Formelsammlung zur Vorlesung Einführung in die Physik für

Formelsammlung zur Vorlesung
Einführung in die Physik für Pharmazeuten
WS 2006/2007
1
1.1
Grundlagen
Physikalische Größen und Einheiten
Physikalische Größe = Maßzahl × Maßeinheit
SI-Einheiten: Meter (m), Sekunde (s), Kilogramm (kg), Ampere (A), Kelvin (K), Mol (mol),
Candela (cd).
1.2
Statistik
Bei N Messungen x1 , x2 , . . . , xN einer Messgröße x:
- Arithmetisches Mittel:
x̄ =
- Varianz:
varx = σx2 =
N
1 X
xi
N i=1
N
1 X
(xi − x̄)2
N − 1 i=1
- Mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels:
√
σM = σx / N
2
2.1
Mechanik
Kinematik
Ort als Funktion der Zeit (“Trajektorie”): x = x(t).
Geschwindigkeit:
v(t) = ẋ(t) =
dx
dt
Beschleunigung:
a(t) = v̇(t) = ẍ(t) =
d2 x
dt2
Kreisförmige Bewegung - Winkel als Funktion der Zeit: φ = φ(t).
Winkelgeschwindigkeit = Kreisfrequenz:
ω(t) = φ̇(t) =
1
dφ
dt
Es gilt: ω = 2πf , wobei f die Unlauffrequenz ist (ein Umlauf um den Kreis entspricht einer
Winkeländerung von 2π)
Winkelbeschleunigung:
α(t) = ω̇(t) = φ̈(t) =
2.2
d2 φ
dt2
Newtonsche Gesetze
1. Newtonsches Gesetz: Ohne Einwirkung von Kräften verändert sich der Bewegungszustand
(Ruhe, gleichförmige Bewegung) eines Körpers nicht.
2. Newtonsches Gesetz: Kraft = Masse × Beschleunigung
2
d ~x
F~ = m~a = m 2
dt
3. Newtonsches Gesetz: actio=reactio. Wechselwirkt in einem abgeschlossenen System Körper
j mit Körper i, so gilt
F~ij = −F~ji
2.3
Gravitation
Gravitationsgesetz. Zwei Massen m und M wechselwirken gravitativ miteinander gemäß:
m · M ~r
F~ = −G 2
r
r
Hier ist G die Gravitationskonstante und ~r der Verbindungsvektor der beiden Massen. Der
Betrag der Gravitationskraft ist
m·M
F = −G 2
r
Auf der Erde wirkt die Gewichtskraft auf eine Masse m, und zwar
Fg = mg,
wobei g die Erdbeschleunigung ist.
Das dritte Keplersche Gesetz für Himmelskörper lautet:
T 2 /R3 = const
Hier ist T die Umlaufdauer und R der (mittlere) Bahnradius.
2.4
Impuls und Impulserhaltung
Impuls: p~ = m~v .
Damit wird das zweite Newtonsche Gesetz:
d
F~ = p~
dt
2
Impulserhaltung. In einem abgeschlossenen System (ohne äußere Kräfte) bleibt der Gesamtimpuls erhalten:
X
X
p~i =
mi~vi = const
i
i
Hier läuft die Summe über alle Körper des Systems. Bei zwei Körpern ist z.B.
m1~v1 + m2~v2 = const
2.5
Gleichförmige Kreisbewegung
In Vektorschreibweise wird die kreisförmige Bewegung des Radiusvektors ~r so beschrieben:
cos ωt
sin ωt
~r = r
!
sowie Geschwindigkeit und Beschleunigung:
− sin ωt
cos ωt
~v = ωr
2
~a = −ω r
cos ωt
sin ωt
!
!
= −ω 2~r
Der Betrag der “Zentripetalbeschleunigung” ist also
a = ω2r =
2.6
v2
r
Federkraft - Hookesches Gesetz
Die rücktreibende Kraft einer Feder mit Federkonstante D ist proportional zur Auslenkung:
FD = −D · (x − x0 )
Hier ist x0 die Ruheposition der Feder. Häufig verwendet man für die Federkonstante auch
das Symbol k.
