre
Alter multipliziere, so kommt 36 heraus, und wenn ich sie addiere,
ergibt sich die Hausnummer dort drüben.” Der Nachbar antwortet
”Schön und gut, aber damit weiß ich jedoch nicht sicher, wie alt
Ihre Töchter sind.” Daraufhin entgegnet Herr Müller ”Das stimmt,
aber wissen Sie, meine älteste Tochter spielt Cello.” Jetzt entgegnet
der kluge neue Nachbar ”Danke, jetzt weiß ich Bescheid.”
Wie alt sind die Töchter?
§4 Der euklidische Algorithmus
Herr Müller erzählt seinem neuen Nachbarn, dass er drei Töchter
habe. ”Wie alt sind die denn?” möchte dieser wissen. ”Wenn ich ihre
Alter multipliziere, so kommt 36 heraus, und wenn ich sie addiere,
ergibt sich die Hausnummer dort drüben.” Der Nachbar antwortet
”Schön und gut, aber damit weiß ich jedoch nicht sicher, wie alt
Ihre Töchter sind.” Daraufhin entgegnet Herr Müller ”Das stimmt,
aber wissen Sie, meine älteste Tochter spielt Cello.” Jetzt entgegnet
der kluge neue Nachbar ”Danke, jetzt weiß ich Bescheid.”
Wie alt sind die Töchter?
§4 Der euklidische Algorithmus
Herr Müller erzählt seinem neuen Nachbarn, dass er drei Töchter
habe. ”Wie alt sind die denn?” möchte dieser wissen. ”Wenn ich ihre
Alter multipliziere, so kommt 36 heraus, und wenn ich sie addiere,
ergibt sich die Hausnummer dort drüben.” Der Nachbar antwortet
”Schön und gut, aber damit weiß ich jedoch nicht sicher, wie alt
Ihre Töchter sind.” Daraufhin entgegnet Herr Müller ”Das stimmt,
aber wissen Sie, meine älteste Tochter spielt Cello.” Jetzt entgegnet
der kluge neue Nachbar ”Danke, jetzt weiß ich Bescheid.”
Wie alt sind die Töchter?
§4 Der euklidische Algorithmus
Satz 4.1 (Division mit Rest) Zu a, b ∈ Z mit b 6= 0 existieren
eindeutig bestimmte ganze Zahlen q, r , so dass
a = bq + r
mit 0 ≤ r < |b|.
Der Beweis ist konstruktiv!
Korollar 4.2 Für a, b ∈ Z mit b 6= 0 bezeichne d = ggT(a, b).
Dann gilt
d Z := {dk : k ∈ Z} = {ax + by : x, y ∈ Z}.
Der größte gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen a, b lässt sich
also als Linearkombination ax + by von a und b schreiben!
§4 Der euklidische Algorithmus
Satz 4.1 (Division mit Rest) Zu a, b ∈ Z mit b 6= 0 existieren
eindeutig bestimmte ganze Zahlen q, r , so dass
a = bq + r
mit 0 ≤ r < |b|.
Der Beweis ist konstruktiv!
Korollar 4.2 Für a, b ∈ Z mit b 6= 0 bezeichne d = ggT(a, b).
Dann gilt
d Z := {dk : k ∈ Z} = {ax + by : x, y ∈ Z}.
Der größte gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen a, b lässt sich
also als Linearkombination ax + by von a und b schreiben!
§4 Der euklidische Algorithmus
Satz 4.1 (Division mit Rest) Zu a, b ∈ Z mit b 6= 0 existieren
eindeutig bestimmte ganze Zahlen q, r , so dass
a = bq + r
mit 0 ≤ r < |b|.
Der Beweis ist konstruktiv!
Korollar 4.2 Für a, b ∈ Z mit b 6= 0 bezeichne d = ggT(a, b).
Dann gilt
d Z := {dk : k ∈ Z} = {ax + by : x, y ∈ Z}.
Der größte gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen a, b lässt sich
also als Linearkombination ax + by von a und b schreiben!
§4 Der euklidische Algorithmus
Rechenregeln für den größten gemeinsamen Teiler:
1
ggT(a, b) = ggT(b, a);
2
ggT(a, ggT(b, c)) = ggT(ggT(a, b), c);
3
ggT(ac, bc) = |c| ggT(a, b).
Den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen berechnet
man am einfachsten mit dem so genannten euklidischen
Algorithmus. Dieses Verfahren besteht aus sukzessiver Division mit
Rest.
Beispiel:
42 = 1 · 37 + 5
37 = 7 ·
5 = 2·
5+2
2+1
Der letzte nicht verschwindende Rest ist der gesuchte größte
gemeinsame Teiler: 1 = ggT(42, 37).
§4 Der euklidische Algorithmus
Rechenregeln für den größten gemeinsamen Teiler:
1
ggT(a, b) = ggT(b, a);
2
ggT(a, ggT(b, c)) = ggT(ggT(a, b), c);
3
ggT(ac, bc) = |c| ggT(a, b).
Den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen berechnet
man am einfachsten mit dem so genannten euklidischen
Algorithmus. Dieses Verfahren besteht aus sukzessiver Division mit
Rest.
Beispiel:
42 = 1 · 37 + 5
37 = 7 ·
5 = 2·
5+2
2+1
Der letzte nicht verschwindende Rest ist der gesuchte größte
gemeinsame Teiler: 1 = ggT(42, 37).
§4 Der euklidische Algorithmus
Rechenregeln für den größten gemeinsamen Teiler:
1
ggT(a, b) = ggT(b, a);
2
ggT(a, ggT(b, c)) = ggT(ggT(a, b), c);
3
ggT(ac, bc) = |c| ggT(a, b).
Den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen berechnet
man am einfachsten mit dem so genannten euklidischen
Algorithmus. Dieses Verfahren besteht aus sukzessiver Division mit
Rest.
Beispiel:
42 = 1 · 37 + 5
37 = 7 ·
5 = 2·
5+2
2+1
Der letzte nicht verschwindende Rest ist der gesuchte größte
gemeinsame Teiler: 1 = ggT(42, 37).
§4 Der euklidische Algorithmus
Rechenregeln für den größten gemeinsamen Teiler:
1
ggT(a, b) = ggT(b, a);
2
ggT(a, ggT(b, c)) = ggT(ggT(a, b), c);
3
ggT(ac, bc) = |c| ggT(a, b).
Den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen berechnet
man am einfachsten mit dem so genannten euklidischen
Algorithmus. Dieses Verfahren besteht aus sukzessiver Division mit
Rest.
Beispiel:
42 = 1 · 37 + 5
37 = 7 ·
5 = 2·
5+2
2+1
Der letzte nicht verschwindende Rest ist der gesuchte größte
gemeinsame Teiler: 1 = ggT(42, 37).
§4 Der euklidische Algorithmus
Rechenregeln für den größten gemeinsamen Teiler:
1
ggT(a, b) = ggT(b, a);
2
ggT(a, ggT(b, c)) = ggT(ggT(a, b), c);
3
ggT(ac, bc) = |c| ggT(a, b).
Den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen berechnet
man am einfachsten mit dem so genannten euklidischen
Algorithmus. Dieses Verfahren besteht aus sukzessiver Division mit
Rest.
Beispiel:
42 = 1 · 37 + 5
37 = 7 ·
5 = 2·
5+2
2+1
Der letzte nicht verschwindende Rest ist der gesuchte größte
gemeinsame Teiler: 1 = ggT(42, 37).
§4 Der euklidische Algorithmus
Rechenregeln für den größten gemeinsamen Teiler:
1
ggT(a, b) = ggT(b, a);
2
ggT(a, ggT(b, c)) = ggT(ggT(a, b), c);
3
ggT(ac, bc) = |c| ggT(a, b).
