PDF PuU Lerneinheit 3 2017

Technische Betriebswirtschaft
D. Bangert
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Physik und Umwelt – Lerneinheit 3
Hauptsätze der Thermodynamik
Wärmekraftmaschinen
Wärmeübertragung
Wärmeschutz und energetische Sanierung
Dampfkraft und Kohleförderung als Schrittmacher der industriellen Revolution
Dieter Bangert
Februar 2017
LE-3-1
Technische Betriebswirtschaft
D. Bangert
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
1 Hauptsätze der Thermodynamik
Das Studium der Wärme und ihrer Umformungen war für die Entwicklung der modernen Zivilisation von großer
wissenschaftlicher und noch größerer technischen und wirtschaftlichen Bedeutung.
John Desmond Bernal (1901 – 1971)
1.1 Erster Hauptsatz (Energieerhaltung)
Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik schränkt die in der Natur vorkommenden Prozesse
ein: Nur solche Prozesse sind möglich, bei denen die Gesamtenergie konstant bleibt.
Innerhalb eines Systems können die verschiedenen Energieformen jedoch ineinander
umgewandelt werden. Dabei sind Wärme und Arbeit gleichwertig. Wärme kann aus Arbeit
erzeugt und umgekehrt kann Wärme in Arbeit umgewandelt werden. Der Erste Hauptsatz
der Thermodynamik stellt daher eine Zusammenfassung der experimentellen Erfahrung
aus der Energieumwandlung dar. Er wird üblicherweise in verschiedenen Formulierungen
angegeben:
Wärme und Arbeit sind gleichwertig. Wärme kann in Arbeit und Arbeit in Wärme
umgewandelt werden.
Oder:
Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art; das heißt, es gibt keine Maschine, die ständig
Arbeit abgibt, ohne gleichzeitig Energie aufzunehmen.
dU = dQ + dW
Bei reversibler Volumenänderungsarbeit ist dW = -pdV. Der Erste Hauptsatz der
Thermodynamik stellt eine andere Formulierung des verallgemeinerten
Energieerhaltungssatzes der Mechanik dar:
dE = dQ + dW
Die Rolle der mechanischen Energie dE spielt in der Thermodynamik die innere Energie dU.
Die Änderung der inneren Energie dU eines geschlossenen Systems ist gegeben durch die
Summe von übertragener Wärme dQ und mechanischer Arbeit dW, die das System an
seiner Umgebung verrichtet.
Dabei gilt die Vorzeichenkonvention:
dQ, dW sind positiv, wenn das System Wärme und Arbeit aufnimmt;
dQ, dW sind negativ, wenn das System Energie nach außen abgibt.
LE-3-2
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2 Reversible und irreversible Prozesse
Nach dem 1. Hauptsatz sind alle Energieformen ineinander umwandelbar, wenn nur ihre
Summe unverändert bleibt (Energieerhaltung). Die Erfahrung zeigt nun, dass die in der Natur
möglichen Prozesse einer zusätzlichen Einschränkung unterliegen. Nicht alle im Einklang mit
dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik stehenden Umwandlungsprozesse werden
auch tatsächlich beobachtet. Manche Prozesse verlaufen in der Natur offensichtlich nur in
einer Richtung ab, nicht aber umgekehrt. Man nennt sie irreversibel, d.h. nicht umkehrbar.
Diejenige Größe, die die Richtung von irreversiblen Zustandsänderungen festgelegt, ist die
Entropie S (grch. entrepo: umkehren). Sie ist neben p, T, V eine weitere wichtige
Zustandsgröße der Thermodynamik. Bei reversiblen Zustandsänderungen in einem
abgeschlossenen System bleibt die Gesamtentropie S konstant. Bei irreversiblen
Zustandsänderungen nimmt die Gesamtentropie im abgeschlossenen System stets zu.
Die Entropie kann bei allen Zustandsänderungen nie abnehmen.
Die Entropie S eines Systems ist ein Maß für die mikroskopische
Realisierungswahrscheinlichkeit eines speziellen Zustands des Systems.
Beispiel:
2.1
Zwei Wassermengen verschiedener Temperatur mischen
sich von selbst so, dass sich eine einheitliche Mischtemperatur einstellt.
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Die experimentelle Erfahrung zeigt:
- Wärme geht von selbst nur von einem Körper höherer Temperatur auf einen Körper tieferer
Temperatur über.
- Nur ein Teil der Wärme lässt sich in Arbeit umwandeln.
Diese Erfahrungstatsachen führen zu folgenden Formulierungen des Zweiten Hauptsatzes:
Es existiert keine periodisch arbeitende Maschine, die einem einzelnen Wärmereservoir nur
Wärme entzieht und daraus ausschließlich Arbeit erzeugt.
Oder:
In einem isolierten System kann die Entropie nicht abnehmen, d.h. es gilt ∆S ≥ 0 .
Alle Vorgänge in einem abgeschlossenen System verlaufen von selbst so, dass sich
Ordnung in Unordnung umwandelt. Der Endzustand ist immer derjenige, in dem der
Ordnungszustand des Systems minimal ist. Das abgeschlossene System strebt somit dem
Zustand maximaler Unordnung oder maximaler Entropie an.
Ein Perpetuum mobile 2. Art, d.h. eine Maschine, die gegen den 2. Hauptsatz verstößt, ist
unmöglich. Im Gegensatz zum Perpetuum mobile 1. Art würde diese Maschine nicht gegen
den Energieerhaltungssatz verstoßen. Das Perpetuum mobile 2. Art wäre ein Prozess, der
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einem System Wärme entzieht um diese vollständig in Arbeit umzuwandeln. Als Konsequenz
ergibt sich gemäß Kapitel 4 die prinzipielle Beschränkung des Wirkungsgrades η von
Wärmekraftmaschinen zu:
η < η th = 1 −
T2
T1
η th ist der thermodynamische Grenzwert des Wirkungsgrades.
BeispieIe: I R R E V E R S I B L E
PROZESSE
Diffusion von Wolken
Wärmekontakt
B
A
TA
T
B
heiß
kalt
TAB
mittlere Temperatur TAB
Abb. 1: Beispiele für nichtumkehrbare Prozesse
Werden zwei Körpern mit unterschiedlichen Temperaturen TA und TB in Wärmekontakt
gebracht, in dem die thermisch isolierende Zwischenwand entfernt wird, so stellt sich durch
Temperaturausgleich eine mittlere Temperatur TAB ein.
2.2 Entropie
Der 1. Hauptsatz sagt nichts über die Richtung aus, in der ein Vorgang ablaufen kann. Zur
Beschreibung von irreversiblen Vorgängen, die ohne äußere Einwirkung nur in eine
Richtung ablaufen, dient die Entropie S. Die Änderung der Entropie dS ist wie folgt definiert:
dS =
dQ
T
[ S ] = J/K
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Mit dieser Definition der Entropie wird folgende experimentelle Beobachtung erfasst:
Wärme ist um so wertvoller ist, je höher die Temperatur ist, bei der sie zur Verfügung steht.
Für reversible adiabatische Vorgänge folgt aus dQ = 0 auch dS = 0 und damit
S = konst. Adiabatische Vorgänge laufen daher bei konstanter Entropie ab und heißen daher
auch isentropisch. Während die Temperatur nur für thermische Gleichgewichtszustände
definiert ist, kann die Entropie für jeden beliebigen Zustand eines thermodynamischen
Systems festgelegt werden.
2.3 Freie Energie
Da jedes System das Bestreben hat, in einen Zustand niedrigstmöglicher Energie
überzugehen, verlaufen z. B. chemische Reaktionen nur dann von selbst, wenn ein
Energieunterschied zwischen den Ausgangs- und den Endprodukten besteht.
A + B → C + D + Energie
Dieser Energieunterschied stellt dabei die treibende Kraft für die chemische Reaktion dar
und ist gleichzeitig die Ursache für die chemische Bindung.
Als Beispiel soll dazu die Bildung von Wasser aus Wasserstoff H2 und
Sauerstoff O 2 betrachtet werden:
2 H2 + O 2 → 2 H2 O + Energie
Obwohl die Bildung von Wasser aus Wasserstoff und Sauerstoff eine exotherme Reaktion
ist, passiert zunächst überhaupt nichts, wenn man beide Gase durch Wegnehmen einer
Trennwand in einem Gefäß mischt.
Abb. 2: Diffusion und Vermischung zweier getrennter Gase
Zwischen dem Ausgangszustand ( H2 -/ O 2 -Gemisch) des Reaktionssystems und dem
Endzustand ( H2 O ) scheint eine Energiebarriere zu liegen, die das System daran hindert,
sofort in den energetisch günstigeren Zustand zu gelangen. Um diese Barriere zu
überwinden, ist Energie notwendig, die als Aktivierungsenergie bezeichnet wird.
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Abb. 3: Definition der Aktivierungsenergie
Zwischen dem Ausgangszustand und dem Endzustand einer Reaktion A + B → C + D liegt
ein Energieberg, dessen Höhe durch die so genannte Aktivierungsenergie gegeben ist.
Diese Energie muss dem System A + B erst zugeführt werden, bis es vom höchsten Punkt,
dem Übergangszustand, in den energetisch günstigsten Endzustand (C + D) "herunterfallen"
kann. Je höher die Aktivierungsenergie, um so langsamer läuft die Reaktion ab. Durch
Zufuhr z. B. von Wärme wird das System den Berg gewissermaßen hinaufgeschoben; daher
werden alle chemischen Reaktionen durch Erhitzen der Ausgangsstoffe beschleunigt. Bevor
durch die Bildung neuer chemischer Bindungen Bindungsenergie gewonnen wird, muss
Energie zugeführt werden, um die Bindungen der Ausgangsstoffe aufzubrechen. Wird diese
Aktivierungsenergie, die nichts mit der eigentlichen Reaktionsenergie zu tun hat, von außen
zugeführt, so wird die exotherme Reaktion eingeleitet (hier: Knallgasexplosion).
Durch Verwendung so genannter Katalysatoren, d.h. Stoffe, die die chemische Reaktion
beschleunigen ohne selbst als Ausgangsstoffe oder Endprodukte aufzutreten, wird die
Aktivierungsenergie einer chemischen Reaktion herabgesetzt.
Abb. 4: Wirkungsweise von Katalysatoren
Ein Katalysator beschleunigt eine Reaktion, in dem er die Aktivierungsenergie herabsetzt.
Bei Anwesenheit eines Katalysators weniger Energie gebraucht, um das System den
Aktivierungsberg hinauf zuschieben. Der Effekt ist für Hin- und Rückreaktion der Gleiche;
deshalb verschiebt die Anwesenheit des Katalysators nicht die Lage eines chemischen
LE-3-6
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Gleichgewichts. Dieser Vorgang wird Katalyse genannt. In der Technik werden oft fein
verteilte Metalle (z. B. Platin) als Katalysatoren verwendet. In der Biochemie werden
Enzyme, d.h. große Proteinmoleküle als Katalysatoren eingesetzt.
Mit Hilfe des Entropiebegriffes ist es möglich, die Energie darzustellen, die ein System
tatsächlich abzugeben in der Lage ist. Man nennt sie Freie Energie F und es gilt für sie:
F = U - TS
Diese Beziehung zeigt, dass die tatsächlich verfügbare Energie, die Freie Energie F, sich
aus dem Bilanzwert für die innere Energie U, vermindert um den Anteil T ⋅ S , ergibt. Das
Produkt T ⋅ S stellt die thermische Energie dar, die im System durch Änderung ihres
Ordnungszustandes infolge der betrachteten Umwandlung selbst verbraucht wird und damit
nicht mehr verfügbar ist.
3 Thermodynamischer Wirkungsgrad und Carnot-Prozess
Ändert man durch äußere Einwirkungen den Zustand eines thermodynamischen Systems, so
bezeichnet man diesen Vorgang als thermodynamischen Prozess. Einen Prozess, bei dem
sich ein System nach einer Folge von Zustandsänderungen wieder im Ausgangszustand
befindet, nennt man Kreisprozess. Man unterscheidet Kreisprozesse in geschlossenen
Systemen von Kreisprozessen in offenen Systemen. In geschlossenen Systemen wird die
Wärmeenergie mittels Wärmeleitung durch geschlossene Wände von außen in das in der
Wärmekraftmaschine strömende Fluid (Flüssigkeit, Gas, Dampf) übertragen, so z. B. in der
Dampfkraftmaschine vom Feuerungsraum zum Heizkessel. In offenen Systemen werden die
Reaktionswärmen durch chemische Reaktion der Brennstoffe mit Sauerstoff in der
Wärmekraftmaschine freigesetzt. Daher stellen alle Brennkraftmaschinen offene Systeme
dar, bei denen Brennstoff und Luft von außen zugeführt und die Abgase nach außen
abgeführt werden.
Der Carnot-Prozess nach Sadi Carnot (1796 - 1832) ist dabei der wichtigste Kreisprozess
der Thermodynamik. Er gibt an, wie Wärme bei einer gegebenen Temperatur am besten in
Arbeit umgewandelt wird. Der Carnot-Prozess ist ein Kreisprozess in einem geschlossenen
System. Jede zyklisch, d.h. in einem Kreisprozess arbeitende Maschine nimmt Wärme auf
und gibt Wärme ab. Man bezeichnet einen Kreisprozess als reversibel oder umkehrbar,
wenn der Anfangszustand ohne Änderung der Umgebung erreicht wird. Der reversible
Kreisprozess stellt jedoch einen praktisch nicht durchführbaren Idealprozess dar, mit dem
die praktisch realisierbaren irreversiblen Kreisprozesse verglichen werden. Man bezeichnet
die reversiblen Kreisprozesse daher auch als Vergleichsprozesse.
Der Carnot-Prozess stellt einen idealisierten Kreisprozess dar, der aus zwei reversiblen
isothermen Zustandsänderungen und zwei reversiblen adiabatischen Zustandsänderungen
besteht. Das Arbeitsgas befindet sich dabei in einem Zylinder mit beweglichem Kolben.
Durch Verschiebung des Kolbens kann Volumenänderungsarbeit verrichtet werden. Der
Carnot-Prozess stellt die beste Realisierung für die Umwandlung von Wärme in Arbeit dar.
Der Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses kann daher von keinem anderen Kreisprozess
übertroffen werden.
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Im Folgenden kennzeichnet Wik die am Arbeitsgas bei Kompression während der
Zustandsänderung i → j verrichtete und damit zugeführte Arbeit. Mit − Wlm wird die vom
Arbeitsgas bei Expansion über den beweglichen Kolben während der Zustandsänderung
l → m nach außen abgegebene Arbeit bezeichnet. Der Carnot-Prozess, der durch
insgesamt vier Zustandsänderungen realisiert wird, beginnt in Abb. 5 mit der isothermen
Expansion des Arbeitsgases von V1 nach V2 . Der Zylinder steht dabei in thermischen
Kontakt mit einem Wärmereservoir mit einer hohen Temperatur T1 . Seine Wärmekapazizät
ist so groß, dass eine ihm entnommene und dem Gas zugeführte Wärmemenge keinen
Einfluss auf die Temperatur T1 des Reservoirs hat.
1. Isotherme Expansion vom Zustand p1, V1 in den Zustand p2, V2 bei T1 = konst.
zu
Die nach außen isotherm abgegebene Arbeit − W12 wird in Form von Wärmeenergie Q12
dem umgebenden Wärmereservoir entnommen und dem Arbeitsgas zugeführt:
V2
W12 = − ∫ pdV
V1
V2
V2
V1
V1
zu
− W12 = Q12
= ∫ pdV = ∫ nRT1
Zustandsgleichung:
V
dV V2 n
dV m
= ∫ RT1
= RT1 ln 2
V
V M
V1
V1 M
pV =
p=
m
RT1
M
m RT1
M V
2. Adiabatische (isentrope) Expansion von p 2 , V2 nach p 3 , V3 .
Sie erfolgt ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung (dQ = 0).
Die abgegebene Arbeit − W23 ist gleich der Abnahme der inneren Energie:
W23 = c V m( T3 − T2 ) = c Vm(T2 − T1) = −c Vm(T1 − T2 )
− W23 = c V m(T1 − T2 )
3. Isotherme Kompression von p3, V3 nach p4, V4.
Hierbei wird dem Gas isotherm Arbeit zugeführt. Der Zylinder steht dabei in thermischen
Kontakt mit einem Wärmereservoir mit einer niedrigen Temperatur T2 . Seine
Wärmekapazizät ist so groß, dass eine dem Gas entnommene und ihm zugeführte
Wärmemenge keinen Einfluss auf die Temperatur T2 des Reservoirs hat.
Die der Kompressionsarbeit entsprechende Wärmemenge − Q 34 wird an das
Wärmereservoir abgegeben:
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V4
V4
V3
V3
W34 = − ∫ pdV = − ∫
W34 = −
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m
dV
m
V
ab
RT2
= − RT2 ln 4 = −Q12
M
V
M
V3
m
V
m
V
RT2 ln 4 = RT2 ln 3
M
V3 M
V4
4. Adiabatische (isentrope) Kompression von p4, V4 nach p1, V1.
Dies ist die Umkehrung von Schritt 2.
V1
W41 = − ∫ pdV = c Vm(T1 − T4 )
V4
W41 = c V m(T1 − T2 )
Dabei wird dem Gas die gleiche Arbeit W41 = − W23 zugeführt, die von ihm während der
adiabatischen Expansion nach außen abgegeben wurde.
Durch Addition der vier Teilprozesse lässt sich die insgesamt von dem Arbeitsgas
abgegebene Arbeit − ∆W ermitteln, die gemäß Konvention mit negativen Vorzeichen
versehen ist:
− ∆W = − W12 − W23 + W34 + W41 = − W12 + W34
da W23  =  W 41 
folgt
− W23 + W 41 = 0
− ∆W = − W12 + W34
− ∆W =
m
V
V
R (T1 ln 2 + T2 ln 4 )
M
V1
V3
Für adiabatische (isentrope) Zustandsänderungen gilt das Poissonsche Gesetz:
pV κ = konst. oder TV κ −1 = konst.
Für die im p,V-Diagramm des Carnotschen Kreisprozesses eingezeichneten Adiabaten,
welche die isentrope Expansion (Kurve → ) und die isentrope Kompression
(Kurve → ) beschreiben, gilt:
T1V2κ −1 = T2 V3κ −1
T2 V4κ −1 = T1V1κ −1
Division liefert:
(
V
V2 κ −1
) = ( 3 ) κ−1
V1
V4
oder
V2 V3
=
V1 V4
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Damit folgt für − ∆W , der beim Durchlaufen des Kreisprozesses insgesamt abgegebenen
Arbeit, der sog. Nutzarbeit :
m
V
R(T1 − T2 ) ln 2
M
V1
− ∆W =
Dabei gilt:
ln
V
V
V
V4
V
= ln( 3 ) −1 = −1⋅ ln 3 = − ln 3 = − ln 2
V3
V4
V4
V4
V1
Aus dem Wärmereservoir mit der höheren Temperatur T1 wird während der isothermen
zu
Expansion ( → ) die größere Wärmemenge Q12
entnommen. Sie wird dem
thermodynamischen System zugeführt und bestimmt über den Anteil, der in mechanische
Arbeit überführt werden kann, den Wirkungsgrad. Im übernächsten Schritt des
Kreisprozesses wird vom System während der isothermen Kompression ( → ) die kleinere
Wärmemenge − Q ab
34 an das Wärmereservoir mit der niedrigeren Temperatur T2 abgegeben.
Diese Wärmemenge ist dann für den Prozess „verloren“.
Der Wirkungsgrad η th ist definiert als Quotient aus abgegebener Arbeit − ∆W und der dem
zu
Wärmebad entnommenen und damit dem System zugeführten Wärme Q12
.
− ∆W
η =
=
zu
Q12
th
m
R(T1
M
m
RT1
M
V2
T
V1 T1 − T2
=
= 1- 2
V
T1
T1
ln 2
V1
− T2 )ln
Für den thermodynamischen Wirkungsgrad erhält man:
η th =
p
T1 - T2
T
= 1- 2
T1
T1
1
T = konst.
2 p ,V 1
p ,V1
1
2
2
∆W
p4 ,V
4
p ,V
4
3
3
3
T2 = konst.
V
Abb. 5: Schematisches p-V-Diagramm eines Carnotschen Kreisprozesses
LE-3-10
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Die während eines Zyklus des Kreisprozesses nach außen abgegebene Arbeit − ∆W , die
auch als Nutzarbeit bezeichnet wird, entspricht betragsmäßig dem in Abb. 5 grau
unterlegtem Flächeninhalt, der von den vier Zustandsänderungskurven umschlossenen
Fläche.
