Physik II - Zusammenfassung

Ordnung und Unordnung
Statistische Mechanik des idealen Gases
Wärme und Temperatur
Diskreter Aufbau der Materie
Mikroskopische Beschreibung der Materialeigenschaften
 2 Zustände: geordnet, ungeordnet
 Material besteht aus diskreten Atomen
 Ideales Gas (Zusammenfassung)
Die innere Energie eines Gases ist die Summe der kinetischen
Energien der Moleküle. Der Druck p den ein Gas auf eine
Wand ausübt, ist die resultierende Kraft, die die Moleküle
ausüben, wenn sie mit einer Wand zusammenstossen.
Ideales Gasgesetz (pro Mol Gas)
pV  RT  N A kBT
Avogadro-Zahl N A  6, 022 1023 mol 1
BoltzmannR
8.314 J / molK
J
kB 

 1.381  1023
Konstante
N
6.022  1023 mol 1
K
A
Viskosität eines Gases (beruht auf
MRT
GAS  0.53 
Impulsübertragung bei
 N Ad 2
Zusammenstössen zwischen den
Molekülen)
M: Molekulargewicht
 Eigenschaften der Brownschen Bewegung
1. Sie folgt aus der thermischen Bewegung der Atome und
kann daher nicht beeinflusst werden.
2. Sie kann in einem abgeschlossenen System ablaufen. Es sind
keine Temperatur- oder Konzentrationsgradienten nötig.
Daher benötigt sie keine Energiezufuhr von aussen.
3. Sie kann nicht benutzt werden, um einem System Arbeit zu
entziehen, weil sie völlig ungeordnet ist.
Gesetzmässigkeit der BB
t RT
x2 
Tt
x 2 : mittl. Verschiebungsquadrat
N A 3 a
η: Viskosität (der Flüssigkeit)
Einschub: Wahrscheinlichkeitslehre
Einfache Wahrscheinlichkeit
pi  Ni N
Entweder-Oder-Wahrscheinlichkeit
pi j  pi  p j
Sowohl-Als-Auch-Wahrscheinlichkeit
pi  j  pi  p j
 Bedingungen
1. Eigenvolumen der Moleküle vernachlässigbar klein im
Vergleich zum Gefässvolumen.
2. Potentielle Energien von Wechselwirkungskräften zwischen
den Molekülen vernachlässigbar.
Im Folgenden sei ein einatomiges ideales Gas betrachtet. Es
bestehe aus N0 Atomen und sei eingesperrt in einem Würfel
mit der Kantenlänge L.
Verteilung der Energie
Jedes Teilchen bewegt sich unabhängig von den anderen.
Seine Energie ist rein kinetisch. Es steht ihm der ganze Würfel
als Bewegungsraum zur Verfügung. Jedes Teilchen kann also
als gefangen in einem 3D-Potentialtopf angesehen werden.
2
Energieniveaus der
2
 
2
2
2
Teilchen
En n n 
  n1  n2  n3
r 2  n12  n22  n32
1 2

2me  a 
3

Aus dem Vergleich des Energiezustandes mit der kinetischen
Energie folgen sehr grosse Quantenzahlen. E und r können als
kontinuierlich aufgefasst werden. Gemäss Bohrschem
Korrespondenzprinzip lassen sich folgende Resultate auch auf
klassischem Wege herleiten. Man will oben r eliminieren mit:
Anzahl Zustände:
N ( E )  1 4 r 3 (1/8 Kugelvol.)
8 3
Zahl der Zustände mit einer Energie zwischen E und E+dE.
n(E) ist die Dichte der mögl. Zustände, die sog. Zustandsdichte
3
2

n( E )dE 

1
2

3
1

( k BT ) 2 E 2 e
Erwartungswert einer
kontinuierlich verteilten
Grösse
f 
f p
i
i
Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
wobei pi 
Ni
N

f ( x) 
 f ( x)  p( x)dx

Atomistische Def. der Temperatur-Skala
Gesetzmässigkeit der Brownschen Bewegung weist auf allg.
Zusammenhang zw. Wärmebewegung und der Temperatur hin.
Im thermodynamischen Gleichgewicht wird ein Gasteilchen im
Mittel über eine lange Zeit bei den (nicht vollständig
elastischen) Zusammenstössen mit anderen Gasteilchen
gleichviel Energie aufnehmen wie abgeben.
Wenn ein System im thermodyn. Ggw. mit einem
Ej
Wärmebad der Temperatur T ist, dann ist die
k BT
Wahrscheinlichkeit, dass das Energieniveau Ej
besetzt ist, proportional zum Boltzmann-Faktor
T0 fBM  0  absoluter Temp.Nullpunkt berücksichtigt
T∞ fBM  1  Besetzungswahrscheinlichkeit immer gleich

nach Stoss
vor Stoss
Fx dt  2mvx
Anzahl Wandberührungen eines v 2a (1D in x-Richtung)
x
Teilchens pro Sekunde
Druck, den ein Molekül auf die
v 1
p  2mvx x 2
Wand ausübt (1D)
2a a
Druck bei N Molekülen (3D)
n = N /a3 (Teilchendichte)
Ideale Gasgleichung (1Mol)

p  13 nmv2  nkBT

1
2 R
T
Äquipartitionstheo Jedem Freiheitsgrad f ist die kinetische
rem
Energie ½kBT pro Molekül zugeordnet.
Mittlere freie Weglänge im idealen Gas
Definition: Mittlere freie Weglänge = Länge des ganzen ZickZack-Weges dividiert durch Anzahl der Zusammenstösse
Es sei ein Zylinder der Länge l mit Durchmesser 2d (d = char.
Moleküldurchmesser) in einem Volumen betrachtet, in dem
ein Teilchen mit der Volumendichte n enthalten ist.
Zahl der Zusammenstösse (1D)  d 2l  n
Weglänge (linear, 1D)
  l /( d 2l  n)
3
Maxwellsche
Geschwindigkeitsv
 m0  2 2mk Tv 2
dN

N
4

v dv


erteilung
0
 2 k T  e
B


(E = ½ mv2)
Wahrscheinlichkeit, dass eine Teilchengeschwindigkeit
zwischen v und v + dv liegt, ist
0
B
 m0
dN
fv (v)dv 
 4 
N0
 2 kBT
Wahrscheinlichste
Geschwindigkeit (dfv/dv = 0)
Mittlere Geschwindigkeit
e

2
0
B
2k B T
m0
v


v  v  f v (v)dv 
0
mittlere Energie der
Schwerpunktsbewegung eines
Teilchens
3
 2 2mk Tv 2
v dv
 e

8k B T
 m0


E  E  f E ( E )dE 
0
3
k BT
2
m2
 Random walk und Diffusion
Diffusionskonst Sprungsfre Sprungfrequenz
ante D
quenz
in eine Richtung
1/ 
(1/ 2)(1/ )
D  a 2 2

