5.1 Graphentheorie

5.1
Graphentheorie
Ulrik Brandes
Die Graphentheorie ist ein Zweig der Diskreten Mathematik, dessen Entstehung für gewöhnlich auf eine 1736 erschienene Arbeit von Leonhard Euler über das so genannte Königsberger Brückenproblem zurückgeführt wird (Euler 1936). Sie hat in der zweiten Hälfte
des letzten Jahrhunderts eine rasante Ausbreitung erfahren und ist gleichzeitig auch zu
einem wichtigen Teilgebiet der Informatik geworden.
Wesentlicher Grund dafür ist, dass aus dem Zusammenspiel von Beziehungen zwischen Objekten, unabhängig von deren Art und Kontext, häufig ähnliche strukturelle Fragestellungen und Lösungsansätze erwachsen. In der reinen Graphentheorie werden deshalb
keine Annahmen darüber gemacht, um was es sich bei den Objekten handelt und welche
Bedeutung die Beziehungen haben. Indem von allem abstrahiert wird, was sich nicht als
Konsequenz aus dem bloßen Vorhandensein paarweiser Beziehungen ergibt, beschränkt
sich die Graphentheorie auf den strukturellen Kern einer Fragestellung. Dadurch ist es möglich, Konzepte und Verfahren (formal) in beliebige Anwendungskontexte zu übertragen
oder sogar Lösungen für Probleme zu entwickeln, die bisher noch in keinem Kontext überhaupt als solche formuliert wurden. In Bezug auf Beziehungsstrukturen ist die Rolle der
Graphentheorie damit vergleichbar mit derjenigen, welche die Statistik für Häufigkeiten
spielt.
Aus der Allgemeinheit des Modells ergeben sich einige wichtige Konsequenzen für
die Anwendung auf sozialwissenschaftliche Fragestellungen, die zwar eigentlich selbstverständlich erscheinen, aber trotzdem häufig außer Acht gelassen oder zumindest nicht in
vollem Umfang bedacht werden:
1.
2.
3.
Wie die ganze Mathematik ist die Graphentheorie abstrakt, da nicht die modellierten
Gegenstände, sondern nur einige der im jeweiligen Kontext wesentlichen Eigenschaften derselben behandelt werden. Dies macht den Umgang mit ihr mitunter mühsam,
hat aber den Vorteil der Präzision und der Übertragbarkeit von Erkenntnissen.
Notwendige Bedingung für die Anwendbarkeit von graphentheoretischen Methoden
ist, dass ihre oft impliziten Voraussetzungen erfüllt sind. Netzwerkforschung kann also
nur mit ausreichender, in der Regel theoriegeleiteter Fundierung zu relevanten Ergebnissen führen, andernfalls wird auch noch so anspruchsvolle graphentheoretische Analyse vor allem Scheinpräzision erzeugen.
Graphentheoretische Methoden werden in so ziemlich jedem Wissen- und Wirtschaftszweig verwendet und entwickelt. Entsprechend breit gestreut und teils idiomatisch sind die Konzepte. Verschiedene Dinge werden mitunter gleich bezeichnet und
gleiche Dinge verschieden. Bei der Übertragung ist also einerseits Vorsicht geboten,
andererseits existiert ein riesiger Methodenfundus, dessen Exploration sich lohnen
kann.
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Ulrik Brandes
In diesem Kapitel kann natürlich nur eine kurze Einführung wesentlicher Begriffe geleistet
werden. Es soll gezeigt werden, dass viele der – oft eher metaphorisch – als Netzwerk bezeichneten Strukturen sich durch bestimmte Typen von Graphen, deren Elemente meist
durch eine Reihe von Attributen näher beschrieben werden, modelliert werden können, und
welche Sorten von Eigenschaften dabei erhalten bleiben.
Neben einer Einführung in die Terminologie soll dadurch auch eine Bewusstseinsschärfung für Modellierungsaspekte erfolgen. Von den zahlreichen weiterführenden Büchern zum Thema seien hier nur ein grundlegendes (Diestel 2006), ein algorithmisches (Krumke und Noltemeier 2005), ein besonders anschauliches (Nitzsche 2005), ein
historisch bedeutsames (König 1936) und ein durch soziale Netzwerke beeinflusstes
(Harary et al. 1965) genannt.