Die vier Teilprozesse eines Carnotschen Kreisprozesses sind:
1. Isotherme Expansion ( → )
2. Adiabatische Expansion ( → )
3. Isotherme Kompression ( → )
4. Adiabatische Kompression ( → )
Beim rechtsläufigen Kreisprozess wird das p, V-Diagramm im Uhrzeigersinn durchlaufen.
Abb. 6: Realisierung der 4 Teilprozesse eines Carnotschen Kreisprozesses
Hinweis: Die Indizes der Zustandsgrößen in den oben aufgeführten Formeln hängen von
der Nummerierung der vier Zustandsänderungen ab. Diese wird durch den beliebig
wählbaren Ausgangspunkt bestimmt.
4 Verbrennungsmaschinen
Verbrennungsmotoren sind Kolbenmaschinen, die in der Regel Zylinder und Kolben
verwenden. Am gebräuchlichsten sind dabei Hubkolbenmotoren. Ein Kreiskolbenmotor, der
nach seinem Erfinder Felix Wankel (1902 – 1988) Wankelmotor genannt wird, konnte sich
am Markt nicht durchsetzen. Das Gas im Zylinder könnte je nach Art des eingesetzten
Brennstoffes z. B. eine Mischung von Kohlenwasserstoffen und Luft sein. Wenn das
Gemisch gezündet wird, wandelt sich die im Brennstoff gespeicherte chemische Energie in
Wärmeenergie um. Die entstehenden heißen Verbrennungsgase bauen dabei einen hohen
Druck auf, der den Kolben in Bewegung setzt. Wird der Kolben über eine Pleuelstange mit
einer Kurbelwelle verbunden, so kann die kinetische Energie der Translationsbewegung des
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Kolbens in kinetische Energie der Rotation umgesetzt werden.
Man unterscheidet 2-Takt- und 4-Takt-Verfahren, wobei jede Kolbenverschiebung einen Takt
darstellt. Beim heute üblichen Viertaktmotor wird der Kolben während eines Kreisprozesses
viermal verschoben. Jeder vierte Takt ist dabei ein Arbeitstakt, d. h. alle zwei Umdrehungen
gibt der Viertaktmotor nach außen Arbeit ab. Verbrennungsmotoren werden in
Dieselmotoren (Erfinder: Rudolf Diesel (1858 – 1913)) und in Ottomotoren eingeteilt.
Ottomotoren sind Benzinmotoren, die nach dem Erfinder des Viertaktmotors Nikolaus Otto
(1832 – 1889), Ottomotoren genannt werden.
Ottomotoren werden mit Benzin betrieben. Benzin ist ein Gemisch, das hauptsächlich aus
gesättigten kettenförmigen Kohlenwasserstoffen (Alkane mit der Summenformel CnH2n+2) mit
n = 5 - 9 Kohlenstoffatomen besteht. Diesel- und Heizöl enthalten vor allem Alkane mit 12
bis 18 C-Atomen. Der Flammpunkt von Benzin ist sehr niedrig (zwischen – 55°C und –25°C),
je nach Zusammensetzung. Benzindämpfe sind aus diesem Grund sehr leicht entzündlich
und feuergefährlich. Mit Luft bilden die Dämpfe explosive Gemische. Im Ottomotor erfolgt die
Zündung des Benzindampf-Luft-Gemisches durch einen elektrischen Zündfunken der
Zündkerze. Man spricht von externer Zündung oder Fremdzündung.
Im Dieselmotor entzündet sich das Gemisch aus Luft und feinsten Öltröpfchen durch die bei
der Verdichtung auftretende adiabatische Kompressionswärme von selbst. Dieselmotoren
benötigen keinen Vergaser und keine elektrische Zündung; sie sind Selbstzünder.
Im Folgenden sollen einige technische Kreisprozesse vorgestellt werden. Die Kreisprozesse,
die in realen Verbrennungskraftmaschinen ablaufen, können durch idealisierte
Vergleichsprozesse angenähert werden, die sich aus reversiblen Zustandsänderungen
zusammen setzen. Als Fluid wird dabei das ideale Gas eingesetzt. Obwohl
Verbrennungsmotoren offene Systeme darstellen, können sie näherungsweise als
geschlossene Systeme beschreiben werden.
4.1 Otto-Prozess
Es soll der Wirkungsgrad eines normalen Viertakt-Benzinmotors (Ottomotor) untersucht
werden, wie er z. B. im Auto verwendet wird. Während eines Zyklus bewegt sich der Kolben
zweimal abwärts und zweimal aufwärts, was zur Bezeichnung Viertakt geführt hat. Die
verschiedenen Phasen eines vollständigen Zyklus sind nachstehend in Abb. 7 dargestellt.
Die Kreisprozesse, die in technischen Wärmekraftmaschinen ablaufen, können durch
idealisierte Vergleichsprozesse angenähert werden. Beim Otto-Prozess verbrennt das
Benzin-Luftgemisch nach der Zündung so schnell, dass die Wärmezufuhr als isochore
Zustandsänderung betrachtet werden kann.
Der Otto-Prozess beginnt in Abb. 7 unten links mit dem Ansaugtakt (e → f) und wird dann
über den Verdichtungstakt als rechtsläufiger Prozess im Uhrzeigersinn durchlaufen.
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1. Ansaugtakt
2. Verdichtungstakt
p
b
c
a Z
1 bar
f
e
3. Arbeitstakt
0
4. Auslaßtakt
d
V1
V2
V
Abb. 7: Arbeitszyklus des Viertakt-Ottomotors als rechtsläufiger Kreisprozess
in schematischer Darstellung im p, V-Diagramm
1. Ansaugtakt
:
Einlass des Benzin-Luft-Gemischs
2. Verdichtungstakt :
Adiabatische Kompression des Benzin-Luft-Gemischs
Zündpunkt Z : Zündung und schnelle Verbrennung
3. Arbeitstakt
Adiabatische Expansion des heißen Gases. Nur während dieses
Taktes gibt der Motor Arbeit nach außen ab.
4. Auslasstakt
:
:
Ablassen der Verbrennungsrückstände zum Auspuff
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Zeichenerklärung:
a = Z Das komprimierte Benzin-Luft-Gemisch wird mit einer Zündkerze gezündet
(Z = Zündpunkt).
a → b Plötzlicher Druckanstieg nach der Zündung infolge der Verbrennung.
Der Otto-Prozess stellt eine Gleichraumverbrennung dar.
c
Ende der isentropen (adiabatischen) Expansion, das Auslassventil wird geöffnet.
c → d Das heiße noch unter Druck stehende Gas verlässt den Zylinder nahezu isochor
durch das Auslassventil. Der Druck fällt auf den Umgebungsdruck ab.
e
Der Kolben hat das restliche Gas aus dem Zylinder gedrückt (d → e), danach schließt
sich das Auslassventil, und das Einlassventil öffnet sich.
f
Frisches Benzin-Luft-Gemisch ist angesaugt worden, das Einlassventil schließt sich.
f → a Das frische Gemisch wird isentrop (adiabatisch) komprimiert.
Der Otto-Prozess (Abb. 8) kann idealisierend durch zwei isentrope und zwei isochore
Zustandsänderungen angenähert werden.
p
3
p
Qzu
23
p
p
∆w
2
4
Qab
41
p =p
1
V2
V1
V
Abb. 8: p, V-Diagramm des idealen Otto-Prozesses
Ein Benzin-Luftgemisch setzt bei der Verbrennung pro Liter Brennstoff ungefähr 30 MJ
Wärmeenergie frei. Der Heizwert von Benzin beträgt Hu = 42 MJ/kg. Nur ein Bruchteil
dieser Wärmemenge kann in nutzbare mechanische Energie umgewandelt werden. Dieser
Bruchteil wird als der ideale thermische Wirkungsgrad ηth des Motors bezeichnet:
ηth =
∆W
∆W
= zu
∆Qa,b Q23
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Dabei entspricht die grau unterlegte Fläche ∆W = Wn der vom Motor beim einmaligen
zu
ist die vom Gemisch
Arbeitskreislauf geleisteten mechanischen Nutzarbeit. ∆Qa,b = Q 23
nach erfolgter Zündung freigesetzte und dem Motor in Folge einer Gleichraumverbrennung
isochor zugeführte Verbrennungswärme. Die Nutzarbeit ∆W = Wn ist die Differenz der
zwischen b und c (beim Otto-Vergleichsprozess zwischen 3 und 4) während des
Arbeitstaktes durch isentrope Expansion abgegebenen Volumenänderungsarbeit und der
zwischen d und a (beim Otto-Vergleichsprozess zwischen 1 und 2) durch isentrope
Kompression während des Verdichtungstaktes am Benzin-Luft-Gemisch verrichteten
Volumenänderungsarbeit. Im Fall der isentropen Kompression wird diese Arbeit in innere
Energie umgewandelt und führt zu einer Temperaturerhöhung des komprimierten
Gemisches. Während des Auslasstaktes wird die Wärmemenge ∆Q c,d = Q ab
41 durch Ablassen
der Verbrennungsrückstände zum Auspuff abgegeben.
∆W = W b→c - W d→a = WV 34 − WV 12
∆W =
∆W =
pb V2
V
p V
V
[1 - ( 2 ) κ −1 ] - a 2 [1 - ( 2 ) κ −1 ]
κ −1
κ −1
V1
V1
(p b − p a ) V 2
κ −1
[1 - (
V2 κ −1
) ]
V1
Für ein Gas mit der Masse m gilt aufgrund der Zustandsgleichung:
m
(p - pa) V2 =
R (Tb - Ta)
b
M
m
R(Tb − Ta )
V
M
[1- ( 2 ) κ −1 ]
∆W =
cp − c V
V1
cV
Unter Ausnutzung der Mayerschen Gleichung cp - cv =
∆W = cv m (Tb - Ta) [1 - (
m
folgt dann:
M
V2 κ −1
) ]
V1
Die Wärmemenge ∆Qa,b, die benötigt wird, um das Gas der Masse m von Ta = T2 auf
Tb = T3 zu erwärmen, ist:
∆Qa,b = m cv (Tb - Ta) = m c V (T3 − T2 )
Damit folgt schließlich für den idealen thermischen Wirkungsgrad:
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∆W
η Otto =
∆Q a,b
th
=
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∆W
Q
zu
23
= 1- (
Thermodynamik LE3
V2 κ −1
1
1
) = 1−
= 1 − κ −1
V
V1
ε
( 1 ) κ −1
V2
Der Wirkungsgrad ηth hängt dabei nur vom Verdichtungs- oder Kompressionsverhältnis
V
ε = 1 ab. Um einen hohen Wirkungsgrad zu erzielen, sollte ε möglichst groß gewählt
V2
werden. In der Kfz-Praxis besitzen Ottomotoren je nach Modell Verdichtungsverhältnisse
zwischen 9 und 11. Das Verdichtungsverhältnis wird durch die Gefahr der unerwünschten
vorzeitigen Explosion des Benzin-Luftgemisches infolge von Selbstzündung („Klopfen“) nach
oben begrenzt.
Für den Otto-Prozess lässt sich der Wirkungsgrad auch über ein Temperaturverhältnis
definieren. Für eine adiabatische Zustandsänderung gilt: T ⋅ V κ −1 = const. Damit erhält man
für die adiabatische Kompression während des Verdichtungstaktes:
T1V1κ −1 = T V2κ −1
oder
(
V1 κ −1 T2
) =
.
V2
T1
Für die adiabatische Expansion während des Arbeitstaktes gilt:
T3 V2κ −1 = T4 V1κ −1
(
oder
V1 κ −1 T3
.
) =
V2
T4
Für den Wirkungsgrad erhält man damit:
ηOtto
= 1−
th
T1
T
= 1− 4 .
T2
T3
Beispiel:
Wie groß ist der theoretische Wirkungsgrad eines Benzinmotors mit einem
Verdichtungs- oder Kompressionsverhältnis von a) ε = 8 : 1 und b) ε = 11 : 1 ?
κ = 1,4 (Luft)
Annahme:
a)
V1
= 8
V2
ηthOtto = 1 −
1
ε
κ −1
= 1-
b)
1
= 0,56
8 0,4
V1
= 11
V2
ηthOtto = 1 −
1
ε
κ −1
= 1−
1
= 0,62
110,4
Der Wert von etwa 62 % stellt die theoretische Obergrenze für den Wirkungsgrad eines
Ottomotors dar. Tatsächlich haben Benzinmotoren Wirkungsgrade, die nur halb so groß oder
sogar noch kleiner sind. Das hat mehrere Ursachen: Das Benzin verbrennt nicht vollständig;
LE-3-16
Technische Betriebswirtschaft
D. Bangert
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
die Zylinderwände werden gekühlt, folglich geht Wärme im Kühlsystem verloren; schließlich
werden heiße Abgase ausgestoßen und außerdem spielt die Reibung im Motor eine Rolle.
Als Faustformel gilt: Jeweils ein Drittel der bei der Verbrennung freiwerdenden Wärme wird
als mechanische Antriebsenergie genutzt, als Abwärme an das Kühlsystem und an das
Abgassystem abgegeben.
Ein Gas- oder Heizöl-Brenner kann bei der Erzeugung von Wärme ohne Brennwerttechnik je
nach Abgasverlust auf etwa 95 % Wirkungsgrad kommen, ein Benzinmotor dagegen
verwandelt im Allgemeinen nur ungefähr 25 % der im Brennstoff gespeicherten chemischen
Energie in mechanische Bewegungsenergie; der Rest geht zum größten Teil als Wärme
verloren.
Beim Ottomotor verlässt das Betriebsmittel den Kreislauf nach einmaligem Durchlauf als
heißes Auspuffgas mit der Temperatur T4 , das sich dann auf die Umgebungstemperatur T1
abkühlt.
Beispiel:
V1 8
=
erhält man unter
V2 1
der Annahme einer adiabatischen Expansion eines idealen Gases für das Verhältnis
von Auspuff- und Verbrennungstemperatur:
Bei einem Verdichtungs- oder Kompressionsverhältnis ε =
T
T4
V
= c = ( 2 ) κ −1
T3
Tb
V1
Da das Gas hauptsächlich aus Luft besteht ist κ = 1,4:
1
T4
= ( 8 )0,4 = 0,435
T3
Ist T3 = 2250 °C, so ist die Abgastemperatur T4 = 979 °C.
4.2 Diesel-Prozess
Treibstoffe aus schwereren Erdölfraktionen verdampfen nicht so leicht wie Benzin und sind
auch schwieriger durch Funken zu zünden. Rudolf Diesel ließ 1892 einen Motor patentieren,
bei dem eine im Zylinder erzeugte Mischung aus Ölnebel und Luft allein durch adiabatische
Kompression zum Zünden gebracht wurde. Bei der heute üblichen Technik der DirektEinspritzung wird der Treibstoff direkt unter Anpassung an die jeweilige Motorbelastung in
den Brennraum des Zylinders eingespritzt. Dieser selbstzündende Dieselmotor arbeitet im
Viertaktzyklus. Jedoch wird bei ihm nur Luft angesaugt und verdichtet. Die DieselölEinspritzung erfolgt dann so in die durch Kompression erhitzte Luft, dass die Verbrennung
durch Selbstzündung näherungsweise isobar erfolgt.
LE-3-17
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Beim Dieselmotor liegt somit eine Gleichdruckverbrennung vor. Das Kompressionsverhältnis liegt üblicherweise bei Werten von etwa 20:1 und kann in Sonderfällen bis zu 30:1
reichen. Der Diesel-Prozess stellt einen technischen Kreisprozess dar, und zwar einen
reversiblen Vergleichsprozess, der aus zwei adiabatischen, einer isobaren und einer
isochoren Zustandsänderung besteht.
Die bei dem Kreisprozess gewonnene mechanische Nutzarbeit ∆W errechnet sich einerseits
aus der bei einem Zyklus zugeführten abzüglich der abgegeben Wärmeenergie.
zu
∆W = Q 23
− Q ab
41
Andererseits ergibt sich ∆W ergibt aus der Summe der am Kreisprozess beteiligten
Volumenänderungsarbeiten und entspricht damit der von der Folge der vier
Zustandsänderungen umschlossenen Fläche im p,V-Diagramm (Abb. 9).
ab
ab
zu
∆W = ∆W23
+ ∆W34
− ∆W12
Unter dem Wirkungsgrad versteht man den Quotienten aus der von der
Wärmekraftmaschine abgegebenen Energie in Form der mechanischen Nutzarbeit ∆W und
zu
der aufgewendeten Energie in Form der zugeführten Wärmeenergie Q 23
.
ηth =
zu
− Q ab
Qab
∆W Q 23
41
41
1
=
=
−
zu
zu
zu
Q 23
Q 23
Q 23
ηDiesel
= 1−
th
m ⋅ c V ⋅ (T4 − T1 )
T4 − T1
= 1−
m ⋅ c p ⋅ (T3 − T2 )
κ ⋅ (T3 − T2 )
Um einen möglichst großen thermischen Wirkungsgrad zu erzielen, muss die Temperaturdifferenz (T4 – T1) möglichst klein sein. Der thermische Wirkungsgrad ist somit um so größer,
je kleiner die Auslasstemperatur T4 , d. h. je größer die Abkühlung bei der isobaren
Expansion ist. Gleichzeitig sollte die Temperaturdifferenz (T3 – T2) möglichst groß sein. Dazu
müsste bei der Gleichdruckverbrennung durch vollständige Ausnutzung des Brennstoffs und
optimierten Reaktionsbedingungen des Verbrennungsprozesses eine hohe Temperatur T3
erreicht werden.
Andererseits liefert eine detaillierte Rechnung:
V3 κ
) −1
V2
= 1−
.
V3
V1 κ −1
κ ⋅(
− 1)( )
V2
V2
(
ηDiesel
th
Mit Hilfe der Größen
VH = Hubvolumen oder Hubraum (VH = V1 – V2)
VK = Kompressionsvolumen VK = V2
VE = Einspritzvolumen (VE = V3 – V2)
LE-3-18
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Thermodynamik LE3
folgt für das Verdichtungs- oder Kompressionsverhältnis ε :
ε=
VH + VK V1
=
VK
V2
und für das Einspritzverhältnis ϕ (auch Volldruckverhältnis genannt)
ϕ=
VK + VE V3
=
.
VK
V2
Der ideale thermische Wirkungsgrad des Dieselmotors ergibt sich dann zu:
ηthDiesel
ϕκ − 1
= 1 − κ −1 ⋅
.
κ ⋅ (ϕ − 1)
ε
1
Einen großen thermischen Wirkungsgrad erreicht man mit einem großen Verdichtungsverhältnis ε und einem kleinen Einspritzverhältnis (oder Volldruckverhältnis) ϕ . Wie beim
Ottomotor nimmt somit auch beim Dieselmotor der Wirkungsgrad mit zunehmenden
Verdichtungs- oder Kompressionsverhältnis zu. Da beim Dieselmotor ε um den Faktor 2
größer als beim Ottomotor ist, übertrifft der Wirkungsgrad des Diesel-Prozesses den des
Otto-Prozesses. Allerdings ist der mittlere Kolbendruck im Dieselmotor wesentlich höher als
im Ottomotor.
Q zu
p
23
p
2
3
∆w
4
p
4
Q ab
41
p
1
V2
V3
V1
V
Abb. 9: p, V-Diagramm des idealisierten Diesel-Prozesses
Ablauf des in Abb. 9 dargestellten Diesel-Prozesses:
→
: Adiabatische Kompression, dabei erhitzt sich die Luft auf etwa 700° C.
→
: Dieselkraftstoff wird eingespritzt. Es erfolgt Selbstzündung und Zufuhr der
zu
Verbrennungswärme Q 23
. Infolge isobarer Expansion (Gleichdruckverbrennung: p 2 = p 3 ) wird Volumenänderungsarbeit auf den Kolben übertragen.
→
: Das Kompressionsvolumen VK = V2 hat sich um das Einspritzvolumen VE auf das
LE-3-19
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Thermodynamik LE3
Volumen V3 = VK + VE vergrößert. Es erfolgt adiabatische Expansion, bei der
weitere Volumenänderungsarbeit auf den Kolben übertragen wird.
→
: Das heiße Gas entspannt sich isochor, d.h. bei konstantem Volumen und entweicht
über das geöffnete Auslassventil zum Auspuff. Dabei wird die Wärmemenge Qab
41
abgeführt und der Ausgangszustand wieder erreicht. Der Kreisprozess ist
geschlossen.
