Statistik II – SoSe 2006 immer von 8:00-9:30 Uhr - Wiwi Uni

Statistik II – SoSe 2006
immer von 8:00-9:30 Uhr
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Was machen wir in der Vorlesung?
Testen und Lineares Modell
Was machen wir zu Beginn:
Wir wiederholen und vertiefen einige Teile
aus der Statistik I:
• Konvergenzarten – Grenzwertsätze –
Eigenschaften von Punkt- und
Intervallschätzern
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Wiederholung Statistik I
Wichtige Grenzwertsätze und
asymptotische Eigenschaften von
Punktschätzern
Statistik II - 21.4.2006
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Konvergenz in Verteilung
• Sei
eine Zufallsvariable mit
Verteilungsfunktion
• Sei
eine Sequenz von
Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion
. Beispiele: Stichprobenmittel,
empirische Verteilungsfunktion
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Definition:
konvergiert in Verteilung
zu , falls gilt:
Dann schreibt man:
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Konvergenz in Wahrscheinlichkeit
Definition: Sei
eine Sequenz
von Zufallsvariablen, dann konvergiert
in Wahrscheinlichkeit gegen , falls für
jedes
gilt:
Man schreibt:
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Fast sichere Konvergenz
Definition: Sei
eine Sequenz
von Zufallsvariablen, dann konvergiert
fast sicher gegen , falls gilt:
Man schreibt:
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Was folgt woraus?
• Aus
folgt
und daraus folgt
.
• Was nicht folgt:
•
folgt nicht
•
folgt nicht
• es folgt nicht:
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Gleichmäßige Konvergenz
• Bisherige Konzepte: punktweise
• Wir stellen uns nun vor, wir hätten eine
Sequenz von Zufallsvariablen, die wir an
mehreren Punkten beobachten, z.B. die
Verteilungsfunktion
,
eine stochastische Funktion.
• Wenn die Konvergenz an allen
beobachtet wird, dann haben wir eine
gleichmäßige Konvergenz.
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Warum braucht man das?
• Es handelt sich um eine formale
Darstellung von statistischen
Eigenschaften, die uns die Zuverlässigkeit
unserer Herangehensweise ausdrücken.
• Deshalb zielen viele Beweise darauf ab,
diese Eigenschaften zu zeigen.
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Gesetze der gr. Zahlen
• Bsp.: Sei nun das Stichprobenmittel
die Zufallsvariable, die aus
i.i.d. Zufallsvariablen berechnet wurde. Es
gelte ferner
und
.
Dann zeigt das schwache Gesetz der
großen Zahl gerade:
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• Andere Varianten des Gesetzes der
großen Zahl kommen mit anderen bzw.
schwächeren Annahmen aus und zeigen
die fast sichere Konvergenz des
Stichprobenmittels:
Starke Gesetze der großen Zahl von
Kolmogorov.
• Mehr Details: siehe z.B. Rao (1973),
S.114-115
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Was passiert ?
Simulation: Sei
1. Wir ziehen 100 Beobachtungen
2. Wir berechnen
.
3. Wir wiederholen 1. und 2. je 100 mal und
erhalten so
.
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• Wie sind die 100 Stichprobenmittel verteilt?
100 Beobachtungen, 100 Wiederholungen
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Stichprobenmittel
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Jetzt nehmen wir mehr
Beobachtungen…1000
1000 Beobachtungen, 100 Wiederholungen
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Stichprobenmittel
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1 Million…..
1 Mio. Beobachtungen, 100 Wiederholungen
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Stichprobenmittel
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Zentraler Grenzwertsatz
• Wir wissen durch die Gesetze der großen
Zahlen, dass die Verteilung des
Stichprobenmittels gegen eine
asymptotische Verteilung mit Mittelwert
und Varianz
konvergiert. Bloß, wie
sieht diese Verteilung aus?
• Dies sagt uns der zentrale Grenzwertsatz.
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Führe zuerst eine Standardisierung durch:
hat den Erwartungswert 0 und Varianz 1.
Dann gilt nach dem ZGW von Lindeberg
und Lévy
oder
für
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• Man kann aber auch schreiben:
• In statistischen Anwendungen ist es häufig
einfacher, die Konvergenz in
Wahrscheinlichkeit zu zeigen. Die exakte
Herleitung der asymptotischen Verteilung
macht mehr Probleme. (-> Advanced
Econometrics, Prof. Fitzenberger).
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Was passiert genau?
Simulation: Sei wieder
1. Wir ziehen 100 Beobachtungen
2. Wir berechnen
.