Den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen berechnet
man am einfachsten mit dem so genannten euklidischen
Algorithmus. Dieses Verfahren besteht aus sukzessiver Division mit
Rest.
Beispiel:
42 = 1 · 37 + 5
37 = 7 ·
5 = 2·
5+2
2+1
Der letzte nicht verschwindende Rest ist der gesuchte größte
gemeinsame Teiler: 1 = ggT(42, 37).
§4 Der euklidische Algorithmus
Satz 4.3 (Euklidischer Algorithmus) Zu gegebenen natürlichen
Zahlen a und b mit a > b seien r−1 := a, r0 := b und
a
b
rj−2
rn−2
rn−1
=
q1 b
=
q2 r1
...
= qj rj−1
...
= qn rn−1
= qn+1 rn
+ r1 ,
+ r2 ,
+ rj ,
+ rn ,
mit jeweils qj , rj ∈ Z und 0 ≤ rj < rj−1 . Dann gilt für den letzten
nicht verschwindenden Rest rn = ggT(a, b).
Der euklidische Algorithmus ist eine arithmetische Form der
geometrischen Wechselwegnahme.
§4 Der euklidische Algorithmus
Satz 4.3 (Euklidischer Algorithmus) Zu gegebenen natürlichen
Zahlen a und b mit a > b seien r−1 := a, r0 := b und
a
b
rj−2
rn−2
rn−1
=
q1 b
=
q2 r1
...
= qj rj−1
...
= qn rn−1
= qn+1 rn
+ r1 ,
+ r2 ,
+ rj ,
+ rn ,
mit jeweils qj , rj ∈ Z und 0 ≤ rj < rj−1 . Dann gilt für den letzten
nicht verschwindenden Rest rn = ggT(a, b).
Der euklidische Algorithmus ist eine arithmetische Form der
geometrischen Wechselwegnahme.
§4 Der euklidische Algorithmus
Den größten gemeinsamen Teiler bzw. das kleinste gemeinsame
Vielfache von mehr als zwei ganzen Zahlen erklärt man induktiv
durch Zurückführen auf einen bereits erklärten größten
gemeinsamen Teiler:
ggT(a, b, c) = ggT(a, ggT(b, c))
usw.
Zahlen a1 , . . . , am heißen teilerfremd, wenn ggT(a1 , . . . , am ) = 1
gilt; sie heißen paarweise teilerfremd, wenn ggT(ai , aj ) = 1 für alle
1 ≤ i, j ≤ m mit i 6= j besteht.
Letzteres impliziert ihre Teilerfremdheit, die Umkehrung gilt jedoch
nicht, wie man sich leicht an folgendem Beispiel verdeutlichen kann:
6 = 2 · 3, 10 = 2 · 5, 15 = 3 · 5.
§4 Der euklidische Algorithmus
Den größten gemeinsamen Teiler bzw. das kleinste gemeinsame
Vielfache von mehr als zwei ganzen Zahlen erklärt man induktiv
durch Zurückführen auf einen bereits erklärten größten
gemeinsamen Teiler:
ggT(a, b, c) = ggT(a, ggT(b, c))
usw.
Zahlen a1 , . . . , am heißen teilerfremd, wenn ggT(a1 , . . . , am ) = 1
gilt; sie heißen paarweise teilerfremd, wenn ggT(ai , aj ) = 1 für alle
1 ≤ i, j ≤ m mit i 6= j besteht.
Letzteres impliziert ihre Teilerfremdheit, die Umkehrung gilt jedoch
nicht, wie man sich leicht an folgendem Beispiel verdeutlichen kann:
6 = 2 · 3, 10 = 2 · 5, 15 = 3 · 5.
§4 Der euklidische Algorithmus
Den größten gemeinsamen Teiler bzw. das kleinste gemeinsame
Vielfache von mehr als zwei ganzen Zahlen erklärt man induktiv
durch Zurückführen auf einen bereits erklärten größten
gemeinsamen Teiler:
ggT(a, b, c) = ggT(a, ggT(b, c))
usw.
Zahlen a1 , . . . , am heißen teilerfremd, wenn ggT(a1 , . . . , am ) = 1
gilt; sie heißen paarweise teilerfremd, wenn ggT(ai , aj ) = 1 für alle
1 ≤ i, j ≤ m mit i 6= j besteht.
Letzteres impliziert ihre Teilerfremdheit, die Umkehrung gilt jedoch
nicht, wie man sich leicht an folgendem Beispiel verdeutlichen kann:
6 = 2 · 3, 10 = 2 · 5, 15 = 3 · 5.
Resümee
Division mit Rest ist ein konstruktives Verfahren, den Rest einer
ganzen Zahl bei Division durch eine weitere ganze Zahl zu
berechnen.
Zwei ganze Zahlen besitzen einen eindeutig bestimmten größten
gemeinsamen Teiler. Dieser berechnet sich effizient mit dem
euklidischen Algorithmus (also iterierte Division mit Rest).
Der euklidische Algorithmus erlaubt auch, den größten
gemeinsamen Teiler zweier Zahlen als Linearkombination derselben
darzustellen.
Resümee
Division mit Rest ist ein konstruktives Verfahren, den Rest einer
ganzen Zahl bei Division durch eine weitere ganze Zahl zu
berechnen.
Zwei ganze Zahlen besitzen einen eindeutig bestimmten größten
gemeinsamen Teiler. Dieser berechnet sich effizient mit dem
euklidischen Algorithmus (also iterierte Division mit Rest).
Der euklidische Algorithmus erlaubt auch, den größten
gemeinsamen Teiler zweier Zahlen als Linearkombination derselben
darzustellen.
§5 Lineare diophantische Gleichungen
Gegeben sei die Reaktionsgleichung der alkoholischen Gärung
(Fermentation) in den Unbekannten X , Y , Z :
X · C6 H12 O6
−→
Y · C2 H5 OH + Z · CO2
(Glukose → Ethanol + Kohlendioxid). Welche ganzzahligen Werte
x, y , z können hier gewählt werden?
Offensichtlich liefert jeder auftretende Atomtyp eine separate
lineare Gleichung:

6X = 2Y + Z
 C :
H :
12X = 6Y

O :
6X = Y + 2Z
§5 Lineare diophantische Gleichungen
Gegeben sei die Reaktionsgleichung der alkoholischen Gärung
(Fermentation) in den Unbekannten X , Y , Z :
X · C6 H12 O6
−→
Y · C2 H5 OH + Z · CO2
(Glukose → Ethanol + Kohlendioxid). Welche ganzzahligen Werte
x, y , z können hier gewählt werden?
Offensichtlich liefert jeder auftretende Atomtyp eine separate
lineare Gleichung:

6X = 2Y + Z
 C :
H :
12X = 6Y

O :
6X = Y + 2Z
§5 Lineare diophantische Gleichungen
Bei diophantischen Gleichungen handelt es sich um polynomielle
Gleichungen mit ganzzahligen oder rationalen Koeffizienten, die in
ganzen oder rationalen Zahlen gelöst werden sollen. Diese
Fragestellung geht auf den griechischen Mathematiker Diophant
zurück.
Wir hatten Beispiele linearer diophantischer Gleichungen bereits in
§0 kennengelernt: Welche Punkte auf einer Geraden wie etwa
2X − 5Y = 0
haben ganzzahlige Koordinaten?
§5 Lineare diophantische Gleichungen
Bei diophantischen Gleichungen handelt es sich um polynomielle
Gleichungen mit ganzzahligen oder rationalen Koeffizienten, die in
ganzen oder rationalen Zahlen gelöst werden sollen. Diese
Fragestellung geht auf den griechischen Mathematiker Diophant
zurück.
