Offenes Lernen Astronomie

Offenes Lernen Astronomie
Jänner 2014 Klasse 7D
In diesem Text findet ihr so fast alles, was ihr zum Offenen Lernen zum Thema Astronomie
braucht. In diesem Text findet ihr auch die Termine, die Deadlines, die Beurteilungskriterien,
was ich von euch verlange, aber auch Zusatzaufgaben, bzw. Zusatzstoff. Der Stoff ist linear
chronologisch geordnet und zu fast jedem Kapitel findet ihr Zusatzstoff. Wir werden auch oft
im Computerraum sein. Bewahrt diesen Text gut und legt einen Ordner, ein Portfolio oder
einen Schnellhefter an. Achtet auch gut auf eigene Interessen und wie ihr sie einbringen könnt.
Inhaltsverzeichnis
1 Voraussetzungen
2
2 Zeitplan
2
3 Beurteilungskriterien
3
4 Themen
3
5 Das Welt(-all-)bild in früheren Zeiten
4
6 Mathematisierung mit Kepler und Newton: Planetbahnen verstanden
6.1 Intermezzo: Zusatzstoff zu Kreisbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
7 Der Raum und seine Beschreibung
7
7.1 Zusatzstoff: der Schwarzschildradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
8 Das Sonnensystem
10
8.1 Die theoretische Temperatur und der Treibhauseffekt . . . . . . . . . . . . . . . . 11
9 Sterne
11
9.1 Zusatzstoff: Gase und Druck und Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
10 Distanzen und ihre Ermessung
13
10.1 Zusatzstoff: Rotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
11 Wie alt ist das Weltall?
15
12 Bonusthemen
16
13 Mathematisches und physikalisches Wissen
17
13.1 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13.2 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1
13.3 Direkte Proportionalität . . . . . . . . . .
13.4 Änderungsrate . . . . . . . . . . . . . . .
13.5 Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.6 Kommentare zu den Axiomen von Newton
13.7 Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . .
13.8 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . .
13.9 Hertzsprung–Russel–Diagramm . . . . . .
13.10Schwarzkörperstrahlung . . . . . . . . . .
13.11Temperatur und Kelvin . . . . . . . . . .
13.12Umrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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Voraussetzungen
Es gibt sieben Hauptthemen, zu jedem Hauptthema gibt es (mindestens) einen Hauptauftrag
und einige Fragen. Das ist der Kernstoff. Diesen Kernstoff muss jede Person machen. Nicht
gemacht impliziert eine negative Beurteilung. Du musst bei 90% der Stunden anwesend sein,
anderenfalls musst du etwas Zusätzliches nachholen.
Bei den Diskursrunden, wo wir zusammensitzen und Kenntnisse austauschen, beteiligst du dich
akitv. Eine aktive Beteiligung zählt als positive Teilleistung.
Du hast etwas wie ein Portfolio (Schnellbinder, Mappe, oder ähnliches) zu diesem Projekt.
Wenn du eine Stunde versäumst, bist du dafür verantwortlich, das Verpasste nachzuholen.
Du musst auch regelmäßig zu Hause im Internet recherchieren.
Du schreibst nach jeder zweiten Stunde kurz auf, was du gelernt hast. Also, irgendwo in deinem Portfolio finde ich ein ‘Logbuch’ mit deinen Fortschritten. Ohne Logbuch keine positive
Beurteilung.
Bei Problemen werde ich rechtzeitig über Email verständigt.
Du hast jede Stunde dein Material dabei.
Du lernst die wichtigen Begriffe und Zusammenhänge: du liest und lernst gemäß dem Zeitplan
den Text, der hier vor dir liegt – siehe auch Index.
2
Zeitplan
Dieser Zeitplan gibt an, womit du etwa wann beschäftigt sein solltest. Achtung: Am Ende ist
nicht viel Zeit für extra Sachen oder für das Nachholen!
• Woche 1 (06.01 bis 10.01): Geschichtliches.
• Woche 2 (13.01 bis 17.01): Mathematische Errungenschaften für die Beschreibung der
Planetenbahnen – Kepler und Newton.
• Woche 3 (20.01 bis 24.01): Der Raum in der ersten Stunde, unser Sonnensystem ab der
zweiten Stunde. In dieser Woche findet eine zwischenzeitliche Beurteilung anhand von
Zwischenleistungen und den bei den Voraussetzungen genannten Kriterien statt. Die ersten zwei Wochen musst du dann wirklich fertig haben.
• Woche 4 (27.01 bis 31.01): Sterne
• Woche 5 (03.02 bis 07.02): Ferien – ich empfehle, die Arbeit in den Ferien ein wenig
aufzuputzen, Bilder zu sammeln und schön einzubauen, Fehler zu korrigieren, usw.
2
• Wegen Ausfall wurde der Plan geändert:
• Woche 6 (24.02 bis 28.02): Distanzen und ihre Ermessungen. Wie alt ist das Weltall?
• Woche 7 (03.03 bis 07.03): Bonusfragen nach eigener Wahl. Dies ist Selbstrecherche!
• Woche 8 (10.03 bis 14.03): Ausarbeitung von letzten Sachen, Abgabetermin ist am 20.03
am Anfang der Stunde, dann wird auch dieses Projekt so weit besprochen im Sinne eines
Erfahrungsaustausches.
3
Beurteilungskriterien
Erst wenn folgende Bedingungen erfüllt sind, kann eine positive Beurteilung stattfinden:
1. 90% Anwesenheit, oder die fehlende Zeit wurde mittels Zusatzaufträge abgearbeitet
2. Ab Woche 1 ist ein Portfolio (Mappe) vorhanden und dieses Skriptum ist da drinnen
3. Logbuch ist vollständig
4. Alle Hauptaufträge und Hauptfragen wurden abgeschlossen
Sind sie nicht erfüllt, dann ist die Note ‘Nichtgenügend’. Wenn sie erfüllt sind, dann wird die
Note wie folgt bestimmt:
Sehr Gut: Alle Hauptaufträge wurden überdurchschnittlich gut abgeschlossen, alle Hauptfragen wurden überdurchschnittlich gut abgeschlossen, sodass nur kleine Fehler vorhanden sind.
Du hast zwei Bonusthemen gut ausgearbeitet. Du hast alle Zusatzfragen überwiegend richtig
und korrekt bearbeitet. Alle Leistungen sind Eigenleistungen. Du hast selbstständig gearbeitet.
Alle Quellen wurden korrekt angegeben. Das Portfolio ist ordentlich und eine Augenweide. Du
kannst klar zwischen Hauptsachen und Nebensachen unterscheiden.
Gut: Alle Hauptaufträge wurden überdurchschnittlich gut abgeschlossen, alle Hauptfragen
wurden überdurchschnittlich gut abgeschlossen, sodass nur kleine Fehler vorhanden sind. Du
hast ein Bonusthema gut ausgearbeitet. Du hast die Mehrheit der Zusatzfragen überwiegend
richtig und korrekt bearbeitet. Alle Leistungen sind Eigenleistungen. Du hast überwiegend
selbstständig gearbeitet. Alle Quellen wurden korrekt angegeben. Das Portfolio ist schön und
ordentlich. Du kannst zwischen Hauptsachen und Nebensachen unterscheiden.
Befriedigend: Alle Hauptaufträge wurden überwiegend gut abgeschlossen, alle Hauptfragen
wurden überwiegend gut abgeschlossen, sodass vielleicht einige Fehler vorhanden sind, aber
mehrheitlich ist es richtig. Du hast ein Bonusthema gut ausgearbeitet. Du hast ein Drittel der
Zusatzfragen überwiegend richtig und korrekt bearbeitet. Alle Leistungen sind Eigenleistungen.
Die Quellen wurden korrekt angegeben. Das Portfolio ist schön und ordentlich. Du weißt, was
die Hauptbegriffe sind und wie sie zusammenhängen.
Genügend: Alle Hauptaufträge wurden mehrheitlich gut abgeschlossen, alle Hauptfragen wurden mehrheitlich gut abgeschlossen. Mehrheitlich ist der Inhalt korrekt. Du hast ein Bonusthema
gut ausgearbeitet. Alle Leistungen sind Eigenleistungen. Das Portfolio ist ordentlich und lesbar.
Du kennst die Hauptbegriffe.
Nicht genügend: Die oben genannten Bedingungen sind nicht erfüllt, oder die bei den anderen
Beurteilungen genannten Kriterien wurden nicht oder nicht zur Gänze erfüllt.
4
Themen
• Das Welt(-all-)bild in der Antike bzw. im Mittelalter. Du lernst kennen, wie man vor
vielen Jahren über das Weltall nachdachte. Du wählst dabei aus, ob du etwas mehr über
3
das Weltbild der Griechen, der Ägypter, der Babylonier oder der europäischen mittelalterlichen Gesellschaft wissen willst.
• Kepler’sche Gesetze und die Revolution von Newton. Du lernst kennen, was eine Mathematisierung während der wissenschaftlichen Revolution bewirkt hat, und welche Sätze
man gefunden hat. Du kennst die Axiome und Gesetze von Newton und von Kepler.
