Naturwissenschaftliche Formelsammlung - Edu
Werbung
Impressum & Copyright Copyright Ich habe diese Formelsammlung gemäß der Vorgaben des Staatsinstituts für Schulqualität und Bildungsforschung München (ISB) zusammengestellt. Die Merkhilfe Mathematik wurde mit Genehmigung des Bayerischen Staatsministeriums für Unterricht und Kultus abgedruckt. Das Urheberrecht sowie die urheberrechtlichen Verwertungs- und Nutzungsrechte der Merkhilfe liegen beim Staatsministerium für Unterricht und Kultus. Die Daten sind teilweise der de.wikipedia.org entnommen. Die entsprechenden Quelldokumente sind auf www.edu-maphy.de frei verfügbar. Das Werk, einschließlich aller seiner Teile, ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung ist ohne Zustimmung des Autors unzulässig. Dies gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Konzeption & Verfasser Eigenverlag StR Johannes Almer Ludwig-Thoma-Gymnasium Prien am Chiemsee www.edu-maphy.de [email protected] Friedhofweg 9 83209 Prien am Chiemsee Druck und Produktion: LONGO AG, Bozen 1. Auflage, 1. Druck 2010 ISBN 978-3-00-032043-9 Papier aus verantwortungsvollen Quellen www.fsc.org Seite 2 Inhaltsverzeichnis Seite 3 Hinweise Ein Punkt über dem Buchstabensymbol bedeutet die erste Ableitung nach der Zeit; zwei Punkte bedeuten die zweite Ableitung nach der Zeit. Unter dem Abstand ausgedehnter Körper versteht man stets den Abstand der Massenschwerpunkte bzw. Ladungsschwerpunkte. Widerstand R, Kapazität C und Induktivität L bezeichnen sowohl das Bauteil selbst als auch den Wert der entsprechenden Größe. Unter der Ladung Q versteht man sowohl die Eigenschaft eines Körpers als auch den Wert der Ladung. Unter der Masse m versteht man sowohl die Eigenschaft eines Körpers als auch den Wert der Masse. Treten die Buchstabensymbole vektorieller Größen wie Kräfte oder Feldstärken ohne Pfeil über dem Buchstabensymbol auf, so sind die Beträge der jeweiligen Größen gemeint. Unter Normbedingungen sind die Bedingungen unter 0 °C und 1013 hPa zu verstehen. Unter Standardbedingungen sind die Bedingungen unter 25 °C und 1013 hPa zu verstehen. Die geschweiften Klammern im Argument des Logarithmus geben die Maßzahl einer chemischen oder physikalischen Größe ohne Einheit wieder. Seite 4 Physik Mechanik Mechanik Newton’sche Gesetze 1. Newton’sches Gesetz - Trägheitssatz Wirkt auf einen Körper keine Kraft oder befindet er sich im Kräftegleichgewicht, so bleibt er in Ruhe oder er bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig weiter. 2. Newton’sches Gesetz - Grundgleichung der Mechanik ~ = m~ F a ~a ist die Beschleunigung, die ein Körper der konstanten Masse m erfährt, wenn die Kraft F~ auf ihn wirkt. Falls die Masse nicht konstant ist, gilt die allgemeine Formulierung: ~ =p F ~˙ p~ ist der Impuls des Körpers. 3. Newton’sches Gesetz - Wechselwirkungsgesetz F~1 = −F~2 Actio gegengleich Reactio - Kräfte treten stets paarweise auf. Einfache Beispiele für Kräfte Gewichtskraft Fg auf einen Körper Fg = mg m ist die Masse des Körpers, g die Fallbeschleunigung am Ort des Körpers ( S. 32 & 42). # Hooke’sches Gesetz F = Dx F ist die Kraft, mit der eine Feder gedehnt wird, D ihre Federhärte, x ihre Dehnung. Seite 5 Physik Mechanik Dichte, Druck und Auftrieb Dichte ρ eines Körpers / einer Flüssigkeit / eines Gases ρ= m V m ist die Masse des Körpers / der Flüssigkeit / des Gases, V das Volumen. Druck p in einem Gas oder einer Flüssigkeit p= F A F ist die Kraft, die senkrecht auf jedes Flächenstück A der Gefäßwand wirkt. Hydrostatischer Druck p in einer Flüssigkeit p = ρgh # ρ ist die Dichte der Flüssigkeit ( S. 40), g die Fallbeschleunigung ( S. 32 & 42), h die Höhe der Flüssigkeitssäule über dem Messpunkt. # Auftriebskraft Fa auf einen Körper in einem Medium Fa = ρgV # ρ ist die Dichte des Mediums ( S. 40), g die Fallbeschleunigung, V das Volumen des verdrängten Mediums. Reibungskräfte Fr auf bewegte Körper einfaches Gleitreibungsmodell Fr = µFN # S. 41), F µ ist die Gleitreibungszahl ( auf den Körper wirkt. N die Normalkraft, die Reibungskraft nach Stokes - laminare Strömung Fr = 6πηrv Seite 6 r ist der Radius der Kugel, v ihre Geschwindigkeit, η die Viskosität des Mediums ( S. 41), von dem die Kugel laminar umströmt wird. # Physik Mechanik Reibungskraft nach Newton - turbulente Strömung Fr = 1 2 cw Aρv 2 # cw ist der Widerstandsbeiwert ( S. 42), A die Querschnittsfläche, v die Geschwindigkeit des Körpers. ρ ist die Dichte des Mediums ( S. 40), von dem der Körper turbulent umströmt wird. # Energie Satz von der Erhaltung der mechanischen Energie: In einem abgeschlossenen mechanischen System bleibt die Gesamtenergie konstant. Die Gesamtenergie Eges setzt sich zusammen aus der kinetischen Energie Ekin und der potentiellen Energie Epot . Eges = Ekin + Epot = konst. Verallgemeinerung auf alle physikalischen Systeme: In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie konstant. Kinetische Energie Ekin Ekin = 1 2 mv 2 m ist die Masse eines Körpers, v seine Geschwindigkeit. Höhenenergie Eh (Lageenergie) Eh = mgh m ist die Masse eines Körpers, h seine Höhe über dem Bezugspunkt, g die Fallbeschleunigung ( S. 32 & 42). # Spannenergie Esp einer Hooke’schen Feder Esp = 1 2 Dx2 D ist die Federhärte, x die Dehnung der Feder. Seite 7 Physik Mechanik Mechanische Arbeit Mechanische Arbeit W ist die einem mechanischen System zugeführte bzw. entzogene mechanische Energie. W = Fx F ist die konstante Kraft, die entlang des Weges x aufgewandt wird. Goldene Regel der Mechanik Bei einem idealen Kraftwandler ändert sich das Produkt aus Kraft und Weg nicht. Schiefe Ebene FH ist die Hangabtriebskraft, x die Wegstrecke entlang der schiefen Ebene, Fg die Gewichtskraft des Körpers und h der erzielte Höhenunterschied. Zusammenhang zwischen Hangabtriebskraft FH , Normalkraft FN und Gewichtskraft Fg : FH x = Fg h F~H FH = Fg sin α FN = Fg cos α α ist der Neigungswinkel der schiefen Ebene. F~N x h F~g α Hebel F x = Fg h F ist die Kraft, die am Hebel entlang des Weges x ansetzt, Fg die Gewichtskraft des Körpers und h der erzielte Höhenunterschied. h x F~ F~g Flaschenzug F x = Fg h Seite 8 F ist die Kraft, mit der der Körper der Gewichtskraft Fg nach oben gezogen wird, x die Länge, über die das Seil gezogen wird und h der erzielte Höhenunterschied. x h F~g F~ Physik Mechanik Leistung P P = W t W ist die während der Zeit t verrichtete Arbeit. Wirkungsgrad η einer Maschine η= Pnutz Pauf Pnutz ist die genutzte und Pauf die aufgewandte Leistung. Impuls Impuls p ~ eines Körpers p ~ = m~ v m ist die Masse eines Körpers, ~v seine Geschwindigkeit. Impulserhaltung Ohne äußere Kräfte bleibt der Gesamtimpuls eines Systems erhalten. Kinematik Konstante Geschwindigkeit v v= ∆x ∆t ∆x ist der in der Zeitspanne ∆t zurückgelegte Weg. Konstante Beschleunigung a a= ∆v ∆t ∆v ist die Geschwindigkeitsänderung während der Zeitspanne ∆t . Allgemeine Bewegungsgleichungen in kartesischen Koordinaten vx = ẋ ax = v̇x = ẍ x ist der Ort des Körpers zum Zeitpunkt t, vx bzw. ax sind Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung eines Körpers in x-Richtung. Analoge Gleichungen gelten für die y- und die z-Komponente. Seite 9 Physik Mechanik Spezialfälle eindimensionaler Bewegungen Bewegung bei konstanter Beschleunigung a x= 1 at2 2 + v0 t + x0 v = at + v0 x bzw. v sind Ort bzw. Geschwindigkeit eines Körpers zum Zeitpunkt t. x0 bzw. v0 sind Ort bzw. Geschwindigkeit bei t = 0. Harmonische Schwingung x = x0 cos (ωt) v = −v0 sin (ωt) a = −a0 cos (ωt) Frequenz f eines Federpendels r 1 D f = 2π m x bzw. v bzw. a sind Ort bzw. Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung eines Körpers zum Zeitpunkt t. x0 ist die Amplitude, ω die Kreisfrequenz. v0 = x0 ω und a0 = x0 ω 2 sind die Scheitelwerte für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung. D ist die Federhärte, m die Masse des schwingenden Körpers. Frequenz f eines Fadenpendels r 1 g g ist die Fallbeschleunigung ( f = 2π l Länge des Fadens. Seite 10 # S. 32 & 42), l die Physik Mechanik Bewegungen in zwei oder drei Dimensionen Superpositionsprinzip: Wirkt auf einen Körper der Masse m die Kraft F~ , können Ort und Geschwindigkeit über die Beschleunigung ~a aus dem 2. Newton’schen Gesetz komponentenweise bestimmt werden. In kartesischen Koordinaten gilt: Fx = max Fy = may Fz = maz Die Ortskoordinaten und die Geschwindigkeitskomponenten berechnen sich aus den eindimensionalen Bewegungsgleichungen. Kreisbewegung Konstante Winkelgeschwindigkeit ω ω= ∆ϕ ∆t = 2π T ∆ϕ ist der im Zeitintervall ∆t überstrichene Winkel, T ist die Umlaufdauer. Bahngeschwindigkeit v ω ist die Winkelgeschwindigkeit, r der Kreisradius. v = rω Zentripetalkraft Fz FZ = mv 2 = mω 2 r r m ist die Masse eines Körpers, v seine Bahngeschwindigkeit, r der Kreisradius, ω die Winkelgeschwindigkeit. ~v F~Z Seite 11 Physik Mechanik Spezielle Relativitätstheorie c bezeichnet im Weiteren die Vakuumlichtgeschwindigkeit ( # S. 32). Lorentzfaktor γ γ= q 1 1− v2 c2 v ist die Geschwindigkeit eines unbeschleunigten Systems S’ gegenüber dem Laborsystem S. Relativistische Massenzunahme m = γm0 m ist die Masse des Körpers, m0 seine Ruhemasse. Zeitdilatation ∆t = γ∆t0 ∆t0 ist die in einem mit konstanter Geschwindigkeit v bewegten System S’ gemessene Länge eines Zeitintervalls, ∆t die entsprechende Länge des Zeitintervalls im ruhenden System S. Längenkontraktion l0 l ist die gemessene Länge eines Stabes, der sich mit konstanter Geschwindigkeit v relativ zum Beobachter bewegt, l0 die entsprechende Länge im Ruhesystem des Stabes. Die Richtung seiner Längsachse stimmt mit seiner Bewegungsrichtung überein. l= γ Relativistische Energie E E = γmo c2 = m0 c2 + Ekin m0 ist die Ruhemasse eines Körpers, Ekin seine kinetische Energie. Relativistischer Impuls p p = mv = γm0 v m0 ist die Ruhemasse eines Körpers, v seine Geschwindigkeit. Relativistische Energie-Impuls-Beziehung E 2 = c2 p2 + E02 Seite 12 E ist die relativistische Energie eines Körpers, p sein Impuls, E0 = m0 c2 seine Ruheenergie. Physik Astrophysik Gravitation und Astrophysik # S. 32). G bezeichnet im Weiteren die Gravitationskonstante ( Kepler’sche Gesetze Die Kepler’schen Gesetze sowie die Formel für die Bahngeschwindigkeit gelten für jeden Himmelskörper im Gravitationsfeld eines Zentralkörpers, dessen Masse viel größer ist als die Masse des Himmelskörpers. 1. Kepler’sches Gesetz Die Bahnen von Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. 2. Kepler’sches Gesetz Die von der Sonne zum Planeten gezogene Strecke überstreicht in gleichen Zeitintervallen gleiche Flächeninhalte. 3. Kepler’sches Gesetz 2 TA 2 TB = a3A a3B Die Quadrate der Umlaufzeiten TA und TB zweier Planeten A und B verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen aA und aB . Bahngeschwindigkeit v auf einer Keplerellipse s 2 1 v = GM − M ist die Masse des Zentralkörpers, r der momenr a tane Abstand vom Zentralkörper und a die große Halbachse der Bahnellipse. Ellipsengleichungen e2 = a2 − b2 e = a a bzw. b bezeichnen die große bzw. die kleine Halbachse einer Ellipse. e ist ihre lineare Exzentrizität, ihre numerische Exzentrizität. F1 und F2 sind die Brennpunkte der Ellipse. b F1 F2 e a P Für jeden Punkt P auf der Ellipse gilt: F1 P + P F2 = 2a Seite 13 Physik Astrophysik Gravitation Newton’sches Gravitationsgesetz FG = G m1 m2 r2 FG ist die Gravitationskraft, mit der sich die zwei Massen m1 bzw. m2 im Abstand r gegenseitig anziehen. Zweikörperproblem Bewegen sich zwei Himmelskörper der Massen m1 und m2 auf Kreisbahnen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt, so gilt: ω2 = G m1 + m2 ω ist die konstante Winkelgeschwindigkeit der Himmelskörper, r ihr konstanter Abstand. Mit r = r1 + r2 , wobei r1 und r2 die jeweiligen Abstände vom gemeinsamen Schwerpunkt sind. r3 r2 : r1 = m1 : m2 Ist die Masse M des Zentralkörpers erheblich größer als die des Himmelskörpers, so . gilt in guter Näherung ω 2 = G M r3 Kosmische Fluchtgeschwindigkeiten v1 = √ gr v2 = √ 2gr Ein Körper kann einen Planeten auf einer oberflächennahen Kreisbahn umkreisen, wenn er eine Geschwindigkeit besitzt, die mindestens so groß ist wie die erste Fluchtgeschwindigkeit v1 . Ein Körper kann das Gravitationsfeld eines Planeten verlassen, wenn er an seiner Oberfläche eine Geschwindigkeit besitzt, die mindestens so groß ist wie die zweite Fluchtgeschwindigkeit v2 . g ist die Fallbeschleunigung auf der Oberfläche des Planeten ( # S. 42), r sein Radius. Strahlungsgesetze Konstante Strahlungsleistung Φ Φ= ∆Q ∆t ∆Q ist die im Zeitintervall ∆t ausgesandte Strahlungsenergie. Bestrahlungsstärke E E= L 4πr 2 Seite 14 L ist die Leuchtkraft eines Sterns, r der Abstand zwischen Stern und Beobachter. Astrophysik Physik Allgemein: Φ E= 4πr 2 Φ ist die Strahlungsleistung eines Körpers, r der Abstand vom Körper. Solarkonstante # S. 39) bezeichnet man als Die Bestrahlungsstärke der Sonne im Abstand 1 AE ( Solarkonstante S ( S. 32). # Masse-Leuchtkraft-Beziehung L ist die Leuchtkraft eines Hauptreihensterns, M seine Masse. L ∼ M3 Stefan-Boltzmann-Gesetz Φ ist die von einem schwarzen Strahler der Fläche A und der Temperatur T ausgesandte Strahlungsleistung, σ die Stefan-Boltzmann-Konstante ( S. 32). Φ = σAT 4 # Wien’sches Verschiebungsgesetz Ein schwarzer Strahler der Temperatur T strahlt ein kontinuierliches elektromagnetisches Spektrum aus. Dieses Spektrum hat bei λm sein einziges Maximum. b ist die Wien’sche Verschiebungskonstante ( S. 32). λm T = b # Entfernung und Helligkeit Trigonometrische Parallaxe p in Bogensekunden r 1 pc = 100 # S. 39). r ist die Entfernung des Sterns von der Sonne in pc ( p Umlaufzeiten 1 Tsid = 1 TErde ± 1 Tsyn Tsid ist die siderische Umlaufzeit eines Planeten, Tsyn seine synodische Umlaufzeit, TErde = 365, 24 d die Umlaufzeit der Erde um die Sonne ( S. 42). Für die inneren Planeten gilt das Pluszeichen, für die äußeren das Minuszeichen. # Seite 15 Physik Elektrizitätslehre Beziehung zwischen den scheinbaren Helligkeiten m1 und m2 zweier Sterne E1 m1 − m2 = −2, 5 lg E1 bzw. E2 sind die Bestrahlungsstärken der beiden E2 Sterne. Beziehung zwischen den absoluten Helligkeiten M1 und M2 zweier Sterne L1 M1 − M2 = −2, 5 lg L1 bzw. L2 sind die Leuchtkräfte der beiden Sterne. L2 Der Entfernungsmodul m − M eines Sterns r m − M = 5 lg r ist der Abstand zwischen Stern und Beobachter 10 pc in pc ( S. 39). # Perioden-Helligkeits-Beziehung bei Cepheiden p M = −1, 67 − 2, 54 lg M ist die mittlere absolute Helligkeit, p die Perio1 d dendauer des δ-Cephei-Sterns in Tagen. Hubblebeziehung v ist die Geschwindigkeit, mit der sich eine weit entfernte Galaxie entfernt, r ihre Entfernung, H0 die Hubblekonstante ( S. 32). v = H0 r # Elektrizitätslehre Konstante elektrische Stromstärke I I= ∆Q ∆t ∆Q ist die im Zeitintervall ∆t durch den Leiterquerschnitt fließende Ladung. Falls die Stromstärke nicht konstant ist, gilt allgemein: I = Q̇ Elektrischer Widerstand R R= U I Seite 16 U ist die am Widerstand abfallende Spannung, I die durch ihn fließende Stromstärke. Physik Elektrizitätslehre Ohm’sches Gesetz R= U Für einen Ohm’schen Widerstand ist der Quotient aus abfallender Spannung und durch ihn fließende Stromstärke konstant. = konst. I Spezifischer Widerstand ρ eines elektrischen Leiters R=ρ l R ist der Widerstand, l die Länge des Leiters, A seine Querschnittsfläche (ρ S. 43). # A Reihenschaltung von Widerständen U1 U2 Un R1 R2 Rn Ersatzwiderstand Rges = R1 + R2 + . . . + Rn Rges ist der Gesamtwiderstand, R1 , . . . , Rn sind die Einzelwiderstände. Uges Einzelspannungen Uges = U1 + U2 + . . . + Un Uges ist die insgesamt anliegende Spannung, U1 , . . . , Un sind die jeweils an den Widerständen R1 , . . . , Rn abfallenden Einzelspannungen. Parallelschaltung von Widerständen Ersatzwiderstand 1 Rges = 1 R1 + 1 R2 + ... + In 1 Rn Rges ist der Gesamtwiderstand, R1 , . . . , Rn sind die Einzelwiderstände. Spezialfall für zwei Widerstände: Rges = R1 R2 R1 + R2 I2 I1 Rn R2 R1 Iges Uges Einzelstromstärken Iges = I1 + I2 + . . . + In Iges ist die Gesamtstromstärke, I1 , . . . , In sind die durch die Einzelwiderstände fließenden Stromstärken. Seite 17 Physik Elektrizitätslehre Elektrische Energie und Leistung Von einem Widerstand aufgenommene Leistung P U ist die am Widerstand abfallende Spannung, I ist die durch ihn fließende Stromstärke. P = UI Elektrische Energie Eel Sind die an einem Widerstand abfallende Spannung U und die durch ihn fließende Stromstärke I zeitlich konstant, wird während der Zeit t die elektrische Energie Eel umgesetzt. ˆt2 Sind Spannung und / oder Stromstärke nicht konstant: Eel = U (t)I(t)dt Eel = U It t1 Elektrisches Feld und Potential ~ Elektrische Feldstärke E ~el = EQ ~ F Auf eine punktförmige Ladung Q wirkt in einem elektrischen ~ die Kraft F~el . Die Richtung des elektrischen Feld der Stärke E Feldes stimmt mit der Kraftrichtung auf eine positive Ladung überein. Elektrische Feldstärke E im Plattenkondensator E= U U ist die anliegende Spannung, d der Plattenabstand. Die Feldlinien sind von der positiven zur negativen Platte gerichtet. d Elektrische Feldstärke E einer punktförmigen Ladung Q im Vakuum E= 1 Q 4π0 r 2 r ist der Abstand von der Ladung, 0 die elektrische Feldkonstante ( S. 32). Bei positiver Ladung Q sind die Feldlinien radial nach außen gerichtet. # Energiedichte eel des elektrischen Feldes im Vakuum eel = o E 2 Seite 18 2 E ist die elektrische Feldstärke, 0 die elektrische Feldkonstante ( S. 32). # Physik Elektrizitätslehre Potential und Potentialdifferenz ϕ2 − ϕ1 = W12 Q Wird an einer Ladung Q in einem elektrischen Feld auf dem Weg von einem Punkt P1 zu einem Punkt P2 die Arbeit W12 verrichtet, so durchläuft sie die Potentialdifferenz ϕ2 − ϕ1 . Spannung U als Potentialdifferenz Liegen zwei Punkte P1 und P2 auf den Potentialen ϕ1 bzw. ϕ2 , so herrscht zwischen ihnen die Spannung U . U = ϕ2 − ϕ1 Energie E einer freien Ladung E = (ϕ2 − ϕ1 ) Q = U Q E ist die Energie der Ladung Q, ϕ2 − ϕ1 = U die Potentialdifferenz bzw. die Spannung. Potential ϕ im Plattenkondensator ϕ= U U ist die am Kondensator anliegende Spannung, d der Plattenabstand, x der Abstand von der negativ geladenen Platte, deren Potential auf 0 liegt. x d Potential ϕ einer punktförmigen Ladung im Vakuum ϕ= 1 Q Q ist die Ladung, r der Abstand von der Ladung. 