Wir hatten Beispiele linearer diophantischer Gleichungen bereits in
§0 kennengelernt: Welche Punkte auf einer Geraden wie etwa
2X − 5Y = 0
haben ganzzahlige Koordinaten?
§5 Lineare diophantische Gleichungen
Satz 5.1 (Bézout) Die lineare Gleichung
aX + bY = c
mit ganzen Zahlen a, b, c ist genau dann ganzzahlig lösbar, wenn
der ggT(a, b) ein Teiler von c ist; in diesem Fall ist die Menge der
ganzzahligen Lösungen gegeben durch
(x, y ) = (x0 , y0 ) +
m
(b, −a)
ggT(a, b)
wobei (x0 , y0 ) eine beliebige Lösung ist.
für m ∈ Z,
§5 Lineare diophantische Gleichungen
Was ist zu tun, wenn eine lineare diophantische Gleichung in mehr
als zwei Unbekannten zu lösen ist? Ein Beispiel:
106X − 333Y + 5Z = 11.
Wir schreiben
X = αU + 333V
und
Y = βU + 106V
mit neuen Unbekannten U und V sowie irgendwelchen ganzzahligen
α, β, welche der Gleichung
106α − 333β = 1
genügen. Wir lösen diese lineare diophantischen Gleichung in zwei
Unbekannten mit etwa α = 22 und β = 7.
§5 Lineare diophantische Gleichungen
Was ist zu tun, wenn eine lineare diophantische Gleichung in mehr
als zwei Unbekannten zu lösen ist? Ein Beispiel:
106X − 333Y + 5Z = 11.
Wir schreiben
X = αU + 333V
und
Y = βU + 106V
mit neuen Unbekannten U und V sowie irgendwelchen ganzzahligen
α, β, welche der Gleichung
106α − 333β = 1
genügen. Wir lösen diese lineare diophantischen Gleichung in zwei
Unbekannten mit etwa α = 22 und β = 7.
§5 Lineare diophantische Gleichungen
Was ist zu tun, wenn eine lineare diophantische Gleichung in mehr
als zwei Unbekannten zu lösen ist? Ein Beispiel:
106X − 333Y + 5Z = 11.
Wir schreiben
X = αU + 333V
und
Y = βU + 106V
mit neuen Unbekannten U und V sowie irgendwelchen ganzzahligen
α, β, welche der Gleichung
106α − 333β = 1
genügen. Wir lösen diese lineare diophantischen Gleichung in zwei
Unbekannten mit etwa α = 22 und β = 7.
§5 Lineare diophantische Gleichungen
Was ist zu tun, wenn eine lineare diophantische Gleichung in mehr
als zwei Unbekannten zu lösen ist? Ein Beispiel:
106X − 333Y + 5Z = 11.
Wir schreiben
X = αU + 333V
und
Y = βU + 106V
mit neuen Unbekannten U und V sowie irgendwelchen ganzzahligen
α, β, welche der Gleichung
106α − 333β = 1
genügen. Wir lösen diese lineare diophantischen Gleichung in zwei
Unbekannten mit etwa α = 22 und β = 7.
§5 Lineare diophantische Gleichungen
Durch Einsetzen der Substitute X = 22U + 333V , Y = 7U + 106V
in die Ausgangsgleichung ergibt sich
11 = 106(22U + 333V ) − 333(7U + 106V ) + 5Z
− 333 · 106})V + 5Z = U + 5Z .
= (106
− 333 · 7})U + (106
| · 333 {z
| · 22{z
=1
=0
Dies ist wiederum eine lineare diophantische Gleichung in zwei
Unbekannten; wir lösen diese durch
(u, z) = (1, 2) + (5, −1)w
mit w ∈ Z.
Damit folgt nun durch Einsetzen unter Berücksichtigung unserer
Wahl von α und β
x = 22(1 + 5w ) + 333v ,
y = 7(1 + 5w ) + 106v ,
z =2−w
§5 Lineare diophantische Gleichungen
Durch Einsetzen der Substitute X = 22U + 333V , Y = 7U + 106V
in die Ausgangsgleichung ergibt sich
11 = 106(22U + 333V ) − 333(7U + 106V ) + 5Z
− 333 · 106})V + 5Z = U + 5Z .
= (106
− 333 · 7})U + (106
| · 333 {z
| · 22{z
=1
=0
Dies ist wiederum eine lineare diophantische Gleichung in zwei
Unbekannten; wir lösen diese durch
(u, z) = (1, 2) + (5, −1)w
mit w ∈ Z.
Damit folgt nun durch Einsetzen unter Berücksichtigung unserer
Wahl von α und β
x = 22(1 + 5w ) + 333v ,
y = 7(1 + 5w ) + 106v ,
z =2−w
§5 Lineare diophantische Gleichungen
bzw. in kurzer Vektorenschreibweise
(x, y , z) = (22, 7, 2) + (110, 35, −1)w + (333, 106, 0)v
mit beliebigen w , v ∈ Z.
Unsere Strategie besteht also darin,
die lineare diophantische Gleichung in drei Unbekannten durch
geschickte Substitutionen auf lineare diophantische Gleichungen in
zwei Unbekannten zurückzuführen!
§5 Lineare diophantische Gleichungen
bzw. in kurzer Vektorenschreibweise
(x, y , z) = (22, 7, 2) + (110, 35, −1)w + (333, 106, 0)v
mit beliebigen w , v ∈ Z.
Unsere Strategie besteht also darin,
die lineare diophantische Gleichung in drei Unbekannten durch
geschickte Substitutionen auf lineare diophantische Gleichungen in
zwei Unbekannten zurückzuführen!
Resümee
Bei diophantischen Gleichungen werden ganzzahlige Lösungen
gesucht. Über die Lösbarkeit entscheidet der Satz von Bézout.
Lineare diophantische in zwei Unbekannten löst man mit dem
euklidischen Algorithmus rückwärts.
Lineare diophantische Gleichungen in drei Unbekannten lassen sich
auf lineare diophantische Gleichungen in zwei Unbekannten
zurückführen.
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Eine natürliche Zahl n > 1 heißt Primzahl oder kurz prim, wenn sie
nur durch sich selbst und 1 teilbar ist (innerhalb der Menge N);
ansonsten nennt man n zusammengesetzt.
Das Auffinden der ersten Primzahlen ist nicht besonders schwierig:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . , 30 449, . . .
Die größte zur Zeit bekannte Primzahl ist
274 207 281 − 1.
Diese Zahl hat mehr als 22 Millionen Stellen und wurde im Februar
2016 im Rahmen des GIMPS-Projektes gefunden.
Die Primzahlen sind die multiplikativen Atome aus denen alle
natürlichen Zahlen – im Wesentlichen sogar alle ganzen Zahlen –
aufgebaut sind; z.B.:
2016 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7
und
2017 ist prim.
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Eine natürliche Zahl n > 1 heißt Primzahl oder kurz prim, wenn sie
nur durch sich selbst und 1 teilbar ist (innerhalb der Menge N);
ansonsten nennt man n zusammengesetzt.
Das Auffinden der ersten Primzahlen ist nicht besonders schwierig:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . , 30 449, . . .
Die größte zur Zeit bekannte Primzahl ist
274 207 281 − 1.
Diese Zahl hat mehr als 22 Millionen Stellen und wurde im Februar
2016 im Rahmen des GIMPS-Projektes gefunden.
Die Primzahlen sind die multiplikativen Atome aus denen alle
natürlichen Zahlen – im Wesentlichen sogar alle ganzen Zahlen –
aufgebaut sind; z.B.:
2016 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7
und
2017 ist prim.
