Waerme und statistische Mechanik Temperatur: neue Groesse in

Waerme und statistische Mechanik
Temperatur: neue Groesse in der Zustandsgleichung z.B. p V=n R T
1. HS: dQ = dU - dW = dU + p dV
Waermemenge (Uebergangsgroesse) ∆Q =
Innere Energie
∆U =
Waermeenergie ist mechanische Energie der atomaren Teilchen
Aber: ungeordnet, statistisch -- verteilt auf viele Teilchen
Fragen:
werfe Cu Block aus dem Fenster– wird er dabei waermer?
er trifft hart auf dem Boden auf und bleibt liegen – ist er jetzt waermer?
welche Temperatur hat ein CO2 Molekuel?
welches T hat ein Urankern (A=238) ?
Elementare Herleitung der statistischen Relationen fuer die Waerme
Gasatome (z.B. Ar) schwirren in einem Volume
Nur elastische Stoesse == ideales Gas
V bei Temperatur T [K] herum.
p
1. Atome treffen auf eine Wand und werden reflektiert
px
Impulsuebertrag auf die Wand: ∆px= 2 px f(vx)dvx
2. Zahl der Stoesse/s = n vx A ½
Flaeche A
Nur die Haelfte fliegt
nach rechts
A
n
vx• 1 s
3. Kaft auf Flaeche A:
F = Impuls/Zeit = Stoesse/s * Impulsuebertrag/Stoss
F = n vx A ½ n 2 px = 2 n ½ m vx2A = ∫ 2/3 n ½ m v2 A f(v)dv
4. Druck auf die Wand: p=F/A:
2/3nn ½
<Em
>2 = 2/3 n Ekin
p = 2/3
kinv
Grundbeziehungen der statistischen Mechanik
Druck:
p = 2/3 n <Ekin>
P V = 2/3 nV <Ekin> = ν R T
Vergleich mit Gasgleichung
nV = Zahl der Atome = ν NA
<Ekin> = 3/2 R/NA T = 3/2 k T
T = 2/3 <Ekin>/k
Temperatur ist ein Mass fuer die mittlere ungeordnete
kinetische Energie eines Atoms!
U = < Ekin(Gasvolumen)> + <Epot(Gasvolumen)> ≈ < Ekin(Gasvolumen)>
= ν NA <Ekin>= ν NAk 3/2 T
Ideales Gas
= ν 3/2 R T
Innere Energie ist die totale ungeordnete mechanische Energie
In idealen Gasen ist die potentielle Energie Null
Wie messe ich die absolute Temperatur ?
Messe mittlere kinetische Energie eines Atoms in einem idealen Gas
Ist Ekin=o T= 0 (absoluter Nullpunkt)
Gasthermometer mit idealem Gas p= 2/3 n <Ekin>
T = p * V/(ν R) (messe p bei festem Volumen V, definiere T= 273 K bei
schmelzendem Eis)
Welches Gas nehmen wir? Was ist ideal
Wann ist He kein ideales Gas mehr?
Van der Waals:
Binnendruck
(p-a/V2) (V-b) = ν RT
Eigenvolumen
Fluessigkeit:
V≈b
Beispiel: Temperaturmessung von kalten Gasen
Dichtewverteilung einer Na Gaswolke
In einer Magnetooptischen Falle
Durchmesser der Woke ca. 2 mm
~ 100000 Atome
Hoehe der Potentialmulde
~B
Schalte B- Feld aus
Wolke faellt im freien Fall nach unten und expandieret dabei lateral
in x-Richtung Grund der thermischen Geschwindigkeit vx der Atome
Messe die breite der Wolke waehrend der Fallzeit
Ergebnis: vx ≈ 6 mm/s
Schaetzen sie die Temperatur der Na –Wolke ab!
k= 1.38 E-23 J/K
mu= 1.65 E-27 kg
Na: Atomgewicht = 22 mu
T = m vx2 /k
= 95 nK
Zustandsgleichung und Kreisprozesse
1. HS: Energieerhaltung
dQ=dU - dW
2. Hauptsatz: nicht alle energetisch moeglichen Prozesse treten auf!
dS = dQ/T >= 0 fuer abgeschlossenen Systeme (Entropie nimmt zu)
Oder
Wirkungsgrad einer zyklisch laufenden Waermekraftmaschine ist
maximal
η <= (T1-T2)/T1
(Ingenieure)
Spezifische Waermen:
CV (Mol) = dU/T = 3/2 R (fuer ideales Gas)
Cp (Mol) = dQ/T = 5/2 R (fuer ideales Gas)
Allgemeiner bei Gasen: 3/2 f/2
konstantes Volumen (dQ=dU)
konstanter Druck
(f= Zahl der Freiheitsgrade )
∆U = cV (T2-T1) bei jedem Prozess, der die Temperatur von T1 nach T2
aendert
Prozesse im p-V Diagramm:
p
p V =ν R T
T1
Evaluiere ∆ Q = ∆U - ∆W
fuer jeden Prozess, der von 1
2
fuehrt
T2
V
1. Isotherme Expansion T2=T1!
∆U = ?
∆W = - ∫ p dV = ?
∆ Q = ∆U - ∆W
∆S = ?
2. adiabatisch: ∆ Q = 0!
∆W = - ∆U
∆U= ?
3. isobare Expansion p=const.