Unter Anwendung von Stirling-Formeln und geschickter
Elimination von den unhandlichen Grössen τ und a, ergibt sich
aus P(s, n) eine Wahrscheinlichkeitsdichte f(x, t).
x
Diese gibt die Wahrscheinlichkeit

1
f ( x, t ) 
e 4 Dt
an, ein Teilchen zur Zeit t in x
4 Dt
anzutreffen, wenn es sich zur Zeit t
= 0 am Ort x = 0 befunden hat:
Diffusion, 3D
(Wahrscheinlichkeiten
multiplizieren sich!):
2
pV  N AkBT  RT
spezifische Wärme
 E  NA
pro Mol
cV 
 f 12 kB N A  f
p  1.013 10
E
kBT
2
Erwartungswert einer diskret
verteilten Grösse
Impulsänderung nach einem
Kraftstoss an der Würfelwand
R  N A k B  8.314
f (r , t ) 
1
e
 4 Dt 
3/ 2
 ( x2  y 2  z 2 )
4 Dt
Konzentrationsverteilung
(bei t = 0 und r = 0 befinden
sich n0 Teilchen)
n(r, t ) 
n0
 4 Dt 
3/ 2
e

x2  y 2  z 2
4 Dt
Phänomenologie der Diffusion
1
2
fE(E)dE ist die normierte (!) Wahrscheinlichkeit, dass die
translative kinetische Energie eines Teilchens des idealen
Gases bei der Temperatur T zwischen E und E + dE liegt.
Wenn das Gas aus N0 Teilchen besteht, ist also die Zahl der
Teilchen mit einer Energie zwischen E und E+dE:
dN  N0  f E (E)  dE

Atomistische/Phänomenologische Temp.
Weglänge (Zick-Zack, 3D,
1
V
(2m0 ) E dE
andere Moleküle in Bewegung)  
4 2 3
 d 2n 2
Dies gibt die Wahrscheinlichkeit an, irgendein Teilchen im
Energieintervall {E, E+dE} anzutreffen. Gemäss oben kommt Standardbedinungen (für 1 Mol Gas)
die Temperaturabhängigkeit mit dem Boltzmann-Faktor hinzu. T  273.15K
V  22.4l  0.0224m3
Die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren sich. Es folgt:
J
5 N
dN ( E )
N ( E  dE )  N ( E ) 
dE  n( E )dE
dE
f E ( E)  2
 Erwartungwerte ( ≈ Mittelwerte)

Normierungsbedingung
p( x) dx  1
E  32 kBT  12 mv 2
mol  K
Diffusion
Modell der Brownschen Bewegung
Brownsche Bewegung ist ein Indikator für irreversible
Prozesse. Diffusionsproz. sind typisch irreversibel. Die
makroskop. Verschiebung von Teilchen kann man angeben,
wenn man die mittlere Anzahl von Sprüngen pro Sekunde und
die mittlere Sprunglänge kennt. Distanz und Frequenz der
Sprünge zufällig
 Random Walk (1D)
Ein Teilchen bewegt sich entlang einer Kette und es wählt
zwischen den beiden benachbarten Punkten auf der Kette mit
gleicher Wahrscheinlichkeit aus. Gesucht ist die
Wahrscheinlichkeit, mit der das Teilchen nach n Schritten die
Entfernung x vom Ausgangspunkt erreicht hat.
n
x
s: Anzahl Schritte in richtiger Richtung
s 
a: Schrittlänge
2 2a
n
Die Wahrscheinlichkeit, dass von n
 n  1 
P( s, n)     
Schritten s richtig sind, wobei für jeden
 s  2 
Einzelschritt die Wahrscheinlichkeit ½
beträgt, ist
t  n
τ: Zeit für 1 Schritt
Es folgt:
t


  1 


 
P ( s , n )  P ( x, t )  
 t
x  2 



 2 2a 
t
 Das Diffusionsgesetz
Bei einem Konzentrationsgefälle bildet sich ein ihm entgegen
gerichteter Diffusionsstrom j:
1. Ficksches Gesetz
n
j  D
(1D)
x
j: Flächenstromdichte
j   D  grad (n) (3D)
Der Vektor j gibt die Stromdichte an, d.h. wenn n die Zahl der
Teilchen pro m3 ist, dann gibt j die Zahl der durch einen m2 pro
Sekunde senkrecht hindurchströmenden Teilchen an.
2. Ficksches Gesetz
n
2 n
 D 2 (1D)
Diffusionsgleichung
t
x
Folgt aus Kontigleichung:
n
2
 Dn (3D)
 2 jx  j y  2 jz  2 n
t



0
x
y
z
t
 Zur Lösung sind AB und RB nötig
 Diffusionsgleichung beschreibt einen Ausgleichsprozess,
d.h. bei t herrscht Gleichgewicht.
 Zeitrichtung des Vorgangs durch Diffusionsgleichung
festgelegt (bei t-t ist Gleichung nicht interpretierbar)
 Eine Standardlösung der Diffusionsgleichung
Zerfliessen einer sinusförmigen Konzentrationsmodulation:
1. Anfangsbedingung
 2 
n( x, t  0)  n0  A0 sin 
x
 L 
2. Ansatz (sinnvoll, da sich
Raumperiode fix bleibt)
 2 
n( x, t )  n0  A(t )sin 
x
 L 
3. Einsetzen in die
Diffusionsgleichung
dA(t )
 2 
 D 
 A(t )
dt
 L 
4. Lösung mit der AB
A(t = 0) = A0
2
A(t )  A0 e

4 2 D
t
L2
 A0 e

t

 Halbwertszeit

L2
4 2 D
 Stationäre Temperaturverteilung
Nach einiger Zeit wird sich ein
konstanter stationärer Wärmestrom
 = ∂Q/∂t einstellen, der von der
Temperaturdifferenz T
angetrieben wird.  zeitlich
konstantes Temperaturprofil T(x).
Q
 AT
 AT t

T
 Q


Q 
 jQ 
t
d
d
A
d
jQ Wärmestromdichte
d Probenlänge
 Wärmeleitungskoeffizient A Querschnittsfläche der Probe
[W/(mK)]
 Nichtstationäre Wärmeleitung
Fourier-Gesetz
q
  divjQ
t
Wäremleitungsgleichung
T


 T    T
(Δ: Laplace-Operator)
t c  
Wärmetransport in einem Gas
Es sei hier von Konvektion abgesehen.
 Wärmetransportstrecke L gross gegen 
Kinetische Energie eines Gasmoleküls Ekin  f 12 kBT
mit f Freiheitsgraden
Aus Energiebilanz folgt: j   1 fnvk  dT dx 
Q
6
B
1

