Grundlagen - Bildungsportal Sachsen

Westsächsische Hochschule Zwickau
Fachgruppe Mathematik
Grundlagen
Inhaltsverzeichnis
Aufgaben zu den Grundlagen findet man über den folgenden Link:
Aufgaben zu den Grundlagen 01
1
Beschreibung der Grundlagen
1.1
Binomische Formeln
(a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(b) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(c) a2 − b2 = (a + b)(a − b)
1.2
Potenzen
Für beliebige reelle Zahlen x und α mit x > 0 ist der Ausdruck xα definiert.
Insbesondere gilt
x−α =
√
1
n
und für natürliche Zahlen n, m die Definition: x m = m xn .
α
x
Dieser Aspekt wird bei den Wurzelausdrücken im Detail noch einmal aufgegriffen.
Beispiele
1
(a) x 2 =
√
x
√
5
(b) x = x7
7
5
(c) x−4 =
1
x4
(d) ( 1c )−1 = c
3
(e) x− 2 =
1.2.1
1
1
=√
x3
x
3
2
Potenzgesetze
Sei x > 0. Für reelle Zahlen α und β gilt folgendes:
(1) xα+β = xα · xβ
(2) (xα )β = xα·β
1
Beispiele
3
3
1
3
1 √
x2
1
1
1
2
3 12
3
(a) 2 · x = 2 · (x ) = 2 = x 2 · x−2 = x 2 −2 = x− 2 = 1 = √
x
x
x
x
x2
1.2.2
Wurzelgesetze
Die Wurzelgesetze folgen aus den Potenzgesetzen
Definition: für eine reelle Zahl a ≥ 0 und eine natürliche Zahl n ist definiert:
√
n
1
a = an
Die folgenden Wurzel-Gesetze kann man aus den Potenzgesetzen folgern
√
m
(a) n xm = x n
√
√
n m
n
x
xm−k
(b) √
n k =
x
√
√
√
n
n
n
(c) ak bl = ak bl
√
√ √
Anmerkung 01: Insbesondere folgt hieraus ab = a b
Man erkennt an diesem Beispiel, dass in der Definition der Wurzelausdrücke die Forderungen
a ≥ 0 und b ≥ 0 notwendig sind, um die Gültigkeit der Wurzelgesetze zu gewährleisten.
Denn√andernfalls könnte man aus den Wurzelgesetzen z.B. folgern:
√
−2 −2
aber
√
4 =
p
(−2)(−2) =
−2 ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert.
(e) Für natürliche Zahlen n und m und eine reelle Zahl x > 0 gilt:
1.3
√
p
√
n
m
x=
p
√
m n
x
Logarithmus
Der Logarithmus zu einer beliebigen Basis hat die Bezeichnung log. Die Angabe einer Basis
a erfolgt in der Form loga .
Logarithmen sind für verschiedene Basen definiert. Die Basis eines Logarithmus ist eine positive reelle Zahl.
In allen Fällen ist der Logarithmus die Umkehrung einer Potenzfunktion. Alle Logarithmen
sind nur für positive reelle Zahlen definiert. Der Wert eines Logarithmus kann positive und
negative reelle Zahlen annehmen.
1.3.1
Logarithmus zur Basis a
Sei a > 0 eine reelle Zahl und es gelte ax = b für reelle Zahlen x, b. Dann folgt, dass auch
b > 0 gelten muss.
Unter diesen Voraussetzungen ist der Ausdruck loga (b) definiert. Man bezeichnet ihn als den
Logarithmus von b zur Basis a. Es gilt loga (b) = x.
2
Beispiele
log4 (64) = 3, 43 = 64
log2 (64) = 6, 26 = 64
1.3.2
Logarithmus zur Basis e
Die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist der natürliche Logarithmus.
Es handelt sich um den Logarithmus zur Basis e.
Der natürliche Logarithmus ist nur für reelle Zahlen definiert, die größer als Null sind. Im
folgenden wird daher vorausgesetzt, dass x eine reelle Zahl ist, für die x > 0 gilt.
Für den natürlichen Logarithmus ist definiert:
ln(x) = y genau dann, wenn ey = x. Dabei bezeichnet e die Exponentialfunktion.
Für den natürlichen Logarithmus gelten folgende Rechengesetze:
1. Seien a, b positive reelle Zahlen, dann gilt ln(a · b) = ln(a) + ln(b) bzw. in abkürzender
Schreibweise ln(ab) = ln(a) + ln(b)
2. ln(a ÷ b) = ln(a) − ln(b)
3. Für eine reelle Zahl c gilt unter den angegebenen Voraussetzungen: ln(ac ) = c · ln(a)
1.3.3
Logarithmus zur Basis 10
Ein weiterer, spezieller Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis 10, er wird als lg bezeichnet.
Für 10x = a ist definiert lg(a) = x
Beispiel:
lg(1000) = lg(103 ) = 3
Anmerkung: Bei Mathlab bezeichnet log den Logarithmus zur Basis e.
Die im folgenden angebenen Rechengesetze gelten für alle Logarithmen, sie werden nur speziell für den natürlichen Logarithmus angegeben.
2
Aufgaben zur Übung des Logarithmus
1. ln(102 )
2. log3 (81)
3. lg(e2 )
2
4. ln(3− 3 )
3
3
Lösung der Aufgaben zum Logarithmus
1. ln(102 ) = loge (100) = 4.61, zu lösen ist die Gleichung ex = 100
2. log3 (81) = 4, zu lösen ist die Gleichung 3x = 81
3. lg(e2 ) = 2 · lg(e) = 0.87, zu lösen ist die Gleichung 10x = e2
Bei der Berechnung treten Rundungsfehler auf. Berechnung mit GeoGebra: 100.87 =
7.41, e2 = 7.39
2
4. ln(3− 3 ) = − 23 · ln(3) = −0.73
4
Winkelmaß und Bogenmaß
Es gilt:
x
α
= .
180
π
Dabei bezeichne α einen Winkel im Gradmaß, x den gleichen Winkel im Bogenmaß.
Es ergeben sich dann folgende Umrechnungsformeln:
x · 180
π
α·π
x=
180
α=
4
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Beschreibung der Grundlagen
1.1 Binomische Formeln . . . . . . .
1.2 Potenzen . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Potenzgesetze . . . . . . .
1.2.2 Wurzelgesetze . . . . . . .
1.3 Logarithmus . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Logarithmus zur Basis a .
1.3.2 Logarithmus zur Basis e .
1.3.3 Logarithmus zur Basis 10
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1
1
1
1
2
2
2
3
3
2 Aufgaben zur Übung des Logarithmus
3
3 Lösung der Aufgaben zum Logarithmus
4
4 Winkelmaß und Bogenmaß
4
5