Vorlesung Statistik - Betriebswirtschaft.info

Prof. Dr. Schittenhelm
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Vorlesung Statistik
Übungsblatt - 6
Aufgabe 1)
Die Äpfel in einer Lieferung wiegen durchschnittlich 180 g, mit einer Standardabweichung
von 50 g. Man kann annehmen, dass das Gewicht eine normalverteilte Zufallsvariable ist. Wie
viel Prozent der Äpfel wiegen
a) weniger als 150 g
b) mehr als 175 g
c) zwischen 200 und 250 g
10% der Äpfel werden nun aussortiert, weil sie zu leicht sind. Wie schwer kann ein Apfel
höchstens sein, wenn er aussortiert wird?
Aufgabe 2)
Ein Schütze trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% pro Schuss. Er schießt insgesamt 10
mal auf eine Scheibe. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er
a) jedes Mal
b) mindestens 8 mal trifft
Der Schütze hat mit seinem Gewehr bisher 100.000 Schuss abgegeben.
Wie groß war die Wahrscheinlichkeit weniger als 80% Treffer zu landen
Aufgabe 3)
Aus Erfahrung sei bekannt, dass der Durchmesser von Stahlrohren einer bestimmten
Fertigung normalverteilt sei mit einem Mittelwert µ = 100mm bei einer Standardabweichung
von σ = 5mm. Die Produktion sei sehr groß.
(a) Wie groß ist in der Gesamtproduktion der Anteil der Rohre mit einem Durchmesser
von
1) höchstens 95mm?
2) höchstens 106mm?
3) mehr als 95mm?
4) mehr als 106mm?
5) mehr als 90mm und höchstens 100mm?
6) mehr als 100mm und höchstens 106mm?
7) mehr als 90mm und höchstens 110mm?
8) mehr als 95mm und höchstens 105mm?
(b) Es können nur Rohre verkauft werden, deren Durchmesser mindestens 94mm und
höchstens 108mm beträgt. Alle anderen Rohre sind Ausschuss. Wie groß ist der
Ausschussanteil der Produktion?
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Lösung
Aufgabe 1)
Normalverteilung
N µ ,σ ( x ) =
1
2π σ
x
∫e
−
( t − µ )2
2σ 2
dt
−∞
x−µ
es gilt N µ ,σ ( x ) = N 0,1 

 σ 
µ = 180g; σ = 50g
x−µ
a) weniger als 150 g: P ( X ≤ 150g ) = N µ ,σ (150g ) = N0,1

 σ 
 150g − 180g 
 = N0,1(− 0,6 ) = 1 − N0,1(0,6 ) = 1 − 0,72575 = 0,27425 =27,43%
N0,1
50g


x−µ
b) mehr als 175 g: P ( X > 175g ) = 1 − P ( X ≤ 175g ) = 1 − N µ ,σ (175g ) = 1 − N0,1

 σ 
 175g − 180g 
 = 1 − N0,1(− 0,1) = 1 − (1 − N0,1(0,1)) = 0,53983 =53,98%
1 − N0,1
50g


c) zwischen 200g und 250g:
P (200g ≤ X ≤ 250g ) = P ( X ≤ 250g ) − P ( X ≤ 200g ) = N µ ,σ (250g ) − N µ ,σ (200g )
 200g − 180g 
 250g − 180g 
 = N0,1(1,4 ) − N0,1(0,4 ) = 0,91924 − 0,65542 = 0,26382
 − N0,1
N0,1
50g
50g




=26,38%
10% werden aussortiert Îumgekehrt betrachten: N µ ,σ ( x ) = 10%
 x − 180g 
 = 0,10 ⇒ N 0,1 (1,2085 ) = 0,90 ⇒ N 0,1 (− 1,2085 ) = 1 − 0,90 = 0,10
N0,1
 50g 
Es gilt daher:
 x − 180g 
 = −1,2085 ⇒ x = 116g

 50g 
Der Apfel muss daher kleiner als 116g sein.
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Aufgabe 2)
Binomialverteilung
Bn, p ( x ) =
n
∑  k p q
k ≤x
k
n −k
 
n=10; p=0,8, q=0,2
a) Jeder Schuss ein Treffer Î nur ein Fall
n
10 
Wahrscheinlichkeit   p k q n −k =  0,8100,20 = 0,810 = 0,1073 = 10,73%
k 
10 
b) Mindestens 8 Treffer
Wahrscheinlichkeit
10  8 2 10  9 1
 0,8 0,2 +  0,8 0,2 + 0,1073 = 0,3020 + 0,2684 + 0,1073 = 0,6777 = 67,77%
8
9
Für große n Î Zentraler Grenzwertsatz
n=100.000, x=50.000
 x − np 

Bn, p ( x ) = N0,1
 npq 


Wahrscheinlichkeit weniger als 80%Treffer
 80.000 − 100.000 ⋅ 0,8 
 = N0,1(0 ) = 50%
Bn, p (50.000 ) = N0,1

100
.
000
0
,
8
0
,
2
⋅
⋅


Aufgabe 3)
a)
1. P ( X ≤ 95) = P(Y ≤
95 − 100
) = P (Y ≤ −1) = 0,1587
5
2. P ( X ≤ 106) = P(Y ≤ 1,2) = 0,8849
3. P ( X ≥ 95) = 1 − P( X ≤ 95) = 1 − 0,1587 = 0,8413
4. P ( X ≥ 106) = 1 − P ( X ≤ 106) = 1 − 0,8849 = 0,1151
5. P (90 ≤ X ≤ 100) = P( X ≤ 100) − P( X ≤ 90) = P(Y ≤ 0) − P (Y ≤ −2) =
0,5 − 0,0228 = 0,4772
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6. P (100 ≤ X ≤ 106) = P (0 ≤ Y ≤ 1,2) = N 0,1 (1,2) − N 0,1 (0) = 0,8849 − 0,5 = 0,3849
7. P (90 ≤ X ≤ 110) = P( −2 ≤ Y ≤ 2) = N 0,1 ( 2) − N 0,1 ( −2) = 0,9772 − 0,0228 = 0,9544
8. P (95 ≤ X ≤ 105) = P( −1 ≤ Y ≤ 1) = N 0,1 (1) − N 0,1 ( −1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6826
b) P ( X ≤ 94) + P( X ≥ 108) = P(Y ≤ −1,2) + P(Y ≥ 1,6) = N 0,1 ( −1,2) + 1 − N 0,1 (1,6) =
0,1151 + 1 − 0,9452 = 0,1699
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