8. ¨Ubungsblatt Vorkurs Mathematik

Hochschule Ruhr West
Institut Naturwissenschaften
Tobias Baust, Akiko Kato
Sommersemester 2016
8. Übungsblatt Vorkurs Mathematik
1. Aufgabe
(a) Rechnen Sie folgende Winkel im Gradmaß in das Bogenmaß um.
0◦
;
10◦
150◦
;
;
30◦
315◦
;
;
60◦
;
90◦
;
120◦
;
135◦
;
360◦
(b) Rechnen Sie folgende Winkel im Bogenmaß in das Gradmaß um.
1
π
9
;
1
π
5
4
π
3
;
3
π
2
;
1
π
4
;
2
π
5
;
5
π
12
;
3
π
5
;
π
;
5
π
4
;
2. Aufgabe
(a) Berechnen Sie die Seitenlänge der jeweils fehlenden Seite im rechtwinkligen
Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypothenuse c.
(i) a = 1cm, b = 1cm
(ii) a = 12cm, c = 13cm
(iii) b = 6cm, c = 10cm
(b) Prüfen Sie jeweils, ob das Dreieck mit den Seitenlängen x, y, z rechtwinklig
ist, indem Sie die (ebenfalls geltende) Umkehrung des Satzes von Pythagoras anwenden, d.h., indem Sie prüfen, ob die Summe der Quadrate zweier
Zahlen dem Quadrat der dritten Zahl entspricht.
1
(i) x = 3cm, y = 4cm, z = 5cm
(ii) x = 4cm, y = 7cm, z = 11cm
(iii) x = 5cm, y = 7cm, z = 4cm
(iv) x = 15cm, y = 25cm, z = 20cm
3. Aufgabe
(a) Berechnen Sie jeweils die Streckenlänge der Strecke AB, die gerade dem
Abstand der Punkte A und B entspricht.
(i) A = (1, 1), B = (7, 9)
(iv) A = (−2, −8), B = (2, −5)
(ii) A = (−5, 3), B = (2, 3)
(v) A = (−1, 1), B = (1, −1)
(iii) A = (−3, −1), B = (−3, −4)
(vi) A = (0, −5), B = (12, 0)
(b) Finden Sie den Punkt auf der x-Achse, der den gleichen Abstand zum Punkt
(−4, 5) wie zum Punkt (3, 2) hat.
4. Aufgabe
(a) Bestimmen Sie jeweils die Kreisgleichung des Kreises mit Mittelpunkt M
und Radius r (ohne Maßeinheit).
(i) M = (0, 0), r = 3
(iii) M = (−3, −2), r = 2
(ii) M = (2, 0), r = 1
(b) Bestimmen Sie jeweils aus der Kreisgleichung den Mittelpunkt und den
Radius (ohne Maßeinheit) des Kreises. Denken Sie ggf. an die quadratische
Ergänzung.
(i) x2 + y 2 = 16
(iv) x2 + y 2 + 6y = 0
(ii) (x − 4)2 + (y − 3)2 = 2
(v) x2 + 2x + 2 − 4y + y 2 = 13
(iii) (y + 1)2 − 3 + (x − 1)2 = 0
(c) Bestimmen Sie für die Kreise aus (a) und (b) jeweils den Umfang und
Flächeninhalt (ohne Maßeinheiten). Geben Sie das Ergebnis sowohl exakt,
als auch mit dem Taschenrechner berechnet und auf zwei Nachkommastellen
gerundet an.
2
5. Aufgabe
Vervollständigen Sie folgende Tabelle mit Sinus-, Kosinus- und Tangenswerten
für spezielle Winkel. Hierzu dürfen Sie den Taschenrechner verwenden.
Winkel im Gradmaß
Winkel im Bogenmaß
Sinuswert
Kosinuswert
Tangenswert
30◦
0
90◦
√
1
√ 21 √2
1
3 2 2
2√
1
3
3
1
2
1
π
3√
√
3
3
−
6. Aufgabe
Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit Bezeichnungen wie in der folgenden
Skizze.
C
•
b
a
β
α
c
A
B
(a) Geben Sie allgemein sin α, cos α, sin β und tan β für das skizzierte Dreieck
an.
(b) Bestimmen Sie für die folgenden Größen die jeweils fehlenden Größen im
Dreieck. Versuchen Sie wenn möglich, mit exakten Werten zu rechnen, aber
geben Sie alle Ergebnisse auch auf zwei Nachkommastellen gerundet an.
Für diese Aufgabe dürfen Sie natürlich den Taschenrechner verwenden.
(i) a = 5cm, c = 10cm
(iv) b = 7cm, α = 60◦
(ii) a = 4cm, b = 3cm
(v) c = 10cm, β = 45◦
(iii) a = 6cm, β = 20◦
3
7. Aufgabe
Zeigen Sie mithilfe eines rechtwinkligen Dreiecks und des Satz des Pythagoras,
dass für einen Winkel α mit 0◦ < α < 90◦ die Gleichung
(sin α)2 + (cos α)2 = 1
gilt.
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