• Der Raum und seine Beschreibung. Du lernst über Raum und Zeit nachdenken. Wie
denken wir über Raum? Wie dachte Newton über Raum, welche Gedanken hatte Einstein
und was lernen wir in der Schule?
• Unser Sonnensystem. Du kennst die Zutaten unseren Sonnensystems. Die kennst die wichtigen Begriffe. Du kennst die mathematische Beschreibung, du kennst die physikalischen
Eigenschaften der Planeten.
• Sterne. Du weißt, was ein Stern ist, warum sie leuchten, und du kennst die Gesetzmäßigkeiten,
die Helligkeit und Temperatur beschreiben. Du kennst dich mit der benötigten Kernphysik
aus.
• Distanzen und ihre Ermessungen. Du kennst die Idee des Parallax, die Messung der Lichtgeschwindigkeit von Römer, die Distanzmessung mit Cepheiden.
• Wie alt ist das Weltall? Hier lernst du etwas über die Urknalltheorie, was die Hintergrundstrahlung ist und was die Inflationstheorie besagt. Auch lernst du etwas über Galaxien,
ihr Alter, ihre Entstehung kennen.
• (Bonus) Neue Theorien: Inflationstheorie, Superstringtheorie, MSSM, schwarze Löcher,
Supersymmetrie, Higgsteilchen, Dunkle Materie, Dunkle Energie, Allgemeine Relativitätstheorie
• (Bonus) Weltreisen: was ist der Stand jetzt? welche Gefahren gibt es? warum? welche
Probleme?
• (Bonus) Extraterrestrisches Leben: Was ist Leben? Das Seti-Projekt. Lebbare Regionen,
was ist notwendig damit Leben, so wie wir das kennen, stattfinden kann? Abschätzungen
über die Anzahl der außerirdischen Gesellschaften.
5
Das Welt(-all-)bild in früheren Zeiten
Wie wir über die Welt, das Leben und den Tod denken kommt nicht einfach aus dem Nichts.
Kulturen aus früheren Zeiten bestimmen die Entwicklung von unserem Denken. Um ein Thema
gut zu verstehen, muss man auch die Wurzeln unserer Gedanken ein wenig verstehen. Beim
Thema Astronomie gibt es genügend Anweisungen, wie andere Kulturen über unser Weltall
gedacht haben. Natürlich ist das damalige Weltbild von Göttern, Zufall und Macht geprägt
worden.
In der ägyptischen Gesellschaft war es notwendig, zu bestimmen, wann der Nil überschwemmen
würde. Daher haben die alten Ägypter bestimmt, wann das war. Sie haben herausgefunden,
dass der Nil in kurzer Zeit überschwimmt, wenn der Stern Sirius das erste Mal nach längerer
Zeit vor Sonnenaufgang am Himmel im Osten sichtbar wird. Bevor Sirius sichtbar wird, wird sie
nämlich von der Sonne überstrahlt und ist also unsichtbar. Wird sie aber das erste Mal wieder
sichtbar, dauert es nicht lange, bevor der Nil überschwimmt. Auf Basis der Regelmäßigkeiten
in den Bahnen von Sirius, Sonne und Mond am Himmel erstellten sie einen Kalender.
Die Babylonier wohnten im Zweiströmenland von Eufrat und Tigris. Fruchtbarkeit des Landes
war hier ein wichtiges Thema. Wahrscheinlich haben die Babylonier deswegen angefangen den
Himmel zu erforschen und Regelmäßigkeiten aufzuspüren. Dass ein voller Winkel 360 Grad ist,
stammt von den alten Babyloniern; sie verwendeten ein Zahlensystem mit Basis 6 und 10, das
4
heißt, sie stellten jede Zahl mit einer Anzahl an Sechsern, Zehnern, Sechzigern, Hundertern,
usw dar. Und sechs mal sechzig ist 360.
Die alten Griechen haben angefangen, eine rationale Erklärung für die Phänomene im Alltag
zu finden. Sie konnten sich nicht damit abfinden, dass die Ursache immer ein Gott sein musste.
Du siehst das in deinen Schulbüchern zurück; wo vor den Griechen Physik und Mathematik
eher noch ein religiöses Thema war, wurden Astronomie, Physik und Mathematik später bei
den Griechen zu Wissenschaften, wo jedes Phänomen eine natürliche rationale Erklärung haben
sollte, und in deinen Schulbüchern findest du viele Begriffe, die auf die Griechen zurückzuführen
sind. Zum Beispiel: Satz von Thales, Ellipse, Parabel, Geometrie, Geographie (-graphie von
γραϕιν ‘Graphein’ (be-)schreiben), Trigonometrie, Biologie (βιoς ‘Bios’ Leben, λoγoς ‘Logos’,
Wort, Wissenschaft) und so weiter. Die Griechen haben die Schrift von den Phoeniziern (etwa
aus Libanon) übernommen, aber sie haben eine geschickte Erfindunge dazu gemacht: sie haben
die Vokalen auch dazu geschrieben. Vor diesem Ereignis war das Schreiben und Lesen also
äußerst schwierig, darum haben die Griechen vielleicht mit der Schrift den Weg zu Wissenschaft
geöffnet.
Doch hatten die Griechen noch eine recht einfache Vorstellung der Welt. Einige dachten, die
Welt sei flach, andere dachten, die Welt ist eine Kugel. Die Sterne waren kleine (!) Punkte
am Himmel, die ein bisschen Licht ausstrahlten. Planeten waren herumwandernde Sterne; das
altgriechische Wort αστ ηρ πλανητ ης ‘aster planätäs’ bedeutete Wanderstern oder Irrstern. Das
rührt daher, dass die Bahn, die ein Planet am Himmel beschreibt, ein völlig andere ist, als die
der Sonne oder des Mondes. Am besten scheint eine Planetbahn am Himmel (also für uns auf
Erde) ein Epizykel zu sein; das ist die Bahn vom Kreis in einem Kreis. Du kannst dir das wie
folgt vorstellen; male einen Punkt auf einem Autoreifen, nicht ganz am Rande des Reifens, wenn
jetzt das Auto (langsam) fährt, macht dieser Punkt einen Epizykel. Hier im Bild siehst du in
Kurzfassung einige Erklärung:
Hauptauftrag 1. Wähle eine alte Kultur aus (Griechen, Babylonier, Ägypter oder Europa
im Mittelalter) und recherchiere im Internet. Beantworte folgende Frage: Wie stellte sich diese
Kultur die Konstellation Erde–Sonne–Sterne–Mond vor? Deine Beschreibung soll etwa zehn
Sätze haben und eine oder mehrere Skizzen. Gib auch die Quellen an!
Hauptfrage 1. Vergleiche den Schatten einer Glühbirne oder einer Taschenlampe mit dem
Schatten der Sonne. Benutze dann auch den Begriff ‘Halbschatten’ um zu erklären, dass auch
die antiken Gesellschaften schon wissen konnten, dass die Sonne sehr weit weg stehen muss.
Falls du nicht weißt was gemeint ist: nehme eine Lichtquelle von 1cm Durchmesser, die auf
20cm einer Wand steht, bestimme die Breite des Halbschattens auf der Wand, wenn ein Objekt
von 1cm Durchmesser auf 3cm, 7cm, 11cm oder 15cm von der Lichtquelle steht.
Hauptfrage 2. Warum haben sich so viele alte Kulturen (denke auch an Stonehenge) mit
5
Sternen beschäftigt? Gib eine plausibele Erklärung in etwa fünf Zeilen.
Zusatzaufgabe 1. Die Sonne bewegt sich am Himmel durch die Sterne. Jetzt können wir die
Sterne nicht in der Nähe der Sonne sehen, da sie überstrahlt werden. Weil wir um die Sonne
drehen, dann können wir zurückrechnen: Wenn in Jänner die Sonne im Sternenbild Wasserman
steht, heißt das, dass ein halbes Jahr später das Sternenbild Wasserman um Mitternacht genau
dort steht, wo am Mittag die Sonne in Jänner steht. Erläutere diese Erklärung mit einer Skizze
mit der Erdbahn, der Sonne und einem (fiktiven) Stern. Berechne weiters, um wie viel Grad
sich die Sonne jeden Tag durch den Tiereszeichenkreis nach hinten bewegt. Hinweis: Ekliptik,
Sternenbild, Tiereszeichenkreis, ein Jahr hat 365 Tage, ein voller Winkel ist 360 Grad.
6
Mathematisierung mit Kepler und Newton: Planetbahnen verstanden
Kepler hatte die Möglichkeit, viele Observationsdaten zu vergleichen und zu analysieren. Nach
vielen Jahren analysieren kam er zum Schluß:
1. Die Planetbahnen sind Ellipsen und die Sonne steht in einem Brennpunkt .
2. Der Quotient a3 /T 2 ist gleich für alle Planeten, hier ist a die große Achse der Ellipsbahn
und T ist die Umlaufzeit. Wenn die Planetbahn ein Kreis ist, können wir a durch den
Radius r ersetzen.
3. Der Strahl Planet–Sonne überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten.
In der Stunde werde ich den Inhalt dieser Gesetze von Kepler erklären.
