PN2 Einführung in die Physik für Chemiker 2: Klausur

PN2 Einführung in die Physik für Chemiker 2
SS 2016
Prof. J. Lipfert
Klausur
Name:
Matrikelnummer:
• Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jede Seite und legen Sie Ihren Lichtbildausweis bereit.
• Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner, zwei beidseitig beschriebene DIN A4 Blätter, Wörterbuch
• Bearbeitungszeit: 120 min
• Ergebnisse bitte nur auf die Aufgabenblätter (ggf. auch die Rückseiten beschreiben).
• Viel Erfolg!
Aufgabe Erreichte Punkte Mögliche Punkte
1
30
2
20
3
20
4
15
5
15
Σ
100
Einige nützliche Konstanten
Erdmasse ME ≈ 5.97 × 1024 kg
Erdradius RE ≈ 6370 kg
Gravitationskonstante G ≈ 6.67 × 10−11
m3
kg s2
Elementarladung: e ≈ 1.60 × 10−19 C
2
Dielektrizitätskonstante: 0 ≈ 8.85 × 10−12 NCm2
Magnetische Feldkonstante: µ0 ≈ 1.26 × 10−6 TAm
Plancksches Wirkungsquantum (Planck-Konstante): h ≈ 6.63 × 10−34 J s
Masse eines Elektrons: me = 9.1 × 10−31 kg
1
Name:
SS 2016
Aufgabe 1
Verständnisfragen (30 Punkte). Geben Sie kurze Antworten (1-2 Sätze, bzw. kurze Rechnung, bzw. einfache Skizze) auf die folgenden Fragen.
a) Ordnen Sie folgende Arten elektromagnetischer Strahlung nach Größe der Wellenlänge (von
langen zu kurzen Wellenlängen): i) Röntgenstrahlen zur Untersuchung von Gitterstrukturen,
ii) Radiowellen für den Rundfunk, iii) grünes Laserlicht, iv) Licht eines Infrarot-Lasers.
b) Sie möchten Interferenz an dünnen Schichten beobachten. Dazu strahlen Sie Licht einer
bestimmten Wellenlänge λ aus Luft auf ein dünnes Glasplättchen mit Brechnungsindex nG =
1.5. Was muss für den Gangunterschied in der dünnen Schicht ∆s gelten, damit konstruktive
Interferenz auftritt, für den Fall:
i) unter dem Glasplättchen befindet sich wieder Luft?
ii) unter dem Glasplättchen befindet sich Diamant mit Brechungsindex nD = 2.4?
c) Nennen Sie die Kirchhoffschen Regeln und erklären Sie, was diese besagen!
d) Die simpelsten Polfilter bestehen aus dünnen, parallelen Drähten mit Abständen d kleiner
als die Wellenlänge λ des zu polarisierenden Lichts. Was muss für die Richtung des Vektors
der elektrischen Feldstärke gelten, damit Licht einen solchen Polfilter passieren kann?
e) Ein Draht mit einem Durchmesser von 0.02 m besteht aus einem Material mit 1028 freien
Elektronen pro Kubikmeter. Wenn ein Strom von 100 A durch diesen Draht fließt, wie groß
ist die Driftgeschwindigkeit der Elektronen?
f) Ein Material habe eine (relative) Dielektrizitätskonstante von 2.1 und eine (relative) magnetische Permeabilität von 1.0. Wie groß ist die Lichtgeschwindigkeit in diesem Material,
relativ zur Vakuumslichtgeschwindigkeit c?
g) Eine Radiostation sendet elektromagnetische Wellen mit einer Wellenlänge von 3.0 m. Auf
welche Frequenz müssen Sie ihr Autoradio stellen, um die Station zu empfangen?
h) Was ist die Photonenenergie der Wellen aus der letzten Teilaufgabe?
i) In der Radioastronomie benutzt man Teleskope für Radiowellen, um Sterne in diesem Bereich
des elektromagnetischen Spektrums zu beobachten. Warum benötigt man dafür Teleskope
mit einem viel größeren Durchmesser als für Messungen sichtbaren Bereich, um eine ähnliche
Auslösung zu erreichen?
j) Das Bild zeigt eine Parallelschaltung von sogenannten Leidener Flaschen, d.h. von einfachen
Kondensatoren. Wenn eine der unten gezeigten Flaschen eine Kapazität von 1 nF hat, wie
groß ist die Gesamtkapazität des unten gezeigten Aufbaus?
