Wiederholung Mathematik Klasse 7

ARBEITSBLATT Nr. 01
André Hoffmann
Wiederholung Mathematik Klasse 7
05.08.2010
1. Kongruenz:
1. Satz: Stimmen zwei Dreiecke Δ𝐴𝐵𝐶 und Δ𝐴′𝐵′𝐶′ in bestimmten „Kombinationen“ einzelner
Winkel und Längen überein, dann sind die Dreiecke kongruent (deckungsgleich) zueinander. Diese
Kombinationen sind: SSS, SWS, SSW, WSW. (Beachte, dass bei SSW der Winkel gegeben sein muss,
welcher der längeren der beiden gegebenen Seiten gegenüber liegen muss!) Stimmen die Dreiecke
in einer dieser Kombinationen überein, dann stimmen sie in allen Maßen und Längen überein!
Dadurch gilt auch:
2. Satz: Sind von einem Dreieck Δ𝐴𝐵𝐶 nicht alle Größen, aber bestimmten „Kombinationen“ seiner
Winkel und Längen bekannt, so ist das Dreieck eindeutig konstruierbar. Diese Kombinationen sind
genau die der Kongruenzsätze: SSS, SWS, SSW, WSW.
Beispiel: Ein Dreieck mit den Angaben 𝛼 = 80°, 𝛽 = 40° und 𝛾 = 60° ist nicht eindeutig
konstruierbar, wie die beiden aus diesen Angaben konstruierten Dreiecke zeigen (es gibt eben
keinen Kongruenzsatz WWW):
2. Geometrische Beweise:
Mathematische Aussagen werden oft in Sätzen formuliert, die sogenannte WENN-DANN-Aussagen
darstellen.
Beispiel: Wenn in einem Viereck bereits zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander und
gleich lang sind, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.
 Den WENN-Teil des Satzes nennt man Voraussetzung
 Den DANN-Teil des Satzes nennt man Behauptung
In der Voraussetzungen werden immer alle Informationen zusammengefasst, die man schon weiß,
aber nichts von dem, was noch zu zeigen ist.
ARBEITSBLATT Nr. 01
Im Beispiel enthält die Voraussetzung bereits folgende Informationen:


Wir haben es mit einem Viereck zu tun
Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang
In der Behauptung steckt nun diejenige Aussage, die zu zeigen ist:

So ein Viereck muss schon ein Parallelogramm sein.
Oft werden auch die Kehrsätze von mathematischen Aussagen betrachtet – dazu vertausche man
schlicht Voraussetzung und Behauptung. Im Beispiel: Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, dann
sind zwei gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang.
Um nun das Beispiel zu beweisen, zeichnet man typischerweise eine Planfigur und schreibt die
Voraussetzungen und die Behauptung explizit hin:
Voraussetzungen:
 𝑎||𝑐
 a=c
Zu zeigen:
 b||d
 b=d
Nun muss man tricksen (und das haben wir im Unterricht öfters geübt!), indem man die Diagonale
einzeichnet, um über Dreiecke auf die Kongruenzsätze zugreifen zu können:
ARBEITSBLATT Nr. 01
Nun gilt nämlich für die beiden Dreiecke ∆𝐴𝐵𝐷 und ∆𝐵𝐶𝐷:



𝑎=𝑐
𝐵𝐷 ist in beiden Dreiecken
𝛽 = 𝛿, weil Wechselwinkel!
Damit folgt nach Kongruenzsatz SWS, dass beide Dreiecke kongruent sind und damit auch 𝑏 = 𝑑 gilt
und sogar 𝑏||𝑑, weil die entsprechenden Winkel dann auch übereinstimmen. Somit ist das Viereck
insgesamt ein Parallelogramm.
3. Flächen und Körper:
Zunächst haben wir uns mit einigen besonderen Linien und Punkten des Dreiecks beschäftigt:
1. Die Mittelsenkrechte zur Strecke 𝑨𝑩 ist diejenige Gerade, die orthogonal auf 𝐴𝐵 steht und
durch ihren Mittelpunkt geht.
Bewiesen haben wir: Wenn ein Punkt 𝑃 auf der Mittelsenkrechten von 𝐴𝐵 liegt, dann hat er
den gleichen Abstand zu den Punkten 𝐴 und 𝐵 (sowie den Kehrsatz hiervon).