1
Graphen
Ein Graph G (V E ) ist ein Paar aus einer Menge V von Knoten (engl. vertices, oft auch
nodes oder points), welche die Akteure des Netzwerks repräsentieren, und einer Menge E
von Kanten (engl. edges, oft auch links, ties oder lines), die Beziehungen zwischen den
Akteuren repräsentieren. Wir bezeichnen die Anzahl1 der Knoten eines Graphen G (V E )
durchgängig mit n _ V _ , und die Anzahl seiner Kanten mit m _ E _ .
Abbildung 1:
Beispiele eines schlichten ungerichteten Graphen und eines gerichteten
Multigraphen
(a) schlicht, ungerichtet, bipartit
(b) gerichteter Multigraph
1.1 Richtungen und Vielfachheiten
Sind die repräsentierten Beziehungen symmetrisch, dann kommt es bei einer Kante nur
darauf an, welche Knoten durch sie verbunden sind. Die Kantenmenge zu einer symmetrischen Beziehung besteht daher aus (ungeordneten) Paaren von Knoten,
E Ž {{v w} v w  V} , die als ungerichtete Kanten bezeichnet werden.
1
Sozialnetzwerke haben naturgemäß eine endliche Zahl von Akteuren, es sei aber angemerkt, dass in der
Graphentheorie auch unendliche Graphen betrachtet werden.
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Sind die beiden Akteure einer Beziehung hingegen in unterschiedlicher Weise daran
beteiligt, z.B. weil einer vom anderen Nachrichten empfängt, dann darf diese Asymmetrie
im Modell nicht verloren gehen. Die Kantenmenge besteht in solchen Fällen aus geordneten Paaren von Knoten, E Ž V u V { (u v ) v w  V} , die als gerichtete Kanten bezeichnet
werden.
Ein Graph wird daher auch als gerichtet oder ungerichtet bezeichnet, je nachdem, ob
seine Kantenmenge aus gerichteten oder ungerichteten Kanten besteht. In seltenen Fällen
werden auch beide Arten von Kanten im selben Graphen verwendet und dieser dann als
gemischter Graph bezeichnet.
Wenn verschiedene Instanzen der Beziehung zwischen denselben Akteuren unterscheidbar sein sollen, wird für die Kanten eine Multimenge verwendet, d.h. eine Menge, bei
der für jedes enthaltene Element zusätzlich eine Vielfachheit (Anzahl der verschiedenen
Vorkommen) anzugeben ist. Eine Kante mit Vielfachheit größer eins heißt dann Mehrfachoder parallele Kante, und ein Graphen mit Mehrfachkanten heißt Multigraph. Soll betont
werden, dass keine Mehrfachkanten unterschieden werden, wird der Graph als einfach
bezeichnet.
Steht ein Akteur mit sich selbst in Beziehung, d.h. gibt es einen Knoten v  V mit
{ v v }  E bzw. ( v v )  E , so spricht man von einer Schleife (engl. loop). Ein Graph ohne
Schleifen heißt schleifenfrei.
Ein schlichter Graph enthält weder Schleifen noch Mehrfachkanten. Der Graph in Abbildung 1 ist ein Beispiel dafür.
Die Unterscheidung verschiedener Graphentypen ist eine notwendige Komplikation,
die einerseits die Anwendbarkeit der Graphentheorie stark erweitert und ohne die vielfach
keine schlüssigen Vereinbarungen für analytische Konzepte getroffen werden könnten.
Schon so einfache Kenngrößen wie die Dichte, also das Verhältnis der Anzahl vorhandener
Kanten m zur Anzahl der möglichen Kanten (mehr dazu im nächsten Kapitel) könnten
sonst gar nicht sinnvoll bestimmt werden. In einem schlichten ungerichteten Graphen mit
n
_V _
Knoten ist die maximale Anzahl der Kanten nämlich
§ ·
¨n¸
¨2¸
© ¹
n ( n 1)
2
(Anzahl der un-
geordneten Paare aus verschiedenen Knoten), in einem einfachen gerichteten Graphen dagegen n 2 (Anzahl der geordneten Paare einschließlich Schleifen).
