Relativistische Quantenmechanik - Institut für Theoretische Physik

Relativistische Quantenmechanik
Georg Wolschin
http://wolschin.uni-hd.de
Universität Heidelberg
Institut für theoretische Physik
Vorlesung im Sommersemester 2013
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
2
Verbindung zur nichtrelativistischen Quantenmechanik
11
3
Klein-Gordon Gleichung
15
4
5
4
3.1
Eigenschaften der KGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2
Wechselwirkung mit elektromagnetischen Feldern; Eichinvarianz . . . . . 18
3.3
Hamiltonsche Form der KGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4
KGE im Coulomb-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5
Oszillator-Coulomb-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Dirac-Gleichung
31
4.1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2
Forderungen an die Gleichung; Ableitung der DE . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3
Eigenschaften der Dirac-Matrizen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4
Dirac-Gleichung in kovarianter Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5
Lösungen der freien DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.6
Kopplung an das elektromagnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Invarianzen der Dirac-Gleichung
45
5.1
Lorentz-Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2
Paritätstransformation P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3
Ladungskonjugations-Transformation C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4
Zeitumkehr-Transformation T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6
Lösung der Dirac-Gleichung mit Zentralpotential
63
7
Das Kleinsche Paradoxon
72
8
Dirac-Neutrinos: Die Weyl-Gleichung
79
9
8.1
Introduction to Neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2
Die Weyl-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Grundzüge der Quantenelektrodynamik
85
9.1
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2
Quantisierung des freien em. Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
INHALTSVERZEICHNIS
10 Elemente der relativistischen Streutheorie
3
96
10.1 Invarianten bei relativistischen Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
11 Aufgaben zur RQM-Vorlesung (2012)
12 Literatur
99
104
4
1
Einleitung
Nichtrelativistische QM:
beruht auf der Schrödinger-Gleichung (SE): Ableitung via Korrespondenzprinzip aus
dem Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik.
• Die SE ist Galilei-invariant (wie die Hamilton-Funktion)
• gültig nur für v ≪ c
Relativistische QM
• v≤c
• Wechselwirkung von Licht und Materie
Lorentz-Invariante Theorie
• EWW ≥ mc2 ⇒ Teilchenerzeugung
erfordern Feldquantisierung ⇒ „Quantenfeldtheorie“
Relativistische Wellengleichungen
beschreiben Teilchen in einem vorgegebenen Kraftfeld -insbesondere dem elektromagnetischen Feld-, das zunächst noch nicht quantisiert wird.
Die Wellengleichung soll dem „Korrespondenzprinzip“1 genügen, und für Teilchen
mit Spin in nichtrelativistischer Näherung die Pauli-Gleichung ergeben.
Historisch war die erste relativistische Wellengleichung die „Klein-Gordon-Gleichung“
(KGE)
E. Schrödinger, Annalen Phys. 81, 109 (1926),
W. Gordon, Z. Physik 40, 117 (1926),
O. Klein, Z. Physik 41, 407 (1927).
Sie beschreibt Mesonen mit Spin 0, z.B. Pionen. Wegen negativen Wahrscheinlichkeitsdichten (siehe Kapitel 3) wurde sie zunächst verworfen und erst später als Grundlage
von Feldtheorien für skalare Mesonfelder etabliert.
Erst die von Paul Dirac aufgestellte Gleichung (DE) beschreibt Teilchen mit Spin 1/2
(Fermionen, speziell das Elektron):
1
klassische Größen werden durch Operatoren ersetzt
1
EINLEITUNG
5
P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A117, 610 (1928) (DE).
Wie die KGE hat die DE Lösungen mit negativer Energie. Dirac hat deshalb 1930 postuliert, dass diese Zustände alle besetzt sind, so dass für Fermionen (Pauli-Prinzip!)
keine Übergänge möglich sind.
„Löcher“ in diesem „Dirac-See“ entsprechen Antiteilchen mit entgegengesetzter Ladung:
P.A.M. Dirac, „A theory of electrons and protons“, Proc. Roy. Soc. A126, 360 (1930).
[zunächst hielt man das Proton für das Antiteilchen des Elektrons: Dirac versuchte zunächst die Massendifferenz e/p auf die Wechselwirkung mit dem See zurückzuführen].
H. Weyl zeigte jedoch, dass die Löchertheorie vollständig symmetrisch für negative/positive Ladungen ist, Dirac modifizierte daraufhin seine Theorie und postulierte
1931 das Positron
P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A133, 60-72 (1931).
Es wurde 1932 von Carl Anderson entdeckt und beseitigte die Zweifel an der DIRACTheorie:
C.D. Anderson, Science 76, 238-239 (1932).
In der Relativistischen Quantenmechanik bleiben die Axiome der Quantentheorie
ungeändert; es wird jedoch der Hamilton-Operator modifiziert:
• Der Zustand eines Systems wird durch einen Zustandsvektor in einem linearen
Raum - dem Hilbertraum - beschrieben, ∣ψ⟩.
• Observable werden durch hermitesche Operatoren dargestellt.
• Der Mittelwert einer Observablen im Zustand ∣ψ⟩ beschrieben, ⟨A⟩ = ⟨ψ∣ A ∣ψ⟩
(„Erwartungswert“).
• Bei einer Messung von A geht der ursprüngliche Zustand in den Eigenzustand
∣n⟩ von A mit Eigenwert an über, A ∣n⟩ = an ∣n⟩.
Es folgt eine Einführung in die verwerndete Notation, dann untersuchen wir die Eigenschaften der Klein-Gordon und Dirac-Gleichung mit der Interpretation als EinteilchenWellengleichung. Die Lösungen sind auch Basiszustände bei der Entwicklung der Feldoperatoren.
6
Notation: Einheiten
̵ c eingeführt, später setzen wir h̵ ≡ c ≡ 1, so dass
Die Grundgleichungen werden mit h,
die Zeit die Dimension einer Länge hat, Energien, Impulse und Massen haben die
Dimensionen einer inversen Länge; Ladungen werden dimensionslos
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢ 1/137.035999679(94) ⎥
⎢
⎥
⎢für Q2 =0; bei Q2 =m2w ; α≃1/128⎥
⎣
⎦
e2
1
e =̵ ≅
hc 137
2
h
mit h̵ =
≅ 6.582 ⋅ 10−22 MeVs
2π
Koordinaten:
Zeitpunkt t und ein Punkt im Ortsraum r⃗ = (x, y, z) definieren einen Raum-Zeit-Punkt
(x0 , x1 , x2 , x3 ) mit x0 = ct Zeitkoordinate, x1 = x, x2 = y, x3 = z Raumkoordinaten.
Die Indizes 0, 1, 2, 3 kennzeichnen Komponenten von Vierervektoren, (griech. Buchstaben µ, ν, ...), 1,2,3 die Komponenten des gewöhnlichen Raumes (lat. Buchstaben i,k,l,...):
xµ ≡ (x0 , xk ) ≡ (x0 , x1 , x2 , x3 )
(µ = 0, 1, 2, 3)
(k = 1, 2, 3)
Metrischer Tensor, ko- und kontravariante Indices.
Die Metrik im Raum-Zeit-Kontinuum ist durch den metrischen Tensor definiert
⎛
⎜
⎜
gµν = ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 ⎞
⎟
0 −1 0 0 ⎟
⎟
⎟
0 0 −1 0 ⎟
⎟
0 0 0 −1 ⎠
1
0
0
g00 = 1, gkk = −1, gµν = 0 ∀µ ≠ ν
Man unterscheidet sogenannte
„kovariante“ Vektoren (aµ ): transformieren wie
∂
∂xµ
„kontravariante“ Vektoren (aµ ): transformieren wie xµ
⇒ unterschiedliche Vorzeichen der räumlichen Komponenten. Umwandlung durch
Anwendung des metrischen Tensors:
aµ = ∑ gµν aν , so dass
ν
a0 = a0 , ak = −ak
1
EINLEITUNG
7
Einsteinsche Summenkonvention:
über doppelt erscheinende Indices wird summiert:
⇒ aµ = gµν aν
⇒ Hinaufziehen der Indices: aµ = gµν aν
mit gµν = gµν
Es ist gµ ν = gµσ gσν = gµ ν = δµ ν
⎧
⎪
⎪
⎪1, µ = ν
ν
mit dem Kronecker-Symbol δµ = ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩0, µ ≠ ν
Dreier- und Vierervektoren, Skalarprodukt
Für Dreiervektoren im gewöhnlichen Ortsraum verwendn wir a⃗ = (ax , a y , az ), so dass
aµ = (a0 , a1 , a2 , a3 ) = (a0 , a⃗)
mit a1 = ax , a2 = a y , a3 = az
Skalarprodukt/Betrag 3er Vektor:
a = (a⃗ ⋅ a⃗)1/2 = [a2x + a2y + a2z ]
1/2
Oft wird beim 4er Vektor der Index µ weggelassen ⇒ (a), wenn eine Verwechslung mit
dem Betrag des 3er Vektors ausgeschlossen ist.
Das Skalarprodukt zweier 4er Verkotern aµ , bµ erhält man durch „Verjungung“ aus den
jeweiligen ko- und kontravarianten Komponenten:
aµ bµ = aµ bµ = a0 b0 − a⃗ ⋅ ⃗b
s2 ≡ aµ aµ = (a0 )2 − a2
ist die Norm von
a ≡ aµ
Klassifizierung der 4er Vektoren
aµ aµ < 0, aµ
raumartig
aµ aµ = 0, aµ
Nullvektor (lichtartig)
aµ aµ > 0, aµ
zeitartig
8
Dies entspricht der Lage des Vektors relativ zum Lichtkegel
a0
Zukunft, zeitartig
a0 > 0
raumartig
a1
Vergangenheit
„Minkowski-Diagramm“
a0 < 0
Gradient, Differentialoperatoren
⃗ ≡(
∇
∂ ∂ ∂
, , ),
∂x ∂y ∂z
⃗ ⋅∇
⃗=
∆=∇
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y2 ∂z2
Die vier partiellen Differentialoperatoren
∂µ ≡
Nabla-Operator
∂
∂xµ
bilden einen kovarianten Vektor:
∂
∂
∂ ∂ ∂ ∂
⃗ ,
≡ ( 0 , 1 , 2 , 3 ) ≡ ( , ∇)
µ
∂x
∂x ∂x ∂x ∂x
∂ct
Gradientenoperator.
Der entsprechende kontravariante Gradient ist
∂µ ≡ gµν ∂ν ≡ (
∂
⃗ .
, −∇)
∂ct
Der d’Alembert-Operator ist
◻≡
1 ∂2
− ∆ = ∂µ ∂µ .
c2 ∂t2
εµνλ% -Tensor (Levi-Civita Tensor)
ein in den vier Indices total antisymmetrischer Tensor:
⎧
⎪
+1, (µνλ%) gerade Permutation von (0, 1, 2, 3)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
εµνλ% = ⎨ 0,
mindestens zwei gleiche Indices
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩−1, (µνλ%) ungerade Permutation von(0, 1, 2, 3)
1
EINLEITUNG
9
Elektromagnetisches Feld
⃗ r⃗, t), und einem
Das elektromagnetische Potential besteht aus einem Vektorpotential A(
skalaren Potential φ(r⃗, t), die einen Vierervektor bilden:
⃗
(Aµ ) ≡ (φ, A);
(jµ ) = (c%, ⃗j)
Elektrisches Feld:
Magnetisches Feld:
mit
∂µ jµ = 0
∂A⃗
⃗ −
E⃗ = −∇φ
∂x0
⃗ = rotA⃗ ≡ ∇
⃗ × A⃗
B
⃗ bilden einen antisymmetrischen Tensor Fµν = −Fνµ
Die Komponenten von E⃗ und H
Raum-Zeit-Kontinuum:
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ,
so dass (im Vakuum)
⎛
⎜
⎜
µν
F =⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
Ex
Ey
Ez
−Ex −E y −Ez ⎞
⎟
0 −Bz B y ⎟
⎟;
⎟
Bz
0 −Bx ⎟
⎟
−B y Bx
0 ⎠
Sp(Fµν ) = 0
⇒ Inhomogene Maxwell-Gleichungen:
∂µ Fµν =
4π ν
j ;
c
in Lorenz-Eichung ∂µ Aµ = 0 ⇒ ∂µ ∂µ Aν =
4π ν
j
c
Homogene Maxwell-Gelichungen:
∂µ F̃µν = 0
1
mit F̃µν ∶= εµνλ% Fλ%
2
Lorentz-Transformation (LT)
Beim Wechsel des Bezugssystems durch LT werden die Koordinaten linear und reell
so transformiert, dass das Quadrat des Abstandes zweier Raum-Zeit-Punkte erhalten
bleibt.
x′µ = Λµ ν xν + aµ
10
Der reelle Vektor aµ ist eine einfache Translation der Raum-Zeit Achsen. Homogene LT
mit aµ = 0:
x′µ = Λµ ν xν
Definition der LT durch (Λµν = gλσ Λµ σ )
(1) Λ∗µν = Λµν reelle Transformation
(2) Λµν Λµλ = Λνµ Λλµ = δν λ Erhaltung des Abstandsquadrates
⇒ det ∣Λµ ν ∣ = ±1 (+1: „eigentliche“ LT; Richtungssinn der Raumachsen bleibt gleich)
Inverse Transformation:
xµ = x′ν Λν µ
Die (homogene) Lorentz-Gruppe ist die Gruppe der linearen reellen Transformation,
bei denen die Skalarprodukte zwischen Vierervektoren erhalten bleiben.
2
2
VERBINDUNG ZUR NICHTRELATIVISTISCHEN QUANTENMECHANIK
11
Verbindung zur nichtrelativistischen Quantenmechanik
In der nichtrelativistischen QM wird die Zeitentwicklung von Zuständen ∣ψ⟩ durch die
Schrödinger-Gleichung (SE) bestimmt:
ih̵
∂
∣ψ⟩ = H ∣ψ⟩
∂t
(SE)
Für ein freies Teilchen in Ortsdarstellung, ⟨r⃗∣
ih̵
∂
h̵ 2 2
⃗ ψ(r⃗, t).
ψ(r⃗, t) = − ∇
∂t
2m ⃗r
(1) Wegen der unterschiedlichen Ordnungen der zeitlichen und räumlichen Ableitungen ist die SE nicht Lorentz-kovariant (= relativistisch invariant gegenüber LT):
∧
ihre Struktur ändert sich beim Übergang von einem Inertialsystem durch LT in
ein anderes.
(2) Die SE beschreibt nicht den Eigendrehimpuls eines Teilchens, z.B. den Spin des
Elektrons. Für nichtrelativistische Elektronen lässt sich dieser Mangel durch das
„Rezept“ von W.Pauli beheben: Z.Physik 43, 601 (1927): Die Wellenfunktion ψ
wird durch eine zweikomponentige Wellenfunktion ersetzt,
ψ(r⃗, t) =
⎛ ψ1 (r⃗, t) ⎞
⎝ ψ2 (r⃗, t) ⎠
mit ∣ψi (r⃗, t)∣2 d3 r, i = 1, 2 ∶ Wahrscheinlichkeit, das Teilchen mit Spin in positiver
(i = 1) oder negativer (i = 2) z−Richtung im Volumenelement d3 r um den Punkt r⃗
zu finden.
Der Drehimpulsoperator ⃗j setzt sich aus den Operatoren ⃗L des Bahndrehimpulses, und
⃗ /2 des Spins zusammen:
σ
̵
⃗j = ⃗L + h σ
⃗,
2
Gesamtdrehimpuls-Operator
⎛ σ1 ⎞
⎟
⃗=⎜
⎜ σ2 ⎟.
mit σ
⎜
⎟
⎝ σ3 ⎠
̵
⃗L = r⃗ × h ∇,
⃗
i
Bahndrehimpuls-Operator.
12
Mit den „Paulischen Spinmatrizen“
σ1 =
⎛ 1 0 ⎞
⎛ 0 −i ⎞
⎛ 0 1 ⎞
.
, σ3 =
, σ2 =
⎝ 0 −1 ⎠
⎝ i 0 ⎠
⎝ 1 0 ⎠
Die so modifizierte Schrödinger-Theorie ist jedoch nicht relativistisch invariant. Ziel
ist deshalb, eine relativistisch invariante Gleichung zu finden, die den Spin „automatisch“ mit berücksichtigt.
Zum Aufstellen von relativistischen oder nicht relativistischen Wellengleichungen benutzt man das Korrespondenzprinzip, d.h. klassische Größen werden durch Operatoren ersetzt:
∂
E Ð→ ih̵
∂t
h̵
⃗ = −ih̵ ∇
⃗
p⃗ Ð→ ∇
i
Damit ergibt sich aus der nichtrelativistischen Energie eines freien Teilchens
E=
p⃗2
2m
die freie zeitabhängige Schrödingergleichung
ih̵
⃗2
∂
h̵ 2 ∇
∣ψ⟩ = −
∣ψ⟩ .
∂t
2m
In der speziellen Relativitätstheorie transformieren sich Energie E und Impuls
p⃗ = (px , p y , pz ) als Komponenten eines kontravarianten Vierervektors
E
E
pµ = (p0 , p1 , p2 , p3 ) = ( , px , p y , pz ) = ( , p⃗)
c
c
mit den kovarianten Komponenten
E
pµ = gµν pν = ( , −p⃗)
c
⇒ das invariante Skalarprodukt ist
pµ pµ =
E2
− p⃗2 = m2 c2 ,
c2
mit der Ruhemasse m.
2
VERBINDUNG ZUR NICHTRELATIVISTISCHEN QUANTENMECHANIK
13
Ableitung der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung
„Weltlinie“ eines Teilchens in
x0
Parameterdarstellung: Ort eines
klassischen relativistischen Punkt-
Weltlinie, Eigenzeit τ
ct
teilchens der Masse m > 0 im
Minkowski-Raum
x(t) =
x1
⎛ ct ⎞
mit der Zeit t im Inertialsystem.
⎝ x⃗(t) ⎠
Eigenzeit τ als Parameter auf der Weltlinie: die Zeit, die eine mit dem Teilchen bewegte
Uhr anzeigt. Im momentaten Ruhesystem des Teilchens gilt für das Differential der
Weltlinie
⎛
⎜
⎜
′
dx = ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
cdτ ⎞
⎟
0 ⎟
⎟.
⎟
0 ⎟
⎟
0 ⎠
Mit der Invarianz des relativistischen Abstandsquadrats ist
(dx′ )2 = c2 dτ2 = (dx)2 = c2 dt2 − (dx⃗)2 = c2 dt2 (1 −
v2 (t)
)
c2
dx⃗
(t)
dt
Der Zusammenhang zwischen τ und t wird
mit v⃗(t) =
√
t
τ = ∫ dt
t0
′
1−
v2 (t′ )
;
c2
dt
1
= √
2
dτ
1 − vc2
4er Geschwindigkeit u und 4er Impuls p sind definiert durch
⎛ c dt ⎞
dτ ⎟
⎛ 1 ⎞
dxµ ⎜
c
⎜
⎟
⎟= √
=⎜
,
uµ ≡
⎟
dτ ⎜
1 − v2 /c2 ⎝ v⃗/c ⎠
⎜ dx⃗ ⎟
⎝
⎠
dτ
pµ ≡ muµ = m ⋅
⎛
⎞
dx⃗ dx⃗ dt
v⃗
Nebenrechnung:
=
= √
dτ dt dτ
⎝
1 − v2 /c2 ⎠
⎛ 1 ⎞ ⎛ E/c ⎞
dxµ
mc
= √
=
dτ
1 − v2 /c2 ⎝ v⃗/c ⎠ ⎝ p⃗ ⎠
Im nichtrelativistischen Grenzfall v ≪ c gehen diese Ausdrücke in die gewöhnlichen
Formeln für Energie und Impuls über - jedoch muss die Ruheenergie berücksichtigt
14
werden:
√
1
1−
⇒
v2
c2
Ð→ 1 +
v≪c
1 v2
− +⋯
2 c2
E
1 v2
1
Ð→ mc + mc 2 ⇒ E → mc2 + mv2
c
2 c
2
p⃗ → mv⃗.
Das invariante Skalarprodukt für den 4er Impuls ergibt demnach
pµ pµ =
E2
− p⃗2 = m2 c2
c2
⇒ E2 = p⃗2 c2 + m2 c4
3
3
KLEIN-GORDON GLEICHUNG
15
Klein-Gordon Gleichung
Wenden wir das Korrespondenzprinzip
∂
E → ih̵ ,
∂t
⃗
p⃗ → −ih̵ ∇;
̵ µ
pµ → ih∂
∂
E
⃗
( , p⃗) → ih̵ ( , −∇)
c
∂ct
auf die relativistische Energie-Impuls-Beziehung an,
E=
√
p⃗2 c2 + m2 c4 ,
erhalten wir die Wellengleichung
ih̵
√
∂
⃗ 2 + m2 c4 ∣ψ⟩
∣ψ⟩ = −h̵ 2 c2 ∇
∂t
Die Wurzel bringt jedoch Probleme: ihre Entwicklung ergibt ∞ hohe Ableitungen,
Ort und Zeit treten also unsymmetrisch auf und die relativistische Invarianz wird
gebrochen.
Wir gehen deshalb von der quadratischen Relation aus,
E2 = p⃗2 c2 + m2 c4
und erhalten
−h̵ 2
∂2
⃗ 2 + m2 c4 ) ∣ψ⟩
∣ψ⟩ = (−h̵ 2 c2 ∇
2
∂t
mit jeweils 2.Ableitung in Ort und Zeit. Division durch −(h̵ 2 c2 ) ergibt die offensichtlich
Lorentz-kovariante Form
mc 2
[∂µ ∂µ + ( ̵ ) ] ∣ψ⟩ = 0
h
∂µ ≡
∂
,
∂xµ
xµ = (x0 = ct, x⃗)
denn aus der Elektrodynamik ist bekannt, dass der d’Alembertoperator
◻ ≡ ∂µ ∂µ =
invariant gegenüber LT ist.
1 ∂2
∂2
⃗ 2 = gµν
−
∇
c2 ∂t2
∂xν ∂xν
16
In der Wellengleichung erscheint die reduzierte Compton-Wellenlänge des Teilchens
mit Masse m,
h̵
≡ oc
mc
[λec ≅ 3.86 ⋅ 10−13 m]
Man nennt die von Schrödinger, Gordon und Klein aufgestellte Gleichung
mc 2
[◻ + ( ̵ ) ] ∣ψ⟩ = 0
h
freie Klein-Gordon-Gleichung, (KGE)
E. Schrödinger hat sie 1926 als relativistische Verallgemeinerung der SE vorgeschlagen,
O. Klein und W. Gordon haben sie im Detail untersucht.
∧ ̵ µ
Mit dem 4er Impuls als Operator pµ = ih∂
lässt sie sich auch schreiben als
[pµ pµ − m2 c2 ] ∣ψ⟩ = 0
3.1
Eigenschaften der KGE
Sie erfüllt die Kontinuitätsgleichung; zur Herleitung aus der KGE bildet man
mc 2
ψ∗ [∂µ ∂µ + ( ̵ ) ] ψ = 0
h
und subtrahiert die komplex konjugierte Gleichung,
mc 2
ψ [∂µ ∂µ + ( ̵ ) ] ψ∗ = 0
h
⇒ ψ∗ ∂µ ∂µ ψ − ψ∂µ ∂µ ψ∗ = 0
∂µ (ψ∗ ∂µ ψ − ψ∂µ ψ∗ ) = 0
Damit die Stromdichte der nichtrelativistischen entspricht, multiplizieren wir mit
⎛1 ∂ ⎞
⃗⎟
∂µ ≡ ⎜
,∇
⎝ c ∂t ⎠
∂ψ∗
∂
ih̵
h̵
∗ ∂ψ
⃗⋅
⃗ − ψ∇ψ
⃗ ∗] = 0
[ψ∗ ∇ψ
[
(ψ
−
ψ
)]
+
∇
∂t 2mc2
∂t
∂t
2mi
Dies hat die Form einer Kontinuitätsgleichung
⃗ ⃗js = 0 , mit der Dichte
%̇s + ∇
h̵
2mi
;
3
KLEIN-GORDON GLEICHUNG
%s =
17
∂ψ∗
ih̵
∗ ∂ψ
[ψ
−
ψ
] , und der Stromdichte
2mc2
∂t
∂t
̵
⃗js = h [ψ∗ ∇ψ
⃗ − ψ∇ψ
⃗ ∗] .
2mi
bzw. in kovarianter Notation mit jµ ≡ (c%, ⃗j), 4er Stromdichte: ∂µ jµ = 0
In relativistischer Formulierung ist die Normierung meist so gewählt, dass
µ
̵ 2 (ψ∗ ∂µ ψ − ψ∂µ ψ∗ ),
jKG ≡ −ihc
∂ψ
∂ψ
%KG = ih̵ (ψ∗
−ψ
),
∂t
∂t
∗
so dass der Energie-Eigenzustand
2
ψ = Ψ(r⃗)e−iEt/h ⇒ %KG = 2E ∣Ψ∣ ,
̵
und ∣Ψ∣ = 1 entspricht 2E Teilchen pro Einheitsvolumen.
Die Verbindung zum „Schrödinger-Strom“ ist dann
̵
1 ⃗
⃗js = − ih (ψ∗ ∇ψ
⃗ − ψ∇ψ
⃗ ∗) =
jKG
2m
2mc2
und ⃗js hat
E
mc2
Teilchen pro Einheitsvolumen für ∣Ψ∣ = 1.
Als Folge der 2.Zeitableitung in der KGE ist jedoch % nicht positiv definit, und daher
keine Wahrscheinlichkeitsdichte, sondern evtl. e ⋅ %(x⃗, t) eine Ladungsdichte.