1
6
Nachbaratomen zu verlassen.
Γ Versuche sind erfolgreich
Qa:Aktivierungsenergie für
einen Platzwechsel
Arrhenius-Gesetz
2
Widerstandsrauschen
Physik der Wärme
B
Wärmeleitung
Wärmeleitungskoeffizien
t bei L  Λ
Die Dynamische Viskosität hängt stark von
const
kT
Temperatur und Druck ab. Für Flüssigkeiten


Ae
kann man die Temperaturabhängigkeit
(T   η )
näherungsweise beschreiben durch:
Keine äussere Kraft: AB und BA gleichwahrscheinlich
Mit äusserer Kraft: AB, BA nicht gleichwahrscheinl.
 Grund für Deformation eines Fluids
 Viskosität eines Gases
Es gilt für die dynamische
1
  v 
Viskosität
3
Die Viskosität eines Gases ist unabhängig vom Druck! Dies ist
erfüllt, solange die mittlere freie Weglänge klein gegen die
Abstände der sich im Gas bewegenden Körper ist, oder bei
strömenden Gasen klein gegen die Gefässdimensionen ist.
 8k BT  2 CV


 m  NA
fnv k B  
3 2 d 2
Man beachte, dass nicht von der Teilchendichte und damit
nicht vom Druck abhängt. Helium z.B. hat eine gute
Wärmeleitfähigkeit wegen kleiner Masse und kleinem
Teilchen-
D
Qa Q

kB R
a
6
 Qa
    exp 
 k BT
 Qa
 Qa



Q
 e k T  D0  e k T  D0  e RT
B
B
Qa Aktivierungsenergie pro Atom
Q
Aktivierungsenergie pro Mol
 Leerstellen bei der Diffusion
Ein Platzwechselmechanismus ist energetisch
unwahrscheinlich (zu viel Deformation). Daher wird die
Existenz von Leerstellen angenommen, die die Diffusion
unterstützen.
Wenn man die Wahrscheinlichkeiten der Leerstellenbildung
und der Verschiebung einer Leerstelle miteinander
multipliziert, erhält man die Temperaturabhängigkeit der
Diffusion:
Ef Bildungsenergie einer
 Ef
E E
 Ed
 f d
Leerstelle
kBT
kBT
k BT
Ed Bildungsenergie für Leere e e
stellenverschiebung
Qa = Ef+Ed
Die thermische Bewegung von Elektronen verursacht
Wärmestrahlung
Stromschwankungen. Die gemessenen
Spannungsschwankungen sind proportional zur Bandbreite des Emission und Absorption
Wärmestrahlung ist eine Energieform, die sich als
Messgerätes.
elektromagnetische Strahlung (Infrarotstrahlung) ausbreitet.
Mittleres Amplitudenquadrat der
2
2
U  2  1  kBTR0
Rauschspannung

{ω1,ω2}: empfindliche Bandbreite
Für Zimmertemperatur kann man
 nV 
2
U  0.13 R0


numerisch vereinfachen:
 Hz 
Durch Einschränken der Bandbreite kann man das störende
Rauschen einschränken.
Diffusion im Festkörper
Diffusion wie in Fluiden ist in idealen Kristallen unmöglich. In
diesem Fall wird jedes Atom durch seine Nachbarn an seinem
Gitterplatz festgehalten und kann sich nicht bewegen, trotz der
thermischen Bewegung (Potentialberg zu gross). Das
Experiment zeigt aber, dass Diffusion in realen Kristallen sehr
  gross gegen die Wärmetransportstrecke L
wohl stattfindet, wenn sie auch in Vergleich zur Diffusion in
Das idealisierte Kontinuumsmodell versagt. Die Angabe eines
Flüssigkeiten nur sehr langsam vor sich geht.
Wärmeleitungskoeffizienten ist sinnlos, weil man in diesem
Kristalle sind nicht perfekt sondern enthalten Defekte. Für die
Falle im Gas keinen Temperaturgradienten definieren kann.
Diffusion sind Leerstellen wesentlich!
Impulstransport und Innere Reibung
 Experimentelle Daten
Selbstdiffusion:
Wanderung von Atomen in einem reinen
 Viskosität der Flüssigkeit
Festkörper
Wird eine Platte mit konstanter Geschwindigkeit vP durch eine
Fremdstoffdiffusio Zwei lösliche, zunächst räumlich getrennte
Fl. gezogen, so wirkt vom Fluid eine Kraft auf die Platte.
n
Komponenten dringen ineinander ein.
Diese ist auf Scherbewegung zw. Teilchen zurückzuführen.
1. Diffusion im Festkörper ist ein langsamer Prozess
Newtonsches Fluid
vP
2. Diffusionsrate nimmt mit der Temperatur rasch zu.
A:Fläche der Platte (2 Seiten!) F   A x
η: dynamische Viskosität
 Der Diffusionskoeffizient
Damit ein Atom von A
Phänomenologisch Mikroskopische
nach B springen kann,
e Definition
Definition
muss es den
 Sprungfrequenz
n

j  D
D  a2
Potentialberg Epot
a Sprungdistanz

x
6
überwinden.
In 3D gibt es 6 Sprungrichtungen (x, y, z). 1/6 der
Wahrscheinlichkeit, dass
Sprungfrequenz wird genutzt für einen Sprung in eine vorgeg.
dies gelingt, ist
Richt.
proportional zum
 Die Temperaturabhängigkeit von D
Boltzmann-Faktor (E =
Sei ν die Oszillationsfrequenz, mit dem ein Atom um seinen
Epot).
Gitterplatz zittert. Es versucht also ν mal den Käfig aus den
Ekin von Gr.Ordnung kBT.
 Kirchhoffsches Gesetz
Im stationären Zustand muss der Körper
1 dem Körper 2 gerade soviel zustrahlen,
wie er von diesem an Strahlungsleistung
empfängt. 1 strahlt nach 2 seine eigene
Strahlungsleistung E1, ausserdem
reflektiert er den nicht absorbierten
Bruchteil der von 2 zugestrahlten
Leistung E2, nämlich R1E2. Und
umgekehrt. Es ändert sich nichts, wenn
zwischen die beiden Körper einen
Spektralfilter geschoben wird, so dass
nur Strahlung von einem bestimmten
Frequenzband ausgetauscht wird.
Vorarbeit
E1  R1E2  E2  R2 E1
E1  (1  A1 ) E2  E2  (1  A2 ) E1
Gesetz von Kirchhoff

E1 E2

A1 A2
E * ( , T )
 ES * ( , T )
A * ( , T )
ES*(ω,T) ist eine universelle Funktion von (,T) für schwarze
Körper. Es ist dessen spektrales Emissionsverhältnis.
Plancksches Strahlungsgesetz
Absorptionsvermögen A absorbierte Energie/eingestrahlte E.
Reflexionsvermögen R
reflektierte Energie/eingestrahlte E.