Bei den in diesem Kapitel vorgestellten Konzepten sollte daher immer überprüft werden, ob die Formulierung für eine bestimmte Graphenart anwendbar ist. Da gerichtete Multigraphen offensichtlich den allgemeinsten bisher vorgekommenen Typ darstellen, sind die
meisten Konzepte dafür formuliert und für speziellere Graphentypen möglicherweise zu
modifizieren.
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Tabelle 1: Beispiele für Graphenmodelle verschiedenen Typs
Netzwerk
Verwandtschaft
Akteure
Personen
Beziehung
familiäre Beziehungen
finanzielle
Beteiligung
Graphentyp
schlicht, ungerichtet
Kapitalverflechtung
Firmen & Banken
bibliographisch
Personen &
Aufsätze
Autorenschaft
bimodal, bipartit,
ungerichtet
Zitationen
Autoren
Zitation
gerichteter Multigraph
(mit Schleifen)
bimodal, gerichtet
1.2 Attribute
Akteure und Beziehungen eines Netzwerks sind durch bloße Angabe ihres Vorhandenseins
in der Regel unzureichend beschrieben. Um Graphenmodelle mit zusätzlichen Informationen anzureichern, werden daher Knoten- und Kantenattribute hinzugefügt. Diese können
einfache Beschriftungen sein, die lediglich der Identifikation oder Zuordnung dienen (und
werden dann in der formalen Analyse meist nicht berücksichtigt), oder sie modifizieren
Qualität oder Quantität eines Graphenelements und sind daher entscheidend für die Analyse. In letzterem Fall spricht man von bewerteten Graphen (engl. valued graphs).
Bewertungen können Daten beliebigen Typs sein, z.B. kann man mit einem Knotenattribut O V o {A B C} die Akteure in drei Gruppen einteilen oder durch ein Kantenattribut
Z E o [01] die Wahrscheinlichkeit für das Funktionieren einer Verbindung angeben.
Typ und Bedeutung der Attribute hängen wie das spezielle Graphenmodell vom Anwendungskontext ab, und es ist auch hier darauf zu achten, dass nur damit kompatible Analyseformen angewandt werden. Ein Beispiel dafür wird weiter unten im Abschnitt über
Wege gegeben. Hinzu kommt, dass sich die geeignete Darstellung mancher Arten von Attributen erst aus der anzuwendenden Analysemethode ergibt.
1.3 Bimodale, bipartite und Hypergraphen
Ein besonders häufiger Fall von Knotenattributen ist dieEinteilung in zwei Gruppen prinzipiell verschiedener Akteure, z.B. Personen und Organisationen, denen sie angehören, oder
Personen und Dokumente, die sie verfasst haben. Man spricht dann von bimodalen Netzwerken (engl. two-mode network). Oft ist es sogar so, dass die Beziehungen nur zwischen
Akteuren unterschiedlichen Typs bestehen können (kein/e Person/Dokument verfasst ein/e
andere/s).
Ein bimodales Netzwerk kann äquivalent auch durch einen so genannten Hypergraphen repräsentiert werden. In einem Hypergraphen G (V E ) besteht die Kantenmenge E
aus Teilmengen der Knotenmenge; an einer (Hyper-)Kante können also mehr als zwei Knoten beteiligt sein. Für bimodale Netzwerke fasst eine Hyperkante alle Knoten des einen
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Typs zusammen, die mit einem gemeinsamen Knoten des anderen Typs in Beziehung stehen. Ein Beispiel zeigt Abbildung 2.
