Gravitation - Universität Salzburg

Musso: Physik I
Tipler-Mosca
Teil 11 Gravitation
11. Gravitation (Gravity)
11.1 Die Kepler'sche Gesetze (Kepler's laws)
11.2 Das Newton'sche Gravitationsgesetz (Newton's law of gravity)
11.3 Die potentielle Energie der Gravitation (Gravitational potential energy)
11.4 Das Gravitationsfeld (The gravitational field)
11.5 Berechnung des Gravitationsfelds einer Kugelschale durch Integration (Finding the
gravitational field of a spherical shell by integration)
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Teil 11 Gravitation
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11.1 Die Kepler'sche Gesetze (Kepler's laws)
Informationen zum Sonnensystem siehe
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Teil 11 Gravitation
Die Ellipse is der geometrische Ort aller Punkte, für die
die Summe der Entfernungen zu zwei festen Punkten F
konstant ist: r1 + r2 = konst.
Diese beide Punkte F heißen die Brennpunkte der Ellipse.
Strecke a: große Halbachse oder Hauptachse,
Strecke b: kleine Hauptachse oder Nebenachse.
Entfernung Sonne - Erde:
sonnennächster Punkt = Perihel rp = 148 × 1011 m
sonnenfernster Punkt = Aphel ra = 152 × 1011 m
Mittelwert = Hauptachse = 150 × 1011 m = 1 astronomische Einheit AE
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Flächensatz,
folgt aus der Drehimpulserhaltung
Ein Planet bewegt sich in der Nähe der Sonne rascher als in größerer
Entfernung zur Sonne
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T 2 = C ra3
Das Gesetz ist eine Folge davon, daß die Gravitationskraft der Sonne auf den Planeten
umgekehrt proportional zum Quadrat seiner Entfernung von der Sonne abnimmt.
Beispiel 11.1: Die Umlaufbahn von Jupiter
Jupiter: mittlere Entfernung rJup = 5.20 AE gesucht: Dauer der Umlaufbahn
aus Gl. (11.2) T 2 = C ra3
mit TErd = 1 a, rErd = 1 AE
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2
3
⇒ für den Jupiter TJup
= C rJup
⇒ TJup = TErd
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3
rJup
3
rErd
⎛r ⎞
= TErd ⎜ Jup ⎟
⎝ rErd ⎠
2
3
= CrErd
für die Erde TErd
32
⎛ 5.20 AE ⎞
= (1 a ) ⋅ ⎜
⎟
⎝ 1.00 AE ⎠
⇒
2
TJup
2
TErd
=
3
rJup
3
rErd
32
= 11.9 a
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11.2 Das Newton'sche Gravitationsgesetz (Newton's law of gravity)
G
G
a) zwei punktförmige Teilchen bei r1 und r2
b) beide Teilchen üben eine anziehende Kraft auf das jeweils andere Teilchen aus.
G
G
r1,2
rˆ1,2 =
Einheitsvektor von Teilchen 1 zu Teilchen 2
r1,2
G = 6.67 × 10-11 N m2 kg-2 Gravitationskonstante
Newton: Gravitationstheorie veröffentlicht 1686
Cavendish: 1798 Präzisionsbestimmung von G
Übung
m1 / kg
m2 / kg
G / N m 2 kg-2
r/m
F/N
65
50
6.67E-11
0.5
-8.671E-07
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5.98E+24
50
6.37E+06
-4.91E+02
Erde: Masse ME = 5.98 × 10 24 kg, Radius RE = 6.37 × 106 m
Kraft auf ein Teilchen der Masse m in Entfernung r vom Erdmittelpunkt
M
M
F
F = −G 2E m ⇒ Fallbeschelunigung aG =
= −G 2E
⇒
r
m
r
M
in der Nähe der Erdoberflächen aG = −g = −G E2
RE
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Entfernung Erde Mond rEM = 60 RE
⇒
aG,EM =
aus Umlaufzeit TM = 27.3 d = 2.36 × 10 6 s
⇒
g
602
Umlaufgeschwindigkeit v M =
( 2π ) 60 R
v M2
= aM =
=
E
rEM
TM2
2
Zentripetalbeschleunigung aZP
2
M
aus dem 3. Keplerschen Gesetz T
( 2π )
=
2
GME
( 60RE )
3
⇒
⇒
2π ) RE3
(
RE2
aM ( 2π )
60 RE
60
=
=
GME
TM2 GME
g
TM2
2
⇒
2π rEM 2π 60 RE
=
TM
TM
2
⇒
aM
= 602
g
Fallbeschleunigung in einer Entfernung r > RE vom Erdmittelpunkt
aus Gl. 11.8 aG,RE
GME
= −g = −
RE2
GME
RE2
⇒ aG = − 2 = −g 2
r
r
Messung der Gravitationskonstante
Wegen der Gravitationsanziehung dreht
sich der Draht um θ aus der Gleichgewichtslage.