5 Enthalpie
In technischen Prozessen wird oft die Energie eines unter Druck stehenden Gases hoher
Temperatur in einer Wärmekraftmaschine in Arbeit umgesetzt. Erfahrungsgemäß ist dabei
neben der Temperatur auch der Druck des Gases für die Umwandlung in Arbeit von
Bedeutung. Die druckunabhängige innere Energie U ist daher für die Beurteilung der
"Arbeitsfähigkeit" eines solchen Gases nicht hinreichend. Diese Überlegungen führten 1876
Josiah Willard Gibbs(1830 – 1903) zur Definition einer weiteren kalorischen Zustandsgröße,
die seit 1909 nach Heike Kamerlingh Onnes (1853 – 1926), dem Entdecker der
Supraleitung, als Enthalpie H (grch. en thalpein = erwärmen) bezeichnet wird. Sie dient als
Maß für den Wärmeinhalt eines thermodynamischen Systems. Das Formelzeichen H für die
Enthalpie stammt von der englischen Bezeichnung heat content für den Wärmeinhalt.
Die innere Energie U dient somit zur Beschreibung von Systemen und deren Veränderung
bei konstantem Volumen V ( isochore Zustandsänderung). Zur Beschreibung von Systemen
und deren Veränderungen unter konstantem Druck p (isobare Zustandsänderung) wird die
Enthalpie H eingeführt.
H = U + pV
[H]=J
Der Term pV in der Definition der Enthalpie H stellt die Volumenänderungsarbeit Wv dar, die
erforderlich wäre, um dem thermodynamischen System unter Umgebungsbedingungen, die
durch den Druck p charakterisiert sind, einen Raumanspruch mit dem Volumen V zu
verschaffen. Bei einem Gas ist die Enthalpie H = f(T, p) als die Summe aus innerer Energie
U und der Energie pV infolge eines von außen aufgeprägten Druckes gegeben.
Differentiation nach der Temperatur T liefert:
dH dU d
dU
dV
dp
dT = dT + dT (p V ) = dT + p dT + V dT
oder:
dH =dU + pdV + Vdp
Mit Hilfe des 1. Hauptsatzes dQ = dU + pdV folgt:
dH = dQ + Vdp
LE-3-20
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
oder
dQ = dH - Vdp
Für konstanten Druck p gilt:
dp = 0
dQ = dH
oder
Q=H
In Worten: Die Enthalpie ist die Wärmemenge, die bei konstantem Druck zugeführt wird.
Die physikalische Größe Enthalpie wird dort verwendet, wo Prozesse bei konstantem Druck
ablaufen. Bei einer Stoffumwandlung oder Bildung einer chemischen Verbindung ist die
Enthalpie der Endprodukte HE, im Allgemeinen nicht gleich der Summe der Enthalpien der
Ausgangsstoffe HA. Die Differenz ∆H = HE - HA nennt man Wärmetönung der chemischen
Reaktion bzw. der Stoffumwandlung. Ist ∆H > 0, so erfolgt der Prozess unter
Wärmeaufnahme (endothermer Prozess), wie beispielsweise das Verdampfen von Wasser.
Hierbei muss dem System von außen Energie zugeführt werden.
Ist ∆H < 0, so wird bei dem Prozess Wärme frei (exothermer Prozess), wie beispielsweise
beim Verbrennen von Kohlenstoff.
5.1 Freie Enthalpie
Der Begriff der Enthalpie dient auch der Darstellung des gesamten Energieinhaltes von
Arbeitsstoffen wie Dämpfen oder Wärmeüberträgern. Auch die Enthalpie beschreibt dabei
nur das energetisch mögliche. Welche Prozesse tatsächlich ablaufen und wie viel Energie
wirklich frei, d.h. verfügbar wird, folgt aus der Freien Enthalpie G. Analog zur Freien Energie
F gilt für die Freie Enthalpie G:
G = H - TS
Diese Beziehung wird auch als Gibbs-Helmholtzsche Gleichung bezeichnet.
Abb. 10: Freie Enthalpie
LE-3-21
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
5.2 Enthalpiezunahme beim Schmelzen und Verdampfen
Die spezifischen Verdampfungswärmen der Stoffe sind stets wesentlich größer als die
spezifischen Schmelzwärmen. Ebenso wie beim Schmelzen wird beim Verdampfen eine
Abtrennarbeit verrichtet. Während beim Schmelzen Atome gegen die Bindungskräfte des
festen Körpers verschoben werden, geschieht dies beim Verdampfen gegen die kleineren
Bindungskräfte der Flüssigkeit. Sowohl beim Schmelzen als auch beim Verdampfen wird
dabei die Bewegungsenergie der Moleküle vergrößert. Diese Zunahme der
Bewegungsenergie der Moleküle führt zu einer Zunahme der inneren Energie U. Da die
Verdampfung bei konstanter Temperatur erfolgt, gilt:
Der Dampf eines Stoffes besitzt eine größere innere Energie als die Flüssigkeit bei gleicher
Temperatur.
Beim Übergang vom flüssigen zum dampfförmigen Zustand vergrößert sich das
Dampfraumvolumen gegenüber dem Volumen der Flüssigkeit. Der entstehende Dampf
leistet dabei Volumenänderungsarbeit gegen den äußeren Druck. Die zum Verdampfen
erforderliche zugeführte Wärmemenge ∆Q setzt sich aus der Erhöhung der inneren Energie
∆U und der vom Dampf verrichteten Volumenänderungsarbeit ∆W zusammen.
Beim Verdampfen einer Flüssigkeit, die immer bei der Verdampfungs- oder Siedetemperatur
erfolgt, erhöht sich der Wärmeinhalt um die Verdampfungswärme ∆Q und es gilt:
∆Q = ∆H = ∆U + ∆W
Die Verdampfungswärme wird auch als Verdampfungsenthalpie bezeichnet.
Der deutsche Ingenieur Richard Mollier (1863 – 1935) erstellte Zustandsdiagramme für
Dämpfe, die auch als Mollier-Diagramme bezeichnet werden.
Für jeden dampfartigen Stoff existiert eine Temperatur, oberhalb der eine Verflüssigung auch
mit größten Drücken nicht mehr möglich ist. Diese Temperatur wird als kritische Temperatur
und der zugehörige Druck als kritischer Druck bezeichnet.
Beispiel: Wasser ( ϑkr = 374,12 °C; pkr = 221,15 bar)
6 Spezifische Zustandsgrößen
In GdP-LE-1 wurde zwischen intensiven und extensiven Größen unterschieden. Intensive
Zustandsgrößen behalten bei der Teilung eines thermodynamischen Systems, unabhängig
von der Masse, ihren Wert. Sie sind daher masse-unabhängig. Extensive Zustandsgrößen
ändern ihren Wert bei der Teilung des Systems proportional zur Masse. Extensive
Zustandsgrößen eines Systems lassen sich additiv aus den entsprechenden
Zustandsgrößen der Teilsysteme zusammensetzen. Um die Abhängigkeit der extensiven
Zustandsgrößen von der oft zufälligen Masse eines Systems auszuschließen, können diese
Größen auf die Systemmasse m bezogen werden. Damit erhält man die so genannten
spezifischen Zustandsgrößen. Sie werden mit Kleinbuchstaben charakterisiert.
LE-3-22
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Spezifisches Volumen
υ=
V
m
mit der Einheit [ υ] = m 3 / kg ,
Spezifische innere Energie
u=
U
m
mit der Einheit [u] = J/kg,
Spezifische Entropie
s=
S
m
mit der Einheit [s] = J/(kg K)
Spezifische Enthalpie
h=
H
m
mit der Einheit [h] = J/kg
7 Das thermodynamische Gleichgewicht
Ein thermodynamisches System ist im Gleichgewicht, wenn es sich zeitlich nicht mehr
ändert. Durch äußere Einflussnahme kann jedoch der Gleichgewichtszustand gestört
werden. Das Gleichgewicht heißt stabil, wenn nach Wegfall der Äußeren Einflussnahme, das
System wieder in den ursprünglichen Gleichgewichtszustand zurückfällt. Bei mechanischen
Systemen entspricht der Gleichgewichtszustand dem Minimum der potentiellen Energie Epot.
Bei Verschiebung des Systems aus dem Gleichgewichtszustand entstehenden rücktreibende
Kräfte, die zum Minimum der potentiellen Energie hin gerichtet sind. Für ein isoliertes
thermodynamisches System bestimmt die Entropie den Gleichgewichtszustand.
Das thermodynamische Gleichgewicht ist der Zustand maximaler Entropie.
Jeder benachbarte Zustand entwickelt sich im Sinne zunehmender Entropie zum stabilen
Gleichgewichtszustand hin. Bei einem System, das Energie, aber keine Materie mit der
Umgebung austauschen kann, muss die Umgebung mit einbezogen werden. Von selbst
laufen nur Prozesse ab, für die
∆SSystem + ∆SUmgebung ≤ 0
ist. Der Gleichgewichtszustand liegt bei
SSystem + SUmgebung = max
oder
∆SSystem + ∆SUmgebung = 0 .
Diese Definition hat den Nachteil, das nicht nur Systemeigenschaften das Gleichgewicht
bestimmen, sondern noch die Entropieänderung ∆SUmgebung berücksichtigt werden muss. Bei
einem massedichten System ist nur ein Wärmeaustausch ∆Q mit der Umgebung möglich.
Ist ∆Q die dem System zugeführte Wärme, so verliert die Umgebung die Wärmemenge ∆Q .
Die Entropieänderung der Umgebung ist folglich:
LE-3-23
Technische Betriebswirtschaft
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∆SUmgebung = −
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
∆Q
.
T
Damit erhält man für den Gleichgewichtszustand des Systems:
∆SSystem =
∆Q
T
oder unter Weglassung des Index „System“
∆S =
∆Q
.
T
Nach dem 1. Hauptsatz dient ∆Q teils zur Erhöhung der inneren Energie U des Systems,
teils zur negativ zu rechnenden Arbeitsleistung durch das System. Damit erhält man die
Gleichgewichtsbedingung
∆S =
∆U − ∆W
T
oder
∆U − ∆W − T∆S = 0 .
Wenn nur Druckarbeit möglich ist gilt ∆W = −p∆V und man erhält:
∆U + p∆V − T∆S = 0 .
Wird zwangsweise auch das Volumen V konstant gehalten, so ist p∆V = 0 und man erhält bei
konstanter Temperatur T die Gleichgewichtsbedingung
∆(U − TS) = 0 .
Wegen F = U – TS folgt:
∆F = 0 .
Unter isotherm-isochoren Bedingungen ist das thermodynamische Gleichgewicht gegeben
durch das Minimum der freien Energie F = U – TS.
Änderungen in der freien Energie F stellen die „rücktreibenden Kräfte“ dar, die die Prozesse
in Richtung Gleichgewichtszustand treiben.
Sind dagegen p und T konstant, d.h. unter isotherm-isobaren Bedingungen folgt aus
∆U + p∆V − T∆S = 0 mit G = U + pV – TS
∆(U + pV − TS) = 0
oder
LE-3-24
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Thermodynamik LE3
∆G = 0 .
Unter isotherm-isobaren Bedingungen ist das thermodynamische Gleichgewicht durch das
Minimum der freien Enthalpie G gegeben.
Änderungen in der freien Enthalpie G stellen die „rücktreibenden Kräfte“ dar, welche die
thermodynamischen Prozesse in Richtung Gleichgewichtszustand treiben.
Wenn Wärmeaustausch unterbunden ist ( ∆Q = 0), aber Arbeitsleistung möglich ist, wird
T∆S = 0 und aus ∆U + p∆V − T∆S = 0 folgt mit p = konst.
∆(U + pV ) = 0
oder mit H = U + pV
∆H = 0 .
Unter adiabatisch-isobaren Bedingungen liegt das thermodynamische Gleichgewicht im
Minimum der Enthalpie H.
Unter adiabatisch-isochoren Bedingungen ist ∆Q = 0 und ∆V = 0, folglich wird T∆S = 0 und
aus ∆U + p∆V − T∆S = 0 folgt
∆U = 0 .
Unter adiabatisch-isochoren Bedingungen liegt das thermodynamische Gleichgewicht im
Minimum der inneren Energie U.
8 Wärmetransport
8.1 Wärmeübertragungsarten
Die Ausbreitung der Wärme stellt eine Energieübertragung dar. Sie kann durch
- Wärmeleitung
- Wärmeströmung (Konvektion)
- Wärmestrahlung
erfolgen. Voraussetzung für das Entstehen eines Wärmestromes zwischen zwei Systemen
ist ein thermisches Ungleichgewicht, also eine Temperaturdifferenz. Nach dem 2.
Hauptsatz erfolgt der Wärmetransport immer in Richtung von der höheren zur niedrigeren
Temperatur, und zwar so lange, bis kein Temperaturunterschied mehr besteht. Die in der
Zeiteinheit dt transportierte Wärmemenge dQ nennt man den Wärmestrom I Q .
IQ =
dQ
= Q&
dt
LE-3-25
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
[ IQ ] = J/s = W
Der Wärmestrom wird in der Literatur gelegentlich auch durch das Symbol Φ bezeichnet.
Die „treibende Kraft“ für den Wärmestrom ist ein Temperaturgefälle, der so genannte
Temperaturgradient. Die Wärmeausbreitung kann durch Leitung, Konvektion oder Strahlung
erfolgen. Diese drei Vorgänge können einzeln, aber auch gemeinsam auftreten.
8.2 Wärmeleitung
Fließt ein Wärmestrom durch einen Körper, so spricht man von Wärmeleitung. Zunächst
soll die Wärmeleitung durch ebene Wände betrachtet werden. Die experimentelle Erfahrung
zeigt: Für die Wärmeleitung ist ein Temperaturgefälle notwendig. Die pro Zeitintervall dt
durch die Querschnittsfläche A hindurchströmende Wärmemenge dQ, nämlich der
Wärmestrom IQ ist der ebenen Fläche A und der Temperaturdifferenz ∆T direkt und der
Dicke d des Körpers umgekehrt proportional:
dQ
A
I Q = dt = λ
∆T
d
Der Proportionalitätsfaktor λ ist eine Materialkonstante, sie wird Wärmeleitfähigkeit
genannt.
[ λ ] = W/(m K) oder [ λ ] = W cm K
-1
-1
Isolation
T1
T
2
A
A
d
Abb. 11: Wärmeleitung durch eine seitlich isolierte Wand (dunkele Isolierschicht)
A : Wandfläche, d : Wanddicke
In der Wärmeschutzpraxis wird die Länge des Wärmeleiters als Wanddicke d bezeichnet,
um die Verhältnisse mit großen Flächen und kleinen Dicken angemessen zu
charakterisieren. Die im Zeitintervall dt durch die Querschnittsfläche A einer Wand
LE-3-26
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
hindurchgetretene Wärmemenge dQ ist somit dem Temperaturgefälle
T1 - T2
d
=
∆T
, dem
∆x
Querschnitt A und der Zeitdauer dt proportional.
Ist beispielsweise T1 > T2, dann folgt: ∆T = T1 − T2 > 0 . Für die Dicke d gilt: d = x 2 − x 1 = ∆x .
Die Temperaturen T1 und T2 an den Enden des wärmeleitenden Körpers werden konstant
gehalten. Dann stellt sich im stationären Fall ein zeitlich konstantes Temperaturprofil T(x)
ein, d. h. an jeder Stelle x des Körpers herrscht eine konstante Temperatur T(x).
Abb. 12: Temperaturgradient und Wärmestrom durch eine Wand (Fläche A, Dicke d)
dQ = λ ⋅ A ⋅
T − T1
∆T
dT
dt = λA ⋅ ∆∆Tx dt = −λ ⋅ A ⋅ 2
dt = λ ⋅ A ⋅ (− )dt
d
x 2 − x1
dx
dT
dT
∆T
ersetzt. Der Ausdruck
stellt mathematisch einen
durch
∆x
dx
dx
Temperaturgradienten dar, der geometrisch als die Steigung der Funktion T(x) interpretiert
werden kann. Er beschreibt die Körpertemperatur T als Funktion des Ortes x.
Hierbei wurde
dQ
dT
= Q& = I Q = λ ⋅ A ⋅ ( −
).
dt
dx
In dem wärmeleitenden Stab ist aufgrund der angenommenen Homogenität die
Wärmeleitfähigkeit überall gleich. Es bildet sich aufgrund der ebenen Geometrie in
Übereinstimmung mit der experimentellen Beobachtung ein lineares Temperaturgefälle aus.
Das Minuszeichen berücksichtigt die Erfahrungstatsache, dass die Wärme immer in
Richtung des Temperaturabfalls (von heiß nach kalt) fließt. Mit Hilfe der Wärmestromdichte
q& =
IQ
&
Q
= jQ =
A
A
erhält man die 1. Wärmeleitungsgleichung: q& = − λ ⋅
dT
dx
LE-3-27
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Die Wärmestromdichte q& (oder j Q ) ist dem Temperaturgefälle proportional.
Dieser Sachverhalt wird als 1. Wärmeleitungsgleichung oder auch als Fourier’sches
Wärmeleitungsgesetz bezeichnet (Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768 - 1830, franz.
Mathematiker und Physiker). Das Fouriersche Wärmeleitungsgesetz gilt nur für den
stationären Fall, d. h. bei konstantem Temperaturgefälle. Durch geeignete technische
Maßnahmen kann das Temperaturgefälle ständig aufrechterhalten werden. Das heißt:
In jedem beliebig herausgegriffenen Volumenelement des Wärmeleiters bleibt dann die
Temperatur konstant. Es fließt an jeder Stelle genauso viel Wärme zu wie ab.
Die Wärmeleitung erfolgt nur in Materie. Die Wärmeleitfähigkeit ist jedoch keine
Stoffkonstante. Sie ist vielmehr temperatur-abhängig. In nichtmetallischen Festkörpern
erfolgt die Wärmeleitung durch Energieübertragung mittels Gitterschwingungen infolge der
elastischen Kopplung der Atome/Moleküle und nimmt häufig mit steigender Temperatur
aufgrund der Zunahme von Gitterdefekten ab. Die Wärmeleitfähigkeit der Metalle wird
zusätzlich durch freie Leitungselektronen bestimmt und ist wesentlich größer als bei
Nichtmetallen. In Gasen und Flüssigkeiten erfolgt die Wärmeleitung durch unregelmäßige
Stöße zwischen den Molekülen und ist oft von Transportvorgängen in Form von
makroskopischen Strömungen (Konvektion) überlagert. Sie nimmt bei Gasen mit
wachsender Temperatur zu. Die folgende Tabelle listet die Wärmeleitfähigkeiten einiger
Stoffe bei Zimmertemperatur auf.
Material
Diamant
Aluminium
Gold
Kupfer
Silber
Stahl (unlegiert)
Stahl (V2A)
Normalbeton
Glas
Holz (Fichte/Eiche)
Kork
PVC
Polystyrol (EPS)
Sandstein/Kalkstein
Ruß
Wasser
Luft
Argon
Krypton
λ/ Wm K
1000 – 3300
237
317
400
427
45 – 65
14
2,1
0,5 – 1,2
0,13 - 0,2
0,05
0,16
0,035
2,2
0,07
0,6
0,025
0,017
0,009
-1
-1
Tab. 1: Wärmeleitfähigkeit bei 20°C
LE-3-28
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Für die während einer Zeitspanne ∆t = t 2 − t 1 durch Wärmeleitung transportierte
Wärmemenge Q erhält man:
Q=
Q
t2
0
t1
∫ dQ = ∫ IQ dt = λ
t
2
A
A
A
∆T ∫ dt =λ ∆T (t 2 - t 1 ) = λ
∆T ∆t
d
d
d
t1
Oft wird in Anlehnung an das Ohmsche Gesetz [elektrischer Widerstand (R) = Spannung (U)
/ elektrische Stromstärke (I)] ein Wärmeleitwiderstand R als Quotient aus der vorhandenen
Temperaturdifferenz ∆T und dem dadurch verursachten Wärmestrom I Q definiert:
R=
∆T
IQ
Insbesondere ergibt sich damit für den Wärmeleitwiderstand R:
R=
1 d
λ A
[R]=K/W
Von besonderem technischen Interesse ist der Wärmetransport durch Rohrleitungen z. B.
zu Heizzwecken und zur Warmwasserversorgung. Dabei treten durch stationäre
Wärmeleitung durch die zylindrische Rohrwand Energieverluste auf. Im Folgenden soll ein
Rohr der Länge L und der Wanddicke
d = R a − R i betrachtet. Die Rohrwand habe die Wärmeleitfähigkeit λ . Das Fourier’sche
Wärmeleitungsgesetz liefert für den Wärmestrom IQ durch eine Rohrwand den Ansatz
IQ = λ ⋅ A ⋅ ( −
dT
).
dx
Wird als Abstandskoordinate der Radius r verwendet und der Temperaturgradient −
durch −
dT
dx
dT
ersetzt, so folgt mit der Mantelfläche A = 2πrL für die Wärmestromstärke I Q :
dr
IQ = −λ 2πrL
dT
dr
Zur Berechnung des Temperaturprofils T(r) verfährt man folgendermaßen:
dT = −
IQ 1
dr
λ2πL r
LE-3-29
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
T
IQ r 1
∫ dT = − λ2πL R∫ r dr
Ti
i
T(r ) − Ti = −
IQ
r
ln
λ2πL R i
T
Ti
T(r)
Ta
Ri
Ra r
Abb. 13: Nichtlineares Temperaturprofil durch ein Rohr bei Ti > Ta
Ti ist die Temperatur des strömenden Mediums im Innenrohr, R i ist der Innenradius, R a der
Außenradius des Rohres, dort herrschen die Wandtemperaturen Twi bzw. Twa . Ta ist die
Umgebungstemperatur im Außenraum. Für einen beliebigen Abstand r mit R i ≤ r ≤ R a ergibt
sich bei stationärem Wärmestrom IQ ein nichtlineares Temperaturprofil T(r):
T (r ) = Twi −
IQ
λ 2πL
ln
r
.