Abbildung 2:
Die gleichen Mitgliedschaftsdaten als bimodaler Graph aus Direktoren
(rund) und Aufsichtsräten (rechteckig), als Hypergraph (Aufsichtsräte
umschließen darin vertretene Direktoren) und als zwei Multigraphen
(Aufsichtsräte mit gemeinsamen Direktoren bzw. Netzwerk gemeinsamer
Zugehörigkeiten)
(a) bimodal
(b) Hypergraph
(c) zwei unimodale
Die Modellierung des bimodalen Graphen durch einen Hypergraphen setzt voraus, dass es
keine Beziehungen zwischen Akteuren gleichen Typs gibt. Dies ist eine Grapheigenschaft,
die auch unabhängig von einer bekannten Einteilung in zwei Gruppen vorliegen kann. Ein
Graph heißt daher bipartit (engl. bipartite), wenn seine Knoten auf mindestens eine Weise
so in zwei Teilmengen partitioniert werden können, dass keine Kanten innerhalb einer der
beiden Mengen verläuft. Die Graustufen in Abbildung 1 definieren eine solche Bipartition.
Bimodal und bipartit bezeichnen also nicht ganz den gleichen Sachverhalt: für einen
bipartiten Graphen kann es verschiedene Einteilungen in je zwei intern nicht verbundene
Gruppen geben, während in einem bimodalen Graphen die Einteilung bereits (durch extrinsische Attribute) festgelegt ist und zumindest grundsätzlich auch Beziehungen zwischen
Knoten gleichen Typs bestehen können (im obigen Beispiel etwa Organisationen, die anderen Organisationen angehören).
Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, wie aus bipartiten bimodalen Graphen neue Beziehungen zwischen Knoten desselben Typs abgeleitet werden können (für Personen etwa
die mit der Organisationsanzahl bewertete Beziehung gemeinsamer Zugehörigkeit).
1.4 Multiplexität
Sind die Kanten eines Graphen typisiert, d.h. werden mehrere Beziehungsarten in einem
Netzwerk zusammen betrachtet, handelt es sich um ein Mehrfachnetzwerk (engl. multiplex
network). Je nach Zusammenhang ist es besser, Mehrfachkanten zwischen Knoten zu verwenden, wenn die Akteure in Beziehungen verschiedenen Typs stehen (eine für jede vorkommende Beziehungsart), oder die Kanten eines einfachen Graphen mit der Menge der
jeweils zutreffenden Beziehungstypen zu beschriften.
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1.5 Dynamik
Zu den interessantesten Attributen, die Netzwerkelemente aufweisen können, zählt ihre
Veränderung über die Zeit. Längsschnitt-Netzwerke (engl. longitudinal networks) werden
durch dynamische Graphen modelliert, es sind allerdings so viele Klassen zu unterscheiden,
dass auf eine ausführliche Behandlung verzichtet wird. Für die Analysemöglichkeiten
macht es nämlich einen großen Unterschied, ob Kanten hinzukommen und/oder aus dem
Graphen herausfallen können, ob die Knotenmenge veränderlich ist, ob sich Attributwerte
ändern können, ob die Änderungen getaktet sind (z.B. Erhebungswellen bei Paneldaten)
oder kontinuierlich (z.B. zeitlich erfasste Ereignisbeziehungen) auftreten können u.s.w.
Viele dieser Varianten bedingen außerdem nochmals weitere Varianten der nachstehenden
Konzepte; unter welchen Voraussetzungen sollen z.B. zwei Akteure in einem zeitlich veränderlichen Netzwerk als verbunden betrachtet werden?
2
Isomorphie und Teilgraphen
Um Netzwerkstrukturen vergleichen oder Arten von Teilstrukturen untersuchen zu können,
braucht man eine Möglichkeit, Graphen zueinander in Beziehung setzen zu können.
Abbildung 3:
Der Graph H enthält einen Kreis der Länge vier und ist siebenmal im
Graphen G enthalten (ein Vorkommen hervorgehoben)
Zwei Graphen G1 (V1 E1 ) und G2 (V2 E2 ) heißen isomorph, G1 # G2 , wenn es eine bijektive
Abbildung I V1 o V2 gibt, die
(u v)  E1 Ÿ (I (u ) I (v))  E2
für alle ( u v )  E erfüllt. Bijektiv bedeutet dabei, dass jeder Knoten aus V2 genau einem
Knoten in V1 zugeordnet wird, die Abbildung ist also umkehrbar. Isomorphe Graphen sind
strukturell, d.h. wenn man alle Attribute und sonstigen Identifikationen weglässt, nicht zu
unterscheiden.