3. Wir wiederholen 1. und 2. je 100 mal und
erhalten so
.
4. Standardisiere die geschätzten
Mittelwerte:
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100 Beobachtungen, 100 Wiederholungen
1
Z
i
0.9
Fn
FSt
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Z
i
Die Verteilung von Z_i konvergiert gegen die Standardnormalverteilung.
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1000 Beobachtungen, 1000 Wiederholungen
1
0.9
Zi
0.8
F
Fn
St
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Zi
• In der Simulation muss man allerdings
auch die Anzahl der Wiederholungen
vergrößern, da
anhand der
geschätzten
geschätzt wird.
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Normalverteilung als
Näherungsverteilung
• Damit können wir approximativ sagen:
• damit sind auch Intervalle abschätzbar:
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Eigenschaften von Punktschätzern
• Punktschätzer:
z.B.
• (Asymptotische) Unverzerrtheit:
• Mittlerer Quadratischer Fehler:
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• Konsistenz:(Asymptotische) Unverzerrtheit
und die Varianz der Schätzung
verschwindet asymptotisch.
• D.h.
• Dies bezeichnet man auch als Konvergenz
im r-ten Moment, d.h.
oder
mit
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• Aus
Beweis:…
folgt
• Ein Schätzer
ist effizienter als ein
Schätzer
, falls gilt:
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Beispiel
• Wir haben eine i.i.d. Stichprobe
• Die empirische Verteilungsfunktion
ist ein konsistenter Schätzer der
Verteilungsfunktion
von .
• Ist stetig, dann ist die Konsistenz
gleichmäßig.
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Allgemeine Hinweise
• Die Vorlesung ist immer 8:00-9:30 Uhr statt.
• Infokasten des Lehrstuhl Hujer beachten.
• Organisatorisches: Frau Andres-Kreiner
Lehrstuhl Hujer, Raum 135B
• Webseite: Lehrstuhl Hujer
Dort werden auch die Folien abgelegt sein.
• Achtung:
es wird nicht jede Woche Folien geben.
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• Sprechstunde: immer direkt nach der
Vorlesung im Hörsaal…. oder nach
Mannheim kommen…
• Bitte das „Forum“ benutzen.
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• Es gibt ab nächster Woche wöchentlich 10
Tutorien, in denen Übungen zur Statistik I
und II durchgenommen werden.
• Vor dem Hörsaal hängen ab heute für eine
Woche Teilnahmelisten für die Tutorien
aus. Bitte eintragen! (nicht mehr als 30
Teilnehmer pro Tutorium)
• Bitte immer nur das gewählte Tutorium
besuchen, damit die Tutoren sich besser
auf euch einstellen können.
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Die Tutoren
• Puriya Abbassi
Mittwoch 12-14h in Raum H B
Donnerstag 8-10h in Raim H 10.
• Sascha Becker
Dienstag 12:00 - 14:00 Hörsaal H 1
Donnerstag 08:00 - 10:00 Hörsaal H 3
• Christian Bergner
Dienstag 10:00 - 12:00 Hörsaal H 13
Donnerstag 10:00 - 12:00 Hörsaal H 10
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…
• Roman Steurer
Montag 12:00 - 14:00 Hörsaal H 11
Montag 14:00 - 16:00 Hörsaal H 3
• Nina Wollbold
Dienstag 10:00 - 12:00 Hörsaal H 14
Freitag14:00 - 16:00 Hörsaal H 8
• Marcel Loginow (Web+Spezialeinsätze)
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Wer bin ich?
• Name: Ralf Wilke
• Institution: ZEW, Mannheim
• Forschungsschwerpunkte: angewandte
Ökonometrie, Ökonometrie, empirische
Arbeitsmarktforschung
• Ab September: University of Leicester, UK
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Unser Extra-Service…
• Es findet in einigen Wochen zusätzlich zur
Vorlesung ein Gross-Tutorium statt:
donnerstags, 10-12 Uhr , H8
Ankündigungen beachten!
27.4.,4.5. Crash-Kurs Statistik I mit Puriya Abbassi
• Danach bei Bedarf zur Vertiefung (Beweise)
oder Wiederholung der Vorlesung.
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MTB-Vorschlag
• Wer will mit mir am Wochenende 10./11.6.
die Feldberg-o-mania (Taunus) fahren?
Länge:61,50 km
Fahrzeit:4:30:00 h
Höhenmeter:1750 m
2 Mal den großen Feldberg rauf:
www.mtb-rheinmain.de/touren/feldberg2Dia.html
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Andere Vorschläge?
Fragen?
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