Ri
Für eine einschalige zylindrische Wand (Rohr) mit Ti > Ta folgt:
Twa = Twi −
IQ
λ 2πL
ln
Ra
.
Ri
Damit ergibt sich für den Wärmestrom IQ durch Wärmeleitung durch eine Rohrwand:
IQ =
λ 2π L
(Twi − Twa )
R
ln a
Ri
Bei nichtstationärer Wärmeleitung ändert sich die Temperatur in einem herausgegriffenen
Volumenelement ∆V an der Stelle x durch unterschiedlichen Zu- und Abfluss von Wärme.
Für die zeitliche Änderung der in ∆V = A∆x steckenden Energie ∆Q erhält man:
LE-3-30
Technische Betriebswirtschaft
D. Bangert
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Abb. 14: Zur Ableitung der 2. Wärmeleitungsgleichung
dQ
dq&
= A ⋅ q& ( x ) − A ⋅ q& ( x + ∆x ) = − A ⋅ ∆x ⋅
dt
dx
Die Änderung der Energiedichte w =
∆V = A∆x :
∆Q
folgt aus obiger Gleichung durch Division durch
∆V
dw
dq&
=−
dt
dx
Die Wärmezufuhr lässt sich durch die zugehörige Temperaturänderung ausdrücken:
dQ = c ⋅ m ⋅ dT
Wegen dw =
dQ
folgt:
dV
dw = c ⋅ ρ ⋅ d T .
c ist die spezifische Wärmekapazität und ρ die Massendichte des Mediums.
Aus
dw
dq&
=−
erhält man dann:
dt
dx
c ⋅ρ⋅
dT
dq&
=−
.
dt
dx
Wird für die Wärmestromdichte q& das Fourier’sche Wärmeleitungsgesetz eingesetzt, so folgt
als Ergebnis die 2. Wärmeleitungsgleichung für eindimensionalen Wärmetransport:
∂T( x, t )
λ ∂ 2 T( x, t )
=
⋅
.
∂t
cρ
∂x 2
LE-3-31
Technische Betriebswirtschaft
D. Bangert
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Die Temperatur T( x, t ) ist dabei eine Funktion von Ort und Zeit. Bei nicht-stationärer
Wärmeleitung ist also eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung zu lösen.
λ
m2
= G T wird Temperatur-Leitwert genannt. Ihre Einheit ist
. Der
c ⋅ρ
s
Temperatur-Leitwert bestimmt die Zeit τ , die zum Temperaturausgleich benötigt wird, sie
wird thermische Relaxationszeit genannt. Für sie gilt
Die Größe
d 2 d 2 ρc
τ=
=
.
GT
λ
Die Größe d charakterisiert die Abmessung des Raumbereiches, über den sich das
Temperaturgefälle erstreckt.
8.3 Wärmeübertragung durch Konvektion
Unter einem Wärmeübergang (konvektiver Wärmeübergang) versteht man die Übertragung
von Wärmeenergie durch die Grenzfläche zweier angrenzender Körper mit verschiedenen
Aggregatzuständen. Berührt ein Fluid (Flüssigkeit oder Gas) mit der Temperatur TF eine
feste Wand mit der Temperatur TW , so findet an der Grenzfläche der beiden Medien ein
konvektiver Wärmeübergang statt. An der Übergangsstelle tritt dabei ein Temperatursprung
∆T = TW − TF auf. Der übertragene Wärmestrom ist der Berührungsfläche A und dieser
Temperaturdifferenz ∆T proportional.
dQ
I Q = dt = h A ∆T
Der Proportionalitätsfaktor h heißt Wärmeübergangskoeffizient. Gelegentlich wird für den
Wärmeübergangskoeffizienten in der Literatur noch das früher übliche Symbol α verwendet.
Er hängt von der Oberflächenbeschaffenheit der Wand ab und wird wesentlich durch die
Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeiten bzw. der Gase an der Grenzfläche Wand/Fluid
bestimmt. Beim konvektiven Wärmetransport unterscheidet man zwischen freier und
erzwungener Konvektion.
Die freie Konvektion beruht auf dem Auftrieb des fluiden Mediums infolge seiner
temperaturabhängigen Dichte. Durch Wärmeausdehnung nimmt nämlich die Dichte des
fluiden Mediums ab. Die durch Sonneneinstrahlung über dem Erdboden erhitzte Luft dehnt
sich aus. Ihre Dichte nimmt ab und sie steigt gegenüber der sie umgebenden Kaltluft auf.
Dieser Vorgang wird in der Meteorologie Thermik genannt und beuht auf freier Konvektion.
Der Strom aufsteigender Warmluft, die Thermik, wird beispielsweise von Greifvögeln oder
Segelflugzeugen ausgenutzt, um „antriebslos“ Höhe über dem Erdboden zu gewinnen. Freie
Konvektion kann auch in einem mit Wasser gefülltem Kochtopf auf der heißen Herdplatte
beobachtet werden. Bei der erzwungenen Konvektion handelt es sich um eine durch
Pumpen oder Ventilatoren hervorgerufene Zwangskonvektion. Ein Beispiel für erzwungene
LE-3-32
Technische Betriebswirtschaft
D. Bangert
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Konvektion stellt das Umluftgebläse eines Backofens dar.Die Konvektion stellt somit eine
Form der Wärmeübertragung dar, die durch eine (materielle) Strömung des fluiden Mediums
bewirkt wird.
Für die durch Wärmeübergang in der Zeitspanne ∆t durch das Fluid 1 (Luft) in die Wand
transportierte Wärmemenge Q gilt:
Q = h A ∆T∆t
[h ] =
W
m2 K
Besteht für eine Wand ein Temperaturgefälle gemäß Abb. 15, so gilt für den Wärmetransport
durch Wärmeübergang an der linken Grenzfläche:
Q1 = h i A∆Ti ∆t
(Wärmeübergang Fluid 1 / Wand)
∆Ti = ϑ1 − ϑ w,i
ϑ1 ist die mittlere Temperatur des Fluids 1 (Innenraumtemperatur) und ϑ w,i die
Oberflächentemperatur der Innenseite der Wand.
ϑ
Fluid 1
ϑ1
Wand Fluid 2
αi
d
ϑ w,i
αa
ϑw,i
ϑw,a
λ
ϑw,a
ϑ2
x
Abb. 15: Wärmeübergang ( αi = hi und α a = ha ) an Grenzschichten (schematisch)
Für den Wärmeübergang an der rechten Grenzfläche gilt:
Q 2 = h a A∆Ta ∆t
(Wärmeübergang Wand / Fluid 2)
∆Ta = ϑ w,a − ϑ 2
ϑ2 ist die mittlere Temperatur des Fluids 2 (Außentemperatur der Luft) und ϑ w ,a die
Oberflächentemperatur der Außenseite der Wand. Durch die einschalige Wand, die
wärmetechnisch durch Wanddicke d und Wärmeleitfähigkeit λ charakterisiert ist, findet ein
Wärmetransport durch Wärmeleitung statt. Die Konvektion setzt einen Energieaustausch
LE-3-33
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
durch Erhöhung der Teilchenenergie der Gas- oder Flüssigkeitsmoleküle des Fluids und
anschließenden Transport der Teilchen an eine Stelle niederer Temperatur voraus.
Die Konvektion in Gasen und Flüssigkeiten beruht auf Energie- und Massentransport.
Die Wärmeleitung in festen Körpern erfolgt dagegen nur durch Energietransport.
Beispiel:
Abkühlung/ Erwärmung eines Körpers in einem umgebenden Medium konstanter
Temperatur
Eine heiße Metallkugel der Masse m, der spezifischen Wärmekapazität c, der Oberfläche
A und mit der Anfangstemperatur T0 wird in ein kaltes Wasserbad von gegebener
Temperatur TU getaucht. Es gelten folgende idealisierende Voraussetzungen:
Das Bad ist derart groß, dass seine Temperatur durch den Prozess nicht beeinflusst
wird.
Der eingetauchte Körper hat jederzeit überall dieselbe Temperatur.
∆T = T( t ) − TU sei die Temperaturdifferenz zwischen den Körper und dem umgebenden
Bad.
dQ
Ausgehend vom Wärmestrom I Q = dt = h A ∆T = hA (T − TU ) wird Wärme an die
Umgebung abgegeben. Der Körper kühlt sich dadurch ab. Seine Temperatur T = T(t) ist
dadurch eine Funktion der Zeit. Im infinitesimal kleinen Zeitintervall dt gibt er die
Wärmemenge dQ = −mcdT an das umgebende Wärmebad ab. Durch das negative
Vorzeichen wird berücksichtigt, dass die Temperatur abnimmt. Denn für eine
Temperaturabnahme ist dT < 0 und folglich sind dann dQ und I Q > 0.
dQ − mcdT
= hA (T − TU )
dt =
dt
dT
hA
=−
dt
T − TU
mc
T
∫
T0
t
dT
hA
=−
dt
T − TU
mc 0
∫
Zum Anfangszeitpunkt t = 0 ist T = T0 . Auswertung des Integrals liefert schließlich:
ln
T − TU
hA
=−
t
T0 − TU
mc
Nach Delogarithmierung folgt:
−
t
T − Tu
= e mc
T0 − TU
hA
LE-3-34
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Die Abkühlungsfunktion ergibt sich damit zu
T ( t ) = (T0 − TU )e
−
hA
t
mc
+ TU .
Die Temperatur senkt sich im Laufe der Zeit exponentiell und nähert sich der
Umgebungstemperatur TU an.
T(t)
T0
TU
0
t
Abb. 16: Abkühlung eines heißen Körpers auf Umgebungstemperatur TU
8.4 Wärmedurchgang
Der Wärmedurchgang durch eine beliebige Wand wird durch die Beziehung
dQ
I Q = dt = U A ∆T
beschrieben. Der Proportionalitätsfaktor U wird nach EN ISO Wärmedurchgangskoeffizient
oder U - Wert der Wand genannt. In der physikalischen Fachliteratur ist allerdings auch noch
die alte Bezeichnung k-Wert gebräuchlich.
[U]=
W
m2 K
Ist eine einschalige ebene Wand der Dicke d beidseitig von zwei Fluiden z. B. Luft umgeben,
so findet zunächst ein Wärmeübergang vom Gas auf die Wand statt. In der Wand wird die
Wärmeenergie durch Wärmeleitung übertragen. Die Wand gibt dann die Wärmeenergie
wieder durch Wärmeübertragung an die Luft ab. Im stationären Fall bleibt die Temperatur
T(x) an jeder Stelle x konstant, d.h. die Wärmeaufnahme ist an jeder Stelle der Wand gleich
der dortigen Wärmeabgabe.
LE-3-35
Technische Betriebswirtschaft
D. Bangert
T
1
TL
i
Luft
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Luft
Wand
2
3
TW
i
TWa
4
TLa
d
x
Abb. 17: Wärmedurchgang durch eine einschalige ebene Wand
Der Wärmestrom IQ ist im stationären Fall überall gleich groß.
Für den Wärmedurchgangskoeffizienten U dieser einschaligen Anordnung gilt:
Wärmeübergang an der Innenwand ( h i = h 1 ):
(1)
I Q = h 1 ⋅ A ⋅ (ϑ L ,i − ϑ W ,i )
IQ
oder
ϑ L , i − ϑ W ,i =
oder
ϑW ,i − ϑW ,a =
IQ
λ
⋅A
d
ϑ W ,a − ϑ L ,a =
IQ
h1 ⋅ A
Wärmeleitung durch die Wand:
(2)
IQ =
λ
⋅ A ⋅ (ϑW ,i − ϑW ,a )
d
Wärmeübergang an der Außenwand ( h a = h 2 ):
(3)
I Q = h 2 ⋅ A ⋅ (ϑ W , a − ϑ L , a )
oder
h2 ⋅ A
Durch Addition der rechten und linken Seiten der Gleichungen (1) – (3) erhält man:
(ϑ L ,i − ϑ W ,i ) + ( ϑ W ,i − ϑ W , a ) + (ϑ W , a − ϑ L , a ) =
IQ
h1 ⋅ A
+
IQ
IQ
+
λ
h2 ⋅ A
⋅A
d
Umformung liefert:
ϑ L,i − ϑ L,a = ∆ϑ =
IQ
A
⋅(
1 d
1
+ +
) oder
h1 λ h 2
IQ =
1
⋅ A ⋅ ∆ϑ .
1 d
1
+ +
h1 λ h 2
In Kurzform erhält man für den Wärmedurchgang die Gleichung:
LE-3-36
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
IQ = U A ∆T
Koeffizientenvergleich liefert für den Wärmedurchgangskoeffizienten U einer einschaligen
ebenen Wand:
1
1
1 d
=
+
+ .
U h1 h 2 λ
Für eine mehrschalige ebene Wand aus insgesamt n verschiedenen wärme-leitenden
Schichten und m Wärmeübergängen lässt sich der Wärmedurchgangskoeffizient U auf die
Wärmeleitfähigkeiten λ i der einzelnen Schichten mit den jeweiligen Schichtdicken di und die
Wärmeübergangskoeffizienten h j zurückführen.
Es gilt:
1 i =n di j =m 1
= ∑
+ ∑
U i =1 λi
j =1 h j
ϑ
ϑi
ϑw,i
ϑg
αi
d1
d2
λ1
λ2
1
2
ϑ w,a
ϑa
αa
x
Abb. 18: Wärmedurchgang durch eine zweischalige ebene Wand mit λ 1 > λ 2
und h i = α i sowie h a = α a
Für den Wärmedurchgang durch eine zylindrische Rohrwand müssen zunächst die
Wärmeströme infolge Wärmeübergang an der Innen- und Außenseite der Rohrwand
berechnet werden. Für den Wärmestrom durch Wärmeübergang innen bzw. außen gilt:
I Q = h i A i (Ti − Twi ) = h i 2πR i L(Ti − Twi )
I Q = h a A a (Twa − Te ) = h a 2πR a L(Twa − Ta )
LE-3-37
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Dabei sind h i und h a die Wärmeübergangskoeffizienten innen bzw. außen und A i = 2πR i L
sowie A a = 2πR a L sind die Wandflächen innen bzw. außen. Aus der Temperaturbilanz
Ti − Ta = (Ti − Twi ) + (Twi − Twa ) + (Twa − Ta )
und aus dem Tatbestand, dass alle Wärmeströme im stationären Zustand gleich groß sind,
folgt die Berechnungsformel für den Wärmedurchgang:
IQ =
2πL(Ti − Ta )
= UA(Ti − Ta )
1
1 R
1
+ ln a +
R ihi λ R i R a h a
U ist der Wärmedurchgangskoeffizient und A = 2πR a L ist die von der Rohrgeometrie
abgängige Außenfläche.
U=
1
Ra
R
R
1
+ a ln a +
R ihi
λ
Ri ha
Besteht das Rohr aus mehreren Schichten, addieren sich die einzelnen
Wärmeleitwiderstände (analog zur ebenen mehrschaligen Wand) zum
Gesamtwärmeleitwiderstand. Beispielsweise erhält man dann für den Wärmestrom
infolge Wärmedurchgang durch eine zweischalige Rohrwand (Rohr mit Isolierschicht):
IQ =
2π L
(Ti − Ta ) = UA(Ti − Ta )
1
1 R
1 Ra
1
+ ln 1 +
ln
+
R i h i λ1 R i λ 2 R 1 R a h a
R i ist der Innenradius des Innenrohres (1. Rohres mit der Wärmeleitfähigkeit λ1 ), dort
herrscht die Temperatur Twi . R1 ist der Außenradius des Inennrohres (identisch mit dem
Innenradius des Außenrohres). R a ist der Außenradius des Außenrohres mit der
Wärmeleitfähigkeit λ 2 . Dort herrscht die Wandtemperatur Twa . Mit A = 2πR a L folgt für den
Wärmedurchgangskoeffizienten U eines zweischaligen Rohres:
U=
1
Ra
R
R
R
R
1
+ a ln 1 + a ln a +
R i h i λ1 R i λ 2 R 1 h a
8.5 Wärmestrahlung
Aus Erfahrung ist bekannt, dass alle Körper bei höheren Temperaturen eine spürbare
Wärmestrahlung abgeben. Wird ein Temperaturausgleich infolge Wärmeleitung und
Konvektion zwischen zwei Körpern unterschiedlicher Temperatur unterbunden, indem sie ins
Vakuum gebracht werden, so stellt man fest, dass sich trotzdem eine einheitliche
Temperatur einstellt. Die Wärmestrahlung setzt keine Materie für den Energietransportvorgang voraus. Sie erfolgt somit auch durch den materiefreien Raum (Vakuum).
LE-3-38
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Systeme oder Körper verschiedener Temperatur stehen in Strahlungswechselwirkung
untereinander. Sie tauschen Wärmestrahlung, die wie Licht eine elektromagnetische
Strahlung ist, aus. Alle Körper strahlen daher Wärme ab, man spricht von Emission, und
nehmen Wärmestrahlung, die von anderen Körpern ausgeht, auf. Dieser Vorgang wird
Absorption genannt. Durch Wärmestrahlung kann Wärmeenergie auch im materienfreien
Raum transportiert werden, wie das Beispiel der Sonneneinstrahlung durch den Weltraum
auf die Erde zeigt. Welche Energie ein Körper dabei durch Wärmestrahlung abgibt, ist nur
von seiner Eigentemperatur nicht aber von der Temperatur der Umgebung abhängig. Wird
die Temperatur eines Körpers erhöht, so steigt nicht nur die von ihm ausgesandte
Strahlungsleistung an, sondern es ändert sich auch die spektrale Zusammensetzung. Unter
Wärmestrahlung (nahe und mittlere Infrarotstrahlung) versteht man dabei den infraroten
Spektralbereich mit Wellenlängen zwischen 0,8 µm - 10 µm . Die sog. extreme Infrarotstrahlung reicht bis zu einer Wellenlänge von 1000 µm und grenzt dort an die Mikrowellenstrahlung.
Beispiel: Farbeindruck einer erhitzten Stahlprobe als Funktion seiner Temperatur
ϑ / °C
650
900
950
1000
1100
≥ 1300
Farbeindruck
Dunkelrot
Hellrot
Orange
Gelb
Hellgelb
Weiß
Die von der Sonne emittierte Strahlung gelangt durch den interplanetarischen Raum zur
Erde. Sie besteht im Wesentlichen aus dem sichtbaren Licht (SL), der ultravioletten
Strahlung (UV) und der infraroten Strahlung (IR), die auch als Wärmestrahlung bezeichnet
wird. Die Solarstrahlung stellt jedoch nur einen kleinen Ausschnitt aus dem gesamten
Spektrum der elektromagnetischen Strahlung dar, zu dem auch die Röntgenstrahlung und
die extrem kurzwellige Gammastrahlung gehört.
HF
SL UV ...
IR
fernes nahes
IR
IR
Radiowellen Mikrowellen
...
6
10 Hz
109 Hz
10 12 Hz
...
1mm
100µm
1015 Hz
f
λ
1µm 100nm Abb
Abb. 19: Ausschnitt aus dem elektromagnetischen Strahlungsspektrum
Der Infrarotstrahlung schließt sich in Richtung abnehmender Frequenzen (zunehmender
Wellenlängen) der elektrotechnisch genutzte Hochfrequenzbereich (HF) an.