2
Name:
SS 2016
Lösung
a) Radiowellen, Infrarotlaser, grüner Laser, Röntgenstrahlen
b) Im Fall i) tritt bei der ersten Reflexion an der Luft-Glas Grenzfläche ein Phasensprung von
λ
2 auf, bei der zweiten Reflexion an der Glas-Luft Grenzfläche jedoch nicht. Also gilt hier als
Kriterium für konstruktive Interferenz:
1
λ
∆s = m −
2
Im Fall ii) tritt bei beiden Reflexionen ein Phasensprung von
Interferenz:
∆s = mλ
λ
2
auf, also gilt für konstruktive
c) Kirchhoff’sche Regeln:
• Knotenregel: In einem Knotenpunkt eines elektrischen Netzwerkes ist die Summe der
zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme.
• Maschenregel: Alle Teilspannungen eines Umlaufs bzw. einer Masche in einem elektrischen Netzwerk addieren sich zu null.
d) Richtige Antwort:
Das elektrische Feld schwingt senkrecht zu den Drähten des Filters.
e) Es gilt:
I = enAvD
Und damit:
vD =
I
4I
µm
=
= 198.7
2
enA
enπd
s
f) Es ist:
cM = √
c
≈ 0.7c
r µr
g) Allgemein c = f · λ, somit f = c/λ = 1 × 108 Hz = 100 MHz.
h) Allgemein EPhoton = h · f = h · c/λ =
1240 eV nm
3 × 109 nm
= 4.1 × 10−7 eV.
i) Die Winkelauflösung eines Teleskops ist beugungslimitiert, und in etwa durch das RayleighKriterium gegeben: θmin ≈ λ/d , wobei d der Durchmesser des Teleskops und λ die Wellenlänge der Strahlung ist. Da für Radiowellen gilt λRadio λvis , muss der Durchmesser von
Teleskopen für Radiowellen wesentlich grösser als für sichtbares Licht sein, um eine ähnliche
Winkelauflösung zu erreichen.
P
j) Für eine Parallelschaltung von Kondensatoren gilt Cges = i Ci . Im Bild sieht man 5 x 5 =
25 Leidener Flaschen, die parallel geschaltet sind, somit Cges = 25 nF.
3
Name:
SS 2016
Aufgabe 2
E -Feld einer homogen geladenen Kugel. (20 Punkte)
a) Wie lautet der Gauß’sche Satz der Elektrostatik?
b) Betrachten Sie nun eine homogen geladene Vollkugel mit Radius R und Gesamtladung Q.
Berechnen Sie das elektrische Feld außerhalb der Kugel!
c) Berechnen Sie nun das Feld innerhalb der Kugel!
d) Skizzieren Sie das elektrische Feld der Kugel als Funktion des Abstandes vom Mittelpunkt
der Kugel r , im Bereich r = 0...3R.