Hauptauftrag 2. Mache eine schöne Ausarbeitung zu den Gesetzen von Kepler. Verdeutliche
jedes Gesetz mit Skizzen und einigen Zeilen an Erklärung.
Jetzt folgt eine mathematische Erklärung zum 2. Kepler’schen Gesetz. Dazu brauchen wir das
Gravitationsgesetz von Newton, welches wir nur richtig anwenden können, wenn wir die Axiome
(Grundgesetze) von Newton zu Kräften wissen:
1. Masse ist träge; jede Masse widersetzt sich einer Bewegungsänderung. In anderen Worten,
eine Geschwindigkeit bleibt konstant in Größe und Richtung, wenn keine Kraft wirkt.
Umgekehrt, ist eine Geschwindigkeit nicht konstant, sei dies in Größe oder Richtung,
dann muss eine Kraft wirken!
2. Wenn die Beschleunigung a die Änderungsrate der Geschwindigkeit ist, die eine Kraft
hervorruft, und m die Masse des beschleunigten Objekts ist, dann ist die wirkende Kraft
F = ma.
3. Kräfte wirken immer in Paaren; beide Kräfte sind gleich groß, aber sie wirken auf unterschiedliche Körper und weisen in entgegengesetzten Richtungen.
Im Anhang findest du einige Kommentare zu den Axiomen von Newton. Ich empfehle euch,
diesen Stoff aufzufrischen und die Kommentare zu lesen.
Wir nehmen an, die Planeten bewegen sich nicht auf Ellipsbahnen, sondern auf Kreisbahnen.
Die Planeten führen tatsächlich fast eine Kreisbewegung aus; nur bei Pluto ist diese Annahme
wirklich großartig falsch. Bei einer Kreisbewegung muss eine Kraft wirken, weil sich sonst das
sich drehende Objekt längst einer Geraden weiter bewegen würde. Diese Kraft ist die Zentripetalkraft. Eine mathematische Analyse (siehe hier unten) zeigt, dass die Zentripetalkraft durch
2
F = mv
r , wobei m die Masse, v die Geschwindigkeit und r der Radius des Kreises sind.
6
6.1
Intermezzo: Zusatzstoff zu Kreisbewegungen
Bei einer Kreisbewegung dürfen wir annehmen, dass sie in einer Ebene stattfindet. Wir dürfen
dann Koordinaten x und y annehmen. Sei der Mittelpunkt des Kreises der Ursprung. Wenn
2πr
T die Umlaufzeit ist, dann ist die Geschwindigkeit v = U
T = T . Andererseits dürfen wir
2πt
2πt
annehmen, dass x = r cos( T ) und y = r sin( T ) – dies folgt aus der Überlegung, dass das
Argument 2π sein muss, wenn t = T . Wenn wir nach der Zeit differentieren, finden wir vx =
2πt
0
2
2
2
x0 (t) = −v sin( 2πt
T ) und vy = y (t) = v cos( T ). Tatsächlich gilt dann vx +vy = v . Noch einmal
2πv
2πt
2πv
00
00
differentieren ergibt dann ax = x (t) = − T cos( T ) und ay = y (t) = − T sin( 2πt
T ). Mit
q
Pythagoras findet man dann einen Ausdruck a = a2x + a2y , die die Zentripetalkraft gibt.
Zusatzaufgabe 2. Führe obige Berechnungen durch und zeige, dass bei der Kreisbewegung
2
2
a = vr , und schließe, dass mv
die Zentripetalkraft ist.
r
Ende des Intermezzos
Das Gravitationsgesetz von Newton besagt: Die Kraft, die zwei Massen m1 und m2 auf einander
ausüben ist F = Gmr12m2 , bei dem G = 6, 67·10−11 N ·m2 ·kg −2 eine Konstante und r die Distanz
zwischen den zwei Objekten ist.
Jetzt können wir das zweite Gesetz von Kepler herleiten. Ich skizziere hier unten die Schritte.
Seien dabei m Masse eines Planeten, M die Masse der Sonne, r die Distanz zur Sonne, T die
Umlaufzeit.
Schritt 1: Die Zentripetalkraft ist die Gravitationskraft, denn die Gravitationskraft hält den
2
2
Planeten in der Bahn. Also: GmM
= mv
r2
r . Durch m dividieren und mit r multiplizieren ergibt:
GM = v 2 r.
Schritt 2: Der Umfang ist 2πr, also ist die Geschwindigkeit weg/zeit = U/T = 2πr
T , also
2
2 r2
v = 4π T 2 .
3
Schritt 3: Das Ergebnis von Schritt 2 benutzt man für das Ergebnis von Schritt 1: GM = 4π 2 Tr 2 ,
3
und dann dividieren wir durch 4π 2 und bekommen Tr 2 = GM
4π 2 .
3
Schritt 4: Wir interpretieren das Ergebnis von Schritt 3. Die linke Seite von Tr 2 = GM
4π 2 enthält
Information vom Planeten, nämlich die Distanz zur Sonne und die Umlaufzeit. Die rechte Seite
enthält KEINE Information vom Planeten. Das heißt: Die rechte Seite ist für alle Planeten
in unserem Sonnensystem gleich! Aber dann muss der Quotient r3 : T 3 für alle Planeten in
unserem Sonnensystem gleich sein.
Hauptfrage 3. Die Umlaufzeit der Erde beträgt bekanntlicherweise ein Jahr. Neptun steht
dreißig mal so weit von der Sonne entfernt als die Erde. Berechne mit dem zweiten Gesetz von
Kepler, wie lange ein neptunisches Jahr dauert (also, berechne die Umlaufzeit von Neptun in
Erdjahren). Kontrolliere deine Antwort mit einer Wikipediarescherche (siehe: Umlaufzeit).
Hauptfrage 4. Schreibe die Herleitung vom zweiten Kepler’schen Gesetz schön in deinem
Portfolio. Schreibe bei jeder Umformung dazu, welche Umformung du machst.
Zusatzaufgabe 3. Das Perihelium ist der Punkt einer Planetenbahn, in dem der Planet der
Sonne am nähesten steht. Das Aphelium ist der Punkt einer Planetenbahn, in dem der Planet
der Sonne am weitesten entfernt ist. Mache eine Skizze und erläutere mit einigen Vollsätzen,
wie die Brennpunkte der Ellipsbahn mit dem Aphelium und Perihelium zusammenhängen, und
zeige mit dem dritten Gesetz von Kepler, dass ein Planet sich im Aphelium am langsamsten,
sich im Perihelium am schnellsten bewegt. Hinweis: mache kleine ‘Kreissektoren’ und vergleiche
die Flächeninhalte.
7
Der Raum und seine Beschreibung
Der Raum um uns ist immer da. Wir wissen nicht, was es heißt, wenn es keinen Raum gäbe. Das
sieht man schon, wenn man mal an die Schwierigkeiten denkt, sich ein Vakuum vorzustellen.
7
Und in einem Vakuum ist bloß keine Materie, also ist bloß kein einziges Atom vorhanden. Aber,
was ist mit dem Raum? Gibt es etwas ohne Raum? Oder, gibt es Zeitlosigkeit?
Hauptfrage 5. Beschreibe in eigenen Worten (etwa 5 Zeilen), was laut dir Raum ist. Warum
denkst du, dass der Raum so ist? Welche Ideen kannst du auf Alltagserfahrungen zurückführen?
In diesem Beitrag werde ich nicht schreiben, was Raum ist. Die Frage ist noch nicht ganz geklärt.
Es gibt aber einige recht gute Beschreibungen.
Der Franzose René Descartes (nicht à la Carte; 1596-1650) dachte sich einen schönen Trick
aus, um Geometrie in Algebra umzuwandern: Er führte Koordinaten ein. Denke mal an den
Begriff “Kartesische Koordinaten”, das sind Koordinaten, die man bekommt, wenn man ein
Achsensystem senkrecht auf einander stehender Achsen benutzt. Das Wort Kartesisch stammt
von ‘Descartes’.
Die Ideen Isaac Newton (1643-1727) über Raum kann man anhand Koordinaten erklären. Die
Idee kann einigermaßen so wiedergegeben werden: Der Raum ist der Hintergrund, wie ein Netz,
das mit Koordinatenlinien beschrieben werden kann, in dem sich die Materie und ihre Bewegungen befinden. Der Raum ist bei Newton also ein immer anwesendes Gespenst ohne selbst
Eigenschaften zu haben; der Raum ist identitätslos und ist nur sinnvoll im Sinne, dass wir frei
durch den Raum bewegen können. Zusätzlich bietet der Raum die Möglichkeit, eine Ausdehnung
zu haben, ein Volumen zu haben.
Für Newton ist das Weltall automatisch unendlich und grenzenlos. Auch wenn es irgendwo keine
Materie gibt, wird es wohl Raum geben, denn man könnte die Materie zu diesem materiefreien
Platz schicken, und dann ist auch dort Materie. Raum ist der Tanzplatz für den Ball der Materie.
Nicht mehr, nicht weniger.