Die elektromagnetische Strahlung wird auch als Photonenstrahlung bezeichnet. Details
werden im Rahmen einer Einführung in die Atomphysik dargestellt.
LE-3-39
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Zwischen der Wellenlänge λ und der Frequenz f einer elektromagnetischen Welle besteht
die Beziehung:
λ f=c
[λ]=m
1
[ f ] = s = Hz
Dabei gilt:
1 s-1 = 1 Hz (Hertz)
c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Strahlung, die
Lichtgeschwindigkeit.
c = 2,99792454 ⋅ 10 8 m / s ≈ 3 ⋅ 108 m / s
Eine elektromagnetische Welle mit der Frequenz f transportiert die Strahlungsenergie E:
E=hf
Der Proportionalitätsfaktor h ist das Plancksche Wirkungsquantum, eine fundamentale
Konstante der Atomphysik.
h = 6,626 ⋅ 10 −34 Js
Die von einem Körper ausgehende Strahlungsleistung P = E& ist identisch mit dem EnergiedE
oder Strahlungsstrom E& =
= Φ der Strahlungsquanten, den sog. Photonen. Die
dt
Strahlungsleistung hängt von der Temperatur T des Körpers, seiner Fläche A sowie seiner
Oberflächenbeschaffenheit ab. Als fotometrische Größe wird der Strahlungsstrom,
üblicherweise mit dem Formelzeichen Φ versehen, auch als Strahlungsfluss bezeichnet.
[P] = [E& ] = [Φ ] = W
Unter dem spektralen Strahlungsfluss Φ λ versteht man den auf das Wellenlängenintervall
dλ bezogenen Anteil des Strahlungsflusses, der durch Photonen im Wellenlängenbereich
zwischen λ und λ + dλ hervorgerufen wird.
Φλ =
dΦ
dλ
und
[Φ λ ] =
W
m
LE-3-40
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
∞
Es gilt:
Φ = ∫ Φ λ dλ
0
Die auf die Senderfläche A bezogene Strahlungsleistung wird Strahlungsflussdichte ϕ
oder spezifische Ausstrahlung M genannt.
ϕ=M=
P Φ
=
A A
und
[M] =
W
m2
A ist die Senderfläche des Strahlers. Analog erhält man für die spektrale
Strahlungsflussdichte oder spezifische spektrale Ausstrahlung Mλ :
Mλ =
dM Φ λ 1 dΦ
=
=
dλ
A
A dλ
und
[Mλ ] =
W
m3
Bringt man beispielsweise einen Kupferwürfel mit verschiedener Oberflächenbeschaffenheit
von 4 seiner 6 Seitenwände (Seitenfläche 1: blank poliert; Seitenfläche 2: farbig lackiert;
Seitenfläche 3: weiß; Seitenfläche 4: mattschwarz lackiert) auf eine einheitliche Temperatur
T, so stellt man fest, dass die Strahlungsintensität der Seitenflächen verschieden ist.
Abb. 20: Massiver Kupferwürfel mit konstanter Temperatur T
Die weiße Fläche strahlt stärker als die blank polierte, die bunte strahlt stärker als die weiße
und die schwarze Fläche strahlt am stärksten.
Man sagt, das Emissionsvermögen oder der Emissionsgrad ist verschieden; es hängt
offensichtlich von der Oberflächenbeschaffenheit der Körper ab.
Die Erfahrung zeigt ferner, dass ein dunkler Körper sich bei auftreffender Strahlung stärker
erwärmt als ein heller. Das Absorptionsvermögen oder der Absorptionsgrad ist ebenfalls
verschieden.
Das größte Absorptionsvermögen besitzt ein Körper, der alle einfallende Strahlung
vollständig absorbiert. Er besitzt das Absorptionsvermögen α = 1 und erscheint einem
Beobachter im auffallenden Licht schwarz, da er keinerlei Strahlung reflektiert. Einen solchen
LE-3-41
Technische Betriebswirtschaft
D. Bangert
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Körper nennt man einen ideal schwarzen Körper oder einen schwarzen Strahler. Die beste
Realisierung eines schwarzen Strahlers stellt ein beheizter Hohlzylinder der Temperatur T
mit einer kleinen Öffnung A dar. Der Strahlungsstrom, der von außen durch die kleine
Öffnung in den Hohlraum eintritt, wird im Innern nach mehrfacher Reflexion nach Maßgabe
seines Absorptionsgrades schließlich vollständig absorbiert ( α = 1). Der aus dem Hohlraum
durch die Öffnung mit der Fläche A austretende Strahlungsstrom ist identisch mit dem von
einer schwarzen Fläche gleicher Temperatur ausgehenden Strahlungsstrom. Die von einem
schwarzen Strahler ausgehende Strahlung wird daher auch Hohlraumstrahlung genannt.
Der auf einen Körper auftreffende Strahlungsstrom Φ 0 kann absorbiert (Anteil Φ a ),
reflektiert (Anteil Φ r ) oder durchgelassen (Anteil Φ d ) werden.
Φ0
Φa =α Φ 0
Φr =ρ Φ 0
Φd =τ Φ 0
Abb. 21: Absorption, Reflexion und Transmission von Strahlung
Es gilt:
α=
Φa
Φ0
ρ=
Φr
Φ0
τ=
Φd
Φ0
α heißt Absorptionsgrad, ρ ist der Reflexionsgrad und τ wird Transmissionsgrad
genannt.
Mit diesen Definitionen folgt:
α+ρ+τ =1
α , ρ und τ stellen dimensionslose Stoffkennzahlen dar.
[α] = [ρ ] = [τ ] = 1
LE-3-42
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Unter einem schwarzen Körper (Strahler) versteht man denjenigen Körper, der das
Absorptionsvermögen α S = 1 besitzt, der somit die einfallende Strahlung im gesamten
Spektrumbereich vollständig absorbiert und in Wärme umwandelt.
Für den schwarzen Körper (Strahler) gilt:
αS = 1
und
ρS = τS = 0
Für den weißen Körper (Strahler) gilt:
ρW = 1
und
α W = τ W = 0.
Der schwarze als auch der weiße Körper (Strahler) sind theoretische Grenzfälle. Die meisten
Körper sind im Hinblick auf ihr Absorptionsvermögen dagegen grau, d.h. sie absorbieren von
der Strahlung unabhängig von ihrer Wellenlänge stets den gleichen Anteil (0 < α < 1). Im
Unterschied dazu absorbieren farbige Körper im optischen Bereich die Strahlung
verschiedener Wellenlängen unterschiedlich stark. Ihr Absorptionsvermögen α ist somit
wellenlängenabhängig. α = α ( λ ) wird daher auch spektraler Absorptionsgrad genannt.
Messungen bei verschiedenen Wellenlängen führen ebenfalls auf verschiedene ρ − und
τ − Werte. Diese Größen sind daher ebenfalls von der Wellenlänge λ und der Temperatur T
abhängig. Stellt man zwei nach außen isolierte Körper 1 und 2 (Abb. 22) gleicher Fläche A
mit den Absorptionsvermögen α 1 und α 2 im Vakuum gegenüber, so ergibt sich Folgendes:
Der linke Körper (Index 1) im oberen Teil der Abb. 22 emittiert den Strahlungsstrom Φ 1 , der
rechte Körper (Index 2) Φ 2 . Von der auf Körper 1 auftreffenden Strahlung Φ 2 absorbiert der
linke Körper α 1Φ 2 und reflektiert
Φ r ,1 = ρ1Φ 2 = (1 − α 1 )Φ 2 .
Der rechte Körper absorbiert α 2 Φ 1 und reflektiert
Φ r ,2 = ρ 2 Φ 1 = (1 − α 2 )Φ 1 .
Im thermischen Gleichgewicht sind für beide Körper die emittierten und absorbierten
Strahlungsströme identisch. Andernfalls würde sich im Widerspruch zum 2. Hauptsatz der
Thermodynamik von selbst eine Temperaturdifferenz aufbauen. Im Strahlungsgleichgewicht
folgt:
Φ 1 + Φ 1,r = Φ 2 + Φ 2,r
Φ 1 + (1 − α 1 )Φ 2 = Φ 2 + (1 − α 2 )Φ 1
LE-3-43
Technische Betriebswirtschaft
D. Bangert
Φ1
α1
=
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Φ2
α2
Vakuum
1
2
1
α1
2
(1-α1 )Φ2
α2
(1-α2)Φ1
verspiegelt
Vakuum
1
2
s
αs =1
α<1
2
(1-α) Φs
verspiegelt
Abb. 22: KIRCHHOFFsches Strahlungsgesetz
Ist Körper 1 ein schwarzer Strahler ( α 1 = α S = 1) und Körper 2 ein grauer Strahler mit dem
Absorptionsgrad α < 1 (unterer Teil der Abb. 22), so emittiert der schwarze Strahler den
Strahlungsstrom Φ 1 = Φ S und absorbiert den Strahlungsstrom Φ 2 des grauen Strahlers
sowie den vom grauen Strahler reflektieren Anteil Φ r = ρΦ S = (1 − α )Φ s . Im thermischen
Gleichgewicht sind emittierter und absorbierter Strahlungsstrom des schwarzen Körpers
gleich groß:
Φ S = Φ 2 + Φ r = Φ 2 + (1 − α )Φ S
oder
Φ 2 (T ) = αΦ S (T )
Allgemein gilt: Ein beliebiger, durch sein Absorptionsvermögen α gekennzeichneter nichtschwarzer Körper emittiert einen Strahlungsstrom Φ , der um den Faktor α kleiner ist als
derjenige eines schwarzer Strahlers gleicher Temperatur.
Φ ( T ) = αΦ S ( T )
Wegen
Φ 2 (T )
= Φ s (T )
α
folgt:
LE-3-44
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Für alle Körper gleicher Temperatur T ist das Verhältnis von emittierten Strahlungsstrom zum
Absorptionsvermögen gleich.
Also gilt insbesondere
Φ 1 Φ 2 Φ S (T ) Φ S (T )
=
=
=
= Φ S (T ) .
α1 α 2
αS
1
Der schwarze Strahler absorbiert nicht nur am besten, er gibt auch von allen Körpern
gleicher Temperatur T die größte Strahlungsleistung ( ε S = 1 ) ab. 1859 fasste Gustav
Kirchhoff (1824 – 1887) die Ergebnisse seiner umfangreichen experimentellen
Untersuchungen folgendermaßen zusammen:
Das Emissionsvermögen ε eines Körpers ist gleich seinem Absorptionsvermögen α :
ε=α
Φ(T ) = αΦ S (T ) = εΦ S (T )
Dieses Ergebnis wird als Strahlungsgesetz von Kirchhoff bezeichnet.
Die Stoffkennzahl ε wird auch Emissionsverhältnis oder Emissionsgrad genannt und ist eine
dimensionslose Zahl.
[ε] = 1
Aus dem Kirchhoffschen Gesetz folgt, dass im Strahlungsgleichgewicht die pro Zeiteinheit
ausgestrahlte Energie (emittierte Strahlungsleistung) gleich der pro Zeiteinheit absorbierten
Energie (absorbierte Strahlungsleistung) ist. Im Strahlungsgleichgewicht ändert sich daher
die Temperatur des Strahlers nicht, da der Temperaturausgleich erreicht ist. Das
Emissionsvermögen eines Körpers hängt von seiner Oberflächenbeschaffenheit ab und wird
wesentlich durch sein Verhalten im nichtsichtbaren Infrarotbereich bestimmt.
Stoff
Kupfer poliert
Kupfer aufgeraut (geschmirgelt)
Kupfer schwarz oxidiert
Aluminium poliert
Aluminium aufgeraut
Aluminium schwarz eloxiert
Heizkörperlack
schwarzer Mattlack
Wasseroberfläche
Eisoberfläche
Ruß
Emissionsgrad
ε
0,03
0,1
0,8
0,04
0,1
0,85
0,95
0,97
0,95
0,96
0,98
Tab. 2: Emissionsgrad von Stoffen mit unterschiedlicher Oberflächenbeschaffenheit
LE-3-45
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Thermodynamik LE3
Die spezifische Ausstrahlung M, d. h. die Energie, die ein Körper (Strahler) pro Sekunde und
Flächeneinheit, d.h. bezogen auf seine Oberfläche, in den Halbraum abstrahlt, ist
proportional zur vierten Potenz seiner absoluten Temperatur. Dies ist die Aussage des
Stefan-Boltzmannschen Gesetzes:
M = εσT 4
Der Faktor σ heißt Stefan-Boltzmann-Konstante.
σ = 5,67 ⋅ 10 −8 W m −2 K −4
Das Stefan-Boltzmannsche Gesetz wurde 1879 von dem österreichischen Mathematiker
und Physiker Josef Stefan (1835 – 1893) zur Interpretation von Messdaten formuliert, die bei
der Untersuchung des Strahlungsverhaltens schwarzer Körper experimentell ermittelt
worden waren. Sein Schüler, der Wiener Physiker Ludwig Boltzmann (1844 – 1906), hat
dieses Gesetz später theoretisch aus der Planckschen Strahlungsformel abgeleitet.
Für den schwarzen Körper (Strahler) mit der Oberfläche A = 1m 2 ist ε = ε S = 1 und:
Ms = σT 4
Die Wärmestrahlungsleistung grauer Körper ist wegen des (von der Wellenlänge
unabhängigen) kleineren Emissionskoeffizienten (ε < 1) geringer als die des schwarzen
Körpers bei derselben Temperatur.
M = εMs
Der Index s in M s charakterisiert den schwarzen Strahler. in Der Wärmeverlust eines
Körpers mit der Oberflächentemperatur T, der Oberfläche A und des Emissionsgrades ε
durch Wärmestrahlung in den Halbraum ist dann:
P = Φ = M ⋅ A = AεσT 4
Die Strahlungsleistung P stellt dabei einen strahlungsbedingten Wärme- oder
Strahlungsstrom Φ dar. Durch die abgegebene Strahlung verliert der "Strahler"
Wärmeenergie und kühlt sich ab. Der durch das Stefan-Boltzmannsche Gesetz
beschriebene Zusammenhang gilt auch für die absorbierte Strahlungsleistung, wenn die
Umgebung des Körpers die Temperatur T besitzt. Bei der Absorption geht allerdings der
Absorptionsgrad α ein. Er ist im allgemeinen kleiner 1, da ein Teil der auftreffenden
Strahlung reflektiert wird.
8.6 Strahlungsgesetz von Planck
Jeder Körper mit der absoluten Temperatur T ist Quelle einer elektromagnetischen
Strahlung, der so genannten Wärmestrahlung. Die spektrale Strahlungsflussdichte (kurz
spektrale Strahldichte) oder spektrale spezifische Ausstrahlung Mλ (λ ) ist eine Funktion der
Wellenlänge λ und wird durch das Plancksche Strahlungsgesetz beschrieben. Es
beschreibt die im Wellenlängenbereich von λ bis dλ emittierte Strahlungsleistung. Für die
LE-3-46
Technische Betriebswirtschaft
D. Bangert
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
dM s
eines schwarzen Strahler ( ε = ε S = 1 ) mit der
dλ
Senderfläche A = 1 m 2 in den Halbraum ( Ω = 2π ) gilt:
spektrale spezifische Ausstrahlung M s,λ =
Ms,λ (λ ) =
2πhc 2
λ5
1
hc
e kλ T − 1
Dieses Ergebnis wurde im Jahre 1900 von Max Planck (1858 – 1947) in der Zeitschrift
Annalen der Physik veröffentlicht. Er wurde dafür 1918 mit dem Nobelpreis für Physik
ausgezeichnet. Die Größen c, h und k sind Naturkonstanten. c ist die Lichtgeschwindigkeit, h
ist das Plancksche Wirkungsquantum und k ist die Boltzmann-Konstante.
Die von einem schwarzen Strahler emittierte spektrale spezifische Ausstrahlung Ms,λ ist für
jede spezielle Wellenlänge λ nur von der Temperatur des Körpers abhängig und unabhägig
von seinem Material.
M s,λ
10 W/m³
10
UV
IR
SL
viol.
blau
grün
gelb
rot
13
6000K
5
5000K
4000K
0
500
λ/nm
1000
Abb. 23: Spektrum des schwarzen Strahlers bei verschiedenen Temperaturen
Durch Integration lässt sich die spezifische Ausstrahlung M berechnen. Für einen
schwarzen Körper erhält man:
∞
∞ 2πhc 2
M s = ∫ M s , λ dλ = ∫
0
0
5
λ
1
hc
k
e λT
dλ =
−1
2π 5 k 4
3 2
T 4 = σT 4
15h c
Hinweis: Die Auswertung des uneigentlichen Integrals ist etwas trickreich und wird daher im
Anhang dargestellt. Diese Gesetzmäßigkeit ist das von den österreichischen Physikern Josef
Stefan 1879 experimentell gefundene und von Ludwig Boltzmann 1884 theoretisch
begründete Stefan-Boltzmann-Gesetz. Darin steht die Stefan-Boltzmannsche Konstante
σ als Abkürzung für folgenden Ausdruck der Naturkonstanten:
σ =
2π 5k 4
W
= 5,6705 ⋅ 10 −8 2 4
3 2
15h c
m ⋅K
LE-3-47
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Die Lage des Maximums λ max im Planckschen Strahlungsgesetz (Abb. 23) verschiebt sich
offensichtlich mit wachsender Temperatur des Strahlers zu kürzeren Wellenlängen hin.
Wilhelm Wien (1864 – 1928) konnte experimentell eine Proportionalität der Form λ max ∝ 1 / T
nachweisen, welche auch rechnerisch aus der Planckschen Strahlungsformel folgt.
Die Lage des Maximums λ max im Planckschen Strahlungsgesetz folgt aus
M ′s, λ (λ max ) = 0.
Mit der Abkürzung x =
M s, λ (λ ) =
2πhc 2
hc
folgt:
kTλ
1
λ5
e
hc
k B λT
= f ( x) =
2πk 5 T 5
x5
c 3h 4
ex − 1
−1
d
f ( x) = f ' ( x)
dx
f ′( x ) =
[
2πk 5 T 5 5 x 4 (e x − 1) − x 5 e x
[e
3 4
c h
x
]
−1
]
2
x E sei Extremum, dann gilt:
f ′( x E ) = 0
5 x E (e x E − 1) − x E e x E = 0
4
5
5e x E − 5 − x E e x E = 0
5 − 5e − x E − x E = 0
5 = 5e − x E + x E
1 = e −x E +
xE
5
Diese transzendente Gleichung besitzt die numerisch ermittelte Lösung
x E = 4,9651.
Mit x E =
hc
und den Daten der Naturkonstanten
k B Tλ max
LE-3-48
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Physik und Umwelt
c = 299792458 m/s, k B = 1,380658 10
-23
Thermodynamik LE3
J/K und h = 6,626075 10
-34
Js
folgt:
λ max T =
hc
= 2,8978 ⋅ 10 −3 m ⋅ K oder
kB xE
λ max T = b
Diese Beziehung wird Wiensches Verschiebungsgesetz genannt und wurde von dem
deutschen Physiker Wilhelm Wien erstmals aufgestellt.
Die Konstante b hat den Wert b = 2,8978 ⋅ 10 −3 m ⋅ K = 2,8978 mm K und heißt Wien-Konstante.
Die Lage λ max des Maximums der spektralen Strahlungsflussdichte wird durch die
Temperatur T eindeutig festgelegt; sie verschiebt sich mit zunehmender absoluter
Temperatur des Strahlers nach kürzeren Wellenlängen, wobei das Produkt aus Wellenlänge
λ max und Temperatur T konstant bleibt.
Das Wiensche Verschiebungsgesetz erlaubt eine Temperaturbestimmung sehr heißer
Körper durch Messung der von ihnen abgegebenen elektromagnetischen Strahlung. Die
dazu notwendigen Strahlungsmessgeräte werden Pyrometer genannt. Auch die im Rahmen
der energetischen Gebäuesanierung wichtige Thermographie, mir deren Hilfe
wärmetechnische Schwachstellen in der Gebäudehülle ermittelt werden, basiert auf der
Auswertung von IR-Strahlung. Weitere Anwendungen der Wärmestrahlung sind
Nachtsichtgeräte und PIR-Bewegungsmelder in der Sicherheitstechnik.
Temperaturstrahler geben nur einen Bruchteil ihrer Energie im sichtbaren
Strahlungsbereich ab, der im Folgenden detailliert berechnet werden soll.