Emissionsvermögen E
E (T )   E *( , T )d 
E*dω: spektrales
0
Emissionsvermög
en
Die Energie, die jeder Körper abstrahlt, ist durch seine
thermodynamische Temperatur bestimmt
 Einige Eigenschaften der Wärmestrahlung
1. Wenn die Temperatur eines Körpers grösser ist als die seiner
Umgebung, dann verliert er Energie durch Strahlung.
2. Im umgekehrten Fall wird dem Körper durch Strahlung
Energie zugeführt.
3. Bei gleicher Temperatur ist Gleichgewicht erreicht. Es findet
aber weiterhin Strahlungsabsorption und Emission statt. Es
handelt sich um ein dynamisches Gleichgewicht.
4. Strahlungsleistung steigt mit der Körpertemperatur stark an.
5. Aus der Energieerhaltung im dyn. Ggw. folgt: ein guter
Absorber muss immer ein guter Strahler sein. Grosses
Absorptionsvermögen heisst auch grosses
Emissionsvermögen.
 Schwarze Körper
Körper, die alle Strahlung absorbieren. Es gilt: A=1, R=0. Ein
schwarzer Körper kann in guter Näherung durch ein Loch in
der Begrenzung eines Hohlraums dargestellt werden. Alle
Strahlung, die durch das Loch ins Innere des Körpers fällt,
wird dort absorbiert. Fast ideal schwarz ist nicht der Hohlraum
als solcher, sondern die Hohlraumöffnung von aussen gesehen.
 Strahlung eines schwarzen Körpers
1. Die Abstrahlung ist unabhängig vom Wandmaterial.
2. Die abgestrahlte integrale Strahlungsintensität S ist der
4.Potenz der Temperatur proportional: S = σT4
3. Die emittierte Strahlung ist nicht monochromatisch. Ihr
Spektrum reicht von klein bis gross.
4. Das Maximum der Strahlungsverteilung verschiebt sich mit
der Temperatur zu kürzeren Wellenlängen:
MAX  T  const  0.2898 cmK
5. Bei grossen Wellenlängen variiert die Spektralverteilung der
emittierten Strahlung mit der 4. Potenz vom reziproken λ:
1
S
4

 Energiedichte der Strahlung im Hohlraum (klassisch)
Im klassischen Bild stellt man sich vor, dass der Hohlraum von
Strahlung erfüllt ist, die von oszillierenden Dipolen in der
Hohlraumwand ausgesendet und wieder empfangen wird. Im
Hohlraum bildet sich eine Vielzahl stehender Wellen mit allen
möglichen Frequenzen und Wellenlängen aus.
dZ ist die Zahl der Schwingungsmoden
2
dZ  V  8 3  d
im Frequenzintervall ...( + d),
c
c: Lichtgeschwindigkeit
V:das Volumen des Hohlraums:
Energiezustände eines harm. Oszillators En  (n  1 )h
2
Besetzungswahrscheinlichkeit dieser
Zustände  Boltzmann-Faktor (noch zu
normieren!)
 ( n  12 ) h
wn
e
k BT
Mittlere Energie, die man anregen kann
(also nicht die Nullpunktsenergie):
h
E
e
h
kBT
1
Multipliziert mit der Zahl
2

 ( ,T )d  2 3 
d
der Resonatormoden

c
erhalten wir für die spektrale
ek T 1
Energiedichte im Resonator:
spektrale
dj
c
S 

  ( ,T )
Energiestromdichte pro
d  4
Raumwinkelelement
B
Plancksche
Strahlungsgesetz: gibt
die spektrale
Energiestromdichte pro
Raumwinkelelement an:
S  2
2
c2

mechanische Volumenarbeit
W   p  dV , dW   pdV
Q  c  V  T , dQ  c  V  dT
Wärmezufuhr
Zustandsänderungen




V = 0; V = const.
p = 0; p = const.
T = 0; T = const.
Q = 0
isochore Prozesse
isobare Prozesse
isotherme Prozesse
adiabate Prozesse
 Isochore Prozesse
1. HS
Spezifische isochore
Wärmekapazität pro Mol (!)
W = 0  U = Q
CV 
dU
dT
V const
 Isobare Prozesse
 Arbeit:
 Wärme
 1. HS
W=-p0(V2-V1)=-p0V
Q=CpT U= CpnT - p0V
Auflösen nach ΔQ legt Definition einer Energiegrösse nahe:
Enthalpie
H U  p V
h
h
ek T 1
hc 2
1
B
S  2

5
hc
 k BT
e
1
Achtung:
cd 
S d   S d
d  2
(grössere Frequenz,

kleinere Wellenlänge)
 Folgerungen aus dem Planckschen Verschiebungsgesetz
Wiensches
hc
3
Verschiebungsgesetz MAX  T  0.201 k  2.898  10 m  K
B
λmax: Wellenlänge, bei der ρ(λ,T) maximal wird.

Stefan-Boltzmann
2 5 k B 4 4
S (T )  S ( ,T )d  
T
Gesetz
15
c 2 h3
(Integration über das
0
4
Spektrum)
S (T )    T

  5.67  10  8 Wm2 K 4
Abgestrahlte Leistung
P   eff  AT 4
Der 1. HS der Thermodynamik
 Begriffe
Der Zustand eines thermodynamischen Systems wird durch
Zustandsgrössen beschrieben:
 Volumen V
 Teilchenzahl N
 Temperatur T
 Masse m
 Druck p
 Entropie S
Ein Gleichgewichtszustand ist ein makroskopischer Zustand
eines abgeschlossenen Systems, der sich nach hinreichend
langer Zeit einstellt.
Die Temperatur
Für ein Gas gilt…
 für das Volumen bei
konstantem Druck
( = Celsius-Temperatur)
 

V ( )  V (0C ) 1 

273.15 

 für den Druck bei
konstantem Volumen
 

p( )  p(0C ) 1 

273.15 

Der 1. Hauptsatz
Energieerhaltung in einem
mechanischen System
Energieerhaltung in einem
thermodynamischen System
W  E  Etr  Erot  E pot
U  W  Q
Spezifische Wärmekapazität
pro Mol (!)
Cp 
für ideale Gasen gilt:
C p  CV  R
 Isotherme Prozesse
für ideales Gas gilt

p  const
pV=const.
U = U(T)  dU = 0
dQ=-dW=+pdV
1. HS:

dH
dT
2
Q  dQ  pdV 

1
V 
RT
dV  RT  ln  2 
V
 V1 
 Adiabatische Prozesse (für ideales Gas)
Es gilt: dU= dW  dU= -pdV  CVdT=-RT(dV/V)
Poisson-Gleichungen
T  V  1  const. (  C p / CV )
(= Isentropenbeziehung)
p  V   const.
T
 const.
p 1
 Zustandänderunge
Isotherme
dp
const.
p
 2 
dV
V
V
Adiabate
dp
const.
p
   1  
dV
V
V
Innere eines makroskopischen Systems
Das ideale Gas, klassisch betrachtet
Annahme: thermische Anregung der Elektronenhülle der
Atome vernachlässigbar bei gemässigten Temperaturen.
für einatomige Idealgase gilt: U  3 N k T
A B
2
NA = Teilchenzahl pro Mol
pV  N A k BT  23 U
für mehratomige Idealgase gilt pV  N A kBT  (  1)U
F = Anzahl Freiheitsgrade
2
 1 
einatomiges Gas:
F=3
F
zweiatomiges Gas: F = 5
 Bestimmung von γ nach Rüchhardt
man die Freiheitsgrade der Oszillation doppelt! (Ekin + Epot)
Flasche mit Volumen V, Rohrquerschnitt
A, Kugelmasse m, Atmosphärendruck p0.
Druck im
Gleichgewicht
Rücktreibende Kraft,
auf die Kugel
p  p0 
F 
2 Anwendungen der kinetischen Theorie
mg
A
Für ein ideales Gas gilt
dU
dT
 Wärmekapazität für ein ideales einatomiges Gas
Die innere Energie ist gegeben durch die kinetische Energie
der Atome. Es gibt nur die Translation der Schwerpunkte:
3
3
3
 CS ,V  N A kBT  R
U S  N A k BT
2
2
2
 pA2
y
V
Kraft ist proportional zur Auslenkung
und führt zu einer harmonischen
Oszillation mit der Periodendauer
T  2
m
mV
 2
F / y
 pA2
 
4 2 mV
A2 pT 2
CV 
3 vereinfachende Annahmen wurden gemacht:
1. Das Gas ist ideal
2. Es tritt keine Reibung auf (grösster Fehler)
3. Volumenänderungen sind schnell genug, dass man sie als
adiabatisch betrachten kann.
IG – quantenmechanische Betrachtung
 Rotationsenergie der Moleküle
Zur Bestimmung der Rotationsenergie geht man von den
klassischen Ausdrücken aus und berücksichtigt dann die
gequantelten Werte des Drehimpulses.
Die Rotation um die Hantelachse vernachlässigbar.
 2 Rotationsfreiheitsgrade  2 Quantenzahlen:
Es gilt für den
L2  l (l  1) 2
l  0,1, 2,...
gequantelten
Lz  m
m  0, 1, 2,...
Drehimpuls (s.o.):
klassische Mechanik
1 2 1 2
I = Trägheitsmoment L  I    Erot  2 I  2I L
ω = Winkelgeschw.
2
Quantenmechanik
Erot 
l (l  1)
l  0,1,2,..
 Energieniveaus
2I
Besetzungswahrscheinlichkeit dieser Niveaus
  Erot 
exp 

ist proportional zum Boltzmann-Faktor
 k BT 
 Grenzfall tiefer Temperaturen
k BT 
Für 1. angeregten Rotationszustand gilt:
E1  E0 
2
/I
2
/I
Alle Moleküle sind im rotatorischen Grundzustand. Die
Rotation liefert in diesem Fall keinen Beitrag zur inneren
Energie des Gases: Das Molekül verhält sich, als ob es keine
rotatorschen Freiheitsgrade hätte.
 Grenzfall hoher Temperaturen
k T  2 / I
B
Die Rotation liefert einen Beitrag zur inneren Energie.
Die mittlere Energie der Rotation pro
1
Erot  kBT
Freiheitsgrad beträgt
2
 Schwingungsenergie der Moleküle
Ein Molekül mit N Teilchen hat insgesamt 3N Freiheitsgrade.
6 davon haben Frequenz 0 ( Translation & Rotation). 3N-6
sind oszillatorische Freiheitsgrade/Normalschwingungen.
mittlere Energie eines
1

E
 
harmonischen Oszillators
2
kT
(½ħω = Nullpunktsenergie)
e 1
Diskussion:
1
T 0
E  E0 

2
B
(ergibt sich aus Reihenentw.)
T gross
E  k BT
 Äquipartitionsprinzip
Im Grenzfall hoher Qunatenzahlen, d.h. im
E 1
Grenzfall der klassischen Mechanik, entfällt im
 2 kBT
Gleichgewicht bei der Temperatur T auf einen F
Freiheitsgrad im Mittel die kinetische Energie. Dabei zählt
 Wärmekapazität für ein ideales zweiatomiges Gas
Beitrag der Rotation
Für hohe Temperaturen gilt:
Crot ,V  N A k B
Beitrag der
Molekülschwingungen
Folgende Abbildung
zeigt die
Temperaturabhängigk
eit der spezifischen
Wärme von
Wasserstoffgas.
 Schallgeschwindigkeit
Für Ausbreitung von Schallwellen gilt:
K
c  vPhase 
K : Kompressionsmodul

 : Dichte des Mediums
Annahme: In der Schallwelle erfolgt die Kompression so
schnell, dass sie als adiabatisch angenommen werden kann.
Damit findet man den adiabatischen
Kadiabatisch   p
Kompressionsmodul
Schallgeschwindigkeit in Gasen
p
c  vPhase  

Der 2. Hauptsatz und die Entropie
Perpetuum mobile 2. Art
Man kann keine Maschine konstruieren, die Wärmeenergie aus
einem Wärmebad entnimmt und mit Hilfe eines Kreisprozesses
in Arbeit umwandelt, ohne dass sie Wärme an ein zweites
Wärmebad auf einer tieferen Temperatur abgibt.
Eine dauernd laufende Maschine, die einem Wärmereservoir
Wärme entzieht und in Arbeit verwandelt, ohne dass ein
zweites Reservoir im Spiel ist, existiert nicht!
 Die Reusen-Maschine
 Die Rätschenmaschine
die Wärme ΔQa aus dem Arbeitsgas aufnehmen, dadurch selbst
die hohe Temperatur T2 erreichen, während sich das Gas
gleichzeitig auf die Temperatur T1 abkühlen soll. Eine gewisse
Wärmemenge Q2 wurde dem heissen Wärmebad entnommen,
die geringere Wärmemenge Q1 an das kältere abgegeben und
die Differenz als mechanische Arbeit verfügbar gemacht.
Wirkungsgrad der
T
 STIRLING  1  1
Stirlingmaschine
T2
berechnet für diesen die Entropieänderung.
 Entropie und Wahrscheinlichkeit
Die Entropie eines Systems ist umso höher, je
S  kB ln(W )
grösser die Wahrscheinlichkeit ist, mit welcher
der Zustand des Systems realisiert werden kann.
Das Zusammendrücken eines Gases kann man auffassen als
Versuch, einen unwahrscheinlicheren Zustand zu erzwingen,
und die elastische Gegenkraft des Gases ist eine Abwehr gegen
die Verringerung der Entropie, daher spricht man von
 Die Carnot-Maschine
Entropieelastizität. Die Entropie ist ein Mass für den Grad der
Unterschied zur Stirling-Maschine: die isochoren Teilprozesse Unordnung eines Systems.
werden durch zwei adiabatische ersetzt.
 Beispiel Wärmeleitung
Wirkungsgrad einer
Zwei Körper A (T1, CA, νA) und B (T2, CB, νB) werden in
Carnot-Maschine
thermischen Kontakt gebracht (T1 > T2).
 Das 2. Wärmebad als Abwärmeempfänger
A unter Q-Entzug
T12  C dT
T
Der 2.HS fordert nicht nur, dass die Maschine dem
A A
  AC A ln 12  0
T1
auf T12 (reversibel) S A  T
Wärmereservoir höherer Temperatur Wärme entzieht, sondern 
1
T
T1
CARNOT  1 
T2
auch, dass sie dem Reservoir tieferer Temperatur Wärme
B unter Q-Zufuhr
T12  C dT
T12
zuführt. Diese Wärme wird als Abwärme bezeichnet.
B B
  B CB ln
0
auf T12 (reversibel) S B  T
2
 Nichtgleichgewichtsfluktuationen
T
T2
Es ist nicht möglich, die thermischen Fluktuationen von einem
Entropieänderung
T
T
Wärmebad zum Antrieb eines Motors zu nutzen.
S   AC A ln 12   B CB ln 12