∂ψ
(Bei einer DGL 2.Ordnung wie der KGE können die Anfangswerte von ψ und
unab∂t
hängig voneinander vorgegeben werden, so dass %(x⃗) positiv oder negativ sein kann).
Freie Lösungen der KGE
Es existieren zwei freie Lösungen in Form von ebenen Wellen:
ψ(x⃗, t) = e−i(Et−⃗px⃗)/h
√
E = ± p2 c2 + m2 c4
̵
Es treten positive und negative Energien auf. Die Energie ist nicht nach unten beschränkt. Die Theorie ist skalar, sie enthält keinen Spin und könnte nur Mesonen mit
18
Spin 0 (z.B. π0 ) beschreiben. Als Quantenfeldtheorie beschreibt die KGE Mesonen; das
hermitesche skalare Klein-Gordon Feld beschreibt neutrale Mesonen mit Spin 0, siehe
QFT-Vorlesung.
Im Rahmen der RQM lässt sich das KGE-Problem negativer Energien (= Massen im
∧
feldfreien Fall) umgehen, indem man die Interpretation des 4er Vektors jµ ändert:
jµ → ejµ (x) ≡ Stromdichte - Vierervektor, d.h. insbesondere
% → e%(x) ≡ elektrische Ladungsdichte; % nicht positiv definit
Die Kontinuitätsgleichung
∂µ jµ = 0
beschreibt dann die Ladungserhaltung, während die Teilchenzahl nicht erhalten ist.
[W. Pauli; V. Weisskopf, Helv. Phys. Acta 7, 709 (1934)].
⇒ es können Teilchenpaare mit entgegengesetzter Ladung erzeugt und vernichtet werden. Mit dieser Interpretation ist die KGE keine Einteilchen-Theorie mehr, sondern eine
„Theorie der Ladung“.
(Erst mit der Dirac-Theorie kann eine positiv definite Dichte für ein Teilchen eingeführt werden; auch dort bleiben jedoch negative Energien, so dass die EinteilchenInterpretation nur begrenzt möglich ist).
3.2
Wechselwirkung mit elektromagnetischen Feldern; Eichinvarianz
Die WW eines relativistischen Spin-0-Teilchens mit einem elektromagnetischen Feld
wird in der KGE wie in der SE durch „minimale Kopplung“ berücksichtigt:
⎫
∂
∂
⎪
⎪
→ ih̵ − eA0 ⎪
⎪
⎪
e
∂t
∂t
⎪ µ
⎬ p → pµ − Aµ
⎪
c
h̵
h̵
e
⎪
⃗→ ∇
⃗ − A⃗ ⎪
⎪
∇
⎪
⎪
i
i
c
⎭
ih̵
mit der Ladung e des bestehenden Teilchens, und dem elektromagnetischen Viererpotential
Aµ =
⎛ A0 ⎞
,
⎝ A⃗ ⎠
A0 = φ
3
KLEIN-GORDON GLEICHUNG
19
Damit wird die KGE mit elektromagnetischen Feld:
[(ih̵
2
h̵
e⃗ 2
∂
⃗ − A)
− eA0 ) − c2 ( ∇
− m2 c4 ] ∣ψ⟩ = 0
∂t
i
c
bzw. in kovarianter Form (Massenterm m2 c2 !)
e
e
[(pµ − Aµ ) (pµ − Aµ ) − m2 c2 ] ∣ψ⟩ = 0
c
c
Die Maxwellschen Gleichungen sind invariant unter lokalen Eichtransformationen
der Art
φ → φ′ = φ −
1 ∂χ
,
c ∂t
⃗
A⃗ → A⃗′ = A⃗ + ∇χ
bzw.
Aµ → A′µ = Aµ − ∂µ χ
mit χ = χ(x) eine beliebige reelle skalare Funktion der Raumzeit-Koordinaten.
Diese lokale Eichinvarianz lässt sich wie in der nichtrelativistischen Theorie auf die
KGE übertragen, indem man die Wellenfunktion ψ durch Multiplikation einer Phase
geeignet mittransformiert:
ψ(x) → ψ′ (x) = eiΛ(x) ψ(x)
Um Λ(x) zu finden, setzen wir die gestrichenen Größen in die KGE ein und finden:
e
e
e
e
0 = [(pµ − A′µ − ∂µ χ) (pµ − A′µ − ∂µ χ) − m2 c2 ] ⋅ ψ′ e−iΛ
c
c
c
c
e
e
e
e
̵ µ Λ) − m2 c2 e−iΛ ] ψ′
= [(pµ − A′µ − ∂µ χ) e−iΛ (pµ − A′µ − ∂µ χ + h∂
c
c
c
c
e
e
̵ µ Λ) (pµ − e A′µ − e ∂µ χ + h∂
̵ µ Λ) − m2 c2 ] ψ′
= e−iΛ [(pµ − A′µ − ∂µ χ + h∂
c
c
c
c
⇒ Mit der Wahl
e
Λ(x) = ̵ χ(x) geht dies in die Form der KGE über,
hc
e
e
[(pµ − A′µ ) (pµ − A′µ ) − m2 c2 ] ψ′ = 0 (Beweis durch Nachrechnen)
c
c
Da physikalische Observable durch Erwartungswerte ⟨ψ ∣...∣ ψ⟩ dargestellt werden,
spielt ein gemeinsamer gleicher Phasenfaktor Λ(x) in ψ keine Rolle: die KGE mit
20
minimaler Kopplung ist deshalb unter lokalen Eichtransformationen des elektromagnetischen Feldes invariant.
Kontinuitätsgleichung mit Feld:
Multipliziert man die KGE mit Feld von links mit ⟨ψ∗ ∣ und subtrahiert davon das
komplex konjugierte, folgt die Kontinuitätsgleichung als
∂%(x)
⃗ ⃗j(x) = 0 mit
+∇
∂t
∂ψ∗
e
ih̵
∗ ∂ψ
[ψ
−
ψ
] − 2 A 0 ψ∗ ψ
%(x) =
2
2mc
∂t
∂t
mc
̵
e ⃗ ∗
⃗j(x) = − ih [ψ∗ ∇ψ
⃗ − ψ∇ψ
⃗ ∗] −
Aψ ψ
2m
mc
(wieder mit dem Faktor
Form
h̵
, analog zur nichtrel. QM) bzw. in Lorentz-kovarianter
2mi
∂µ jµ = 0 mit (jµ ) =
jµ =
⎛ c% ⎞
,
⎝ ⃗j ⎠
e µ ∗
ih̵
[ψ∗ ∂µ ψ − ψ∂µ ψ∗ ] −
A ψ ψ
2m
mc
oder in „relativistischer“ Normierung jKG = 2mc2 js ∶
µ
̵ 2 [ψ∗ ∂µ ψ − ψ∂µ ψ∗ ] − 2ceAµ ψ∗ ψ
jKG = −ihc
Aus der Kontinuitätsgleichung folgt durch Integration über den gesamten Raum der
Erhaltungssatz
Q = ∫ d3 x%(x) = const ⇒ Ladungserhaltung.
∂ψ
Jedoch ist wieder %(x) nicht positiv definit, da ψ und
∀t willkürliche Werte anneh∂t
men können, so dass % und ⃗j nicht als Wahrscheinlichkeitsgrößen interpretiert werden
können.
⇒ Suche nach einer relativistischen Wellengleichung von erster Ordnung in der Zeit,
und mit positiv definiter Wahrscheinlichkeitsdichte: DIRAC-Gleichung. Sie hat allerdings - wie die KGE - Lösungen mit negativen Energieeigenwerten.
3
3.3
KLEIN-GORDON GLEICHUNG
21
Hamiltonsche Form der KGE
Die KGE (DGL 2.Ordnung) lässt sich in ein System von gekoppelten DGLn erster
Ordnung überführen („Schrödniger-artige“ Form) durch die Ersetzungen (ψ Lösung
der KGE)
ψ = φ + ϕ,
Ψ=
∂
− eA0 )ψ = mc2 (φ − ϕ)
∂t
⎛ φ ⎞
⎝ ϕ ⎠
⇒φ=
ϕ=
(ih̵
1
∂
(mc2 + ih̵ − eA0 ) ψ
2
2mc
∂t
∂
1
(mc2 − ih̵ + eA0 ) ψ
2
2mc
∂t
⇒ (ih̵
∂
− eA0 ) (φ + ϕ) = mc2 (φ − ϕ)
∂t
∂
1
e⃗ 2
0
̵
⃗
(ih − eA ) (φ − ϕ) = [ (p − A) + mc2 ] (φ + ϕ)
∂t
m
c
Addition und Subtraktion dieser Gleichungen ergibt ein gekoppeltes DGL-System
1.Ordnung
∂φ
1
e⃗ 2
̵
⃗
ih
=
(p − A) (φ + ϕ) + (mc2 + eA0 )φ
∂t 2m
c
ih̵
und mit Ψ =
∂ϕ
1
e⃗ 2
=−
(p⃗ − A)
(φ + ϕ) − (mc2 − eA0 )ϕ
∂t
2m
c
⎛ φ ⎞
folgt die KGE in Hamiltonscher Form,
⎝ ϕ ⎠
ih̵
∂Ψ
= HΨ
∂t
σ3 + iσ2
e⃗ 2
⃗
H=
(p − A) + σ3 mc2 + eA0
2m
c
(H ist nicht hermitesch, daiσnicht hermitesch ist!:(iσ2 = −(iσ2 )+ )
mit den Pauli-Matizen
σ1 =
⎛ 0 1 ⎞
,
⎝ 1 0 ⎠
σ2 =
⎛ 0 −i ⎞
,
⎝ i 0 ⎠
σ3 =
⎛ 1 0 ⎞
⎝ 0 −1 ⎠
22
Für die Lösungen der freien KGE folgt
ih̵
∂Ψ
= H0 Ψ,
∂t
H0 =
σ3 + iσ2 2
p⃗ + σ3 mc2
2m
mit dem Lösungsansatz
Ψ(x) =
⎛ φ0 ⎞ i(⃗px⃗−Et)/h̵
e
⎝ ϕ0 ⎠
Ψp⃗ (x) =
⎛ mc + p0 ⎞ −ipµ xµ /h̵
e
⎝ mc − p0 ⎠
Ψp⃗ (x) =
⎛ mc − p0 ⎞ +ipµ xµ /h̵
e
⎝ mc + p0 ⎠
(1)
(2)
Da H nicht hermitesch ist, gibt es keine positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte mit
erhaltener Gesamt-Wahrscheinlichkeit:
⟨Ψ∣ψ⟩ = ∫ d3 xΨ+ ψ
⟨Ψ∣O∣ψ⟩ = ∫ d3 xΨ+ Oψ (O linearer Operator)
⟨Ψ∣O∣ψ⟩ = ⟨ψ∣O∣Ψ⟩
∗
∂Ψ
̵ + ∂Ψ = Ψ+ HΨ
⇒ ih̵
= HΨ, ihΨ
∂t
∂t
−ih̵
∂Ψ+
Ψ = (HΨ)+ Ψ = (Ψ+ HΨ)∗
∂t
∂
∗
⇒ ih̵ ⟨Ψ∣Ψ⟩ = ⟨Ψ∣H∣Ψ⟩ − ⟨Ψ∣H∣Ψ⟩ = ⟨Ψ∣H − H+ ∣Ψ⟩ ≠ 0
∂t
Aufgrund der Nicht-Hermitezität von H(≠ H+ ) sind seine Eigenzustände i.a. nicht
orthogonal, und eiH ist nicht unitär ⇒ Heisenberg- und Schrödinger-Bild ergeben
unterschiedliche Resultate.
3.4
KGE im Coulomb-Potential
Die KGE mit elektromagnetischem Feld war
[(ih̵
2
∂
h̵
e⃗ 2
⃗ − A)
− eA0 ) − c2 ( ∇
− m2 c4 ] ψ = 0
∂t
i
c
⃗ φ sind die stationären Lösungen mit positiver Energie
Für zeitunabhängiges A,
ψ(x⃗, t) = e−iEt/h ϕ(x⃗), E > 0
̵
3
KLEIN-GORDON GLEICHUNG
23
⇒ zeitunabhängige KGE
h̵
e⃗ 2
⃗
(E − eA ) ϕ − c ( ∇ − A) ϕ − m2 c4 ϕ = 0
i
c
0 2
2
Für ein sphärisch symmetrisches Potential wie das Coulomb-Feld
A0 (x⃗) → A0 (r), r = ∣x⃗∣, und A⃗ = 0 folgt
⃗ 2 + m2 c4 )eA0 (x⃗) = [E − eA0 (r)] ϕ(x⃗)
(−h̵ 2 c2 ∇
2
Wie in der nichtrelativistischen QM wird die Gleichung durch Separationsansatz gelöst;
in sphärischen Polarkoordinaten
ϕ(r, ϑ, ϕ) = R(r)Ylm (ϑ, ϕ), mit Kugelfunktionen Ylm
⇒ Radialgleichung:
(−
1d d
l(l + 1)
(E − eA0 (r))2 − m2 c4
r+
)
R(r)
=
R(r)
r dr dr
r2
h̵ 2 c2
Betrachte zunächst den nichtrelativistischen Grenzfall:
E = mc2 + E′ ;
E′ − eA0 ≪ mc2
⇒ nichtrelativistische radiale Schrödingergleichung, denn die rechte Seite der Radialgleichung wird
1
2m ′
2 2
2
′
0
′
0
2
2 4
0
̵h2 c2 [(mc ) + 2mc (E − eA (r)) + (E − eA (r)) − m c ] R(r) ≈ h̵ 2 [E − eA (r)] R(r)
mit der nichtrelativistischen Energie E′ .
Für ein π− Meson im Coulombfeld eines Kerns mit Ladungszahl Z:
mπ− = 139.57MeV/c2 ≅ 273me
mittlere Lebensdauer τπ− ≅ 2.60 ⋅ 10−8 s vs. klassische „Umlaufzeit“ τ aus der Unschärferelation:
̵ aπ ≅
∆ × ∆p ≡ aπ mπ aτπ ≅ h;
⇒τ≅
mπ a2π
h̵
≅
139.1802
197.33
me
mπ aB
≅
1
−10 m
273 0.5 ⋅ 10
≅ 1.8 ⋅ 10−13 m ≅ 180fm
⋅ 3⋅101 23 s ⇒ τ ≅ 7.6 ⋅ 10−20 s ≪ τπ− ≅ 2.6 ⋅ 10−8 s
h̵ ≡ c ≡ 1 ∶ MeVfm ≅ 1/197.33; 1s ≅ 3 ⋅ 102 3fm ⇒ Trotz der endlichen π− -Lebensdauer
gibt es wohldefinierte stationäre Energiezustände.
Das Coulombpotential des Kerns ist
eA0 (r) = −
Ze2
r
24
und mit der Feinstrukturkonstanten α =
[−
Substituiere: σ2 =
e2
̵
hc
wird die Radialgleichung
1d d
l(l + 1) − Z2 α2 2ZαE E2 − m2 c4
r+
− ̵
− ̵2 2 ] R = 0
r dr dr
r2
hcr
hc
4(m2 c4 −E2 )
,
h̵2 c2
γ = Zα, λ =
2Eγ
̵ ;
hcσ
% = σr
⇒ kompakte Form der Radialgleichung für die neue Variable % ∶
[
l(l + 1) − γ2
d2
2λ
+
−
1
−
] %R(%) = 0
d(%/2)2 %/2
(%/2)2
Das ist die Gestalt der nichtrelativistischen SE für die Funktion u ≡ %R, wenn wir
ersetzen
%0 → 2λ
(%0 =
√
2m
∣E∣
2
⋅ Zeh̵ )
l(l + 1) → l(l + 1) − γ2 ≡ l′ (l′ + 1) (l′ i.a. nicht ganzzahlig)
(Auch in der klassischen relativistischen Mechanik findet sich eine solche Änderung
des Zentrifugalterms; dort sind die elliptischen Kepler-Bahnen nicht mehr geschlossen,
sondern werden zu Rosettenbahnen).
Die Radialgleichung wird analog zum nichtrelativistischen Fall gelöst:
′
⎧
% l
⎪
⎪
⎪
⎪( ) , % → 0
R(ρ) = ⎨ 2
⎪
⎪
−%/2
⎪
%→∞
⎪
⎩e ,
⇒ Lösungsansatz:
% l +1
%R(%) = ( ) e−%/2 w(%/2)
2
′
mit der DGL für w(%) analog zum Schrödingerfall:
⎡
⎤
l(l+1)−γ2
⎢
⎥ %R(%)
2λ
³¹
¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹· ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ ª
⎢
⎥
⎢ d2 l′ (l′ + 1) %
⎥¬
⎢
⎥
0
⎢ 2−
⎥ u(%) = 0
+
−1
2
⎢ d%
⎥
%
%
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(%R(%) = u(%) = %l +1 e−% w(%))
′
%
dw
d2 w
+ 2(l′ + 1 − %)
+ (%0 − 2(l′ + 1))w = 0
2
d%
d%
Lösung durch Potenzreihenansatz
3
KLEIN-GORDON GLEICHUNG
25
∞
w(ρ) = ∑ ak %k .
k=0
Die aus der DGL folgende Rekursionsrelation ergibt eine Funktion w(%) ∝ e2% . Damit
R(%) normierbar bleibt, muss die Reihe abbrechen.
Einsetzen ergibt:
∞
∑ ak [k(k − 1)%k−1 + 2(l′ + 1)k%k−1 − 2k%k + (%0 − 2(l′ + 1))ρk ] = 0
k=0
Die Koeffizienten jeder Potenz von % müssen Null sein, also für %k ∶
[(k + 1)k + 2(l′ + 1)(k + 1)] ak+1 + [−2k + (%0 − 2(l′ + 1))] ak = 0
⇒ Rekursionsrelation zur Berechnung von ak+1 aus ak :
ak+1 =
2(k + l′ + 1) − %0
⋅ ak
(k + 1)(k + 2l′ + 2)
Für die Konvergenz ist das Verhältnis
ak+1
ak
für k → ∞ relevant:
ak+1 2
=
k→∞ ak
k
lim
Vergleich mit der Exponentialreihe
1
(2%)k
k=0 k!
∞
e2% = ∑
mit den aufeinander folgenden Koeffizienten
2k+1 /(k + 1)!
2
2
=
≅
k
2 /k!
k+1 k
d.h. die Reihe für w(%) verhält sich wie e2% . Damit nicht u(%) ∝ e−% w(%) → e% für große r
resultiert, (sonst ist u(%) nicht normierbar) muss die Reihe abbrechen.
Bricht die Reihe nach dem N−ten Glied ab, ist w(%) ein Polynom N−ten Grades. Die
Abbruchbedingung
aN+1 + aN+2 = ... = 0,
%0 = 2(N + l′ + 1) ,
ergibt die Rekustionsrelation
N = 0, 1, 2, radiale Quantenzahl
mit %0 → 2λ ⇒ λ = N + l′ + 1
(bis auf l′ analog zum Schrödingerfall)
Zur Bestimmung der Energieeigenwerte eliminieren wir σ:
2Eγ
4E2 γ2 4(m2 c4 − E2 )
σ= ̵
⇒ σ2 = ̵ 2 2 2 =
hcλ
hcλ
h̵ 2 c2
26
und erhalten die Energienevaus
γ2
E = mc (1 + 2 )
λ
−1/2
2
(positive Wurzel, da σ > 0, λ > 0 ⇒ E > 0)
⇒ Für verschwindende Anziehung γ = Zα → 0 geht die Energie dieser Lösungen gegen
die Ruheenergie,
E Ð→ mc2
γ→0
Berechnung von l′ aus der Definitionsgleichung
l′ (l′ + 1) = l(l + 1) − γ2
1 √
l′ = − ± (l + 1/2)2 − γ2
2
nur „+“ zulässig, damit die kinet. Energie endlich bleibt
ENl = ¿
Á
Á
Á
À1 +
mc2
[N + 1/2 +
√
γ2
(l + 1/2)2 − γ2 ]
2
In nichtrelativistischer Notation ist die Hauptquantenzahl n = N + l + 1; damit wird
E (n = 1, 2, ...; l = 0, 1, ..., n − 1)
Enl = ¿
Á
Á
Á
À1 +
mc2
.
γ2
[n − (l + 1/2) +
√
(l + 1/2)2 − γ2 ]
2
Die in der nichtrelativistischen Theorie vorhandene Entartung bezüglich des Drehimpulses ist hier aufgehoben.
Entwicklung der Energie in eine Potenzreihe ergibt
E = mc2 [1 −
E=
mc2
°
Ruheenergie
γ2
γ4
n
3
−
(
− ) + O(γ6 )]
2
4
2n
2n l + 1/2 4
−
Ry
n2
°
nichtrel.
RydbergEnergie
−
R y γ2
1
3
(
− ) +O(R y γ4 )
3
n
l + 1/2 4n
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
relativistische Korrektur
3
KLEIN-GORDON GLEICHUNG
27
mit
mc2 (Zα)2 mZ2 e4
= ̵ 2 (= 13.6eV für Z = 1, m = me )
2
2h
Die relativistische Korrektur hebt die Entartung in l auf:
Ry =
4R y γ2 n − 1
El=0 − El=n−1 = − 3
.
n 2n − 1
Damit l′ und die Energieeigenwerte reell sind, muss (siehe Ausdruck für l′ ) gelten
l+
1
> Zα
2
Für s−Zustände mit l = 0 bedeutet das
Z<
137
1
≅
= 68.5; für l = 1, Z < 205.5
2α
2
für größere Z wird das System instabil, die Lösungen zum Coulomb-Potential für Z > 68
unsinnig. Reale Kerne haben jedoch einen endlichen Radius (keine Punktladung), für
den Bindungszustände auch für Z > 68.5 existieren.
1
E
mc2
E1p
E1s
0
100
200
Z
Beim Vergleich mit realen pionischen Atomen muss demnach:
• Der endliche Kernradius berücksichtigt werden
• Die Masse mπ durch die reduzierte Masse ersetzt werden, µ =
mπ ⋅M
mπ +M
• Die Vakuumpolarisation muss berücksichtigt werden (virtuelle Elektron-PositronPaare)
• Die starke WW Pion-Kern muss abgeschätzt werden.
3.5
Oszillator-Coulomb-Potential
Die endliche Ausdehnung des Kerns, die auch für Z > 68.5, l = 0 Bindungszustände
ermöglicht, lässt sich durch ein Oszillator-Coulomb-Potential berücksichtigen.
28
Wir betrachten dazu den Kern näherungsweise als homogen geladene Kugel, mit Potential
⎧
r2
Ze2
⎪
⎪
(3
−
);
−
⎪
⎪
R2
eA0 (r) = V(r) = ⎨ 2R
⎪
⎪
Ze2
⎪
⎪
⎩− r ;
r≤R
r>R
V(r)
(MeV)
E
mc2
E1p
E1s
R
−
2
2
r (fm)
Ze2
R ≅ 10fm, Z = 82 ∶
82⋅197
V(0) = −17.7MeV ( 20.137
⋅ 1.5MeV)
(R = 1.2A1/3 fm ≅ 7.11fm)
r
2
r
− Ze
2R (3 − R2 )
− 32 ZeR
Die Radialgleichung wird auch für dieses Potential durch Potenzreihenansatz gelöst
(siehe z.B. A.Wachter, Relativistische QM, Springer, pp. 82-87). Es ergibt sich ein nahezu
linearer Zusammenhang zwischen den Zustandsenergien E und der Kernladungszahl
Z, und es existieren auch für große Z−und kleine l−Werte gebundene Zustände.
3
KLEIN-GORDON GLEICHUNG
29
Abbildung 1: Energiewerte gebundener 1s−, 2s− und 2p−Pionzustände im Feld einer
homogen geladener Kugel (Oszillator-Coulomb-Potential) als Funktion von Z. Der
Kugelradius (Kernradius) beträgt R = 10 fm.
In Tabelle 1 sind für zwei verschiedene Kernladungszahlen Z der V−Erwartungwert des
1s−Pionradius, ⟨r⟩V , das elektrostatische Oszillator-Coulomb-Potential V an der Stelle
2
⟨r⟩V , die
√ Bindungsenergie EB = E1s − mπ c sowie die mittlere quadratische Abweichung
∆r =
2
⟨r2 ⟩V − ⟨r⟩V angegeben. Vergleicht man diese Werte mit der Ruheenergie mπ c2 =
139.577 MeV des Pions und seiner Compton-Wellenlänge λπ = 1.414 fm, so folgt für
den schwachen Bindungsfall
Z=2∶
∣EB ∣ , ∣V (⟨r⟩V )∣ ≪ mπ c2 , ∆r ≫ λπ .
Tabelle 1: Kennzahlen des gebundenen 1s-Pionzustandes im Oszillator-CoulombPotential für den schwachen (Z = 2) und starken (Z = 1450) Bindungsfall.
Z=2
Z = 1450
⟨r⟩V
146.4 fm
3.7 fm
V (⟨r⟩V ) −0.02 MeV −298.9 MeV
EB
−0.05 MeV −278.8 MeV
∆r
84.3 fm
1.6 fm
30
Bei starker Bindung: sei Z = 1450 ∶
∣EB ∣ , ∣V (⟨r⟩V )∣ ≪ mπ c2 , ∆r ≫ λπ
⇒ Einteilchenkonzept nicht mehr gültig!
Eine direkte Bestätigung dieser Feststellung ergibt sich durch die Betrachtung der
radialen Ladungsdichte des 1s−Pionzustandes,
r2 %(r) =
E − V(r) 2
u (r).
mπ c2 l
Im schwachen Bindungsfall (Z = 2) ist E positiv, und die radiale Ladungsdichte ist,
wie gewünscht, positiv definit. Demgegenüber besitzt die radiale Ladungsdichte im
starken Bindungsfall (Z = 1450) aufgrund des zugehörigen negativen Energiewertes
keinen einheitlichen Verlauf und geht ab r ≈ 15 fm in negative Werte über, was mit
dem Ein-Teilchenkonzept unvereinbar ist (siehe Abbildung 1). Die physikalische Bedeutung dieses Vorzeichenwechsels in starken Feldern (wie auch beim Kastenpotential
und Potentialtopf) läßt sich letzlich nur im Rahmen von Quantenfeldtheorien richtig
verstehen, wo die Teilchenzahl variabel ist.