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Zu einem Graphen G (V E ) und einer Teilmenge seiner Knoten V c Ž V ist der knoteninduzierte Teilgraph G[V c] (V c { (u v )  E u v  V c}) . Der von einer Kantenteilmenge
E c Ž E kanteninduzierte Teilgraph G[ E c] (V c E c) enthält alle Knoten V c Ž V , die an
mindestens einer Kanten von E c beteiligt sind. Allgemein besteht ein Teilgraph aus einer
Teilmenge von Knoten und Kanten, sodass mindestens die Endknoten der Kantenteilmenge
vorhanden sind.
Ein Graph G enthält einen anderen Graphen H , falls H zu einem Teilgraphen von
G isomorph ist. Häufig interessieren z.B. möglichst große Cliquen, d.h. Teilgraphen, in
denen jeder Knoten mit jedem anderen verbunden ist.
3
Knotengrad
In einem schlichten Graphen ist der Grad, deg(v ) , eines Knotens v  V definiert als die
Anzahl der Kanten, an denen er beteiligt ist,
deg(v ) _ {e  E v  e} _ In gerichteten Graphen ist zu unterscheiden, ob v Anfangs- oder Endknoten der jeweiligen
Kanten ist. Entsprechend sind der Eingangsgrad deg (v) _ {e  E e (v w) } _ und Ausgangs
grad deg (v) _ {e  E e (u v) } _ definiert. Mit Grad wird in gerichteten Graphen dann die
Summe aus Ein- und Ausgangsgrad bezeichnet. Die Knotengrade der Graphen aus Abbildung 1 sind in Abbildung 4 Grundlage der Knotendarstellung.
Abbildung 4:
Graphische Darstellung von ungerichteten Knotengraden durch Fläche und
von Ein- und Ausgangsgraden durch Seitenverhältnisse
(a) Knotengrade
(b) Ein- und Ausgangsgrade
Obwohl der Knotengrad eine lokal definierte Größe ist, lassen sich aus ihm bereits interessante Eigenschaften eines Netzwerks bestimmen. So ist die Summe der Knotengrade gerade
doppelt so groß wie die Kantenzahl, woraus sich ein Zusammenhang zwischen dem durchschnittlichen Knotengrad und der Dichte ergibt (siehe den nächsten Abschnitt). Eine wichtige Statistik ist die Gradverteilung ( pd )d 012…, wobei pd die relative Häufigkeit bezeichnet,
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mit welcher der Knotengrad d auftritt. Ist pd im Wesentlichen proportional zu d
eine Konstante J ! 0 , spricht man von Skaleninvarianz (engl. scale-free network).
4
J
für
Wege
Neben den direkten Beziehungen, die durch Kanten repräsentiert sind, interessieren fast
immer auch die indirekten Beziehungen in einem Netzwerk.
Abbildung 5:
Ein kürzester Weg von A nach B .
(a) ohne Kantenattribut
(b) mit Kantenlängen
Ein (gerichteter) Weg ist eine Folge von Kanten derart, dass der Anfangspunkt einer Kante
der Endpunkt der vorhergehenden ist. Sind zwei Knoten s t V durch einen Weg verbunden, heißt der Weg auch (s t ) -Weg, und t von s aus erreichbar. Erreichbarkeit ist
die grundlegende indirekte Beziehung zwischen Knoten und Basis für eine Vielzahl von
Analysemethoden, die in diesem Buch besprochen werden.
Ein Weg, der an keinem Knoten zweimal ankommt, heißt einfach, und ein Weg, der
am selben Knoten beginnt und endet, heißt geschlossen und auch Kreis oder Zykel.