2.7
Reibung
Reibungskräfte wirken entgegen einer angelegten Kraft. Der Reibungskoeffizient µ ist definiert
über
FReibung = µFN ,
wobei FN die Normalkraft (= senkrecht zur Unterlage) eines Körpers ist.
3
2.8
Mechanische Arbeit
Die mechanische Arbeit ist definiert als Arbeit = Kraft × Weg:
Z
Wab =
b
F~ (~r) · d~r
a
Die Hubarbeit, um eine Masse m auf die Höhe h zu heben, ist daher:
W =m·g·h
Die elastische Verformungsarbeit um eine Feder mit Federkonstante D um x zu dehnen ist
1
W = Dx2
2
Nachdem die Arbeit geleistet ist, steckt in den Körpern diese als “potentielle Energie” Epot .
Die kinetische Energie einer Masse mit Geschwindigkeit v ist:
1
E = mv 2
2
In der Mechanik gilt in einem abgeschlossenen System ohne Reibung für die Gesamtenergie:
Etot = Ekin + Epot = const
2.9
Leistung
Leistung ist verrichtete Arbeit pro Zeiteinheit, also:
P =
2.10
dW
dt
Der starre Körper
Der Drehimpuls:
~ = ~r × p~ = ~r × m~v
L
Das Drehmoment:
~ = ~r × F~
M
Entsprechend gilt die Bewegungsgleichung:
~
dL
~
=M
dt
~ = 0 ist also der Drehimpuls erhalten.
Bei M
Das Trägheitsmoment I von N Massenpunkten ist
I=
N
X
i=1
4
mi ri2 ,
wobei die ri die Abstände von der Drehachse sind. Für eine kontinuierliche Massenverteilung
ist:
Z
I = r2 dm
Die Rotationsenergie eines Körpers mit Trägheitsmoment I, der mit Winkelgeschwindigkeit
ω rotiert, ist:
1
Erot = Iω 2
2
Für die Bahngeschwindigkeit eines rotierenden Massenpunktes gilt:
~v = ω
~ × ~r,
der Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω
~ ist parallel zur Drehachse uns bildet mit ~r und ~v ein
Rechtssystem. Damit ist auch:
~ = ~r × m~v = I~
L
ω
2.11
Kreiselbewegung
~ ein Drehmoment M
~ , so weicht der Kreisel mit
Wirkt auf einen Kreisel mit Drehimpuls L
~
einer “Präzessionsbewegung” senkrecht zu L aus. Die Präzessionsfrequenz ist:
ωprec =
2.12
M
L
Festkörper
Die Dichte ist definiert als Masse pro Volumen:
∆m
∆V
ρ=
Elastische Eigenschaften von Festkörpern gehorchen Variationen des Hookeschen Gesetzes (die
Kraft ist proportional zur Ausdehnung). Die Proportionalitätskonstanten heißen “Moduln”.
Die “Zugspannung” ist die auf die Fläche normierte Zugkraft:
F⊥
A
σ=
Die Dehnung ist die relative Längenänderung
=
∆L
L
Das Hookesche Gesetz lautet damit:
σ =E·
E heißt “Elastizitätsmodul”.
Für eine “Scherung” eines Festkörpers um den Scherwinkel γ gilt mit dem “Schubmodul”
G für die “Scherspannung”
σS = G · γ
5
Eine weitere Verformung ist die “Biegung” eines Balkens. Um einen einseitig eingespannten
Balken der Länge L mit rechteckigem Querschnitt (Seite a entlang der Biegekraft, Seite b
senkrecht dazu) um ∆h zu verbiegen, benötigt man die Kraft:
a3 · b
∆h
4L3
Analog gilt für das Drehmoment, das zur Torsion eines Zylinders der Länge L mit Radius r
um den Winkel ∆φ benötigt wird:
F =E·
πR4
· ∆φ
2L
Alle diese Zusammenhänge gelten für “kleine” Verformungen. Bei größeren Verformungen
treten inelastische Effekte (z.B. Fließen) und schließlich Destruktion ein.