Bei Newton ist das Weltall also unendlich groß. Laut ihm laufen Koordinatenlinien (also, Linien, die parallel zu einer der Koordinatenachsen sind) in rechten Winkeln zu einander. Die
Idee der Koordinaten ist ein Supertrick, nur hat sie auch behindert, dass wir uns einen Raum
vorstellen können, der zwar grenzenlos ist, aber doch endlich. Nehmen wir einen Kreis, der Kreis
hat keinen Rand, denn man kann unendlich über den Kreis gehen, ohne dass man irgendwann
umdrehen muss, doch ist er endlich. Dasselbe gilt für eine Kugel(-fläche); sie hat einen endlichen
Flächeninhalt, doch ist ohne Rand. Grenzenlos und doch endlich. Aber, und da ist der Hacken;
auf einer Kugel gibt es keine parallele ‘Linien’: wenn zwei Flugzeuge am Äquator aufsteigen und
bei (anfangs) parallel in den Norden fliegen, dann treffen sie sich am Nordpol. Koordinatenachsen kann man nicht auf der ganzen Kugel zeichnen. Was auf einer Kugel ‘geradeaus’ bedeutet,
ist nicht eine einfache Frage. Denn die Kugel ist gekrümmt!
Bei Albert Einstein ändert sich das Raumbild völlig! Der Raum nimmt einen aktiven Platz ein.
Schon der Österreicher Ernst Mach (nach ihm ist die Geschwindigkeitseinheit ‘Mach’ benannt
– 1 Mach entspricht der Schallgeschwindigkeit) philosophierte über Raum ohne Materie. Mit
Einstein wird der Raum ein aktiver Mitspieler: (1) Der Raum ist dehnbar und beugsam, (2)
Der Raum beeinflusst die Bewegung der Materie, (3) Materie und Energie bedingen die ‘Form’,
sozusagen die ‘Krümmung’ der Materie. Die allgemeine Relativitätstheorie von Einstein ist ein
Kunststück moderner theoretischer Physik und ist zwar schwierig exakt zu beschreiben, aber es
gibt Konsequenzen, die interessant und teilweise gut vorstellbar sind, und von denen ich einige
kurz wiedergebe:
(ART1.1) Licht bewegt sich in der Nähe eines massiven Objektes längst einer gekrümmten
Bahn. Dieser Effekt sorgt dafür, dass wir einige Sterne sehen können, die eigentlich für uns von
der Sonne abgedeckt werden. Siehe Bild hier unten.
8
(ART1.2) Wenn Licht von einer ganz weit weg entfernten Galaxie (X) zu uns kommt, dann
kann das Licht durch eine andere massive Galaxie (Y) umgebeugt werden. Auf deise Weise
sehen wir von der entfernten Galaxie (X) eine verzerrte und vielleicht vervielfachte Abbildung.
Die Galaxie (Y) funktioniert sozusagen wie eine gravitationelle Linse. Siehe Bilder hier unten:
(ART 2) Es gibt die Möglichkeit, dass ein massives Objekt kollabiert, sich in einen sehr kompakten Raum zusammenzieht, sodass ein Objekt entsteht, von dem das Licht nicht mehr entfliehen
kann. Das nennt man dann ein schwarzes Loch; schwarz weil es also kein Licht ausstrahlen kann
– Loch weil alles, das hineinfällt, nicht mehr heraus kommt. Schwarze Löcher wahrnehmen ist
also recht kompliziert, aber es geht!
Hauptauftrag 3. Lerne den Text hier oben und recherchiere im Internet und finde mindestens
drei Unterschiede in der Betrachtung des Raums zwischen Newton und Einstein.
9
Hauptfrage 6. Recherchefrage: Wie kann man ein schwarzes Loch wahrnehmen?
7.1
Zusatzstoff: der Schwarzschildradius
Wenn die Materie sich in einem kompakten Raum befindet, dann wird diese Materie potentiell zu
einem schwarzen Loch. Aber, wie kompakt muss das dann sein? Das kannst du jetzt lernen. Die
hier gegeben Erkärung ist sicher keine rigoröse Abhandlung, aber macht ein exaktes Ergebnis
der Allgemeinen Relativitätstheorie sehr plausibel.
Sei M die Masse eines (kompakten) Sterns. Wir stellen uns ihn vor, als wäre er nur so groß
wie ein Punkt. Auf welcher Distanz wird dann die Schwerkraft so stark, dass sogar Licht nicht
entgehen kann? Wir brauchen eine Zutat aus der Integralrechnung: Die potentielle Energie,
m
=
die ein Objekt mit Masse m auf Distanz R von einem Objekt M hat ist Ugrav = − GM
R
R R GM m
dr = Kraf t × W eg.
∞ r2
Die Bewegungsenergie eines Objekts ist 12 mv 2 . Da aber nichts schneller als das Licht gehen
kann, ist die maximale kinetische Energie eines Objekts also Umax = 12 mc2 , wobei c die Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) ist.
Nun, wenn Umax > |Ugrav |, dann kann unser Objekt (sei es ein Raumschiff) sich noch vom Stern
entfernen, wenn es sich aber schnell genug bewegt. Wenn Umax < |Ugrav | dann reicht sogar die
Lichtgeschwindigkeit nicht mehr und unser Objekt (das Raumschiff zB) stürzt mit Sicherheit
auf den kompakten Stern. Der Grenzfall ist also Umax = |Ugrav |. Dieser Grenzfall können wir
ausrechnen:
1
GM m
= mc2
R
2
=⇒
R=
2GM
.
c2
Dieser Radius R = 2GM
c2 heißt der Schwarzschildradius. Innerhalb des Schwarzschildradius kann
man dem kompakten Stern nicht mehr entfliehen. Aber Achtung! Dieser Radius ist unabhängig
von der Masse des Objekts, das wegfliehen möchte (unser Raumschiff!!!). Dieser Schwarzschildradius hängt nur von der Masse des Sternes ab! Sie gilt also für alle Objekte, ob mit Masse ob
ohne Masse! Man schließt also daraus, dass wenn das Licht innerhalb des Schwarzschildradius
ist, es nicht mehr wegkommen kann.
Nur, ein großes Aber ist dabei zu beachten: Der Schwarzschildradius muss natürlich so liegen,
dass der kompakte Stern völlig drinnen liegt. Das heißt, alle Masse M muss innerhalb des
Schwarzschildradius R liegen, sonst gilt die Herleitung nicht, und ist der kompakte Stern auch
kein schwarzes Loch. Jetzt können wir ausrechnen, wie klein die Erde sein muss, damit sie ein
schwarzes Loch wird: M = 6·1024 kg, also R = 2GM/c2 = 8, 89·10−3 m, also etwa 9 Millimeter.
Damit kann man dann auch die Dichte ausrechnen, denn eine Kugel mit Radius r mm hat ein
3
Volumen von 4π
3 r .
Zusatzaufgabe 4. Zeige, dass die Dichte der Erde größer als etwa 1024 kg/cm3 sein muss,
damit sie ein schwarzes Loch wäre.
Zusatzaufgabe 5. Berechne den Schwarzschildradius der Sonne und berechne die theoretisch
notwendige Dichte der Sonne, damit sie ein schwarzes Loch wird. Vergleiche diese Dichte mit der
Dichte von Wasser (103 kg/m3 ) und Eisen (7874kg/m3 ). Eckdaten der Sonne: Radius 7·105 km,
Masse 2 · 1030 kg.
8
Das Sonnensystem
Hauptauftrag 4. Mache eine Tabelle mit den Planetennamen, mit ihrer Masse, ihrem Durchmesser, mit ihrer Distanz zur Sonne (oder Hälfte der langen Achse), Anzahl der Satelliten
(Monde), mit ihrer Umlaufzeit und berechne jeweils den Ratio a3 /T 2 .
Der Stern Sirius ist der hellste Stern am Himmel. Alles was heller ist, ist entweder ein Flugzeug
oder Auto oder Ähnliches, oder ist ein Planet. Auf diese Weise sind Jupiter, Saturn und die
10
Venus leicht erkennbar. Für den Rest braucht man oft ein Fernrohr, oder Teleskopen. Mit einem
trainierten Auge kann man Mars aber auch recht gut wahrnehmen.
Ob Pluto ein Planet ist, oder nicht, darüber kann man diskutieren. Auf jeden Fall ist Pluto ein
Teil unseren Sonnensystems.
Die Planeten sind der Reihe nach: Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn, Uran und
Neptun. Es gibt aber noch mehr Zutaten:
(Extra 1) Asteroiden sind große Stein- und Eisklötze. Man kann Pluto als Asteroide betrachten.
Größere Asteroiden nennt man auch wohl Planetoiden. Vor allem zwischen der Bahn von Mars
und Jupiter gibt es einige Wolken von Asteroiden. An einigen Stellen sind die Wolken so groß,
dass die äußersten (und daher auch relativ kleinen) Klötze die Erdbahn kreuzen. Wenn die Erde
durch diese Wolken fliegt, sehen wir das in der Form von Sternschnuppen; daher jedes Jahr in
August eine größere Intensität an Sternschnuppen.
