EPR-Paradoxon und Bell
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EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen EPR-Paradoxon und Bell-Ungleichung Miroslav Shaltev @ Proseminar Institut für Theoretische Physik, Universität Hannover 3. Februar 2007 Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen EPR-Paradoxon Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR Bell Ungleichung Enter Bell Die Ungleichung Schlussfolgerungen Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR Schachspielartig. Einstein immer neue Beispiele. Gewissermaßen perpetuum mobile zweiter Art, um die Ungenauigkeitsrelation zu durchbrechen. Bohr stets aus einer dunklen Wolke von philosophischem Rauchgewölke die Werkzeuge heraussuchend, um Beispiel nach Beispiel zu zerbrechen. Einstein wie die Teufel in der Box: Jeden Morgen wieder frisch herausspringend. Brief von Paul Ehrenfest an Goudsmit, Uhlenbeck und Dieke, 3. November 1927. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Anforderungen an einer Theorie I Ist die Theorie korrekt? Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Anforderungen an einer Theorie I Ist die Theorie korrekt? I Ist die Beschreibung gegeben durch die Theorie vollständig? Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Definition der Vollständigkeit I In einer vollständigen Theorie muss jedes Element der physikalischen Realität eine Entsprechung haben. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Definition der Realität I Wenn ohne jede Störung des Systems der Wert einer Größe mit Bestimmtheit vorhergesagt werden kann, dann existiert ein Element der physikalischen Realität, das dieser Größe entspricht. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 1) I Zustandbeschriebung durch die Wellenfunktion ψ. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 1) I Zustandbeschriebung durch die Wellenfunktion ψ. I Zu jeder Observablen entspricht ein Operator A Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 1) I Zustandbeschriebung durch die Wellenfunktion ψ. I Zu jeder Observablen entspricht ein Operator A I ψ ist Eigenfunktion des Operators Â, also ψ ≡ Âψ = aψ, Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung (1) EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 1) I Zustandbeschriebung durch die Wellenfunktion ψ. I Zu jeder Observablen entspricht ein Operator A I ψ ist Eigenfunktion des Operators Â, also ψ ≡ Âψ = aψ, I  is messbar, zu  gehört Realität. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung (1) EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 1) I für die Wellenfunktion ψ=e 2πi p x h 0 Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung (2) EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 1) I für die Wellenfunktion ψ=e I 2πi p x h 0 (2) ist der Impulsoperator gegeben durch p̂ = ( h ∂ ) 2πi ∂x Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung (3) EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 1) I für die Wellenfunktion ψ=e I (2) ist der Impulsoperator gegeben durch p̂ = ( I 2πi p x h 0 h ∂ ) 2πi ∂x Der Impuls des Partikels ist reel mit Wert p0 . Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung (3) EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 1) I Es sei q̂ der Ortsoperator Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 1) I Es sei q̂ der Ortsoperator I dadurch q̂ψ = xψ 6= aψ. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung (4) EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 1) I Es sei q̂ der Ortsoperator I dadurch q̂ψ = xψ 6= aψ. I Quantenmechanisch ist eine Wahrscheinlichkeitsaussage möglich Z x2 Z x2 P(x1 , x2 ) = dx ψ̄ψ = dx = x2 − x1 . x1 x1 Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung (4) (5) EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 1) I Es sei q̂ der Ortsoperator I dadurch q̂ψ = xψ 6= aψ. I Quantenmechanisch ist eine Wahrscheinlichkeitsaussage möglich Z x2 Z x2 P(x1 , x2 ) = dx ψ̄ψ = dx = x2 − x1 . x1 I x1 Und wo genau ist das Teilchen? Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung (4) (5) EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 1) I Die Koordinate in Zustand ψ = e messen. 