(aus: A.Wachter, Relativistische Quantenmechanik, Springer 2005; Seiten 85-86.)
4
DIRAC-GLEICHUNG
31
Abbildung 2: V-normierte radiale Ladungsdichte des 1s-Pionzustandes im OszillatorCoulomb-Potential mit Z = 1450 und R = 10 fm. Die große Grafik zeigt einen vergrößerten Ausschnitt der kleinen Grafik. Bei r ≈ 15 fm wechselt die Ladungsdichte ihr
Vorzeichen.
4
4.1
Dirac-Gleichung
Einleitung
Um die mit der KGE verbundenen Schwierigkeiten zu vermeiden - insbesondere nicht
positiv-definite Dichte -, suchte P.Dirac nach einer in den zeitlichen und örtlichen
Ableitungen linearen Gleichung:
ih̵
∂
ψ = HD ψ
∂t
mit dem DIRAC-Operator
HD =
̵
hc
⃗p⃗ + βmc2 ,
αk ∂k + βmc2 ≡ cα
i
der bei korrekter Wahl von αk , (k = 1, 2, 3) und β die DE ergibt (summiere über doppelte
Indices!).
Da die Gleichung von 1.Ordnung in der Zeit ist, bleibt die Dichte positiv; wegen der
Forderung relativistischer Invarianz dürfen dann auch die räumlichen Ableitungen
nur von 1.Ordnung sein.
32
Damit HD hermitesch ist (HD = HD+ ) müssen αk und β hermitesche N × N Matrizen
sein. (nicht einfach Zahlen, da die Gleichung dann nicht forminvariant bei räumlichen
Drehungen ist).
⎛ ψ1 ⎞
⎜
⎟
⇒ψ=⎜ ⋮ ⎟
⎜
⎟
⎝ ψN ⎠
4.2
ist ein n−komponentiger Spalten-Vektor.
Forderungen an die Gleichung; Ableitung der DE
(1) Die Komponenten ψ1 , ..., ψN von ψ müssen die KGE erfüllen, so dass ebene Wellen als Lösungen die relativistische Energie-Impuls-Beziehung E2 = p2 c2 + m2 c4
erfüllen.
(2) ∃ erhaltener Viererstrom, dessen nullte Komponente eine positive Dichte ist; es
gilt die Kontinuitätsgleichung.
(3) Die Gleichung muss Lorentz-kovariant sein:
(1), (2), (3) ⇒ DIRAC-Gleichung.
Konsequenzen dieser Bedingungen:
zu (1) : zweimalige Anwendung von HD ergibt
−h̵ 2
3
̵ 3 3
∂2
̵ 2 c2 ∑ 1 (αi α j + α j αi ) ∂i ∂ j ψ + hmc ∑ (αi β + βαi ) ∂i ψ + β2 m2 c4 ψ
ψ
=
−
h
∂t2
i i=1
i,j=1 2
(der erste Term auf der rechten Seite der oberen Gleichung werde wegen ∂i ∂ j = ∂ j ∂i
symmetrisiert).
Division durch (h̵ 2 c2 ) und Vergleich mit der KGE,
mc 2
[∂µ ∂µ + ( ̵ ) ] ψ = 0
h
ergibt drei Bedingungen an die αk , β ∶
(∗)
αi α j + α j αi = 2δi j ⋅ I⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
i
i
⎬
α β + βα = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
i 2
2
⎪
⎪
(α ) = β = I
⎭
⇒
Fordeungen an die algebraische
Sturktur der DIRAC-Matrizen.
4
DIRAC-GLEICHUNG
33
zu (2) : Definiere den zu ψ adjungierten Zeilenvektor ψ+ ≅ (ψ∗1 , ..., ψ∗N ) .
Multipliziere die DE von links mit ψ+
̵
̵ + ∂ φ = hc ψ+ αk ∂k ψ + mc2 ψ+ βψ.
⇒ ihψ
∂t
i
Die dazu komplex konjugierte Relation wird
̵
∂ψ+
hc
ψ = − (∂k ψ+ ) αk+ ψ + mc2 ψ+ β+ ψ
∂t
i
̵ ergibt
und die Differenz beider Gleichungen multipliziere mit (−i/h)
−ih̵ ⋅
∂ψ
( ∂t∂ ψ+ ψ = ψ+ ψt + ψ
∂ψ+
∂t ):
∂ +
imc2
ψ ψ = −c [(∂k ψ+ ) αk+ ψ + ψ+ αk ∂k ψ] + ̵ (ψ+ β+ ψ − ψ+ βψ)
h
∂t
Damit dieser Ausdruck die Form einer Kontinuitätsgleichung erhält,
∂
⃗ ⃗j = 0 ,
%+∇
∂t
müssen die Matrizen αk , β hermitesch sein:
(αk )+ = αk ; β+ = β ⇒ letzter Term in (∗∗) fällt weg,
und mit der Dichte
N
% ≡ ψ+ ψ ≡ ∑ ψ∗n ψn ,
und der Stromdichte
n=1
jk ≡ cψ+ αk ψ,
j0 ≡ c%
ist die KG erfüllt; in kovarianter Form mit jµ ≡ (j0 , jk ), , k = 1, 2, 3
⇒ ∂µ jµ ≡
4.3
1∂ 0
∂
j + k jk = 0 .
c ∂t
∂x
Eigenschaften der Dirac-Matrizen:
Die Matrizen αk , β antikommutieren:
{αk , β} = 0;
ihr Quadrat ist I ∶
2
(αk ) = β2 = I ⇒ Eigenwerte ± 1.
schreibe diese Bedingung als
αk β2 ≡ αk = −βαk β
(αk β = −βαk )
(∗∗)
34
und benutze die zyklische Invarianz der Spur (d.h. Sp(AB) = Sp(BA) für quadratische
Matrizen A, B),
Sp(αk ) = −Sp(βαk β) = −Sp(αk β2 ) = −Sp(αk ) = 0,
und analog für β
⇒ Sp(αk ) = Sp(β) = 0.
⇒ Die Anzahl der positiven und negativen Eigenwerte muss gleich sein.
⇒ N ist geradzahlig .
Annahme: N = 2 ⇒ nicht möglich, denn die 4 2 × 2 Matrizen I, σx , σ y , σz enthalten nur
3 antikommutierende Matrizen, wir brauchen jedoch vier.
N = 4 ist demnach die kleinstmögliche Dimension, in der die geforderte algebraische
Struktur realisierbar ist.
Eine spezielle Darstellung der Matrizen ist
αk =
⎛ 0 σk ⎞
,
⎝ σk 0 ⎠
β=
⎛ I 0 ⎞
⎝ 0 −I ⎠
mit den Pauli-Matrizen
σ1 =
⎛ 0 1 ⎞
⎛ 0 −i ⎞
⎛ 1 0 ⎞
, σ2 =
, σ3 =
⎝ 1 0 ⎠
⎝ i 0 ⎠
⎝ 0 −1 ⎠
und der Einheitsmatrix I =
⎛ 1 0 ⎞
.
⎝ 0 1 ⎠
Die algebraischen Beziehungen (∗) lassen sich leicht testen, z.B. ist die zweite Bedingung in (∗):
αk β + βαk =
⎛ 0 −σk ⎞ ⎛ 0 σk ⎞
+
= 0.
⎝ σk 0 ⎠ ⎝ −σk 0 ⎠
Diese Darstellung ist die „Standarddarstellung“ der DE. ψ heist „Vierspinar“ oder
einfach „Spinor“, ψ+ der hermitesch adjungierte Spinor. Sie haben spezifische Transformationseigenschaften unter LT.
DE in kovarianter Form:
Um zeitliche und räumliche Ableitungen in kovarianter Schreibweise zusammenzufassen, multiplizieren wir zunächst die DE mit β/c und erhalten DE in kovarianter
Form.
4
4.4
DIRAC-GLEICHUNG
35
Dirac-Gleichung in kovarianter Form
ih̵
̵
β
hc
∂
ψ − [ αk ∂k + βmc2 ] ψ = 0 ∣ ⋅ (− )
∂t
i
c
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
HD
̵ 0 − ihβα
̵ k ∂k + mc] ψ = 0
[−ihβ∂
(mit ∂0 = ∂/(c∂t))
definiere neue Dirac-Matrizen
γ0 ≡ β, γk ≡ βαk
mit den folgenden Eigenschaften
(1) γ0 hermitesch, γ0 = (γ0 )+ , (γ0 )2 = I
(2) γk antihermitesch, (γk )+ = −γk ; (γk )2 = −I
Beweis:
(γk )+ = (βαk )+ = αk β = −βαk = −γk
(γk )2 = βαk ⋅ βαk = −ββαk αk = −I
Diese Relationen ergeben zusammen mit den folgenden Antikommutationsrelationen
(k = 1, 2, 3)
{γ0 , γk } ≡ γ0 γk + γk γ0 = ββαk + β αk β = 0
°
−βαk
{γk , γl } ≡ γk γl + γl γk = βαk βαl + βαl βαk = 0, k ≠ l; = −2 für k = l
°
´¹¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¶
−αk β
−αl αk
⇒ die grundlegende algebraische Struktur der Dirac-Matrizen:
{γµ , γν } ≡ γµ γν + γν γµ = 2gµν ,
(γµ )2 = gµµ „Clifford-Algebra“
und die Dirac-Gleichung erhält die Gestalt
̵ µ ∂µ + mc)ψ = 0
(−ihγ
mc
(−iγµ ∂µ + ̵ ) ψ = 0 Dirac-Gleichung, DE
h
R.Feynman hat folgende abkürzende Schreibweise eingeführt:
v/ ≡ γ ⋅ v ≡ γµ vµ = γµ vµ = γ0 v0 − γv⃗
(γµ = gµν γν )
36
(vµ = beliebiger Vektor; slash / = skalare Multiplikation mit γµ )
∧
∧
Damit wird die freie Dirac-Gleichung
mc
[−i ∂/ + ̵ ] ψ = 0
h
mit den γ-Matrizen in der oberen angegebenen speziellen Darstellung („Dirac-Darstellung“)
γ0 =
⎛ 0 σk ⎞
⎛ I 0 ⎞
, γk =
⎝ −σk 0 ⎠
⎝ 0 −I ⎠
Eine dazu äquivalente Darstellung ergibt sich durch γ → MγM−1 mit einer beliebigen nichtsingulären Matrix M (d.h. det M ≠ 0). (Andere gebräuchliche Darstellung:
„Majorana“-, „chirale“ Darstellungen, siehe Literatur).
4.5
Lösungen der freien DE
Die Lösungen zu definiertem Impuls p⃗ sind
(+)
ψp 1,2 (x)
=e
(−)
ψp 1,2 (x)
=e
−i(cp0 t−⃗
px⃗)/h̵
⎛ χ(+)
⎞
1,2
⎜ σ⃗p⃗χ(+) ⎟
1,2
⎝ p0 +mc
⎠
⎛ σ⃗p⃗χ1,2 ⎞
⎜ p0 +mc
⎟
(−)
⎝ χ1,2 ⎠
positive Energie
(−)
mit p0 = +
√
p⃗2 + m2 c2 > 0 ∶
i(cp0 t−⃗
px⃗)/h̵
negative Energie
E2 = c2 p20 = p⃗2 c2 + m2 c4 (relatistische Energie-Impuls-
Beziehung), wobei χ1,2 jeweils zwei linear unabhängige zweikomponentige konstante
(±)
Spinoren bezeichnen.
Wie bei der KGE gibt es zwei Sorten von Lösungen, die einen mit positiver Energie
E = +cp0 , für die sich die Interpretation als Teilchenwellenfunktion anbietet, und die
anderen mit negativer Energie E = −cp0 ; dazwischen liegt das „verbotene“ Energieintervall [−m ⋅ c2 ...m ⋅ c2 ].
4
DIRAC-GLEICHUNG
37
(Zur physikalischen Interpretation der
E
negativen Energien und dem Zusammenhang zu Antiteilchen siehe auch
mc2
Einleitung).
⇒ Asymmetrie zwischen Lösungen zu
0
positiver und negativer Energie die
erst in der QFT aufgehoben wird.
mc2
Die DE ist dort eine Gleichung für Felneg. Energie-Kontinuum:
doperatoren; Teilchen und Antiteilchen
Löcher = Antiteilchen
werden symmetrisch.
∧
Die positiven und negativen Lösungen sind aufgrund der Freiheiten bei der Wahl
der Spinoren χ1,2 noch nicht eindeutig spezifiziert, so dass wir neben dem DiracHamiltonoperator HD und dem Impulsoperator p⃗ einen weiteren Operator erwarten,
(±)
der nur auf die inneren Freiheitsgrade der Wellenfunktionen wirkt, und zusammen
mit HD und p⃗ einen vollständigen Satz kommutierender Observabler bildet. Dieser
Operator hängt mit dem Spin zusammen, dessen Quantenzahl dem Wert
später); die DE ist deshalb für die Beschreibung von
Spin- 12 -Fermionen
1
2
hat (siehe
geeignet. Für
ein freies ruhendes Teilchen mit Wellenzahl k = 0, Impuls p⃗ = 0 ist die DE
ih̵
∂
ψ = βmc2 ψ
∂t
mit den Lösungen zu pos./neg. Energien E = ±mc2
4.6
⎛
⎜
2 ⎜
+
− imc
t⎜
̵
h
ψ1 = e
⎜
⎜
⎜
⎝
1 ⎞
⎟
0 ⎟
⎟,
⎟
0 ⎟
⎟
0 ⎠
⎛
⎜
2 ⎜
+
− imc
t⎜
̵
h
ψ2 = e
⎜
⎜
⎜
⎝
0 ⎞
⎟
1 ⎟
⎟
⎟
0 ⎟
⎟
0 ⎠
⎛
⎜
2 ⎜
−
+ imc
t
̵
ψ1 = e h ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 ⎞
⎟
0 ⎟
⎟,
⎟
1 ⎟
⎟
0 ⎠
⎛
⎜
2 ⎜
−
+ imc
t
̵
ψ2 = e h ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 ⎞
⎟
0 ⎟
⎟.
⎟
0 ⎟
⎟
1 ⎠
Kopplung an das elektromagnetische Feld
Wie in der nichtrelativistischen Theorie wird der kanonische Impuls p⃗ durch den kine⃗ = p⃗ − ce A⃗ ersetzt, und das skalare elektrische Potential eφ kommt zur
tischen Impuls π
38
Ruheenergie im Dirac-Hamilton-Operator hinzu („minimale Kopplung“; siehe KGE)
⎤
⎡
⎥
⎢
⎥
⎢
∂
⎥
⎢ ⃗ ⃗ e⃗
2
̵
ih ψ = ⎢cα (p − A) +βmc + eφ⎥ ψ
⎥
⎢
∂t
c
⎥
⎢ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
⎥
⎢
⎦
⎣
⃗
π
mit der Ladung e des Teilchens mit Masse m, beim Elektron also e = −e0 .
Der Hamiltonoperator mit Feld ist nach wie vor hermitesch. Analog zum Klein-Gordon
Fall ist die Gleichung unter der lokalen Eichtransformation
φ → φ′ = φ −
1 ∂χ
c ∂t
⃗
A⃗ → A⃗′ = A⃗ + ∇χ
bzw. Aµ → A µ = Aµ − ∂µ χ invariant, wenn gleichzeitig die Wellenfunktion ψ mit einer
′
entsprechenden Phase multipliziert wird:
ψ → ψ′ = eiΛ(x) ψ
e
Λ(x) = ̵ χ(x)
hc
(χ(x) eine beliebige reelle skalare Funktion der Raumzeit-Koordinaten).
4
DIRAC-GLEICHUNG
39
Nichtrelativistischer Grenzfall
Verwende die explizite Darstellung der Dirac-Matrizen
αk =
⎛ 0 σk ⎞
,
⎝ σk 0 ⎠
β=
⎛ I 0 ⎞
⎝ 0 −I ⎠
und zerlege den 4er Spinor ψ in zwei zweikomponentige Spaltenvektroren,
ψ=
⎛ ϕ ⎞
;
⎝ χ ⎠
⃗⋅π
⃗
α
⃗⋅π
⃗ ⋅χ ⎞
⎛ ϕ ⎞ ⎛ σ
⎛ 0 σk ⎞
⃗ = (σ1 , σ2 , σ3 )
, σ
=
wegen αk =
⎝ χ ⎠ ⎝ σ
⎝ σk 0 ⎠
⃗⋅π
⃗ ⋅ϕ ⎠
⇒ DE ∶
ih̵
⃗⋅π
⃗ ⋅χ ⎞
⎛ σ
⎛ ϕ ⎞
⎛ ϕ ⎞
∂ ⎛ ϕ ⎞
=c⋅
+ eφ
+ mc2
∂t ⎝ χ ⎠
⎝ σ
⎝ χ ⎠
⎝ −χ ⎠
⃗⋅π
⃗ ⋅ϕ ⎠
(∗)
Im nichtrelativistischen Grenzfall ist die Ruheenergie mc2 die größte Energie im Problem; wir zerlegen deshalb in der Lösung zu positiver Energie
⎛ ϕ ⎞ − imc̵ 2 t ⎛ ϕ ⎞
=e h
,
⎝ χ ⎠
⎝ χ ⎠
Hier variieren
ih̵
ϕ=
⎛ ϕ1 ⎞
,
⎝ ϕ2 ⎠
χ=
⎛ χ1 ⎞
.
⎝ χ2 ⎠
⎛ ϕ ⎞
nur langsam und genügen exakt der Gleichung
⎝ χ ⎠
⃗⋅π
⃗ ⋅χ ⎞
⎛ σ
⎛ ϕ ⎞
⎛ 0 ⎞
∂ ⎛ ϕ ⎞
=c⋅
+ eφ
− 2mc2
∂t ⎝ χ ⎠
⎝ σ
⎝ χ ⎠
⎝ χ ⎠
⃗⋅π
⃗ ⋅ϕ ⎠
(∗∗)
(Bew: die Zeitableitung auf der linken Seite der Gleichung (∗) ergibt einen Term
−mc2
∂ ⎛ ϕ ⎞
imc2 ⎛ ϕ ⎞
imc2
ih̵ ⋅ ( ̵ ) e− ̵h t
+ e− ̵h t ih̵
;
h
∂t ⎝ χ ⎠
⎝ χ ⎠
Division durch e−
imc2
t
̵
h
−mc2 ⎛ ϕ ⎞
und Subtraktion von ih̵ ⋅ ( ̵ )
h
⎝ χ ⎠
ergibt die rechte Seite von (∗∗)
beachte: − mc2
⎛ ϕ ⎞
⎛ ϕ ⎞
⎛ 0 ⎞
+ mc2
= −2mc2
).
⎝ χ ⎠
⎝ −χ ⎠
⎝ χ ⎠
In der „unteren“ Gleichung in (∗∗) vernachlässigen wir h̵ χ̇ und eφχ gegenüber 2mc2 χ.
⃗π
⃗
σ
ϕ
Ansatz: χ =
2mc
40
⇒ Im nichtrelativistischen Grenzfall ist χ gegenüber ϕ um einen Faktor der Größenordnung ∼ vc kleiner; ϕ ist die „große“, χ die „kleine“ Komponente des Spinors; sie wird
im nichtrelativistischen Grenzfall vernachlässigt.
Ansatz in „erste“ DGL in (∗) für φ einsetzen; der Massenterm fällt weg:
∂
1
⃗π
⃗ ) (π
⃗σ
⃗ ) + eφ] ϕ,
ϕ=[
(σ
∂t
2m
und es ist
ih̵
e
e
⃗ − A⃗
⃗ = p⃗ − A⃗ = −ih̵ ∇
π
c
c
σi σ j = δi j + iεi jk σk
⎧
⎪
1,
gerade Permutation
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
prüfen durch Nachrechnen: εi jk = ⎨−1, ungerade Permutation von1, 2, 3
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
sonst
⎩0,
εi jk (a j bk − bk a j ) ≡ (a⃗ × ⃗b)i
⃗ ⋅ a⃗ ⋅ σ
⃗ ⋅ ⃗b = a⃗ ⋅ ⃗b + iσ
⃗ (a⃗ × ⃗b)
⇒σ
⃗⋅π
⃗ ⋅σ
⃗⋅π
⃗ =π
⃗ 2 + iσ
⃗ (π
⃗ ×π
⃗) = π
⃗2 −
⇒σ
̵
̵ (− e ) (∇
⃗ = i eh B]
⃗
⃗ × A)
⃗ ×π
⃗ = (−ih)
[π
c
c
denn
eh̵ ⃗
⃗=∇
⃗ × A⃗
⃗ B mit B
σ
c
̵
e
he
⃗ ×π
⃗ )i = −ih̵ (− ) εi jk (∂ j Ak − Ak ∂ j ) = i εi jk (∂ j Ak − Ak ∂ j )
(π
c
c
⃗=∇
⃗ × A⃗
mit Bi = εi jk (∂ j Ak − Ak ∂ j ) = B
∧
⇒ DE mit elektromagnetischem Feld in nichtrelativistischen Gernzfall („große“
Komponente)
∂
1
e⃗ 2
eh̵ ⃗
̵
⃗
⃗ B + eφ] ϕ
ih φ = [
(p − A) −
σ
∂t
2m
c
2mc
Dieses Resultat entspricht der Pauli-Gleichung der nichtrelativistischen QM für den
„Pauli-Spinor“ ϕ, dessen beide Komponenten den Spin des Elektrons beschreiben.
Auch der (bis auf QED-Korrekturen) richtige gyromagnetische Faktor g = 2 kommt
heraus.
Zum Beweis wiederhole die aus der nichtrelativistischen QM bekannten Schritte:
4
DIRAC-GLEICHUNG
41
⃗ mit Vektorpotential A⃗ ∶
Gegeben sei ein homogenes Magnetfeld B
1 ⃗
× r⃗)
A⃗ = (B
2
1 ⃗
1⃗
1 ⃗
⃗ × A⃗ = ∇(
⃗ B × r⃗) = B(
⃗ r⃗) − r⃗∇
⃗B
(⇒)∇
∇
2
2
2
⃗
⃗=∇
⃗ × A;
B
∂x ∂y
⃗ r⃗ =
wegen a⃗ × (⃗b × c⃗) ≡ ⃗b(a⃗c⃗) − c⃗(a⃗⃗b); ∇
+
=2
∂x ∂y
Bahndrehimpuls und Spin:
⃗L = r⃗ × p⃗ Bahndrehimmpuls
1
⃗
s⃗ = h̵ σ
2
1
e2
2e ⃗
eh̵ ⃗
⃗B =
(p⃗2 + 2 A⃗2 − p⃗A)
−
σ
2m
c
c
2mc
⃗
1 ⃗
⃗ r⃗ × p⃗) = −⃗LB,
⃗ σ
⃗ = 2S B]
⃗
⃗B
[Nebenrechnung: − 2p⃗A⃗ = −2 p⃗(B
× r⃗) = −B(
2
h̵
=
p⃗2
e2 ⃗2
e ⃗⃗
⃗
+
A −
(LB + 2S⃗B)
2
2m 2mc
2mc
⇒ Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢ 2
⎥
2
⎢
⎥
⃗
p
∂
2 ⃗
e ⃗2
̵
⃗
⎢
⎥ϕ
⃗
ih ϕ = ⎢
−
(L + 2S) ⋅B +
A
+
eφ
⎥
∂t
2mc2
⎢ 2m 2mc
⎥
⎢
⎥
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
⎢
⎥
≡⃗
µ
⎣
⎦
⃗ = magnetisches Moment aus Bahn- und Spinanteil.
mit µ
∂
⇒ ih̵ φ = [H0 + Hint ] ϕ
∂t
H0 =
p⃗2
2m
2
⃗ + e A⃗2 + eφ
⃗⋅B
Hint = −µ
2mc2
⃗=µ
⃗ Bahn + µ
⃗ Spin =
µ
e ⃗
⃗
(L + 2S)
2mc
42
Das Spin-Moment ist demnach
⃗ Spin =
µ
e
e ⃗
⋅ 2S⃗ ≡ ge ⋅
S
2mc
2mc
mit dem LandÈ-Faktor (gyromagnetischen Faktor)
ge = 2 ∶ bestimmt um wieviel stärker sich der Spin auf die Teilchenenergie auswirkt als
ein gleich großer Bahndrehimpuls (Im Rahmen der Quantenelektrodynamik
ex
werden Korrekturterme abgeleitet: gth
e = 2.0023193048(8), ge = 2.0023193043622(22)).
Mit dem Bohrschen Magneton (Betrag)
µB =
e0 h̵
(∼ 5.788 ⋅ 10−11 MeV ⋅ T−1 );
2me c
µB
e
≡− ̵
2mc
h
lässt sich das magnetische Spin-Moment des Elektrons (m ≡ me ; e ≡ −1 elektr. Elementarladung (Vorzeichen!) ≡ −e0 ) schreiben als
µ
⃗ Spin = −ge ̵B S⃗
µ
h
Für ein Coulombpotential eφ = −
Ze20
r
Rydberg-Energie charakterisiert, R y =
ist das Zeitverhalten der Lösung ϕ durch die
mc2 α2
2
→ 13.6eV für Z = 1 (α2 =
e2
̵ ).
hc
Bei kleinem Z (insbesondere H-Atom mit Z = 1) ist die Ruheenergie des Elektrons sehr
viel größer als diese Energie, 911keV ≫ 13.6eV, so dass die Vernachlässigung von χ in
der Bewegungsgleichung gerechtfertigt ist.