M =G·
2.13
Hydrostatik
Druck ist definiert als Kraft pro Fläche:
p=
F
A
Der Schweredruck (hydrostatischer Druck) einer Flüssigkeitssäule der Höhe h ist
p=ρ·g·h
Der Druck ist unabhängig von der Form des Gefäßes, in dem sich die Flüssigkeit befindet.
Daher auch das Prinzip der hydraulischen Presse: Für die Kräfte auf zwei zylindrische Kolben
mit Durchmesser A1 und A2 gilt:
F1
F2
=
,
A1
A2
eine kleine Kraft auf einen kleinen Durchmesser wird übersetzt auf eine große Kraft auf einen
großen Durchmesser.
Ein Körper des Volumens V erfährt in einer Flüssigkeit der Dichte ρ eine Auftriebskraft:
FA = ρ · g · V
Der Körper sinkt daher, falls seine Dichte höher ist als die der Flüssigkeit, er schwebt bei
gleicher Dichte und schwimmt bei kleinerer Dichte.
Der Kompressionsmodul K ist definiert über den Zusammenhang zwischen relativer Volumenänderung und Druck:
∆V
∆p = −K
,
V
die Kompressilibilität ist definiert als κ = K −1 .
Die barometrische Höhenformel für den Atmosphärendruck in Höhe h ist:
p(h) = p0 · exp −
ρ0 gh
p0
Der atmosphärische Normaldruck ist 1.013 × 105 Pa.
6
2.14
Oberflächenspannung
Die Oberflächenspannung σ ist definiert als
σ=
F
,
l
hier ist F die “Haftkraft” der Flüssigkeit und l die Länge der Begrenzungslinie. Es gilt auch
σ=
∆E
,
∆A
d.h., die Oberflächenspannung ist gleich der spezifischen Oberflächenenergie - der Energie
∆E, die benötigt wird um die Oberfläche einer Flüssigkeit um ∆A zu vergößern. Für den
Kohäsionsdruck innerhalb einer gekrümmten Flüssigkeitsoberfläche mit Radius R gilt
∆p =
2σ
,
R
das Abrisskriterium für einen Tropfen mit Gewicht Fg ist:
∆p =
Fg
πR2
Für den Kontaktwinkel θ eines Flüssigkeitstropfens auf einer Oberfläche gilt die YoungGleichung:
σsolid−gas = σsolid−f luid + σf luid−gas cos θ,
die σ sind die verschiedenen Kontaktspannungen. Bei θ = 0 ist die Flüssigkeit vollständig
benetzend.
2.15
Hydrodynamik
Der Volumenstrom I durch ein Rohr mit Querschnitt A ist
I=
dV
= A · v,
dt
wobei v die Fließgeschwindigkeit ist.
Fließt eine (inkompressible) Flüssigkeit durch ein Rohr mit unterschiedlichen Querschnitten
A1 , A2 , A3 , . . ., so gilt die Kontinuitätsgleichung
v1 · A1 = v2 · A2 = v3 · A3 = const
Für eine ideale Flüssigkeit (inkompressibel und ohne Reibung) gilt die Bernoulli-Gleichung:
1
p + ρgh + ρv 2 = const,
2
hier ist p der stationäre Druck, ρgh der hydrostatische Druck und 1/2ρv 2 der “Staudruck”.
Der Strömungswiderstand RS ist definiert über:
∆p = Rs · I
7
Die Viskosität η einer Flüssigkeit ist definiert über:
F
v
=η .
A
d
Hier ist v die Geschwindigkeit einer Flüssigkeitsschicht im Abstand d von einer Oberfläche,
wenn dort eine Schubspannung F/A angreift. Bei “Newtonschen” Flüssigkeiten ist η unabhängig von Schubspannung und Geschwindigkeit.
Für das Strömungsprofil durch Rohre mit kreisförmigen Querschnitt (Radius R) gilt:
v(r) =
∆p 2
(R − r2 ).