T1
 AC AT1  B CBT2
T12 
 AC A   B C B
T2
Pauli-Prinzip (neue Fassung):
Ein Energieniveau kann nur durch ein oder zwei Elektronen
besetzt werden. Wenn es zwei Elektronen mit demselben
Wellenvektor gibt, dann müssen die beiden Elektronen
entgegengesetzte Spins haben, d.h. die magnet. Dipolmomente
der beiden Elektronen orientieren sich antiparallel.
Weil nur zwei e- in einem Energiezustand untergebracht
werden können, sind mindestens N/2 Energiezustände besetzt.
Im Falle von T = 0K nehmen die e- einen möglichst tiefen
Energiezustand ein: begonnen beim tiefsten Energiezustand,
gehen die e- schrittweise zu höheren Energien, so dass in jeden
Zustand zwei e- kommen. Die Energie des Zustands mit der
höchsten Energie, in den dann noch Elektronen eingefüllt
werden, nennt man die Fermi-Energie EF. Mit dieser Energie
ist der Fermi-Wellenvektor kF verknüpft. Für die Wellenzahlen
gilt k < kF. Sie liegen alle innerhalb der Fermi-Kugel (Radius
kF). Die Fermi-Energie kann man berechnen, wenn man alle e-,
die die Energiezustände zwischen dem Grundzustand und EF
EF
besetzten, zusammenzählt, wobei die
Gesamtzahl der Elektronen N sein muss: N  0 2ne ( E )dE
mit obigen Beziehung (dieses Unterkapitels) ergeben sich:

2
1
2
 3 2 N  3
 3 2 N  3
EF 
kF 2 und kF  

 
Endtemperatur
Die Carnot-Maschine läuft ideal, weil isotherme und

2me  V 
2me
 V 
adiabatische Prozesse reversibel sind, wenn sie genügend
Wärmekraftmaschinen
Es kommt die Elektronendichte vor:
langsam ablaufen.
n'  N V
 Wärmekraftmaschinen
Die Entropie und der 2. Haupsatz
Mittlere kinet. Energie der e-:
Elektrische Leitung in Festkörpern
1 EF
3
Q2  Q1  W
(Faktor 2 ist in EF enthalten): E  N 0 E  ne ( E )dE  5 EF
Alle Teilchensorten fallen in zwei bestimmte Klassen:
 Reversible/ irreversible Prozesse
Die Entropie stellt den Grad der Unordnung dar. Sie wächst
 Fermion: Teilchen mit halbzahligem Spin
Wenn sich die Elektronen wie ein klassisches ideales Gas
umso stärker, je grösser die Irreversibilität.
 Boson:
Teilchen mit ganzzahligem Spin
verhalten würden, dann wäre die mittlere kinetische Energie
S > 0 irreversible Prozesse S = 0 reversible Prozesse
Besetzungsregeln (für Energiezustandsmodell von nicht
der e- (3/2)kBT.
wechselwirkenden Teilchen:
Entropie
 Einfluss der Temperatur auf die Elektronenenergie
1. Ein Quantenzustand kann mit jeder ganzzahligen Anzahl
Bei Temperaturen T > 0 werden e- aus der Randregion der
Q
S 
(einschl. Null) von Bosonen der gleichen Sorte besetzt sein. Fermi-Kugel in unbesetzte Energiezustände versetzt. Die
T
2. Ein Quantenzustand kann mit keinem oder einem Fermion
Randregion ist von der Grössenordnung kBT und somit auch
Wirkungsgrad
Q1
abgegebene Arbeit
W
Für die Entropie


1
der gleichen Sorte besetzt sein. (Paulis Ausschlussprinzip)
bei grösseren Temperaturen sehr klein. Es passiert also wenig
einer
aufgenommene Arbeit
Q
Q2
gilt kein
Die Elektronen in einem Leiter bilden ein Vielteilchensystem bei änderndem T. Die Fermi-Energie ist massgebende Grösse.
Wärmekraftmas
Erhaltungssatz!
von Fermionen
Quantitativ wird der Einfluss der Temperatur auf die
chine
Verteilung der e- auf die verschiedenen Energiezustände durch
 Wärmepumpen
Für e. irreversibel arbeitenden Q T   Q T  S  0 Elektronen in Metallen
die Fermi-Dirac-Funktion beschrieben. Sie gibt die
2
2
2
2
Kupfer besitzt 29 Elektronen. 28 e- sind dicht an Gitterplatz (in Wahrscheinlichkeit an, dass ein möglicher Zustand mit der
WKM ist T2’ < T2 und folglich
Schalen)
gebunden.
Das
letzte
e
ist
frei
beweglich.
Es
ist
für
 Die Entropie als Zustandgrösse
dQ
Energie E bei der Temperatur T tatsächlich mit einem e0
die elektrische Leitfähigkeit von Kupfer verantwortlich.
Die Entropie ist eindeutig und unabhängig vom
besetzt ist:
T
Quantenmechanische Näherung für ein e--Vielteilchensystem: Fermi-Dirach Verteilung
Weg, auf dem man durch die (p,V)-Ebene geht. rev.
freie
Elektronen
innerhalb
des
Kristalls
bewegen
sich
in
einem
Entropie eines Zustandes (2) nach einem
dQ
1
S 2  S1  
f (E) 
konstanten elektrostatischen Potential, das relativ zur
reversiblen Prozess (1)(2)
rev T
 E  EF 
1  exp 
Kristallumgebung („Aussen“) attraktiv ist ( Potentialtopf).

Auf den Absolutwert der Entropie kommt es nicht an. Viel
 k BT 
Leistungsziffer einer
Dabei beeinflussen sie sich gegenseitig nicht.
Q1
Q2
mehr reichen Differenzen für quantitative Aussagen.
Wärmepumpe. ε > 1!

