07-08 Lösungen - brinkmann-du
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R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) SG15/25D NAME: Jan. 2007 Lösungen 1. In einer Packung sind 10 Glühbirnen, davon sind zwei defekt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse, wenn drei Glühbirnen „blind“ herausgegriffen werden? A: Alle drei Glühbirnen sind in Ordnung. B: Genau eine Glühbirne ist defekt. C: Genau zwei Glühbirnen sind defekt. E1: (Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen) n = 10 Glühbirnen, davon sind 2 defekt. 3 Glühbirnen werden zufällig entnommen. Die Anzahl der Möglichkeiten aus einer Packung mit 10 Glühbirnen zufällig 3 auszuwählen ist: ⎛ 10 ⎞ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 120 ⎜ ⎟= 3 ⋅ 2 ⋅1 ⎝3⎠ A: Alle 3 Glühbirnen sind in Ordnung. Die Anzahl der Möglichkeiten aus 8 heilen Glühbirnen 3 auszuwählen ist 3 aus 8. ⎛8⎞ Damit ist die Anzahl der Möglichkeiten für A : ⎜ ⎟ = 56 ⎝3⎠ 56 7 = ≈ 0, 46 120 15 die Wahrscheinlichkeit dafür, drei heile Glühbirnen auszuwählen. Damit ist P ( A ) = B: Genau eine Glühbirne ist defekt. Von den 8 heilen Glühbirnen werden 2 und von den 2 defekten Glühbirnen wird eine gezogen. ⎛8⎞ ⎛ 2⎞ 8 ⋅ 7 Die Anzahl der Möglichkeiten für B ist : ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⋅ 2 = 56 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1⎠ 2 ⋅1 56 7 = ≈ 0, 46 120 15 die Wahrscheinlichkeit dafür, das von den 3 ausgewählten Glühbirnen eine defekt ist. Damit ist P (B ) = C: Genau zwei Glühbirnen sind defekt. Von 8 heilen Glühbirnen wird eine und von den 2 defekten Glühbirnen werden 2 gezogen. ⎛8⎞ ⎛ 2⎞ Die Anzahl der Möglichkeiten für C ist : ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 8 ⋅ 1 = 8 ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ 8 1 = ≈ 0,06 120 15 die Wahrscheinlichkeit dafür, das von den 3 ausgewählten Glühbirnen 2 defekt sind. Damit ist P ( C ) = Erstellt von R. Brinkmann sg15_25d_su_02_n2_e 28.12.2007 21:12 Seite 1 von 7 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 2 30.11.2013 2. Zum Auffädeln einer Kette stehen rote, blaue und grüne Perlen zur Verfügung. Es werden 6 Perlen aufgefädelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse, wenn die Farben zufällig gewählt werden? A: Es kommt keine rote Perle vor. B: Die ersten 3 Perlen sind grün. C: Es kommen immer abwechselnd nur rote und grüne Perlen vor. E2: (Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen) Die Farbauswahl ist zufällig, das bedeutet, jede Farbe ist gleichwahrscheinlich. Für jede Perle stehen 3 Farben zur Verfügung. Damit ist die Anzahl aller Möglichkeiten 36 = 729 A: Es kommt keine rote Perle vor. Die Anzahl der Möglichkeiten nur zwei Farben zu ziehen ist 26 = 64 Die Anzahl der Möglichkeiten für A ist: 26 = 64 64 Damit ist P ( A ) = ≈ 0,0878 729 die Wahrscheinlichkeit dafür, das keine Perle rot ist. B: Die ersten drei Perlen sind grün. Damit können die letzten 3 beliebig gewählt werden. Also eine Möglichkeit für ggg und 33 Möglichkeiten für die anderen drei. Die Anzahl der Möglichkeiten für B ist: 1⋅ 33 = 27 27 1 Damit ist P (B ) = = ≈ 0,0370 729 27 die Wahrscheinlichkeit dafür, das die ersten drei Perlen grün sind. C: Die Perlen sind abwechselnd rot und grün. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten: rgrgrg oder grgrgr Die Anzahl der Möglichkeiten für C ist: 2 2 Damit ist P ( C ) = ≈ 0,00274 729 die Wahrscheinlichkeit dafür, das die Perlen abwechselnd rot und grün sind. Erstellt von R. Brinkmann sg15_25d_su_02_n2_e 28.12.2007 21:12 Seite 2 von 7 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 3 30.11.2013 3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 3 richtige im Lotto bei 6 aus 49 E3: 3 richtige im Lotto Die Anzahl der Möglichkeiten 3 Zahlen von insgesamt 6 Gewinnzahlen anzukreuzen und 3 Zahl von 43 Nicht- Gewinnzahlen anzukreuzen ist: ⎛ 6 ⎞ ⎛ 43 ⎞ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 43 ⋅ 42 ⋅ 41 ⋅ = 246.820 ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ = 3 ⋅ 2 ⋅1 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 ⋅ 2 ⋅1 Das ist die Anzahl der Möglichkeiten für das Eintreten von D. Damit ist ⎛ 6 ⎞ ⎛ 43 ⎞ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ 3 3 246.820 P (D ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ≈ 0,0177 13.983.816 ⎛ 49 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 3 Gewinnzahlen angekreuzt wurden (3 richtige). Erstellt von R. Brinkmann sg15_25d_su_02_n2_e 28.12.2007 21:12 Seite 3 von 7 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 4 30.11.2013 4. Bei einem Multiple-Choice-Test gibt es 10 Fragen mit je drei möglichen Antworten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Jemand kreuzt nach dem Zufallsprinzip bei jeder Frage eine Antwort an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse? A: Alle Antworten sind falsch. B: Die ersten 5 sind richtig, die letzten 5 sind falsch angekreuzt. C: Genau die Hälfte der Antworten sind richtig. D: 4 Antworten sind richtig, 6 sind falsch. E4: 10 Fragen mit je 3 möglichen Antworten. Die Anzahl der Möglichkeiten bei 10 Fragen jeweils eine von drei möglichen Antworten anzukreuzen ist 310. (Urne mit 3 verschiedenen Kugeln, 10 mal Ziehen mit Zurücklegen) A: Alle Antworten sind falsch. Bei jeder der 10 Fragen gibt es 2 Möglichkeiten falsch anzukreuzen. Die Anzahl der Möglichkeiten für A ist: 210 10 210 ⎛ 2 ⎞ = ⎜ ⎟ ≈ 0,0173 310 ⎝ 3 ⎠ die Wahrscheinlichkeit dafür, alle Antworten falsch anzukreuzen. Damit ist P ( A ) = B: Die ersten 5 Fragen sind richtig, die letzten 5 Fragen sind falsch angekreuzt. Für die ersten 5 Fragen gibt es jeweils eine, für die zweiten 5 Fragen jeweils 2 Möglichkeiten anzukreuzen. Die Anzahl der Möglichkeiten für B ist: 15 ⋅ 2 5 15 ⋅ 2 5 ≈ 0,000.542 310 die Wahrscheinlichkeit dafür, die ersten 5 Fragen richtig angekreuzt zu haben. Damit ist P (B ) = C: Genau die Hälfte der Fragen sind richtig angekreuzt. Um die 5 richtig beantworteten Fragen auf 10 Fragen zu verteilen, ⎛ 10 ⎞ gibt es ⎜ ⎟ Möglichkeiten. Jede einzelne hat die Wahrscheinlichkeit von B ⎝5⎠ ⎛ 10 ⎞ 15 ⋅ 2 5 25 Damit ist P ( C ) = ⎜ ⎟ ⋅ 10 = 252 ⋅ 10 ≈ 0,137 3 ⎝5⎠ 3 die Wahrscheinlichkeit dafür, genau die Hälfte der Fragen richtig zu beantworten. Erstellt von R. Brinkmann sg15_25d_su_02_n2_e 28.12.2007 21:12 Seite 4 von 7 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 5 30.11.2013 D: 4 Antworten sind richtig, 6 sind falsch. ⎛ 10 ⎞ Die Anzahl der Möglichkeiten 4 Fragen auf 10 zu verteilen ist ⎜ ⎟ = 210 ⎝4⎠ Bei jeder der 6 falsch angekreuzten Fragen gibt es 2 Möglichkeiten. Das sind 26 Möglichkeiten. ⎛ 10 ⎞ Die Anzahl der Möglichkeiten für D ist: ⎜ ⎟ ⋅ 26 = 210 ⋅ 26 ⎝4⎠ 210 ⋅ 26 Damit ist P (D ) = ≈ 0,228 310 die Wahrscheinlichkeit dafür, 4 Fragen richtig angekreuzt zu haben. Erstellt von R. Brinkmann sg15_25d_su_02_n2_e 28.12.2007 21:12 Seite 5 von 7 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 6 30.11.2013 5. In einer Urne befinden sich 14 gleichgroße Kärtchen, auf denen jeweils nur ein Buchstabe aufgedruckt ist. Kärtchen mit den Buchstaben Anzahl der Kärtchen A E N O T 1 4 5 1 3 Jens schlägt folgendes Spiel vor: Aus der Urne werden mit einem Griff drei Kärtchen gezogen. Es wird nach folgender Tabelle ausgezahlt: gezogene Buchstaben mit Auszahlung 1 Vokal 2 Vokalen 1€ 7€ 3 Vokalen ohne E, E, E E, E, E 21€ 28 € Wie hoch muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist? E 5: Unter den 14 Buchstaben gibt es 6 Vokale und 8 Konsonanten. Die Werte der Zufallsvariablen X sind: 1 Vokal 2 Vokale 3 Vokale ohne EEE EEE kein Vokal X = xi 1 7 21 28 0 Deren Wahrscheinlichkeit ist: ⎛6⎞ ⎛8⎞ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ 1 2 42 P ( X = x1 ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = für 1 Vokal und 2 Konsonanten 91 ⎛ 14 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎛6⎞ ⎛8⎞ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ 2 1 30 P ( X = x2 ) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = für 2 Vokale und 1 Konsonanten 91 ⎛ 14 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ 3 1 P ( X = x4 ) = ⎝ ⎠ = für EEE ⎛ 14 ⎞ 91 ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎛6⎞ ⎜ ⎟ 3 1 4 = P ( X = x3 ) = ⎝ ⎠ − für 3 Vokale ohne EEE ⎛ 14 ⎞ 91 91 ⎜ ⎟ ⎝3⎠ Erstellt von R. Brinkmann sg15_25d_su_02_n2_e 28.12.2007 21:12 Seite 6 von 7 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 7 30.11.2013 ⎛8⎞ ⎜ ⎟ 3 14 P ( X = x5 ) = ⎝ ⎠ = für 3 Konsonanten ⎛ 14 ⎞ 91 ⎜ ⎟ ⎝3⎠ Wahrscheinlichkeiten der Zufallsvariablen und Berechnung des Erwartungswerts: X = xi 0 1 7 P ( X = xi ) 14 91 42 91 30 4 1 91 91 91 21 28 E ( X ) = ∑ xi ⋅ P ( X = xi ) = 0 ⋅ i 14 42 30 4 1 364 + 1⋅ + 7⋅ + 21⋅ + 28 ⋅ = =4 91 91 91 91 91 91 Bei einem Einsatz von 4 € ist das Spiel fair. Erstellt von R. Brinkmann sg15_25d_su_02_n2_e 28.12.2007 21:12 Seite 7 von 7