Das Produkt M s,f df beschreibt den auf die Frequenzen zwischen f und f + df entfallenden
Bruchteil der Gesamtenergiestromdichte (Strahlungsleistung) M s . Damit gilt
definitionsgemäß:
∞
0
∞
λ =0
f =∞
f =0
M s = ∫ M s,λ dλ = ∫ M s,f df = − ∫ M s,f df
Wegen λf = c korrespondieren kleine Wellenlängen mit großen Frequenzen und umgekehrt.
Es zeigt sich: Die spektrale Verteilungsfunktion der Strahlungsleistung wird allein von der
Temperatur T des Strahlers bestimmt und ist unabhängig vom Material des Strahlers.
Alle schwarzen Körper besitzen unabhängig von ihrem Material und von ihrer Form die
gleiche spektrale Verteilungsfunktion M s, λ = M s, λ (λ, T ) bzw. M s, f = M s,f (f , T ) .
Analog zur spektralen spezifischen Ausstrahlung M s,λ =
M s ,f =
dM s
eines schwarzen Strahler ist
dλ
dM s
.
df
LE-3-49
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Thermodynamik LE3
Ferner gilt: M s,λ dλ = − M s,f df
c
c
folgt: df = − 2 dλ
λ
λ
c
M s,λ dλ = − M s,f df = M s,f 2 dλ
λ
Mit f =
Schließlich folgt:
M s ,f =
λ2
M s ,λ
c
Das Plancksche Strahlungsgesetz kann damit in Übereinstimmung mit den experimentellen
Befunden auch als spektrale Verteilungsfunktion der Strahlungsleistung in Abhängigkeit von
der Frequenz f beschrieben werden:
M s, f =
2πh
f3
c2
hf
e kT − 1
Die gesamte Energiestromdichte (Strahlungsleistung) M s des schwarzen Strahlers ergibt
sich dann zu:
∞
M s = ∫ M s,f df =
f =0
2πh ∞
f3
df
∫
c 2 f = 0 hf
e kT − 1
Die Substitution x =
Ms =
hf
liefert:
kT
2πk 4T 4 ∞ x 3dx 2π5k 4 4
=
T = σT 4
2 3 ∫ x
2 3
c h 0 e − 1 15c h
Sichtbares Licht kann mit dem Sehorgan „Auge“ wahrgenommen werden. Die Wellenlängen
des sichtbaren Lichts (SL) liegen im Bereich von etwa λ m ≈ 380 - 400 nm (violetter
Farbeindruck) bis etwa λ M ≈ 780 - 800 nm (roter Farbeindruck). Die Empfindlichkeit des
menschlichen Auges nimmt an den Wahrnehmungsgrenzen allmählich ab. Daher kann keine
scharfe Wahrnehmungsgrenze angegeben werden. Wegen der Beziehungen λf = c
und x =
hf
lassen sich entsprechende Wahrnehmungsgrenzen auch für f und x angeben.
kT
3
8
3
4
Der sichtbare Frequenzbereich liegt zwischen fm = 1015 Hz (rot) und fM = 1015 Hz (violett).
Die entsprechenden Grenzen für x hängen von der Temperatur T des Strahlers ab,
LE-3-50
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Thermodynamik LE3
die als Parameter in die spektrale Verteilungsfunktion der Strahlungsleistung eingeht. Für die
im sichtbaren Bereich liegende Strahlungsleistung M SL
s folgt:
λM
fM
2πk 4T 4 x M x 3dx
SL
M s = ∫ M s, λ dλ = ∫ M s, f df =
∫
c2h 3 x m e x − 1
λm
fm
3
x
15
4 M x dx
M SL
=
σ
T
∫ x
s
π4
xm e −1
Dieses bestimmte Integral muss numerisch ausgewertet werden. Für hf > kT ist e x > 1 und
e x − 1 ≈ e x . Der Integrand in der Planckschen Strahlungsformel kann dann durch die sog.
Wiensche Approximation beschrieben werden, welche nur für hohe Frequenzen gültig ist:
3
x
x
15
4 M x dx 15
4 M 3 −x
M SL
=
σ
T
=
σ
T
∫
∫ x e dx
s
x
π4
π4
xm e
xm
Für den prozentualen Anteil der im sichtbaren Spektralbereich liegenden Strahlungsleistung
an der gesamten Strahlungsleistung des schwarzen Körpers folgt:
φSL =
xM
MSL
s = 15
x 3e − x dx
4 ∫
Ms
π xm
Die Auswertung des Integrals ist im Anhang (Kap. 8.7) beschrieben. In Tabelle 3 sind die
Ergebnisse für φSL für verschiedene Temperaturen T des schwarzen Strahlers aufgeführt.
Die Strahlungsquelle befindet sich im Vakuum, sodass keine weiteren Energieverluste durch
Wärmeleitung und Konvektion auftreten. Dagegen sind reale Glüh- und Halogenlampen aus
herstellungstechnischen Gründen mit einem Schutzgas gefüllt, wodurch zusätzliche
Wärmeverluste auftreten, die zu einer Herabsetzung von φSL führen.
T/K
1000
1250
1500
1750
2000
2250
2500
2750
3000
3250
3500
4000
5000
6000
xm
18
14,4
12
10,3
9
8
7,2
6,5
6
5,5
5,1
4,5
3,6
3
xM
36
28,8
24
20,6
18
16
14,4
13
12
11,1
10,2
9
7,2
6
φSL /%
0,0016
0,03
0,2
0,8
2
3,9
6,6
10
12,6
17,8
22
29,7
40,9
47
Tab. 3: Sichtbarer (prozentualer) Strahlungsanteil von Temperaturstrahlern
LE-3-51
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Thermodynamik LE3
Das Auge erzeugt auf der lichtempfindlichen Netzhaut (Retina) Bilder von physikalischen
Objekten. Die Netzhaut besitzt zwei Arten von modifizierten Nervenzellen. Die als Stäbchen
bezeichneten Zellen sind sehr lichtempfindlich und gewährleisten in der Dämmerung das
Schwarz-Weiß-Sehen. Die farbempfindlichen Zapfen gewährleisten bei Tageslicht das
Farbensehen. Verantwortlich für das Sehen dieser zellulären Photorezeptoren der Netzhaut
sind lichtabsorbierende Pigmentmoleküle (Rhodopsin). Dabei unterscheidet man drei
unterschiedliche Zapfentypen, die man als Rot-, Grün- und Blau-Zapfen bezeichnet. Die
durch die Lichtreize verursachten visuellen Signale werden über die Fasern des optischen
Nervs zum visuellen Cortex im Okzipitallappen der Großhirnrinde weitergeleitet.
Hellempfindlichkeitsgrad V(λ)
Die Farbempfindlichkeit des menschlichen Auges kann durch Kurven relativer spektraler
Helligkeitsempfindlichkeit dargestellt werden. Die Abszisse stellt die in Nanometern (nm)
gemessene Wellenlänge des Lichts dar. Auf der Ordinate ist die Empfindlichkeit (reziproker
Schwellenwert) dargestellt. Das Empfindlichkeitsmaximum wurde willkürlich für beide Kurven
jeweils gleich Eins gesetzt.
Nachtsehen
Tagsehen
1,0
0,5
0
400
500
600
nm
Abb. 24: Relative spektrale Hellempfindlichkeit des Auges
Die linke Kurve stellt das skotopische Sehen (Nachtsehen) und die rechte Kurve das
photopische Sehen (Tagsehen) dar. Diese Zweiteilung des Sehens basiert anatomisch auf
den beiden unterschiedlichen Rezeptortypen der Netzhaut, nämlich den Zapfen und den
Stäbchen. Im Rahmen einer funktionellen Definition spricht man statt von Zapfensehen von
photopischen Sehen (Tagsehen) und statt von Stäbchensehen von skotopischen Sehen
(Dämmerungssehen). Die Zapfen der menschlichen Netzhaut mit ihren nachgeschalteten
neuronalen Elemente sind nur bei ausreichend heller Beleuchtung in Aktion. Sie ermöglichen
dann ein hohes zeitliches und räumliches Auflösungsvermögen und eine Unterscheidung
von Farben.
Die Stäbchen mit den ihnen nachgeschalteten neuronalen Elementen hingegen sind in der
Lage, auch bei schwacher Beleuchtung (Dämmerung, Nacht) ein Sehen zu vermitteln, wobei
bei ausschließlicher Erregung dieser Rezeptoren kein Farbensehen möglich ist. Durch
Zusammenschalten zahlreicher Stäbchen zu größeren funktionellen Einheiten ist die
absolute Lichtempfindlichkeit hoch, während das Auflösungsvermögen (Sehschärfe) gering
ist. Das Empfindlichkeitsmaximum des skotopischen Sehens liegt bei etwa 507 nm
(Farbeindruck: blaugrün).
LE-3-52
Technische Betriebswirtschaft
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Thermodynamik LE3
Die spektrale Helligkeitsempfindlichkeit wird wie folgt bestimmt: Dem Auge werden unter den
Bedingungen des skotopischen Sehens Lichter verschiedener Wellenlänge dargeboten, die
dann farblos erscheinen. Als Maß für die relative Wirksamkeit der Wellenlängen wird von
jeder Wellenlänge die Intensität bestimmt, welche die gleiche Helligkeitsempfindung erzeugt
wie eine Standardintensität weißen Lichtes. Dann wird die relative Empfindlichkeit in Form
des Reziprokwertes der jeweiligen Strahlungsintensität gegen die Wellenlänge aufgetragen
und man erhält schließlich die skotopische spektrale Helligkeitskurve.
Das Empfindlichkeitsmaximum des photopischen Sehens liegt bei etwa 555 nm
(Farbeindruck: gelbgrün bis grün). Dieses Maximum der Augenempfindlichkeit wurde nach
DIN 5031 „Strahlungsphysik im optischen Bereich“ durch Reihenuntersuchungen als
Durchschnittswert ermittelt. Bei einer effektiven Oberflächentemperatur der Sonne von
T = 5785 K folgt mit Hilfe des Wienschen Verschiebungsgesetzes für das spektrale
Maximum der Sonnenstrahlung: λ E = 468 nm. Der Farbeindruck einer solchen
monochromatischen Strahlung ist „blau“.
Aufgrund der selektiven Absorption und der wellenlängenabhängigen Streuung der Gase der
Erdatmosphäre ändert sich die spektrale Zusammensetzung des am Erdboden
ankommenden Sonnenlichts. Bei etwa 555 nm (Farbeindruck ist „grün“) besitzt das
Sonnenspektrum an der Erdoberfläche ein breites Intensitätsmaximum (Abb. 25). Die in Abb.
25 dargestellten Sonnenspektren haben folgende Bedeutung:
1: Schwarzer Strahler (gestrichelte Kurve) bei T = 5800 K
2: Extraterrestische Messung der spektralen Strahlungsleistung (oberhalb der
Erdatmosphäre)
3: Messung der spektralen Strahlungsleistung am Erdboden
Ms,λ
1013 W/m3
UV
SL
IR
Abb. 25: Sonnenspektren
Die Verschiebung der spektralen Empfindlichkeit von der kurzwelligen zur langwelligen Seite
des Spektrums bei Reizung mit hohen Lichtintensitäten (photopisches Sehen) bzw. die
umgekehrte Verschiebung bei Reizung mit schwachen Lichtintensitäten (skotopisches
Sehen) ist die Ursache der Purkinje-Shift: Gegenstände von blauer und roter Farbe, die im
LE-3-53
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Tagessehen etwa gleich hell erscheinen, ändern ihre Helligkeit während der Dämmerung;
während das Blau nunmehr als helles Grau erscheint, wirkt Rot beinahe als Schwarz.
Die Grenzen des sichtbaren Spektrums liegen zwischen 400 und 780 nm. Sie sind allerdings
nicht scharf. Bei linsenlosem Auge können Strahlungen von 300 nm bis zu 1000 nm
registriert werden. Die starke UV-Absorption des Auges begrenzt die Wahrnehmbarkeit von
kurzwelliger Strahlung. Da die lichtbrechenden Medien der Arthropoden wie z. B. der Bienen
aus UV-durchlässigen Chitin bestehen, reicht ihr Sehvermögen weit ins Ultraviolett hinab.
Eine höhere Infrarotempfindlichkeit des Auges wäre insofern unzweckmäßig, als die durch
die Körpertemperatur von 37 °C bedingte Infrarotstrahlung eine ständige Lichtempfindung
verursachen würde.
ϑ = 37°C ≡ T = 310 K ⇒ λ E = 9,35 µm
8.7 Mathematischer Anhang
Gemäß dem Stefan-Boltzmannschen Gesetz ist zu zeigen:
Ms =
2πk 4T 4 ∞ x 3dx 2π5k 4 4
=
T = σT 4
2 3 ∫ x
2 3
c h 0 e − 1 15c h
Hierzu muss das uneigentliche Integral ausgewertet werden. Dabei ergibt sich folgendes
Ergebnis:
∞
x3
0e
x
∫
−1
dx = 6 ⋅
π4
90
Zur Berechnung des Integrals wird der Integrand
x3
ex −1
=
x3
e x (1 − e − x )
=
x3
ex −1
umgeformt:
x 3e − x
(1 − e − x )
Mit der Abkürzung z = e − x folgt:
x3
e −1
x
= x 3e −x ⋅
1
1− z
Für alle z < 1 erhält man durch Reihenentwicklung die unendliche Reihe:
1
= 1 + z + z 2 + z 3 + ...
1− z
LE-3-54
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Damit ergibt sich für den Integranden:
x3
e −1
x
x3
e −1
x
∞
x3
0e
x
∫
= x 3 e − x ⋅ (1 + e − x + e −2 x + e −3x + e −4 x + ...)
= x 3 ⋅ (e − x + e −2 x + e −3x + e −4 x + .e −5 x ..)
−1
∞
∞
∞
0
0
0
dx = ∫ x 3 (e − x + e −2 x + e −3x + ...)dx = ∫ x 3 e − x dx + ∫ x 3 e −2 x dx + ...
Man erhält damit eine unendliche Reihe, deren Summanden uneigentliche Integrale sind.
Jedes Glied dieser unendlichen Reihe lässt sich durch dreimalige Anwendung der partiellen
Integration
∞
∞
∞
∫ gh ′dx = gh 0 − ∫ hg ′dx
0
0
integrieren.
Für das n-te Glied der unendlichen Reihe erhält man mit g = x 3 und h = e − nx :
∞
1 3 −nx
3 − nx
∫ x e dx = − x e
n
0
∞
3 − nx
∫ x e dx =
0
0
3
n
2
∞
∫e
1 ∞ −nx 2
∫ e 3x dx
n0
− nx
2 xdx = −
6
∞
0
n3
0
∫e
6
n
0
∞
3 − nx
∫ x e dx =
+
1 ∞ −nx 2
3 2 −nx
∫ e 3x dx = − 2 x e
n0
n
∞
3 − nx
∫ x e dx =
∞
0
− nx
dx = −
6
n4
3
∞
0
xe −nx
e −nx
∞
0
∞
0
=+
+
∞
3
+
n
2
6
∞
n
3
∫e
− nx
2 xdx
0
∫e
− nx
dx
0
6
n4
Aus
∞
x3
0e
x
∫
−1
∞
dx = ∫ x 3 (e −x + e −2 x + e −3x + ...)dx
0
folgt durch gliedweise Integration mit n = 1, 2,3, ...
LE-3-55
Technische Betriebswirtschaft
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∞
∫
x3
0e
x
∞
x3
0e
x
∫
−1
−1
dx =
6
4
6
+
1
2
4
+
∞
1
n =1
n4
dx = 6 ⋅ ∑
6
3
4
Physik und Umwelt
+
6
44
Thermodynamik LE3
+ ...
Aus der Theorie der unendlichen Reihen folgt: Die Reihe ist konvergent. Als Grenzwert der
Partialsummenfolge ergibt sich die Summe der Reihe zu
π4
∑ 4 =
90
n =1 n
∞
1
Damit folgt das behauptete Endergebnis
∞
x3
0e
x
∫
−1
∞
1
n =1
n4
dx = 6 ⋅ ∑
= 6⋅
π4 π4
=
.
90 15
Für technisch realisierbare Glühwendeltemperaturen T < 3500 K und für hohe Frequenzen
(sichtbares Licht) kann die Plancksche Strahlungsformel gut durch die Wiensche
Approximation beschrieben werden (Abb. 26).
Für die Berechnung von φSL , des prozentualen Anteils der im sichtbaren Spektralbereich
liegenden Strahlungsleistung ist folgendes Integral auszuwerten:
φSL =
xM
MSL
3 −x
s = 15
∫ x e dx
4
Ms
π xm
Nach dreimaliger Anwendung der partiellen Integration folgt:
xM
3 −x
−x
∫ x e dx = 3e (−
xm
x3
− x 2 − 2 x − 2)
3
xM
xm
= 3e − x M (−
x 3M
x3
− x 2M − 2x M − 2) − 3e − x m ( − m − x 2m − 2 x m − 2)
3
3
hf
3
3
und f m = 1015 Hz bzw. f M = 1015 Hz ergeben sich für verschiedene
kT
8
4
hf
Temperaturen T die in Tab. 3 aufgeführten Integrationsgrenzen x m = m
kT
Mit x =
hf M
mit denen sich nach Auswertung des bestimmten Integrals die tabellierten
kT
Zahlenwerte für φSL ergeben.
und x M =
LE-3-56
Technische Betriebswirtschaft
D. Bangert
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
9. Gebäude-Energieeffizienz und energetische Sanierung
Etwa 35 % der in Deutschland 2010 über alle Anwendungsbereiche (private Haushalte,
Industrie, Verkehrssektor, Gewerbe, Handel und Dienstleistungen) bereitgestellten
Endenergie in Höhe von 9310 PJ wird als Heizenergie für Raumwärme (30 %) und
Warmwasserbereitung (5 %) eingesetzt. Bei der nachgefragten Endenergie dominiert damit
der Wärmemarkt (35 %) gefolgt vom Mobilitätsmarkt (28 %). Für die Bereitstellung von
industrieller Prozessenergie (Prozesswärme und mechanische Energie) werden etwa 24 %
der Endenergie benötigt. Auf IKT (Information und Kommunikation) sowie auf Beleuchtung
entfallen zusammen etwa 6%. Die restlichen 7 % des Endenergiebedarfs entfallen auf
sonstige Energie-Anwendungszwecke (u. a. Prozesskälte und Klimakälte). Die prozentuale
Verteilung der verschiedenen Verbrauchsbereiche am deutschen Endenergieverbrauch zeigt
die folgende Graphik beispielshaft für das Jahr 2000.
Energieverbrauch 2000
Verkehr
30%
Industrie
26%
Haushalte
28%
Kleinverbraucher
16%
Abb. 26: Sektorale Verteilung des Endenergieverbrauchs in Deutschland
(Kleinverbraucher: Gewerbe, Handel, Dienstleistungen)
LE-3-57
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Die Verteilung des deutschen Endenergieverbrauchs auf die einzelnen Verbrauchssektoren
hat sich in den letzten Jahren nur unwesentlich verändert.
Sektor
Industrie
Verkehr
Haushalte
Kleinverbraucher
1990
31,4%
25,1%
25,0%
18,5%
2000
26,2%
29,8%
28,0%
16,9%
2010
28,1%
28,2%
28,5%
15,2%
2015
29,0
30,4
25,6
15,0
Tab. 4: Verbrauchssektoren des deutschen Endenergieverbrauchs
Der deutsche Primärenergieverbrauch schwankt seit 1990 um etwa 490 Mio. t SKE, wobei
die Witterung und die jeweiligen Mineralöl- und Gaspreise eine große Rolle spielen. Im Jahr
2000 wurden laut Energiebericht des Bundeswirtschaftsministeriums (BMWi) 491,4 Mio. t
SKE oder 14402 PJ an Primärenergie verbraucht. Unter Berücksichtigung von
Umwandlungs- und Verteilungsverlusten wurden den Verbrauchern 9200 PJ an Endenergie
bereitgestellt. Hierbei gilt folgende Umrechnungsbeziehung:
1 kg SKE (Steinkohleeinheit) = 8,14 kWh = 29308 kJ
1 Petajoule = 1 PJ = 1015 J
Jahr
1990
2000
2010
2015
PEV / PJ
14905
14402
14217
13335
EEV / PJ
9472
9235
9310
8648
Tab. 5: Deutscher Primärenergieverbrauch (PEV) und Endenergieverbrauch (EEV) in PJ
Das Verhältnis Endenergie / Primärenergie beträgt etwa 64%, d. h. etwa 36% der
eingesetzten Primärenergie gehen als Verluste bei der Erzeugung, Verteilung und
Bereitstellung der Endenergie verloren.