'
 Ein (freies) Elektron im Potentialtopf
W
W
 Spezifische Leitfähigkeit von Metallen
 Die Entropie als Mass für die Irreversiblität
Kinetische Energie des
1
p2
Das quantenmechanische Modell führt zum gleichen Ausdruck
Das für einen reversiblen Weg
 Stirling-Kreisprozess: der Heissluftmotor
E  me v2 
Elektrons
für die spezifische elektrische Leitfähigkeit wie das klassische:
berechnete Integral soll transportierte
2
2me
Der Heissluftmotor (Stirlingmotor) besteht in seiner
Entropie genannt werden. Diese Entropie
n Dichte der Leitungselektronen
einfachsten Ausführung aus einem Verdränger- und einem
ne2
De Broglie Beziehung
  h / p  p  k (k  2 / )

wird nämlich bei dem Prozess aus dem
 mittlere Zeit zwischen den Stössen eines
Arbeitszylinder, die durch ein Rohr miteinander verbunden
me
2
2
Damit kann man mit Wellenvektor k ein e
Wärmebad in das System transportiert –
Elektrons mit dem Kristallgitter
k
sind.
E
charakterisieren mit seiner kinet. Energie
und umgekehrt:
Obgleich
alle
Leitungselektronen
am
Leitungsprozess
2me
teilnehmen, sehen wir, dass nur Elektronen mit Energien in der
dQ
2 2
Energiezustände des Systems (1D)
rev
rev

Nähe der Fermi-Energie Stösse ausführen und dabei ihren
, es gilt immer: S2  S1  Stransp
Stransp

2
E

n
T
Energiezustand ändern können, was den spezifischen
rev.
2L2 me
Widerstand erklärt. Nur solche Elektronen haben in der
für reale Prozesse gilt die
dQ
Zustandsdichte
(3D):
Anzahl
möglicher
Energiezustände
in
0
Energie nahe darüber liegende nicht besetzte Zustände, auf die
Clausius-Ungleichung
3
einem Intervall ΔE
T
sie sich verteilen können. Alle diese Elektronen bewegen sich
irrev.
V  2me  2
(Potentialtopf = Würfel mit ne ( E )E  2  2 
E E mit annähernd gleicher Geschwindigkeit, der Fermi Entropieänderung bei irreversiblen Zustandsänderungen Volumen V, siehe oben)
4 

Geschwindigkeit ( Drift-Geschwindigkeit der Elektronen).
Um die Entropieänderung zu bestimmen, die während einer
 N (freie) Elektronen im Potentialtopf
 Supraleiter
irreversiblen Zustandsänderung eintritt, sucht man einen
Ideales Elektronengas: keine Wechselwirkungen zwischen eDer Verdrängerkolben dient als idealer Wärmetauscher. Er soll reversiblen Weg, der zum gleichen Endzustand führt, und
Der el. Widerstand eines Materials nimmt mit sinkender



2
Temperatur ab. Der Hauptanteil dieses Effekts trägt die
Es fliesst kein makroskopischer Strom.
Verminderung der stromhemmenden Zitterbewegung der
Atome im Material. Der elektrische Widerstand einiger
Metalle bricht jedoch bei einer charakteristischen Temperatur
TC auf Null zusammen. Dieses Phänomen nennt man
Supraleitung. Dabei nehmen sämtliche Elektronen den
gleichen Zustand ein: bei einer bestimmten Konfiguration
können sich zwei Elektronen in der Box gegenseitig anziehen
und er-niedrigen so ihre Gesamtenergie. Diese
Zusammenlagerung überträgt sich auf andere Elektronen. Aus
Das Valenzband sei nicht vollständig
 Leiter
einer zufälligen Anfangsverteilung der Teilchen werden alle in
mit Elektronen gefüllt. Im
den gleichen Quantenstatus kondensiert. Dies bewirkt jedoch
Grundzustand liegen k-Werte bei
eine Energiebarriere, die es einem einzelnen Elektron schwer
weitem unterhalb der kritischen, es
macht, seinen Zustand zu ändern. Stösst ein Elektron auf ein
fliesst kein Strom. Jetzt legt man ein
Hindernis (Atomkern), so kann es auf Grund der starken
äusseres Feld an. Es tritt Leitfähigkeit
Kopplung mit dem Teilchenverband seinen Zustand nicht
auf: die Elektronen können einen
ändern. Es kennt keine Hindernisse und somit keinen
Impuls aufnehmen und werden dann
Widerstand.
nicht durch Bragg-Reflexion an der
Meissner-Effekt
Ausbreitung im Kristall gehindert.
Wenn man einen Supraleiter in der Nähe eines Magneten hat,
dann macht das supraleitende Material jede Anstrengung, sich  divalente Metalle (Metalle mit 2 Valenzelektronen)
Eigentlich würden die 2N Elektronen alle N Zustände des
das Magnetfeld vom Leibe zu halten.
Leitungsbandes füllen. Somit sollten sie als Isolatoren
betrachtet werden. Dennoch sind divalente Metalle Leiter! Der
Grund: das die s- und p-Bänder überlappen sich  die
Elektronen haben keine grosse Energiebarriere
Halbleiter
Elektronen im periodischen Potential
In obiges Zustandsmodell geht keinerlei
materialcharakteristische Eigenschaft ein. Folgendes Modell
berücksichtigt dies: die Leitungselektronen sind einem
Potential ausgesetzt, das von den positiven Ionen bewirkt wird.
Dieses Potential verändert sich periodisch im Raum. Die
Periode wird dabei von der Anordnung der Atome im Kristall
des Festkörpers bestimmt. (Begriffe: Modulation,
Elektronenbeugung, Bragg-Reflexion)
Es resultieren zwei Resultate für einen Metallkristall
1. Wenn man die möglichen Energiezustände betrachtet, dann
taucht eine Serie von Bändern auf. Innerhalb dieser Bänder
liegen erlaubte diskrete Energiezustände eng beieinander.
Zwei aufeinander folgende Bänder sind von einem
verbotenen Band getrennt. Diese sind dadurch
charakterisiert, dass innerhalb dieser Bänder keine
möglichen (erlaubten) Energiezustände liegen. Die Lücken
in den erlaubten Energiezuständen werden durch die
periodische Modulation des Potentials erzeugt. Die
Energiesprünge sind bei k = nπ/a.
2. Bei einem endlichen Metallgitter sind die möglichen
Zustände diskret verteilt. Gemäss Pauli Prinzip haben nur
zwei Elektronen Platz pro Zustand. Daher können im ersten
Band höchstens 2N Elektronen untergebracht werden.
 Leiter, Isolatoren
Das energiereichste Elektronen
enthaltende Band ist nur teilweise mit
Elektronen besetzt. Die vollständig
besetzten, niedriger liegenden
Energiebänder tragen zum
Leitungsprozess nichts bei.
Sein energiereichstes Elektronen
enthaltende Band ist vollständig
besetzt. Es besteht keine Möglichkeit
für die Elektronen, auf ein angelegtes
elektrisches Feld zu reagieren.
Phasenumwandlungen
Reale Gase
 Drosselversuch von Gay-Lussac
Bei einem realen Gas muss man das ideal Gasgesetz pV = RT
durch die van der Waals Gleichung ersetzen, die das ideale
Gasgesetz um zwei Korrekturen erweitert:
1. Volumenkorrektur  Miteinbeziehen des Eigenvolumens
der Moleküle
2. Druckkorrektur  attraktive (anziehende) Wechselwirkung
zwischen den Molekülen
Van der Waalssche
a 