Bei bekannter Torsionskonstante D des Drahtes ⇒
Kraft F = D θ zwischen m 1 und m2 aus θ bestimmbar.
Aus m 1 und m2 und den Abstand zwischen ihnen
⇒ G bestimmbar
Drehwaage von der Seite
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Drehwaage von oben
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Beispiel 11.2: Der Fall zur Erde
Umlaufbahn des Space Shuttle 400 km über der Erdoberfläche,
gesucht aG :
F
M
= −G 2E mit r = RE + 400 km wobei
m
r
RE = 6370 km und ME = 5.98 × 1024 kg ⇒
aus Gl. 11.7 aG =
aG
( 6.67 × 10
=
)(
N m2 kg-2 ⋅ 5.98 × 1024 kg
24
( 6.770 × 10
3
m
)
2
) = 8.70 m s
-1
Schwerelosigkeit der Astronauten wegen Zentrifugalkraft, siehe
Teil 5
Schwere Masse und träge Masse
Die Eigenschaft eines Körpers, die für dessen Gravitationskraft auf einen anderen Körper
verantwortlich ist, heißt die schwere Masse des Körpers.
F = −G
ME m
RE2
Die Eigenschaft eines Körpers, die seinen Widerstand gegenüber einer Beschleunigung
kennzeichnet, wird die träge Masse genannt.
F = ma
Alle Experimente zeigen, daß aG = -g für alle Körper gleich ist, d.h. daß die schwere
Masse proportional zur träge Masse ist ⇒ gleich gesetzt.
Aus Experimenten Äquivalenz innerhalb eines relativen Fehlers von 10 -12.
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Ableitung der Kepler'sche Gesetze
Newton: die Bahn eines Himmelskörpers in einem 1 r 2 -Kraftfeld, in dessen Zentrum die Sonne
befindet, hat die Form eines Kegelschnitts (Ellipse, Parabel, Hyperbel).
Ellipse: geschlossene Bahn
Parabel, Hyperbel: nichtgeschlossene Bahn
Die Kraft, die von der Sonne auf einen Planeten ausgeübt wird, ist zur Sonne hin gerichtet: Zentralkraft.
G
G
Planet mit Masse m, Radiusvektor r und Geschwindigkeit v ⇒
G
G
Fläche dA, die vom r im Zeitintervall dt überstrichen wird:
G
G 1G G
G G
G
1 G
1 G G
1 G
dA
1 G
G G G
r × mv dt =
r × p dt =
L dt ⇒
=
L = konst da τ = r × F = 0 wegen r & F
dA = r × v d t =
2
2m
2m
2m
dt
2m
G
G G
aus L = konst ⇒ r × v = rv sin ϕ = konst ⇒ am Aphel bzw. Perihel ϕ = 90° ⇒ rA v A = rPv P
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Speziallfall Kreisbahn: Planet mit Masse mPl , Geschwindigkeit v und Kreisbahm mit Radius r
⇒
aus 2. Newton'sches Gesetz F = mPla mit a = Zentripetalbeschleunigung ⇒
mSo mPl
v2
−G
= −mPl
r2
r
⇒
wobei MS Masse der Sonne
aus Kreisbahn mit Umfang 2π r und Umlaufzeit T
M
4π 2r 2
=G S
2
T
r
⇒
v2 = G
⇒ v =
MS
r
2π r
T
⇒
4π 2 3
T =
r
GM S
2
Da G bekannt ⇒ aus Gl. 11.16 die Masse eines Himmelkörpers
bestimmbar wenn T und r eines umkreisenden Satelliten bekannt.
