( )p - Fakultät WiSo Uni Hamburg

Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 12
Folie I - 12 - 1
Kursthemen 12. Sitzung
Spezielle Verteilungen:
Verteilungen: Warteprozesse
Warteprozesse
Spezielle
A)
A)
Die Geometrische
Geometrische Verteilung
Verteilung (Folien
(Folien 22 bis
bis 7)
7)
Die
B)
B)
Diskretes Warten:
Warten: Geometrische
Geometrische Verteilung
Verteilung und
und
Diskretes
Binomialverteilung (Folien
(Folien 88 bis
bis 14)
14)
Binomialverteilung
C)
C)
Die (negative)
(negative) Exponentialverteilung
Exponentialverteilung (Folien
(Folien 15
15 bis
bis 19)
19)
Die
D)
D)
Die Poissonverteilung
Poissonverteilung (Folien
(Folien 20
20 bis
bis 31)
31)
Die
E)
Übersicht: Spezielle Verteilungen (Folien 30 bis 32)
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Folie I - 12 - 2
Beispiel zur geometrischen Verteilung 1 / 2
Im Spielkasino...
Ein Roulettspieler setzt immer auf „Zero“. Er wartet auf seinen ersten Gewinn.
Wie lange muss er warten, bis er das erste Mal gewinnt?
Oder präziser: Wie ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von
T1 = „ Zahl der verlorenen Spiele bis zum ersten Gewinn“?
Die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust beträgt:
36
(1 − p ) =
37
Dann ist die Wahrscheinlichkeit für 0 verlorene Spiele bis zum ersten Gewinn
1
p ( 0) =
= p = 0, 027
37
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Folie I - 12 - 3
Beispiel zur geometrischen Verteilung 2 / 2
Voraussetzung: Die Roulett-Spiele sind unabhängig, „Kugel hat kein
Gedächtnis“
1
37
36 1
p (1) =
⋅
37 37
p ( 0) =
=p
= 0, 0270
= (1 − p) ⋅ p
= 0, 0263
2
 36  1
p ( 2) =   ⋅
= (1 − p)2 ⋅ p = 0, 0256
 37  37
k
 36  1
p (k ) =   ⋅
= (1 − p )k ⋅ p
 37  37
Wie viele verlorene Spiele wird der Spieler im Mittel bis zum ersten Gewinn in
Kauf nehmen müssen?
36
1 − p 37 36
E (T1 ) =
= 36
=
=
1
p
1
37
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Folie I - 12 - 4
Die Geometrische Verteilung
Ausgangssituation:
Sie ziehen nacheinander zufällig n Objekte aus N Objekten heraus,
die sich in bezug auf ein Merkmal mit zwei Ausprägungen A und A
unterscheiden. Die Objekte werden nach jedem Zug zurückgelegt.
Dann ist die ZV
X = "Anzahl der Objekte mit A vor dem ersten Objekt mit A"
NA
, wobei N A die
N
Anzahl der Objekte mit A ist. D. h. die ZV folgt der Verteilung GV ( p ) .
geometrisch verteilt mit dem Parameter p =
Mögliche Werte von X:
k = 0,1, ...
Erwartungswert von X:
1− p
E( X ) =
(=Wettquotient, Quote, odds)
p
Wie
groß ist die
von Y?
HäufigkeitsundVarianz
Verteilungsfunktion:
f ( k ) = (1 − p ) k ⋅ p
F ( k ) = 1 − (1 − p ) k +1
Wie großvon
ist X:
die Varianz von Y?
Varianz
Var ( X ) =
(1 − p )
p2
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Folie I - 12 - 5
Graphische Darstellung der Dichte einer
Geometrischen Verteilung
mit p =1 / 37 (Roulette, einfaches Spiel)
0,03
Geometrische Verteilung (p=1/37)
0,02
0,01
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
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Folie I - 12 - 6
Häufigkeits- und Verteilungsfunktion der
Geometrischen Verteilung
Leiten Sie aus der Häufigkeitsfunktion einer geometrisch verteilten
Zufallsvariable die Verteilungsfunktion ab!
F ( k ) = 1 − (1 − p ) k +1
f ( k ) = (1 − p ) k ⋅ p
k
F (k ) = P (k ) = ∑ f (i)
i =0
= (1 − p ) ⋅ p + (1 − p ) ⋅ p + ... + (1 − p ) ⋅ p
0
1
k
⇔ F (k )
= p ⋅  (1 − p ) + (1 − p ) + ... + (1 − p ) 