4π0 r Kapazität C eines Kondensators C= Q Q ist die Ladung des Kondensators, U die anliegende Spannung. U Kapazität C eines Plattenkondensators C = o r A A ist die Fläche des Kondensators, d der Plattenabstand, 0 die elektrische Feldkonstante ( S. 32), r die Permittivität des Dielektrikums im Kondensator ( S. 44). Im Vakuum ist r = 1. # d # Energieinhalt eines Plattenkondensators Eel Eel = CU 2 2 = Q2 2C C ist die Kapazität des Kondensators, U die anliegende Spannung, Q die Ladung des Kondensators. Seite 19 Physik Elektrizitätslehre Magnetisches Feld Magnetische Flussdichte B Auf ein vom Strom I durchflossenes Leiterstück der Länge l in einem Magnetfeld der Flussdichte B wirkt die Kraft Fmag , wenn Stromrichtung und Magnetfeldrichtung senkrecht aufeinander stehen. Die Kraftrichtung ergibt sich durch die Dreifingerregel der rechten Hand. Fmag = IlB Lorentzkraft FL Auf eine positive Ladung Q, die sich mit Dreifingerregel der rechten Hand der Geschwindigkeit v senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfelds der Flussdichte B bewegt, wirkt die Lorentzkraft FL . Die Kraftrichtung ergibt sich durch die Dreifingerregel der rechten Hand. Die Kraftrichtung auf eine negative Ladung ergibt sich durch die entsprechende Regel der linken Hand. FL = QvB Halleffekt UH = 1 ne · IB U d Wird ein stromdurchflossenes Plättchen senkrecht zur Stromrichtung von den Feldlinien eines Magnetfelds durchsetzt, so stellt sich zwischen den Punkten 1 und 2 die Hallspannung UH ein. n ist die Ladungsträgerdichte im Plättchen, e die Elementarladung ( S. 32), I die Stromstärke, B die magnetische Flussdichte, d die Dicke des Plättchens. # I~ges 1 ~ B 2 d UH Magnetische Energiedichte emag emag = B2 B ist die magnetische Flussdichte, µ0 die magnetische Feldkonstante ( S. 32). # 2µ0 Magnetische Flussdichte B innerhalb einer langgestreckten Zylinderspule B = µ0 µr Seite 20 NI l I ist die Stromstärke, N die Windungszahl, l die Länge der Spule, µ0 die magnetische Feldkonstante ( S. 32), µr die Permeabilitätszahl des Mediums ( S. 43). Im Vakuum ist µr = 1. Die Feldlinien verlaufen parallel zur Spulenachse. # # Physik Elektrizitätslehre Magnetische Flussdichte B um einen geraden stromdurchflossenen Leiter im Vakuum B = µ0 I 2πr I ist die Stromstärke, r der Abstand vom Leiter, µ0 die magnetische Feldkonstante ( S. 32). Die Feldlinien bilden konzentrische Kreise um den Leiter. # Induktivität L einer langgestreckten Zylinderspule im Vakuum L = µ0 AN 2 l # µ0 ist die magnetische Feldkonstante ( S. 32), A die Querschnittsfläche der Spule, N ihre Windungszahl, l ihre Länge. Energieinhalt Emag des magnetischen Feldes einer Spule Emag = LI 2 2 L ist die Induktivität der Spule, I die durch sie fließende Stromstärke. Induktion Magnetischer Fluss Φ Φ = BA B ist die magnetische Flussdichte, A die von den Feldlinien senkrecht durchsetzte Fläche. Induktionsgesetz Ui = −N Φ̇ Ui ist die in einer Leiterschleife mit N Windungen induzierte Spannung, Φ der magnetische Fluss durch die Leiterschleife. Selbstinduktion Ui = −LI˙ Ui ist die induzierte Spannung, L die Induktivität der Spule, I die Stromstärke. Transformator Up Us = Np Ns Pp = ηPs Up ist die primärseitige, Us die sekundärseitige Spannung, Np die primärseitige, Ns die sekundärseitige Windungszahl eines unbelasteten Transformators. Pp ist die primärseitige, Ps die sekundärseitige elektrische Leistung eines belasteten Transformators. Beim idealen Transformator ist η = 1. Seite 21 Physik Elektrizitätslehre Schaltvorgänge einer realen Spule Einschalten: Ausschalten: I= I= U R U R 1−e − τt R U I t e− τ I ist die Stromstärke, U die Spannung, L die Induktivität der Spule, R ihr Widerstand. L Es gilt τ = R . L I Ausschalten Einschalten t Elektromagnetische Schwingungen Ungedämpfter Schwingkreis U = U0 sin (ωt) I = I0 cos (ωt) U bzw. I sind Spannung bzw. Stromstärke zum Zeitpunkt t, U0 bzw. I0 ihre Scheitelwerte. ω ist die Kreisfrequenz. C L Thomsongleichung f = 1 √ 2π LC Seite 22 f ist die Frequenz des ungedämpften Schwingkreises, L die Induktivität und C die Kapazität. Physik Optik & Wellenlehre Optik, Schwingungen und Wellen, Akustik Geometrische Optik Reflexionsgesetz α α0 n1 α = α0 α ist der Einfallswinkel, α0 der Reflexionswinkel. n2 β Snellius’sches Brechungsgesetz n1 sin α = n2 sin β α ist der Winkel des einfallenden Lichtstrahls gegenüber dem Einfallslot, β der des transmittierten Lichtstrahls, n1 und n2 sind die Brechzahlen der optischen Medien ( S. 46). # Bei der Reflexion wie bei der Transmission liegen einfallender Lichtstrahl, Einfallslot, reflektierter Strahl und transmittierter Strahl in einer Ebene. Lichtgeschwindigkeit c0 in einem Medium c0 = c n # S. 32), n die c ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit ( Brechzahl des Mediums ( S. 46). # Abbildungsgleichungen für dünne Linsen g 1. Linsensgleichung: g G = B b 2. Linsensgleichung: 1 1 1 = + f g b G b f F1 f F2 B F1 und F2 sind die Brennpunkte der Linse, f ihre Brennweite. G ist die Größe des Gegenstands, g die Gegenstandsweite. B ist die Größe des Bildes, b die Bildweite. Seite 23 Physik Optik & Wellenlehre Frequenz f einer Schwingung f = 1 T ist die Schwingungsdauer. T Kreisfrequenz ω einer Schwingung ω = 2πf f ist die Frequenz der Schwingung. Wellenlehre Ausbreitungsgeschwindigkeit c einer harmonischen Welle f ist die Frequenz einer Welle, λ ihre Wellenlänge. c = λf Huygens’sches Elementarwellenprinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Quelle einer Elementarwelle betrachtet werden. Interferenz von Wellen bei zwei gleichphasigen Sendern mit Abstand d Bedingung für maximale Verstärkung ∆s = d sin α = kλ, k ∈ N0 Die Beziehung gilt auch bei mehreren Sendern, die auf einer Geraden liegen und den Abstand d zueinander haben. λ 2 , zum Empfänger d Bedingung für maximale Auslöschung ∆s = d sin α = (2k − 1) α k∈N ∆s ∆s ist der Gangunterschied vom Empfänger zu den Sendern, λ die Wellenlänge, k gibt die Ordnung des Maximums / Minimums an (0◦ ≤ α ≤ 90◦ ). Einfachspalt zum Empfänger Lage der Minima beim Einfachspalt der Breite d: d sin α = kλ, k∈N λ ist die Wellenlänge, k gibt die Ordnung des Minimums an (0◦ ≤ α ≤ 90◦ ). Seite 24 d α ∆s Physik Optik & Wellenlehre Braggbeziehung Bedingung für die Entstehung eines Braggreflexes unter einem Winkel von 2α gegenüber dem einfallenden Strahl: ∆s = 2d sin α = kλ, k∈N zum Maximum α α d ursprüngliche Strahlrichtung ∆s (blau) setzt sich aus zwei gleichlangen Teilstücken zusammen und ist der Gangunterschied zweier Strahlen, die auf benachbarte Netzebenen treffen. λ ist die Wellenlänge, d der Netzebenenabstand; k gibt die Ordnung des Maximums an (0◦ ≤ α ≤ 90◦ ). Stehende Wellen Eine stehende Welle entsteht durch Überlagerung zweier gleichfrequenter, gegenläufiger Wellen gleicher Amplitude. Sie bildet Bäuche und Knoten aus, der Abstand zwischen zwei Knoten ist halb so groß wie die Wellenlänge. Dopplereffekt ∆f = f ∆λ = λ v c v c ∆f ist die Frequenzänderung, ∆λ die Wellenlängenänderung bei einer Relativbewegung von Sender und Empfänger mit der Geschwindigkeit v. c ist die jeweilige Wellenausbreitungsgeschwindigkeit. Bewegen sich Sender und Empfänger aufeinander zu, steigt die Frequenz, die Wellenlänge wird kleiner. Entfernen sich Sender und Empfänger voneinander, sinkt die Frequenz, die Wellenlänge wird größer. Beide Formeln sind Näherungen, gelten jedoch mit ausreichender Genauigkeit, wenn die Relativgeschwindigkeit von Sender und Empfänger klein im Vergleich zur Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist. Seite 25 Physik Akustik Akustik Im Folgenden ist pn der als konstant betrachtete Normaldruck ( schen Medium. # S. 4) in einem akusti- Schallgeschwindigkeit c # S. 40), κ seine 1 c= √ κρ ρ ist die Dichte des akustischen Mediums ( Kompressibilität. In Luft ist κ = 7p5 n . Schalldruck p pges = pn + p sin (ωt) pges ist der Druck an einem festen Ort, der von einer Schallwelle der Kreisfrequenz ω durchsetzt