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Eine natürliche Zahl n > 1 heißt Primzahl oder kurz prim, wenn sie
nur durch sich selbst und 1 teilbar ist (innerhalb der Menge N);
ansonsten nennt man n zusammengesetzt.
Das Auffinden der ersten Primzahlen ist nicht besonders schwierig:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . , 30 449, . . .
Die größte zur Zeit bekannte Primzahl ist
274 207 281 − 1.
Diese Zahl hat mehr als 22 Millionen Stellen und wurde im Februar
2016 im Rahmen des GIMPS-Projektes gefunden.
Die Primzahlen sind die multiplikativen Atome aus denen alle
natürlichen Zahlen – im Wesentlichen sogar alle ganzen Zahlen –
aufgebaut sind; z.B.:
2016 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7
und
2017 ist prim.
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Eine natürliche Zahl n > 1 heißt Primzahl oder kurz prim, wenn sie
nur durch sich selbst und 1 teilbar ist (innerhalb der Menge N);
ansonsten nennt man n zusammengesetzt.
Das Auffinden der ersten Primzahlen ist nicht besonders schwierig:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . , 30 449, . . .
Die größte zur Zeit bekannte Primzahl ist
274 207 281 − 1.
Diese Zahl hat mehr als 22 Millionen Stellen und wurde im Februar
2016 im Rahmen des GIMPS-Projektes gefunden.
Die Primzahlen sind die multiplikativen Atome aus denen alle
natürlichen Zahlen – im Wesentlichen sogar alle ganzen Zahlen –
aufgebaut sind; z.B.:
2016 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7
und
2017 ist prim.
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Lemma 6.1 (Lemma von Euklid). Teilt eine Primzahl p ein
Produkt ganzer Zahlen, so teilt sie mindestens einen der Faktoren:
p | ab
⇒
p|a
oder p | b.
Die Aussage des euklidschen Lemmas ist falsch für
zusammengesetzte Zahlen: Beispielsweise teilt 6 das Produkt 2 · 3,
jedoch keinen der Faktoren.
Insofern charakterisiert das Lemma von Euklid sogar Primzahlen!
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Lemma 6.1 (Lemma von Euklid). Teilt eine Primzahl p ein
Produkt ganzer Zahlen, so teilt sie mindestens einen der Faktoren:
p | ab
⇒
p|a
oder p | b.
Die Aussage des euklidschen Lemmas ist falsch für
zusammengesetzte Zahlen: Beispielsweise teilt 6 das Produkt 2 · 3,
jedoch keinen der Faktoren.
Insofern charakterisiert das Lemma von Euklid sogar Primzahlen!
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Satz 6.2 (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche
Zahl n besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung, d.h. es gibt
eindeutig bestimmte Exponenten νp (n) ∈ N0 , so dass folgende
Produktdarstellung besteht:
Y
n=
pνp (n) .
p
Diese Produktdarstellung heißt eindeutige Primfaktorzerlegung.
Hierbei läuft das Produkt über alle Primzahlen. Höchstens endlich
viele Exponenten νp (n) sind hier verschieden von null und nur aus
diesen Primzahlen sind die Teiler von n zusammengesetzt; für n = 1
verschwinden alle Exponenten und das Produkt ist leer.
Z.B.: 2016 = 25 · 32 · 50 · 71
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Satz 6.2 (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche
Zahl n besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung, d.h. es gibt
eindeutig bestimmte Exponenten νp (n) ∈ N0 , so dass folgende
Produktdarstellung besteht:
Y
n=
pνp (n) .
p
Diese Produktdarstellung heißt eindeutige Primfaktorzerlegung.
Hierbei läuft das Produkt über alle Primzahlen. Höchstens endlich
viele Exponenten νp (n) sind hier verschieden von null und nur aus
diesen Primzahlen sind die Teiler von n zusammengesetzt; für n = 1
verschwinden alle Exponenten und das Produkt ist leer.
Z.B.: 2016 = 25 · 32 · 50 · 71
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Eine Konsequenz: Für die Zahlen a und b mit jeweiligen
Primfaktorzerlegungen
Y
Y
a=
pνp (a)
bzw.
b=
pνp (b)
p
p
gilt
ggT(a, b) =
Y
pmin{νp (a),νp (b)} .
p
Z.B.:
ggT(2 · 3 · 5, 32 · 17) = 3
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Eine Konsequenz: Für die Zahlen a und b mit jeweiligen
Primfaktorzerlegungen
Y
Y
a=
pνp (a)
bzw.
b=
pνp (b)
p
p
gilt
ggT(a, b) =
Y
pmin{νp (a),νp (b)} .
p
Z.B.:
ggT(2 · 3 · 5, 32 · 17) = 3
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Satz 6.3 (Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Der Primzahlsatz besagt, dass die Anzahl π(x) der Primzahlen
p ≤ x bei wachsendem x ungefähr von der Größenordnung
π(x) ≈
x
log x
ist. Damit ist die n-te Primzahl pn in etwa pn ≈ n log n.
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Satz 6.3 (Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Der Primzahlsatz besagt, dass die Anzahl π(x) der Primzahlen
p ≤ x bei wachsendem x ungefähr von der Größenordnung
π(x) ≈
x
log x
ist. Damit ist die n-te Primzahl pn in etwa pn ≈ n log n.
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Wir streichen sukzessive die echten Vielfachen der Primzahlen aus
einer Liste der natürlichen Zahlen größer eins:
2
11 12
—
/
21
x/ 22
—
31 32
—
41 42
—
x/
51
/ 52
—
61 62
—
71 72
—
/
81
/ 82
—
91
x 92
—
3
13
23
33
/
43
53
63
x/
73
83
93
/
—
4
—
14
x
24
—
/
—
34
—
44
54
—
/
—
64
—
74
84
—
x/
—
94
5
15
\/
25
\
35
x
\
45
\/
55
\
65
\
75
\/
85
\
95
\
—
6/
—
16
—
26
—
36
/
—
46
—
56
x
—
66
/
—
76
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86
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96
/
7
17
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/
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8
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/
—
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—
38
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/
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58
—
68
—
78
/
—
88
—
98
/9
—
10
\
19 20
—
\
29 30
—
\/
39
/ 40
—
\
49
x 50
—
\
59 60
—
\/
69
/
—
70
x\
79 80
—
\
89 90
—
\/
99
/ ...
Genau die Primzahlen bleiben. Dies ist das Sieb des Eratosthenes.
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Wir streichen sukzessive die echten Vielfachen der Primzahlen aus
einer Liste der natürlichen Zahlen größer eins:
2
11 12
—
/
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x/ 22
—
31 32
—
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—
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71 72
—
/
81
/ 82
—
91
x 92
—
3
13
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43
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—
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x/
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25
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35
x
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55
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75
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85
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—
6/
—
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x
—
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86
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x
87
/
97
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8
—
18
/
—
28
x
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38
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/
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68
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19 20
—
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29 30
—
\/
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/ 40
—
\
49
x 50
—
\
59 60
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\/
69
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70
x\
79 80
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89 90
—
\/
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Genau die Primzahlen bleiben. Dies ist das Sieb des Eratosthenes.
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Wir streichen sukzessive die echten Vielfachen der Primzahlen aus
einer Liste der natürlichen Zahlen größer eins:
2
11 12
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21
x/ 22
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31 32
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41 42
—
x/
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/ 52
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61 62
—
71 72
—
/
81
/ 82
—
91
x 92
—
3
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x/
73
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4
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/
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34
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x/
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94
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\/
25
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35
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45
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55
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65
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75
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85
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95
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—
6/
—
16
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—
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56
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/
—
76
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96
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7
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37
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67
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x
87
/
97
—
8
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18
/
—
28
x
—
38
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48
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—
58
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68
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78
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—
88
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98
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—
10
\
19 20
—
\
29 30
—
\/
39
/ 40
—
\
49
x 50
—
\
59 60
—
\/
69
/
—
70
x\
79 80
—
\
89 90
—
\/
99
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Genau die Primzahlen bleiben. Dies ist das Sieb des Eratosthenes.