4ηL
Hier ist r der Abstand von der Rohrmitte.
Damit gilt das Hagen-Poiseuillesche Gesetz für den Volumenstrom durch ein Rohr mit Radius
R und Länge L:
πR4
∆p
I=
8ηL
Eine Kugel mit Radius r, die sich mit Geschwindigkeit v (im Regime laminarer Strömung)
durch eine Flüssigkeit mit Viskosität η bewegt, erfährt eine Reibungskraft
FStokes = −6πηrv,
die der Bewegung entgegengerichtet ist.
Die Reynoldszahl
Re =
ρvL
η
ist eine Kenngröße, die laminare von turbulenter Strömung trennt. Bei Re 1 ist die
Strömung laminar, bei Re 1 turbulent.
2.16
Schwingungen
Eine harmonische Schwingung hat die Form
x(t) = x0 · sin (ωt + φ0 )
x0 ist die Amplitude der Schwingung, ω die Kreisfrequenz und φ0 eine “Phase”.
Eine harmonische Schwingung ergibt sich z.B. als Lösung der Bewegungsgleichung für ein
Federpendel:
d2 x
m 2 = −Dx
dt
Bei einem Federpendel ist die Kreisfrequenz ω gegeben durch:
s
ω=
8
D
m
Die Gesamtenergie eines Federpendels ist
1
EF eder = Dx20
2
Die mittlere kinetische und potentielle Energie sind:
1
hEkin i = hEpot i = EF eder .
2
Die Bewegungsgleichung eines mathematischen Pendels (Fadenlänge l und Auslenkung s) ist:
d2 s
g
= − · s,
2
dt
l
Die Kreisfrequenz der Schwingung des mathematischen Pendels ist:
r
ω=
g
.
l
Die Bewegungsgleichung eines gedämpften, eindimensionalen, harmonischen Oszillators ist:
m
d2 x
dx
+γ
+ Dx = 0.
2
dt
dt
Die Lösung der Gleichung ist
x(t) = x0 · e−δt sin ωt
mit dem Abklingkoeffizienten δ = γ/2m und der Abklingzeit τA = δ −1 .
Die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators ist:
s
ω 0 = ω0 1 −
γ
2mω0
2
.
Die Energie des gedämpften Oszillators nimmt ab gemäß:
E(t) = E0 e−2δt
Die sogenannte “Güte” des Oszillators ist
Q = 2π
E
,
|∆E|
wobei |∆E| der Energieverlust pro Periode ist.
Erzwungene Schwingungen werden durch die Bewegungsgleichung
m
d2 x
dx
+γ
+ Dx = F0 · cos ωt
2
dt
dt
beschrieben. Sie hat die stationäre Lösung:
x(t) = A · cos(ωt + φ0 )
9
mit der Amplitude
F0 /m
A= q
(ω02 − ω 2 )2 + 4δ 2 ω 2
und der relativen Phase (Phasenverschiebung zwischen Anregung und Schwingung):
tan ∆φ =
−2δω
ω02 − ω 2
Resonanz tritt auf, wenn der Nenner im Ausdruck für die Amplitude sein Minimum annimmt,
das ist bei
q
ωR = ω02 − 2δ 2 ,
also leicht verschoben von der Eigenfrequenz des Systems.
Zwei Pendel mit Fadenlänge l, die durch eine Feder mit Federkonstante D12 gekoppelt sind,
haben zwei “Normalmoden” mit Frequenzen:
r
Ω1 = ω 0 =
s
ω02 +
Ω2 =
2.17
g
l
2D12
m
Wellen
Eine harmonische Welle (Periode T , Wellenlänge λ) in einer Dimension wird beschrieben
durch:
2π
2π
A(x, t) = A · sin
t−
· x = A · sin(ωt − k · x)
T
λ
Es gelten folgende Zusammenhänge:
Frequenz:
f=
1
ω
=
T
2π
Wellenzahl:
k=
2π
λ
Phasengeschwindigkeit:
c = λ · f = ω/k
Man unterscheidet longitudinale und transversale Wellen.