1
2
k +1
⇔ (1 − p ) ⋅ F ( k ) = p ⋅  (1 − p ) + (1 − p ) + ... + (1 − p ) 


⇔ F (k )
0
1
k
Subtrahiert man die letzte von der vorletzten Zeile, erhält man:
⇔ p ⋅ F (k )
⇔
F (k )
⇔
F (k )
= p ⋅  (1 − p ) − (1 − p )

0
k +1
= (1 − p ) − (1 − p )
0
= 1 − (1 − p )
k +1
k +1


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Folie I - 12 - 7
Beispiele für Wahrscheinlichkeitsverteilungen der
Geometrischen Verteilung
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Folie I - 12 - 8
Aufgabe: Am Roulettisch 1 / 2
Am Roulettisch...
Ein Roulettspieler setzt ständig auf Rot.
a)
Welcher Verteilung folgt die Zahl der verlorenen Spiele bis zum ersten
Gewinn?
b)
Wie viele Spiele verliert der Spieler im Mittel bis zum ersten Gewinn?
c)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau einmal verliert und
dann gewinnt?
d)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er erst im dritten Spiel oder
später gewinnt?
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Folie I - 12 - 9
Aufgabe: Am Roulettisch 2 / 2
Am Roulettisch (fortgesetzt)...
Ein Roulettspieler setzt ständig auf Rot.
e)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er erst im 10. Spiel oder später
gewinnt?
f)
Wie ist die Zahl der verlorenen Spiele unter den ersten drei Spielen
verteilt?
g)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, unter den ersten drei Spielen dreimal
zu verlieren?
h)
Wie ist die Zahl der gewonnen Spiele unter den ersten drei Spielen
verteilt?
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Folie I - 12 - 10
Aufgabe: Geburtenpolitik in China
Die chinesische Regierung verfolgt zur Bevölkerungskontrolle eine strikte Ein-KindPolitik. Es gelingt ihr, dies in den Städten konsequent durchzusetzen. Unterstellen Sie
im folgenden, dass Knaben- und Mädchengeburten gleichwahrscheinlich sind und dass
Geschlecht aufeinander folgender Kinder stochastisch unabhängig ist.
a)
Welcher Verteilung folgt demnach die Zahl der Knaben unter 100 in einer Stadt
geborenen Kindern?
b)
Auf Druck der Bevölkerung wird die Politik dahingehend gelockert, dass jede
Familie solange Kinder bekommen darf, bis der erste Knabe geboren wird.
Unterstellen Sie, dass diese Regel strikt befolgt und maximal ausgenutzt wird.
i.
Welcher Verteilung folgt die Zahl der Kinder in einer Familie und wie viele
Kinder wird eine Familie im Mittel haben?
ii.
Wie groß ist der Anteil der Ein-Kind-Familien unter dieser Regel?
iii.
Wird sich das Verhältnis der Geschlechter verschieben, und wenn ja, wird es
mehr Jungen oder mehr Mädchen geben?
iv.
Beantworten Sie Frage iii für den Fall, dass nicht jede Familie die ihr maximal
mögliche Zahl von Kindern bekommt!
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Folie I - 12 - 11
Aufgabe: Beziehungskiste 1 / 2
Franz und Suse stellen fest, dass es ihrer Beziehung nicht gut tut, wenn sie sich an
Tagen treffen, wo einer von beiden keine Lust hat. Sie beschließen, jeden Tag
miteinander zu telefonieren und sich nur dann zu treffen, wenn beide Lust haben.
Unterstellen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass einer auf den anderen Lust hat,
jeden Tag gleich ist und dass sich jeder von beiden nicht von der Lust oder Unlust des
anderen beeinflussen lässt. Franz möge im Mittel dreimal, Suse zweimal die Woche Lust
haben.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich heute treffen?
b)
Wie groß ist der Abstand zwischen zwei Treffen im Mittel?
c)
Welcher Verteilung folgt die Zahl der Treffen pro Woche?
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Folie I - 12 - 12
Aufgabe: Beziehungskiste 2 / 2
Franz und Suse stellen fest, dass es ihrer Beziehung nicht gut tut, wenn sie sich an
Tagen treffen, wo einer von beiden keine Lust hat. Sie beschließen, jeden Tag
miteinander zu telefonieren und sich nur dann zu treffen, wenn beide Lust haben.
Unterstellen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass einer auf den anderen Lust hat,
jeden Tag gleich ist und dass sich jeder von beiden nicht von der Lust oder Unlust des
anderen beeinflussen lässt. Franz möge im Mittel dreimal, Susi zweimal die Woche Lust
haben.
d)
Welcher Verteilung folgt die Zahl der einsamen Tage bis zum nächsten Treffen?
e)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich mindestens 3 Wochen nicht
sehen („das Trennungsrisiko“)?
f)
Angenommen, jeder lässt sich doch ein bisschen von der Lust des anderen
anstecken, so dass sich die tägliche Wahrscheinlichkeit eines Treffens verdoppelt.
Wie lauten dann die richtigen Antworten auf a), b) und e)?
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Folie I - 12 - 13
Aufgabe: Die Transistoren-Schachtel 1 / 2
In einer Schachtel befinden sich 8 Transistoren, von denen einer defekt ist.
a)
b)
Sie entnehmen 2 Transistoren zufällig mit Zurücklegen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter
i.
genau ein defekter Transistor befindet?
ii.
kein defekter Transistor befindet?
Sie entnehmen 2 Transistoren zufällig ohne Zurücklegen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter
i.
genau ein defekter Transistor befindet?
ii.
kein defekter Transistor befindet?
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Folie I - 12 - 14
Aufgabe: Die Transistoren-Schachtel 2 / 2