wird. Der Schalldruck p ist definiert als Amplitude der Druckschwankungen. Impedanz Z eines verlustfreien akustischen Mediums Z = ρc = # p ρ ist die Dichte des Mediums ( S. 40), c die Schallgeschwindigkeit in dem Medium ( S. 41), p der Schalldruck der Schallwelle, v die Amplitude der Teilchengeschwindigkeit. v # Intensität I einer Schallwelle in einem verlustfreien akustischen Medium I= p2 # ρ ist die Dichte ( S. 40), c die Schallgeschwindigkeit ( S. 41), p der Schalldruck. # 2ρc Schalldruckpegel Lp (Angabe in dB) Lp = 20 lg Seite 26 p p0 p ist der Schalldruck, p0 der bei 20 µPa festgelegte Schalldruck der Hörschwelle des Menschen bei 1 kHz. Physik Wärmelehre Wärmelehre k bezeichnet im Weiteren die Boltzmannkonstante ( # S. 32). Kelvin- und Celsiusskala T (in K) = 273, 15 + ϑ (in ◦ C) Zustandsgleichung des idealen Gases pV = N kT pV = nRT p ist der Druck, N die Teilchenzahl, T die Temperatur des im Volumen V eingeschlossenen Gases. n ist die Stoffmenge, R die allgemeine (universelle) Gaskonstante ( S. 32). # Volumenausdehnung ∆V von Flüssigkeiten ∆V = γV ∆T # γ ist der Volumenausdehnungskoeffizient ( S. 45), V das Volumen der Flüssigkeit, ∆T die Temperaturänderung. Längenausdehnung ∆l von Festkörpern ∆l = αl∆T # α ist der Längenausdehnungskoeffizient ( S. 45), l die Länge des Festkörpers, ∆T die Temperaturänderung. Hauptsätze der Wärmelehre 1. Hauptsatz der Wärmelehre ∆Ei = Q + W Die Änderung der inneren Energie ∆Ei eines Körpers / einer Flüssigkeit / eines Gases kann durch Zufuhr bzw. Abgabe von Wärme Q oder Arbeit W erfolgen. 2. Hauptsatz der Wärmelehre Wärme kann niemals von selbst von einem kälteren zu einem wärmeren Körper übergehen. Es gibt keine Maschine, die einzig und allein ein Wärmereservoir abkühlt und daraus elektrische oder mechanische Energie gewinnt. (Nichtexistenz eines Perpetuum mobile 2. Art) Seite 27 Physik Wärmelehre Innere Energie Temperaturänderung ∆T und Änderung der inneren Energie ∆Ei ∆Ei = cm∆T m ist die Masse des Körpers / der Flüssigkeit / des Gases, c die spezifische Wärmekapazität ( S. 44). Der Aggregatzustand bleibt erhalten. # Spezifische Schmelzwärme s und Änderung der inneren Energie ∆Ei ∆Ei = ms m ist die Masse des Körpers / der Flüssigkeit (s # S. 44). Spezifische Verdampfungswärme r und Änderung der inneren Energie ∆Ei ∆Ei = mr m ist die Masse der Flüssigkeit / des Gases (r Mittlere kinetische Teilchenenergie E kin eines einatomigen Gases E kin = Seite 28 3 2 kT T ist die Temperatur des Gases (k # S. 32). # S. 45). Physik Kern- & Atomphysik Atome, Kerne, Quanten h bezeichnet im Weiteren das Planck’sche Wirkungsquantum, c die Vakuumlichtgeschwindigkeit ( # S. 32). Atomhülle Photonenenergie Eph Beim Übergang eines Atoms von einem angeregten Zustand n2 in einen Zustand n1 geringerer Energie wird ein Photon der Energie Eph ausgesandt. Eph = En2 − En1 n1 , n2 ∈ N Energiewerte En eines Teilchens n=3 Eindimensionales Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden: En = h2 8ml2 n2 , n∈N n=2 m ist die Masse des Teilchens, l die Breite des Kastenpotentials. n=1 0 l Diskrete Energieniveaus En im Wasserstoffatom En = RH hc 1 − n∈N 1 n2 RH ist die Rydbergkonstante für das Wasserstoffatom ( S. 32). # Atomkern Natürliche Radioaktivität α-Zerfall: A ZX → A−4 2− Z−2 Y β-Zerfall : A ZX → A + Z+1 Y γ-Zerfall : A ? ZX → A ZX + 42 He2+ 0 − + −1 e + 00 ν‾ + 00 γ X (bzw. X ? beim γ-Zerfall) bezeichnet das Radionuklid, Y (bzw. X beim γ-Zerfall) das Zerfallsprodukt ( S. 48 & 50). # Seite 29 Physik Kern- & Atomphysik Zerfallsgesetz N = N0 e−λt N ist die Anzahl der zur Zeit t noch vorhandenen Atome, N0 ihre ursprüngliche Anzahl, λ die Zerfallskonstante. Aktivität A eines Präparats A = −Ṅ = λN N ist die Zahl der zur Zeit t noch vorhandenen Atome, λ die Zerfallskonstante. Zusammenhang zwischen Halbwertszeit T1/2 und Zerfallskonstante λ T1/2 = ln 2 λ (T1/2 # S. 48) Absorptionsgesetz für β- und γ-Strahlung z = z0 e−µd z ist die Zählrate, die hinter einem Absorber der Dicke d gemessen wird, z0 die Zählrate ohne Absorber, µ der Schwächungskoeffizient. Abstandsgesetz z= konst. z ist die Zählrate im Abstand r von der Quelle, falls diese in alle Raumrichtungen gleichmäßig strahlt und keine Absorption stattfindet. r2 Bindungsenergie des Atoms Eb ma + Eb c2 = Zme + Zmp + N mn ma ist die Atommasse ( S. 47 & 48), mp die Protonenmasse, mn die Neutronenmasse, me die Elektronenmasse ( S. 33). # # Q-Faktor bei Kernreaktionen Q = (mvor − mnach ) c2 Seite 30 mvor ist die Summe aller Massen vor der Reaktion, mnach die Summe aller Massen nach der Reaktion. Physik Kern- & Atomphysik Biologische Strahlenwirkung - Energiedosis D D= E E ist die von einem Körper der Masse m absorbierte Energie. m Biologische Strahlenwirkung – Äquivalentdosis H q ist der biologische Bewertungsfaktor, D die Energiedosis. q = 20 für α-Strahlung, q = 1 für β- und γ-Strahlung. H = qD Quanten Energie Eph eines Photons f ist die Frequenz des Photons. Eph = hf Impuls p eines Photons p= hf c = h λ f ist die Frequenz des Photons, λ die zugehörige Wellenlänge. Einsteingleichung zur Deutung des Photoeffekts max Ekin = hf − WA max Ekin ist die maximale kinetische Energie des Photoelektrons, f die Frequenz des eingestrahlten Lichts, WA die Austrittsarbeit des Kathodenmaterials ( S. 46). # Röntgenbremsstrahlung fg ist die Grenzfrequenz der Röntgenbremsstrahlung bei der Beschleunigungsspannung U , e ist die Elementarladung ( S. 32). hfg = eU # De Broglie-Wellenlänge λ eines Masseteilchens p= h p ist der Impuls des Teilchens. λ Heisenberg’sche Unschärferelation ∆px ∆x ≥ h 4π ∆x bzw. ∆px sind die Orts- bzw. Impulsunschärfe des Teilchens in x-Richtung. Seite 31 Wichtige Konstanten aus der Physik und Chemie Allgemeine (universelle) Gaskonstante R = kNA = 8,3145 molJ K Avogadrozahl NA = 6,0221 · 1023 Boltzmannkonstante k = 1,3807 · 10-23 Elektrische Feldkonstante 0 = Elementarladung e = 1,6022·10-19 As Fallbeschleunigung g = 9,81 m s2 (Mitteleuropa) m g = 9,78 s2 (Äquator) g = 9,83 m s2 (Polnähe) Faradaykonstante F = eNA = 9,6485 · 104 Gravitationskonstante G = 6,6743 · 10-11 Hubblekonstante H0 = 74 s km Mpc Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = 2,997 924 58·108 Magnetische Feldkonstante µ0 = 4π · 10-7 Molares Volumen idealer Gase l Vmn = 22,414 mol (bei 0 °C und 1013 Pa) Planck’sches Wirkungsquantum h = 6,6261·10-34 Js = 4,1357 · 10-15 eVs 1 µ0 c2 1 mol J K = 8,854 187 82 · 10-12 As mol m3 kg s2 m s Vs Am Rydbergkonstante für das Wasserstoffatom RH = 1,096 775 8·107 1 m Solarkonstante S = 1,367 kW m2 Stefan-Boltzmann-Konstante σ = 5,6704·10-8 Wien’sche Verschiebungskonstante b = 2,89777·10-3 m · K Seite 32 As Vm W m2K4 Eigenschaften ausgewählter Teilchen Elektron Proton Neutron α-Teilchen Ruhemasse Ruheenergie Ladung 9,109 39·10-31 kg=5,4858·10-4 u 511 keV -1e Ruhemasse Ruheenergie Ladung Quarkzusammensetzung 1,672 62·10-27 kg=1,007 276 u 938,28 MeV +1e uud Ruhemasse Ruheenergie Ladung Quarkzusammensetzung 1,674 93·10-27 kg=1,008 665 u 939,57 MeV 0 udd Ruhemasse Ruheenergie Ladung 6,644 66·10-27 kg=4,001 506 u 3,727 38 GeV +2e Seite 33 Chemie Quantitative Aspekte Avogadro-Konstante NA und Stoffmenge n NA = N (X) n(X) N (X) ist die Teilchenanzahl der Teilchen X, n(X) die Stoffmenge der Teilchen X. Molare Masse M M (X) = m(X) n(X) M (X) ist die molare Masse der Teilchen X, m(X) die Masse der Teilchen X, n(X) die Stoffmenge der Teilchen X. Molares Volumen Vm idealer Gase Vm (Gas) = V (Gas) n(Gas) Vm (Gas) ist das molare Volumen der Gasteilchen, V (Gas) das Volumen der Gasteilchen, n(Gas) die Stoffmenge der Gasteilchen. Unter Normalbedingungen gilt: Vmn (Gas) = 22, 414 l/mol Massenkonzentration β β(X) = m(X) V (Σ) β(X) ist die Massenkonzentration der Teilchen X, m(X) die Masse der Teilchen X, V (Σ) das Volumen der Lösung. Massenanteil ω ω(X) = m(X) m(Gem.) ω(X) ist der Massenanteil der Teilchen X, m(X) die Masse der Teilchen X, m(Gem.) die Masse des Gemisches. Stoffmengenkonzentration c c(X) = Seite 34 n(X) V (Σ) c(X) ist die Stoffmengenkonzentration der Teilchen X, n(X) die Stoffmenge der Teilchen X, V (Σ) das Volumen der Lösung. Chemie Reaktionsgeschwindigkeit Mittlere Reaktionsgeschwindigkeit v Für homogene Reaktionen (Reaktionen, die in einer Phase stattfinden) A → Z gilt: v=− ∆c(A) ∆t v ist die mittlere Reaktionsgeschwindigkeit innerhalb der Zeitspanne ∆t, ∆c(X) ist die Änderung der Konzentration der Teilchen X innerhalb der Zeitspanne ∆t. Massenwirkungsgesetz Reaktionen, bei denen keine Gase beteiligt sind Für die Reaktion aA + bB yY + zZ gilt: Kc = cy (Y ) · cz (Z) ca (A) · cb (B) = khin krück Kc ist die Gleichgewichtskonstante, c(X) die Stoffmengenkonzentration der Teilchen X. Die Konzentration von Reaktionspartnern, die als Feststoff oder Flüssigkeit vorliegen, wird bei der Aufstellung des Massenwirkungsgesetzes nicht berücksichtigt. khin und krück sind die Geschwindigkeitskonstanten der Hin- und Rückreaktion. Kc ist abhängig von der Temperatur. Gasreaktionen Für die reine Gasreaktion aA + bB yY + zZ gilt: Kp = py (Y ) · pz (Z) pa (A) · pb (B) = khin krück Kp ist die Gleichgewichtskonstante, p der Partialdruck. Kp ist abhängig von Temperatur und Druck. khin und krück sind die Geschwindigkeitskonstanten der Hin- und Rückreaktion. Gibbs-Helmholtz-Gleichung ∆G = ∆H − T · ∆S ∆G ist die Änderung der Freien Gibbs’schen Enthalpie, ∆H ist die Änderung der Reaktionsenthalpie, T ist die absolute Temperatur, ∆S ist die Änderung der Entropie. Seite 35 Chemie Säure-Base-Gleichgewichte Ionenprodukt des Wassers KW KW = c (H3 O+ ) · c (OH- ) KW ist das Ionenprodukt des Wassers, c die Stoffmengenkonzentration. 