Falls Masse des Satelliten nicht vernachlässigbar ⇒
umkreisen ihren gemeinsamen Mittelpunkt ⇒ T =
2
die beiden Körper
4π 2 ( m1 + m2 )
Gm1m2
Beispiel 11.3: Die Raumstation in der Umlaufbahn
r3
Info über ISS http://www.nasa.gov/mission_pages/station/main/index.html
Raumstation ISS, kreisförmige Umlaufbahn, Höhe h = 385 km,
gesucht Zeitintervall zwischen Sichtungen:
Zeitintervall = Umlaufzeit
T2 =
T =
⇒
4π 2 3 4π 2
3
r =
R + h)
2 ( E
GME
gRE
( 6.37 × 10
2π
6
)
m ⋅ ( 9.81 m )
12
4π 2 3
aus Gl. 11.16 T =
r
GME
⇒
T =
( 6.37 × 10
2π
RE g
6
( RE + h )
32
m + 385 × 103 m
⇒
)
32
Übung: Rotation der Erde während einer Umlaufperiode ϕ =
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mit Gl. 11.8 g =
2
GME
⇒
RE2
mit RE = 6.37 × 10 6 m ⇒
= 5529 s = 92.14 min
360°
5529 s
= 23°
T = 360°
24 h
24 ⋅ 60 ⋅ 60 s
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11.3 Die potentielle Energie der Gravitation (Gravitational potential energy)
G G
G
G
aus Gl 6.20b dEpot = −Fds = −Fdr da F radiale konservative Kraft und ds radiale Verschiebung
ME m
dr ⇒
r2
M m
M m
unbestimmte Integration Epot ( r ) = ∫ G E2 dr = −G E + Epot ,0
r
r
da nur Änderung der potentiellen Energie entscheidend ⇒
mit Gl. 11.6 F = −G
ME m
r2
⇒
dEpot = G
wobei Epot,0 = Integrationskonstante
Epot,0 kann so gewählt werden, daß für eine beliebige Lage Epot,0 = 0
bequem zu setzen Epot = 0 bei r = ∞
Epot ( r ) = −G
⇒
⇒
Epot,0 = 0
⇒
⇒
⇒
ME m
r
Potentielle Energie eines Körpers der Masse m, der der Gravitation
durch die Erde (Masse ME , Radius RE ) unterliegt.