Ankopplung an das elektromagnetische Feld in kovarianter Form: (analog zu KGE)
DE
mc
[−iγµ ∂µ + ̵ ] ψ = 0
h
mc
[−i ∂/ + ̵ ] ψ = 0
h
Impulsoperator in kovarianter Notation
̵ µ,
pµ = ih∂
∂µ =
∂
∂xµ
kovariant
̵ µ,
pµ = ih∂
∂µ =
∂
∂xµ
kontravariant
Zeitliche und räumliche Komponenten:
e
pµ → pµ − Aµ ,
c
⃗
Aµ = (A0 , A),
A0 = cφ
4
DIRAC-GLEICHUNG
43
(d.h. die Ableitungen werden ersetzt durch „Ableitung-Viererpotential“)
ih̵
∂
e
∂
→ ih̵ µ − Aµ
µ
∂x
∂x
c
∂
− eφ
c∂t
h̵ ∂
h̵ ∂
e
h̵ ∂
e
→
+
A
=
−
− Ai
i
i
i
i
i ∂x
i ∂x c
i ∂x c
entspricht ih̵ → ih̵
̵ µ − e Aµ ) + mc] ψ = 0
⇒ [−γµ (ih∂
c
Relativistische kovariante
Form der DE mit em. Feld
Kontinuitätsgleichung mit elektromagnetischem Feld
Aufgrund der Hermitezität des Hamilton-Operators ermöglicht die DE -im Gegensatz
zur KGE- die Definition einer positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte.
Beweis: DE
ih̵
∂ψ(x)
e⃗
⃗ (p⃗ − A)
= [cα
+ eφ + βmc2 ] ψ(x)
∂t
c
ψ+ = (ψ∗1 , ψ∗2 , ψ∗3 , ψ∗4 )
Multiplikation mit ψ+
̵
̵ + ∂ψ = hc ψ+ α∇ψ
⃗ + eφψ+ ψ + mc2 ψ+ βψ
⃗ − eψ+ α
⃗Aψ
⇒ ihψ
∂t
i
Adjunktion des DE (mit α = α+ , β = β+ ) und anschließende Multiplikation von rechts
mit ψ ergibt
−ih̵
̵
∂ψ+
hc
⃗ + eφψ+ ψ + mc2 ψ+ βψ
⃗ + )αψ − eψ+ α
⃗Aψ
ψ = − (∇ψ
∂t
i
Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt eine Kontinuitätsgleichung der Form (die
⃗ φ, m heben sich weg):
Terme mit A,
∂%(x)
⃗ ⃗j(x) = 0
+∇
∂t
mit % = ψ+ ψ,
∂ψ ∂ψ+
∂%
⃗ψ
= ψ+
+
ψ, ⃗j = ψ+ cα
∂t
∂t
∂t
Wendet man hierauf den Gaußschen Satz an, ergibt sich
∂
⃗ ⃗j = ∮ dF⃗ ⃗j = 0 ∶
d3 x% = − ∫ d3 x∇
∫
∂t
die Gesamtwahrscheinlichkeit ist zeitlich konstant, ∫ d3 x%(x) = const.
44
Dies rechtfertigt zusammen mit
ψ+ ψ = ∑ ψ∗µ ψµ = ∑ ∣ψµ ∣2 ≥ 0
µ
µ
die Interpretation von % als positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte, und dementsprechend ⃗j als Wahrscheinlichkeitsstromdichte.
Ferner kann das in der nichtrelativistischen QM eingeführte Skalarprodukt (in der
Ortsdarstellung) übernommen werden:
⟨ψ∣φ⟩ = ∫ d3 xψ+ (x)φ(x)
mit den Konsequenzen
• Orthogonalität der Eigenzustände hermitescher Operatoren mit verschiedenen
Eigenwerten
• Darstellungsunabhängigkeit des Skalarproduktes unter unitären Transformationen:
Im Gegensatz zum nichthermiteschen Klein-Gordon-Fall ist im hermiteschen DiracFall keine Modifikation der in der nichtrelativistischen Theorie gebräuchlichen Begriffe
„Skalarprodukt“, „Hermitezität“ und „Unitärität“ erforderlich.
(In der Klein-Gordon Theorie lässt sich ein „verallgemeinertes Skalarprodukt“ definieren:
⟨ψ∣φ⟩V = ∫ d3 xψ+ (x)σ3 φ(x)).
5
INVARIANZEN DER DIRAC-GLEICHUNG
5
45
Invarianzen der Dirac-Gleichung
5.1
Lorentz-Kovarianz
Die Lorentz-Kovarianz wurde bereits bei der Ableitung der DE gefordert, d.h. sie ist in
der Gestalt der DE berücksichtigt, Wegen der prinzipiellen Bedeutung soll sie dennoch
erneut diskutiert werden.
Inertialsysteme sind Bezugssysteme, in denen sich kräftefreie Teilchen gleichförmig (=
mit konstanter Geschwindigkeit) bewegen. Relativistische Invarianz einer Gleichung
bedeutet, dass diese Gleichung in allen Inertialsystemen die gleiche Form annimmt.
1. Die Lorentz-Transformationen (LT) geben an, wie sich die Koordinaten zweier
Inertialsysteme ineinander transformieren. Hier soll jetzt die Transformation des
Dirac-Spinors unter der Lorentz-Transformation gezeigt werden. Im Unterschied
zur Galilei-Transformation vermischen die Lorentz-Transformationen Raum- und
Zeitkoordinaten.
Die folgenden zwei Beziehungen definierten die Lorentz-Transformationen:
• Aus der Forderung der Invarianz des d’Alembert-Operators
◻ = ∂µ ∂µ = gµν ∂µ ∂ν = ∂µ gµν ∂ν
ergibt sich
Λλ µ gµν Λ% ν = gλ% ,
(∗)
oder in Matrixform
•
ΛgΛT = g
(∗∗)
Beweis:
∂µ ≡
∂
∂x′λ ∂
=
⋅
= Λλ µ ∂′λ
∂xµ ∂xµ ∂x′λ
!
⇒ ∂µ gµν ∂ν = Λλ µ ∂′λ gµν Λ% ν ∂′% = ∂′λ gλ% ∂′%
⇒ Λλ µ gµν Λ% ν = gλ%
= ΛgΛT = g
∧
◻
46
Lorentz-Gruppe
Zunächst soll hier gezeigt werden, dass die Lorentz-Transformationen (∗), (∗∗)
eine Gruppe bilden:
(a) Abgeschlossenheit
Betrachte zwei Lorentz-Transformationen Λi und Λ j , i ≠ j. Die Nacheinanderausführung dieser Transformationen ergibt:
(Λi Λ j )T g(Λi Λ j ) = ΛTj (ΛTi gΛi )Λ j = ΛTj gΛ j = g
◻
dabei beachte man (∗∗)
(b) Einselement
Sei I Einheitsmatrix ⇒ IΛ = ΛI
(c) Inverses Element
g−1 ΛT gΛ = g−1 g = I ⇒ Λ−1 = g−1 ΛT g
Damit bilden die Lorentz-Transformationen eine Gruppe, die als Lorentz-Gruppe
bezeichnet wird.
Aus der Forderung der Invarianz des d’Alembert-Operators lässt sich die Determinante von Λ bestimmen, für die gilt: (det Λ)2 = 1 ⇒ det Λ = ±1. Das bedeutet,
dass die Lorentz-Transformation die Drehung und Spiegelung im MinkowskiRaum darstellt. Außerdem wird auch die Zeitkoordinate gespiegelt, denn es gilt:
Aus dem ME λ = 0, % = 0 der Definiitonsgleichung folgt
Λ0 µ gµν Λ0 ν = 1 = (Λ0 0 )2 − ∑(Λ0 k )2 = 1
k
⇒ Λ0 0 ≥ 1 oder Λ0 0 ≤ −1
Die Vorzeichen der Diskriminante von Λ und das von Λ0 0 werden zur Klassifizierung der Elemente der Lorentz-Gruppe verwendet:
eigentlich orthochron L↑+
uneigentlich orthochron
L↑−
Zeitspiegelungsartig L↓−
Raum-Zeit-Spiegelungsartig
L↓+
sgnΛ0 0
det Λ
1
+1
1
−1
−1
−1
−1
+1
5
INVARIANZEN DER DIRAC-GLEICHUNG
47
Eigentliche LT: Ausschluss von Raumzeit-Translation, Raumreflexion, Zeitspiegelung.
Spezielle eigentliche LT: Ausschluss von 3d-Rotationen (Wie bei der Transformation Laborsystem ↔ Schwerpunktsystem).
Im Folgenden wird die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe betrachtet.
Bei gleichförmiger Bewegung hängen die Koordinaten eines Ereignisses zweier
Inertialsysteme I und I′ durch eine lineare Transformation miteinander zusammen:
I Ð→ I′ ∶ xµ Ð→ x µ = Λµ ν xν eigentliche LT
′
(1)
Dazu ist eine Transformation
ψ(x) → ψ′ (x′ ) = S(Λ)ψ(x)
(2)
gesucht, so dass die folgenden Forminvarianz in den beiden Inertialsystetmen
gilt:
mc
I ∶ (−iγµ ∂µ + ̵ ) ψ(x) = 0
h
mc
I′ ∶ (−iγµ ∂µ ′ + ̵ ) ψ′ (x′ ) = 0
h
(3)
(4)
Dabei soll S(Λ) eine invertierbare 4 × 4-Matrix sein, die noch bestimmt werden
muss. Aus der Invertierbarkeit von S folgt:
ψ(x) = S(Λ)−1 ψ′ (x′ ).
(5)
Die γ−Matrizen sind Lorentz-invariant. Diese Eigenschaft kann durch die folgende Rechnung nachgewiesen werden:
Beweis: γµ sind bis auf eine lineare Transformation durch ihre Algebra eindeutig
bestimmt. Es gilt für eine nichtsinguläre Matrix A: γ̃µ = Aγµ A−1 .
Wir nehmen an, dass γµ unter LT zu γ µ transformiert wird:
′
γ µ = S(Λ)γµ S−1 (Λ).
′
Dann kann man eine neue Basisdarstellung so wählen, dass gilt:
γ̃′ = γµ ⇒ A = S−1 (Λ)
◻
48
Aus der Beziehung (5) ist der Wechsel des Bezugssystems auf beiden Seiten
möglich. Es gilt für den transformierten Gradienten:
∂xν ∂
∂
∂
−1 ν
=
(Λ
)
µ
′µ =
′µ
∂x
∂x ∂xν
∂xν
kovarianter Vierergradient.
(6)
Die letzte Gleichheit in (6) folgt aus der Umformung der Gleichung (1), denn es
gilt ((Λ−1 )ν µ x µ = xν ). Setzt man jetzt diese Glechung (6) in (4) ein, so ergibt sich:
′
(−iγµ
∂xν ∂
mc
+ ̵ ) S(Λ)ψ(x) = 0
′µ
ν
∂x ∂x
h
(7)
Multiplikation von links mit S(Λ)−1 ergibt
(−iS(Λ)−1 γµ
∂
mc
∂xν
+ ̵ ) ψ(x) = 0
′ µ S(Λ)
ν
∂x
∂x
h
(8)
Damit diese Gleichung mit (3) übereinstimmt, muss gelten:
S(Λ)−1 γµ
∂xν
ν
′ µ S(Λ) = γ
∂x
⇔ S(Λ)−1 γµ S(Λ)(Λ−1 )ν µ = γν
⇔ γµ (Λ−1 )ν µ = S(Λ)γν S(Λ)−1
Daher bekommt man die Gleichheit:
S(Λ)γµ S(Λ)−1 = (Λ−1 )µ ν γν
Für die genaue Konstruktion der Matrix S(Λ) siehe Literatur.
2. PoincarÈ-Transformationen(≡ die inhomogenen LT) haben die Gestalt
x µ = Λµ ν xν + aµ
′
x′ = Λx + a ⇔ x′ − a = Λx
⇔ x = Λ−1 (x′ − a)
mit reellem Λµ ν , aµ .
PoincarÈ-Gruppe ≡ (inhomogene Lorentz-Transformation, aµ ≠ 0). Gruppeneigenschaften können analog zu Lorentz-Gruppe nachgewiesen werden.
(Die Lorentz-Gruppe, bzw. die Gruppe der homogenen LT enthält alle Elemente
mit aµ = 0).
Inhomogene LT werden durch (Λ, a) charakterisiert, z.B.
5
INVARIANZEN DER DIRAC-GLEICHUNG
49
• Translationsgruppe (Λ, a) = (I, a)
• Drehgruppe
(Λ, a) = (D, 0)
Bei einer PoincarÈ-Transformation zwischen zwei Inertialsystemen (I) und (I′ )
mit
x′ = Λx + a
(9)
muss entsprechend dem Relativitätsprinzip die Dirac-Wellenfunktion ψ′ aus ψ
rekonstruierbar sein, d.h. zwischen ψ′ und ψ muss ein lokaler Zusammenhang
gelten
ψ′ (x′ ) = F(ψ(x)) = F(ψ(Λ−1 (x′ − a))).
(10)
Die DE in (I) wird durch (1) und (2) in eine DE in I′ transformiert ⇔ LorentzKovarianz der DE gilt(DE ist forminvariant gegenüber PoincarÈ-Transformation).
Der funktionale Zusammenhang muss linear sein (damit ψ und ψ′ der linearen
DE genügen):
ψ′ (x′ ) = S(Λ)ψ(x) = S(Λ)ψ(Λ−1 (x′ − a))
4 × 4 Matrix
S(Λ)
In Komponenten:
4
ψ′ α (x′ ) = ∑ Sαβ (Λ)ψβ (Λ−1 (x′ − a)).
β=1
Die Bestimmung von S(Λ) unter PoincarÈ-Transformation erfolgt analog zur
Lorentz-Transformation.(siehe oben)
Eine Wellenfunktion, die sich bei LT gemäß ψ′ = Sψ transformiert, heißt vierkomponentiger Lorentz-Spinor. (Darstellungen von S(Λ) siehe Literatur).
5.2
Paritätstransformation P
Übergang von einem räumlichen kartesischen Rechts- zu einem Linkssystem:
P∶
t → t′ = t
x⃗ → x⃗′ = −x⃗
(Raumspiegelung: rechts→links, oben→unten).
50
Ist die DE
mc
[−iγµ ∂µ + ̵ ] ψ = 0
h
invariant unter dieser Transformation?
Ansatz für den Dirac-Spinor im gestrichenen System:
ψ′ (x⃗′ , t′ ) = S(P)ψ(x⃗, t)
können wir S(P) so wählen, dass für ψ′ die DE gilt? (jetzt h̵ ≡ c ≡ 1)
[−iγµ ∂µ ′ + m] ψ′ (x⃗′ , t′ ) = 0
=ψ′ (⃗
x′ ,t′ )
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
∂
∂
S−1 (P) [−iγ0 − iγ j ′ j + m] S(P)ψ(x⃗, t) = 0
∂t
∂x
x⃗′ =−⃗
x
⇒
S−1 (P) [−iγ0
∂
∂
+ iγ j j + m] S(P)ψ(x⃗, t) = 0
∂t
∂x
Die letzte Gleichung reduziert sich auf die DE für ψ(x⃗, t), falls
S−1 (P)γ0 S(P) = γ0
S−1 (P)γ j S(P) = −γ j
γ0 =
⎛ I 0 ⎞
⎝ 0 −I ⎠
γj =
⎛ 0 σj ⎞
⎝ σj 0 ⎠
Das lässt sich erreichen durch die Wahl
S(P) ≡ γ0 , denn (γ0 )−1 γ0 γ0 = γ0 , (γ0 )−1 γ j γ0 = −(γ0 )−1 γ0 γ j = −γ j
und der paritätstransformierte Dirac-Spinor ist
ψ′ (x⃗′ , t′ ) = γ0 ψ(x⃗, t) = γ0 ψ(−x⃗′ , t′ )
ψ′ (x⃗, t) erfüllt dieselbe Bewegungsgleichung und auch dieselben Antivertauschungsregeln wie ψ(x⃗, t).
Mit dem Dirac-adjungierten Spinor
ψ(x) ≡ ψ+ (x) ⋅ γ0
(ψ+ ≡ hermitesch konjugierter Spinor)
sind dies - bei Ersetzung der Spinoren durch Feldoperatoren {ψ(x⃗, t), ψ( y⃗, t)} = {ψ(x⃗, t), ψ( y⃗, t)} = 0
{ψ(x⃗, t), ψ( y⃗, t)} = γ0 δ3 (x⃗ − y⃗)
5
INVARIANZEN DER DIRAC-GLEICHUNG
51
und für ψ′ genauso.
Die Spinoren ψ(x⃗, t) und ψ′ (x⃗, t) sind äquivalent, d.h. sie gehen durch eine unitäre
Transformation U(P) im Zustandsraum auseinander hervor:
U(P)ψ(x⃗, t)U−1 (P) = ψ′ (x⃗, t) = γ0 (ψ(x⃗, t))
Für Ein-Teilchen-Zustände ist mit p′ =
⎛ p0 ⎞
:
⎝ −p⃗ ⎠
P
U(P) ∣e− (p⃗, s)⟩ = ∣e− (−p⃗, s)⟩
e−
e−
e+
e+
U(P) ∣e+ (p⃗, s)⟩ = − ∣e+ (−p⃗, s)⟩
Wenn die Bedingung für den unitären Operator U im Raum der Elektron-Positron
Zustände ist
U(P)a+s (p⃗)U−1 (P) = a+s (−p⃗)
mit a+s (p⃗) Erzeugungsoperator für ein Elektron mit Spin s und Impuls p⃗
U(P)b+s (p⃗)U−1 (P) = −b+s (−p⃗)
mit b+s (p⃗) Erzeugungsoperator für ein Elektron mit Spin s und Impuls p⃗
d.h. nach der Dirac-Theorie haben Elektron und Positron negative Parität relativ zueinander. Das lässt sich experimentel verifizieren beim Zerfall von Positronium, dem
wasserstoff-ähnlichen Bindungszustand von e+ und e− , in zwei Photonen - durch Messen der Winkelverteilungen (Der Singlet-Zustand - antiparallele Spins S = 0, Ms = 0
- heißt Para-Positronium p − Ps bezeichnet als 1 S0 , hat eine mittlere Lebensdauer von
τ ≃ 125 ps und zerfällt in zwei Gammaquanten. Der Triplet-Zustand mit parallelen
Spins S = 1, Ms = −1, 0, 1 heißt Orthopositronium mit einer mittleren Lebensdauer von
τ ≃ 142 ns, und zerfällt i.a. in drei Photonen. Annihilation in - meistens zwei - Photonen
mit einer Gesamtenergie von 1022 keV erfolgt aus dem metastabilen 2s-Zustand in
1.1µs, der Zerfall in dem Grundzustand ist schneller).
52
⇒ Zu jedem Zustand freier Elektronen und Positronen gibt es daher einen paritätstransformierten, in dem alle Impulse umgekehrt sind, die Spins ungeändert, und für
jedes Positron ein Faktor (−1) hinzugefügt ist.
Sowohl ψ als auch ψ′ erfüllen die DE. Durch Beobachtungen an einem System freier Elektronen und Positronen können wir daher im Rahmen der Dirac-Theorie ein
räumliches kartesisches Rechts- von einem Linkssystem nicht unterscheiden.
Diese Äquivalenz wird in der Natur erst durch die paritätsverletzende schwache Wechselwirkung aufgehoben. (Entdeckung der Paritätsverletzung: C.S. Wu et al. 1956/7)
5.3
Ladungskonjugations-Transformation C
Findet ein Beobachter, der die Rolle von Elektronen und Positronen vertauscht, andere
Naturgesetz für die freien Teilchen?
(⇒ Nein: Im Rahmen der Dirac-Theorie ist es reine Konvention„ was Elektron/Positron
genannt wird).
Wir suchen zunächst nach einer Invarianz der DE, die ψ und ψ vertauscht (ψ = ψ+ γ0
Dirac-adjungierter Spinor)
C
Elektronen werden gegen Positronen vertauscht,
e−
e+
Spin- und Impulsvariable unverändert gelassen.
ψ ∶ vernichtet Elektron, erzeugt Positron
ψ: vernichtet e+ , erzuegt e−
e−
e+
Aus der DE für ψ
[−iγµ ∂µ + m] ψ(x) = 0
folgt die DE für den Dirac-adjungierten Spinor ψ
[−i (−γµ ) ∂µ + m] ψT (x) = 0;
T
(−γµ )T erfüllt die Antivertauschungsregeln.
5
INVARIANZEN DER DIRAC-GLEICHUNG
53
(Mit den Matrixrelationen (Prüfen durch Einsetzen))
ψ = ψ + γ0 ,
M = γ0 M + γ0
γ0 = γ0+ , γ0 γ0 = 1, γ0 =
γ j = (−γ j )+ ,
γj =
⎛ I 0 ⎞
⎝ 0 −I ⎠
⎛ 0 σj ⎞
⎝ −σ j 0 ⎠
M1 M2 = M2 ⋅ M1
(ψ1 Mψ2 )∗ = ψ2 Mψ1 , I = I; γµ = γµ )
Wie bei der Paritätstransformation erwarten wir bei Ladungskonjugation eine Äquivalenztransformation der Gestalt
S−1 (C)γµ S(C) = (−γµ )T , jetzt jedoch für die transformierten γµ ’s
Das ist der Fall für
S(C) = iγ2 γ0
T
aus der DE für ψ folgt dann
T
S−1 (C) [−iγµ ∂µ + m] S(C)ψ (x) = 0
und der ladungskonjugierte Spinor
T
ψC (x) = S(C)ψ (x)
erfüllt die DE,
[−iγµ ∂µ + m] ψC (x) = 0 ,
und dieselben Antivertauschungsregeln wie ψ(x) (Nachprüfen durch Einsetzen).
Bei der Ladungskonjugations-Transformation werden Elektronen mit Positronen vertauscht, Impuls- und Spinorvariable unverändert gelassen.
Die C-Invarianz ist in der Natur - wie die P-Invarianz - durch die schwache Wechselwirkung gebrochen.
Auch die CP-Invarianz ist gebrochen: J.W. Cronin, V. Fitch, Christenson, Turley 1964
(Nobelpreis: Cronin/Fitch, 1980)
J.H. Christenson, J.W. Cronin, V.L.Fitch, R.Turlay (Princeton University): Physical Review Letters 13,138 (1964): „Evidence for the 2π Decay of the K20 Meson“:
P H Y SI CAL
1$, NUMBER 4
VOLUME
EVIDENCE FOR THE
J. H.
RE V
2rr
Water
target
138
1.
'
decays.
An important calibration of the apparatus and
data reduction system was afforded by observing
the decays of K, mesons produced by coherent
regeneration in 43 gm/cm' of tungsten. Since the
K,' mesons produced by coherent regeneration
have the same momentum and direction as the
K,' beam, the K, decay simulates the direct decay of the K,' into two pions. The regenerator
was successively placed at intervals of 11 in.
along the region of the beam sensed by the detector to approximate the spatial distribution of the
The K, vector momenta peaked about the
K,
forward direction with a standard deviation of
3.4+0.3 milliradians. The mass distribution of
these events was fitted to a Gaussian with an average mass 498. 1+0.4 MeV and standard deviation of 3.6+ 0.2 MeV. The mean momentum of
the K,o decays was found to be 1100 MeV/c. At
this momentum the beam region sensed by the
detector was 300 K, ' decay lengths from the target.
For the K, decays in He gas, the experimental
distribution in m is shown in Fig. 2(a). It is
compared in the figure with the results of a
Monte Carlo calculation which takes into account
the nature of the interaction and the form factors
involved in the decay, coupled with the detection
efficiency of the apparatus. The computed curve
shown in Fig. 2(a) is for a vector interaction,
form-factor ratio
/f+= 0. 5, and relative abundance 0.47, 0.37, and 0. 16 for the Ke3, K&3, and
The scalar interaction has
Eg3 respectively.
been computed as well as the vector interaction
'
'
'
"s.
f
=
Cerenkov
FIG.
The analysis program computed the vector momentum of each charged particle observed in the
decay and the invariant mass, m*, assuming
each charged particle had the mass of the
charged pion. In this detector the Ke3 decay
leads to a distribution in m* ranging from 280
MeV to -536 MeV; the K&3, from 280 to -516; and
the K&3, from 280 to 363 MeV. We emphasize
that m* equal to the E' mass is not a preferred
result when the three-body decays are analyzed
in this way. In addition, the vector sum of the
two momenta and the angle, |9, between it and the
direction of the K, beam were determined. This
angle should be zero for two-body decay and is,
in general, different from zero for three-body
'
VIEW
root
VFEEEPEEEEPz
internal
MESON*1
Km
J. W. Cronin, V. L. Fitch, and R. Turlay~
Princeton University, Princeton, New Jersey
(Received 10 July 1964)
'
57 Ft. to
27 JULY 1964
Christenson,
'
I
LETTERS
DECAY OF THE
This Letter reports the results of experimental
studies designed to search for the 2m decay of the
K, meson. Several previous experiments have
served"~ to set an upper limit of 1/300 for the
fraction of K2 's which decay into two charged pions. The present experiment, using spark chamber techniques, proposed to extend this limit.
In this measurement, K, mesons were produced at the Brookhaven AGS in an internal Be
target bombarded by 30-BeV protons. A neutral
beam was defined at 30 degrees relative to the
1
1
circulating protons by a 1&-in. x 12-in. x 48-in.
collimator at an average distance of 14.5 ft. from
the internal target. This collimator was followed
by a sweeping magnet of 512 kG-in. at -20 ft. .
and a 6-in. x 6-in. x 48-in. collimator at 55 ft. A
1~-in. thickness of Pb was placed in front of the
first collimator to attenuate the gamma rays in
the beam.