2. Die Winkelhalbierende zum Winkel 𝜶 im Scheitel 𝑺 ist eine Halbgerade mit dem
Anfangspunkt 𝑆, die 𝛼 in zwei gleich große Teilwinkel zerlegt.
Bewiesen haben wir: Wenn ein Punkt 𝑃 auf der Winkelhalbierenden von 𝛼 liegt, so hat er
von beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand (sowie den Kehrsatz hiervon).
3. Eine Höhe im Dreieck ist eine Strecke von einem Eckpunkt des Dreiecks zur gegenüberliegenden Seite, und
zwar so, dass sie orthogonal auf dieser Seite steht.
4.
Eine Seitenhalbierende im Dreieck ist die
Verbindungsstrecke eines Eckpunktes mit der
gegenüberliegenden Seitenmitte.
Jede „Sorte“ besonderer Linien im Dreieck hat die Eigenschaft, dass sich alle drei Linien immer in
einem gemeinsamen Punkt schneiden, insbesondere:


In jedem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt, dem
Mittelpunkt des Umkreises.
In jedem Dreieck schneiden sich die Winkelhalbierenden der drei Innenwinkel in einem
Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises (den Radius des Inkreises muss man dabei als Abstand
des Mittelpunktes auf eine beliebige Seite mit dem Zirkel konstruieren!).
ARBEITSBLATT Nr. 01
Später haben wir uns mit Flächen von ebenen Figuren beschäftigt, wobei wir die Fläche 𝐴 als Maß
definiert haben, wie viele Einheitsquadrate in der Figur enthalten sind und dabei mit unseren
Einheitsquadraten immer kleiner (und damit feiner) geworden sind.
1. Flächeninhalt 𝐴 eines Rechtecks mit den Seitenlängen 𝑎 und 𝑏: 𝑨 = 𝒂 ∙ 𝒃
2. Flächeninhalt 𝐴 eines Dreiecks, wobei wir uns eine der drei Seiten 𝑎, 𝑏, 𝑐 als Grundseite 𝑔
denken: 𝑨 =
𝒈∙𝒉𝒈
𝟐
3. Flächeninhalt eines Parallelogramms, wobei wir uns eine der vier Seiten als Grundseite 𝑔
denken und den Abstand zur gegenüberliegenden Seite als Höhe 𝑕 bezeichnen: 𝑨 = 𝒈 ∙ 𝒉
4. Flächeninhalt eines Trapezes, wobei wir als Höhe 𝑕 den Abstand der beiden zueinander
parallelen Grundseiten 𝑎 und 𝑐 bezeichnen: 𝑨 =
(𝒂+𝒄)∙𝒉
𝟐
5. Flächeninhalt eines beliebigen Vielecks: Man zerlegt das Vieleck in Dreiecke (geht immer!)
oder andere berechenbare Figuren, berechnet jeweils den Flächeninhalt von jeder Teilfigur
und addiert dieses Flächeninhalte. So erhält man schließlich den Flächeninhalt des gesamten
Vielecks.
Ein Prisma ist ein Körper, der von zwei zueinander
parallelen und deckungsgleichen Vielecken, sowie
von Rechtecken begrenzt wird. Für die Oberfläche
𝑂 eines Prismas mit der Grundfläche 𝐺, der
Mantelfläche 𝑀 (die Summe der rechteckigen
Seitenflächen), der Höhe 𝑕 (Abstand der beiden
parallelen und deckungsgleichen Vielecke, die die
Grundflächen „Boden“ und „Deckel“ darstellen)
und dem Umfang 𝑢 der Grundfläche gilt:
𝑶 = 𝟐𝑮 + 𝑴 = 𝟐𝑮 + 𝒖 ∙ 𝒉
G
M
h
G
4. Mehrstufiger Zufallsversuch:
Zunächst haben wir uns wiederholend mit Zufallsexperimenten beschäftigt, die genau einmal
durchgeführt werden, z.B. dem Würfelwurf.
Man spricht von einem Laplace-Experiment, wenn jeder Ausfall des Zufallsgerätes (z.B. Würfel)
mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt.
Demgegenüber ist der Wurf eines handelsüblichen Kronkorkens sicherlich kein LaplaceExperiment, weil er durch seine Form nicht ausgeglichen auf seine jeweiligen Seiten fällt.
Wahrscheinlichkeit ist hier ein Maß für das Auftreten eines bestimmten, gewünschten Ausfalls.