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Die Fluchtgeschwindigkeit
Berechung der Fluchtgeschwindigkeit:
fur r → ∞ Ekin,∞ = 0 Epot,∞ = 0
für r = RE
Ekin,∞ =
M m
1
2
mv esc
Epot,∞ = −G E
RE
2
⇒
aus Erhaltung der mechanischen Energie ⇒
0+0 =
M m
1
2
mv esc
−G E
RE
2
mit g = G
ME
RE2
⇒
v esc =
2GME
RE
⇒
⇒ v esc = 2gRE
mit g = 9.81 m s-2 und RE = 6.37 × 106 m
⇒ v esc = 11.2 km s-1 = 40250 km h-1
Beispiel 11.4: Höhenflug von einem Geschoß
Geschoss v i = 8 km s-1 gesucht maximale Höhe:
1
mv i2
2
aus dem Erhaltungssatz der mechanischen Energie mit Ekin,i =
⇒
1
M m
M m
mv i2 − G E = 0 − G E
2
RE
RE + h
1
1
v i2
1
=
−
=
2
RE + h RE 2gRE RE
⎛
v i2 ⎞
1
−
⎜
⎟
2gRE ⎠
⎝
⇒ G
ME
M
1
= G E − v i2
RE + h
RE 2
⇒ RE + h =
RE
v i2
1−
2gRE
ME m
= −mgRE
RE
1
1
v i2
=
−
RE + h RE 2GME
⇒
⇒
Epot,i = −G
RE + h −
Ekin,f = 0
Epot,i = −G
⇒ mit GME = gRE2
v i2
v i2
−
h = RE
2g 2gRE
⇒
⎛
v i2
h ⎜ 1−
2gRE
⎝
ME m
RE + h
⇒
⎞ v i2
⎟=
⎠ 2g
⇒
v i2
1
1
2g
h=
=
= RE
= 6.69 × 106 m
2
2
g
1
2
gR
⎛
vi ⎞
E
−1
2
⎜1 −
⎟ v2 − R
v
gR
2
i
E
i
E ⎠
⎝
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Teil 11 Gravitation
Beispiel 11.5: Geschwindigkeit eines Geschosses
mögliches Prüfungsbeispiel
Gebundene und ungebundene Bahnen
Kinetische Energie eines Körpers in der Entfernung r
vom Erdmittelpunkt: Ekin = E - Epot (r ) ⇒
E < 0 ⇒ gebundene Bahn, maximale Entfernung rmax
E > 0 ⇒ ungebundene Bahn
Wenn E negativ ist, nennt man E die Bindungenergie. Sie jene Energie
die man dem System zuführen muß, um die Gesamtenergie auf null zu
erhöhen.
Beispiel 11.6: Gesamtenergie eines Satelliten
Gesamtenergie eines Satelliten auf einer kresförmigen Bahn:
E = Ekin + Epot =
M m
1
mv 2 − G E
2
r
Zweites Newton'sches Axiom F = ma wobei hier a = Zentripetalbeschleunigung ⇒
⇒
v2 = G
ME
r
⇒
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E=
−G
ME m
v2
=
−
m
r2
r
M
M m
1
1 M m
1
mG E − G E = − G E = − Epot
2
r
r
2
r
2
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11.4 Das Gravitationsfeld (The gravitational field)
Die Gravitationskraft F dividiert durch die
Masse m des Teilchens im Punkt P nennt
G
man das Gravitationsfeld g in P.
Der Punkt, in dem sich die Probemasse m befindet, heißt Aufpunkt.
G
G
Die Punkte, in denen die das Feld g = ∑ g i verursachenden Punktmassen lokalisiert sind,
i
heißen die Quellpunkte des Felds.
Berechnung der Gravitationsfeldes eines ausgedehnten Körpers in einem Aufpunkt ⇒
G
Feld dg verursacht durch ein kleines Volumselement der Masse dm bestimmen, dann über
G
G
Massenverteilung integrieren: g = ∫ dg
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Beispiel 11.7: Das Gravitationsfeld von zwei Punktmassen
Zwei Punktmassen mit Masse m bei y 1 = +a und y 2 = −a,
gesucht Gravitationsfeld auf der x -Achse:
G
G
M
Betrag der Feldstärke g1 = g 2 = G 2
r
G
M
g x = g1,x + g 2,x = −2 g1 cos θ = −2G 2 cos θ
r
x
M x
Mx
m it cosθ =
⇒ g x = −2G 2 = −2G 3
r
r r
r
Mx
mit r = a 2 + x 2 ⇒ g x = −2G
32
a2 + x 2
aus Symmetriegründen g y = 0
(
für x = 0
für x a
⇒
⇒
)
gx = 0
⇒ g x = −2G
M
2M
= −G 2
2
x
x
Beispiel 11.8: Das Gravitationsfeld eines gleichförmigen Stabes
mögliches Prüfungsbeispiel
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Teil 11 Gravitation
Gravitationsfeld einer Kugelschale und einer massiven Kugel
Eine Punktmasse m0 innerhalb einer homogenen Kugeschale erfährt keine
resultierende Gravitationskraft.