The experimental layout is shown in relation to
the beam in Fig. 1. The detector for the decay
products consisted of two spectrometers each
composed of two spark chambers for track delineation separated by a magnetic field of 178 kG-in.
The axis of each spectrometer was in the horizontal plane and each subtended an average solid
angle of 0. 7&& 10 steradians. The squark chambers were triggered on a coincidence between
water Cherenkov and scintillation counters positioned immediately behind the spectrometers.
When coherent K, regeneration in solid materials
was being studied, an anticoincidence counter was
placed immediately behind the regenerator. To
minimize interactions K2' decays were observed
from a volume of He gas at nearly STP.
PLAN
I E%'
Plan view of the detector arrangement.
VOLUME
PHYSICAL REVIEW LETTERS
1), NUMBER 4
484&m"
QATA: 52ll EVENTS
~
---- MONTE-CARLO
VECTOR
27 JULY 1964
' -0.5
—
&
494
-. IO
CALCULATION
- 6oo
- 500
30
- 400
I
- 500
0
I
I
I
CA
l~
I
iJ
1
20
LU
LLI
i
--
- 200
I
I
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494& m~& 504
-
IO
I
I
500 550 400 450 500 550 600
MeV
X
p
(b)
"---"MONTE- CARLO
VE CTOR
-- IO
504&m" & 5 l4
CALCULATION
— 0. 5
f+
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-~ )20
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-
IOP
-
~,
ewe
r-i
y
r-'
~
~
I
I
-
90
80
$0
sp
5p
40
50
0.9996 0.9997 0.9998
iZ
0.9999
0
I.OOOO
cos 8
FIG. 3. Angular distribution
for events with cos0 & 0. 9995.
in three mass ranges
. 20
IO
0.998
0, 999
1
cos g
FIG. 2. (a) Experimental distribution in rn~ compared with Monte Carlo calculation. The calculated
distribution is normalized to the total number of observed events. (b) Angular distribution of those events
in the range 490 &m*&510 MeV. The calculated curve
is normalized to the number of events in the complete
sample.
f
a form-factor ratio /f+ =-6.6. The data
are not sensitive to the choice of form factors
but do discriminate against the scalar interac-
with
tion.
Figure 2(b) shows the distribution in cos8 for
those events which fall in the mass range from
490 to 510 MeV together with the corresponding
result from the Monte Carlo calculation. Those
events within a restricted angular range (cos8
&0.9995) were remeasured on a somewhat more
precise measuring machine and recomputed using
an independent computer program. The results of
these two analyses are the same within the respective resolutions. Figure 3 shows the re-
suits from the more accurate measuring machine.
The angular distribution from three mass ranges
are shown; one above, one below, and one encompassing the mass of the neutral K meson.
The average of the distribution of masses of
those events in Fig. 3 with cos8 &0.99999 is
found to be 499. 1 + 0.8 MeV. A corresponding
calculation has been made for the tungsten data
resulting in a mean mass of 498. 1 + 0.4. The difference is 1.0+0.9 MeV. Alternately we may
take the mass of the E' to be known and compute
the mass of the secondaries for two-body decay.
Again restricting our attention to those events
with cos0&0. 99999 and assuming one of the secondaries to be a pion, the mass of the other particle is determined to be 137.4+ 1.8. Fitted to a
Gaussian shape the forward peak in Fig. 3 has a
standard deviation of 4.0 + 0.7 milliradians to be
compared with 3.4+ 0.3 milliradians for the tungsten. The events from the He gas appear identical with those from the coherent regeneration in
tungsten in both mass and angular spread.
The relative efficiency for detection of the
three-body E, decays compared to that for decay
to two pions is 0.23. %e obtain 45+ 9 events in
139
PHYSICAL REVIEW LETTERS
1$, NUMBER 4
VOLUME
the forward peak after subtraction of background
out of a total corrected sample of 22 700 K, de-
'
cays.
Data taken with a hydrogen target in the beam
also show evidence of a forward peak in the cos0
distribution. After subtraction of background,
45+ 10 events are observed in the forward peak
at the K' mass. We estimate that -10 events can
be expected from coherent regeneration. The
number of events remaining (35) is entirely consistent with the decay data when the relative target volumes and integrated beam intensities are
taken into account. This number is substantially
smaller (by more than a factor of 15) than one
would expect on the basis of the data of Adair
et al. '
We have examined many possibilities which
might lead to a pronounced forward peak in the
angular distribution at the K' mass. These include the following:
(i) K, coherent regeneration. In the He gas it
is computed to be too small by a factor of -10' to
account for the effect observed, assuming reason
able scattering amplitudes. Anomalously large
scattering amplitudes would presumably lead to
exaggerated effects in liquid H, which are not
observed. The walls of the He bag are outside
the sensitive volume of the detector. The spatial
distribution of the forward events is the same as
that for the regular K, decays which eliminates
the possibility of regeneration having occurred
in the collimator.
(ii) K&3 or Ke3 decay. A spectrum can be
constructed to reproduce the observed data. It
requires the preferential emission of the neutrino
within a narrow band of energy, +4 MeV, centered at 17+ 2 MeV (K&3) or 39+ 2 MeV (Ke3).
This must be coupled with an appropriate angular
correlation to produce the forward peak. There
appears to be no reasonable mechanism which
can produce such a spectrum.
(iii) Decay into w+7t y. To produce the highly
'
'
140
27 JuLY 1964
singular behavior shown in Fig. 3 it would be
necessary for the y ray to have an average energy of less than 1 MeV with the available energy
ext nding to 209 MeV. We know of no physical
process which would accomplish this.
We would conclude therefore that K2 decays to
two pions with a branching ratio R = (K2- w++ w )/
(K, all charged modes) = (2.0+ 0.4) 10 where
'-
&&
the error is the standard deviation. As emphasized above, any alternate explanation of the effect requires highly nonphysical behavior of the
three-body decays of the K, The presence of a
two-pion decay mode implies that the K, meson
is not a pure eigenstate of CI'. Expressed as
K,0=2 "'[(K,-KO)+e(KO+KJ] then I&I'= R&T—
IT2
where 7, and T, are the K, and K, mean lives
and RZ is the branching ratio including decay to
two r'. Using RT = &R and the branching ratio
—2.3x 10
quoted above, et =
We are grateful for the full cooperation of the
staff of the Brookhaven National Laboratory. We
wish to thank Alan Clark for one of the computer
analysis programs. R. Turlay wishes to thank
the Elementary Particles Laboratory at Princeton University for its hospitality.
'.
'
'
l
*Work supported
by the U.
S. Office of
Naval
Re-
search.
This work made use of computer facilities supported in part by National Science Foundation grant.
~A. P. Sloan Foundation Fellow.
~On leave from Laboratoire de Physique Corpusculaire
h Haute Energie, Centre d'Etudes Nucldaires, Saclay,
France.
M. Bardon, K. Lande, L. M. Lederman, and
W. Chinowsky, Ann. Phys. (N. Y. ) 5, 156 (1958).
D. Neagu, E. O. Okonov, N. I. Petrov, A. M.
Rosanova, and V. A. Rusakov, Phys. Rev. Letters
6, 552 (1961).
3D. Luers, I. S. Mittra, W. J. Willis, and S. S.
Yamamoto, Phys. Rev. 133, B1276 (1964).
R. Adair, W. Chinowsky, R. Crittenden, L. Leipuner, B. Musgrave, and F. Shively, Phys. Rev. 132,
2285 (1963).
5
INVARIANZEN DER DIRAC-GLEICHUNG
5.4
57
Zeitumkehr-Transformation T
Lässt sich durch Beobachtung freier Dirac-Teilchen die positive von der negativen
Zeitrichtung unterscheiden?
⇒ Nein: freie Dirac-Teilchen zeichnen keine Zeitrichtung aus; lassen wir einen DiracFilm freier Elektronen rückwärts laufen, sehen wir einen physikalisch möglichen Zustand.
Die Zeitumkehr-Transformation eines Elektron-Positron-Zustandes dreht Impulse und
Spins um:
T
T ∶ t → t′ = −t
x⃗ → x⃗′ = x⃗
e−
e−
e+
e+
Der Dirac-Spinor mit umgekehrtem Zeitargument ψ(+x⃗, −t) erfüllt die Differentialgleichung (h̵ ≡ c ≡ 1):
[−i(−γ0 )
∂
∂
− iγ j i + m] ψ(x⃗, −t) = 0
∂t
∂x
mit (t → −t) ⇒ Dirac-Gleichung für γ0 → −γ0 , γi → γ j
Mit der Matrix γ5 = iγ0 γ1 γ2 γ3 , die bei eigentlichen LT invariant ist und mit allen γµ
antivertauscht,
γµ γ5 + γ5 γµ = 0 ∀ µ = 0, 1, 2, 3.
In der Standarddarstellung der γµ hat γ5 die Gestalt γ5 =
⎛ 0 I ⎞
.
⎝ I 0 ⎠
58
Damit findet man eine Transformation, die γ0 in −γ0 überführt und γ j ungeändert lässt,
S′ = γ5 γ0 ∶
S′ −1 γ0 S′ = −γ0 ∶
S′ =
⎛ 0 1 ⎞
⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 −1 ⎞
; S′ −1 =
=
⎝ −1 0 ⎠
⎝ 1 0 ⎠ ⎝ 0 −1 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠
⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 −1 ⎞ ⎛ 0 −1 ⎞ ⎛ 0 −1 ⎞
=
⎝ −1 0 ⎠ ⎝ 0 −1 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠
=
⎛ −1 0 ⎞
= −γ0
⎝ 0 1 ⎠
S′ −1 γ j S′ = γ j
⇒ der Spinor
ψ̃(x⃗, t) = S′ ψ(x⃗, −t) = γ5 γ0 ψ(x⃗, −t)
erfüllt die DE (Prüfen durch Einsetzen). Da die DE auch bei Ladungskonjugation invariant ist, erfüllt auch der Spinor
T
ψ′ (x⃗, t) = S′ ψC (x⃗, −t) = S(T)ψ (x⃗, −t) die DE, mit
S(T) = S′ ⋅ S(C) = γ5 γ0 ⋅ iγ2 γ0 = −iγ5 γ2 = iγ2 γ5 = i
⎛ σ2 0 ⎞
⎝ 0 −σ2 ⎠
ψ′ wird als zeitumgekehrter Spinor bezeichnet; er erfüllt die Antivertauschungsrelationen.
Es gibt keine unitäre Transformation im Fock-Raum, die ψ in ψ′ überführt: dies leistet
jedoch eine antiunitäre Transformation:
Ein Operator V ist antilinear, wenn ∀ Zustände ∣a⟩ , ∣b⟩ und für alle komplexen Zahlen
c1 , c2 ∈ C gilt
V(c1 ∣a⟩ + c2 ∣b⟩) = c∗1 V ∣a⟩ + c∗2 V ∣b⟩ .
Der hermitesch konjugierte Operator V + eines antilinearen Operators V ist definiert als
⟨a∣V + ∣b⟩ = ⟨b∣V∣a⟩ ∶ V + ist ebenfalls antilinear.
Ein Operator ist antiunitär, falls er antilinear ist und
V + V = VV + = I erfüllt.
Dann ist für alle ∣a⟩ , ∣b⟩ und
∣a′ ⟩ = V ∣a⟩
∣b′ ⟩ = V ∣b⟩
5
INVARIANZEN DER DIRAC-GLEICHUNG
59
die Relation erfüllt
⟨a′ ∣b′ ⟩ = ⟨b∣a⟩ = ⟨a∣b⟩
∗
⇒ im Vergleich zu einer unitären Transformation ist also zusätzlich komplex zu konjugieren (bzw. der „bra“ mit dem „ket“ zu vertauschen: Anfangs- und Endzustände
werden vertauscht).
Sei nun V antiunitär, und A ein beliebiger linearer Operator. Der zu A antiunitär transformierte Operator A′ ist definiert als
A′ ≡ (VAV −1 )+
d.h. gegenüber der unitären Transformation wird zusätzlich hermitesch konjugiert; der
Zusammenhang zwischen A und A′ wird linear:
für eine beliebige komplexe Zahl c ∈ C gilt
(c ⋅ A)′ = cA′ , und für die Matrixelemente gilt
⟨a∣A∣b⟩ = ⟨b′ ∣A′ ∣a′ ⟩ mit den gestrichenen Zuständen wie vorher.
Nun gibt es eine antiunitäre Transformation V(T), so dass gilt
T
[V(T)ψ(x⃗, t)V −1 (T)] = ψ+ (x⃗, t) = S(T)ψ (x⃗, −t).
+
Sie dreht Impulse und Spin um, und ist die physikalische Äquivalenztransformation
der Zeitumkehr: Jedem Zustand ∣a⟩ des ersten Beobachters kann der zweite Beobachter,
der die Zeit umgekehrt zählt, den Zustand ∣a′ ⟩ = V(T) ∣a⟩ zuordnen.
Jeder beobachtbaren Größe A kann der zweite Beobachter die Größe A′ zuordnen,
A′ = (VAV −1 )+ ,
die aus ψ′ genau wie A aus ψ aufgebaut ist. Für die Erwartungswerte gilt
⟨a∣A∣a⟩ = ⟨a′ ∣A′ ∣a′ ⟩
d.h. die Messresultate sind in entsprechenden Zuständen identisch ⇒
Für ein freies Dirac-Teilchen gilt daher Zeitumkehr-Invarianz. In der schwachen WW
gibt es jedoch T-verletzende Effekte; im K0 − K0 System ist deren experimenteller Nachweis 1998 gelungen.
Stets ist jedoch das Produkt Θ = CPT in relativistischen Feldtheorien mit beliebiger
Wechselwirkung eine Invarianztransformation.
( G. Lüders, Ann. Phys. 2, 1(1957); W. Pauli: „Niels Bohr and the development of
physics“, McGraw-Hill & Pergamon Press, London (1955).)
60
Exkurs:
Nachweis der T-Invarianzverletzung im K0 − K0 System.
CPLEAR-Kollaboration, Phys. Lett. B444, 43 (1998)
„LEAR“: Low Energy Antiproton Ring:
0⎫
⎪
p + p → K + + π− + K ⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
→ K − + π+ + K 0 ⎪
⎭
0
K0 , K entstehen mit gleicher Wahrscheinlichkeit
0
Die Strangeness des erzeugten neutralen Kaons (K ∶ S = +1; K0 ∶ S = −1) wird anhand
der Ladung des erzeugten Kaons ermittelt.
0
K und K0 wandeln sich durch Oszillationen ineinander um (bereits 1961 entdeckt) und
bilden eine Mischung aus Kaon- und Antikaon-Zuständen (∆S = 2).
0
Die Verwandlung von K in K0 und umgekehrt sind zeitgespiegelte Prozesse; wenn
Zeitumkehrinvarianz gilt, werden gleich viele Antikaonen in Kaonen umgewandelt
wie umgekehrt.
Exp. Ergebnis von CPLEAR: Die Umwandlung eines Antikaons in ein Kaon ist um
0.66% wahrscheinlicher als umgekehrt2 ⇒ T-Invarianz ist verletzt (1.3 ⋅ 106 Ereignisse
ausgewertet).
(Achtung: Ein Teil des beobachteten Effekts ist evtl. nicht auf T-Invarianzverletzung zurückzuführen, sondern auf die ebenfalls stattfindenden irreversiblen CP-verletzenden
Zerfallsprozesse. Der genaue Anteil ist bisher offen).
2
0
Die Strangeness des Endzustandes wird aus semileptonischen Zerfällen bestimmt, K0 → e+ π− ν,
K → e− π+ ν (∆S = ∆Q)
Physics 5, 129 (2012)
Viewpoint
Particle Decays Point to an Arrow of Time
Michael Zeller
Department of Physics, Yale University, New Haven, CT 06520, USA
Published November 19, 2012
An experiment studying B meson decays makes a direct observation of time-reversal violation without
relying on assumed relationships with other fundamental symmetries.
Subject Areas: Particles and Fields
A Viewpoint on:
Observation of Time-Reversal Violation in the B0 Meson System
J. P. Lees et al. (The BABAR Collaboration)
Phys. Rev. Lett. 109, 211801 (2012) – Published November 19, 2012
Time moves irrevocably in one direction. Things get
old, decay, and fall apart, but they rarely ever reassemble and grow young. But at the particle level, time’s
arrow is not so clearly defined. Most collisions and other
particle interactions look the same whether run forwards
or backwards. Physicists have, however, identified a few
reactions that appear to change when time is reversed,
but the reasoning has assumed certain relations between
fundamental symmetries of particle physics. The BaBar
collaboration has now observed time-reversal violation
directly and unambiguously in decays of B mesons. The
measured asymmetry, reported in Physical Review Letters[1], is statistically significant and consistent with indirect observations.
In trying to understand the nature of particle interactions, observing the behavior of those interactions under different symmetry transformations has proven invaluable in formulating and verifying the fundamental
theory. It is well known, and has been experimentally
shown, that the strong and electromagnetic interactions
are unchanged when viewed in a mirror world, in which
−
−
particle positions are reflected ( →
r to −→
r ). In contrast,
experiments in 1956 [2] demonstrated that the weak interaction is not invariant under such parity inversion (P).
A decade later, researchers found evidence in K meson
decays [3] that weak interactions may also violate a combination of parity inversion with charge conjugation (C ),
where particles are interchanged for antiparticles. Physicists continue to study CP violation, in part to explore
whether it can explain the dominance of matter over antimatter in the universe. But a related symmetry, time
inversion (T ), has been more elusive. It involves running
an experiment backwards (t to −t) and converting initial states to final states. Weak interactions may violate
time-reversal symmetry, but observing this directly with
high enough precision proves difficult.
It is, however, possible to infer time-reversal violation
(TRV) through observations of CP violation in K and B
DOI: 10.1103/Physics.5.129
URL: http://link.aps.org/doi/10.1103/Physics.5.129
meson decays using the CPT theorem. The CPT theorem states that all local Lorentz invariant quantum field
theories are invariant under the simultaneous operation
of charge conjugation, parity reversal, and time reversal. Thus an experiment that measures a violation of CP
might infer a corresponding lack of invariance under time
reversal in order to maintain CPT invariance. Attempts
to measure TRV without reference to CP violation have
been controversial. Experiments at CPLEAR (measur0
ing the difference in rates between K 0 transitions to K
0
and K transitions to K 0 [4]) and at Fermilab (observing
an asymmetry seen in the decay KL0 → π + π − e+ e− [5])
claim to detect TRV directly, but some researchers have
doubted this interpretation because of complicating factors in the K meson decays.
Using a method suggested previously [6], Lees et al.
of the BaBar collaboration have now observed an explicit time-reversal violation in the decay of B mesons
[1]. The experiment, performed at the Stanford Linear
Accelerator Center (SLAC) in California, takes advan0
tage of entangled B 0 and B mesons in the Υ(4s) resonance produced in positron-electron (e+ e− ) collisions at
SLAC. This allows measurement of an asymmetry that
can only come about through a T inversion, and not by
a CP transformation.
0
Each of the entangled B 0 and B mesons resulting
from the Υ(4s) can decay into either a CP eigenstate
(e.g., J /ψKL , called B+ for CP even, and J /ψKs ,
called B− for CP odd), or a state that identifies the flavor
0
of the meson (e.g., l− X for B and l+ X for B 0 , where
l± is a lepton and X represents the other particles in the
decay). To study T inversion, the experimenters selected
events where one meson decayed into a flavor state and
the other decayed into a CP eigenstate. The time between these two decays was measured, and the rate of
decay of the second with respect to the first was determined. As an example, let’s consider events in which
c 2012 American Physical Society
Physics 5, 129 (2012)
FIG. 1: Electron-positron collisions at SLAC produce a Υ(4s)
resonance that results in an entangled pair of B mesons.
When one meson decays at time t1 , the identity of the other
is “tagged” but not measured specifically. In the top panel,
0
the tagged meson is a “B ”. This surviving meson decays
later at t2 , encapsulating a time-ordered event, which in this
0
case corresponds to “B ” → B− . To study time reversal, the
BaBar collaboration compared the rates of decay in one set of
events to the rates in the time-reversed pair. In the present
0
case, these would be the “B− ” → B events, shown in the
bottom panel. (APS/Alan Stonebraker)
the first meson decays at time t1 into l+ X for B 0 . Due
0
to entanglement, the surviving meson is tagged as “B ”
without being measured. At a later time t2 , this second meson decays into J /ψKs , implying a B− (see Fig.
0
1). The researchers compared these “B ” → B− events
0
to the time-reversed pair: “B− ” → B , which are those
events identified by both reversing the order of decays
and exchanging initial and final states. In this example, the time-reversed events are the ones with a J /ψKL
decay followed by a l− X decay.
One of the keys to identifying the various B meson
combinations is the energetic, asymmetric e+ e− collider
of the PEP-II at SLAC. In the asymmetric collider, the
beams are tuned to a center-of-mass energy of 10.58 GeV,
corresponding to the Υ(4s) mass. At that setting, 9 GeV
electrons collide with positrons at 3.1 GeV, giving a boost
to the resulting Υ(4s) and thus to its B and B decay
products. This extra momentum makes it possible for
the BaBar detector to determine the species of each final
DOI: 10.1103/Physics.5.129
URL: http://link.aps.org/doi/10.1103/Physics.5.129
state meson. The detector—built inside the flux return of
a superconducting solenoid magnet—surrounds the e+ e−
collision point with cylindrical trackers followed by cylindrical calorimeters [7]. Those detectors both track the
outgoing trajectories and identify the particle species of
the collision products, with reconstruction of that information yielding the identities of the B mesons. The flavor identity of neutral B mesons was made on the basis
of the charges of prompt leptons, kaons, pions from D∗
mesons, and high-momentum charged particles, while the
B− states were reconstructed from several CP -odd states
in addition to the J /ψKs mode. KL0 mesons passed
through the trackers undetected, so J /ψKL0 states were
reconstructed with information from the decay product
appearances in the outer detectors and the information
from the other particles in the B decay.
After detecting and identifying the mesons, the experimenters determined the proper time difference between
the decay of the two B states by determining the energy
of each meson and measuring the separation of the two
meson decay vertices along the e+ e− beam axis. When
time-reversed pairs were compared, the BaBar collaboration found discrepancies in the decay rates. The asymmetry, which could only come from a T transformation
and not a CP violation, was significant, being fourteen
standard deviations away from time invariance. Thus
the long wait for an unequivocal time-reversal violation
in particle physics is finally over.
References
[1] J. P. Lees et al. (The BABAR Collaboration), “Observation of
Time-Reversal Violation in the B0 Meson System,” Phys. Rev.
Lett. 109, 211801 (2012).
[2] C. S. Wu,E. Ambler, R. W. Hayward, D. D. Hoppes, and R.
P. Hudson, “Experimental Test of Parity Conservation in Beta
Decay,” Phys. Rev. 105, 1413 (1957).
[3] J. H. Christenson, J. W. Cronin, V. L. Fitch, and R. Turlay,
“Evidence for the 2pi Decay of the K2 0 Meson,” Phys. Rev.
Lett. 13, 138 (1964).
[4] A. Angelopoulus et al. (CPLEAR Collaboration), “First Direct
Observation of Time-Reversal Non-invariance in the NeutralKaon System,” Phys. Lett. B 444, 43 (1998).
[5] E. Abouziad et al., “Precise Measurements of Direct CP Violation, CPT Symmetry, and Other Parameters in the Neutral
Kaon System,” Phys. Rev. D 83, 092001 (2011).
[6] J. Bernabeu, F. Martinez-Vidal, and P. Villanueva-Perez,
“Time Reversal Violation from the Entangled B0B0 System,”
J. High Energy Phys. 1208, 064 (2012).
[7] B. Aubert et al., “The BABAR Detector,” Nucl. Instrum.
Methods Phys. Res. Sect. A 479, 1 (2002).
c 2012 American Physical Society
6
6
LÖSUNG DER DIRAC-GLEICHUNG MIT ZENTRALPOTENTIAL
63
Lösung der Dirac-Gleichung mit Zentralpotential
Betrachte ein Spin 1/2 Teilchen mit Masse m, Ladung e (z.B. Elektron m = me ,
e = −e0 ) in einem statischen Zentralfeld mit A⃗ = 0, V(r) = eφ(r) potentielle Energie.
2
(Beispiel: H−Atom V(r) = − er )
In der DE für den statischen Fall,
HD ψ(r⃗) = Eψ(r⃗); ψ 4-komp. Spinor
ist dann der Dirac-Operator
⃗p⃗ + βmc2 + V(r)
HD = cα
Lösung der DE durch Trennung der Variablen. Dazu: Suche Operatoren, die mit HD
vertauschen, so dass sie „guten“ Quantenzahlen entsprechen.
In der nichtrelativistischen Theorie kommutiert der Hamilton-Operator
H=
p⃗2
+ V(r)
2m
eines spinlosen Teilchens der Masse m im Zentralfeld V(r) mit jeder kartesischen Komponente des Drehimpulsoperators,
⃗L = r⃗ × p⃗, und mit L2 .
⇒ ∃ simultane Eigenzustände der Operatoren H, L2 , Lz mit Eigenwerten
̵
E, l(l + 1)h̵ 2 , ml h.
In der Dirac-Theorie kommutieren jedoch weder ⃗L noch L2 mit HD ; vielmehr ist
̵ α
⃗ × p⃗)
[HD , ⃗L] = −ihc(
und analog für den Spin-Operator mit
h̵
1
⃗ ; S2 ψ = s(s + 1)h̵ 2 ψ, s =
S⃗ = σ
2
2
Sx , S y , Sz haben je zwei mögliche Eigenwerte ± 2h . Die kartesischen Komponenten von
S⃗ vertauschen jeweils mit dem kartesischen Komponenten von ⃗L, und
̵
̵ α
⃗ = ihc(
⃗ × p⃗)
[HD , S]
⃗ mit den üblichen Drehimpuls-VertauschungsDer Gesamtdrehimpuls-Operator ist ⃗J = ⃗L+S,
regeln, und
64
[J2 , ⃗J] = 0: J2 kommutiert mit jeder kartesischen Komponente von ⃗J.