4
Name:
SS 2016
Lösung
a) Differentielle Form:
~ = ρ
∇·E
0
Integrale Form:
Z
~ =
dV ∇ · E
V
Z
~ ·E
~ =Q
dA
0
∂V
Ladungen sind also Quellen bzw. Senken des Elektrostatischen Felds
~ radial
b) Für die homogen geladene Kugel gilt Q = 43 πR 3 ρ. Aus Symmetriegründen muss E
~ k r̂ . Außerhalb der Kugel gilt also:
nach außen zeigen, also E k dA
Z
~ ·E
~ = 4πr 2 E = Q
dA
0
∂V
Und damit
Q
r̂
4π0 r 2
3
c) Innerhalb der Kugel ist Qi = 34 πr 3 ρ = Q Rr . Daraus folgt für das Innenfeld:
~ =
E
~ = Q r r̂
E
4π0 R 3
d) Feld steigt im Bereich 0 − R linear an und sinkt dann ∝
1
r2
Electric field [E0 ]
1.0
0.8
0.6
Inner field
Outer field
E∝r
E ∝ 1/r 2
0.4
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Distance from sphere center [R]
5
3.0
Name:
SS 2016
Aufgabe 3
Lorentzkraft (20 Punkte) Ein Elektron, das zunächst in Ruhe ist, durchläuft eine positive
Beschleunigungsspannung V in x -Richtung und tritt dann in ein homogenes Magnetfeld in
~ (~r ) = B0 êz .
z -Richtung B
a) Geben Sie einen Ausdruck für die Geschwindigkeit des Elektrons nach Durchlaufen der Beschleunigungsspannung an!
b) Im Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft auf das Elektron. Geben Sie einen Ausdruck für den
Betrag der Lorentzkraft an. In welche Richtung zeigt sie?
c) Durch die Lorentzkraft wird das Elektron auf eine Kreisbahn gezwungen. Berechnen Sie
ihren Radius durch Betrachten eines geeigneten Kräftegleichgewichts für V = 10 kV und
B0 = 1 T!
d) Leistet das Magnetfeld Arbeit am Elektron? Begründen Sie Ihre Antwort!
6
Name:
SS 2016
Lösung
a) Gleichsetzen von kinetischer und elektrischer Energie liefert v :
1 2
mv = eV
2
r
2eV
v=
m
b) Lorentzkraft:
~ = q~v × B
~ = −ev êx × B0 êz = evB êy
F
Betrag also:
F = evB0
c) Gleichsetzen von Lorentzkraft und Zentrifugalkraft liefert Radius:
evB0 =
mv
1
r=
=
eB0
B0
r
mv 2
r
2mV
≈ 337.21 µm
e
R
~ · d~s . Wegen dem Kreuzprodukt in der
d) Die geleistete Arbeit berechnet sich aus W = F
Lorentzkraft wirkt diese immer senkrecht zur Bewegungsrichtung des Elektrons. Deswegen
verschwindet das Skalarprodukt. Es wird keine Arbeit geleistet.
7
Name:
SS 2016
Aufgabe 4
Schwingkreis (15 Punkte) In folgender Schaltung sei der Kondensator zum Zeitpunkt t = 0
geladen und es fließe kein Strom. Gehen Sie davon aus, dass sich alle Bauteile ideal verhalten,
es also keinen ohmschen Widerstand R gibt!
C
L
a) Stellen Sie mit Hilfe der Kirchoffschen Regeln die Differentialgleichung für Q(t) auf, welche
den Schwingkreis beschreibt.
b) Zeigen Sie, dass der Ansatz Q(t) = Q0 cos (ω0 t) die Differentialgleichung löst und geben
Sie ω0 an.
c) Fügt man im obigen Schwingkreis noch einen ohmschen Widerstand R hinzu, tritt Dämpfung
auf. In diesem Fall lautet die Lösung der Schwingungsgleichung:
R
Q (t) = Q0 e − 2L t cos ω 0 t + φ
q
R 2
mit
= ω02 − 2L
und ω0 der ungedämpften Kreisfrequenz. Wie lange dauert es in
einem Schwingkreis mit C = 0.1 µF, L = 50.0 µH und R = 5.0 Ω bis die Amplitude der
Schwingung auf e1 der Ausgangsamplitude abgefallen ist? Wie viele komplette Schwingungen
führt der Schwingkreis in dieser Zeit aus?