(Extra 2) Kometen sind auch große Eisklötze mit Stein drinnen. Sie haben meistens sehr elliptische Bahnen. Darum kommen sie auch nur selten in die Nähe der Sonne.
(Extra 3) Staub. Im Weltall fliegt unglaublich viel Staub herum. Dies besteht oft aus Eis,
manchmal kommen auch gesteinartige Verbindungen und Atome vor wie Silizium.
8.1
Die theoretische Temperatur und der Treibhauseffekt
Erinnert euch an die Gesetze P = AσT 4 und dass die Fläche einer Kugel direkt zum Quadrat des
Radius proportional ist. (Siehe auch nächstes Kapitel.) Die Sonne strahlt viel Wärme aus und die
Leistung beträgt P = 3, 9 · 1026 Watt. Die Distanz Erde–Sonne beträgt 149,6 Million Kilometer.
Damit können wir eine theoretische Temperatur für die Erde ausrechnen. Denn, die Strahlung
der Sonne erwärmt die Erde, damit strahlt die Erde dann wieder die Schwarzkörperstrahlung
aus. Ein Gleichgewicht entsteht, wenn die Erde gleich viel ausstrahlt wie absorbiert.
Die Strahlung der Sonne hat sich, bis sie uns erreicht hat, auf eine Kugel mit Radius R =
149, 6 Kilometer ausgedehnt. Darum ist die Strahlungsleistung der Sonne auf Erde P/A =
3,9·1026
4π(149,6·109 )2 = 1387 Watt pro Quadratmeter. Wenn R der Radius der Erde ist, bekommen wir
also πR2 · 1387 Watt von der Sonne, denn πR2 ist die Querfläche von der Erde. Die Erde ist eine
Kugel und hat eine Fläche von 4πR2 über welche sie diese Wärme wieder ausstrahlen kann.
Ein Gleichgewicht tut sich vor bei Temperatur T , wenn Strahlung-Heraus = Strahlung-Hinein,
also wenn 4πR2 σT 4 = πR2 · 1387, was wir vereinfachen bis T 4 = 1387
4σ , was T = 279 Kelvin.
Das sind also 6 Grad Celsius. Dieser Wert muss aber korrigiert werden, denn es gibt auch noch
Reflexion; viel Sonnenlicht wird wegreflektiert statt absorbiert.
Wenn wir annehmen, dass etwa 30% vom Sonnenlicht reflektiert wird, müssen wir in die
Berechnung nur 70% der Sonnenstrahlung mitnehmen. Also dann müssen wir 1387 durch
0, 7 · 1387 = 970, 9 ersetzen. Dann finden wir 256 Kelvin, also eine Temperatur von Minus
17 Grad Celsius. Der natürliche (!) Treibhauseffekt ist für eine höhere (durchschnittliche) Temperatur von 15 Grad Celsius zuständig.
Zusatzaufgabe 6. Nimm an, dass Mars etwa 20 Prozent der einfallenden Strahlung wegreflektiert. Berechne die theoretische Durchschnittstemperatur auf Mars und vergleiche mit dem
Durchschnittswert von Minus 55 Grad Celsius. Gibt es auf Mars auch einen natürlichen Treibhauseffekt?
9
Sterne
Die Materie im Weltall besteht größtenteils aus Wasserstoff. Wenn eine große Wolke Wasserstoff
sich unter Einfluß der Schwerkraft zusammenzieht, können Druck und Temperatur so zunehmen, dass die Umstände sogar für Kernfusion geeignet sind. Durch die Wärme wird dann eine
Gegenkraft aufgebaut; die Materie wird dann nach außen ‘gestrahlt’ sozusagen. Wenn dieser
11
Strahlungsdruck und der Druck von der Schwerkraft in Gleichgewicht sind, ist ein stabiler Stern
entstanden. Im Kern findet dann Kernfusion statt: Wasserstoff wird in mehreren Schritten in
Helium umgewandelt. Die genaue Reaktionen sind recht kompliziert, aber schematisch passiert
folgendes: 4p → 42 He + 2e+ + 2ν + Energie. Hierbei steht p für Proton, ν ist ein Neutrino, e+
ist ein Positron (genau so wie ein Elektron, nur dann positiv geladen).
Hauptauftrag 5. Erkläre kurz die Notation 42 He, finde Masse und Ladung von Proton, Neutrino, Positron und von einem Helium-4-Kern.
Laut Einstein sind Masse und Energie in gewissem Sinne äquivalent: Masse und Energie kann
man gegen einander austauschen. Die zu einer Masse m äquivalente Energie beträgt E = mc2 .
Hauptfrage 7. Mit den gefundenen Masse beim Hauptauftrag wirst du sehen, dass die linke
Seite von 4p → 42 He+2e+ +2ν mehr Masse hat als die rechte Seite. Die Masse die verschwunden
ist, ist genau die Energie die freigekommen ist. Berechne dann die freigekommene Energie.
Eine kurze Erinnerung: Die Strahlung eines ‘schwarzen’ Körpers wird beschrieben durch das
Strahlungsgesetz von Planck. Die meiste ausgestrahlte Wellenlänge eines schwarzen Körpers ist
durch das Gesetz von Wien λmax = b/T mit b = 0, 003Km gegeben. Die ausgestrahlte Leistung
ist P = AσT 4 , wobei A der Flächeninhalt (bei einem Stern A = 4πr2 mit r der Radius) und σ
die Konstante von Stefan–Boltzmann ist (numerischer Wert σ = 5, 67 · 10−8 W K −4 m−2 .
Wenn man weiß, wie weit weg ein Stern steht, kann man aus der absoluten Helligkeit (= Leuchtkraft) berechnen, wie viel Energie in Wirklichkeit ausgestrahlt wird. Ein Beispiel: Die Sonne
steht auf 150 Million Kilometer. Oben in der Atmosphäre kann man messen, wie viel Energie
pro Quadratmeter von der Sonne empfangen wird. Dieser Wert ist die sogenannte Solarkonstante, sie beträgt etwa 1367 Watt pro Quadratmeter. Wenn wir uns jetzt eine Sphäre um die
Sonne denken, deren Radius genau 150 Million Kilometer sind, dann ist der Flächeninhalt davon
4π(150 · 109 )2 = 2, 8 · 1023 m2 . Die totale Leistung ist also 1367 · 2, 8 · 1023 = 3, 9 · 1026 W .
Jetzt wissen wir aus dem Spektrum, dass die maximale Intensität bei Gelb liegt, und mit dem
Gesetz von Wien findet man dann, dass die Temperatur etwa 5778K beträgt. Damit können wir
3,9·1026
P
18 2
den Flächeninhalt ausrechnen: P = AσT 4 also A = σT
m . Aber
4 = 5,67·10−8 (5778)4 = 6, 2 · 10
q
q
18
A
= 6,2·10
= 7, 0 · 108 m.
dann können wir den Radius ausrechnen: A = 4πr2 also r = 4π
4π
Der Radius ist also eine gute 700.000 Kilometer!
Hauptfrage 8. Vom Stern Sirius ist bekannt, dass die Oberflächentemperatur etwa 9940 K und
der Radius 1,7-mal so groß als der Sonnenradius ist. Berechne die ausgestrahlte Leistung.
Zusatzaufgabe 7. Stellen wir uns vor, ein Astronom richtet seinen Teleskop auf Sirius und
er misst die Intensität der Strahlung von Sirius. Wenn wir dann davon ausgehen, dass unterweg kein Licht von der Atmosphäre absorbiert wurde, kann man berechnen, wie viel Joule pro
Quadratmeter von Sirius auf die Erde trifft (das ist die Leuchtkraft). Berechne diese gemessene Leuchtkraft von Sirius. Hinweis: die Strahlung dehnt sich geradlinig aus, und die Strahlung
die wir wahrnehmen hat sich also auf eine Kugel mit Radius 8, 6 Lichtjahren (Siehe nächstes
Kapitel, oder Index) ausgedehnt.
9.1
Zusatzstoff: Gase und Druck und Temperatur
Gase werden Warm, wenn sie zusammen gepresst werden. Warum? Die genaue Erklärung ist
etwas lästig, darum kommt jetzt eine Kurzfassung, die etwa doch dasselbe gibt: Aus vergangenen
Jahren wisst ihr, dass Gase ziemlich gut dem idealen Gasgesetz folgen P V = nRT . Wenn also
V kleiner wird, aber dafür P größer wird, und zwar so, dass P V größer wird, dann muss T auch
wachsen.
12
Andere Erklärung: Stellen wir uns eine interstellare (interstellar = zwischen den Sternen) Gaswolke vor. Die Energie ist zuerst fast nur die Schwerkraftenergie. Da bei großem Volumen die
intermolekuläre Distanz groß ist, ist diese Energie groß. Wenn sich die Wolke zusammenzieht,
dann wird diese Schwerkraftenergie in eine andere Energie übergehen, und zwar in thermische
Energie. Folglich steigt die Temperatur.
10
Distanzen und ihre Ermessung
Die Distanzen im Sonnensystem werden in Astronomischen Einheiten ausgedrückt. Ein Astronomische Einheit (1 AE, auf Englisch 1 AU) ist 149,6 km, entspricht also die mittlere Distanz
zwischen Sonne und Erde. Für die Distanzen zu den Sternen reicht dies nicht.