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Die unbewiesene Primzahlzwillingsvermutung besagt, dass es
unendlich viele Pärchen von Primzahlen der Form p, p + 2 gibt.
Beispiele solcher Primzahlzwillinge findet man schnell:
3 & 5,
5 & 7,
11 & 13,
17 & 19,
...,
101 & 103,
...
Die größten zur Zeit bekannten Primzahlzwillinge sind
3 756 801 695 685 · 2666 669 ± 1.
Ebenfalls ungelöst ist die Goldbachsche Vermutung, die besagt,
dass jede gerade Zahl ≥ 4 sich als Summe zweier Primzahlen
darstellen lässt. Für explizit gegebene Zahlen ist diese leicht zu
verifizieren, z.B.
10 = 3 + 7, = 5 + 5 .
Tatsächlich scheint dieses Problem sogar einfacher zu werden, je
größer die Zahl ist, die in Primzahlen zerlegt werden soll; z.B.:
100 = 3 + 97,
= 11 + 89,
= 17 + 83,
= 29 + 71,
... .
§6 Primzahlen – die multiplikativen Bausteine
Die unbewiesene Primzahlzwillingsvermutung besagt, dass es
unendlich viele Pärchen von Primzahlen der Form p, p + 2 gibt.
Beispiele solcher Primzahlzwillinge findet man schnell:
3 & 5,
5 & 7,
11 & 13,
17 & 19,
...,
101 & 103,
...
Die größten zur Zeit bekannten Primzahlzwillinge sind
3 756 801 695 685 · 2666 669 ± 1.
Ebenfalls ungelöst ist die Goldbachsche Vermutung, die besagt,
dass jede gerade Zahl ≥ 4 sich als Summe zweier Primzahlen
darstellen lässt. Für explizit gegebene Zahlen ist diese leicht zu
verifizieren, z.B.
10 = 3 + 7, = 5 + 5 .
Tatsächlich scheint dieses Problem sogar einfacher zu werden, je
größer die Zahl ist, die in Primzahlen zerlegt werden soll; z.B.:
100 = 3 + 97,
= 11 + 89,
= 17 + 83,
= 29 + 71,
... .
Resümee
Primzahlen sind die multiplikativen Atome der ganzen Zahlen.
Der Fundamentalsatz der Arithmetik zeigt, dass sich jede natürliche
Zahl ein eindeutiges Produkt von Primzahlpotenzen ist.
Wie bereits Euklid zeigte, gibt es ihrer unendlich viele und mit dem
Sieb des Eratosthenes lassen sie sich lokalisieren.
Es gibt zahlreiche unbewiesene Vermutungen zu Primzahlen (z.B.
ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt), die oftmals auf einer
additiven Verknüpfung dieser multiplikativen Bausteine basieren.
Resümee
Primzahlen sind die multiplikativen Atome der ganzen Zahlen.
Der Fundamentalsatz der Arithmetik zeigt, dass sich jede natürliche
Zahl ein eindeutiges Produkt von Primzahlpotenzen ist.
Wie bereits Euklid zeigte, gibt es ihrer unendlich viele und mit dem
Sieb des Eratosthenes lassen sie sich lokalisieren.
Es gibt zahlreiche unbewiesene Vermutungen zu Primzahlen (z.B.
ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt), die oftmals auf einer
additiven Verknüpfung dieser multiplikativen Bausteine basieren.
Resümee
Primzahlen sind die multiplikativen Atome der ganzen Zahlen.
Der Fundamentalsatz der Arithmetik zeigt, dass sich jede natürliche
Zahl ein eindeutiges Produkt von Primzahlpotenzen ist.
Wie bereits Euklid zeigte, gibt es ihrer unendlich viele und mit dem
Sieb des Eratosthenes lassen sie sich lokalisieren.
Es gibt zahlreiche unbewiesene Vermutungen zu Primzahlen (z.B.
ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt), die oftmals auf einer
additiven Verknüpfung dieser multiplikativen Bausteine basieren.
§7 Algebraische Strukturen
Eine Gruppe ist ein Paar (G , ◦) bestehend aus einer Menge G ,
versehen mit einer Verknüpfung
◦ : G × G → G , (a, b) 7→ a ◦ b,
die folgenden Axiomen genügt:
Assoziativität:
(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) für alle a, b, c ∈ G ;
Existenz eines neutralen Elementes:
Es gibt ein e ∈ G mit a ◦ e = e ◦ a = a für alle a ∈ G ;
Existenz eines inversen Elements:
Zu jedem a ∈ G existiert ein x ∈ G mit a ◦ x = x ◦ a = e.
Eine Gruppe (G , ◦) heißt kommutativ (bzw. abelsch), wenn
zusätzlich gilt
a ◦ b = b ◦ a für alle a, b ∈ G .
Ist aus dem Kontext klar, um welche Verknüpfung es sich handelt,
so notieren wir die entsprechende Gruppe auch kurz mit G .
§7 Algebraische Strukturen
Eine Gruppe ist ein Paar (G , ◦) bestehend aus einer Menge G ,
versehen mit einer Verknüpfung
◦ : G × G → G , (a, b) 7→ a ◦ b,
die folgenden Axiomen genügt:
Assoziativität:
(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) für alle a, b, c ∈ G ;
Existenz eines neutralen Elementes:
Es gibt ein e ∈ G mit a ◦ e = e ◦ a = a für alle a ∈ G ;
Existenz eines inversen Elements:
Zu jedem a ∈ G existiert ein x ∈ G mit a ◦ x = x ◦ a = e.
Eine Gruppe (G , ◦) heißt kommutativ (bzw. abelsch), wenn
zusätzlich gilt
a ◦ b = b ◦ a für alle a, b ∈ G .
Ist aus dem Kontext klar, um welche Verknüpfung es sich handelt,
so notieren wir die entsprechende Gruppe auch kurz mit G .
§7 Algebraische Strukturen
Eine Gruppe ist ein Paar (G , ◦) bestehend aus einer Menge G ,
versehen mit einer Verknüpfung
◦ : G × G → G , (a, b) 7→ a ◦ b,
die folgenden Axiomen genügt:
Assoziativität:
(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) für alle a, b, c ∈ G ;
Existenz eines neutralen Elementes:
Es gibt ein e ∈ G mit a ◦ e = e ◦ a = a für alle a ∈ G ;
Existenz eines inversen Elements:
Zu jedem a ∈ G existiert ein x ∈ G mit a ◦ x = x ◦ a = e.
Eine Gruppe (G , ◦) heißt kommutativ (bzw. abelsch), wenn
zusätzlich gilt
a ◦ b = b ◦ a für alle a, b ∈ G .
Ist aus dem Kontext klar, um welche Verknüpfung es sich handelt,
so notieren wir die entsprechende Gruppe auch kurz mit G .
§7 Algebraische Strukturen
Eine Gruppe ist ein Paar (G , ◦) bestehend aus einer Menge G ,
versehen mit einer Verknüpfung
◦ : G × G → G , (a, b) 7→ a ◦ b,
die folgenden Axiomen genügt:
Assoziativität:
(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) für alle a, b, c ∈ G ;
Existenz eines neutralen Elementes:
Es gibt ein e ∈ G mit a ◦ e = e ◦ a = a für alle a ∈ G ;
Existenz eines inversen Elements:
Zu jedem a ∈ G existiert ein x ∈ G mit a ◦ x = x ◦ a = e.