In einer Schachtel befinden sich 8 Transistoren, von denen einer defekt ist.
c)
Sie entnehmen jeweils einen Transistor zufällig, prüfen ihn und legen ihn
dann zurück. Es sei
X=k
falls bei der (k+1)-ten Entnahme zum ersten Mal ein
defekter Transistor entnommen wird. k ∈ {0,1,2,...}
i.
Bestimmen Sie E(X) und Var(X) !
ii.
Bestimmen Sie P( X ≤ 2 ) !
iii.
Bestimmen Sie P( X ≥ 2 ) !
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Folie I - 12 - 15
Beispielaufgabe zum stetigen Warten:
Schneller als die Feuerwehr...
Die Feuerwehr schickt bei jedem per Notruf gemeldeten Herzinfarkt einen
speziellen Notarztwagen (NAW). Aus der Vergangenheit ist bekannt, dass im
Schnitt 40 Herzinfarkte pro Tag gemeldet werden. Um planen zu können, wie
viele NAW sie brauchen, müssen von Ihnen als Berater noch einige Fragen
beantwortet werden.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, innerhalb der durchschnittlichen
Einsatzdauer von 20 Minuten einen zweiten Notruf zu bekommen?
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, innerhalb von einer Stunde mehr als
drei Einsätze fahren zu müssen?
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Folie I - 12 - 16
Lösung zur Beispielaufgabe zum stetigen Warten:
Schneller als die Feuerwehr...
Die Fragen der Feuerwehr lassen sich unter zwei Voraussetzungen leicht mit
Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung beantworten:
1.
Die Notrufe gehen unabhängig ein (keine gegenseitige Beeinflussung).
2.
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der nächsten Zeiteinheit ein Notruf
eingeht ist den ganzen Tag gleich, d. h. es gibt keine bevorzugte Tageszeit
bei Infarkten.
a)
Unter diesen Voraussetzungen folgt die Zufallsvariable
T = “Wartezeit bis zum nächsten Notruf in Stunden“
einer (negativen) Exponentialverteilung mit dem Parameter λ =
40 5
=
24 3
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Folie I - 12 - 17
Beispiele für Dichtefunktionen der
(negative) Exponentialverteilung
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Folie I - 12 - 18
Graphische Darstellung der Dichte einer
Geometrischen Verteilung
und einer (negativen) Exponentialverteilung
0,03
Geometrische Verteilung (p=1/37)
0,02
(negative) Exponentialverteilung (λ
λ=1/36)
0,01
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
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Folie I - 12 - 19
Die (negative) Exponentialverteilung
Ausgangssituation:
Sie beobachten einen "Poisson-Prozeß". Das impliziert, dass sich gleichartige
Punktereignisse nicht gegenseitig beeinflussen ("Unabhängigkeit") und ihre
Eintrittwahrscheinlichkeit zeitkonstant ist ("Gleichmäßiger Fluss").
Dann ist die ZV
X = "Wartezeit bis zum nächsten Ereignis"
(negativ) exponentialverteilt mit dem Parameter λ , wobei λ die erwartete
Ereignisanzahl pro Zeiteinheit ist. D. h. die ZV folgt der Verteilung NEV ( λ ) .
Mögliche Werte von X:
t ∈ +0
Erwartungswert von X:
E( X ) =
1
λ
Wie
groß ist die Varianz von Y?
Häufigkeitsfunktion:
f ( t ) = λ ⋅ e − λ ⋅t
F ( t ) = 1 − e − λ ⋅t
Wie großvon
ist X:
die Varianz von Y?
Varianz
Var ( X ) =
1
λ2
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Folie I - 12 - 20
Lösung zur Beispielaufgabe zum stetigen Warten:
Schneller als die Feuerwehr...(fortgesetzt)
Die Fragen der Feuerwehr lassen sich unter zwei Voraussetzungen leicht mit
Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung beantworten:
1.
Die Notrufe gehen unabhängig ein (keine gegenseitige Beeinflussung).
2.
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der nächsten Zeiteinheit ein Notruf
eingeht ist den ganzen Tag gleich, d. h. es gibt keine bevorzugte Tageszeit
bei Infarkten.
b)
Unter diesen Voraussetzungen folgt die Zufallsvariable
X = “Anzahl der Einsätze pro Stunde“
einer Poissonverteilung mit dem Parameter λ =
40 5
=
24 3
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Folie I - 12 - 21
Beispiele für Wahrscheinlichkeitsverteilungen der
Poisson-Verteilung
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Folie I - 12 - 22
Die Poisson-Verteilung
Ausgangssituation:
Sie beobachten einen "Poisson-Prozeß". Das impliziert, dass sich gleichartige
Punktereignisse nicht gegenseitig beeinflussen ("Unabhäbgigkeit") und ihre
Eintrittwahrscheinlichkeit zeitkonstant ist ("Gleichmäßiger Fluss").
Dann ist die ZV
X = "Anzahl der Ereignisse in einer Zeiteinheit (im Intervall T )"
poissonverteilt mit dem Parameter λ (λ ⋅ T ).
D. h. die ZV folgt der Verteilung PV ( λ ) bzw. PV ( λ ⋅ T ) .
Mögliche Werte von X:
k = 0,1, ...
Erwartungswert von X:
E( X ) = λ
Wie
groß ist und
die Varianz
von Y?
HäufigkeitsVerteilungsfunktion:
f (k ) =
λk
k!
⋅ e−λ
Wie
großvon
ist X:
die Varianz von Y?
Varianz
Var ( X ) = λ
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Folie I - 12 - 23
Lösung zur Beispielaufgabe zum stetigen Warten:
Schneller als die Feuerwehr...(fortgesetzt)
Die Zufallsvariable T folgt einer (negativen) Exponentialverteilung
5
40 5
5 − 3 ⋅t
− λ ⋅t
mit dem Parameter λ =
= und der Dichte f ( t ) = λ ⋅ e
= ⋅e .
24 3
3
Die Verteilungsfunktion lautet F ( x ) = 1 − e − λ ⋅ t = 1 − e
1 3
Der Erwartungswert lautet E ( X ) = = Stunden.
λ 5
a)
5
− ⋅t
3
.
Die Wahrscheinlichkeit, einen Notruf innerhalb von 20 Minuten (= 1/3
Stunden) zu bekommen, beträgt:
1
3