Für ein Laplace-Experiment wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (z.B. „Beim Würfeln
fällt eine Zahl größer als 3“) definiert als:
𝑷 𝑬 =
𝑨𝒏𝒛𝒂𝒉𝒍 𝒅𝒆𝒓 𝒇ü𝒓 𝒅𝒂𝒔 𝑬𝒓𝒆𝒊𝒈𝒏𝒊𝒔 𝒈ü𝒏𝒔𝒕𝒊𝒈𝒆𝒏 𝑨𝒖𝒔𝒇ä𝒍𝒍𝒆
𝑨𝒏𝒛𝒂𝒉𝒍 𝒂𝒍𝒍𝒆𝒓 𝑨𝒖𝒔𝒇ä𝒍𝒍𝒆
Das Wahrscheinlichkeitsmaß ist immer eine Zahl zwischen 0 und 1 und kann entweder als Bruch,
als Dezimalzahl oder als Prozentzahl angegeben werden. Im Beispiel:
𝟑 𝟏
𝑷 𝑩𝒆𝒊𝒎 𝑾ü𝒓𝒇𝒆𝒍𝒏 𝒇ä𝒍𝒍𝒕 𝒆𝒊𝒏𝒆 𝒁𝒂𝒉𝒍 𝒈𝒓öß𝒆𝒓 𝒂𝒍𝒔 𝟑 = = = 𝟎, 𝟓 = 𝟓𝟎%
𝟔 𝟐
E enthält die Ausfälle: 4,5,6
ARBEITSBLATT Nr. 01
Wird ein solches Zufallsexperiment mehrmals nacheinander durchgeführt, spricht man von
einem mehrstufigen Zufallsversuch. Beispiele sind das mehrmalige Drehen eines Glücksrads oder
auch das nacheinander Ziehen von 6 aus 49 Kugeln beim Lotto.
Wichtig: Die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ausfälle können sich auf späterer Stufe
gegenüber einer vorherigen Stufe verändern.
Z.B. beim Lotto: zu Beginn hat man eine Wahrscheinlichkeit von
1
49
die erste Kugel zu treffen.
Diese gezogene Kugel wird dann aber aus der Menge der möglichen Ausfälle bei einem erneuten
Drehen entfernt, so dass man daraufhin eine Wahrscheinlichkeit von
1
48
hat, die nächste Kugel zu
treffen etc.
Mehrstufige Zufallsexperimente kann man gut mit Bäumen veranschaulichen, als Beispiel der
dreifache Münzwurf:
50%
50%
50%
50%
50%
50%
50%
50%
50%
50%
50%
50%
50%
50%
Jede Spalte von untereinander stehenden Ausfällen W und Z stellt eine erneute Wiederholung
des Zufallsversuchs dar. Hier wurde die Münze dreimal geworfen. Der Baum stellt dabei alle
möglichen Ergebnisfolgen dar – bespielsweise könnte beim ersten Wurf Wappen, beim zweiten
Wurf Zahl und beim dritten Wurf wieder Wappen gefallen sein, dies wird genau durch den rot
markierten Ast von links nach rechts dargestellt.
Pfadregel: Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit genau einem Ergebnis (entlang eines
Astes) zu berechnen, muss man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Astes multiplizieren.
Hier hat das Ereignis 𝐸 = (𝑊 𝑍 𝑊) die Wahrscheinlichkeit 𝑊 𝐸 = 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 =
13
2
1
8
= =
12,5%, was ja auch mit der Beobachtung übereinstimmt, dass dies einer der acht
gleichwahrscheinlichen Fälle ist.
Wichtig: Ereignisse beschreiben oft Sachverhalte, in denen nicht nur ein Ergebnis enthalten ist,
sondern Mehrere. Ein solches Ereignis ist z.B.: 𝐸 = "𝐸𝑠 𝑓ä𝑙𝑙𝑡 𝑚𝑖𝑛𝑑𝑒𝑠𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑧𝑤𝑒𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑊𝑎𝑝𝑝𝑒𝑛". In
diesem Ereignis sind folgende Ergebnisse enthalten:
{ 𝑊 𝑊 𝑊 , 𝑊, 𝑊, 𝑍 , 𝑊, 𝑍, 𝑊 , 𝑍, 𝑊, 𝑊 }.
Summenregel: Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit mehreren Ergebnissen und damit
Pfaden im Baumdiagramm zu bestimmen, muss man die Pfadwahrscheinlichkeiten der einzelnen
zu dem Ereignis gehörenden Ergebnisse addieren.