m1 und m2 werden von m0 mit dem gleichen Raumwinkel betrachtet ⇒
m1 m1
= 2
r12
r2
⇒ keine resultierende Gravitationskraft auf m0
Gravitationsfeld einer Vollkugel ergibt sich aus der Erweiterung von Gl 11.26a
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Teil 11 Gravitation
Das Gravitationsfeld innerhalb einer massiven Kugel
Zum Gravitationsfeld an einem Ort r im Inneren der Kugel
trägt nur der Anteil M ' der Gesamtmasse bei, der sich innerhalb
einer Kugel mit dem Radius r befindet:
4 3
πr
M'
r3
3
Annahme gleichmäßige Massenverteilung ⇒
=
= 3
4
M
R
3
πR
3
M'
M
im Abstand r vom Kugelmittelpunkt g r = −G 2 = −G 3 r
r
R
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⇒
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Teil 11 Gravitation
Beispiel 10.9: Der Hohlplanet
Hohlplanet = gleichförmige, dicke Kugelschale mit Masse mK , Außenradius rK , Innenradius rK / 2
Teil a) Gesucht Teil der Gesamtmasse mK' näher als
aus Dichte mK' = ρV '
3
rK am Mittelpunkt des Planeten:
4
⇒
mK
mK
mK
mK
=
=
=
3
4 3⎛
1⎞ 7 3
V
4 3 4 ⎛ rK ⎞
π rK
π rK ⎜ 1 − ⎟
π rK − π ⎜ ⎟
6
3
8
⎝
⎠
3
3 ⎝2⎠
3
Volumen der Kugelschale näher als rK ⇒
4
mit Dichte der Kugelschale ρ =
⇒
3
3
4 ⎛ 3r ⎞
4 ⎛r ⎞
4
⎛ 27 1 ⎞ 4 3 19 19 3
− ⎟ = π rK
=
V ' = π ⎜ K ⎟ − π ⎜ K ⎟ = π rK3 ⎜
π rK ⇒
3 ⎝ 4 ⎠
3 ⎝2⎠
3
64 48
⎝ 64 8 ⎠ 3
3
⇒ Masse der Kugelschale näher als rK ⇒
4
mK 19 3 19
πr =
mK' = ρV ' =
m
7 3 48 K 56 K
πr
6 K
3
Teil b) Gravitationsfeld bei r = rK
4
19
mK
'
mK
m 19 16
m 19 2
m 38
56
⇒ g r = −G
= −G 2K
= −G 2K
= −G 2K
aus g r = −G 2
2
r
rK 56 9
rK 7 9
rK 63
⎛3 ⎞
r
⎜4 K⎟
⎝
⎠
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Beispiel 10.10: Kugelsymmetrische Massenverteilung
mögliches Prüfungsbeispiel
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11.5 Berechnung des Gravitationsfelds einer Kugelschale durch Integration (Finding the gravitational field of a spherical shell by
integration)
Gravitationsfeldstärke auf der Achse eines homogenen Rings:
Ring Gesamtmasse m, Radius a
⇒
Feld dg im Aufpunkt verursacht durch Massenelement dm dg = −G
dm
cos α ⇒
s2
m
da s und α für alle Punkte auf dem Ring gleich ⇒ g x = −G 2 cos α
s
Sei Aufpunkt P außerhalb der Kugelschale:
⇒
aus Symmetriegründen dg y = 0 dg x = dg cos α = −G
g x = −∫ G
dm
s2
dm
cos α
s2
aus Symmetriegründen ⇒ Feld kugelsymmetrisch ⇒ Massenelement dmK sei Streifen aus der Kugelschale