Die Phasengeschwindigkeiten einiger spezieller Wellentypen sind:
Elastische Welle (Schallwelle) im Festkörper mit Dichte ρ und E-Modul E:
s
c=
10
E
ρ
Schallwelle in einem Gas:
s
c=
Cp kB T
Cv m
Wasserwelle mit Ganghöhe h:
c=
Licht:
p
s
c=
gh
1
0 µ0
Eine harmonische Welle in drei Dimensionen wird beschrieben durch:
A(~x, t) = A · sin(ωt − ~k · ~x) = A · sin(ωt − kx x − ky y − kz z)
Werden die “Randbedingungen” festgesetzt, z.B. für Schallwellen in einem Hohlraum oder
Saitenschwingungen, so bilden sich “stehende Wellen” aus. Für eine eingespannte Saite der
Länge L gilt für die möglichen Wellenlängen:
λ
L=n ,
2
wobei n eine ganze Zahl ist.
Der Dopplereffekt tritt auf, wenn sich der Sender einer Welle und der Empfänger relativ
zueinander mit Geschwindigkeit v bewegen. Dabei verändert sich die wahrgenommene Frequenz der Welle.
Bei einem bewegten Sender ändert sich effektiv die Wellenlänge und es gilt:
λ0 = λ(1 ∓ v/c)
f
f0 =
,
1 ∓ v/c
wobei das Minuszeichen gilt, wenn sich Sender und Empfänger nähern, das Pluszeichen bei
Entfernung.
Bei einem bewegten Empfänger ändert sich die Schallgeschwindigkeit und es ist:
c0 = c ∓ v
f 0 = f (1 ∓ v/c)
11
3
3.1
Wärmelehre
Die Hauptsätze der Thermodynamik
Nullter Hauptsatz: Befinden sich zwei Körper mit einem dritten im thermischen Gleichgewicht, so sind sie auch untereinander im Gleichgewicht.
Erster Hauptsatz: Die Summe der einem System zugeführten Arbeit dW und der zugeführten
Wärme dQ ist gleich der Änderung der inneren Energie des Systems.
dU = dQ + dW
Die innere Energie eines abgeschlossenen Systems ist konstant (dU = 0). Ein Perpetuum mobile erster Art ist unmöglich (eine Maschine, die Energie aus “Nichts” produziert).
Zweiter Hauptsatz: Die Entropie S nimmt in einem abgeschlossenen System niemals ab:
dS ≥ 0
Die Entropie ist ein Maß für die Unordnung und hängt mit der Anzahl Ω der dem System
zugänglichen Mikrozustände zusammen über:
S = k ln Ω
Ein Perpetuum mobile zweiter Art ist unmöglich (z.B. “Es gibt keine periodisch arbeitende
Maschine, die nichts weiteres leistet als die Abkühlung eines Körpers und das Anheben einer
Last.”)
3.2
Wärmeausdehnung
Mit dem “Längenausdehnungskoeffizienten” α bzw. dehnt sich ein Körper bei einer Erwärmung
um ∆T = T2 − T1 aus um:
∆L = αL∆T
Für Volumenänderungen gilt mit dem “Volumenausdehnungskoeffizienten” γ:
∆V = γV ∆T
Bei isotropen Festkörpern ist γ = 3α. Thermische Kräfte, die durch Ausdehnung entstehen
kann man abschätzen über:
F =E·A·
∆L
= E · A · α · ∆T
L
Aufgrund der Volumenausdehnung ändert sich üblicherweise die Dichte von Materie und zwar
näherungsweise wie:
ρ0
ρ(T ) =
1 + γ · (T − T0 )
12
3.3
Das ideale Gas
Ein ideales Gas ist ein idealisiertes thermodynamisches System und besteht aus nicht wechselwirkenden Punktteilchen. Der “Zustand” eines Gases wird durch die “Zustandsgrößen”
Druck, Volumen, Temperatur und Teilchenzahl beschrieben.