Hauptfrage 9. Mache eine Liste mit den Methoden der Entfernungsvermmessungsmethoden in
der Astronomie. Erkläre jede Methode kurz und gib an, für welche Distanzen die Methoden geeignet sind. [Quellen: Hier unten, Wikipedia: Entfernungsmessung#Die Milchstraße, Wikipedia:
Cepheiden, Wikipedia: Enferungsmessung#Die Galaxien und das Weltall]
Ein Lichtjahr ist die Distanz, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Der Stern der uns am
nähesten steht ist Proxima Centauri; er steht auf 4,24 Lichtjahr von uns. Das heißt, dass das
Licht 4, 24 Jahr braucht, uns zu erreichen. Die Frage ist natürlich, wie weiß man das?
Hauptfrage 10. Wie viel meter ist ein Lichtjahr? Hinweis: Eine Stunde = 3600 Sekunden, ein
Tag hat 24 Stunden und ein Jahr hat 365 Tage. Und c = 3, 0 · 108 m/s. Berechne damit, was die
Distanz zwischen uns und Proxima Centauri ist. Wie viele Tage braucht das Licht zu uns?
Parallax: Halte deinen Finger auf etwa 30cm von deinem Auge. Schließe jetzt das linke Auge
und betrachte den Finger samt Hintergrund durch das rechte Auge. Beobachte auch Finger und
Hintergrund mit dem linken Auge. Du wirst gesehen haben, dass der Finger sich relativ zum
Hintergrund bewegt. Dieses Phänomen heißt Parallax.
Siehe dieses Bild (von Wikipedia geborgt):
Das Phänomen des Parallax kann man auch in der Astronomie verwenden, denn wir drehen uns
ja um die Sonne. Das heißt, dass der Himmel genau so wie mit dem Auge-Finger-Experiment
nach einem halben Jahr etwas anders aussieht. Man muss dann nur wissen, welche Sterne sehr
weit weg stehen, und welche nicht. Diejenigen die uns nahe stehen, machen einen relativ großen
Sprung in einem halben Jahr; die, die weit weg stehen nicht. Misst man den Sprungwinkel, weiß
man die Distanz.
Betrachte jetzt das Bild (von Wikipedia geborgt) hier unten. Wenn p der Parallaxwinkel ist
(der halbe Sprungwinkel), dann ist also der Quotient s : d der Tangens von p, wobei s die
Distanz Erde–Sonne ist und d die Distanz Sonne–Stern. Damit kann man also d ausrechnen,
weil s bekannt ist.
13
Da die Parallaxwinkel im Allgemeinen sehr klein sind, ist diese Methode nur anwendbar, wenn
die Sterne relativ nahe sind. Um die Distanzen im Weltall anzugeben, wird auch eine neue
Einheit eingeführt: der Parsec. Parsec ist eine Abkürzung von Parallaxsekunde: 1 Parsec ist die
Entfernung eines Sterns mit einem Parallaxwinkel von einer Bogensekunde.
Hauptfrage 11. Ein Grad besteht aus 60 Bogenminuten, eine Bogenminute besteht aus 60
Bogensekunden. Eine Bogensekunde ist somit 1/3600 Grad. Berechne, wie viel Kilometer ein
Parsec ist. Hinweis: Die Distanz Erde–Sonne ist 149,6 Million Kilometer.
Um Distanzen über 1019 Meter zu messen gibt es andere Methoden. Ich deute sie kurz an, im
Internet findest du mehr Informationen. Ich empfehle dir auch, in einem geeigneten Astronomiebuch nachzulesen.
Es gibt Sterne, die pulsieren: sie haben eine änderliche Helligkeit. Diese Sterne atmen sozusagen.
Nun gibt es eine Beziehung zwischen der Leuchtkraft (das heißt, die ausgestrahlte Leistung
P = AσT 4 ) und die Frequenz, mit der der Stern pulsiert1 . Sie werden Cepheiden genannt,
nach dem Stern, bei dem dieses Phänomen beobachtet wurde: δ Cephei. Wenn du den Stern
siehst, und die Frequenz misst, dann weißt du also die Leuchtkraft P . Aus der wahrgenommenen
Helligkeit weißt du die Distanz. Denn, wenn du vom Stern misst, wie viel Leistung das Licht
hier auf der Erde pro Quadratmeter hat, dann kannst du daraus die Distanz bestimmen.
Zusatzaufgabe 8. Sei P die Leuchtkraft eines Sterns P = 1027 Watt. Auf der Erde ist die
Leistung ‘nur’ noch 1 Nanowatt pro Quadratmeter. Wie weit steht der Stern von uns entfernt?
Sterne stehen nicht irgendwie im Weltall herum; sie sind in Galaxien zusammen gruppiert. Diese
Galaxien gibt es in vielen Formen. Unsere Galaxie wird die Milchstraße genannt. Die Milchstraße
hat etwa die Form einer Scheibe. Wenn wir in einer wolkenlosen Nacht hinaufschauen, können
wir auch ein Band am Himmel wahrnehmen, in dem mehr Sterne als außerhalb stehen. Dieses
Band ist die Scheibe der Milchstraße. Schauen wir nicht zu diesem Band, dann schauen wir also
aus der Scheibe hinaus.
Nun gibt es viele Formen von Galaxien. Eine Form ist die Kugelnsternhaufen. Bei dieser Form
sind die Sterne eher in einer Kugelform gruppiert. Diese Form hat aber eine bestimmte Beziehung zwischen Farbe und Leuchtkraft. Weißt du also die Farbe, dann weißt du die Leuchtkraft,
und somit die Distanz. Vielleicht könnt ihr euch erinnern, dass es etwas wie ein Hertzsprung–
1 Gute Arbeit schon in 1908 von Henrietta Swan Leavitt, die aber keinen Nobelpreis dafür bekam, da sie
vielleicht zu früh starb und Frauen in der Wissenschaft noch nicht so gut angesehen waren; recht interessante
Geschichte.
14
Russell–Diagramm gibt; es ist genau dieses Diagramm, das für diese Kugelsternhaufen die Beziehung zwischen Leuchtkraft und Farbe gibt.
Supernovae sind Sterne, die ganz hell aufleuchten, um danach auszulöschen. Es sind sterbende
Sterne sozusagen. Bei einer Explosion dieser Art kann man vieles wahrnehmen. Zum Beispiel,
wie die Helligkeit mit der Zeit verläuft, wie schnell sich der äußere Rand des Sterns ausdehnt,
aber auch die Farbe. Diese Informationen kann man auch benutzen, um die Leuchtkraft herauszufinden.
Mehr Information findest du unter ‘Cosmic Distance Ladder’, ‘Standard Candles’ und ‘Supernovae’ bei Wikipedia, zwar alles auf Englisch, aber sehr detailliert.
10.1
Zusatzstoff: Rotverschiebung
Rotverschiebung: Doppler-Effekt. Wenn sich die Rettung auf uns zu bewegt, hören wir einen
höheren Ton als wenn sie sich von uns entfernt. Dies ist der Doppler-Effekt, aber dann für Schall.
Licht kennt auch einen Doppler-Effekt. Wenn sich eine Lichtquelle, die Licht mit Frequenz f
ausstrahlt, mit Geschwindigkeit v auf uns zu bewegt, dann ist die von uns wahrgenommene
Frequenz f 0 gegeben durch
s
1 + v/c
f0 = f
1 − v/c
0
Wenn
q sich die Lichtquelle von uns wegbewegt, dann ist die wahrgenommene Frequenz f =
1−v/c
f 1+v/c , also einfach v durch −v ersetzen. In diesen Formeln ist c die Lichtgeschwindigkeit.
Wenn nun v << c, also v viel kleiner als c, dann kann die obige Formel durch f 0 = f (1 + v/c)
ersetzt werden, wenn sich die Lichtquelle auf uns zu bewegt, und durch f 0 = f (1 − v/c), wenn
sich die Lichtquelle von uns entfernt. Die Rotverschiebung ist z = f − f 0 = f · v/c. Sie ist in der
Regel sehr klein. Du bräuchtest die halbe Lichtgeschwindigkeit ungefähr, um eine rote Ampel
als Grün wahrzunehmen, aber für Sterne ist sie messbar.
Der Astronome Edwin Powell Hubble benutzte die Cepheidenmethode um die Distanzen zu
vielen Galaxien zu bestimmen. Er maß dabei auch die Rotverschiebung und kam darauf, dass
die Rotverschiebung mit der Distanz zunahm. Er fand heraus, dass in guter Annäherung etwa
das Gesetz d = Hv galt, wobei v die zur gemessenen Rotverschiebung Geschwindigkeit, d die
Distanz zur Galaxie und H eine Proportionalitätskonstante ist. Das Gesetz von Hubble besagt
also, dass es eine ungefähre direkte Proportionalität zwischen Distanz und Geschwindigkeit, mit
der eine Galaxie sich von uns entfernt, gibt. Eine Galaxie auf 1 Megaparsec (Million Parsecs)
entfernt sich von uns mit etwa 68 km/s. Die Konstante von Hubble H beträgt somit 68 km/s
pro Megaparsec.