2010 entfielen vom Endenergieverbrauch der privaten Haushalte in Höhe von 2676 PJ etwa
1900 PJ (71%) auf Raumwärme und 373,5 PJ (14%) auf Warmwasserbereitung. Insgesamt
verwenden sie damit 85% der eingesetzten Endenergie für Heizzwecke.
In den Sektoren Haushalt und Kleinverbrauch (Gewerbe, Handel, Dienstleistungen und
Landwirtschaft), die zusammen ohne ihren verkehrsbedingten Anteil etwa 45% der
insgesamt verbrauchten Endenergie benötigen, überwiegt mit etwa 80 % der Bedarf an
Niedertemperaturwärme für Raumheizung und Warmwasserbereitung sowie für
Niedertemperaturprozesse bis 300 °C im verarbeitenden Gewerbe.
Gemäß dem „Energiekonzept“ der Bundesregierung vom 28. September 2010, welches
eine bis 2050 reichende Gesamtstrategie beschreibt, soll die Energieversorgung
LE-3-58
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D. Bangert
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
versorgungssicher, umwelt- und klimagerecht und wirtschaftlich erfolgen. Die weltweit
steigende Energienachfrage wird demnach zu deutlich steigenden Energiepreisen führen. Zu
dem sind 80% der derzeitigen Treibhausgasemissionen dem Energieverbrauch anzulasten
und damit „energiebegingt“. In einem 2016 von der Bundesregierung beschlosenem
„Klimaschutzplan 2050“ ist eine Minderung des gesamten Treibhausgasausstoßes bis 2050
um 95% gegenüber 1990 vorgesehen. Das Umweltbundesamt (UBA) hat dazu in einem
Positionspapier Vorschläge erarbeitet. Demnach müsste dazu der Treibhausgasausstoß des
Energie- und des Verkehrssektors auf null gesenkt werden. Verbrennungsmotoren und auf
Verbrennung beruhende Heizungen wären verboten. Und bei der bei der Stromerzeugung
wäre ein vollständiger Verzicht auf die Verstromung von Kohle und anderen fossilen
Energieträgern notwendig.
Neben dem kosteneffizienten Ausbau der erneuerbaren Energien liegt ein zentraler
Schwerpunkt des Energiekonzeptes in der energetischen Gebäudesanierung. Drei Viertel
des Altbaubestands wurde noch vor der 1. Wärmeschutzverordnung aus dem Jahr 1977
errichtet. Der Wärmebedarf des Gebäudesbestandes soll bis 2020 um 20% reduziert werden
und bis 2050 soll ein „klimaneutraler“ Gebäudebestand verwirklicht werden. Dadurch sollen
2050 eine Energieverbrauchssenkung für Wärme und Kühlung im Gebäudebereich von 80%
im Vergleich zu 2008 erzielt werden. Das Energieverbrauchsniveau „klimaneutrales
Gebäude“ soll mit der Novelle der Energieeinsparverordnung (EnEV 2014) für Neubauten
konkretisiert werden.
Wegen dieser Bedeutung soll im Folgenden der Wärmemarkt näher betrachtet werden.
Durch Maßnahmen zur Wärmedämmung kann ein hohes Energie-Einsparpotential im
Bereich der Wärmeversorgung genutzt werden. Der Heizwärmebedarf von Gebäuden ist von
einer Vielzahl von Faktoren abhängig:
Dabei ist die Bauweise der Gebäude und hier insbesondere die Wärmedämmung der
Fassaden (Außenwände, Dach, Boden), der Fensteranteil und die thermische
Fensterqualität von großer Bedeutung. Der Tatsache, dass jeder Energieverbrauch mit einer
Belastung der Ökosphäre verbunden ist, muss verstärkt auch im Baubereich Rechnung
getragen werden, der einen zentralen Beitrag zur CO 2 -Reduktion leisten kann. Das
gesetzgeberische Instrumentarium stellt in diesem Zusammenhang das
Energieeinsparungsgesetz, genauer Gesetz zur Einsparung von Energie in Gebäuden
(EnEG) vom 22.07.1976, dar. Der bauliche Wärmeschutz wurde durch die am 11.08.1977
verabschiedete und am 01.11.1977 in Kraft gesetzten „Verordnung über einen
energiesparenden Wärmeschutz“ (Wärmeschutzverordnung) erstmals auf eine gesetzliche
Grundlage gestellt. Im Jahre 1982 erfolgte eine Überarbeitung der Wärmeschutzverordnung
(WSchVO 1982), die 1995 durch die Verordnung über einen energiesparenden
Wärmeschutz bei Gebäuden (WSchVO 1995) weiter verschärft wurde, wodurch für
Neubauten eine Energieverbrauchsminderung von rund 30% erzielt wurde.
Durch die am 1. Februar 2002 in Kraft getretene Energieeinsparverordnung (EnEV 2002)
wurden Wärmeschutzverordnung und Heizungsanlagenverordnung ersetzt. Die EnEV wurde
2004, 2007 und 2009 modifiziert. Am 21.11.2013 wurde die EnEV 2014 bekannt gemacht
(BGBl. I S. 3951), die am 1. Mai 2014 in Kraft getreten ist. Im Vergleich zur EnEV 2009
wurden darin ab 1.1.2016 die primärenergetischen Anforderungen für Neubauten um 25%
und die Wärmedämmung der Gebäudehülle um etwa 20% angehoben. Diese Anforderungen
sollen auch zukünftig fortlaufend erhöht werden.
LE-3-59
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Dadurch wurden die Anforderungen für die Senkung des Energiebedarfs eines neu zu
errichtenden Gebäudes erneut erhöht, indem der zulässige Jahres-Primärenergiebedarf
herabgesetzt und die Anforderungen an den Wärmeschutz der Gebäudehülle verschärft
wurde. Die EnEV legt die Mindeststandards zur Energieeinsparung im Gebäudebereich fest
und regelt die energetische Beurteilung von Häusern. Bereits mit der EnEV 2009 wurde das
Referenzgebäude-Verfahren eingeführt und das energetische Anforderungsniveau neu
festgelegt. Der Höchstwert des Jahres-Primärenergiebedarfs wird durch ein Referenzgebäude gleicher Geometrie, Gebäudenutzfläche und Ausrichtung wie das zu
errichtende Gebäude berechnet und festgelegt. Die für das Referenzgebäude ermittelten
zulässigen Höchstwerte dürfen nicht überschritten werden. Die Nutzung von erneuerbaren
Energien zur Deckung des Wärmebedarfs wird seit dem 1. Januar 2009 durch das
Erneuerbare-Energien-Wärmegesetz (EEWärmeG) geregelt, das bei zu errichtenden
Gebäuden eine Deckung des Wärmebedarfs durch erneuerbare Energien in Höhe von 15%
vorschreibt.
Abb. 27: Einflussgrößen auf den Heizwärmebedarf
Im Folgenden sollen einige bauphysikalische Begriffsbildungen beispielshaft vorgestellt
werden, die in der EnEV Anwendung finden. Die aktuell zulässigen Höchstwerte müssen der
jeweils gültigen Fassung der EnEV entnommen werden. Während die Wärmeschutzverordnungen den zulässigen Jahresheizwärmebedarf pro Quadratmeter Nutzfläche
qh begrenzte, zielt die Energieeinsparverordnung in ihren Anforderungen an bauliche und
anlagentechnische Maßnahmen auf den auf die Gebäudenutzfläche A N bezogenen JahresPrimärenergiebedarf q P ab.
qP =
QP
AN
LE-3-60
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Der Primärenergiebedarf Q P stellt dabei die Energiemenge dar, die letztlich zur Deckung
des Endenergiebedarfs benötigt wird. Der Endenergiebedarf entspricht dem Heizenergiebedarf, der an der Schnittstelle Gebäudehülle an den Verbraucher übergeben wird und
beinhaltet die Energiemenge, die für Gebäudeheizung Q h und Warmwasserbereitung Q W
einschließlich der dabei auftretenden Verluste aufgebracht werden muss. Die für den Betrieb
der Anlagentechnik (Pumpen, Regler, etc.) benötigte Hilfsenergie ist dabei ebenfalls
einzubeziehen. Der Primärenergiebedarf Q P nach EnEV enthält jedoch keinen weiteren
Bedarf für sonstigen Haushaltsstrom. Der Heizwärmebedarf stellt schließlich die
Wärmemenge dar, die vom Heizsystem an das Gebäude abgegeben werden muss, um eine
vorgegebene Innentemperatur aufrecht zu erhalten.
QP = Q h + Q W + Q V
Q V fasst die energetischen Verteilungs- und Umwandlungsverluste zusammen. Die
wichtigste Kennzahl der EnEV ist die primärenergiebezogene Anlagen-Aufwandszahl e P ,
die das Verhältnis von Primärenergie zu Nutzwärmebedarf für Heizung Q h und Warmwasser
Q w beschreibt:
eP =
QP
Gesamtaufw and
=
Qh + Q W
Nutzen
Damit folgt für den nutzflächenbezogenen Jahres-Primärenergiebedarf q P :
qP = (qh + q W )e P
q W ist der flächenbezogene Warmwasserwärmebedarf und qh stellt den flächenbezogenen
Jahres-Heizwärmebedarf dar.
qW =
QW
AN
qh =
Qh
AN
Gemäß EnEV 2002 ist bei Wohngebäuden q W pauschal mit q W = 12,5 kWh / m 2 a zu
veranschlagen. e P ist die Gesamt-Anlagenaufwandszahl zur Erzeugung von Heizwärme und
zur Warmwasserbereitung. Die Aufwandszahl stellt das Verhältnis von Aufwand zu Nutzen
dar und ist der Kehrwert des in der Anlagentechnik gebräuchlichen Nutzungsgrades. Sie
fasst die Verluste bei Wärmeerzeugung, Wärmespeicherung und Wärmeverteilung
zusammen. Je kleiner die Aufwandszahl, desto energetisch günstiger ist das
Heizungssystem. Sie berücksichtigt auch Umwandlungsverluste für die eingesetzten
Energieträger entlang der Prozesskette von der Primärenergie zur Endenergie. Ein
2
spezifischer Jahres-Heizwärmebedarf qh von Wohnhäusern von 70 kWh/m entspricht
einem jährlichen Verbrauch von etwa 7 l Heizöl bzw. 7 m 3 Erdgas pro Quadratmeter
Wohnfläche.
LE-3-61
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Um bestimmte Energieeffizienzhaus-Kriterien der Kreditanstalt für Wiederaufbau (KfW 85,
KfW 70, KfW 55 und KfW 40) zu erfüllen, dürfen vorgegebene Grenzwerte für JahresPrimärenergiebedarf pro Quadratmeter Gebäudenutzfläche, Jahres-Heizwärmebedarf pro
Quadratmeter Wohnfläche und bezüglich des Transmissionswärmeverlustes nicht
überschritten werden. Beim KfW-Effizienzhaus 85 muss QP ≤ 85% des EnEV (2009)
Höchstwertes sein und beim KfW-Effizienzhaus 40 gilt: QP ≤ 40% des EnEV-Höchstwertes.
Beim sog. tatsächlichen Jahres-Primärenergiebedarf werden dagegen Strombedarf und
Wärmebedarf addiert. Allgemein werden zurzeit vier Energieeffizienz-Hausklassen
unterschieden:
Niedrigenergiehaus, Passivhaus, Nullenergiehaus und Plusenergiehaus.
Der Heizwärmebedarf eines Passivhauses beträgt maximal 15 kWh/m²a. Die beiden letzten
Bezeichnungen sind dabei euphemistisch gewählt, denn Nullenergiehaus oder auch
Plusenergiehaus stellen keine energieautarken Häuser dar. Es handelt sich dabei vielmehr
um Nullenergiebilanz- bzw. Plusenergiebilanzhäuser.
Der über das Jahr durch Solarkollektoren und Solarzellen kumulierte Energieertrag, der
hauptächlich (zu etwa 75%) in der verbrauchsarmen Sommerzeit anfällt deckt gerade
(Nullenergie) oder überschreitet (Plusenergie) den benötigten Jahresenergiebedarf.
Überschüsse der photovoltaisch erzeugten elektrischen Energie werden im Sommer ins
öffentliche Stromnetz eingespeist. Das Stromnetz wird dabei missbräuchlich als eine Art
„Energiespeicher“ verwendet. In der verbrauchsintensiven Winterperiode ist jedoch eine
erhebliche externe Energiezufuhr (in Form von Wärme oder Strom) erforderlich.
Abb. 28: Jahresgang PV-Ertrag einer Solaranlage mit 1 kWp - Leistung
Bauphysikalisch sind als Kenngrößen für den erforderlichen Wärmeschutz die
Wärmeleitfähigkeit λ der verwendeten Baustoffe und der daraus abgeleitete
Wärmedurchgangskoeffizient U von Bedeutung.
LE-3-62
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Die Vakuumisolationspaneele (VIP) ist der Wärmedämmstoff mit der kleinsten
Wärmeleitfähigkeit, die zwischen 0,004 und 0,008 W/(mK) liegt. Die VIP besteht aus einem
porösen Kernmaterial aus fest gepresster Kieselsäure, bei der die sich in den Hohlräumen
befindliche Restluft evakuiert wurde. Um den dabei entstehenden niedrigen Innendruck
aufrecht zu erhalten, wird das Kernmaterial von einer gasdichten Polymer-Metall-Folie
umschlossen. Das Dämmmaterial wird zu vorgefertigten Elementen verarbeitet, die wegen
der notwendigen Gasdichtheit unbeschädigt eingebaut und nicht durch Zuschnitt
mechanisch verletzt werden darf. Der nach Verletzten der Gasdichtheit („Vakuum“) nach
vorhandene Mindestwärmeschutz für die „belüftete“ Vakuumisolationspaneele soll noch
λ = 0,02 W (m ⋅ K ) betragen.
Material
Sandstein/Kalkstein
Normalbeton
Glas
Porenbeton / Gasbeton
Poroton Ziegelstein
Holz (Fichte/Eiche)
PVC
Schaumglas
Kork
Mineralwolle
Flachs
Zellulose
Polystyrol (EPS u. XPS)
Polyurethan (PUR-Schaum)
Luft
Argon
Krypton
Vakuumisolationspaneele
Vakuum
λ/ Wm K
2,2
2,1
0,5 – 1,2
0,12
0,10
0,13 - 0,2
0,16
0,04 – 0,060
0,04 - 0,055
0,035 – 0,050
0,04 – 0,050
0,04 – 0,045
0,035
0,025
0,025
0,017
0,009
0,005 – 0,008
0
-1
-1
Tab. 6: Wärmeleitfähigkeit Bau- und Dämmstoffe bei 20°C
LE-3-63
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Abb. 29: Aufbau Vakuumisolationspaneele (VIP)
(Quelle: Zentrum für Angewandte Energieforschung Bayern (ZAE), Würzburg)
Die Vorgaben der EnEV 2014 (in der ab 01.01.2016 gültigen Version) für die Höchstwerte
der Wärmedurchgangskoeffizienten U für das Referenz-Wohngebäude sind für einige
Bauteile in der folgenden Tabelle aufgeführt:
Bauteil / System
Außenwand, Geschossdecke gegen Außenluft
Referenzausführung
Außenwand gegen Erdreich, Bodenplatte
U = 0,35 W /(m 2 ⋅ K )
Dach, oberste Geschossdecke
U = 0,20 W /(m 2 ⋅ K )
Fenster, Fenstertüren
U w = 1,30 W /(m 2 ⋅ K )
U = 0,28 W /(m 2 ⋅ K )
Tab. 7: Höchstwerte der Wärmedurchgangskoeffizienten nach EnEV 2014
Schließlich wird für freistehende Wohngebäude mit A N ≤ 350 m 2 der Höchstwert des
spezifischen, auf die wärmeübertragende Umfassungsfläche bezogenen
Transmissionswärmeverlustes H′T vorgegeben:
H′T = 0,40 W /(m 2 ⋅ K )
Zur Zeit sind in Deutschland von 38,4 Mio. Wohnungen (Stand: 2012) über 20 Mio.
Altbauwohnungen mit unzureichenden Wärmeschutz versehen. Durch eine Steigerung der
Energieeffizienz und Ressourcenproduktivität würde auch ein messbarer Beitrag zur CO2Reduzierung und damit zum Klimaschutz geleistet. Ein ungedämmter Altbau hat je nach
geographischer Lage im Jahresdurchschnitt einen Heizölverbrauch von 20 –30 l/m² pro Jahr.
2
Der Durchschnittswert im deutschen Wohnhäuserbestand lag 2005 bei etwa 200 kWh/m ,
2
was 20 l/m entspricht.
LE-3-64
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Unter Ausnutzung aufwendiger Isolierungs- und Energiespartechniken können heute schon
Häuser errichtet werden, deren jährlicher Heizwärmeverbrauch pro Quadratmeter Nutzfläche
2
unter 15 kWh/ m liegt. Sie stellen sog. Passivhäuser (PH) dar. Eine Weiterentwicklung
stellen Nullenergiehaus und Plusenergiehaus dar, die neben einer optimierten
Wärmedämmung regenerative Energien (hauptsächlich solare Strahlungsenergie) technisch
nutzen und bei Verwendung des elektrischen Vesorgungsnetzes als „Energiespeicher“ eine
ausgeglichene oder gar positive Gesamtenergiebilanz aufweisen.
Der Jahres-Heizwärmebedarf eines Gebäudes kann im Detail durch genaue
Berücksichtigung der Transmissionsverluste, der Lüftungsverluste sowie des Wärmegewinns
durch Sonneneinstrahlung infolge von passiver Sonnenenergienutzung berücksichtigt
werden. Dabei hat insbesondere auch die Bauart Einfluss auf den Heizwärmeverbrauch.
Freistehende Ein- und Zweifamilienhäuser haben einen höheren Jahres-Heizwärmebedarf
als Reihenhäuser und diese einen größeren als kompakte Wohnblöcke.
Als bestimmende Kenngröße für den mittleren Wärmeverlust wird das Verhältnis von
Gebäudeaußenfläche A (Hüllfläche) zum beheizten Bauwerksvolumen V (umbauter Raum)
gewählt. Die eingezeichnete Bandbreite spiegelt den unterschiedlich hohen Aufwand bei
Wärmschutzmaßnahmen wider. Der thermischen Isolation kommt daher für eine effiziente
Energienutzung große Bedeutung zu.
q
H
kW h/m² a
200
WSchVO
1984
150
WSchVO
1995
100
EnEV
2002
50
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
A / V (m -1)
Abb. 30: Jahreswärmebedarf von Einfamilienhäusern als Funktion vom
Hüllfläche/Volumen – Verhältnis
Der qH -Berechnung gemäß EnEV wurden folgende Daten zugrunde gelegt:
A N = 147 m 2 ; e P = 1,49
Die zeitliche Entwicklung des Jahreswärmebedarfs qH von Wohnhäusern ist in der unten
stehenden Abbildung dargestellt. Die Breite der Kurve stellt die typische Schwankungsbreite
des nutzflächenbezogenen Jahres-Heizbedarfs qH dar.
LE-3-65
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qH
kWh / m²a 300
270
250
200
220
150
180
150
120
100
90
70
50
0
30
30
Bestand
bis 1983
WSchVO
1984
WSchVO
1995
EnEV
2002
PH
Abb. 31: Entwicklung des Jahres-Heizbedarfs
Die Frankfurter Firma Techem Energy Services GmbH & Co. KG registriert jährlich den
durchschnittlichen Heizölverbrauch westdeutscher Städte. Dabei wird der in Litern
gemessene jährliche Heizölverbrauch pro Quadratmeter Wohnfläche erfasst. Nach der 2002
veröffentlichten Studie Energiekennwerte wurden beispielsweise für die Heizperiode 2000/01
in zentralbeheizten Mehrfamilienhäusern folgende Daten ermittelt:
Kiel
Bremen
Kassel
Essen
Freiburg
2
18,61 l / m a
2
17,31 l / m a
2
16,34 l / m a
2
15,28 l / m a
2
14,24 l / m a
Der mittlere Heizwärmebedarf pro Quadratmeter Wohnfläche hängt stark von den durch die
geographische Lage bedingten klimatischen Verhältnissen ab. Die Wärmeverluste werden
durch die Temperatur- und Windbedingungen des Wohnortes bestimmt. Sie können durch
verbesserte Wärmedämmung und energiebewusstes Verhalten der Wohnungsinhaber
reduziert werden. Die Aufteilung des Endenergieverbrauchs der privaten Haushalte auf die
verschiedenen Anwendungsbereiche zeigt die folgende Abbildung.