Hier hat das Ereignis 𝐸 die Wahrscheinlichkeit 𝑊 𝐸 =
13
2
+
13
2
+
13
2
+
13
2
1
8
1
2
= 4 ∙ = = 50%.
ARBEITSBLATT Nr. 01
5. Terme und Gleichungen:
Mathematische Ausdrücke, in denen Zahlen, Operatoren, Klammern und Variablen auf gültige
𝒙
𝟐
Art und Weise verknüpft sind, nennen wir Terme, z.B. (𝟒𝒙+1- ) ∙ 𝒌 .
(Gültig bedeutet für uns, dass wir intuitiv Terme bilden dürfen, aber aus Erfahrung bestimmte
Regeln nicht verletzen, z.B. dürfen zwei Operatoren niemals aufeinander folgen ":(-4)" statt
": −4")
Wertgleichheit zweier Terme: Zwei Terme heißen wertgleich, wenn sie für jede beliebige
Einsetzung der Variablen mit Zahlen immer den gleichen Wert des Terms annehmen. Dies zeigt
man nicht, indem man möglichst viele Werte in beide Terme einsetzt, sondern sie durch
Bruchrechnung, durch Benutzung von Potenzen und dem Assoziativ, Kommutativ- und
Distributivgesetzen korrekt umformt, bis der eine Term zum Anderen wird, was ihre Gleichheit
beweist.
1
4
2 1
∙
3
Beispiel: [( 𝑎)2 : 3] ∙ 𝑏 und
𝑏=
1
𝑎
4
∙𝑏 =
1
16
𝑎 2 ∙𝑏
48
1
4
sind wertgleich, denn man formt um [( 𝑎)2 : 3] ∙ 𝑏 =
1
3
∙ 𝑎2 ∙ ∙ 𝑏 = 𝑎2 ∙ 𝑏 ∙
1
16
1
3
∙ = 𝑎2 ∙ 𝑏 ∙
1
48
=
𝑎 2 ∙𝑏
48
2 3
1
𝑎 :
4
1
∙
.
Ausgehend von Termen sind wir dann über das Waagemodell zu den Gleichungen gekommen.
Abgrenzung zu Termen:
Bei Termen haben wir den Wert eines Terms ausgerechnet, indem wir für die Variable(n) je
einen festen Wert eingesetzt haben und den Term damit letztlich als Rechenausdruck auffassen
konnten. Am Ende erhielten wir eine rationale Zahl als Wert des Terms.
3
4
1
2
3
4
1
2
1
2
3
4
1
4
Beispiel: − 𝑥 2 − 1 + 2𝑥 ergibt für 𝑥 = den Wert des Terms − ∙ ( )2 − 1 + 2 ∙ = − ∙ −
1
1+2∙ =−
2
3
16
1
3
2
16
−1+2∙ =−
−1+1= −
3
16
Im Gegensatz dazu geht es bei Gleichungen um die interessantere Fragestellung, nämlich welche
Zahl man für 𝑥 in Terme auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens einsetzen müsste, um jeweils
den gleichen Wert des Terms zu erhalten (was dann auch dem Gleichgewichtszustand auf einer
Waage entspricht). Dies notiert man dann als sogenannte Gleichung,
Beispiel:
−𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟏 − 𝟐𝒙
und das Herausfinden dieser Einsetzung(en) für die Variable bezeichnet man als „Lösen der
Gleichung“. Dafür haben wir eine Strategie formuliert:
1. Zusammenfassen gleichartiger Glieder auf beiden Seiten der
Gleichung (durch Anwenden von Termumformungen)
2. Sortieren der Summanden: mit Variable auf eine Seite, ohne
Variable auf die andere Seite der Gleichung (durch
Addition/Subtraktion von entsprechenden Termsummanden)
3. Isolieren der Variablen durch Division durch deren Vorfaktor
Im Beispiel löst man die Gleichung wie folgt:
−3𝑥 − 1 = 1 − 2𝑥 | + 2𝑥
−3𝑥 + 2𝑥 − 1 = 1 | + 1
−3𝑥 + 2𝑥 = 1 + 1
−𝑥 = 2
𝑥 = −2
wobei die Zahl -2 genau diejenige Einsetzung für die Variable 𝑥 ist, für die die Gleichung des
Beispiels erfüllt ist.