2 KW = 10−14 mol /l2 bei T = 298, 15 K bzw. 25 °C . pKW = − lg {KW } Der pKW -Wert ist der negative dekadische Logarith2 mus der Maßzahl von KW in mol /l2 . pKW = 14 bei T = 298, 15 K bzw. 25 °C . Säurekonstante KS und Säureexponent pKS Für HA + H2 O A- + H3 O+ gilt: c (H3 O+ ) · c (A- ) KS = Der pKS -Wert ( S. 52) ist der negative dekadische c (HA) Logarithmus der Maßzahl der Säurekonstante KS in der Einheit mol/l. pKS = − lg {KS } # Basekonstante KB und Baseexponent pKB Für H2 O + B OH- + HB + gilt: c (OH- ) · c (HB + ) Der pKB -Wert ( S. 52) ist der negative dekadische KB = c (B) Logarithmus der Maßzahl der Basekonstante KB in der Einheit mol/l. pKB = − lg {KB } # Für korrespondierende Säure-Base-Paare gilt: −14 KW = KS · KB = 10 mol2 l2 pKW = pKS + pKB = 14 pH-Wert pH = − lg {c (H3 O+ )} {c (H3 O+ )} ist die Maßzahl der OxoniumionenKonzentration in der Einheit mol/l. pOH-Wert pOH = − lg {c (OH- )} Es gilt: Seite 36 pKW = pH + pOH {c (OH- )} ist die Maßzahl der HydroxidionenKonzentration in der Einheit mol/l. Chemie Näherungsformeln zur Berechnung des pH-Werts Starke Säuren HA pH = − lg {co (HA)} co (HA) ist die Anfangskonzentration der Säure HA vor ihrer Dissoziation. Schwache Säuren HA pH = 1 2 (pKS − lg {co (HA)}) Henderson-Hasselbalch-Gleichung pH = pKS + lg co (A- ) co (HA) pH-Wert von Pufferlösungen einer schwachen Säure HA und ihrer korrespondierenden Base A- . Damit gilt am Halbtitrationspunkt einer schwachen Säure: pH = pKS Redox-Gleichgewichte Leerlaufspannung eines galvanischen Elements UL ist die Leerlaufspannung, ∆E ist die Potentialdifferenz, EK das Redoxpotential der KathodenHalbzelle, EA das Redoxpotential der AnodenHalbzelle (bei stromloser Messung). UL = ∆E = EK − EA Bei T = 298, 15 K bzw. 25 °C sowie einer Konzentration [streng genommen einer Aktivität] von 1 mol/l aller gelösten Stoffe bzw. einem Druck von p = 1, 013 · 105 Pa aller beteiligten Gase gilt: 0 ∆E 0 ist die Standard-Potentialdifferenz, EK das Standard-Redoxpotential der Kathoden-Halbzelle, 0 EA das Standard-Redoxpotential der Anoden- Halbzelle bei stromloser Messung ( S. 52). 0 0 UL = ∆E 0 = EK − EA # Nernst’sche Gleichung Für die Halbzelle aA + bB yY + zZ + ne− gilt: y R·T c (Y ) · cz (Z) 0 E (Red/Ox) = E (Red/Ox) + ln n·F ca (A) · cb (B) # E0 ist das Normalpotential ( S. 52) der Halbzelle (Red ist die reduzierte, Ox die oxidierte Form der reduzierenden / oxidierenden Teilchen), n die Zahl der abgegebenen oder aufgenommenen Elektronen, R die allgemeine Gaskonstante, T die Temperatur in K, F die Faradaykonstante, c(X) die Konzentration der Teilchen X (streng genommen die Aktivität). Bei T = 298, 15 K, bzw. 25 °C gilt: 0 E (Red/Ox) = E (Red/Ox) + 0, 059 V n lg cy (Y ) · cz (Z) ca (A) · cb (B) Seite 37 Tabellen & Daten Definition der SI-Einheiten Länge m Länge der Strecke, die das Licht im Vakuum während der Dauer von 1/299792458 Sekunde zurücklegt. Masse kg Das Kilogramm ist gleich der Masse des Internationalen Kilogrammprototyps. Zeit s Das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Caesium-Isotops 133 Cs entsprechenden Strahlung. Stromstärke A Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der durch zwei parallele, geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von 1 Meter voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern pro Meter Leiterlänge die Kraft 2·10-7 N hervorrufen würde. Temperatur K 1/273,16 der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunkts von Wasser. Stoffmenge mol Die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso viel Einzelteilchen besteht, wie Atome in 0,012 kg des Kohlenstoffisotops 12 C in ungebundenem Zustand enthalten sind. Lichtstärke cd Die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die die monochromatische Strahlung der Frequenz 540·1012 Hz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung 1/683 Watt pro Steradiant beträgt. Physikalische Größen Kraft Druck Energie Leistung Frequenz Spannung Ladung elektrischer Widerstand Induktivität Kapazität Aktivität Energiedosis Äquivalentdosis Seite 38 F p E P f U Q R L C A D H 1N 1 Pa 1J 1W 1 Hz 1V 1C 1Ω 1H 1F 1 Bq 1 Gy 1 Sv Newton Pascal Joule Watt Hertz Volt Coulomb Ohm Henry Farad Becquerel Gray Sievert J/m kg·m/s2 N/m2 kg/m·s2 N·m=W·s J/s kg·m2/s2 kg·m2/s3 1/s W/A kg·m2/A·s3 A·s V/A Wb/A C/V kg·m2/A2 ·s3 kg·m2/A2 ·s2 s4 ·A2/kg·m2 1/s J/kg J/kg m2/s2 m2/s2 Tabellen & Daten Abgeleitete Einheiten Zeiten t Sekunde s SI Minute min 60 s Stunde h 60 min=3600 s Längen l Ångstöm Å 100 pm=10-10 m Zentimeter cm 10-2 m Dezimeter dm 10-1 m Seemeile sm 1852 m Britische Landmeile Astronomische Einheit Parsec Geschwindigkeiten v Knoten Kilometer pro Stunde Meter pro Sekunde Massen m Tonne Amerikanische Tonne Britische Tonne Pfund Atomare Masseneinheit Energien E Elektronenvolt Rydberg Erg Atomare Energieeinheit Kalorie Kilowattstunde Steinkohleeinheit Tag Jahr d a Zoll Fuß (AE) Yard (AE) Lichtjahr stat. mi AE pc in ft yd Lj 24 h=86400 s 365,242 d =31,556·106 s 0,0254 m=2,54 cm 0,3048 m 0,9144 m 9,461· 1015 m 1609,344 m 149,598·109 m 3,26 Lj=30,86·1015 m kn km/h m/s 1 sm/h=0,51444 m/s 0,27 m/s 3,6 km/h t tn sh. tn l. lb u 1000 kg 907,18474 kg 1016,0469088 kg 0,45359 kg 1,660 538 782·10-27 kg eV Ry erg uc2 cal kWh 1 kg SKE 1,602·10-19 J 13,605 692 eV 10-7 J 0,931 GeV 4,1868 J 3,6·106 J 29,3076·106 J Gängige Vorsätze für Maßeinheiten Atto Femto Pico Nano Mikro Milli Zenti Dezi a f p n µ m c d 10-18 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 10-2 10-1 Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka E P T G M k h da 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 Seite 39 Tabellen & Daten Dichte ρ verschiedener Feststoffe und Flüssigkeiten in g/cm3 Feststoffe Balsaholz Fichtenholz Eichenholz Lithium Paraffin Eis (bei 0 °C) Steinkohle Magnesium Beton Quarzglas Aluminium Flüssigkeiten Diethylether Ottokraftstoff Ethanol Dieselkraftstoff Spiritus Benzol Olivenöl Meerwasser 0,15 0,500 0,800 0,535 0,9 0,917 1,350 1,738 2 2,200 2,710 Graphit Diamant Zinn Eisen Bronze Kupfer Silber Blei Uran Gold Osmium 2,250 3,510 7,280 7,860 8 8,940 10,490 11,340 19,050 19,302 22,610 0,713 0,750 0,789 0,830 0,830 0,879 0,910 1,025 Milch Essigsäure Schweres Wasser Glycerin Salpetersäure Schwefelsäure Brom Quecksilber 1,030 1,049 1,105 1,260 1,512 1,834 3,119 13,546 Dichte ρ von Wasser in Abhängigkeit von der Temperatur T in °C ρ in kg/m3 Seite 40 100 80 60 40 30 25 20 15 10 4 0 958,4 971,8 983,2 992,2 995,7 997,0 998,2 999,1 999,7 999,97 999,8 Tabellen & Daten Dynamische Viskositäten η in 10-3 Pa·s Flüssigkeiten Wasser (5 °C ) Wasser (10 °C ) Wasser (20 °C ) Wasser (25 °C ) Diethylether Petroleum Quecksilber Paraffinöl Olivenöl Honig 1,52 1,297 1,00 0,891 0,240 0,65 1,55 2 10 . . .106 102 2·103 . . .104 Gase Luft Sauerstoff Kohlendioxid Stickstoff Argon Neon Helium Wasserstoff 0,0171 0,0192 0,0138 0,0166 0,021 0,0297 0,0186 0,0084 Schallgeschwindigkeiten c ausgewählter Stoffe in m/s Gummi Kohlendioxid Sauerstoff Luft Blei Wasser Öl Gold 150 266 316 343 1200 1484 1740 1740 Eis (-4 °C ) Buchenholz Glas Eisen Stahl Marmor Bor Diamant 3250 3300 5300 5170 5920 6150 16200 18000 Reibungszahlen µ Materialien Stahl — Stahl Stahl — PTFE (©Teflon) Bronze — Bronze Bronze — Stahl Aluminium — Aluminium Luftreifen — Asphalt (trocken) Haftreibung µH 0,08. . .0,25 0,04 0,18 0,18 1,05 0,55 Luftreifen — Asphalt (nass) Gummi — Asphalt (trocken) Holz — Stein Lederriemen — Eiche 0,3 0,9. . .1,3 0,70 0,47 Gleitreibung µG 0,06. . .0,20 0,04 0,20 0,19 1,04 0,3 Fahrrad LKW PKW 0,15 0,8 0,30 0,27 Rollreibungszahl µR 0,0005. . .0,002 je nach Größe 0,0035 0,006. . .0,010 0,011. . .0,015 Seite 41 Tabellen & Daten Widerstandsbeiwerte cw verschiedener Körper Halbkugelschale (konkav) Scheibe Würfel langer Zylinder LKW Mensch, stehend Motorrad, unverkleidet Motorrad verkleidet 1,33 1,1 