dmK
cos α
s2
Gesamtmasse mK der Kugelschale proportional zur Fläche 4π R 2
⇒ Streifen erzeugt dg x = −G
⇒
da dmK proportional zur Fläche dA des Streifens (Umfang 2π R sinθ × Breite des Streifens Rdθ )
dmK =
mK
mK
1
dA =
2π R sinθ Rdθ = mK sinθ dθ
2
2
4π R
4π R
2
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⇒
⇒
Seite 21
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1
⇒
mK sinθ dθ
2
1
mK sinθ dθ
2
Gravitationsfeld dg eine Rings dg = −G
cos α
s2
G G G
mit r = R + s ⇒ aus Kosinussatz: s 2 = r 2 + R 2 − 2rR cosθ ⇒ s nach θ differenziert ⇒
sd s
2sds = 2rR sin θ dθ ⇒ sin θ dθ =
rR
G
G
G
r 2 + s2 − R2
mit r = R + s ⇒ aus Kosinussatz: R 2 = r 2 + s 2 − 2rs cos α ⇒ cos α =
2rs
eingesetzt ⇒
aus dg = −G
dmK
cos α
s2
Teil 11 Gravitation
mit dmK =
1
mK sin θ dθ
mK r 2 + s 2 − R 2 sds
mK
mK ⎛
r 2 − R2
2
2
2
α
=
−
=
−
+
−
=
−
+
dg = −G 2
cos
d
1
G
G
r
s
R
s
G
⎜
2s 2
2rs
4s 2r 2R
4r 2 R ⎝
s2
rR
s2
⎞
⎟ ds
⎠
Aufpunkt P außerhalb der Kugelschale ⇒ Integration von θ = 0° entspricht s = r − R bis θ = 180° entspricht s = r + R
(
m
g = −G 2K
4r R
g = −G
r +R
⎛
r 2 − R2
1
+
∫⎜
s2
r −R ⎝
⎞
mK
⎟ ds = −G 2
4r R
⎠
⎡ r +R r 2 − R 2
⎢s r −R −
s
⎢⎣
)
⎤
m
m
⎥ = −G 2K ⎡⎣ r + R − r + R − ( r − R − r − R ) ⎤⎦ = −G 2K [ 4R ]
4r R
4r R
r −R ⎥
⎦
⇒
r +R
⇒
mK
r2
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Teil 11 Gravitation
Aufpunkt P innerhalb der Kugelschale ⇒
Integration von θ = 0° entspricht s = R − r bis θ = 180° entspricht s = r + R
r +R
⎛
m
r 2 − R2
g = −G 2K ∫ ⎜ 1 +
s2
4r R R − r ⎝
⎞
mK
⎟ ds = −G 2
4r R
⎠
⎡ r +R r 2 − R 2
⎢s R − r −
s
⎢⎣
⇒
⎤
m
m
⎥ = −G 2K ⎡⎣ r + R − R + r − ( r − R + R + r )⎤⎦ = −G 2K [0]
4r R
4r R
R −r ⎥
⎦
r +R
⇒
g =0
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Teil 11 Gravitation
11. Gravitationswechselwirkung
11.1 Einführung
11.2 Das Gravitationsgesetz
11.3 Newton'sche Ableitung des Kraftgesetzes
11.4 Trägheitsmasse und Schweremasse
11.5 Potentielle Energie der Gravitation
11.6 Beziehung zwischen Energie und Bahnbewegung
11.7 Gravitationsfeld
11.8 Gravitationspotential
11.9 Gravitationsfeld eines kugelförmigen Körpers
11.10 Das Prinzip der Äquivalenz
11.11 Gravitation und molekulare Kräfte
12. Raumfahrt
12.1 Einführung
12.2 Erdgebundene Satelliten
12.3 Reise zum Mond
12.4 Erkundung des Sonnensystems
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