Die ideale Gasgleichung lautet:
pV = nRT
Hier ist p der Druck, V das Volumen, n die Molanzahl, R die allgemeine Gaskonstante und
T die absolute Temperatur (Kelvinskala).
Bezieht man sich auf die Teilchenzahl N statt auf die Molanzahl n, so kann man schreiben:
pV = N kB T
Hier ist kB die Boltzmannkonstante. Es gilt der Zusammenhang:
R = NA kB ,
wobei NA die Avogadrokonstante ist.
Spezialfälle der Gasgleichung sind die Gesetze von Gay-Lussac und Boyle-Mariotte.
1. Gay-Lussac (isobare Zustandsänderung p = const):
V
= const
T
2. Gay-Lussac (isochore Zustandsänderung V = const):
p
= const
T
Boyle-Mariotte (isotherme Zustandsänderung T = const):
pV = const
Bei einer “adiabatischen” Zustandsänderung ist kein Wärmeaustausch mit der Umgebung
möglich und es gilt:
pV κ = const
κ ist der “Adiabatenexponent”, der mit der Zahl der Freiheitsgrade f des Gases zusammenhängt:
f +2
κ=
f
Volumenarbeit, die an einem idealen Gas verrichtet wird, ist:
dW = −pdV
Das Minuszeichen ist so gewählt, dass sich die Änderung der Energie des Systems ergibt.
Wird das Gas bei konstantem Druck p komprimiert (dV < 0), so ist nämlich dW > 0, die
innere Energie des Gases steigt also.
13
3.4
Kinetische Gastheorie
In der kinetischen Gastheorie wird die Temperatur mit der ungeordneten Bewegung der Gasteilchen in Beziehung gesetzt. Für ein einatomiges Gas gilt für die mittlere kinetische Energie:
3
hEkin i = N kB T
2
Für ein Gas mit f Freiheitsgraden (3 Translation, evtl. Rotation, Schwingung) gilt für die
mittlere Energie (innere Energie)
U = hEi =
f
N kB T
2
Jeder Freiheitsgrad trägt kB T /2 bei (Äquipartitionssatz).
Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung für die Geschwindigkeit der Gasmoleküle ist:
mv 2
× exp −
2kB T
!
2
E
f (E) = √ (kB T )−3/2 E 1/2 × exp −
π
kB T
f (v) = 4πv
2
m
2πkB T
3/2
Für die Energien gilt:
Für hohe Energien oberhalb einer Mindestenergie E0 ist näherungsweise:
Fläche des Maxwellschwanzes
2
=√
Gesamtfläche
π
3.5
s
E0
E0
× exp −
kB T
kB T
Phasenübergänge
Phasenübergänge beschreiben Übergänge eines Stoffes zwischen verschiedenen Aggregatszuständen (fest, flüssig, gasförmig). Beim Tripelpunkt liegen feste, flüssige und gasförmige
Phase eines Stoffes im Gleichgewicht vor.
Eine Flüssigkeit siedet, wenn ihr Dampfdruck dem äußeren Druck entspricht. Der Dampfdruck variiert etwa wie p(T ) = p0 exp(−QD /RT ) (vgl. Maxwell-Boltzmann), wobei QD die
molare Verdampfungsenergie ist.
In Lösungen kommt es zu dem Phänomen der Dampfdruckerniedrigung und damit der Siedepunktserhöhung. Ferner kommt es zur Gefrierpunktserniedrigung. Der Gefrierpunkt wird bei
einer molaren Lösungskonzentration c gemäß dem Raoultschen Gesetz erniedrigt um:
∆T = 1, 86 K(mol/l)−1 c
3.6
Kalorimetrie
Die einem System bei einer Erwärmung um ∆T = T2 − T1 zugeführte Wärmemenge ist
gegeben durch:
∆Q = c · m · ∆T = C · ∆T
14
c ist die spezifische Wärmekapazität (in J/mol K) und C die Wärmekapazität (in J/K, also
nicht bezogen auf die Masse). Die molare Wärmekapazität ist
cm = C/n = cM,
wobei n die Molanzahl und M die molare Masse ist.