Zusatzaufgabe 9. Das Gesetz von Hubble gilt nur ungefähr. Denn es nimmt lokale Gegebenheiten nicht mit: Die Milchstraße steht in der einiger anderer Galaxien. Diese uns nahe liegenden
Galaxien können sich auf einander zu bewegen, denn die Schwerkraft zieht sie zu einander.
Warum kann dann das Gesetz von Hubble nicht mehr gelten?
Die Rotverschiebung weit entfernter Galaxien gibt ein etwa ungenaues, aber doch relativ zuverlässiges Maß für die Distanz. Auf großen Distanzen ist die Rotverschiebung nämlich so groß,
dass kleine lokale Geschwindigkeiten vernachlässigbar sind. Somit gibt es auch eine Distanzvermessungsmethode für die weit entferntesten Objekte im Weltall.
11
Wie alt ist das Weltall?
Hauptauftrag 6. Beschreibe in etwa zwanzig Zeilen die Geschichte des Weltalls. Siehe auch
den interaktiven Link auf
http://www.planet-schule.de/sf/multimedia-zeitreisen-detail.php?projekt=urknall
In diesem Kapitel werde ich nur kurze Hinweise geben, denn dieses Kapitel wird sonst sehr
15
lange. Auch hast du auf diese Weise Gelegenheit, Lücken im vorherigen aufzufüllen.
Es war Edwin Hubble, der auf Basis mehrerer Wahrnehmungen zum Schluss kam, dass sich die
Galaxien durchschnittlich alle von einander entfernen. Es schaut also aus, als wären alle Sterne
und Galaxien aus einem Punkt entstanden. Diese Idee kann man weiterführen und führt zur
Urknalltheorie: Das Weltall entstand erst vor 13,8 Milliard Jahren.
Auch die Allgemeine Relativitätstheorie sagt hervor, dass ein stabiles, statisches (also zeitunabhängiges) Weltall nur unter sehr unwahrscheinlichen Bedingungen existieren kann. Siehe
auch: kritische Dichte, De-Sitter-Modell, kosmologische Konstante.
Das Alter der Sonne kann mit Modellen für Sterne gut geklärt werden; sie ist ungefähr 4,57
Milliard Jahre alt. Das Alter der Erde wird auch auf so um die 4,5 Milliard geschätzt. Diese
Schätzung kommt von Bestimmungen von Verhältnissen radioaktiver Isotope in der Erdkruste.
So ist zum Beispiel die Halbwertszeit von Uran-238 etwa 4,5 Milliard Jahre, also zufälligerweise
etwa das Alter der Erde, und genau deswegen auch sehr geeignet, das Alter der Gesteine der
Erde zu bestimmen.
Das Licht hat eine Geschwindigkeit, die nicht unendlich ist. Wenn wir also etwas wahrnehmen,
nehmen wir das nicht wahr, so wie es ist, aber so wie es war, als das Licht ausgestrahlt wurde.
So ist es auch im Weltall! Wir schauen immer zurück in die Zeit. Wir sehen Proxima Centauri
immer, so wie er vor 4,24 Jahren war. Manche Galaxien sehen wir auf Millionen oder Milliarden
von Lichtjahren, dann schauen wir also Million oder Milliarden Jahre zurück in die Zeit. Nur,
den Urknall kann man dann doch nicht sehen!
Die Hintergrundstrahlung ist eine Strahlung, die uns aus allen Richtungen aus dem Weltall
erreicht. Sie ist ein Relikt, ein Überbleibsel vom Urknall: Als das Weltall noch nicht sehr alt
war, waren Temperatur und Druck noch so hoch, dass Atome nur kurze Lebensdauer hatten. Das Weltall bestand noch aus einem Plasma. Aber ein Plasma ist nicht durchsichtig für
Licht. Wir werden also niemals etwas im Weltall sehen können, das sich in dieser Plasmaphase des Weltalls abspielte! Als aber das Weltall weiter abkühlte, wurde es irgendwann auch
für elektromagnetischer Strahlung durchsichtbar (denn Atome konnten sich bilden, und die
Schwarzkörperstrahlung konnte nicht mehr von dem Atomen absorbiert werden, da es für eine
Ionisation nicht mehr reichte). Die Strahlung (Schwarzkörperstrahlung) von dieser Zeit flog also
frei durch das Weltall. Zur Zeit, dass das Weltall für Licht durchsichtbar wurde, war die Temperatur etwa 3000 Kelvin. Aber dadurch, dass sich das Weltall ausdehnte, dehnte sich auch die
Wellenlänge dieser Strahlung aus. Jetzt hat die Hintergrundstrahlung eine ‘Temperatur’ von
2,7 Kelvin und liegt damit im Radiowellenbereich. Interessanterweise ist das Spektrum nahezu
ein perfektes Spektrum eines Schwarzen Körpers.
Inflation: Man würde vermuten, dass die Expansionsgeschwindigkeit am Anfang groß war, und
dann mit der Zeit kleiner wurde. Das passt aber nicht zu den Wahrnehmungen. Man kann
die Wahrnehmung etwas besser mit der Inflationstheorie (von der es mittlerweile auch viele
Varianten gibt) erklären: Etwa in der Phase ab 10−33 Sekunden bis 10−30 nach dem Urknall
(das ist also nur eine sehr kurze Zeitspanne nach dem Urknall) dehnte sich das Weltall rasant
mehr aus als davor, und zwar wurde das Weltall in der Zeit bis zu 10−30 Sekunden nach
dem Urknall (das ist also in sehr wenig Zeit!) mindestens um einen Faktor 1030 größer. Dieses
inflationsmäßige Wachstum nennt man Inflation. Mit der Inflationstheorie lassen sich einige
Probleme im beobachteten Weltall klären, aber noch nicht alle.
12
Bonusthemen
Hier muss ich nichts schreiben. Ihr sucht einiges in Astronomiebüchern und im Internet zu den
im Kapitel “Themen” genannten Bonusthemen zusammen und berichtet davon.
16
13
13.1
Mathematisches und physikalisches Wissen
Kreis
Wenn r der Radius eines Kreises ist, dann ist 2r = d der Durchmesser. Den Umfang findet man
mit U = 2πr = πd. Den Flächeninhalt findet man mit A = πr2 = π4 d2 . Die Gleichung für einen
Kreis ist x2 + y 2 = r2 , wobei r der Radius ist.
13.2
Ellipse
Eine Ellipse ist eine ebene Figur, die wie folgt konstruiert werden kann: Nimm zwei Nägel und
halte sie an zwei Punkten A und B fest, nimm ein Stück Seil und knüpfe beide Enden zusammen,
lege jetzt das Seil um A und B und spanne das Seil mit einem Bleistift. Die Figur, die du dann
machen kannst, ist eine Ellipse. Die Punkte A und B sind die Brennpunkte der Ellipse. So wie
du siehst hat eine Ellipse eine lange und eine kurze Achse.
2
2
Im Allgemeinen ist die Gleichung für eine Ellipse xa2 + yb2 = 1, hierbei ist dann die eine Achse
2a, die andere Achse 2b lang. Eine andere Gleichung ist y 2 = px(d − x), wobei dann 0 ≤ x ≤ d
und p ≥ 0.
13.3
Direkte Proportionalität
Wenn y und x direkt proportional sind, heißt das, wird x zweimal, dreimal oder allgemein amal so groß, dann wird y auch zweimal, dreimal oder allgemein a-mal so groß. Es gilt dann die
Formel y = kx mit k eine Konstante. Anders ausgedrückt: das Verhältnis y : x ist konstant.
13.4
Änderungsrate
Wenn eine Größe sich mit der Zeit ändert, gibt die Änderungsrate die Änderung pro Zeiteinheit
(meist Sekunden) an. Mathematisch ist das genau dasselbe wie differentieren: Wenn f (t) eine
Funktion ist, die die Zeit als Variable hat, dann ist die Änderungsrate von f gegeben durch
die erste Ableitung f 0 (t). In der Physik rechnen wir oft auch mit endlichen Zeitintervallen. Die
Leistung ist die Änderungsrate der Energie: P = ∆E
∆t . Die Geschwindigkeit ist die Änderungsrate
∆x
der Position v = ∆t und die Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit a = ∆v
∆t .
Wenn eine Änderungsrate einer Funktion f Null ist, dann ist also die Funktion f konstant; sie
ändert sich nicht mit der Zeit.
13.5
Kugel
Die Kugel (Sphäre ist das wirklich richtige Wort) ist ein zweidimensionale Fläche, die einen
dreidimensionalen Raum begrenzt. Alle Punkte auf Distanz R von einem gewählten Punkt P
bilden eine Kugel, mit Radius R und Mittelpunkt P . Wenn P der Ursprung ist, ist x2 +y 2 +z 2 =
R2 eine Gleichung für die Kugel. Der Flächeninhalt ist 4πR2 und das begrenzte Volumen ist
4π 3
3 R .
13.6
Kommentare zu den Axiomen von Newton
(K1) Ein Axiom ist etwas wie eine Grundannahme, ein Grundgesetz. Mit den Axiomen baut
Newton eigentlich ein System an Regeln auf, mit denen man widerspruchsfrei definieren kann,
was eine Kraft ist. Axiom 2 definiert dann eine Kraft: Wenn durch eine Ursache sich ein Objekt
mit Masse m beschleunigt, sodass die Beschleunigung a beträgt, dann nennen wir die Ursache
eine Kraft und die Größe ist durch F = ma definiert.