  1 
− λ ⋅t
− λ ⋅t
P  t ∈  0,   = ∫ λ ⋅ e dt =  − e  =  − e
  3  0

1
3
0
5
− ⋅t
3
1
3
5
−

9
 = − e + 1 = 0, 426
0
− ⋅
−
  1 
1
33
= 1 − e 9 = 0, 426
Bzw. P  t ∈  0,   = F   = 1 − e
 3
  3 
51
5
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 12
Folie I - 12 - 24
Lösung zur Beispielaufgabe zum stetigen Warten:
Schneller als die Feuerwehr...(fortgesetzt)
Die Zufallsvariable X folgt einer Poissonverteilung
k
 5
5
 3
−


=
⋅e 3
k!
40 5
λ k −λ
mit dem Parameter λ =
= und der Dichte f ( k ) =
⋅e
k!
24 3
x
λk
k =0
k!
Die Verteilungsfunktion lautet F ( x ) = ∑
Der Erwartungswert lautet E ( X ) = λ =
b)
⋅e
−λ
=e
−λ
x
λk
k =0
k!
⋅∑
.
5
Notrufe.
3
Die Wahrscheinlichkeit, mehr als drei Einsätze pro Stunde fahren zu müssen
beträgt:
P ( X > 3) = 1 − P ( X ≤ 3) = 1 − [ P ( X = 0) + P ( X = 1) + ... P ( X = 3)]
3
  5 0
 5 
5  
 3 
k
3
−
λ
3



= 1 − e−λ ⋅ ∑
= 1− e 3 ⋅ 
+ ... +  
 0!
3! 
k =0 k !