3.7
Boltzmann-Verteilung
Wenn Moleküle eines Systems bei einer Temperatur T zwei Zustände mit Energien E1 und E2
einnehmen können, so sind die Besetzungszahlen der Zustände gegeben durch die BoltzmannVerteilung:
N2
E2 − E1
= exp −
N1
kB T
3.8
Diffusion und Transport
Die mittlere quadratische Wegstrecke, die ein Brownsches Teilchen in drei Dimensionen in der
Zeit t zurücklegt, ist:
hx2 i = 6Dt
D ist der Diffusionskoeffizient. Für ein kugelförmiges Teilchen mit Radius R gilt in einem
viskosen Medium mit Viskosität η:
kB T
D=
6πηR
Die Transportgleichung der Diffusion (1. Ficksches Gesetz) ist:
dn
,
dx
wobei dn/dx das Konzentrationsgefälle ist, n die Teilchendichte und die Teilchenstromdichte
jn definiert ist als
1 dN
jn =
,
A dt
also die Zahl der Teilchen, die pro Zeiteinheit durch eine Fläche A fließt.
Eine Konsequenz der Diffusion über semipermeable Membranen ist die Osmose.
Für den osmotischen Druck einer Lösung der Konzentration c gilt das van’t Hoffsche Gesetz:
jn = −D
posm = cRT
Wärmetransport kann durch die Prozesse der Wärmeleitung, Konvektion oder Wärmestrahlung
stattfinden.
Wärmeleitung wird formal ähnlich wie die Diffusion beschrieben:
1 dQ
dT
= −λ
A dt
dx
λ heißt Wärmeleitfähigkeit. dT /dx ist der Temperaturgradient. Wärme wird vom wärmeren
zum kälteren Bereich geleitet.
jQ =
Für die Wärmestrahlungsleistung P pro Fläche A eines Körpers mit Temperatur T gilt das
Stefan-Boltzmann-Gesetz:
P = σAT 4
σ heißt Stefan-Boltzmann-Konstante.
15
4
4.1
Elektrizitätslehre
Elektrisches Feld un Potential
Es gibt positive und negative elektrische Ladungen. Sie sind (bis auf exotische Ausnahmen)
immer ganzzahlige Vielfache der Elementarladung e. Zwei Ladungen Q1 und Q2 voneinander
wechselwirken gemäß dem Columbschen Gesetz:
F~ =
1 Q1 Q2 ~r
4π0 r2 r
0 ist die elektrische Feldkonstante und ~r der Verbindugsvektor der beiden Ladungen.
~
In einem elektrischen Feld Ewirkt
auf eine Ladung Q die Kraft:
~
F~ = QE
Das elektrische Feld einer Punktladung Q ist:
Q ~r
4π0 r2 r
Die elektrostatische Arbeit, die benötigt wird, um eine Ladung Q in einem elektrischen Feld
von ~r1 zu ~r2 zu bringen ist:
~ =
E
W12 = −
Z
2
F~ · d~s = −Q
Z
2
~ · d~s
E
1
1
Die Spannung U12 zwischen zwei Punkten ist definiert als diese Arbeit normiert auf die Ladung, also
Z 2
W12
~ · d~s
U12 =
E
=−
Q
1
Als elektrisches Potential φ an einem Punkt ~r bezeichnet man die Arbeit, die benötigt wird,
um eine Einheitsladung vom Unendlichen an diesen Punkt heranzuführen:
φ=−
Z
~
r
~ · d~s
E
∞
Mithin gilt:
U12 = φ2 − φ1
4.2
Kondensator
Das elektrische Feld eines Plattenkondensators mit Fläche A und Plattenabstand d, an dem
die Spannung U anliegt, ist:
U
Q
E=
=
d
0 A
Die Ladung +Q ist auf einer Platte des Kondensators, die Ladung −Q auf der anderen. Die
Kapazität C des Plattenkondensators ist damit:
0 A
Q
=
U
d
Führt man ein Dielektrikum mit Dielektrizitätskonstante r in den Kondensator ein, so ist:
C=
C=
Das Feld ist im Dielektrikum reduziert: Ediel
r 0 A
d
= E0 /r .