Eine Gruppe (G , ◦) heißt kommutativ (bzw. abelsch), wenn
zusätzlich gilt
a ◦ b = b ◦ a für alle a, b ∈ G .
Ist aus dem Kontext klar, um welche Verknüpfung es sich handelt,
so notieren wir die entsprechende Gruppe auch kurz mit G .
§7 Algebraische Strukturen
Eine Gruppe ist ein Paar (G , ◦) bestehend aus einer Menge G ,
versehen mit einer Verknüpfung
◦ : G × G → G , (a, b) 7→ a ◦ b,
die folgenden Axiomen genügt:
Assoziativität:
(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) für alle a, b, c ∈ G ;
Existenz eines neutralen Elementes:
Es gibt ein e ∈ G mit a ◦ e = e ◦ a = a für alle a ∈ G ;
Existenz eines inversen Elements:
Zu jedem a ∈ G existiert ein x ∈ G mit a ◦ x = x ◦ a = e.
Eine Gruppe (G , ◦) heißt kommutativ (bzw. abelsch), wenn
zusätzlich gilt
a ◦ b = b ◦ a für alle a, b ∈ G .
Ist aus dem Kontext klar, um welche Verknüpfung es sich handelt,
so notieren wir die entsprechende Gruppe auch kurz mit G .
§7 Algebraische Strukturen
Eine Gruppe ist ein Paar (G , ◦) bestehend aus einer Menge G ,
versehen mit einer Verknüpfung
◦ : G × G → G , (a, b) 7→ a ◦ b,
die folgenden Axiomen genügt:
Assoziativität:
(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) für alle a, b, c ∈ G ;
Existenz eines neutralen Elementes:
Es gibt ein e ∈ G mit a ◦ e = e ◦ a = a für alle a ∈ G ;
Existenz eines inversen Elements:
Zu jedem a ∈ G existiert ein x ∈ G mit a ◦ x = x ◦ a = e.
Eine Gruppe (G , ◦) heißt kommutativ (bzw. abelsch), wenn
zusätzlich gilt
a ◦ b = b ◦ a für alle a, b ∈ G .
Ist aus dem Kontext klar, um welche Verknüpfung es sich handelt,
so notieren wir die entsprechende Gruppe auch kurz mit G .
§7 Algebraische Strukturen
Eine Gruppe ist ein Paar (G , ◦) bestehend aus einer Menge G ,
versehen mit einer Verknüpfung
◦ : G × G → G , (a, b) 7→ a ◦ b,
die folgenden Axiomen genügt:
Assoziativität:
(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) für alle a, b, c ∈ G ;
Existenz eines neutralen Elementes:
Es gibt ein e ∈ G mit a ◦ e = e ◦ a = a für alle a ∈ G ;
Existenz eines inversen Elements:
Zu jedem a ∈ G existiert ein x ∈ G mit a ◦ x = x ◦ a = e.
Eine Gruppe (G , ◦) heißt kommutativ (bzw. abelsch), wenn
zusätzlich gilt
a ◦ b = b ◦ a für alle a, b ∈ G .
Ist aus dem Kontext klar, um welche Verknüpfung es sich handelt,
so notieren wir die entsprechende Gruppe auch kurz mit G .
§7 Algebraische Strukturen
Beispiele und Gegenbeispiele:
N ist weder mit der Addition noch mit der Multiplikation eine
Gruppe (z.B. besitzt 2 kein Inverses in N).
Z ist eine abelsche Gruppe mit der Addition, jedoch keine
Gruppe mit der Multiplikation (wiederum besitzt 2 kein
multiplikativ Inverses).
Q bzw. R sind abelsche Gruppen mit der Addition und Q∗ bzw.
R∗ mit der Multiplikation;
hierbei bedeutet das angehängte Sternchen, dass wir jeweils die
Null entfernen; z.B.: Q∗ := Q \ {0}.
§7 Algebraische Strukturen
Beispiele und Gegenbeispiele:
N ist weder mit der Addition noch mit der Multiplikation eine
Gruppe (z.B. besitzt 2 kein Inverses in N).
Z ist eine abelsche Gruppe mit der Addition, jedoch keine
Gruppe mit der Multiplikation (wiederum besitzt 2 kein
multiplikativ Inverses).
Q bzw. R sind abelsche Gruppen mit der Addition und Q∗ bzw.
R∗ mit der Multiplikation;
hierbei bedeutet das angehängte Sternchen, dass wir jeweils die
Null entfernen; z.B.: Q∗ := Q \ {0}.
§7 Algebraische Strukturen
Beispiele und Gegenbeispiele:
N ist weder mit der Addition noch mit der Multiplikation eine
Gruppe (z.B. besitzt 2 kein Inverses in N).
Z ist eine abelsche Gruppe mit der Addition, jedoch keine
Gruppe mit der Multiplikation (wiederum besitzt 2 kein
multiplikativ Inverses).
Q bzw. R sind abelsche Gruppen mit der Addition und Q∗ bzw.
R∗ mit der Multiplikation;
hierbei bedeutet das angehängte Sternchen, dass wir jeweils die
Null entfernen; z.B.: Q∗ := Q \ {0}.
§7 Algebraische Strukturen
In einer Gruppe G ist sowohl das neutrale Element e als auch das
Inverse eines gegebenen Gruppenelements a eindeutig bestimmt; im
Falle einer additiven Gruppe notieren wir dieses Inverse oft mit −a
und im Fall einer multiplikativen Gruppe mit a−1 .
Die Eindeutigkeit des neutralen Elementes zeigt sich (im Falle einer
multiplikativen Gruppe) wie folgt: Angenommen, es gibt Elemente
e, e ′ ∈ G mit
a ◦ e = e ◦ a = a = e′ ◦ a = a ◦ e′
für ein beliebiges a ∈ G , so folgte nach Verknüpfung mit einem
Inversen a−1 von a sofort
e = a−1 ◦ a ◦ e = a−1 ◦ a ◦ e ′ = e ′ .
Die Eindeutigkeit des Inversen zeigt man mit einem ähnlichen
Argument.
§7 Algebraische Strukturen
In einer Gruppe G ist sowohl das neutrale Element e als auch das
Inverse eines gegebenen Gruppenelements a eindeutig bestimmt; im
Falle einer additiven Gruppe notieren wir dieses Inverse oft mit −a
und im Fall einer multiplikativen Gruppe mit a−1 .
Die Eindeutigkeit des neutralen Elementes zeigt sich (im Falle einer
multiplikativen Gruppe) wie folgt: Angenommen, es gibt Elemente
e, e ′ ∈ G mit
a ◦ e = e ◦ a = a = e′ ◦ a = a ◦ e′
für ein beliebiges a ∈ G , so folgte nach Verknüpfung mit einem
Inversen a−1 von a sofort
e = a−1 ◦ a ◦ e = a−1 ◦ a ◦ e ′ = e ′ .
Die Eindeutigkeit des Inversen zeigt man mit einem ähnlichen
Argument.
§7 Algebraische Strukturen
Auf Grund eben dieser Eindeutigkeiten ergeben sich folgende
Regeln:
(a ◦ b)−1 = b−1 ◦ a−1 , (a−1 )−1 = a
(denn (a ◦ b) ◦ (b−1 ◦ a−1 ) = a ◦ (b ◦ b−1 ) ◦ a−1 = a ◦ e ◦ a−1 = e)
sowie
a−1 ◦ (a−1 )−1 = e
und also
a = (a−1 )−1 .
a−1 ◦ a
= e
Im Falle von multiplikativen Verknüpfungen schreiben wir auch ab
statt a ◦ b.
Per Induktion verifiziert man dann die wohlbekannten Potenzregeln:
am+n = am an
und
(am )n = amn
für alle m, n ∈ Z.