5
−
 5 25 125 
= 1 − e 3 ⋅ 1 + +
+
 = 0, 088
2
18
162


Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 12
Folie I - 12 - 25
Aufgabe: Im Wartezimmer 1 / 3
Ein mit Ihnen befreundeter Arzt behandelt im Schnitt 15 Patienten pro Stunde.
Als enger Freund werden Sie bevorzugt behandelt, kommen also immer als
nächster dran, wenn Sie die Praxis betreten.
a)
Welcher Verteilung folgt die Wartezeit (in Minuten)?
b)
Wie lange müssen Sie im Schnitt warten?
c)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie nicht mehr als 2 Minuten
warten müssen?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 12
Folie I - 12 - 26
Aufgabe: Im Wartezimmer 2 / 3
Ein mit Ihnen befreundeter Arzt behandelt im Schnitt 15 Patienten pro Stunde.
Als enger Freund werden Sie bevorzugt behandelt, kommen also immer als
nächster dran, wenn Sie die Praxis betreten.
d)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie 3 bis 5 Minuten warten
müssen?
e)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie 10 Minuten oder länger
warten müssen?
f)
Welche Wartezeit wird in 90% der Fälle nicht überschritten?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 12
Folie I - 12 - 27
Aufgabe: Im Wartezimmer 3 / 3
Ein mit Ihnen befreundeter Arzt behandelt im Schnitt 15 Patienten pro Stunde.
Als enger Freund werden Sie bevorzugt behandelt, kommen also immer als
nächster dran, wenn Sie die Praxis betreten.
g)
Wie ist die Verteilung der Anzahl der Patienten, die in einer Minute dran
kommen?
h)
Wie ist die Verteilung der Anzahl der Patienten, die in 4 Minuten dran
kommen?
i)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in 4 Minuten nicht mehr als ein
Patient dran kommt?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 12
Folie I - 12 - 28
Aufgabe: Über den Wolken 1 / 2
Auf einem internationalen Großflughafen landen auf mehreren parallelen
Landebahnen im Mittel 120 Flugzeuge pro Stunde. 10% der Flugzeuge
kommen im Mittel aus Deutschland. Unterstellen Sie, dass der Flugzeugfluss
gleichmäßig ist und die Flugbewegungen unabhängig sind.
Ein Besucher beginnt zu einem bestimmten Zeitpunkt mit der Beobachtung
des Luftverkehrs.
a)
Welcher Verteilung folgt die Wartezeit bis zum ersten Flugzeug?
b)
Welcher Verteilung folgt die Wartezeit bis zum ersten deutschen
Flugzeug?
c)
Welcher Verteilung folgt die Zahl der Flugzeuge in den ersten 10 Minuten?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 12
Folie I - 12 - 29
Aufgabe: Über den Wolken 2 / 2
Auf einem internationalen Großflughafen landen auf mehreren parallelen
Landebahnen im Mittel 120 Flugzeuge pro Stunde. 10% der Flugzeuge
kommen im Mittel aus Deutschland. Unterstellen Sie, dass der Flugzeugfluss
gleichmäßig ist und die Flugbewegungen unabhängig sind.
Ein Besucher beginnt zu einem bestimmten Zeitpunkt mit der Beobachtung
des Luftverkehrs.
d)
Welcher Verteilung folgt die Zahl der nicht-deutschen Flugzeuge bis zur
Landung des ersten deutschen Flugzeugs?
e)
Welcher Verteilung folgt die Anzahl der deutschen Flugzeuge unter den
ersten 20 Flugzeugen?
f)
Inwieweit sind die Voraussetzungen der Verteilungsmodelle realistische
Annahmen?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 12
Folie I - 12 - 30
Übersicht:
Spezielle Verteilungen 1 / 2
Gleichverteilung
GLV ( n), n ∈ Bernoulliverteilung (=Zweipunktverteilung)
Binomialverteilung
ZPV ( p ), p ∈ [ 0, 1]
BV ( n, p ), n ∈ , p ∈ [ 0, 1]
Hypergeometrische Verteilung
HV ( N , M , n), N , M , n ∈ Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 12
Folie I - 12 - 31
Übersicht:
Spezielle Verteilungen 2 / 2
Poissonverteilung
Geometrische Verteilung
Negative Exponentialverteilung
PV (λ ), λ > 0
GV ( p ), p ∈ [ 0, 1]
NEV ( λ ), λ > 0