16
4.3
Elektrischer Strom
Die Stromstärke ist definiert als Ladungsfluss pro Zeit, also:
dQ
I=
dt
Fließen Ladungsträger der Ladung ze und der Dichte n mit der Geschwindigkeit v durch einen
Leiter des Querschnitts A, so ist:
I = ze · n · A · v
Das Ohmsche Gesetz für den elektrischen Widerstand R lautet:
U
R=
I
Fließt bei angelegter Spannung U ein Strom I durch einen Leiter, so hat dieser den elektrischen Widerstand R. Der Kehrwert von R heißt Leitwert G = 1/R.
Der spezifische Widerstand ρ ist definiert über:
l
A
Damit ergibt sich der Widerstand eines Leiters der Länge l und mit Querschnitt A. Der
Kehrwert von ρ heißt Leitfähigkeit σ = 1/ρ.
R=ρ×
4.4
Elektrische Schaltkreise
Für Netzwerke von Widerständen und Spannungsquellen gelten die Kirchhoffschen Regeln:
1. Kirchhoffsche Regel (Knotenregel): Die Summe aller Ströme, die in einen Knoten in einem Netzwerk hineinfließen, ist Null (hinausfließende Ströme werden negativ gerechnet):
X
In = 0
n
2. Kirchhoffsche Regel (Maschenregel): Die Summe aller Spannungsabfälle in einer Masche
des Netzwerkes ist Null (Spannungsquellen werden negativ gerechnet):
X
Un = 0
n
Daraus ergeben sich folgende Zusammenhänge: Der Widerstand R zweier Widerstände R1
und R2 in Serie ist
R = R1 + R2
Der Widerstand R zweier Widerstände R1 und R2 in Parallelschaltung ist
1
1
1
=
+
R
R1 R2
Für eine größere Zahl von Widerständen gilt entsprechendes.
Für Kondensatoren gelten folgende Zusammenhänge: Die Kapazität C zweier Kapazitäten C1
und C2 in Serie ist
1
1
1
=
+
C
C1 C2
Die Kapazität C zweier Kapazitäten C1 und C2 in Parallelschaltung ist
C = C1 + C2
17
5
5.1
Optik
Licht und Lichtbrechung
Licht ist eine elektromagnetische Welle. Der Zusammenhang zwischen Wellenlänge λ, Frequenz ν und Lichtgeschwindigkeit c0 ist
c0 = λν
Es gilt
c0 = √
1
0 µ0
In Materie ist die Lichtgeschwindigkeit reduziert:
c = c0 /n
n heißt Brechungsindex.
Die Veränderung der Lichtgeschwindigkeit beim Übergang von einem zum anderen Medium
führt zum Brechungsgesetz:
sin α1
n2
=
sin α2
n1
n1 und n2 sind die Brechungsindices der beiden Medien, α1 und α2 sind die Winkel zwischen
einfallendem und gebrochenem Strahl und dem Lot zur Grenzfläche.
Für den Winkel des reflektierten Strahles gilt α10 = α1 .
Beim Übergang von einem optisch dichteren zu einem dünneren Medium (2 → 1 mit n2 > n1 )
kann es zur Totalreflexion kommen. Der Einfallswinkel, ab dem das auftritt (Winkel der Totalreflexion) ist gegeben durch:
n1
sin αT =
n2
Dispersion beschreibt die Abhängigkeit des Brechungsindex von der Wellenlänge. Bei “normaler Dispersion” gilt:
dn
<0
dλ
5.2
Linsen
Die Brennweite einer Linse mit Krümmungsradius r und Brechungsindex n ist:
f=
r
2(n − 1)
Es gilt das Abbildungsgesetz:
1
1 1
= +
f
g
b
Die gemeinsame Brennweite zweier Linsen mit Brennweiten f1 und f2 und Abstand d ist
gegeben durch:
1
1
1
d
=
+
−
f
f1 f2 f1 f2
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