⇒ ∃ simultane Eigenfunktionen von J2 , und einer Komponente von ⃗J, die wir als Jz
wählen. ⃗J kommutiert auch mit dem Dirac-Hamiltonian,
⃗ =0
[HD , ⃗J] = [HD , ⃗L] + [HD , S]
(d.h. jede kartesische Komponente von ⃗J kommutiert mit dem Dirac-Hamiltonian),
sowie [HD , J2 ] = 0.
⇒ ∃ simultane Eigenzustände von HD , J2 und Jz mit den Eigenwerten
̵
E, j(j + 1)h̵ 2 , m j h.
Auch der Operator
β
h̵ 2
κ = ̵ 2 (J2 − L2 + ) kommutiert mit HD ,
h
4
(siehe B.H. Bransden & C.J. Joachain, Quantum Mechanics, Prentice Hall 2000, pp. 704)
sowie auch der Paritätsoperator P,
P
⎛ ψA ⎞
⎛ ψA ⎞
mit 2-komponentigen Spinoren ψA , ψB .
=±
⎝ ψB ⎠
⎝ ψB ⎠
⇒ ψ ist simultane Eigenfunktion von HD , P, J2 , Jz und κ.
Simultane Eigenfunktionen der Operatoren L2 , S2 , J2 und Jz sind die „Spin-Winkelfunktionen“
jm
Yls j , mit der Parität (−1)l . Es ist
j,m
ψA ∝ yl, 1 j
2
⎧
1
⎪
⎪
⎪l = j − 2
′
ψB ∝ yl′ , 1 , l = l ± 1 ⇒ ⎨
1
⎪
2
⎪
⎪
⎩l = j + 2 ,
und wir können für ψ den Lösungsansatz machen
j,m j
↷ l′ = j + 12
↷ l′ = j − 12
j,m
ψEκm j
⎛ PEκ (r)yl, 1 j ⎞
2
= r−1 ⎜
j,m j ⎟
iQ
(r)y
⎝ Eκ
l, 1 ⎠
2
mit den Radialfunktionen PEκ (r), QEκ (r).
(Der Faktor i sorgt für reelle Radialgleichungen für PEκ , QEκ ). Nach einigen Rechenschritten erhält man gekoppelte DGLn 1.Ordnung für die Radialgleichungen,
[
d κ
E + mc2 − V(r)
− ] PEκ (r) =
QEκ (r),
̵
dr r
hc
[
d κ
E − mc2 − V(r)
+ ] QEκ (r) =
PEκ (r)
̵
dr r
hc
6
LÖSUNG DER DIRAC-GLEICHUNG MIT ZENTRALPOTENTIAL
65
analog zur radialen Schrödinger-Gleichung in der nichtrelativistischen Theorie. Durch
Eliminieren von QEκ (r) folgt eine DGL 2.Ordnung für PEκ (r),
[
mit
A′ κ κ(κ − 1)
d2 A′ d
−
+
(AB
+
−
)] PEκ (r) = 0
dr2 A dr
A r
r2
A(r) =
E + mc2 − V(r)
dA
′
,
A
=
̵
dr
hc
B(r) =
E − mc2 − V(r)
̵
hc
Für das Coulombproblem in wasserstoff-ähnlichen Atomen mit Potential
V(r) = −
Ze2
Zα
=−
r
r
lassen sich die gekoppelten Gleichungen schreiben als
[
d κ
mc
E
Zα
− ] PEκ (r) = [ ̵ (1 + 2 ) +
] QEκ (r)
dr r
h
mc
r
[
Zα
d κ
mc
E
+ ] QEκ (r) = [ ̵ (1 − 2 ) −
] PEκ (r)
dr r
mc
r
h
Übergang zu neuen Variablen
% =r⋅ν
1/2
mc
E2
ν = ̵ (1 − 2 4 )
h
mc
⇒ gekoppelte Gleichungen
[
d κ
mc
E
Zα
− ] PEκ (%) = [ ̵ (1 + 2 ) +
] QEκ (%)
d% %
νh
mc
%
[
d κ
mc
E
Zα
+ ] QEκ (%) = [ ̵ (1 − 2 ) −
] PEκ (%)
d% %
νh
mc
%
Asymptotisches Verhalten für % → ∞:
d
mc
E
PEκ (%) = [ ̵ (1 + 2 )] QEκ (%)
d%
νh
mc
d
mc
E
QEκ (%) = [ ̵ (1 − 2 )] PEκ (%)
d%
νh
mc
66
Da wir nach gebundenen Zuständen suchen, müssen PEκ (%) und QEκ (%) für % → ∞
verschwinden; die asymptotischen Gleichungen sind dann erfüllt für
PEκ (%) = a1 e−%
QEκ (%) = a2 e−%
1/2
1 + E/mc2
a1
= −(
)
mit
a2
1 − E/mc2
Wir suchen deshalb nach Lösungen der gekoppelten Gleichungen in der Form
1/2
PEκ (%) = N (
1 + E/mc2
)
1 − E/mc2
e−% f (%)
1 − E/mc2
QEκ (%) = N (
)
1 − E/mc2
1/2
e−% g(%),
mit einer Normierungskonstante N; für % → ∞ muss gelten f (%), g(%) → 1.
Die Radialfunktionen werden als Reihenentwicklungen angesetzt,
∞
f (%) = %s ∑ ck %k ,
c0 ≠ 0
k=0
∞
g(%) = %s ∑ dk %k ,
d0 ≠ 0.
k=0
Einsetzen in die Radialgleichungen und Koeffizientenvergleich ergibt eine Folge von
Gleichungen; aus der ersten folgt die Relation
s = ±(κ2 − Z2 α2 )1/2 .
Damit die Radialfunktionen am Ursprung % = 0 regulär bleiben, muss das positive
Vorzeichen gewählt werden.
Die folgenden Gleichungen ergeben Rekursionsrelationen für die Koeffizienten c1 , d1 , ..., cn , dn , ...
Um die asymptotische Randbedingung zu erfüllen, dass PEκ (%) und QEκ (%) im Unendlichen verschwinden, müssen die Reihenentwicklungen abbrechen. (Argumentation
wie in der nichtrelativistischen Theorie, und in der Klein-Gordon-Theorie).
Dies ist nur für bestimmte Energiewerte möglich: die Dirac-Energiewerte
2 ⎤−1/2
⎡
⎥
⎢
⎛
⎞
Zα
2⎢
⎥
ED
⎥
n j = mc ⎢1 +
⎢ ⎝ n − j − 21 + [( j + 1/2)2 − Z2 α2 ]1/2 ⎠ ⎥
⎦
⎣
6
LÖSUNG DER DIRAC-GLEICHUNG MIT ZENTRALPOTENTIAL
67
Durch Entwicklung nach (Zα)2 folgt
2
ED
n j = mc [1 −
(Zα)2 (Zα)4
n
3
−
(
− ) + ⋯]
2
4
2n
2n
j + 1/2 4
und nach Subtraktion der Ruheenergie mc2 erhält man die Energieeigenwerte
2
En j = ED
n j − mc =
En j = −En [1 +
(0)
n
3
(Zα)2
(
−
) + ⋯]
n2
j + 1/2 4
mit dem nichtrelativistischen Schrödinger-Energieeigenwert En ,
(0)
En =
(0)
mc2 (Zα)2
,
2n2
der nur von der Hauptquantenzahl n abhängt. In der Dirac-Theorie spalten diese Niveaus in eine Feinstruktur von n unterschiedlichen Niveaus En j auf, (mit j =
1/2, 3/2, ..., n − 1/2) - als Folge der relativistischen Effekte.
In der Dirac-Theorie sind zwei Niveaus mit gleichen (n, j) auch dann entartet, wenn
sie unterschiedlichen Bahndrehimpuls haben (l = j ± 1/2: z.B. 2s1/2 , 2p1/2 ). Die einzigen
nichtentarteten Niveaus sind 1s1/2 , 2p3/2 , 3d5/2 , usw.
68
Termschema von Wasserstoff (nicht maßstabgerecht)
d5/2 nicht entartet
p3/2
n=3
s1/2
d3/2
p1/2
p3/2
2s1/2
n=2
177MHz
1058MHz
s1/2
p1/2
56MHz
„Feinstruktur“
n=1
2p1/2
s1/2
Lambshift
QED-Effekt
Hyperfeinstruktur
(Ursache: Magnetfeld
des Kerns)
Beim gebundenen Elektron ergeben sich relativistische Korrekturen zu gDirac
= 2 für
e
das freie Elektron, die G.Breit erstmals 1928 berechnet hat, sowie QED Korrekturen
(aufgrund der Bindung).
Die Dirac-Theorie wurde in zahlreichen spektroskopischen Untersuchungen an Wasserstoff und Wasserstoff-ähnlichen Ionen (vor allem He+ ) getestet. Man fand 1937/38
experimentelle Anzeichen, dass die 2s1/2 und 2p1/2 Niveaus nicht exakt übereinstimmen; aber durch die Doppler-Verbreitung der Niveaus blieb die Lage unklar. Erst
1947 konnten W.E. Lamb und R.C. Retherford („Fine Structure of the Hydrogene
Atom by a Microwave Method“, Phys. Rev. 72, 241 (1947)) mit Mikrowellen-Techniken
einen Radiofrequenz-Übergang zwischen 2s1/2 und 2p1/2 induzieren, und die „LambVerschiebung“ von 1058 MHz bestimmen: Ausgangspunkt der Entwicklung der Quantenelektrodynamik (QED), eine der erfolgreichsten physikalischen Theorien.
6
LÖSUNG DER DIRAC-GLEICHUNG MIT ZENTRALPOTENTIAL
69
Bestimmung der Lambschift (nichtrelativistische Approximation)
Die kleine Differenz der 2s1/2 und 2p1/2 Energienieveaus von ≃ 1058 MHz im H-Atom
heisst nach Willis Lamb (1913-2008) Lambshift. Nach Dirac sollten beide Niveaus die
gleiche Energie haben, während die Wechselwirkung zwischen Elektron und Vakuum
eine Verschiebung bewirkt. Die Messung (1947) der Verschiebung durch Lamb und
Retherford war der Auslöser für die Entwicklung der Renomierung im QED-Rahmen
durch Schwinger, Feynman und Dyson.
Hans Bethe gab 1974 eine (die erste) heuristische Ableitung der Lambshift, die folgende
Darstellung beruht auf M.O. Scully & M.S. Zubairy, „Quantum Optics“, CUP 1997 (of
H.A.Bethe, Phys. Rev. 72, 339 (1947)).
Die mit dem Vakuum assoziierten Fluktuationen des elektrischen und magnetischen
Feldes „stören“ das Coulombpotential des Kern, in dem sich das Elektron bewegt.
Dadurch fluktuiert auch die räumliche Position des Elektrons, und erklärt so indirekt
die Energieverschiebung.
Die dadurch hervorgehende Differenz der potentiellen Energie ist
1
⃗ 2 V(r⃗) + ...
⃗ + (δr⃗∇)
∆V = V(r⃗ + δr⃗) − V(r⃗) = δr⃗∇V
2
Die Fluktuationen sind isotrop,
⟨δr⃗⟩vac = 0
⃗ 2⟩ =
⟨(δr⃗ ⋅ ∇)
vac
1
⟨(δr⃗)2 ⟩vac
3
und wir erhalten für die mittlere Differenz der potentiellen Energie
⟨∆V⟩ =
1
−e2
⟨(δr⃗)2 ⟩vac ⟨∇2 (
)⟩
6
r
Die klassische Bewegungsgleichung für die Elektronen-Fluktuationen (δr⃗)⃗k , die durch
das Feld mit Wellenvektor ⃗k und Frequenz ω ausgelöst werden, ist
m
d2
(δr⃗)⃗k = −eE⃗k
dt2
dabei muss die Frequenz ω größer als ω0 im Bohr-Orbit sein,
ω>
πc
,
a0
a0 =
h̵ 2
me2
(ω = ck) ∶ k >
π
, k = (Kreis-)wellenzahl:
a0
70
(In der Spektroskopie ist k = λ1 , Ruhewert der Wellenlänge!) Für ein mit ω oszillierendes
Feld
δr(t) ≃ δr(0)e−iωt + c.c.
(δr)⃗k ≃
e
e
⃗
E⃗k =
ε⃗k [a⃗k e−i(ωt−k⃗r) + h.c.]
2
2
2
2
mc k
mc k
Summation über ⃗k ergibt
⟨(δr⃗)2 ⟩vac = ∑ (
⃗k
)
mit ε⃗k = ( hck2π
V
̵
1/2
2
2
e
e
2
⟨0
∣(E
∣
)
) ⋅ ε⃗2k
⃗k ) 0⟩ = ∑ (
2
2
2
2
mc k
mc k
⃗k
Da ⃗k kontinuiertlich ist, wird aus der Summe ein Integral,
⟨(δr⃗)2 ⟩vac = 2
2 ̵
V
e
hck2π 2 e2 h̵ 2
dk
2
⋅
4π
dk
⋅
k
(
)
= ̵ ( ) ∫
∫
3
2
2
(2π)
mc k
V
π hc mc
k
Ohne Grenzen divergiert das Integral. Es muss jedoch gelten (s.o.) k >
π
a0 .
Ferner muss
die Wellenlänge größer als die Compton-Wellenlänge des Elektrons sein,
mc
h̵
, oder k < ̵
mc
h
h
λe
=
)
(oe =
2π 2πmc
λ>o=
Dies definiert obere und untere Grenzen des Integrals,
̵
mch̵ 2
dk
mca0
hc
)
=
ln
(
)
=
ln
(
=
ln
(
)
∫ k
̵
̵
2
hπ
hπme
πe2
mc/h̵
π⋅4a0
so dass
⟨(δr⃗)2 ⟩vac ≃
̵
2 e2
h̵ 2
hc
( ̵ ) ( ) ln ( 2 )
π hc mc
πe
Im Coulombpotential (s.o.),
⃗2 (
⟨∇
1
−e2
⃗ 2 ( ) ψ(r⃗) = 4πe2 ∣ψ(0)∣2
)⟩ = −e2 ∫ d3 rψ∗ (r⃗)∇
r
r
at
(mit ∇2 ( 1r ) = −4πδ(r⃗)).
Für p-Orbitale verschwindet die nichtrelativistische Wellenfunktion am Ursprung, so
dass es hier (im Rahmen dieser Abschätzung) keine Energieverschiebung gibt. Für
s−Orbitale ist der Wert der Wellenfunktion am Ursprung
ψ2s (0) =
1
(8πa30 )1/2
6
LÖSUNG DER DIRAC-GLEICHUNG MIT ZENTRALPOTENTIAL
mit dem Bohrschen Radius a0 =
h̵
me2
71
≃ 0.5 ⋅ 10−10 m = 0.5 ⋅ 105 fm
e2
e2
4πe2
⇒ ⟨∇2 (− )⟩ =
=
r at 8πa30 2a30
und der Unterschied in der potentiellen Energie wird
1 2 e2
h̵
e2
h̵ 2
⟨∆V⟩ = ⋅ ̵ ⋅ ( ) ⋅ ln ( 2 ) ⋅ 3
6 π hc mc
πe
2a0
↑
↑
1
137
1
≃ 0.11 ⋅
⋅ (386fm)2 ⋅ ln (
)⋅
137
π 2 ⋅ 137(0.5 ⋅ 105 fm)3
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
↑
119,6⋅
= 119, 6 ⋅ 3.78 ⋅
3.78
197.32
∧
MeV = 2603, 9 ⋅ 10−9 eV ≃ 260 ⋅ 10−8 eV = 629MHz
15
34.25 ⋅ 10
(Für ln(137) folgt ⟨∆V⟩ = 818.7MHz.)
Dieser Wert ist etwa in der Größenordnung des experimentellen Wertes von 1058 MHz
(Bitte die Vorfaktoren nochmals prüfen).
Im Rahmen der QED ist die Lambshift ein 1-Loop Effekt, der durch Emission und
Re-Absorption virtueller Photonen im Kernfeld zustande kommt.
Das Feld ist in der QED quantisiert, und (ähnlich wie beim harmonischen Oszillator in
der QM) ist das niedrigste Energiezustand nicht bei E = 0 ∶ ∃ Nullpunktoszillationen,
das Elektron macht rasche oszillatorische Bewegungen im Feld; es wird über einen
Bereich r + δr „verschmiert“.
In der QED wird der Ausdruck für die Lambshift bei s−Zuständen (l = 0)- sie werden
„angehoben“, d.h. sind durch die Lambshift schwächer gebunden 5
2
∆El=0
Lamb = α ⋅ me c
k(n, 0)
, l = 0; k(n, 0) ≃ 13
4n3
und bei anderen Zuständen mit l ≠ 0 ∶
5
2
∆l≠0
Lambda = α me c
1
1
1
[k(n, l) ±
] , l ≠ 0, j = l ±
1
1
3
4n
2
π(j + 2 )(l + 2 )
Es ist
⎧
QED
⎪
⎪
⎪∆Lambda = 1057.864 ± 0.014MHz,
∆(2s1/2 − 2p1/2 ) ⎨ exp
⎪
⎪
⎪
⎩∆Lambda = 1057.862 ± 0.020MHz,
mit k(n, l) < 0.05
Mit Hilfe der Lambshift kann die Feinstrukturkonstante α =
werden: Präzisionstest der QED.
e2
̵
hc
auf < 1pp gemessen
72
7
Das Kleinsche Paradoxon
Wir untersuchen die Streuung von Elektronen an einem (unendlich ausgedehnten)
Potentialsprung in der Dirac-Theorie. Das Problem wird zunächst im Rahmen der
Einteilchen-Interpretation der DE untersucht. (Bei hinreichend hoher e− Geschwindigkeit muss relativistisch gerechnet werden).
Eine Elektronen-Materiewelle propagiert mit Energie E längs der z−Achse und trifft
auf eine Potentialstufe der Höhe V0 > E. Die e− -Geschwindigkeit ist vergleichbar mit c,
0.3c ≤ ve ≤ c.
V(z)
e−
>
E
V0
z
7
DAS KLEINSCHE PARADOXON
73
Für das freie Elektron gilt
E 2
( ) = p⃗2 + m2 c2
c
In Gegenwart des Potentials ist
E − V0 2 ˆ 2
) = p⃗ + m2 c2 , mit dem Elektronenimpuls p⃗ˆ im Potential
(
c
⃗p⃗ + βmx +
Die DE ist dann (stationärer Fall) 0 = α
⇒[
eφ
c .
3
E − eφ
∂ψ
− βmc] ψ + ih̵ ∑ αk
=0
c
∂xk
k=1
und die adjungierte Gleichung
ψ[
Mit
3 ∂ψ
E − eφ
− βmc] + ih̵ ∑
αk = 0,
c
k=1 ∂xk
eφ = 0, z < 0
eφ = V0 , z > 0
und einer einlaufenden Elektronenwelle p ↑↑ ez
i
ψi = ui exp { ̵ (pz − Et)} wird für α → α3 die DE
h
{
E
− αp − βmc} ui = 0 mit E > 0 für einlaufende Wellen
c
mit
∂ψ i
= pψ.
∂z h̵
Die Amplitude der einlaufenden Welle ist ui ≠ 0, und mit αk β + βαk = 0 muss gelten
E
= αp + βmc
c
E2
= p2 + m2 c2 + (αβ + βα) pmc
2
c
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
=0
Der Impuls der reflektierten Welle ist −p, der Impuls der transmittierten Welle ist p⃗ˆ ≡ p̂
2
0
) = p̂2 + m2 c2 .
(in z−Richtung) mit ( E−V
c
Für kleines V0
i
ψr = ur exp { ̵ (−pz − Et)}
h
i
ψt = ut exp { ̵ (−p̂z − Et)}
h
74
und aus der DE folgt mit p → −p
{
E
+ αp − βmc} ur = 0, und mit p → p̂
c
{
E − V0
− αp̂ − βmc} ut = 0
c
Die Gesamt-Wellenfunktion muss kontinuiertlich an der Grenzfläche sein, d.h. für z = 0
ui + ur = ut
Daraus folgt mit der Gleichung für die einlaufende Welle ui :
(
E
E
− αp − βmc) ui = 0 ⇒ ( − βmc) ui = αpui
c
c
und mit den Gleichungen für reflektierte und transmittierte Welle
(
E
− βmc) ur = −αp ⋅ ur
c
(
E − V0
− βmc) (ui + ur ) = αp̂(ui + ur )
c
(
E
V0
− βmc) (ui + ur ) = ( + αp̂) (ui + ur )
c
c
sowie aus den ersten beiden Gleichungen durch Addition
(
E
− βmc) (ui + ur ) = αp(ui − ur )
c
so dass nach Gleichsetzen der linken Seiten folgt
(
V0
+ αp̂) (ui + ur ) = αp(ui − ur )
c
oder [
V0
V0
+ α(p + p̂)] ur = − [ − α(p − p̂)] ui
c
c
Multipliziere beide Seiten mit
V0
− α(p + p̂), benutze α2 = 1
c
und die Energie-Impuls-Beziehung (
ur =
E − V0 2
E2
) = p̂2 + m2 c2 ; 2 = p2 + m2 c2
c
c
(2V0 /c)(−E/c + αp)
ui ≡ rui
V02 /c2 − (p + p̂)2
und analog für die adjungierte Amplitude der reflektierten Welle,
u+r = ru+i
7
DAS KLEINSCHE PARADOXON
75
⇒ Wahrscheinlichkeitsdichte für die reflektierte Welle:
2
u+r ur = [
2
2V0 /c
E
+
]
u
+
αp]
ui
[−
i
c
V02 /c2 − (p + p̂)2
Aus den Bewegungsgleichungen für ui und u+i folgt die Identität
cu+i αui =
pc2 +
u ui
E i
so dass wir die Amplitude der reflektierten Welle als Anteil R der Amplitude der
einlaufenden Welle schreiben können: (p2 =
E2
c2
− m2 c2 )
2
u+r ur
2Ep +
E2
2V0 /c
2
+
]
[(
+
p
)
u
u αui ]
u
−
=[ 2 2
i
i
2
c
c i
V0 /c − (p + p̂)2
2
2V0 m
] u+i ui ≡ Ru+i ui
=[ 2 2
V0 /c − (p + p̂)2
so dass R der Anteil der reflektierten Elektronen ist.
Für V0 = 0 ⇒ R = 0; alle Elektronen „laufen durch“,
für V0 = E − mc2 (d.h. p̂ = 0) ⇒ R = 1 ∶ Alle Elektronen werden reflektiert.
Für noch größere V0 > E − mc2 wird p̂ imaginär.
Wir setzen dann
E
ψt = ut exp [−µz − i ̵ t] mit µ ∈ R
h
Es ist µ > 0, da sonst die Dichte rechts der Bariere für z → ∞ unendlich groß würde.
Andererseits ist mit
i
̵
ψt = ut exp { ̵ (p̂z − Et)} ⇒ p̂ = ihµ
h
2V0 E
) ( − αp)
c
c
ur = − 2
ui
V0
̵ 2
− (p + ihµ)
c2
2V0 E
) ( − αp)
(
c
c
u+r = − 2
u+i
V0
̵ 2
− (p − ihµ)
c2
(
⇒ u+r ur = ur = −
2V0 2 E2
(
) ( 2 − p2 )
c
c
2
2
V0
V0
[( + p) + µ2 h̵ 2 ] [( − p) + µ2 h̵ 2 ]
c
c
u+i ui ≡ Ru+i ui
76
Mit den Energie-Impuls-Beziehungen
2
E2
(E − V0 )
] = p̂2 + m2 c2 , 2 = p2 + m2 c2 folgt
[
c
c
p̂2 = p2 −
V0 (2E − V0 )
, und da p̂2 = −µ2 h̵ 2
2
c
2
V0 E
V0
⇒ ( ± p) + µ2 h̵ 2 = 2 ( ± p) ⇒ R = 1
c
c c
⇒ u+r ur = u+i ui
V(z)
⇒ Für E + mc2 > V0 > E − mc2 ist der an
2
der Potentialschwelle reflektierte Strom
E + mc
ebenfalls gleich dem einfallenden. Hinter
V0
E − mc2
z
der Schwelle gibt es eine exponentiell
abfallende Lösung.
̵ - erst größer, erreicht bei
Bei anwachsendem V0 wird p̂ - und damit µ wegen p̂ = ihµ
0)
E = V0 einen Maximalwert [wegen p̂2 = p2 − V0 (2E−V
], und fällt dann wieder ab; für
c2
V0 = E + mc2 wird µ = 0.
Für V0 > E+mc2 wird p̂ wieder reell, jedoch ist die kinetische Energie E−V0 hier negativ,
so dass die Region rechts der Schwelle klassisch verboten ist. Quantenmechanisch kann
ein Anteil der Welle in den Potentialwall eindringen (analog zur nichtrelativistischen
QM, jedoch hier bei relativistischen Energien ⇒ anderes physikalisches Verhalten).