1,05 0,82 0,8 0,78 0,7 0,5 Kugel Roadster Halbkugelschale (konvex) geschlossener PKW optimaler PKW Tragflügel Flugzeug Tropfenform Pinguin 0,45 0,4 0,34 0,30 0,20 0,08 0,05 0,03 Daten der Planeten im Sonnensystem und des Erdmondes (bzgl. Zentralgestirn) Orbit Merkur Venus Erde Erdmond Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun Planeten Merkur Venus Erde Erdmond Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun Seite 42 Bahnradius numerische 6 10 km AE Exzentrität 57,909 0,387 0,2056 108,21 0,723 0,00687 149,60 1,000 0,0167 0,3844 0,0026 0,0549 227,99 1,524 0,0935 778,36 5,203 0,0489 1433,5 9,582 0,0565 2872,5 19,201 0,0457 4495 30,047 0,0113 ÄquatorMasse radius in km in 1024 kg 2439,7 0,3302 6051,8 4,869 6378,1 5,9736 1738,1 0,07349 3396,2 0,6419 71492 1899 60268 568,46 25559 86,832 24764 102,43 Umlaufzeit Neigung siderisch synodisch Bahnebene 87,969 d 115,88 d 7,00◦ 224,701 d 583,92 d 3,395◦ 365,256 d 0◦ 27,3217 d 29,53 d 5,145◦ 686,980 d 779,94 d 1,850◦ 11,862 a 398,88 d 1,304◦ 29,457 a 378,09 d 2,485◦ 84,011 a 369,66 d 0,772◦ 164,79 a 367,49 d 1,769◦ mittlere Dichte in g/cm3 5,427 5,243 5,515 3,350 3,933 1,326 0,687 1,270 1,638 FallbeRotationsschleunigung periode in m/s2 d h min 3,70 58 15 36 8,87 243 0 27 9,81 23 56 1,62 27 7 43 3,69 24 37 24,79 9 55 10,44 10 39 8,87 17 14 11,15 16 7 Tabellen & Daten Daten der Sonne -26m 74 Scheinbare Helligkeit Äquatorradius Masse Mittlere Dichte Fallbeschleunigung Rotationsperiode Neigung der Rotationsachse Leuchtkraft Solarkonstante Oberflächentemperatur Spektralklasse Alter 695,7·103 km 1,9891·1030 kg 1,408 g/cm3 274 m/s2 25 d 9 h 7 min 7,52◦ 3,846·1026 W 1367 W/m2 5778 K G2V ca. 4,6·109 a Spezifischer elektrischer Widerstand ρ in Ω·mm /m bei 20 °C 2 Akkusäure Aluminium Blei Eisen Fettgewebe Gold Graphit Kohlenstoff Quecksilber 15·103 0,0265 0,208 0,1...0,15 33·106 0,022 8,0 35,0 0,960 Konstantan Kupfer Messing Platin Silber Stahl Titan Wolfram Porzellan 0,500 0,0168 0,070 0,105 0,0159 0,10...0,20 0,800 0,0528 1018 Silber Quecksilber Wasser 0,999974 0,999971 0,999991 Lithium Magnesium Luft 1,000014 1,000012 1,000001 Permeabilitätszahlen µr Diamagnetische Stoffe µr < 1 Supraleiter 0 Bismuth 0,99983 Kupfer 0,9999936 Paramagnetische Stoffe µr ≈ 1 Platin 1,000257 Aluminium 1,000022 Caesium 1,000051 Ferromagnetische Stoffe µr 1 Kobalt 80...200 Eisen 300...10000 Ferrite 4...15000 Nickel MuMetall amorphe Metalle 100...600 50000...140000 700...500000 Seite 43 Tabellen & Daten Permittivitätszahlen r bei 18 °C und 50 Hz Vakuum Luft Ammoniak (0 °C ) Polystyrol Gummi Quarzglas Glas 1,00 1,00059 1,007 2,5 2,5...3 3,75 6...8 Aluminiumoxid Germanium Propanol Methanol Glycerin Wasser Bariumtitanat 9 16,6 18,3 32,6 42,5 80,1 3 10 ...104 Spezifische Wärmekapazität Feststoffe Aluminium Beton Blei Diamant Eis Eisen Glas Gold Graphit Kupfer Silber Wolfram Zement Ziegel Zinn c in kJ/kg·K 0,896 0,879 0,129 0,472 2,06 0,439 0,6 - 0,8 0,130 0,715 0,381 0,234 0,134 0,754 0,920 0,230 Flüssigkeiten c in kJ/kg·K Aceton 2,160 Brom 0,473 Ethanol 2,428 Glycerin 2,428 Nitrobenzol 1,507 Quecksilber 0,139 Schwefelsäure 1,386 Terpentinöl 1,800 Wasser 4,187 Gase cV in kJ/kg·K cp in kJ/kg·K Helium 5,19 3,12 Luft 1,012 0,723 Kohlenstoffdioxid 0,839 0,646 Stickstoff 1,04 0,743 Wasserdampf 2,080 1,56 Spezifische Schmelzwärme sS und Schmelzpunkte ϑS Feststoffe Aluminium Blei Chrom Eisen Gold Kupfer Natrium Schwefel Silber Wolfram Zinn Seite 44 sS in kJ/kg 398 25 314 268 63 205 113 38 105 193 59 ϑS in °C 660 327 1907 1538 1064 1084 98 115 962 3422 232 Flüssigkeiten Aceton Brom Ethanol Quecksilber Wasser Gase Ammoniak Helium Propan Stickstoff Wasserstoff sS in kJ/kg 98 66,2 109 11,3 333,5 ϑS in °C -94.9 -7,3 -114 -39 0 332 19 80 25,7 59 -77,7 -272,2 -188 -210 -259 Tabellen & Daten Spezifische Verdampfungswärme qV und Siedepunkte ϑV Feststoffe Aluminium Blei Eisen Gold Kohlenstoff Kupfer Schwefel Silber Osmium Wolfram Zinn qV in kJ/kg 10900 858 6260 1700 59500 4730 300 2320 3300 4480 2490 ϑV in °C 2467 1749 2750 2856 4850 2567 445 2162 5012 5555 2602 Flüssigkeiten Aceton Brom Ethanol Quecksilber Wasser Gase Ammoniak Helium Propan Stickstoff Wasserstoff qV in kJ/kg 539 193 840 295 2257 ϑV in °C 56 59 78 357 100 1371 21,1 356 199 446 -33 -268 -42 -196 -253 Längenausdehnungskoeffizient α und Volumenausdehnungskoeffizient γ −6 Feststoffe α in 10 /K bei 20 °C Zirconiumwolframat -8,7 Quarzglas 0,5 Diamant 1,3 Duranglas 3,25 Wolfram 4,5 Eichenholz 5 Titan 9 Beton 12 Eisen 12 Aluminium 23 Zinn 22 Kochsalz 40 Flüssigkeiten Quecksilber Wasser Glycerin Paraffin Diesel Terpentinöl Essigsäure Ethanol Methanol Benzol Chloroform Ether −3 γ in 10 /K bei 20 °C 0,182 0,21 0,49 0,76 0,95 1,00 1,07 1,10 1,10 1,23 1,28 1,62 Heizwerte Hi ausgewählter Stoffe Feststoffe waldfrisches Holz lufttrockenes Holz Holzpellets Flüssigkeiten Methanol Ethanol Biodiesel Gase Erdgas Butan MJ/kg GJ/m3 6,8 14...15,8 18 MJ/kg 19,9 26,8 37 MJ/kg 38 45,7 4,1 8,4...9,5 12 MJ/l 15,7 21,2 32 MJ/m3 32 108 Braunkohlebriketts Steinkohle Paraffin Diesel Erdöl Benzin Propan Wasserstoff MJ/kg GJ/m3 19,6 27...32,7 45 MJ/kg 42,6 42,8 43,6 MJ/kg 46,3 120 18,6 36,5...44 41 MJ/l 36 38,5 32,7 MJ/m3 83,2 9,9 Seite 45 Tabellen & Daten Brechzahlen n ausgewählter Stoffe Vakuum Luft Caesium Eis Wasser Augenlinse Ethanol Magnesiumfluorid Flussspat (Ca2 F) Quarzglas 1,00 1 0,35 1,31 1,33 1,35...1,42 1,36 1,38 1,43 1,46 Plexiglas Kronglas Immersionsöl Quarz Polystyrol Polycarbonat Kunststoffglas Glas Diamant Bleisulfid 1,49 1,46...1,65 1,5180 1,54 1,58 1,59 1,63 1,45...2,13 2,42 3,90 Wellenlängen λ einiger Spektrallinien Wasserstoff Hα Hβ Hγ Hδ Natrium D2 D2 21 cm 954 nm 656,28 nm 486,13 nm 434,05 nm 410,17 nm 588,9950 nm 589,5924 nm 818,33 nm 819,48 nm 1140,38 nm infrarot rot blau-grün violett violett gelb gelb infrarot infrarot infrarot Quecksilber Helium 253,7 nm 365,4 nm 404,7 nm 435,8 nm 546,1 nm 578,2 nm 447,15 nm 471,31 nm 492,19 nm 501,57 nm 587,56 nm UV UV violett violett violett blau blau-grün blau-grün gelb Austrittsarbeiten WA ausgewählter Materialien Wolfram auf Barium Rubidium Caesium Kalium Natrium Barium Molybdän 1,1 eV 2,13 eV 2,1 eV 2,25 eV 2,36 eV 2,52 eV 4,20 eV Aluminium Zink Silber Kupfer Wolfram Platin Gold Die Austrittsarbeit hängt zusätzlich von der Kristallisationsrichtung ab. Bsp. Ag: 4,26 eV, Ag(100): 4,64 eV, Ag(110): 4,52 eV, Ag(111): 4,74 eV. Seite 46 4,26 eV 4,34 eV 4,52 eV 4,53 eV 4,54 eV 5,32 eV 5,47 eV Tabellen & Daten Atommassen ma ausgewählter stabiler Isotope Element Wasserstoff Helium Lithium Kohlenstoff Sauerstoff Fluor Neon Natrium Magnesium Aluminium Silizium Schwefel Argon Kalium Kalzium Isotop 1 H 2 H 3 He 4 He 6 Li 7 Li 12 C 13 C 16 C 17 C 18 C 19 F 20 Ne 21 Ne 22 Ne 23 Na 24 Mg 25 Mg 26 Mg 27 Al 28 Al 29 Al 30 Al 32 S 33 S 34 S 36 S 36 Ar 38 Ar 40 Ar 39 K 41 K 40 Ca 42 Ca 43 Ca 44 Ca ma in u 1,00794 2,0141 3,01603 4,0026 6,01512 7,016 12 13,0034 15,9949 16,9991 17,9992 18,9984 19,9924 20,9938 21,9914 22,9898 23,9850 24,9858 25,9826 26,9815 27,9769 28,9765 29,9738 31,9721 32,9715 33,9679 35,9671 35,9675 37,9627 39,9624 38,9637 40,9618 39,9626 41,9586 42,9588 43,9555 Element Eisen Kupfer Krypton Silber Xenon Gold Quecksilber Blei Isotop 46 Ca 48 Ca 54 Fe 56 Fe 57 Fe 58 Fe 63 Cu 65 Cu 78 Kr 80 Kr 82 Kr 83 Kr 84 Kr 86 Kr 107 Ag 109 Ag 124 Xe 126 Xe 128 Xe 129 Xe 130 Xe 131 Xe 132 Xe 134 Xe 136 Xe 197 Au 198 Hg 199 Hg 200 Hg 201 Hg 202 Hg 204 Hg 204 Pb 206 Pb 207 Pb 208 Pb ma in u 45,9537 47,9525 53,9396 55,9349 56,9354 57,9333 62,9296 64,9278 77,9204 79,9164 81,9135 82,9141 83,9115 85,9106 106,905 108,905 123,906 125,904 127,904 128,905 129,904 130,905 131,904 133,905 135,907 196,967 197,967 198,968 199,968 200,970 201,971 203,973 203,973 205,974 206,976 207,977 Seite 47 Tabellen & Daten Atommassen ma einiger ausgewählter Radioisotope Isotop 3 H 5 He 6 He 10 Be 11 C 14 C 13 N 16 N 14 O 15 O 19 O 20 O 22 Na 24 Na 26 Al 28 Al 35 S 37 Ar 39 Ar 41 Ar 42 Ar 38 K 40 K 42 K 55 Fe 59 Fe 60 Fe 64 Cu 66 Cu 67 Cu Seite 48 Zerfall βn ββEC βEC ββ+ β+ βββ+ +γ EC+γ βEC ββEC ββββ+ β+ EC ββEC ββEC βββ- E in MeV 0,019 0,60 3,508 0,556 1,982 0,156 2,220 10,419 5,143 2,754 4,821 3,814 2,842 2,842 5,516 4,004 4,642 0,167 0,813 0,565 2,492 0,60 5,913 1,505 1,505 1,311 3,525 0,231 1,565 0,237 1,675 0,579 2,642 0,577 HWZ ma in u 3,01605 5,01222 6,01889 10,0135 11,0114 14,0032 13,0057 16,0061 14,0086 15,0031 19,0036 20,0041 21,9944 12,33 a 7,6·10-22 s 0,8067 s 1,51·106 a 20,39 min 5730 a 9,965 min 7,13 s 70,606 s 122,24 s 26,91 s 13,51 s 2,6019 a 23,991 25,986 27,9819 34,969 36,9668 38,9643 40,9645 41,963 37,9691 39,964 14,9590 h 7,17·105 a 2,241 min 87,32 d 35,04 d 269 a 109 min 32,9 a 7,636 min 1,28·109 a 41,9624 54,9383 58,9349 59,9341 63,9298 