Die Länge eines Weges ist die Anzahl seiner Kanten und der (graphentheoretische)
Abstand zweier Knoten s t V ist die Länge eines kürzesten (s t ) -Weges. Gibt es keinen (s t ) -Weg, wir das Abstand oft als unendlich aufgefasst. Mit Hilfe der Weglängen
lässt sich beispielsweise der Durchmesser eines Graphen als der größte Abstand zweier
seiner Knoten erklären. Als weitere Kenngröße für die Struktur eines Netzwerks ist auch
der durchschnittliche Abstand unter der Bezeichnung charakteristische Weglänge gebräuchlich. Geringe charakteristische Weglänge ist eine wesentliche Eigenschaft von Graphen, die als kleine Welten (engl. small worlds) bezeichnet werden.
Sind die Kanten des Graphen mit Attributen versehen, lassen sich daraus auch Attribute für Wege ableiten. Ist z.B. G E o R eine Abbildung, die jeder Kante e  E eine
reelle Zahl G (e)  R als Länge zuordnet, wird die Länge eines Weges oft als die Summe
der Längen seiner Kanten vereinbart und der Abstand zweier Knoten s t V wieder als
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die Länge eines kürzesten (s t ) -Weges. Dies verallgemeinert den erstgenannten Längenbegriff, da er als Sonderfall, in dem alle Kantenlängen gleich eins sind, enthalten ist. Das
Beispiel in Abbildung 5 zeigt, dass sich durch die Hinzunahme von Kantenattributen Eigenschaften von Wegen ändern können.
Als weiteres Beispiel betrachte mit Z E o [01] die Wahrscheinlichkeit
0 d Z (e) d 1 des Funktionierens einer Kommunikationsverbindung e  E . Dann ist z.B.
das Produkt der Kantenfunktionswahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit für das Funktionieren eines Kommunikationsweges bei voneinander unabhängig auftretenden Ausfällen,
und die Wahrscheinlichkeit für das Bestehen irgendeiner Verbindung zwischen zwei Knoten eine deutlich komplizierte Funktion der Kantenbewertungen.
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Zusammenhang
Erreichbarkeit ist unter anderem Grundlage für die Zerlegung von Netzwerken in ihre wesentlichen Bestandteile. Ein Graph heißt stark zusammenhängend, wenn jeder Knoten von
jedem anderen aus erreichbar ist und (schwach) zusammenhängend, wenn jeder Knoten von
jedem anderen auf ungerichteten Wegen erreichbar ist. Die maximalen zusammenhängenden Teilgraphen sind dann die starken bzw. schwachen Zusammenhangskomponenten. Der
Graph in Abbildung 1(b) ist schwach zusammenhängend, hat aber vier (farblich markierte)
starke Zusammenhangskomponenten.
Ein Graph der durch Wegnahme jeder beliebigen Kante unzusammenhängend würde,
ist kreisfrei (enthielte der Graph einen Kreis, so könnte eine seiner Kanten entfernt werden,
ohne den Graphen zu zerlegen) und heißt Baum. Entfernt man aus dem Graphen H in
Abbildung 3 eine Kante, so wird daraus entweder ein Baum, oder er zerfällt in zwei Zusammenhangskomponenten. Bäume sind typisch für Organigramme und andere hierarchische Strukturen.
6
Literatur
Diestel, Reinhard, 2006: Graphentheorie. Heidelberg: Springer.
Euler, Leonhard, 1736: Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis. Commentarii Academiae
Scientiarum Imperialis Petropolitanae 8: 128-140.
Harary, Frank, Robert Z. Norman und Dorwin Cartwright, 1965: Structural Models: An Introduction
to the Theory of Directed Graphs. New York: John Wiley & Sons.
König, Denes, 1936: Theorie der endlichen und unendlichen Graphen: Kombinatorische Topologie
der Streckenkomplexe. Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft.
Krumke, Sven O. und Hartmut Noltemeier, 2005: Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen.
Wiesbaden: Vieweg+Teubner.
Nitzsche, Manfred, 2005: Graphen für Einsteiger. Wiesbaden: Vieweg+Teubner.