Bei V0 = E + mc2 war der Reflexionskoeffizient R = 1 (≡ Totalreflexion); für weiter
ansteigendes V0 nimmt er ab bis zum Minimalwert
α = Rmin = lim R(V0 ) =
V0 →∞
(E/c − p)
(E/c + p)
und da Reflexion+Transmission (β) = 1 ergeben muss, ist der Transmissionskoeffizient
β:
β=
2p
E/c − p + 2p
(prüfe ∶ α + β =
= 1)
E/c + p
E/c + p
Für große Elektronenimpulse p kann demnach der Bruchteil der Elektonen, der durch
die Grenzfläche dringt, beträchtliche Werte annehmen:
7
DAS KLEINSCHE PARADOXON
77
Bei einem Impuls p = mc, rel. Energie
√
√
√
E = p2 c2 + m2 c4 = 2m2 c4 = 2mc2 ≃ 1.4 × Ruheenergie
= Elektronengeschwindigkeit ve =
∧
P
mc c≡1 1
= √
≡ √ = 0.71 ∶
E
2mc2
2
(71% der Lichtgeschwindigkeit)
Wird der Transmissionskoeffizient
2p
2mc
2
2
β=
=
=
= √
≃ 0.83,
2
E/c + p E/c + mc E/(mc ) + 1
2+1
d.h. 83% der einlaufenden Elektronen durchdringen die Potentialbariere:
Die großen β-Werte bleiben auch dann erhalten, wenn V0 nur einige Ruhemassen-Werte
(nicht V0 → ∞) beträgt. Rechnungen von F.Sauter (Z.Physik 73, 547 (1931)) haben gezeigt, dass die starke Transmission nicht stattfindet (Vermutung von Niels Bohr!), wenn
der Anstieg des Potentials allmählich ist, und (von V = 0 bis V = V0 ) über eine Distanz
von der Größenordnung der Componentenwellenlänge erfolgt, V = vz, d ≤
h
mc .
Den in der Dirac-Theorie unerwartet großen Transmissionskoeffizienten nennt man
das „kleinsche Paradoxon“. (Die erforderliche scharfe Bariere ist experimentell schwer
realisierbar).
Lösung der DE mit dem Potential V = vz (F.Sauter, Z.Physik 73, 547 (1931))
V(z)
V0
2
V = vz
V0 − mc
E
z
oc =
h̵
mc
≃ 3.86 ⋅ 10−13 m
⇒ DE:
{γ1
mit E0 = mc2 , κ =
Ansatz: ψ = e
∂
∂
∂
1 ∂
+ γ2
+ γ3 + γ0 (
+ κvz) + κE0 } ψ = 0
∂x
∂y
∂z
ic ∂t
2π
hc
2πi
(xpx +yp y −Et)
h
χ(z)
d
+ κγ0 (vz − E) + κ(E0 + icγ1 px + icγ2 p y )} χ = 0
dz
⇒ Lösung und Berechnung der Transmissionskoeffizienten siehe F.Sauter, Z.Physik 73,
⇒ {γ3
547 (1931).
78
Für E > vz haben Impuls und Geschwindigkeit das gleiche Vorzeichen,
für E < vz das entgegengesetzte Vorzeichen (die kinetische Energie wird negativ).
2
Dann wird der Transmissionskoeffizient β = e−ik π , und α = 1, für K2 ≫ 1 bis auf Glieder
höherer Ordnung in 1/K2 .
Hier ist
√
κ
K,
K2 = E20 + c2 (p2x + p2y )
v
⇒ Für alle elektrischen Felder, bei denen K2 ≫ 1 ist (das sind alle praktisch herstellbaren
k=
Felder) ist β verschwindend klein.
Der Wert von β hängt in erster Näherung nur von der Feldstärke (der Steilheit des
Anstiegst) ab; erst für k2 ∼ 1 erhält man endliche Werte, entsprechend Feldern von
1016 Volt/cm.
Für k2 ≃ 1 gilt k2 =
2 2
2π (mc )
hc
v
∼1
vh
∼ mc2
mc
h
auf einer Strecke
⇒ man erhält erst endliche Werte für α, wenn der Potentialanstieg v mc
von der Comptonwellenlänge von der Größenordnung der Ruheenergie wird: derart
starke Felder lassen sich bis heute nicht herstellen. (Die Bohrsche Vermutung ist damit
bestätigt).
Der Grenzfall eines unendlich steilen Potentialanstiegs (O.Klein) kommt richtig heraus,
β→
2cp
.
E + cp
Zum aktuellen Stand der Forschung zum Kleinschen Paradoxon siehe Dombey N.;
Calogeracos A. Source: Physics Reports, Volume 315, Number 1, July 1999: „Seventy
years of the Klein paradox“.
8
DIRAC-NEUTRINOS: DIE WEYL-GLEICHUNG
8
79
Dirac-Neutrinos: Die Weyl-Gleichung
8.1
Introduction to Neutrinos
Die Existenz des Neutrinos postulierte W. Pauli 1930, um beim β-Zerfall durch schwache Wechselwirkung Energie- und Impulserhaltung zu gewährleisten. Dabei wird ein
Neutron in ein Proton konvertiert; ein Elektron und ein Anti-Elektron Neutrino wird
ausgesandt:
u → p + e− + νe ; mit νe neutral, unbeobachtet, fast
̵ schwach wechselmasselos. Fermion mit Spin 1/2h,
u du
νe
wirkend.
e−
t
Auf dem Quark-Niveau wird ein d-Quark durch
w− -Emission in ein u-Quark konvertiert:
w−
d → u + e− + νe
udd
Beim β+ -Zerfall wird unter Energiezufuhr ein Proton in ein Neutron konvertiert, und
ein Positron (e+ ) und Elektron-Neutrino emittiert:
Energie + p → u + e+ + νe
Anders als der β− -Zerfall kann der β+ -Zerfall nicht „isoliert“ stattfinden, weil die Neutronenasse größer als die Protonenmasse ist ⇒ die Bindungsenergie des Mutterkerns
muss größer als die der Tochter sein.
Da die Zerfallsenergie einen festen Wert hat, das gemessene Neutrino-Energiespektrum
jedoch kontinuierlich ist:
Intensität
210 Bi
0.2
0.4
0.6
Ð→
0.8
210 Po + e−
1
+ νe
1.2
E[MeV]
Das aus Energie- und Impulserhaltungsgründen erforderliche Antineutrino wurde 1956
80
von C. Cowan, F. Reines, et al., (NP Physik 1995) nachgewiesen: zunächst „Projekt
Poltergeist“ in Hanford, ab 1956 in Savannah River mit νe aus einem Reaktor und
0.5m3 H2 O
innerer β − Zerfall ∶ νe + p → u + e+ ∶
Nachweis beider Teilchen im Ausgangskanal = Neutrinonachweis
∧
1962 L.Lederman, M.Schwartz, J.Steinberger: Nachweis der νµ Myon-Neutrinos (NP
1988)
2000 DONUT coll./Fermilat: ντ Tau-Neutrino.
⇒ ∃ 3 Neutrino-Flavours:
In der Sonne werden νe Elektroneutrinos erzeugt, v.a. im Prozess
1
H + 1 H Ð→ 2 H + e+ + νe
Auf dem Weg zur Erde wandeln sie sich in die anderen Neutrinoflavours um ⇒ die
Ruhemasse muss - wenn auch nur sehr wenig - von Null verschieden sein.
Für die Differenz der Massenquadrate von Elektron- und Myon-Neutrinos folgt
∆m2solar ≃ 8 ⋅ 10−5 eV/c2 ,
aus den Oszillationen atmosphärischer Myon-Neutrinos in Tau-Neutrinos
∆m2solar ≃ 2 ⋅ 4 ⋅ 10−3 eV/c2 ,
Absolute Werte für die νe -Masse lassen sich bisher nur aus 3 H (Tritium) β−Zerfallsexperimenten herleiten (obere Grenzen),
mνe < 2eV/c2
In jedem Fall ist die Neutrinomasse im Vergleich zur Elektronenmasse me ≃ 5.11 ⋅
mν
105 eV/c2 vernachlässigbar klein, e ≃ 7.8 ⋅ 10−6 .
me
Es ist daher sinnvoll, eine Theorie für Fermionen mit m ≃ c zu untersuchen, wie sie
als erster 1929 H.Weyl aufgestellt hat (H.Weyl, Z.Physik 56, 330 (1929)), um masselose
Spin 1/2 Teilchen zu beschreiben. Anders als die DE hat sie nur 2 Komponenten, und
verletzt die Paritätsinvarianz. Sie wurde daher zunächst verworfen, aber nach der Entdeckung der P. Verletzung beim β-Zerfall von 20 Co durch C.S.Wu et al. Phys. Rev. 105,
1413 (1957) durch Landau, Salam, sowie T.D. Lee und C.N. Yang [Phys.Rev. 105, 1671
8
DIRAC-NEUTRINOS: DIE WEYL-GLEICHUNG
81
(1957)] wieder aufgegriffen.
Genaue Untersuchungen des inversen β-Zerfalls haben gezeigt, dass der Spin des Neutrinos stets antiparallel zu seiner Bewegungsrichtung ausgerichtet ist, der des Antineutrinos parallel zur Bewegungsrichtung
S
p⃗
ν: Linksschraube
ν: Rechtsschraube
p⃗
S
(sonst wären die Wirkungsquerschnitte nur halb so groß wie die experimentellen Werte).
8.2
Die Weyl-Gleichung
Betrachte zunächst die DE für ein masseloses Teilchen:
ih̵
∂ψ
⃗p⃗ψ(x) ∶ der Term + βmc2 fällt weg
= cα
∂t
Die 3 2 × 2 Pauli-Matrizen σk erfüllen die Antikommutationsrelationen
{αi , α j } = 2δi j ;
nur die Forderung, auch β als vierte antikommutierende Matrix einzuführen und so
Teilchen mit Masse (speziell: das Elektron) zu beschreiben, hatte bei Spin- 12 -Teilchen
die Einführung von 4 × 4−Matrizen erfordert, und von 4er Spinoren (zwei ZweierSpinoren).
Bei masselosen Teilchen lässt sich demnach (für Spin 12 ) eine Wellengleichung für einen
2er Spinor φ+ (x) konstruieren:
∂φ
⃗ p⃗φ+ (x);
ih̵
= cσ
∂t
und nach Division durch ih̵ folgt
+
∂φ+
⃗ + (x)
⃗ ∇φ
= −cσ
∂t
σk = 2 × 2 Pauli-Matrizen
∧
Weyl-Gleichung (für φ+ )
Lösungen als ebene Wellen sind
φ+ (x) = √
1
2E(2π)3
e−ipx/h u+ (p)
̵
82
wobei
E
p = {p0 , p⃗} = { , p⃗}
c
x = {x0 , x⃗}
p ⋅ x = p0 x0 − p⃗x⃗
Die Neutrino-Wellenfunktionen sind dabei so normiert, dass die Norm invariant unter
Lorentz-Transformation ist.
Der 2-komponentige Spinor u+ (p) erfüllt die Gleichung
⃗ p⃗u+
p0 u+ = σ
d.h. die Lösung zu p0 c = E entspricht (je nach Vorzeichen der Energie E) einer bestimm⃗ relativ zwischen Bewegungsrichtung p⃗.
ten Orientierung des Spins σ
Wenden wir den sogenannten Heilizitätsoperator
⃗ p⃗
σ
∣p⃗∣
auf beide Seiten der Gleichung an, so erhalten wir mit der Relation
⃗ σ
⃗ = A⃗B
⃗ + iσ
⃗
⃗ A)(
⃗ B)
⃗ (A⃗ × B)
(σ
⃗ p⃗)2 ⇒ (p20 − p⃗2 )u+ = 0
⇒ (σ
⇒ ∃ nichtverschwindende Lösung für u nur für p0 = ±∣p⃗∣ = Ec .
Das ist die relativistische Energie des masselosen Teilchens; die Teilchen bewegen sich
⃗ p⃗u+ :
dabei mit c. Mit der z−Achse in Impulsrichtung p⃗ wird die Lösung von p0 u+ = σ
u+ =
⎛ 1 ⎞
⎝ 0 ⎠
d.h. rechtshändige masselose Teilchen mit Spin in Bewegungsrichtung, also
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
⃗ ⋅ p⃗ +
σ
u = σz
=+
∣p⃗∣
⎝ 0 ⎠
⎝ 0 ⎠
⇒ Der Helizitätsoperator hat einen positiven Eigenwert +1, der Spin ist deshalb parallel
zu p⃗: das entspricht einer Rechtsschraube, wenn wir in Bewegungsrichtung p⃗/∣p⃗∣ blicken:
σ
p⃗
8
DIRAC-NEUTRINOS: DIE WEYL-GLEICHUNG
83
Das Neutrino ist jedoch eine Linksdrehschraube.
⇒ Für Zustände mit positiver Energie p0 = +∣p⃗∣ hat die Weyl-Gleichung nur Wellen
positiver Helizität als Lösung, für Zustände mit negativer Energie p0 = −∣p⃗∣ nur Wellen
mit negativer Helizität.
Dies ist auch in der „Löchertheorie“ gültig: dort entspricht eine Wellenfunktion mit
negativer Energie, negativem Impuls und negativer Spinrichtung einem Antiteilchen
mit positiver Energie, positivem Impuls, und positiver Spinrichtung: Eine solche Zuordnung widerspricht den Experimenten zur schwachen Wechselwirkung:
Um also masselos linkshändige Teilchen beschreiben zu können, müssen wir von der
Gleichung ausgehen
ih̵
∂φ−
⃗ p⃗φ− (x)
= −cσ
∂t
Weyl-Gleichung (für φ− )
⃗ → −σ
⃗ liefert ebenfalls die Antikommutationsrelation {αi , α j } = 2δi j , so
Die Ersetzung σ
dass die Gleichung eine mögliche DE für masselose Spin 21 −Teilchen ist.
Der Ansatz
φ− (x) = √
1
e−ipx/h u− (p)
̵
2E(2π)3
liefert
⃗ p⃗u− ,
p0 u− = −σ
Wieder kann p0 =
E
c
u− =
⎛ 0 ⎞
.
⎝ 1 ⎠
positiv oder negativ sein; Die Lösung φ− beschreibt linkshändi-
ge masselose Teilchen mit negativer Helizität, also Neutrinos im vereinfachten Modell mit mν ≡ 0. Der Spin ist jetzt antiparallel zum Impuls (Linksschraube); für den
Antineutrino-Zustand mit p0 < 0 ist es umgekehrt (Rechtsschraube).
β−Zerfallsexperimente zeigen, dass das Neutrino-Spin stets antiparallel zu seiner Bewegungsrichtung steht: Die Helizität (oder longitudinale Polarisation) eines Neutrinos
mit positiver Energie ist negativ, bei negativer Energie dagegen positiv.
Da es bei den Lösungen φ+ der DE umgekehrt war, läßt sich φ+ mit dem Antineutrino
von φ− identifizieren.
Beachte jedoch, dass die Links-/Rechtshändigkeit von Neutrino/Antineutrino nur für
mν = mν ≡ 0 gilt! Die Neutrino-Stromdichte erhalten wir aus
1 ∂φ−
⃗ −=0
⃗ ∇φ
−σ
c ∂t
84
⃗ und I zu einem Vierervektor σµ = {I, σ
⃗ } lässt sich die WeylBei Kombination von σ
Gleichung kompakter schreiben:
σµ ∇µ φ− = 0
und die hermitesch konjugierte Gleichung wird
∇µ (φ− )+ σµ = 0.
Multiplikation der ersten Gleichung von links mit (φ− )+ , der zweiten von rechts mit φ−
und Addition ergibt
∇µ (φ− )+ σµ φ− = 0
= Kontinuitätsgleichung für den 4er Strom
∧
jµ = (φ− )+ σµ φ− ,
mit den zeitartigen und raumartigen Komponenten
% = (φ− )+ φ−
⃗j = −(φ− )+ σφ− .
Die Normierungskonstante der Neutrinowellenfunktion folgt aus
3
∫ %d x = 1.
Die 2−komponentige Weyl-Theorie ist nicht invariant gegenüber Paritätstransformation.
p⃗ → −p⃗ ⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
x⃗ → −x⃗ ⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⃗ → −σ
⃗⎪
σ
⎭
Ein Zustand mit Energie p0 = ∣p⃗∣,
Impuls p⃗
⃗ p⃗/∣p⃗∣ = 1
Helizität σ
wird dadurch transformiert in einen Zustand mit p0 = ∣p⃗∣, Impuls −p⃗, Helizität −1. Ein
derartiger Zustand existiert jedoch nicht in dieser 2-komponentiger Theorie masseloser
Spin- 21 −Teilchen ⇒ P−Invarianz muss verletzt sein.
9
9
9.1
GRUNDZÜGE DER QUANTENELEKTRODYNAMIK
85
Grundzüge der Quantenelektrodynamik
Einführung
Dirac-Gleichung und Maxwell-Gleichungen liefern gemeinsam eine Theorie des Elektromagnetismus. Dabei müssen jedoch die Quantenpostulate berücksichtigt - d.h. das
Feld quantisiert - werden; die daraus resultierende Quantenfeldtheorie des Elektromagnetismus heißt Quantenelektrodynamik, QED. Sie beschreibt alle Phänomene,
die von geladenen Punktteilchen wie Elektronen und Positronen, und von Photonen
verursacht werden. Sie umfasst Quantenphänomene in der Struktur der Atome und
Moleküle, und auch Vorgänge in der Hochenergiephysik wie die Erzeugung von Teilchen durch ein elektromagnetisches Feld. Die Berechnung des anomalen magnetischen
Moments des Elektrons auf 10 Dezimalstellen genau ist der beste Erfolg der QED. Sie
ist die am genauesten experimentell überprüfte physikalische Theorie.
Die Grundgleichungen des elektromagnetischen Feldes - die dann quantisiert werden
müssen - sind die Maxwell-Gleichungen: (im Gauß-System), die Amperesches, Faradaysches und Gaußsches Gesetz zusammenfassen und erweitern:
⃗
⃗ = 4π ⃗j + 1 ∂E
⃗ ×B
∇
c
c ∂t
⃗
1 ∂B
⃗ × E⃗ = −
∇
c ∂t
⃗ = 0 ∶ (∄ magn. Monopole)
⃗B
∇
⃗ E⃗ = 4π%
∇
Die Coulomb-Energie zwischen zwei Elektronen ist (Abstand r)
Ec =
e2
,
r
die Stärke der elektromagnetischen Wechselwirkung ist durch den dimensionslosen
Faktor
e2
1
α= ̵ =
hc
137.035999679(94)
charakterisiert, die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante. (Bei einer hochenergetischen Teilchenkollision im Beschleuniger steigt mit wachsendem Impulsübertrag Q2
die effektive Kopplungsstärke an, bei Q2 ≃ m2w ≅ 6.4TeV2 beträgt sie etwa 1/128).
86
Informationen über eine mögliche Zeitabhängigkeit von α sind bis heute unklar. Aus
Absorptionslinien des Lichts entfernter Quasare im Rotverschiebungsbereich z = 3.5, ..., 0.5
(23% − 87% des Alters des Universums) wurde eine Abweichung
∆α
α
≃ −0.5 ⋅ 10−5 dedu-
ziert (s1/2 → p1/2,3/2 Übergänge) (Webb et al. 2001; Murphy et al 2003: 0.2 < z < 4.2), d.h.
α hätte im frühen Iniversum einen Wert von ∼ 1/137.037 statt 1/137.036 gehabt.
Messungen mit Atomuhren, insbesondere Frequenzverhältnisse von Quecksilber- und
Aluminiumuhren (Boulder, NIST; J.Bergquist et al., Science 319, 1808(2008)) ergaben
im Widerspruch dazu
∆α
α
< 1.6 ⋅ 10−17 für die jährliche Variation. ⇒ α ist mit hoher
Wahrscheinlichkeit zeitlich konstant.
Die Kleinheit der Kopplungskonstanten, α ≃ 0.0073 ist entscheidend für den Erfolg der
QED, bei der Reihenentwicklungen in α gemacht werden.
Beispielsweise liefert die Theorie für die Anomalie ae des magnetischen Moments des
Elektrons,
e
1
, ge = 2ae + 2r, exp. Wert:
µe = ge
2 2mc
1
exp.
ae = (ge − 2)exp = 0.00115965218085(76)
2
(1)
eine Reihenentwicklung in α mit Entwicklungskoeffizienten Ck ,
ae =
1α
α 2
α 3
α 4
+C2 ( ) + C3 ( ) + C4 ( ) + ...
2π
π
π
π
°
≃0.00116
J.Schwinger hat 1984 als Erster den Term erster Ordnung α/2π berechnet [(1)]3 . Inzwischen sind die Entwicklungskoeffizienten bis C4 bekannt. Zusammen mit dem expeexp
rimentellen Wert4 von ge
exp
(bzw. ae ) folgt daraus der bisher genaueste Wert für die
Feinstrukturkonstante α
α−1 = 137.035999710(96)5
(kombiniert man die Messungen, ergibt sich (2012) α−1 = 137.035999074(44), siehe Particle Data Group)
3
J.Schwinger, Phys. Rev. Lett. 73, 416L (1948)
B. Odom et al., Phys. Rev. Lett., 97, 030801 (2006)
5
G. Gabrielse et al., Phys. Rev. Lett. 97, 030802 (2006)
4
9
GRUNDZÜGE DER QUANTENELEKTRODYNAMIK
87
Physikalisches Bild der QED:
Klassische ED:
beschleunigte Ladungen emittieren elektromagnetische Strahlung - ein Elektron in
Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung kann dagegen kein Photon emittieren (EnergieImpuls-Erhaltung)
e−
>e
γ
In der Quantentheorie gilt jedoch die Energie-Zeit-Unschärferelation,
̵
∆E∆t ≥ h,
so dass auch ein ruhendes Elektron ein Photon aussenden kann: Die Verletzung der
Energieerhaltung ist erlaubt, wenn das Photon nach einer Zeit ∆ ≃ 1/(∆E) wieder absorbiert wird,
e−
e−
γ
t
Derartige temporär existierende Photonen
nennt man „virtuelle Photonen“
e−
In der QED ist jedes geladene Teilchen von einer „Wolke“ derartiger virtueller Photonen umgeben. Die Amplitude für die γ−Emission ist αe, die Wahrscheinlichkeit ∝ α.
Der Dirac-Wert für das magnetische Moment des Elektrons ge = 2 entspricht einem
„nackten“ Elektron.
Wird ein virtuelles Photon emittiert, entsteht ein Rückstoß, und da das Elektron geladen ist, eine Stromverteilung; dieser Konvektionsstrom liefert einen Zusatz zum DiracWert. Da die Wahrscheinlichkeit, ein virtuelles Photon zu finden, proportional zu α,
sind sowohl der Strom, als auch der Beitrag zu ae in 1.Ordnung proportional zu α, wie
in Schwingers Resultat.
88
Der Rückstoß kann auch so erfolgen, dass das Elektron „in der Zeit zurückläuft:“
γ (2)
e−
e−
t
e−
bei (1) entsteht ein e− e+ -Paar mit Aussendung eines virtuellen Photon; das e− läuft
ins Unendliche, das e+ wird mit dem ein-
(1)
laufenden e− unter Re-Absorption des
virtuellen Photons bei (2) vernichtet
(Die Interpretation von in der Zeit zurücklaufenden Elektronenlinien als Positronen
hat Stückelberg 1941 vorgeschlagen, Helv. Phys. Acta 14, 322 (1941).
Auch andere Effekte wie die Lamb-Shift und der Casimir-Effekt lassen sich durch
den Einfluss der virtuellen Photonen verstehen. Die quantitative Berechnung erwies
sich als schwierig: Es ergeben sich unendliche Resultate, wenn man nach der Störungstheorie in der nihctrelativistischen QM vorgeht. Die von Feynman, Schwinger, und
Tomonaga entwickelte Renormierungstheorie löst dieses Problem (NP 1965, „for their
fundamental work in quantum electrodynamics, with deep-ploughing consequences
for the physics of elementary particles“).
Die Quantenchromodynamik und die Theorie der elektronschwachen Wechselwirkung sind ebenfalls nach dem Muster der QEU konstruiert.
9.2
Quantisierung des freien em. Feldes
In der relativistischen Formulierung werden elektrische und magnetische Feldstärke
zum Feldstärketensor zusammengefasst, Ladungs- und Stromdichte zur Viererstromdichte:
⎛
⎜
⎜
µν
F =⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
E1
E2
E3
mit µ =Zeile, ν =Spalte, jµ =
−E1 −E2 −E3 ⎞
⎟
0 −B3 B2 ⎟
⎟
⎟
B3
0 −B1 ⎟
⎟
−B2 B1
0 ⎠
Feldstärketensor;
⎛ % ⎞
Viererstromdichte.
⎝ j ⎠
Skalares Potential φ und Vektorpotential A⃗ fassen wir zum 4er Potential zusammen,
(Aµ ) =
⎛ φ ⎞
.
⎝ A⃗ ⎠
9
GRUNDZÜGE DER QUANTENELEKTRODYNAMIK
Die Kontinuitätsgleichung
∂%
∂t
⃗ ⃗j = 0 wird
+∇
∂ jµ
=0
∂xµ
(∂µ ) = (
1∂
⃗
, ∇)
c ∂t
⃗
Aus dem 4-Potential folgen die Felder E⃗ und B,
⃗=∇
⃗ × A⃗
B
1 ∂A⃗
⃗ −
E⃗ = −∇Φ
c ∂t
Insbesondere ist
B1 =
∂A3 ∂A2
− 3 = ∂2 A 3 − ∂2 A 3
2
∂x
∂x
E1 = −
∂A0 ∂A1
−
= −∂1 A0 − ∂0 A1
∂x1 ∂x0
und der antisymmetrische Feldtensor wird
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
mit Fµν = −Fνµ , und den auf der vorigen Seite gezeigten Komponenten.
Dabei gibt es in Aµ noch die Eichfreiheit
Aµ (x) → Aµ (x) + ∂µ ψ(x).