§7 Algebraische Strukturen
Auf Grund eben dieser Eindeutigkeiten ergeben sich folgende
Regeln:
(a ◦ b)−1 = b−1 ◦ a−1 , (a−1 )−1 = a
(denn (a ◦ b) ◦ (b−1 ◦ a−1 ) = a ◦ (b ◦ b−1 ) ◦ a−1 = a ◦ e ◦ a−1 = e)
sowie
a−1 ◦ (a−1 )−1 = e
und also
a = (a−1 )−1 .
a−1 ◦ a
= e
Im Falle von multiplikativen Verknüpfungen schreiben wir auch ab
statt a ◦ b.
Per Induktion verifiziert man dann die wohlbekannten Potenzregeln:
am+n = am an
und
(am )n = amn
für alle m, n ∈ Z.
§7 Algebraische Strukturen
Die Anzahl der Elemente einer Gruppe nennt man die Ordnung der
Gruppe; besitzt die Gruppe unendlich viele Elemente, so hat sie
unendliche Ordnung.
Ein Beispiel einer endlichen Gruppe ist gegeben durch die Menge
{G, U }, wobei
G := {. . . , −4, −2, 0, 2, 4, 6, . . .},
U
:= {. . . , −5, −3, −1, 1, 3, 5, . . .}
die Mengen der geraden bzw. ungeraden Zahlen sind und die
Verknüpfung ◦ die durch
G = G ◦ G = U ◦ U,
U
= G ◦U =U ◦G
definierte Multiplikation ist.
§7 Algebraische Strukturen
Die Anzahl der Elemente einer Gruppe nennt man die Ordnung der
Gruppe; besitzt die Gruppe unendlich viele Elemente, so hat sie
unendliche Ordnung.
Ein Beispiel einer endlichen Gruppe ist gegeben durch die Menge
{G, U }, wobei
G := {. . . , −4, −2, 0, 2, 4, 6, . . .},
U
:= {. . . , −5, −3, −1, 1, 3, 5, . . .}
die Mengen der geraden bzw. ungeraden Zahlen sind und die
Verknüpfung ◦ die durch
G = G ◦ G = U ◦ U,
U
= G ◦U =U ◦G
definierte Multiplikation ist.
§7 Algebraische Strukturen
Ein Ring ist ein Tripel, bestehend aus einer Menge R versehen mit
zwei Verknüpfungen
+ : R ×R →R
(a, b) 7→ a + b
und
·: R ×R →R
(a, b) 7→ a · b
so dass mit den üblichen Rechengesetzen (R, +) eine kommutative
Gruppe mit neutralem Element 0 und (R \ {0}, ·) eine multiplikativ
abgeschlossene Menge ist.
Ist die Multiplikation kommutativ und existiert ein multiplikativ
neutrales Element 1, so handelt es sich um einen kommutativen
Ring mit Einselement.
§7 Algebraische Strukturen
Ein Ring ist ein Tripel, bestehend aus einer Menge R versehen mit
zwei Verknüpfungen
+ : R ×R →R
(a, b) 7→ a + b
und
·: R ×R →R
(a, b) 7→ a · b
so dass mit den üblichen Rechengesetzen (R, +) eine kommutative
Gruppe mit neutralem Element 0 und (R \ {0}, ·) eine multiplikativ
abgeschlossene Menge ist.
Ist die Multiplikation kommutativ und existiert ein multiplikativ
neutrales Element 1, so handelt es sich um einen kommutativen
Ring mit Einselement.
§7 Algebraische Strukturen
Bzgl. der Addition müssen also die folgenden Regeln erfüllt sein:
Für alle a, b, c ∈ R ist
(i) Assoziativität:
(a + b) + c = a + (b + c);
(ii) Kommutativität:
a + b = b + a;
(iii) Existenz der Null:
0 + a = a + 0 = a;
(iv) Existenz der add. Inversen:
Zu jedem a ∈ R gibt es (genau) ein Element x ∈ R mit
x + a = 0; wir schreiben hierfür x = −a.
§7 Algebraische Strukturen
Bzgl. der Addition müssen also die folgenden Regeln erfüllt sein:
Für alle a, b, c ∈ R ist
(i) Assoziativität:
(a + b) + c = a + (b + c);
(ii) Kommutativität:
a + b = b + a;
(iii) Existenz der Null:
0 + a = a + 0 = a;
(iv) Existenz der add. Inversen:
Zu jedem a ∈ R gibt es (genau) ein Element x ∈ R mit
x + a = 0; wir schreiben hierfür x = −a.
§7 Algebraische Strukturen
Bzgl. der Addition müssen also die folgenden Regeln erfüllt sein:
Für alle a, b, c ∈ R ist
(i) Assoziativität:
(a + b) + c = a + (b + c);
(ii) Kommutativität:
a + b = b + a;
(iii) Existenz der Null:
0 + a = a + 0 = a;
(iv) Existenz der add. Inversen:
Zu jedem a ∈ R gibt es (genau) ein Element x ∈ R mit
x + a = 0; wir schreiben hierfür x = −a.
§7 Algebraische Strukturen
Bzgl. der Addition müssen also die folgenden Regeln erfüllt sein:
Für alle a, b, c ∈ R ist
(i) Assoziativität:
(a + b) + c = a + (b + c);
(ii) Kommutativität:
a + b = b + a;
(iii) Existenz der Null:
0 + a = a + 0 = a;
(iv) Existenz der add. Inversen:
Zu jedem a ∈ R gibt es (genau) ein Element x ∈ R mit
x + a = 0; wir schreiben hierfür x = −a.
§7 Algebraische Strukturen
Und bzgl. der Multiplikation haben die folgenden Regeln zu gelten:
Für alle a, b, c ∈ R ist
(v) Assoziativität:
(a · b) · c = a · (b · c);
(vi) Distributivgesetz:
(a + b) · c = (a · c) + (b · c);
Und bei einem kommutativen Ring mit Einselement zusätzlich
(vii) Kommutativität:
a · b = b · a;
(viii) Existenz der Eins:
1 · a = a · 1 = a.
§7 Algebraische Strukturen
Und bzgl. der Multiplikation haben die folgenden Regeln zu gelten:
Für alle a, b, c ∈ R ist
(v) Assoziativität:
(a · b) · c = a · (b · c);
(vi) Distributivgesetz:
(a + b) · c = (a · c) + (b · c);
Und bei einem kommutativen Ring mit Einselement zusätzlich
(vii) Kommutativität:
a · b = b · a;
(viii) Existenz der Eins:
1 · a = a · 1 = a.
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Und bzgl. der Multiplikation haben die folgenden Regeln zu gelten:
Für alle a, b, c ∈ R ist
(v) Assoziativität:
(a · b) · c = a · (b · c);
(vi) Distributivgesetz:
(a + b) · c = (a · c) + (b · c);
Und bei einem kommutativen Ring mit Einselement zusätzlich
(vii) Kommutativität:
a · b = b · a;
(viii) Existenz der Eins:
1 · a = a · 1 = a.
§7 Algebraische Strukturen
Und bzgl. der Multiplikation haben die folgenden Regeln zu gelten:
Für alle a, b, c ∈ R ist
(v) Assoziativität:
(a · b) · c = a · (b · c);
(vi) Distributivgesetz:
(a + b) · c = (a · c) + (b · c);
Und bei einem kommutativen Ring mit Einselement zusätzlich
(vii) Kommutativität:
a · b = b · a;
(viii) Existenz der Eins:
1 · a = a · 1 = a.
§7 Algebraische Strukturen
Offensichtlich sind diese Regeln für die Menge der ganzen Zahlen
erfüllt, also ist Z bzgl. üblicher Addition + und Multiplikation · ein
kommutativer Ring. Hingegen ist etwa N0 kein Ring, da z.B. zu
a = 1 kein additives Inverses existiert.