12,360 h 2,73 a 44,503 d 1,5·106 a 12,70 h 65,9289 5,12 min 66,9277 61,83 h Isotop 83 Rb 87 Rb 85 Sr 89 Sr 90 Y 99m Tc 108 Ag 123 I I 137 Cs 144 Nd 147 Nd 186 Re 131 187 Re 198 Au 199 Au 204 Pb 205 Pb 210 Pb 209 Bi 210 Bi 210 Po Rg 280 Rg 285 Cn 278 Zerfall EC βEC ββγ βEC βEC+γ ββα ββEC βββα EC α βα α βα α α α E in MeV 0,910 0,283 1,065 1,495 2,282 0,143 0,437 1,918 1,649 1,36 0,971 0,5 1,83 0,91 1.071 0,582 0,0025 1,372 0,453 2,186 0,051 3,792 0,064 3,137 5,037 1,163 5,407 10,87 9,75 ma HWZ in u 82,9151 86,2 d 86,9092 4,75·1010 a 84,9129 64,84 d 88,9075 50,53 d 89,9072 64,00 h 98,9063 6,01 h 107,906 2,37 min 122,906 13 h 130,906 8,021 d 136,907 30,17 a 143,91 2,29·1015 a 146,916 10,98 d 185,955 3,718 d 186,956 4,12·1010 a 197,968 2,695 d 198,969 3,139 d 203,973 1,4·1017 a 204,974 1,53·107 a 209,984 22,3 a 208,98 1,9·1019 a 209,984 5,013 d 209,983 weitere Daten Isotopentafel 138,38 d 4 ms 3,6 s 34 s # S. 50 f; Tabellen & Daten Tabelle über Quarks Teilchen / Antiteilchen Symbol Ladung in e Masse Up / Anti-Up u/u + 23 /- 23 1,5-3,3 MeV/c2 Down / Anti-Down d/d - 13 /+ 13 3,5-6,6 MeV/c2 Strange / Anti-Strange s/s - 13 /+ 13 104 MeV/c2 Charm / Anti-Charm c/c + 23 /- 23 1,27 GeV/c2 Bottom / Anti-Bottom b/b - 13 /+ 13 4,20 GeV/c2 Top / Anti-Top t/t + 23 /- 23 171,2 GeV/c2 Tabelle über Leptonen Name Symbol Ladung Masse in e in MeV/c2 Antiteilchen Elektron e 1 0,511 Positron Elektron-Neutrino νe 0 <2·10-6 Anti-Elektron-Neutrino Myon µ 1 105,66 Anti-Myon Myon-Neutrino νµ 0 <0,17 Anti-Myon-Neutrino Tauon τ 1 1777 Anti-Tauon Tauon-Neutrino ντ 0 <15,5 Anti-Tauon-Neutrino Seite 49 Tabellen & Daten Seite 50 Tabellen & Daten Seite 51 Tabellen & Daten Tabelle zu pKS - und pKB -Werten Säurestärke sehr stark stark mittelstark schwach sehr schwach pKS -10 -10 -6 -3 -1,32 Säure + H2 O H3 O+ + Base HClO4 ClO-4 HI IHCl ClH2 SO4 HSO-4 HNO3 NO-3 pKB 24 24 20 17 15,32 -1,74 1,92 2,13 2,22 3,14 3,75 H 3 O+ HSO-4 H3 PO4 3+ [Fe (H2 O)6 ] HF HCOOH H2 O SO24 H2 PO-4 2+ [Fe(OH) (H2 O)5 ] FHCOO- 15,74 12,08 11,87 11,78 10,86 10,25 4,75 4,85 6,52 6,92 7,20 CH3 COOH 3+ [Al (H2 O)6 ] H2 CO3 H2 S H2 PO-4 CH3 COO2+ [Al(OH) (H2 O)5 ] HCO-3 HSHPO24 9,25 9,15 7,48 7,08 6,80 9,25 9,40 10,40 12,36 13,00 15,74 NH+4 HCN HCO-3 HPO24 HS H2 O NH3 CNCO23 3PO4 HS2OH- 4,75 4,60 3,60 1,64 1,00 -1,74 15,90 23 29 34 CH3 CH2 OH NH3 OHCH4 CH3 CH2 ONH-2 O2CH-3 -1,90 -9 -15 -20 Basenstärke sehr schwach schwach mittelstark stark sehr stark Tabelle zu Normalpotentialen E 0 Element Fluor (F) Sauerstoff (O) Sauerstoff (O) Gold (Au) Gold (Au) Gold (Au) Chlor (Cl) Seite 52 oxidierte Form F2 S2 O28 2 H2 O2 +2 H3 O+ Au+ Au3+ Au2+ Cl2 +ze− +2e+2e+2e+e+3e+2e+2e- reduzierte Form 2 F2 SO24 4 H2 O Au Au Au 2 Cl- E0 2,87 V 2,00 V 1,78 V 1,69 V 1,42 V 1,40 V 1,36 V Tabellen & Daten Element Chrom (Cr) Sauerstoff (O) Platin (Pt) Brom (Br) Quecksilber (Hg) Silber (Ag) Eisen (Fe) Iod (I) Kupfer (Cu) Eisen (Fe) Kupfer (Cu) Kupfer (Cu) Zinn (Sn) Wasserstoff (H2 ) Eisen (Fe) Blei (Pb) Zinn (Sn) Molybdän (Mo) Nickel (Ni) Cadmium (Cd) Eisen (Fe) Schwefel (S) Nickel (Ni) Chrom (Cr) Zink (Zn) Wasser (H2 O) Chrom (Cr) Niob (Nb) Vanadium (V) Mangan (Mn) Titan (Ti) Aluminium (Al) Titan (Ti) Beryllium (Be) Magnesium (Mg) Cer (Ce) Natrium (Na) Calcium (Ca) Barium (Ba) Kalium (K) Lithium (Li) oxidierte Form Cr6+ O2 +4 H3 O+ Pt2+ Br2 Hg2+ Ag+ Fe3+ I2 Cu+ 3[Fe (CN)6 ] Cu2+ Cu2+ Sn4+ 2 H+ Fe3+ Pb2+ Sn2+ Mo3+ Ni2+ Cd2+ Fe2+ S NiO2 +2 H2 O Cr3+ Zn2+ 2 H2 O Cr2+ Nb3+ V2+ Mn2+ Ti3+ Al3+ Ti2+ Be2+ Mg2+ Ce3+ Na+ Ca2+ Ba2+ K+ Li+ +ze− +3e+4e+2e+2e+2e+e+e+2e+e+e+2e+e+2e+2e+3e+2e+2e+3e+2e+2e+2e+2e+2e+3e+2e+2e+2e+3e+2e+2e+3e+3e+2e+2e+2e+3e+e+2e+2e+e+e- reduzierte Form Cr3+ 6 H2 O Pt 2 BrHg Ag Fe2+ 2 ICu 4[Fe (CN)6 ] Cu Cu+ Sn2+ H2 Fe Pb Sn Mo Ni Cd Fe S2Ni(OH)2 +2 OHCr Zn H2 +2 OHCr Nb V Mn Ti Al Ti Be Mg Ce Na Ca Ba K Li E0 1,33 V 1,23 V 1,20 V 1,07 V 0,85 V 0,80 V 0,77 V 0,53 V 0,52 V 0,361 V 0,35 V 0,16 V 0,15 V 0,00 V -0,04 V -0,13 V -0,14 V -0,20 V -0,23 V -0,40 V -0,44 V -0,48 V -0,49 V -0,76 V -0,76 V -0,83 V -0,91 V -1,099 V -1,17 V -1,18 V -1,21 V -1,66 V -1,77 V -1,85 V -2,372 V -2,483 V -2,71 V -2,76 V -2,90 V -2,92 V -3,05 V Seite 53 Mathematik Mittelstufe Die nachfolgenden Ausführungen stellen keine Formelsammlung im klassischen Sinn dar. Insbesondere werden die verwendeten Bezeichnungen nicht erklärt und Voraussetzungen für die Gültigkeit der Formeln in der Regel nicht dargestellt. Stoffgebiete der Mittelstufe Lösungsformel für quadratische Gleichungen ax2 + bx + c = 0 ⇒ x1,2 = −b ± √ b2 − 4ac 2a Potenz 1 an = x √ n a−x = a z 1 ax z (ax ) = axz ax = ax−z z a x+z a ·a =a x x x a · b = (a · b) Logarithmen u v logb (u · v) = logb u + logb v logb logb uz = z logb u logc a = Strahlensätze AB k A0 B 0 ⇔ AB k A0 B 0 ⇒ ZA ZB ZA = ; ZA0 ZB 0 AA0 AB ZA = A0 B 0 ZA0 = ZB BB 0 Rechtwinkliges Dreieck Pythagoras: Höhensatz: Kathetensätze: sin α = Seite 54 a ; c a2 + b2 = c2 h2 = pq a2 = cp; b2 = cq b cos α = ; c tan α = sin α a = cos α b a x ax = bx b = logb u − logb v logb a logb c Mathematik Analysis Allgemeines Dreieck Sinussatz: a : b : c = sin α : sin β : sin γ Kosinussatz: a2 = b2 + c2 − 2bc cos α; c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ b2 = a2 + c2 − 2ac cos β Sinus und Kosinus sin(−ϕ) = − sin ϕ sin(90◦ − ϕ) = cos ϕ cos(−ϕ) = cos ϕ cos(90◦ − ϕ) = sin ϕ 2 2 (sin ϕ) + (cos ϕ) = 1 Figurengeometrie a2 √ 3 4 Gleichseitiges Dreieck: A= Kreis: U = 2rπ; A = r2 π Trapez: A= a+c h 2 Raumgeometrie Prisma: Pyramide: Kugel: V = Gh 1 Gh 3 4 V = r3 π; 3 V = gerader Kreiszylinder: V = r2 πh; gerader Kreiskegel: V = 1 2 r πh; 3 M = 2rπh M = rπm O = 4r2 π Analysis Grenzwerte xr ln x lim x = 0; lim = 0; x→+∞ e x→+∞ xr Für kleine x gilt: sin x ≈ tan x ≈ x lim (xr ln x) = 0 x→0 (jeweils r > 0) Definition der Ableitung Ableitung: Schreibweisen: f (x) − f (x0 ) , x→x0 x − x0 falls der Grenzwert existiert und endlich ist. f 0 (x0 ) = lim f 0 (x) = df (x) d dy = f (x) = = y0 dx dx dx Seite 55 Mathematik Analysis Ableitung der Grundfunktionen 0 (xr ) = rxr−1 0 (ex ) = ex ; (r ∈ R) ; 0 (ln x) = 0 (sin x) = cos x; 1 ; x 0 (ax ) = ax ln a; Ableitungsregeln Summenregel: f (x) = u(x) + v(x) Faktorregel: f (x) = c · u(x) Produktregel: f (x) = u(x) · v(x) u(x) Quotientenregel: f (x) = v(x) =⇒ f 0 (x) = u0 (x) + v 0 (x) =⇒ f 0 (x) = c · u0 (x) =⇒ f 0 (x) = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x) 0 =⇒ f (x) = Kettenregel: f (x) = u (v(x)) 0 (cos x) = − sin x; 1 0 (loga x) = x · ln a u0 (x) · v(x) − u(x) · v 0 (x) 2 [v(x)] 0 0 =⇒ f (x) = u (v(x)) · v 0 (x) Anwendungen der Differentialrechnung Tangentensteigung: mT = f 0 (x0 ) Monotoniekriterium: f 0 (x) < 0 im Intervall I f 0 (x) > 0 im Intervall I Normalensteigung: mN = − 1 f 0 (x0 ) =⇒ f fällt streng monoton in I. =⇒ f steigt streng monoton in I. Art von Extremwerten (mit Hilfe der zweiten Ableitung): f 0 (x0 ) = 0 und f 00 (x0 ) < 0 =⇒ f hat an der Stelle x0 ein relatives Maximum. f 0 (x0 ) = 0 und f 00 (x0 ) > 0 =⇒ f hat an der Stelle x0 ein relatives Minimum. Graphenkrümmung: f 00 (x) < 0 im Intervall I =⇒ Gf ist in I rechtsgekrümmt. f 00 (x) > 0 im Intervall I =⇒ Gf ist in I linksgekrümmt. Wendepunkt: Ist f 00 (x0 ) = 0 und wechselt f 00 an der Stelle x0 das Vorzeichen, so hat Gf an der Stelle x0 einen Wendepunkt. Newton’sche Iterationsformel zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen: f (xn ) xn+1 = xn − 0 f (xn ) Seite 56 Mathematik Analysis Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Jede Integralfunktion einer stetigen Funktion f ist eine Stammfunktion von f : ˆx I(x) = f (t)dt =⇒ I 0 (x) = f (x) a Berechnung bestimmter Integrale ˆ b b f (x)dx = F (b) − F (a) = [F (x)]a , a wobei F eine beliebige Stammfunktion zu f ist. Wichtige unbestimmte Integrale ˆ xr+1 +C (r 6= −1) xr dx = r + 1 ˆ sin xdx = − cos x + C ˆ ex dx = ex + C ˆ 0 f (x) dx = ln |f (x)| + C f (x) ˆ 1 f (ax + b)dx = F (ax + b) + C a 1 dx = ln |x| + C x ˆ cos xdx = sin x + C ˆ ln xdx = −x + x ln x + C ˆ f 0 (x)ef (x) dx = ef (x) + C ˆ , wobei F Stammfunktion von f ist. Seite 57 Mathematik Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundgrößen n n! n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) Binomialkoeffizient: = = k k! · (n − k)! k! Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit n Elementen eine Teilmenge mit k Elementen zu bilden. Bedingte Wahrscheinlichkeit: PA (B) = P (A ∩ B) P (A) Unabhängigkeit von zwei Ereignissen: P (A ∩ B) = P (A) · P (B) Urnenmodell: . Ziehen ohne Zurücklegen: Aus einer Urne mit N Kugeln, von denen K schwarz sind, werden n Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. N −K K · P („genau k schwarze Kugeln”) = k N n−k n . Ziehen mit Zurücklegen: Aus einer Urne, in der der Anteil schwarzer Kugeln p ist, werden n Kugeln mit Zurücklegen gezogen. n P („genau k schwarze Kugeln”) = · pk · (1 − p)n−k k Zufallsgrößen - Binomialverteilung Die Zufallsgröße X nehme die Werte x1 , x2 , . . . , xn jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 , . . . , pn an. Dann gilt: Erwartungswert µ = E(X) = n X i=1 Varianz Var(X) = n X i=1 xi · pi = x1 · p1 + x2 · p2 + . . . + xn · pn 2 2 2 (xi − µ) · pi = (x1 − µ) · p1 + (x2 − µ) · p2 + . . . p Standardabweichung σ = Var(X) 2 + (xn − µ) · pn Ist die Zufallsgröße X binomial verteilt nach B(n; p), so gilt: n P (X = k) = B(n; p; k) = · pk · (1 − p)n−k für k = 0, 1, . . . , n k mit Erwartungswert E(X) = n · p und Varianz Var(X) = n · p · (1 − p) Seite 58 Mathematik Analytische Geometrie Analytische Geometrie a1 b1 3 Standardskalarprodukt im R : ~a ◦ ~b = a2 ◦ b2 = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a3 b3 Eigenschaften und Anwendungen des Skalarproduktes . zueinander senkrechte Vektoren: ~a ⊥ ~b ⇔ ~a ◦ ~b = 0 √ . Betrag eines Vektors: |~a| = ~a ◦ ~a . Einheitsvektor: ~a 0 = ~a |~a| ~a ◦ ~b mit 0 ≤ ϕ ≤ π |~a| · |~b| a2 b3 − a3 b2 Vektorprodukt im R3 : ~a × ~b = a3 b1 − a1 b3 a1 b2 − a2 b1 . Winkel zwischen zwei Vektoren: cos ϕ = Eigenschaften und Anwendungen des Vektorproduktes . ~a × ~b steht senkrecht auf ~a und ~b ~ . ~a × b = |~a| · |~b| · sin ϕ mit 0 ≤ ϕ ≤ π −−→ −→ . Flächeninhalt F des Dreiecks ABC: F = AB × AC −→ −→ −−→ 1 − . Volumen V der dreiseitigen Pyramide ABCD: V = 6 AB ◦ AC × AD 1 ~ ~ ~ Mittelpunkt M der Strecke [AB]: M = 2 A + B 1 ~ ~ ~ ~ Schwerpunkt S des Dreiecks ABC: S = 3 A + B + C 1 2 Ebene E im R3 ~ =A ~ + λ~u + µ~v . Parameterform von E: X ~ −A ~ =0 . Normalenform von E in Vektordarstellung: ~n ◦ X . Normalenform von E in Koordinatendarstellung: n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n0 = 0 . Abstand e des Punktes P (p1 |p2 |p3 ) von E: e = 2 2 |n1 p1 + n2 p2 + n3 p3 + n0 | |~n| 2 Kugelgleichung (x1 − m1 ) + (x2 − m2 ) + (x3 − m3 ) = r2 Seite 59 Stichwortverzeichnis Äquivalentdosis, 31 Abbildungsgleichungen, 23 absolute Helligkeit, 16 Absorptionsgesetz, 30 Abstandsgesetz, 30 Aggregatzustand, 28 Aktivität, 30 Akustik, 26 Alphazerfall, 29 Arbeit, 8, 27 Atomhülle, 29 Atomkern, 29 Atommassen, 47, 48 Auftriebskraft, 6 Ausbreitungsgeschwindigkeit, 24, 25 Ausdehnung, 27 Ausdehnungskoeffizient, 45 Austrittsarbeit, 31, 46 Avogadrozahl, 32, 34 Bahngeschwindigkeit, 11, 13 Bahnradius, 42 Baseexponent, 36, 52 Basekonstante, 36 Bestrahlungsstärke, 14, 16 Betazerfall, 29 Bewegungsgleichungen, 9 Bildweite, 23 Bindungsenergie Atom, 30 biologische Strahlenwirkung, 31 Boltzmannkonstante, 27, 32 Braggbeziehung, 25 Brechzahl, 23, 46 Brennpunkt, 23 Brennweite, 23 Celsiusskala, 27 Cepheiden, 16 De Broglie-Wellenlänge, 31 Diamagnetismus, 43 Dichte, 6, 40, 42 diskrete Energieniveaus, 29 Dopplereffekt, 25 Dreifingerregel, 20 Druck, 6, 38 Einfallswinkel, 23 Einheiten, 39 Einstein, 31 elektrische Energie, 18 Seite 60 elektrische Feldkonstante, 18, 19, 32 elektrische Feldstärke, 18 elektrische Leistung, 18 elektrische Stromstärke, 16 elektrischer Widerstand, 16 elektrisches Feld, 18 elektrisches Potential, 18, 19 elektromagnetisches Spektrum, 15 Elementarladung, 32 Elementarwellenprinzip, 24 Ellipsen, 13 Ellipsengleichungen, 13 EM-Schwingungen, 22 Energie, 18, 38 klassisch, 7 Photon, 29, 31 relativistisch, 12 Energie freie Ladung, 19 Energiedichte elektrisches Feld, 18 Energiedosis, 31 Energieerhaltung, 7 Energieinhalt Plattenkondensator, 19 Energieinhalt Spule, 21 Entfernungsmodul, 16 Enthalpie, 35 Erdmond, 42 Ersatzwiderstand, 17 Fadenpendel, 10 Fallbeschleunigung, 32, 42, 43 Faradaykonstante, 32, 37 Federpendel, 10 Ferromagnetismus, 43 Flaschenzug, 8 Fluchtgeschwindigkeit, 14 Frequenz, 10, 31 Schwingung, 24 Thomson, 22 Gammazerfall, 29 Gangunterschied, 24 Gaskonstante, 27, 32, 37 Gasreaktionen, 35 Gegenstandsweite, 23 geometrische Optik, 23 Gewichtskraft, 5, 8 Gibbs-Helmholtz-Gleichung, 35 Gleitreibungszahl, 6, 41 Goldene Regel der Mechanik, 8 Gravitation, 13 Gravitationsgesetz, 14 Gravitationskonstante, 13, 32 Gravitationskraft, 14 Höhenenergie, 7 Hörschwelle, 26 Halbtitrationspunkt, 37 Halbwertszeit, 30, 48 Halleffekt, 20 Hangabtriebskraft, 8 harmonische Schwingung, 10 harmonische Welle Geschwindgkeit, 24 Hauptreihenstern, 15 Hauptsätze Wärmelehre, 27 Hebel, 8 Heisenberg, 31 Heizwert, 45 Henderson-Hasselbalch, 37 homogene Reaktion, 35 Hooke, 7 Hooke’sches Gesetz, 5 Hubblebeziehung, 16 Hubblekonstante, 16, 32 Huygen, 24 hydrostatischer Druck, 6 ideales Gas, 27 Impedanz, 26 Impuls, 31 klassisch, 9 Photon, 31 relativistisch, 12 Impulserhaltung, 9 Induktion, 21 Induktionsgesetz, 21 Induktivität, 21, 22 innere Energie, 27, 28 Intensität Schallwelle, 26 Interferenz, 24 Ionenprodukt des Wassers, 36 Kapazität, 19, 22 Kastenpotential 1D, 29 Kelvinskala, 27 Kepler, 13 Kepler’sche Gesetze, 13 Kernreaktionen, 30 Kinematik, 9 kinetische Energie, 7, 12, 31 kinetische Teilchenenergie, 28 Kompressibilität, 26 Kondensator, 18, 19 konstante Beschleunigung, 9 konstante Geschwindigkeit, 9 konstante Strahlungsleistung, 14 Stichwortverzeichnis kosmische Fluchtgeschw., 14 Kraft, 38 Kreisbahn, 14 Kreisfrequenz, 22 Schwingung, 24 Plattenkondensator, 18, 19 Potential elektr., 19 Potentialdifferenz, 19, 37 potentielle Energie, 7 punktförmige Ladung, 18, 19 Längenausdehnung, 27 Längenausdehnungskoeff., 27, 45 Längenkontraktion, 12 Ladung, 16, 19 Leerlaufspannung, 37 Leistung, 9, 18, 38 Leptonen, 49 Leuchtkraft, 14, 16 Lichtgeschwindigk., 12, 23, 29, 32 Linse, 23 Linsensgleichung, 23 Lorentzfaktor, 12 Lorentzkraft, 20 Q-Faktor, 30 Quanten, 31 Quarks, 49 Maßeinheiten, 39 magn. Feldkonstante, 20, 21, 32 magnetische Energiedichte, 20 magnetische Flussdichte, 20 magnetischer Fluss, 21 magnetisches Feld, 20 Masse-Leuchtkraft-Beziehung, 15 Massenanteil, 34 Massenkonzentration, 34 Massenwirkungsgesetz, 35 molare Masse, 34 molares Volumen, 32, 34 Nernst’sche Gleichung, 37 Netzebenenabstand, 25 Newton, 5, 14 Normaldruck, 26 Normalkraft, 6, 8 Normalpotential, 37, 52 Ohm’sches Gesetz, 17 Parallaxe, 15 Parallelschaltung, 17 Paramagnetismus, 43 Perioden-Helligkeit Cepheiden, 16 Permeabilitätszahl, 20, 43 Permittivitätszahl, 19, 44 Perpetuum mobile, 27 pH-Wert, 37 Photoeffekt, 31 Photon, 29 Photonenenergie, 29, 31 Planck. Wirk.quantum, 29, 32 Planetendaten, 42 Röntgenbremsstrahlung, 31 Radioaktivität, 29 Radioisotope, 48 Radionuklid, 29 Reaktionsgeschwindigkeit, 35 Redox-Gleichgewicht, 37 Reflexionsgesetz, 23 Reibungskraft, 6, 7 Reibungszahl, 6, 41 Reihenschaltung, 17 relat. Massenzunahme, 12 Relativgeschwindigkeit, 25 Ruhemasse, 12, 33 Rydbergkonstante, 29, 32 Säure-Base-Gleichgewichte, 36 Säureexponent, 36, 52 Säurekonstante, 36 Schalldruck, 26 Schalldruckpegel, 26 Schallgeschwindigkeit, 26, 41 scheinbare Helligkeit, 16, 43 Schmelzpunkt, 44 Schmelzwärme, 28 Schwächungskoeffizient, 30 schwache Säuren, 37 schwarzer Strahler, 15 Selbstinduktion, 21 SI-Einheit, 38 siderische Umlaufzeit, 15 Siedepunkt, 45 Snellius’sches Brechungsgesetz, 23 Solarkonstante, 15, 32, 43 Sonne, 43 Sonnensystem, 42 Spannenergie, 7 Spektrallinien, 46 Spektrum, 46 spez. Verdampfungswärme, 28 spezielle Relativitätstheorie, 12 spezifische Schmelzwärme, 28, 44 spezifische Verdampfungswärme, 45 spezifische Wärmekapazität, 28, 44 spezifischer Widerstand, 17, 43 Spule, 20 Spule real, 22 starke Säuren, 37 Stefan-Boltzmann-Gesetz, 15 Stefan-Boltzmann-Konst., 15, 32 stehende Wellen, 25 Stoffmenge, 34 Stoffmengenkonzentration, 34 Stokes, 6 Strömung laminar, 6 turbulent, 7 Strahlungsenergie, 14 Strahlungsgesetze, 14 Strahlungsleistung, 15 Superpositionsprinzip, 11 synodische Umlaufzeit, 15 Thomsongleichung, 22 Trägheitssatz, 5 Transformator, 21 trigonometrische Parallaxe, 15 Umlaufzeit, 15, 42 ungedämpfter Schwingkreis, 22 Unschärferelation, 31 Verdampfungswärme, 28 Viskosität, 6, 41 Volumenausdehnung, 27 Volumenausdehnungskoeff., 27, 45 Wärme, 27 Wärmelehre, 27 Wasserstoffatom, 29 Wechselwirkungsgesetz, 5 Wellenlänge De Broglie, 31 Wellenlehre, 24 Widerstandsbeiwert, 7, 42 Wien. Verschiebungsgesetz, 15 Wien. Verschiebungskonst., 15, 32 Winkelgeschwindigkeit, 11, 14 Wirkungsgrad, 9, 21 Zeitdilatation, 12 Zentripetalkraft, 11 Zerfallsgesetz, 30 Zerfallskonstante, 30 Zerfallsprodukt, 29 Zerfallsreihen, 50 Zweikörperproblem, 14 Zylinderspule, 20, 21 Seite 61 Formelsammlung Naturwissenschaften Die vorliegende Formelsammlung umfasst die Themengebiete Physik, Chemie & Mathematik gemäß den Anforderungen des bayerischen Gymnasiums. Ein umfangreicher Tabellenteil erleichtert die Arbeit im Unterricht und ist eine hilfreiche Stütze für alle Prüfungen. Inhaltlich ist er an den Anforderungen eines modernen naturwissenschaftlichen Unterrichts ausgerichtet.