17
(K2) Die Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit. Das heißt, wenn sich in
t Sekunden die Geschwindigkeit um w ändert, dann gilt a = w/t. So wie Geschwindigkeit die
Änderungsrate der Position ist v = ∆x/∆t, so beschreibt die Beschleunigung die Änderung
der Geschwindigkeit mit der Zeit. In anderen Worten: Die Beschleunigung gibt an, wie viel
m/s sich die Geschwindigkeit pro Sekunde ändert. Ein Beispiel: Die Fallbeschleunigung ist die
Beschleunigung, die jedes Objekt an der Erdoberfläche haben würde, wenn es keine Reibung
gäbe. Sie beträgt etwa 10m/s2 . Das heißt, dass sich im freien Fall ein Objekt so beschleunigt,
dass die Geschwindigkeit um jede Sekunde mit 10 m/s zunimmt. Also, eine Sekunde lang fallen
–¿ 10m/s ist die Geschwindigkeit; zwei Sekunden lang gefallen –¿ 20m/s ist die Geschwindigkeit;
und so weiter. Es gibt aber Reibung, also geht es etwas langsamer.
(K3) Axiom 1 wird von vielen falsch verstanden. Das kommt durch unsere Alltagserfahrungen!
Man denkt oft, wenn keine Kraft wirkt, dann bremst sich ein Objekt und steht es etwas später
still. Was in unserem Alltag aber immer vorhanden ist, ist die Reibung. Ein rollender Ball
bremst sich, das heißt, dass die Beschleunigung nicht Null ist, sie ist nämlich negativ! Aber
dann muss eine Kraft wirken, und in diesem Fall ist es Reibung. Der rollende Ball überträgt
dem Boden und der Luft Energie.
(K4) Aus Axiom 2 folgt Axiom 1: Wenn es keine Kraft gibt, ist also F = 0. Aber dann auch
ma = 0, und wenn wir durch m dividieren bekommen wir: a = 0. Aber dann ist also die
Geschwindigkeit konstant.
(K5) Axiom 3 muss man aus logischen Gründen hinzufügen. Anderenfalls würde überall im
Alltag die Beschleunigung unendlich werden. Das zu erklären mache ich gerne ein anderes Mal.
(K6) Axiom 3 wird auch oft falsch verstanden. Ein Beispiel: Die Erde zieht an einen Apfel,
das ist die Schwerkraft. Aber dann zieht der Apfel auch an der Erde. Warum fällt dann der
Apfel aus einem Baum nach unten und nicht die Erde hinauf zum Apfel? Antwort: Die Masse
der Erde ist viel größer als die des Apfels, also die Kraft F ist für beide gleich groß, nur die
Beschleunigung a = F/m ist für die Erde fast Null, für den Apfel aber nicht. Missverständnis
zwei: Wenn die zwei Kräfte gleich groß sind, dann fällt der Apfel doch nicht, weil die Kräfte
einander entgegen wirken. Erklärung: Die Falschheit liegt darin, dass die eine Kraft an der Erde
zeiht, die andere am Apfel und nicht beide am Apfel.
13.7
Geschwindigkeit
Physikalische Größe, gibt die Positionsänderung an. Gibt an, wie viel Weg pro Zeiteinheit
zurückgelegt wird. Symbol v, Einheit m/s, auch wohl km/h. Formel v = st , wo s der zurückgelegte
Weg und t die dafür beötigte Zeit ist. Auch in der Form v = ∆x
∆t mit ∆x Änderung in Position und ∆t Zeitintervall. Änderungsrate der Position. Erste Ableitung nach der Zeit von der
Position.
13.8
Beschleunigung
Physikalische Größe, gibt die Geschwindigkeitsänderung an. Gibt an, wie viel die Geschwindigkeit pro Zeiteinheit zu- oder abnimmt. Wenn negativ, dann wird gebremst, wenn positiv, dann
wird (wirklich) beschleunigt. Symbol a, Einheit m/s2 , auch wohl m/s pro Sekunde. Formel
a = ∆v
∆t . Somit ist a die Änderungsrate der Geschwindigkeit. a < 0 deutet auf abnehmende
Geschwindigkeit, a = 0 deutet auf konstante Geschwindigkeit, a > 0 deutet auf zunehmende
Geschwindigkeit.
13.9
Hertzsprung–Russel–Diagramm
Es gibt eine Beziehung zwischen Leuchtkraft und Farbe der Sterne. Diese Beziehung ist nicht
eins-zu-eins. Bei gegebener Farbe kann die Leuchtkraft nicht willkürlich sein. Ein Hertzsprung–
Russell–Diagramm gibt an, welche Farbe–Leuchtkraft–Möglichkeiten es gibt. In so einem Dia-
18
gramm nehmen die meisten Sterne Platz auf der Hauptreihe, so auch unsere Sonne.
13.10
Schwarzkörperstrahlung
Auch wohl thermische Strahlung genannt. Jeder Körper strahlt etwas. Auch wenn wir einen
Körper nicht beleuchten, strahlt er. Diese Strahlung hängt nur von der Temperatur ab. Sie
wird vom Planck’schen Strahlungsgesetz beschrieben. Das Spektrum kennt ein Maximum, bei
dem also ein ‘schwarzer Körper’ die meiste Strahlung ausstrahlt, und welches seine Farbe bestimmt. Dies wird mit dem Gestz von Wien beschrieben. Die Beziehung zwischen Temperatur
und Wellenlänge wird oft benutzt mit Strahlung eine Temperatur zu assoziieren (siehe Hintergrundstrahlung).
13.11
Temperatur und Kelvin
Temperatur ist eine physikalische Größe und ist ein Maß für die Bewegungsenergie der Teilchen.
Wir benutzen oft Celsius als Einheit. Besser wäre Kelvin. Sie ist genau wie Celsius, nur um
273,16 mehr. Bei Null Kelvin, oder −273, 16 Celsius, ist die Bewegungsenergie der Moleküle
Null – sie stehen still.
13.12
Umrechnen
(M) Mega = 1000000 = 106
(K,k) Kilo = 1000 = 103
(c) Centi = 0, 01 = 10−2
(m) Milli = 0, 001 = 10−3
(µ) Mikro = 0, 000001 = 10−6
(n) Nano = 0, 000000001 = 10−9
Eine Stunde sind 60 Minuten. Eine Minute sind 60 Sekunden. Eine Stunde sind 3600 Sekunden.
1
1km/h = 1000m
3600s = 3,6 m/s.
1m/s =
1/1000 km
1/3600 h
8
= 3, 6km/h.
c = 3 · 10 m/s.
19
Index
Änderungsrate, 17
Milchstraße, 14
Milli, 19
Alter der Erde, 16
Alter der Sonne, 15
Aphelium, 7
Asteroide, 11
Astronomische Einheit, 13
Axiome von Newton, 6, 17
Nano, 19
natürlicher Treibhauseffekt, 11
Newton, 8
Parallax, 13
Parallaxwinkel, 14
Parsec, 14
Perihelium, 7
Planetoide, 11
Proportionalität, 17
Proxima Centauri, 13
Beschleunigung, 17, 18
Bogenminute, 14
Bogensekunde, 14
Brennpunkt einer Ellipse, 6, 16
Cepheiden, 14
Rotverschiebung, 15
das ideale Gasgesetz, 13
Descartes, 8
Doppler-Effekt, 15
Schwarzer Körper, 12
Schwarzes Loch, 9
Schwarzkörperstrahlung, 11, 18
Schwarzschildradius, 10
Sirius, 12
Solarkonstante, 12
Sonnensystem, 10
Sphäre, 17
Sternschnuppen, 11
Strahlungsgesetz von Planck, 12
Supernova, 14
Ellipse, 6, 16
Galaxie, 14
Geschwindigkeit, 18
Gesetz von Hubble, 15
Gesetz von Wien, 12
Gesetze von Kepler, 6
gravitationelle Linse, 9
Gravitationsgesetz von Newton, 6, 7
Temperatur, 18
theoretische (planetäre) Temperatur, 11
Treibhauseffekt, 11
Hertzsprung–Russel–Diagramm, 18
Hintergrundstrahlung, 16
Hubble, 15
Urknalltheorie, 15
Inflation, 16
interstellar, 13
Kelvin, 18
Kilo, 19
Komet, 11
Konstante von Stefan–Boltzmann, 12
Kreis, 16
Kreisbewegung, 7
Kugel, 17
Kugelsternhaufen, 14
Leavitt, 14
Leuchtkraft, 12, 14
Lichtjahr, 13
Mach, 8
Mega, 19
Megaparsec, 15
Mikro, 19
20