2πi p x h 0 ist nur direkt zu Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 1) 2πi p x h 0 I Die Koordinate in Zustand ψ = e messen. I Die Quantenmechanischekonsequenz: bei bekanntem Impuls, gehört dem Ort keine physikalische Realität. ist nur direkt zu Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 1) I Wenn [A, B] 6= 0, sind die entsprechende Messwerte gleichzeitig nicht scharf messbar. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 1) I Es folgt, entweder [1] ist die Quantenmechanische Beschreibung der Realität gegeben durch die Wellenfunktion nicht Vollständig, oder [2] wenn die Operatoren, die zu zwei physikalischen Größen entsprechen, nicht kommutieren, besitzen die zwei Größen keine gemeinsamme Realität. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 1) I EPR Argument - das Experiment (Teil 1) - Ende. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 2) I Gegeben sind zwei Systeme I und II, die für die Zeit t ∈ [0, T ] wechselwirken. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 2) I Eigenwerte ⇔ Eigenfunktionen zum Operator  a1 , a2 , a3 ⇔ u1 (x1 ), u2 (x1 ), u3 (x1 ), ... P Ψ(x1 , x2 ) = ∞ n=1 ψn (x2 )un (x1 ) ψn (x2 ) sind entwicklungkoeffizienten. Nach Messung ak , bleibt II in ψk (x2 ) und I in uk (x1 ) Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 2) I Eigenwerte ⇔ Eigenfunktionen zum Operator  b1 , b2 , b3 ⇔ v1 (x1 ), v2 (x1 ), v3 (x1 ), ... P Ψ(x1 , x2 ) = ∞ s=1 φs (x2 )vs (x1 ) φs (x2 ) sind entwicklungkoeffizienten. Nach Messung br , bleibt II in φr (x2 ) und I in vr (x1 ) Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 2) I Zwei verschiedene Wellenfunktionen (z.B. ψk und φr ) gehören möglicherweise zu den selben Realität. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 2) I Zwei verschiedene Wellenfunktionen (z.B. ψk und φr ) gehören möglicherweise zu den selben Realität. I Es kann sein, dass die Wellenfunktionen ψk and φr Eigenzustände von zwei nicht-kommutierenden Operatoren P̂ und Q̂ sind. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 2) I Zustand des Teilchensystems Z ∞ 2πi Ψ(x1 , x2 ) = dpe h (x1 −x2 +x0 )p −∞ Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung (6) EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 2) I Zustand des Teilchensystems Z ∞ 2πi Ψ(x1 , x2 ) = dpe h (x1 −x2 +x0 )p −∞ I nach Umformung: Ψ(x1 , x2 ) = R∞ −∞ dpe − 2πi (x2 −x0 )p h e 2πi px1 h Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung (6) EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 2) I Zustand des Teilchensystems Z ∞ 2πi Ψ(x1 , x2 ) = dpe h (x1 −x2 +x0 )p (6) −∞ I nach Umformung: Ψ(x1 , x2 ) = I R∞ −∞ dpe − 2πi (x2 −x0 )p h e 2πi px1 h Es sei A der Impuls von Teilchen I mit Impulseigenfunktion: up (x1 ) = e ψp (x2 ) = e − 2πi px1 h , 2πi (x2 −x0 )p h h ist Eigenfunktion von P̂ = ( 2πi ) ∂x∂ 2 entsprechend zum Eigenwert −p des Impuls von Partikel II. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 2) I Zustand des Teilchensystems Z ∞ 2πi dpe h (x1 −x2 +x0 )p Ψ(x1 , x2 ) = −∞ Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung (7) EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 2) I Zustand des Teilchensystems Z ∞ 2πi dpe h (x1 −x2 +x0 )p Ψ(x1 , x2 ) = −∞ I kann man auch wie folgt schreiben: R∞ 2πi Ψ(x1 , x2 ) = −∞ dpe h (x−x2 +x0 )p δ(x1 − x) Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung (7) EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 2) I Zustand des Teilchensystems Z ∞ 2πi dpe h (x1 −x2 +x0 )p Ψ(x1 , x2 ) = −∞ I kann man auch wie folgt schreiben: R∞ 2πi Ψ(x1 , x2 ) = −∞ dpe h (x−x2 +x0 )p δ(x1 − x) I Es sei B der Ort von Teilchen I mit Eigenfunktion: vx (x1 ) = δ(x1 − x), φx (x2 ) = R∞ −∞ dpe 2πi (x−x2 +x0 )p h = hδ(x − x2 + x0 ) ist Eigenfunktion von Q̂ = x2 entsprechend zum Eigenwert x + xx0 des Orts von Partikel II. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung (7) EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 2) I h Es wurde gezeigt, weil P̂ Q̂ − Q̂ P̂ = 2πi ist, ist es möglich ψk und φr zu zwei nicht-kommutierenden Operatoren zu gehören. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 2) I h Es wurde gezeigt, weil P̂ Q̂ − Q̂ P̂ = 2πi ist, ist es möglich ψk und φr zu zwei nicht-kommutierenden Operatoren zu gehören. I Durch Messung von P oder Q für Partikel I kann mann P oder Q für Partikel II bestimmen. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 2) I h Es wurde gezeigt, weil P̂ Q̂ − Q̂ P̂ = 2πi ist, ist es möglich ψk und φr zu zwei nicht-kommutierenden Operatoren zu gehören. I Durch Messung von P oder Q für Partikel I kann mann P oder Q für Partikel II bestimmen. I Zwei physikalischen Grössen mit nicht-kommutirenden Operatoren können eine simultane Realität besitzen. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment (Teil 2) I EPR Argument - das Experiment (Teil 2) - Ende. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment - Schlussfolgerung I Es wurde jedoch gezeigt, dass entweder [1] die quantenmechanische Beschreibung der Realität gegeben durch die Wellenfunktion nicht vollständig ist, oder [2] wenn die Operatoren entsprechend zu physikalische Grössen nicht-kommutieren, besitzen sie keine simultane Realität. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR EPR Argument - das Experiment - Schlussfolgerung I Es wurde jedoch gezeigt, dass entweder [1] die quantenmechanische Beschreibung der Realität gegeben durch die Wellenfunktion nicht vollständig ist, oder [2] wenn die Operatoren entsprechend zu physikalische Grössen nicht-kommutieren, besitzen sie keine simultane Realität. I Negation von [1] schliesst die verbleibende alternative [2] aus. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Einstein Einstein, Podolsky, Rosen Argument in eigener Darstellung David Bohm und EPR David Bohm - EPRB I |Ψi = √1 (|↑i|↓i 2 − |↓i|↑i) Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Bell Die Ungleichung Enter Bell I ”I felt that Einstein’s intellectual superiority over Bohr, in this instance, was enormous; a vast gulf between the man who saw clearly what was needed, and the obscurantist.” John Stewart Bell Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Bell Die Ungleichung Bell Ungleichung - Originalbeweis I Bell betrachtet zuerst das Ergebnis zweier Spinmessungen an einem EPR-Paar entlang derselben Richtung. Falls das Ergebnis der Messung A den Wert +1 liefert, muss die B-Messung auf den Wert −1 führen. A(a, λ) = ±1,B(b, λ) = ±1 Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Bell Die Ungleichung Bell Ungleichung - Originalbeweis I Bell betrachtet zuerst das Ergebnis zweier Spinmessungen an einem EPR-Paar entlang derselben Richtung. Falls das Ergebnis der Messung A den Wert +1 liefert, muss die B-Messung auf den Wert −1 führen. A(a, λ) = ±1,B(b, λ) = ±1 I Observable ist die Korrelationsfunktion R hAB(a, b)i = dλρ(λ)A(a, λ)B(b, λ). Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Bell Die Ungleichung Bell Ungleichung - Originalbeweis I Entscheidend ist die Betrachtung einer dritten Richtung c. hAB(a, b)i − hAB(a, c)i = R − dλρ(λ)A(a, λ)A(b, λ)[1 − A(b, λ)A(c, λ)]. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Bell Die Ungleichung Bell Ungleichung - Originalbeweis I Entscheidend ist die Betrachtung einer dritten Richtung c. I hAB(a, b)i − hAB(a, c)i = R − dλρ(λ)A(a, λ)A(b, λ)[1 − A(b, λ)A(c, λ)]. R Mit |A| , |B| ≤ 1 und dλρ(λ) = 1 bekommt man |hAB(a, b)i − hAB(a, c)i| ≤ 1 + hAB(b, c)i Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Bell Die Ungleichung Bell Ungleichung I Wir betrachten eine EPRB-Anordnung mit Spinmessungen entlang drei verschiedener Richtungen a, b und c. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Bell Die Ungleichung Bell Ungleichung I Wir betrachten eine EPRB-Anordnung mit Spinmessungen entlang drei verschiedener Richtungen a, b und c. I Ein Teilchen gehört entsprechend zu bestimmte Klasse z.B. (a-,b-,c+). Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Bell Die Ungleichung Bell Ungleichung I Wir betrachten eine EPRB-Anordnung mit Spinmessungen entlang drei verschiedener Richtungen a, b und c. I Ein Teilchen gehört entsprechend zu bestimmte Klasse z.B. (a-,b-,c+). I Die Bestimmung der Zustände ist glecihzeitig nicht möglich, dennoch folgt aus der Drehimpulserhaltung, dass Messung ”-” bei Teilchen 1 entlang der a-Richtung den Wert ”+” für Teilchen 2 entlang derselben Richtung erfordert. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Bell Die Ungleichung Bell Ungleichung I Bei drei möglichen Richtungen gibt es für die Spinmessungen 23 = 8 verschiedene Klassen. Anzahl N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 Teilchen 1 (a,b,c) (+, +, +) (+, +, −) (+, −, +) (+, −, −) (−, +, +) (−, +, −) (−, −, +) (−, −, −) Teilchen 2 (a,b,c) (−, −, −) (−, −, +) (−, +, −) (−, +, +) (+, −, −) (+, −, +) (+, +, −) (+, +, +) Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Bell Die Ungleichung Bell Ungleichung I Ein Messergebnis wird als (+ + |ab) bezeichnet, wenn sich + für einer Messung in a- bzw. b-Richtung ergibt. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Bell Die Ungleichung Bell Ungleichung I Ein Messergebnis wird als (+ + |ab) bezeichnet, wenn sich + für einer Messung in a- bzw. b-Richtung ergibt. I Es lassen sich für die Häufigkeiten Ni Relationen des Typs angeben: N3 + N4 ≤ (N2 + N4 ) + (N3 + N7 ) Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Bell Die Ungleichung Bell Ungleichung I Ein Messergebnis wird als (+ + |ab) bezeichnet, wenn sich + für einer Messung in a- bzw. b-Richtung ergibt. I Es lassen sich für die Häufigkeiten Ni Relationen des Typs angeben: N3 + N4 ≤ (N2 + N4 ) + (N3 + N7 ) I Die Entsprechende Wahrscheinlichkeit ist dann P(+ + |ab) = NP 3 +N4 Ni Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Bell Die Ungleichung Bell Ungleichung I Die Hüfigkeitsaussage wird in eine Wahrscheinlichkeitsaussage umgewandelt Bell Ungleichung P(+ + |ab) ≤ P(+ + |ac) + P(+ + |cb) Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Bell Die Ungleichung Bell Ungleichung I Die Wahrscheinlichkeiten in der Bell Ungleichung können durch Erwartungswertbildung mit Hilfe der Paulimatrizen berechnet werden, als Funktion der Winkel θij zwischen den Richtungen der Spinmessung: P(+ + |ij) = 1 2 θ sin2 ( 2ij ) Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Bell Die Ungleichung Bell Ungleichung I Die Wahrscheinlichkeiten in der Bell Ungleichung können durch Erwartungswertbildung mit Hilfe der Paulimatrizen berechnet werden, als Funktion der Winkel θij zwischen den Richtungen der Spinmessung: P(+ + |ij) = I 1 2 θ sin2 ( 2ij ) Die Bell Ungleichung: sin2 ( θ2ab ) ≤ sin2 ( θ2ac ) + sin2 ( θ2cb ) Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Enter Bell Die Ungleichung Bell Ungleichung I Die Wahrscheinlichkeiten in der Bell Ungleichung können durch Erwartungswertbildung mit Hilfe der Paulimatrizen berechnet werden, als Funktion der Winkel θij zwischen den Richtungen der Spinmessung: P(+ + |ij) = I 1 2 θ sin2 ( 2ij ) Die Bell Ungleichung: sin2 ( θ2ab ) ≤ sin2 ( θ2ac ) + sin2 ( θ2cb ) I Die mögliche Winkeln θab = 90◦ ,θac = θcb = 45◦ ergeben 0.5 ≤ 0.29289 Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Schlussfolgerungen ”Contemporary physicsts come in two varieties. Type 1 physicsts are bothered by EPR and Bell’s Theorem. Type 2 ( the majority ) are not, but one has to distinguish two subvarieties. Type 2a physicists explain why they are not bothered. Their explanations tend either to miss the point entirely ( like Born’s to Einstein ) or to contain physical assertions that can be shown to be false. Type 2b are not bothered and refuse to explain why.” Mermin Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Albert Einstein, Boris Podolsky, and Nathan Rosen. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? Physical Review, 47, 1935. John S. Bell. On the einstein posolky rosen paradoxon. Physics, 1, 1964. http://plato.stanford.edu/entries/qt epr/. The einstein-podolsky-rosen argument in quantum theory. Oliver Passon. Bohmsche Mechanik. Verlag Harri Deutsch, 2004. Eckhard Rebhan. Theoretische Physik (Band 2). Spektrum, 2005. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung EPR-Paradoxon Bell Ungleichung Schlussfolgerungen Franz Schwabl. Quantenmechanik. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2002. Silvia Arroyo Camejo. Skurrile Quantenwelt. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006. Jürgen Ausdretsch. Verschränkte Welt. WILEY-VCH Verlag, 2002. N.Straumann. Quantenmechanik. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2002. Miroslav Shaltev @ ProseminarInstitut für Theoretische Physik, Universität EPR-Paradoxon Hannover und Bell-Ungleichung