ω0
8
Name:
SS 2016
Lösung.
a)
UC + UL = 0
Q(t)
+ Lİ (t) = 0
C
Q(t)
+ LQ̈(t) = 0
C
b)
Q(t) = Q0 cos (ω0 t)
Q̈ (t) = −Q0 ω02 cos (ω0 t)
1
− ω02 = 0
LC
r
1
ω0 =
LC
c) Die Zeitkonstante wird aus der Angabe entnommen:
τ=
2L
= 20.0 µs
R
Der Schwingkreis hat eine Periodendauer von
T =
2π
=q
ω0
2π
1
LC
−
R 2
2L
= 14.1 µs
Der Schwingkreis führt also eine komplette Schwingung aus.
9
Name:
SS 2016
Aufgabe 5
Optik (15 Punkte)
Die Objektiv-Linse eines Mikroskops hat eine Brennweite von fOb = 17.0 mm. Es erzeugt 17.7 cm
von seiner Linsenebene entfernt ein reelles Bild.
a) Wie weit vor dem Objektiv befindet sich der Gegenstand?
b) Das Okular des Mikroskops hat eine Brennweite von fOk = 51.0 mm. In welchem Abstand
vom Objektiv muss das Okular plaziert werden, damit der Betrachter das Endbild im Unendlichen sieht?
c) Skizzieren Sie den Aufbau des Mikroskops und den Strahlengang durch dasselbe. Zeichnen
Sie den Gegenstand und das Zwischenbild ein. (Die Skizze muss nicht maßstabsgetreu sein.)
d) Welche Vergößerung ergibt sich für einen Betrachter, dessen Nahpunkt bei s0 = 25.0 cm
liegt?
e) Was sind chromatische Abberationen?
10
Name:
SS 2016
Lösung.
a) Für das Objektiv gilt die Linsengleichung
1 1
1
+ =
b
g
f
Durch Einsetzen der Zahlenwerte
1
1
1
+ =
17.7 cm g
1.7 cm
und Auflösen nach der Gegenstandsweite ergibt sich
g = 1.88 cm
b) Das Bild der Objektivlinse ist der Gegenstand, der mit dem Okular betrachtet wird.
Da das Bild der Okularlinse im Unendlichen liegt, gilt: bOk → ∞ und damit
1
→0
bOk
Stellt man nun die Linsengleichung für das Okular auf, so ergibt sich 0 +
Gegenstandsweite des Okulars betrgägt folglich
1
gOk
=
1
fOK
. Die
gOk = 5.1 cm
Der Abstand der beiden Linsen setzt sich aus der Bildweite des Objektivs und der Gegenstandsweite des Okulars zusammen. Es ergibt sich
d = 17.7 cm + 5.10 cm = 22.8 cm
c) Bei der Skizze sind folgende Dinge wichtig:
- Für den Strahlengang durchs Objektiv sind Brennstrahlen, Parallelstrahlen und der Mittelpunktstrahl gezeichnet.
- Das reelle Zwischenbild steht auf dem Kopf und liegt in der Brennebene der Okularlinse.
- Der weitere Strahlengang durchs Okular kann entweder durch Fortführung der vom Objektiv kommenden Strahlen oder durch Konstruktion von Hilfsstrahlen (Mittelpunktstrahl oder
Parallel- und Brennpunktstrahl) gezeichnet werden.
- Die aus dem Okular austretenden Strahlen müssen aber in jedem Fall parallel sein, da das
reelle Zwischenbild ja in der Brennebene des Okulars liegt.
d) Die Vergößerung des Mikroskops ergibt sich durch
V = VOb · VOk = −
t s0
f0b f0k
Die Tubuslänge t berechnet sich folgendermaßen
t = d − fOb − fOk = 22.8 cm − 1.7 cm − 5.1 cm = 16.0 cm
Für die Vergößerung beträgt damit
V =−
16.0 25
= −46.1
1.7 5.1
e) Chromatische Abberationen sind Abbildungsfehler von Linsen, die daher rühren, dass Licht
verschiedener Wellenlängen, also verschiedenfarbiges Licht, beim Übergang von einem Medium zum anderen unterschiedlich stark gebrochen wird.
11