LE-3-66
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Energieverbrauch der privaten Haushalte
(Stand 2002)
Haushaltsgeräte Beleuchtung
2%
Warmwasser 9%
12%
Heizung
77%
Abb. 32: Endenergieverbrauch der privaten Haushalte
Für die Transmissionsverluste durch eine Fläche A gilt:
I Q = U A(Ti − Ta )
U stellt dabei den Wärmedurchgangskoeffizienten, Ti die Innen- und Ta die
Außentemperatur dar. I Q ist dabei der Wärmestrom oder Wärmefluss. Die Wärmeverluste
eines Gebäudes durch die Gebäudehülle können mit Hilfe einer Infrarot-Kamera
messtechnisch erfasst werden.
Das Thermogramm erlaubt die Identifizierung von Schwachstellen in der thermischen
Isolation. Die Infrarot-Kamera stellt einen IR-empfindlichen Detektor dar und besteht im
Wesentlichen aus einem Empfängerarray für IR-Photonen. Hierbei handelt es sich um einen
Matrixempfänger aus n z x n S InSb- oder HgCdTe-Pixeln. Die Bildpunkte sind zeilenförmig
angeordnet mit n Z Zeilen mit n S Spalten. Das Objekt wird mithilfe eines Objektivs auf den
matrixförmigen Empfänger abgebildet. Das Messprinzip beruht auf der Absorption von IRStrahlung wodurch die Fotoleitfähigkeit erhöht und der elektrische Widerstand erniedrigt
wird. Das zweidimensionale Raster von infrarotempfindlichen Bildpunkten wird im Abstand
von einigen Millisekunden ausgelesen und von einem Prozessor zu einem Bild
zusammengesetzt und auf einer Speicherkarte abgespeichert.
Das Messergebnis in Form eines sog. "Thermogramms" ist in Abb. 33 gezeigt. Die
gemessenen Oberflächentemperaturen des Gebäudes werden überlicherweise durch
Fehlfarben dargestellt.
LE-3-67
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Thermodynamik LE3
Abb. 33: Thermogramm einer Infrarotaufnahme
(Schuster / Kolobrodov, Infrarotthermographie, Wiley-VCH)
Hauptaufgabe eines effizienten Wärmeschutzes ist daher die Reduzierung der
Wärmeverlustes durch Minimierung des Wärmedurchgangskoeffizienten. Für ein Bauteil mit
der Gesamtfläche A, dass sich aus Teilflächen A i mit verschiedenen
Wärmedurchgangskoeffizienten U i zusammensetzt, wird ein mittlerer U-Wert Um
angegeben.
Um =
1
A
∑U ⋅ A
i
i
i
und A = ∑ A i
i
Bei Fenstern unterscheidet man zwischen U g (Verglasung, auch mit U v bezeichnet), U f
(Rahmen) und U w (Fenster = Verglasung einschließlich Rahmen). Bei Vernachlässigung
des längenbezogenen Wärmebrückenverlustkoeffizienten des Glasrandverbundes (z. B. bei
Sprossenfenstern) erhält man für den Wärmedurchgangskoeffizienten U w eines Fensters:
Uw =
Ug Ag + Uf Af
Ag + Af
Der U g -Wert der Fensterverglasung kann allein schon durch Mehrfachverglasung erheblich
herabgesetzt werden (siehe obere Zeile der unten stehenden Abbildung). Während bei einer
LE-3-68
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Einfachverglasung (E) z. B. Ug (E) = 5,8 W /(m 2 K ) ist, erhält man für eine ZweischeibenIsolierverglasung (Z) Ug ( Z ) = 3,0 W /(m 2 K ) und für eine Dreischeiben-Isolierverglasung (D)
Ug (D) = 2,3 W /(m 2 K ) .
Bei Einsatz einer Wärmeschutzverglasung wird bei Zweischeibenfenstern ( Z WS ) heute ein
Standardwert von Ug ( Z WS ) = 1,0 W /(m 2 K ) erreicht, wohingegen bei Dreischeibenfenstern
( D WS ) Wärmedurchgangskoeffizienten von Ug (D WS ) = 0,5 W /(m 2 K ) technisch realisierbar
sind.
Ug (E) = 5,8 W /(m 2 K )
Ug ( Z ) = 3,0 W /(m 2 K )
Ug (E WS ) = 2,4 W /(m 2 K ) Ug ( Z WS ) = 1,0 W /(m 2 K )
Ug (D) = 2,3 W /(m 2 K )
Ug (D WS ) = 0,5 W /(m 2 K )
Abb. 34: Wärmeschutz durch Mehrfach- und Wärmeschutzverglasung
Obiger Vergleich zeigt, dass sich die Wärmeverluste durch normales Zweischeiben- oder
Dreischeiben-Isolierglas verringern lassen. Ein noch besserer Wärmeschutz wird mit
hochwärmedämmenden Fenstersystemen mit IR-selektiver Beschichtung erzielt, bei denen
für marktgängige Wärmeschutz-Verglasungen U-Werte von Ug = (1,1 − 0,5) W / m 2K erreicht
werden. Wärmetechnische Schwachstellen (Wärmebrücken) stellen zurzeit noch die
Fensterrahmen dar. Die Fensterrahmenprofile, die aus mehreren Kammerm bestehen,
erreichen standardmäßig nur U-Werte von UF = 1,4 W /(m 2 ⋅ K ) . Der Wärmedurchgangskoeffizient U gibt dabei die Wärmeleistung an, die durch eine Fläche des Materials von 1 m 2
bei einer Lufttemperaturdifferenz von 1 K von der Seite höherer Temperatur zur Seite
niedriger Temperatur übergeht.
Die experimentell ermittelte Abhängigkeit des Reflexionskoeffizienten ρ = ρ(λ ) von der
Wellenlänge λ der elektromagnetischen Strahlung ist in der nachstehenden Abbildung für
verschiedene Metalle dargestellt. Wegen α + ρ + τ = 1, bedingt ein hoher
Reflektionskoeffizient ρ für Infrarotstrahlung gleichzeitig einen geringen
LE-3-69
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Absorptionskoeffizienten α und damit aufgrund des Kirchhoffschen Gesetzes auch einen
kleinen Emissionskoeffizienten ε .
Die selektive Beschichtung der Glasscheiben erfolgt durch Aufdampfung. Dabei sollte das
aufgedampfte Material einen hohen Transmissionskoeffizienten im optischen Bereich
besitzen, damit die Scheibe durchsichtig bleibt.
Abb. 35: Reflexionskoeffizient als Funktion der Wellenlänge
Für eine undurchsichtige Metallschicht gilt, wegen τ = 0 :
ρ+α =1
oder
α = 1− ρ
Aufgrund des Kirchhoffschen Gesetzes gilt:
ε=α
oder
ε = 1− ρ
Für hohe Reflexionsgrade ρ > 0,9 ist daher ε < 0,1. Durch eine dünne, optisch transparente
Ag- oder In 2 O 3 -Beschichtung von Glas kann, ohne wesentliche Beeinträchtigung der
Tageslichtnutzung, aufgrund des geringen Emissionsvermögens ε die Wärmeabstrahlung
gemäß
Φ = M⋅ A = A εσT4
stark unterdrückt werden.
LE-3-70
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Die Verwendung solcher IR-selektiven Schichten erlaubt die Konstruktion der oben
genannten Fenster mit Zweischeiben- und Dreischeiben-Wärmeschutzglas und mit Ug Werten von:
Ug ( Z WS ) = 0,9 W /(m 2 K ) und
Ug (D WS ) = 0,5 W /(m 2 K )
Fazit: Der Wärmeschutz muss sich in Zukunft in Deutschland verstärkt auf die Altbausanierung konzentrieren. Denn durch verschärfte Neubau-Vorschriften wie die
Energieeinsparverordnung (EnEV) wird nur der Zuwachs des Energieverbrauchs
gebremst. Eine tatsächliche Verringerung des Energieverbrauchs bei der Erzeugung von
Raumwärme ist nur durch eine konsequente Altbausanierung und Heizungsmodernisierung
im Gebäudebestand zu erreichen. Ausgehend vom bereits etablierten Passivhaus-Standard
stellen Nullenergiehaus und Plusenergiehaus interessante Zukunftsoptionen dar, die auf
einer kosteneffizienten Nutzung von Sonnenenergie und Erdwärme beruhen, bei denen
jedoch das Problem der Energiespeicherung noch ungelöst ist.
Die solare Architektur zur passiven Sonnenenergienutzung, der Einsatz von
Wärmepumpen (Luft, Grundwasser und Erdsonden) sowie der Photovoltaik zur
Eigenstromversorgung werden zukünftig weiter an Bedeutung gewinnen. Die Rolle der
Solarkollektoren zur Brauchwassererwärmung und zur Unterstützung der Heizung erscheint
im Hinblick auf die Kosteneffizienz im Vergleich zur Photovoltaik ungewiß. Die Speicherung
überschüssiger elektrischer Energie und ihre bedarfsgerechte Bereitstellung stellt eine große
Zukunftsaufgabe dar.
Literaturnachweis
- BMWi Energiedaten, Stand: 12.10.2015
- Zweite Verordnung zur Änderung der Energieeinsparverordnung,
BGBl. I, S. 3951, vom 21.11.2013
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10
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Wiederholungstest
10.1 Testfragen
Aufgabe 1A (3P.)
Infrarotstrahlung besitzt folgende Eigenschaften:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Sie ist eine Ultraschallstrahlung
Sie stellt eine unsichtbare Wärmestrahlung dar.
Ihre Energie ist größer als die von UV-Strahlung.
Sie entsteht im Atomkern von Molekülen durch Nukleonenanregung
Sie ist eine elektromagnetische Strahlung.
Aufgabe 2A( P.)
Welcher atomphysikalische Vorgang wird als Absorption bezeichnet?
Unter Absorption versteht man
(A)
(B)
(C)
den Grad der Strahlungstransmission eines Stoffes.
die Umwandlung von Wärmeenergie in Strahlungsenergie an der
Oberfläche eines Körpers.
Die Umwandlung von Strahlungsenergie in Wärmeenergie an der
Oberfläche eines Körpers.
Aufgabe 3A (3 P.)
Welche der folgenden Aussagen zur Wärmestrahlung treffen zu?
(1)
(2)
(3)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Jeder Körper (T > 0 K) strahlt elektromagnetische Strahlung ab.
Infolge Wärmestrahlung ist ein Wärmetransport auch ohne materielle Verbindung,
also auch durch ein Vakuum hindurch, möglich.
Je höher die Temperatur wird, desto intensiver wird die von ihm ausgehende
Wärmestrahlung.
nur (1) ist richtig
nur (2) ist richtig
nur (1) und (3) sind richtig
nur (2) und (3) sind richtig
(1), (2) und (3) sind richtig
Aufgabe 4A (3 P.)
Wenn man die Oberflächentemperatur T eines schwarzen Körpers verdoppelt, dann steigt
die Leistung seiner gesamten Temperaturstrahlung um einen Faktor
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 16
(D) 32
LE-3-72
Technische Betriebswirtschaft
D. Bangert
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Aufgabe 5A (3 P.)
Die ursprünglich verschiedenen Temperaturen zweier Körper (ohne Heizvorrichtung), die
nahe beieinander stehen und sich nicht berühren, gleichen sich an (Aussage 1),
weil
Wärmestrahlung ausschließlich vom Körper höherer Temperatur auf jenen mit der
niedrigeren Temperatur übergeht (Aussage 2).
Antwort Aussage
1
A
richtig
B
richtig
C
richtig
D
falsch
E
falsch
Aussage
2
richtig
richtig
falsch
richtig
falsch
Verknüpfun
g
richtig
falsch
-------
Aufgabe 6 (3 P.)
Die Wärmeleitfähigkeit
(A)
(B)
(C)
ist ein Proportionalitätsfaktor im Fourier-Gesetz.
ist ein Maß für die Wärmespeicherfähigkeit einer Masse.
ist eine dimensionslose Größe.
Aufgabe 7A (3 P.)
Der bei der Wärmeübertragung wesentliche U-Wert
(A)
(B)
(C)
ist ein Maß für die Wärmeleitung
ist ein Maß für den Wärmeübergang
ist ein Maß für den Wärmedurchgang
und
(D)
(E)
(F)
(G)
hat die Einheit W/(K m²)
hat die Einheit W/(K m)
hat die Einheit W/K
hat die Einheit W/m²
10.2 Lösungen der Testfragen
Aufgabe 1: B, E
Aufgabe 2: C
Aufgabe 3: E
LE-3-73
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D. Bangert
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Aufgabe 4: E
Aufgabe 5: C
Aufgabe 6: A
Aufgabe 7: C, D
11 Übungen
11.1 Übungsaufgaben
Aufgabe 1
2hc 2
1
beschreibt die experimentellen
hc
5
λ e k B λT − 1
Beobachtungen für alle Wellenlängen. Dies gilt insbesondere auch, wenn die Wellenlänge
gegen null geht. Berechnen Sie den Grenzwert lim Mλ (λ ) .
Das Plancksche Strahlungsgesetz Mλ (λ ) =
λ →0
hc
Hinweis: Führen Sie die neue Variable x =
ein.
k B Tλ
Aufgabe 2
In der Kryotechnik wird flüssiger Stickstoff in Spezialbehältern gelagert. Ein solcher Behälter
besitze eine zweischalige Wand aus Stahlblech (SB) umgeben von einer Polyurethanschicht
(PUR). Seine Oberfläche sei A = 10 m 2 . Auf der Stahlblech-Innenseite herrsche eine
konstante Wandtemperatur von ϑi = −196 °C und auf der Pur-Außenseite eine
Wandtemperatur von ϑ a = 15 °C . Welche Wärmemenge wird aufgrund von Wärmeleitung
innerhalb eines Tages durch die Behälterwand transportiert, die vereinfachend als eben
angesehen werden soll?
Daten: d SB = 3 mm ; λ SB = 60 W /( m ⋅ K ) ; d PUR = 50 mm ; λ PUR = 0,030 W /( m ⋅ K )
11.2 Lösungen der Übungsaufgaben
Lösung der Aufgabe 1
Die Plancksche Strahlungsformel Mλ (λ ) =
2hc 2
λ5
1
hc
k B λT
liefert durch unmittelbares
e
−1
Einsetzen von λ = 0 einen unbestimmten Ausdruck der Form ∞ ⋅ 0 . Zur Bestimmung des
hc
durchgeführt:
Grenzwertes lim Mλ (λ ) wird eine Variabelensubstitution mit x =
λ →0
k B Tλ
LE-3-74
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
5
2k T 5 x 5
lim Mλ (λ ) = lim B3 4
λ →0
x →∞ c h
ex −1
Mit x →∞ liegt ein unbestimmter Ausdruck der Form ∞ vor. Anwendung der Regeln von
∞
Bernoulli-de L'Hospital ergibt:
5
5
2k B T 5 x 5
10k B T 5 x 4
=
lim
=
x →∞ c 3 h 4
e x − 1 x →∞ c 3 h 4 e x
lim
5
5
40k B T 5 x 3
120 k B T 5 x 2
=
lim
=
x →∞
c 3 h 4 e x x →∞ c 3 h 4
ex
lim
5
5
240 k B T 5 x
240 k B T 5 1
lim
= lim
=0
x →∞
c3 h 4
e x x →∞ c 3 h 4
ex
Insgesamt musste die Regel von Bernoulli-de L'Hospital 5-mal angewandt werden. Die
Exponentialfunktion im Nenner wächst somit stärker als die fünfte Potenz im Zähler des
Planckschen Strahlungsgesetzes.
Als Ergebnis erhält man: lim Mλ (λ ) = 0
λ →0
Lösung der Aufgabe 2
∆Q = I Q ∆t
Sei ϑ Z die Temperatur an der Berührfläche des Stahlblechs zur PUR-Dämmschicht.
Dann folgt für die Wärmeströme infolge Wärmeleitung durch die beiden Wandmaterialien:
I Q (SB) = λ SB
A
d SB
(ϑ Z − ϑ i ) und I Q (PUR ) = λ PUR
A
d PUR
(ϑ a − ϑ Z )
Im stationärem Gleichgewicht sind beide Wärmeströme gleich groß:
I Q = I Q (SB) = I Q (PUR )
Da die Temperatur ϑ Z nicht bekannt ist, muss eine Umformung vorgenommen werden,
damit diese Größe aus der Berechnungsgleichung herausfällt.
I Q d SB
λ SB A
= (ϑ Z − ϑ i )
I Q d PUR
λ PUR A
= (ϑ a − ϑ Z )
LE-3-75
Technische Betriebswirtschaft
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Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Addition dieser beiden Gleichungen liefert:
I Q d SB
λ SB A
+
I Q d PUR
λ PUR A
= ( ϑ Z − ϑ i ) + (ϑ a − ϑ Z )
I Q d SB d PUR
(
+
) = (ϑ a − ϑ i )
A λ SB λ PIUR
Damit folgt für den Wärmestrom:
IQ =
d SB
λ SB
A
(ϑ a − ϑ i ) = 1266 W
d PUR
+
λ PUR
∆Q = I Q ∆t = 1,266 kW ⋅ 86400 s = 109,38 MJ
Hinweis: Für den Wärmeleitungsstrom I Q durch eine n-schalige Wand mit den
Schichtdicken d i mit den jeweiligen Wärmeleitfähigkeiten λ i (i = 1 bis n) gilt bei
Wandtemperaturen ϑi (innen) und ϑ a (außen):
IQ =
A
(ϑ − ϑ i )
di a
∑
i =1 λ i
n
LE-3-76
Technische Betriebswirtschaft
D. Bangert
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Anhang
A1
Griechisches Alphabet
Α
α
Β
β
Γ
γ
∆
δ
Ε
ε
Ζ
ζ
Η
η
Θ
ϑ
Ι
ι
Κ
κ
Λ
λ
Μ
µ
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
Jota
Kappa
Lambda
My
Ν
ν
Ξ
ξ
Ο
ο
Π
π
Ρ
ρ
Σ
σ
Τ
τ
Υ
υ
Φ
ϕ
Χ
χ
Ψ
ψ
Ω
ω
Ny
Xi
Omikron
Pi
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
LE-3-77
Technische Betriebswirtschaft
D. Bangert
A2
Physik und Umwelt
Thermodynamik LE3
Formelzeichen
Symbol
α,h
Benennung
Einheit
W /(m2 K )
α
η
Wärmeübergangskoeffizient
Absorptionsgrad
Wirkungsgrad
1
1
ε
Emissionsvermögen
1
ϑ
Celsiustemperatur
°C
κ
Adiabatenkoeffizient
1
λ
Wärmeleitfähigkeit
W /(m K )
λ
Wellenlänge
M
Φ
Strahlungsstrom
W
ρ
Reflexionsgrad
1
τ
Transmissionsgrad
1
υ
spezifisches Volumen
m 3 / kg
∆T
Temperaturänderung
K
∆V
Volumenänderung
m3
A
Fläche
m2
c, cp , c V
spezifische Wärmekapazität
J/(kg K)
d
Wanddicke
M
E, E kin , E pot
Energie
J
f
Frequenz
Hz
H
Enthalpie
J
h
spezifische Enthalpie
J/kg
U, k
Wärmedurchgangskoeffizient
W /(m2 K )
M
Spezifische Ausstrahlung
W / m2
Mλ
spektrale Ausstrahlung
W / m3
m
Masse
kg
n
Stoffmenge
Mol
p
Druck
Pa
P
Strahlungsleistung
W
Q
Wärmemenge
J
&
Q
Wärmestrom
W
q&
Wärmestromdichte
W / m2
S
Entropie
J/K
LE-3-78
Technische Betriebswirtschaft
D. Bangert
Physik und Umwelt
T
Temperatur
K
U
innere Energie
J
V
Volumen
m3
W
Arbeit
J
A3
Thermodynamik LE3
Literaturauswahl
Herr, H.:
Kuchling, H.:
Technische Physik, Band 3,
Wärmelehre
Europa-Lehrmittel, Haan
Taschenbuch der Physik,
Fachbuchverlag Leipzig
Lindner, H.:
Physik für Ingenieure,
Fachbuchverlag Leipzig
Müller, R.:
Thermodynamik
Walter de Gruyter, Berlin
Pitka, R. et al.:
Physik
Der Grundkurs
Verlag Harri Deutsch, Frankfurt
Aufgrund fortlaufender Aktualisierung seitens der Verlage, wurde auf die Nennung der jeweils gültigen
Auflage sowie auf das Erscheinungsjahr verzichtet.
LE-3-79