Zustandsgleichung (für ein
 p  2  V  b   RT
V 

Mol Gas)
Eine wichtige Folge des Binnendrucks ist, dass man trotz dT=0
nicht folgern kann, dass auch dU=0, denn es wird ja Arbeit
gegen den Binnendruck geleistet.
dQ  dU  dW  dU  pdV
2 dV
V b 
Q
 RT ln  2

1 V b
dQ  ( pi  p)dV , pi  a V 2
 V1  b 
Änderung der inneren Energie
a
dU Realgas  Cv dT  2 dV
eines realen Gases
V
Temperaturänderung bei
dTGL  GL dV , GL  a 2
Expansion eines realen Gases:
CV V
 Joule-Thomson-Effekt
Temperaturänderung bei
Expansion
Druck
dT  dp
 Negative Kompressibiltät und Instabilität
Der Kurvenabschnitt zwischen D' und D'' entspricht einem
instabilen Zustand. Nach Maxwell muss in der Skizze die
schraffierte Fläche oberhalb der Geraden DAD' gleich der
schraffierten Fläche unterhalb BDD'' sein. Dies ist eine
Konsequenz aus dem 2. HS. Wenn die Fläche oberhalb grösser
wäre als diejenige unterhalb, würde das System beim
eingezeichneten Umlaufsinn Nettoarbeit abgeben. Man hätte
ein Perpetuum mobile zweiter Art.
Phasenumwandlungen & latente Wärme
Die während den aus
der Grafik ersichtlichen
Haltepunkten
zugeführte Wärme
nennt man latente
Wärme.
Phasenumwandlungen,
bei denen eine latente
Wärme auftritt, nennt
man
Phasenumwandlungen
1.Ordnung.
1  2a

 b

C p  RT


1
pRG  pIG 1 
 V
a 

b 

RT  

Die Temperatur, bei der der Joule-Thomson-Effekt
verschwindet, heisst Inversionstemperatur.
Ab der kritischen
krit.Punkt
Temperatur lassen sich Gase miteinander vergleichen.
Inversionstemperatur
Kritische Temperatur
2a 27
8a
Ti 

Tc
Tc 
Rb 4
27 Rb
 Phasenumwandlungen 1.Ordnung
 Halbleiter
Haben eine schmalere Energielücke
Van der Waals Zustandsgleichung
wie Isolatoren, so dass durch
thermische Anregung über sie
 Zustandsdiagramm (für CO2)
hinweg Elektronen in das darüber
liegende Energieband gelangen
krit.Punkt
können.
3
n Konzentration der
E
 mk T  2 
Leitungselektronen
n  p  2  B 2  e 2k T
p Konzentration der Löcher
 2 
I
B
 Dotierung von Halbleitern
Unter Dotierung versteht man das Einbauen von Fremdatomen
in das Kristallgitter. Die Leitfähigkeit wird dann im
Isolatoren & Leiter in der Quantenphysik Wesentlichen durch diese Störstellen bestimmt.
 Der kritische Punkt
Die elektrische Leitfähigkeit wird durch die Struktur der
Zwei typische Störstellenhalbleiter
Am kritischen Punkt hat das Gas ein genau festgelegtes
Bänder der möglichen Energiezustände und die Besetzung
Basismaterial
Silicium
Silicium
spezifisches Volumen VC. Direkt am krit. Punkt kann man das
dieser Bänder mit Elektronen bestimmt.
Dotierungsmaterial
Phosphor
Aluminium
Volumen variieren, ohne dass sich der Druck ändert. Das
Dotierungstyp
Donator
Akzeptor
Ein Elektron muss bei einer
 Isolatoren
bedeutet, dass die Kompressibilität am krit. Punkt unendlich
Halbleitertyp
n-leitend
p-leitend
Zustandsänderung einen gequantelten
gross ist
Wertigkeit
des
Dotierungstyps
5
(4+1)
3
(4-1)
Energiesprung vollziehen. Weil das
 Isothermen
Energielücke
45
meV
57
meV
erste Band voll ist (mit je zwei
Majoritätsträger
Elektronen
Löcher
Aus der van der
8a
a
Elektronen pro Zustand), muss es in
TC 
; pC 
; VC  3b
Minoritätsträger
Löcher
Elektronen
Waalschen Gleichung
27bR
27b2
das nächste Band gelangen. Das
Die Wertigkeit von Silicium ist 4
folgt:
angelegte Feld kann die nötige Energie Die Energielücke in reinem Silicium ist 1.1eV (!)
Daraus folgt:
theoretisch
pCVC/RTC = 0.375
aber nicht liefern, und daher bleibt der Das Dotierungs-Ion ist kein Ladungsträger, es bleibt
experimentell pCVC/RTC  0.28
Zustand aller Elektronen unverändert.
 Festkörperumwandlung
Eisen hat bei Zimmertemperatur eine raumzentrierte kubische
Struktur (bcc) und wandelt bei 910°C in eine kubisch
flächenzentrierte Struktur (fcc). Das Atomvolumen nimmt bei
dieser Umwandlung ab.
 Clausius-Clapeyron Gleichung
Sie beschreibt u.a. die Temperaturabhängigkeit des
Dampfdrucks einer Flüssigkeit oder die Druckabhängigkeit des
Schmelzpunktes.
Gleichung von Clausius-Clapeyron
V Vol.änd. bei Phasenumwandlung
L
Latente Wärme
dp
L

dT V  T
Phasendiagramme
 Phasendiagr
amm für
Wasser
 Phasendiagr
amm einer
Substanz,
deren
Volumen
beim
Schmelzen
zunimmt
 Der Dampfdruck
Der Dampfdruck, die Temperaturabhängigkeit des Drucks über
L
einer Flüssigkeit, wird durch
L


den Boltzmann-Faktor
p(T )  p0 e RT  p0e N k T
beschrieben:
p(T) GGW-Dampfdruck direkt über der Flüssigkeit
L0
latente Verdampfungswärme pro Mol
p0
Konstante (Experiment)
L0/NA ist die Energie, die nötig ist, um ein Molekül aus der
flüssigen Phase heraus in die Gasphase zu befördern
0
0
A
B
ENDE