Ringe können ungewohnte Eigenschaften haben: So ist es möglich,
dass für ein Produkt von Ringelementen a, b die Gleichung ab = 0
besteht, ohne dass notwendig einer der Faktoren a, b gleich null
sein muss. Gutartige Ringe R sind jedoch meist nullteilerfrei;
dieses Adjektiv wird vergeben, wenn für beliebige a, b ∈ R gilt:
ab = 0
⇒
a = 0 oder b = 0.
Ein Beispiel für einen nullteilerfreien, kommutativen Ring ist der
Ring der ganzen Zahlen Z.
§7 Algebraische Strukturen
Offensichtlich sind diese Regeln für die Menge der ganzen Zahlen
erfüllt, also ist Z bzgl. üblicher Addition + und Multiplikation · ein
kommutativer Ring. Hingegen ist etwa N0 kein Ring, da z.B. zu
a = 1 kein additives Inverses existiert.
Ringe können ungewohnte Eigenschaften haben: So ist es möglich,
dass für ein Produkt von Ringelementen a, b die Gleichung ab = 0
besteht, ohne dass notwendig einer der Faktoren a, b gleich null
sein muss. Gutartige Ringe R sind jedoch meist nullteilerfrei;
dieses Adjektiv wird vergeben, wenn für beliebige a, b ∈ R gilt:
ab = 0
⇒
a = 0 oder b = 0.
Ein Beispiel für einen nullteilerfreien, kommutativen Ring ist der
Ring der ganzen Zahlen Z.
§7 Algebraische Strukturen
Ein Ring K, in dem K \ {0} mit der Multiplikation eine
kommutative Gruppe ist und die neutralen Elemente der Addition
und der Multiplikation verschieden sind, nennt man Körper;
zusätzlich zu den Ringaxiomen (i)-(viii) gilt also dann noch
(ix) Für beliebige a, b ∈ K , wobei a 6= 0, gibt es (genau) ein
Element x ∈ K mit a · x = b; man schreibt x = ba−1 = a−1 b.
Körper zeichnen sich u.a. dadurch aus, dass jedes Element 6= 0 ein
multiplikatives Inverses besitzt. Die Menge Z ist also kein Körper,
hingegen sind der Quotient Q der rationalen Zahlen und die Menge
R der reellen Zahlen Körper.
§7 Algebraische Strukturen
Ein Ring K, in dem K \ {0} mit der Multiplikation eine
kommutative Gruppe ist und die neutralen Elemente der Addition
und der Multiplikation verschieden sind, nennt man Körper;
zusätzlich zu den Ringaxiomen (i)-(viii) gilt also dann noch
(ix) Für beliebige a, b ∈ K , wobei a 6= 0, gibt es (genau) ein
Element x ∈ K mit a · x = b; man schreibt x = ba−1 = a−1 b.
Körper zeichnen sich u.a. dadurch aus, dass jedes Element 6= 0 ein
multiplikatives Inverses besitzt. Die Menge Z ist also kein Körper,
hingegen sind der Quotient Q der rationalen Zahlen und die Menge
R der reellen Zahlen Körper.
§7 Algebraische Strukturen
Ein Ring K, in dem K \ {0} mit der Multiplikation eine
kommutative Gruppe ist und die neutralen Elemente der Addition
und der Multiplikation verschieden sind, nennt man Körper;
zusätzlich zu den Ringaxiomen (i)-(viii) gilt also dann noch
(ix) Für beliebige a, b ∈ K , wobei a 6= 0, gibt es (genau) ein
Element x ∈ K mit a · x = b; man schreibt x = ba−1 = a−1 b.
Körper zeichnen sich u.a. dadurch aus, dass jedes Element 6= 0 ein
multiplikatives Inverses besitzt. Die Menge Z ist also kein Körper,
hingegen sind der Quotient Q der rationalen Zahlen und die Menge
R der reellen Zahlen Körper.
§7 Algebraische Strukturen
Ein exotisches Beispiel eines Körpers ist gegeben durch die Menge
√
√
Q( 2) := {a + b 2 : a, b ∈ Q}
√
der Linearkombinationen von 1 und 2 mit rationalen
Koeffizienten, ausgestattet mit
√ der üblichen Addition und
eine Teilmenge √
von R und enthält
Multiplikation. Damit ist
√ Q( 2) √
Zahlen wie z.B. 2, − 53 , 2, 1 − 13 2 und (1 − 13 2)3 und viele
mehr. Für diese Zahlen gelten mit beliebigen a, b, c, d ∈ Q die
Verknüpfungen
√
√
√
(a + b 2) + (c + d 2) := a + c + (b + d ) 2
und ((mittels
√
2
2 = 2)
√
√
√
(a + b 2) · (c + d 2) := ac + 2bd + (ad + bc) 2.
Resümee
Eine Gruppe ist eine nicht-leere Menge zusammen mit einer
Verknüpfung und einer gewissen Struktur (wie z.B. die Existenz
eines Inversen). Aufgrund der Abstraktheit dieses Begriffes treten
Gruppen in verschiedenen Kontexten auf. (Bsp.: (Z, +))
Ein Ring ist eine nicht-leere Menge mit zwei Verknüpfungen; bzgl.
der Addition liegt eine kommutative Gruppe vor und bzgl. der
Multiplikation eine abgeschlossene Menge mit den üblichen
Rechengesetzen. Ist die Multiplikation kommutativ und existiert ein
multiplikativ neutrales Element, so handelt es sich um einen
kommutativen Ring mit Einselement. (Bsp.: (Z, +, ·))
Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Einselement, bei dem alle
Elemente bis auf das neutrale Element 0 eine kommutative
multiplikative Gruppe bilden. (Bsp.: (Q, +, ·))
Resümee
Eine Gruppe ist eine nicht-leere Menge zusammen mit einer
Verknüpfung und einer gewissen Struktur (wie z.B. die Existenz
eines Inversen). Aufgrund der Abstraktheit dieses Begriffes treten
Gruppen in verschiedenen Kontexten auf. (Bsp.: (Z, +))
Ein Ring ist eine nicht-leere Menge mit zwei Verknüpfungen; bzgl.
der Addition liegt eine kommutative Gruppe vor und bzgl. der
Multiplikation eine abgeschlossene Menge mit den üblichen
Rechengesetzen. Ist die Multiplikation kommutativ und existiert ein
multiplikativ neutrales Element, so handelt es sich um einen
kommutativen Ring mit Einselement. (Bsp.: (Z, +, ·))
Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Einselement, bei dem alle
Elemente bis auf das neutrale Element 0 eine kommutative
multiplikative Gruppe bilden. (Bsp.: (Q, +, ·))
Resümee
Eine Gruppe ist eine nicht-leere Menge zusammen mit einer
Verknüpfung und einer gewissen Struktur (wie z.B. die Existenz
eines Inversen). Aufgrund der Abstraktheit dieses Begriffes treten
Gruppen in verschiedenen Kontexten auf. (Bsp.: (Z, +))
Ein Ring ist eine nicht-leere Menge mit zwei Verknüpfungen; bzgl.
der Addition liegt eine kommutative Gruppe vor und bzgl. der
Multiplikation eine abgeschlossene Menge mit den üblichen
Rechengesetzen. Ist die Multiplikation kommutativ und existiert ein
multiplikativ neutrales Element, so handelt es sich um einen
kommutativen Ring mit Einselement. (Bsp.: (Z, +, ·))
Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Einselement, bei dem alle
Elemente bis auf das neutrale Element 0 eine kommutative
multiplikative Gruppe bilden. (Bsp.: (Q, +, ·))
III. Modulare Arithmetik