Maxwell-Gleichungen
⃗ E⃗ = 4π%
Mit ∇
ist
⇒ ∂1 F10 + ∂2 F20 + ∂3 F30 =
4π 0
j
c
Die 1-Komponente von
⃗
⃗ − 1 ∂E = 4π j
⃗ ×B
∇
c ∂t
c
wird
∂B3 ∂B2 ∂E1 4π 1
−
−
=
j
∂x2 ∂x3 ∂x0
c
und analog für die anderen Komponenten, zusammengefasst:
89
90
∂µ Fµν =
4π ν
j ,
c
oder
∂µ Fµν =
4π
jν
c
Mit der Potentialdarstellung des Feldstärketensors
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ folgt
∂µ (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) =
4π ν
j
c
In der Lorentz-Eichung ist
1
⃗ A⃗ + φ̇ = 0 ⇔
∇
c
µ
∂µ A = 0,
d.h. die Divergenz des 4er Potentials verschwindet in der Lorentz-Eichung, und die Fµν
sind jetzt eindeutig festgelegt.
⇒
4π ν
j
c
4π
◻Aν = − jν
c
∂µ ∂µ Aν =
mit ◻ = −∂µ ∂µ = − c12 ∂2t + ∆ d’Alembert-Operator für die inhomogenen MaxwellGleichungen.
Analog für die homogenen Maxwell-Gleichungen
⃗ = 0 ⇒ ∂1 B1 + ∂2 B2 + ∂3 B3 = 0
⃗B
∇
⇒ −∂1 F32 − ∂2 F13 + ∂3 F12 = 0 = ∂1 F23 + ∂2 F31 − ∂3 F21
⃗
1 ∂B
⃗ × E⃗ +
∇
=0
c ∂t
Für die x (1-)Komponente
∂2 F30 + ∂3 F02 + ∂0 F23 = 0, etc. für y, z(2, 3)
Zusammengefasst folgt
∂λ Fµν + ∂µ Fνλ + ∂ν Fλµ = 0 Bianchi-Identität
(nur für λ ≠ µ ≠ ν nicht trivial: für gleiche Indices identisch erfüllt)
9
GRUNDZÜGE DER QUANTENELEKTRODYNAMIK
91
Dies lässt sich mit Hilfe des dualen Feldtensors F̃µν analog wie bei den inhomogenen
Gleichungen zusammenfassen:
1
∂µ F̃µν = 0 mit F̃µν = εµνλ% Fλ%
2
εµνλ% = 0 bei zwei gleichen Indices, sonst Vorzeichenänderung bei Vertauschen zweier
Indices: ungerade Permutation
ε0123 = 1 = −ε0123 , Normierung
Wir untersuchen jetzt das freie Photonfeld, ohne äußere Quellen: jν ≡ 0. Dann erfüllt
das Viererpotential die d’Alembert-Gleichung
◻Aµ = 0
In der Quantentheorie ist das eine Operatorgleichung. Für den Feldoperator Aµ gilt
dann eine Entwicklung mit operatorwertigen Entwicklungskoeffizienten,
Aµ (x) = ∫
d3 k
{eikx a+µ (⃗k) + e−ikx aµ (⃗k)}
(2π)3 ⋅ 2w
wobei
k=
⎛ ω ⎞
, ω = ∣⃗k∣, kx = kµ xµ = ωt − ⃗kx⃗
⃗
⎝ k ⎠
und für die Vertauschungsrelationen der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
a+ , a gilt:
[a+µ (⃗k), a+ν (⃗k′ )] = 0
[aµ (⃗k), aν (⃗k′ )] = 0
[aµ (⃗k), a+ν (⃗k′ )] = Zµν (2π)3 2ωδ3 (⃗k − ⃗k′ )
mit zunächst noch unbekannten konstanten Zµν .
Für den Vakuumzustand im Fock-Raum gilt
aµ (⃗k) ∣0⟩ = 0 ∀µ, k
die Indices µ, ν sind 4er Vektor-Indices, und die Konstanten Zµν bilden einen LorentzTensor 2.Stufe. Wegen der geforderten Lorentz-Kovarianz muss er ein konstanter Ten-
92
sor sein; der einzige Tensor dieser Art ist der metrische Tensor
⎛
⎜
⎜
⇒ (Zµν ) = ±(gµν ) = ± ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 ⎞
⎟
0 −1 0 0 ⎟
⎟
⎟
0 0 −1 0 ⎟
⎟
0 0 0 −1 ⎠
1
0
0
Mit
[aµ (⃗k), a+ν (⃗k′ ))] = −gµν (2π)2 δ3 (⃗k − ⃗k′ )
⇒ a+µ (µ = 1, 2, 3) ergibt - angewandt auf das Vakuum - einen Zustand positiver Norm,
jedoch
a+0 ∣0⟩ ergibt einen Zustand negativer Norm (⇒ die Wahrscheinlichkeitsinterpretation
gilt nicht).
⇒ die Metrik ist unbestimmt. Gupta und Bleuler (1950) haben ein Verfahren angegeben, um Zustände positiver Norm zu erzeugen, (und gleichzeitig zwei der vier linear
unabhängigen Polarisationszustände zu eliminieren: ein reelles Photon hat nur zwei
Polarisations-Freiheitsgrade!).
Die Fourier-Entwicklung für den Feldoperator Aµ ,
Aµ (x) = ∫
d3 k
{eikx a+µ (⃗k) + e−ikx aµ (⃗k)}
(2π)3 ⋅ 2ω
erfüllt zunächst nur die d’Alembert-Gleichung,
◻Aµ = 0 in Operatorform.
Sie ist nur zusammen mit der Lorentz-Bedingung
∂µ A µ = 0
äquivalent zu den Maxwell-Gleichung; also muss auch die Lorentz-Bedingung in die
Quantenmechanik übertragen werden. Sie kann jedoch nicht direkt in Operatorform
gebracht werden, man fordert statt dessen die Lorentz-Bedingung als Nebenbedingung für Zustände:
Nur diejenigen Zustände im Fock-Raum sind physikalisch, die die LB erfüllen:
Wir berücksichtigen nur den Teil des 4er Potentials, der nur Annihilationsoperatoren
enthält,
A−µ (x) = ∫
d3 k
e−ikx aµ (⃗k), und fordern
(2π)3 2ω
∂µ Aµ (x) ∣physik. Zustand⟩ = 0
(−)
9
GRUNDZÜGE DER QUANTENELEKTRODYNAMIK
93
bzw. für die Fourier-Komponenten
kµ aµ (⃗k) ∣⟩ = 0
∀⃗k.
⇒ der Erwartungswert der Divergenz des gesamten Feldes ∂µ Aµ (x) verschwindet für
beliebige physikalische Zustandsvektoren:
⟨phys.Zustand ∣∂µ Aµ (x)∣ phys.Zustand⟩ = 0
(Anteil in ∂µ Aµ (x) mit Erzeugungsoperatoren nach links wirken lassen!)
Der Unterraum der physikalischen Zustandsvektoren ist linear. Seine Metrik ist positiv
semidefinit:
⟨phys.Zustand∣phys. Zustand⟩ ≥ 0
Beweis:
Wähle neue Basis für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren:
Einheitsvektoren: e⃗1 , e⃗2 – ⃗k ∶ e⃗3 =
⃗k
∣⃗k∣
= k̂, e⃗i ⋅ e⃗j = δi j .
Operatoren:
1
α+0 (⃗k) = √ [α+0 (⃗k) − k̂α+ (⃗k)]
2
α+1 (⃗k) = e⃗1 α+ (⃗k)
α+2 (⃗k) = e⃗2 α+ (⃗k)
1
α+3 (⃗k) = √ [α+0 (⃗k) + k̂α+ (⃗k)]
2
Und aus den Vertauschungsregeln für die a’s folgen die VR für die α’s:
[α0 (⃗k), α+0 (⃗k′ )] = [α3 (⃗k), α+3 (⃗k′ )] = 0
[α0 (⃗k), α+3 (⃗k′ )] = [α3 (⃗k), α+0 (⃗k′ )] = −(2π)3 2ωδ3 (⃗k − ⃗k′ )
[α1 (⃗k), α+1 (⃗k′ )] = [α2 (⃗k), α+2 (⃗k′ )] = (2π)3 2ωδ3 (⃗k − ⃗k′ )
(alle anderen Kommutatoren = 0)
Die LB als Nebenbedingung wird
α0 (⃗k) ∣phys. Zustand⟩ = 0
Ein Zustandsvektor im Hilbert-Raum lässt sich als beliebiges Produkt von Erzeugungsoperatoren angewandt auf das Vakuum darstellen:
α+1 (⃗k1 )α+1 (⃗k2 )⋯α+2 ⋯α+0 ⋯α+3 ⋯ ∣0⟩
94
jedoch ist die LB dann und nur dann erfüllt, wenn dabei kein Operator α+3 vorkommt
(wegen der Vertauschungsregeln).
Physikalische Zustandsvektoren sind z.B.
α+1 (⃗k) ∣0⟩ , α+2 (⃗k) ∣0⟩ , α+0 (⃗k) ∣0⟩
sie sind zueinander orthogonal, die Längenquadrate sind ≥ 0 ∶
⟨0 ∣α1 (⃗k)α+1 (⃗k′ )∣ 0⟩ = (2π)3 2ωδ3 (⃗k − ⃗k′ )
⟨0 ∣α2 (⃗k)α+2 (⃗k′ )∣ 0⟩ = (2π)3 2ωδ3 (⃗k − ⃗k′ )
⟨0 ∣α0 (⃗k)α+0 (⃗k′ )∣ 0⟩ = 0
Auch alle anderen Längenquadrate von Zustandsvektoren, die kein α+3 enthalten, sind
≥ 0:
⟨phys. Zustand∣phys. Zustand⟩ ≥ 0
(s.Literatur zur Diskussion des Hilbert-Raumes mit positiv definiter Metrik/“Äquivalenzklassen“ von Zustandsvektoren).
Mit Berücksichtigung der Quantenpostulate durch die Vertauschungsrelationen lassen sich nun Erwartungswerte physikalischer Größen berechnen. Die FeldstärkenErwartungswerte
⃗ − A⃗˙
E⃗ = −∇V
⃗=∇
⃗ × A⃗ werden
B
⃗
⟨B(x)⟩
=∫
d3 k
{eikx ⟨−i⃗kx [e⃗1 α+1 (⃗k) + e⃗2 α+2 (⃗k)]⟩
(2π)3 2ω
+e−ikx ⟨i⃗kx [e⃗1 α1 (⃗k) + e⃗2 α2 (⃗k)]⟩} ,
⃗
⟨E(x)⟩
=∫
d3 k
{−iωeikx ⟨e⃗1 α+1 (⃗k) + e⃗2 α+2 (⃗k)⟩
3
(2π) 2ω
+iωe−ikx ⟨e⃗1 α1 (⃗k) + e⃗2 α2 (⃗k)⟩}
Es tragen - in Übereinstimmung mit dem Experiment - nur die transversalten Freiheitsgrade der Photonen bei. Die Operatoren für Energie und Impuls von Photonen folgen
aus den klassischen Ausdrücken,
P0 = ∫
t=const
P⃗ = ∫
t=const
d3 x ⋅
1 ⃗2
⃗ 2 (x)]
[E (x) + B
2
⃗
⃗
d3 x [E(x)
× B(x)]
9
GRUNDZÜGE DER QUANTENELEKTRODYNAMIK
95
⃗ als Feldoperatoren lassen sich die Erwartungswerte von Energie und
Mit E⃗ und B
Impuls berechnen - jedoch ergeben sich zunächst divergente Resultate. Um sie zu
vermeiden, ersetzen wir den Energieoperator durch
P0 ≡ P 0 − ⟨0 ∣P 0 ∣ 0⟩ ,
′
′
d.h. wir wählen die Vakuumenergie als Nullpunkt der Energiezählung (das ist o.k.,
denn gemessen werden Energiedifferenzen).
Die Erwartungswerte des „neuen“ Energieoperators sind nicht divergent.
Die Subtraktion der Vakuumenergie erfolgt automatisch, wenn wir das „normalgeordnete Produkt“ der Feldoperatoren verwenden („Doppelpunkte“): alle Erzeugungsoperatoren wirken so, als stünden sie links von allen Vernichtungsoperatoren, also
z.B.
∶ aa+ ∶ ≡ a+ a , etc. „Normalprodukt“
z.B. gilt für die elektrische Feldstärke
⃗
E(x)
∼ a+ + a
so dass
∶ E⃗2 (x) ∶
∼ ∶ (a+ + a)(a+ + a) ∶
= ∶ a+ a+ + a+ a + aa+ + aa ∶
= a+ a+ + 2a+ a + aa
und die korrekten Ausdrücke für Energie und Impuls werden
P0 = ∫
d3 x
t=const
P⃗ = ∫
1
⃗ 2 (x)] ∶
∶ [E⃗2 (x) + B
2
⃗
⃗
d3 x ∶ E(x)
× B(x)
∶
t=const
Erwartungswerte des Viererpotentials sind nicht direkt beobachtbar; für das gewöhnliche Viererprodukt zweier Viererpotentiale ergibt sich
⟨0 ∣Aµ (x)Aν (y)∣ 0⟩ = −gµν ∫
⎛
d3 k 1 −ik(x−y)
e
mit k =
3
(2π) 2ω
⎝
∣⃗k∣ ⎞
⃗k ⎠ .
96
10
10.1
Elemente der relativistischen Streutheorie
Invarianten bei relativistischen Reaktionen
A+B→C+D
p⃗B
p⃗A
CMS:
pA + pB → pC + pD
Ð→ ←Ð „Collider“
LS:
pLA + pLB → pLC + pLD
Ð→ ∣
p⃗LA
p⃗LB =0
„fixed Target“
Viererimpulserhaltung: (= Energie- und Impulserhaltung):
∧
pA + pB = pC + pD
Mit der zusätzlichen Bedingung (h̵ ≡ c ≡ 1):
p2 = E2 − p⃗2 = m2
Die Teilchen sind „auf der Massenschale“
⇒ p2A = m2A , p2B = m2B , p2C = m2C , p2D = m2D .
Man führt 3 Lorentz-invariante sog. Mandelstam-Variable ein:
Das Quadrat der Schwerpunktenergie,
s = (pA + pB )2 = (pC + pD )2 = E2cm = (EA + EB )2 = (EC + ED )2
sowie die folgenden Quadrate von 4er Impulstransfers
t = (pA − pC )2 = (pB − pD )2
u = (pA − pD )2 = (pC − pB )2
Wegen der Constraints p2i = m2i sind die drei Mandelstam-Variablen nicht unabhängig
voneinander,
s + t + u = m2A + m2B + m2D
Für die invariante Größe s gilt im Schwerpunktsystem (CMS)
s = (pA + pB )2 = (EA + EB )2 − (p⃗A + p⃗B )2 = (EA + EB )2
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
=0 im CMS
10
ELEMENTE DER RELATIVISTISCHEN STREUTHEORIE
97
Im Laborsystem (LS) wird dieselbe Größe mit
pLA = (ELA , p⃗LA )
pLB = (ELB , p⃗LB ) = (mB , 0) ∶
2
s = (pLA + pLB )2 = [ELA + mB ] − (pLA )2 = (ELA )2 + 2mB ELA + m2B − (pLA )2
und mit
(ELA )2 − (p⃗LA )2 = m2A ⇒ s = m2A + m2B + 2mB ELA
√
Mit s ist auch die cm-Energie s ≡ Ecm relativistisch invariant.
Die kinetische Energie des einfallenden Teilchens „A“ ist im Laborsystem
kAL = ELA − mA ⇒ ELA = kAL + mA
⇒ s = (mA + mB )2 + 2mB kAL
damit wird die kinetische Energie im Schwerpunktsystem
¿
L
Á
√
À1 + 2mB kA − m − m
kcm = s − mA − mB = (mA + mB ) Á
A
B
(mA + mB )2
und in nichtrelativistischer Näherung (nr)
kAL ≪ mA + mB ,
kA → kAnr
nr
⇒ kcm
≃ (mA + mB ) [1 +
nr
kcm
=
mB kAL
mB kAL
]
−
m
−
m
=
(m
+
m
)
A
B
A
B
(mA + mB )2
(mA + mB )2
mB
kL
mA + mB A
(dies ist ein vielbenutzter Ausdruck in der nichtrelativistischen Streutheorie).
Bei hohen relativistischen Energien ist dagegen
∣p⃗LA ∣ ≫ mA , mB
und wegen
(ELA )2
− (p⃗LA )2 = m2A ,
ELA
√
= (p⃗LA )2 + m2A
⇒ ELA ≃ ∣p⃗LA ∣
s ≃ 2mB ELA ≃ 2mB ∣p⃗LA ∣ ≡ E2cm
d.h. die Schwerpunktenergie wächst nur mit der Wurzel des Laborimpulses bei ultrarelativistischen Energien,
√
√
s = Ecm ∝ ∣p⃗LA ∣
98
⇒ bei hohen Energien sind Collider die bessere Alternative.
Beispiel: p + p am LHC, ∣p⃗A ∣ = ∣p⃗B ∣ = 7TeV/c
p⃗A
p⃗B
Ð→ ←Ð
mp ≃ 0.938GeV/c2
√
√
c=1 √
p2 + m2 = 49 ⋅ 106 + 0.88 GeV≃ 7000 GeV= 7 TeV.
EA = EB = p2 c2 + m2 c4 ≡
√
s = (EA + EB )2 ≃ 196 ⋅ 106 GeV2 ⇒ s = 14 ⋅ 103 GeV
Derselbe Wert von s erfordert mit einem festen Target einen Laborimpuls von
∣p⃗LA ∣ ≃
196 ⋅ 106
s
=
GeV/c ≃ 104.48 ⋅ 106 GeV/c = 104.48 ⋅ 103 TeV/c
2mp 2 ⋅ 0.938
d.h. das ∼ 15000 fache des Colliderimpulses, um
√
s = 14 ⋅ 103 GeV zu erreichen.
11
11
AUFGABEN ZUR RQM-VORLESUNG (2012)
99
Aufgaben zur RQM-Vorlesung (2012)
Aufgabe 1: Kovarianz der Ableitungen
Zeigen Sie explizit:
Der kovariante 4er Vektor xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 ) verhält sich unter Lorentz-Transformation x′µ = Λµ ν xν
wie die Ableitungen des kontravarinaten 4er Vektors xµ ,
∂µ ≡
∂
∂xµ
Aufgabe 2: Pauli-Matrizen
Zeigen Sie:
(1) Aus der Hermitezität (σi = σ+i (= σT )) und Unitarität (σ−1
= σT ) der Paulii
Matrizen folgt σ21 = σ22 = σ23 = I
(2) Die Determinanten und Spuren der Pauli-Matrizen sind
det σi = −1, Spσi = 0, i = 1, 2, 3
(3) Es gilt σ1 σ2 σ3 = i ⋅ I =
⎛ i 0 ⎞
.
⎝ 0 i ⎠
Die Pauli-Matrizen erfüllen die Algebra
3
σi σ j = δi j I + i ∑ εi jk σk ,
i, j = 1, 2, 3
k=1
Aufgabe 3: Klein-Gordon Gleichung (KGE)
Zeigen Sie explizit durch Einsetzen:
Es gibt zwei freie Lösungen der KGE
mc 2
[∂µ ∂µ + ( ̵ ) ] ∣ψ⟩ = 0
h
in Form von ebenen Wellen
ψ(x⃗, t) = e−i(Et−⃗px⃗)/h , mit E = ±
̵
√
p⃗2 c2 + m2 c4
Aufgabe 4: Lokale Eichinvarianz der KGE mit Feld
Zeigen Sie: Die KGE ist lokal eichinvariant unter der Transformation
Aµ → A µ = Aµ − ∂µ χ(x)
′
100
wenn man die Wellenfunktion ψ transformiert gemäß
ψ(x) → ψ′ (x) = eiΛ(x) ψ(x)
und den Phasenfaktor wählt als
e
Λ(x) = ̵ χ(x).
hc
Aufgabe 5: Klein-Gordon Gleichung mit Coulombpotential
2
Zeigen Sie: Die radiale KGE mit Potential eφ = − Zer
[L
l(l + 1) − γ2
d2
2λ
+
−
1
−
] %R(%) = 0
d(%/2)2 %/2
(%/2)2
ergibt mit dem Lösungsansatz [l(l + 1) − γ2 ≡ l′ (l′ + 1),
2λ ≡ %0 =
√
2m Ze2
∣E∣ h̵ ]
% l +1
%R(%) =
( )
⋅ e−%/2 w(%/2)
2
±
%→∞
´¹¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
asym. Lösung
′
für % → 0
die folgende Radialgleichung für w(%) ∶
%
dw
d2 w
′
+
2(l
+
1
−
%)
+ (%0 − 2(l′ + 1))w = 0
2
d%
d%
Sie ist für l′ → l, %0 =
√
2m Ze2
∣E∣ h̵
identisch mit der Radialgleichung im Schrödinger-
fall.
Aufgabe 6: Klein-Gordon Energieeigenwerte (mit Potential wie Aufgabe 5)
Berechnen Sie aus der Relation
%0 = 2(N + l′ + 1)
mit den Definitionen für l′ und %0 aus Aufgabe 5,
die Energieeigenwerte:
γ2
E = mc (1 + 2 )
λ
−1/2
2
11
AUFGABEN ZUR RQM-VORLESUNG (2012)
Aufgabe 7: Algebraische Struktur der Dirac-Matrizen
Zeigen Sie, dass durch zweimalige Anwendung des Dirac-Operators
HD =
̵
∂
hc
αk ∂k + βmc2 in ih̵ ψ = HD ψ
i
∂t
und Vergleich mit der Klein-Gordon Gleichung
mc 2
[∂µ ∂µ + ( ̵ ) ] ψ = 0
h
die algebraischen Bedingungen folgen:
αi α j + α j αi = 2δi j I
αi β + βαi = 0
(αi )2 = β2 = I.
Aufgabe 8: Standarddarstellung der Dirac-Matrizen
Prüfen Sie in der sogenannten Dirac-Darstellung
αk =
⎛ 0 σk ⎞
,
⎝ σk 0 ⎠
β=
⎛ I 0 ⎞
⎝ 0 I ⎠
mit den Pauli-Matrizen σk
explizit die Gültigkeit der algebraischen Relationen (in Aufgabe 7).
Aufgabe 9: Anti-Hermitezität der γk -Matrizen
Zeigen Sie: (γk )+ = −γk ; (γk )2 = −I
mit γk ≡ βαk , und {αk , β} = 0.
Aufgabe 10: Nichtrelativistischer Grenzfall der DE
Mit ψ =
⎛ ϕ ⎞
⃗
⃗ = p⃗ − ce A)
wird die DE mit Feld (π
⎝ χ ⎠
ih̵
⃗π
⃗χ ⎞
⎛ σ
⎛ φ ⎞
⎛ φ ⎞
∂ ⎛ ϕ ⎞
=c
+ eφ
+ mc2
∂t ⎝ χ ⎠
⎝ σ
⎝ χ ⎠
⎝ −χ ⎠
⃗π
⃗ϕ ⎠
Im nichtrelativistischen Grenzfall zerlegen wir
⎛ φ ⎞ − imc̵ 2 t ⎛ φ ⎞
⎛ φ ⎞
=e h
, mit langsam variierendem
⎝ χ ⎠
⎝ χ ⎠
⎝ χ ⎠
101
102
Zeigen Sie:
⎛ φ ⎞
genügen der Gleichung:
⎝ χ ⎠
ih̵
⃗π
⃗χ ⎞
⎛ 0 ⎞
⎛ φ ⎞
⎛ σ
∂ ⎛ ϕ ⎞
− 2mc2
+ eφ
=c
∂t ⎝ χ ⎠
⎝ χ ⎠
⎝ χ ⎠
⎝ σ
⃗π
⃗ϕ ⎠
(φ ist die „große“, χ die „kleine“ Komponente, die im nichtrelativistischen Grenzfall vernachlässigt wird: χ =
⃗π
⃗
σ
2mc ϕ)
Aufgabe 11: Lorentz-Transformation
Zeigen Sie: Aus der Forderung der Lorentz-Invarianz des d’Alembert-Operators
◻ ≡ ∂µ ∂µ = gµν ∂µ ∂ν
folgt
Λλ µ gµν Λ% ν = gλ% , oder in Matrixform
ΛgΛT = g (dies definiert die Lorentz-Transformation)
(es ist ∂µ ≡
∂
∂xµ
=
∂x λ ∂
∂xµ ∂x′ λ
′
≡ Λλ µ ∂′λ )
Aufgabe 12: Dirac-adjungierte Spinoren
Beweisen Sie mit dem Dirac-adjungierten Spinor ψ ≡ ψ+ γ0 die Matrixrelationen:
(ψ1 Mψ2 )∗ = ψ2 Mψ1
(mit M ≡ γ0 M+ γ0 )
Aufgabe 13: Zeitumkehr-Invarianz der DE
Zeigen Sie durch Einsetzen:
Der Spinor ψ̃(x⃗, t) ≡ S′ ψ(x⃗, −t) ≡ γ5 γ0 ψ(x⃗, −t)
mit γ5 ≡ iγ0 γ1 γ2 γ3 erfüllt die DE!
Aufgabe 14: Ladungskonjugations-Invarianz der DE
Zeigen Sie durch Einsetzen:
T
T
Der Spinor ψc (x⃗, t) ≡ S(c)ψ (x⃗, t) ≡ iγ2 γ0 ψ (x⃗, t)
mit γT ≡ (ψ+ γ0 )T = (γ0 )T (ψ+ )T
erfüllt die DE!
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AUFGABEN ZUR RQM-VORLESUNG (2012)
103
Aufgabe 15: Berechnen Sie aus dem exakten Ausdruck dür die Dirac-Energieeigenwerte
im Coulombfeld
2 ⎤−1/2
⎡
⎢
⎥
⎛
⎞
Zα
2⎢
⎥
ED
⎥
n j = mc ⎢1 +
1/2
⎢ ⎝ n − j − 1/2 + [( j + 1/2)2 − Z2 α2 ] ⎠ ⎥
⎣
⎦
durch Entwicklung nach (Zα)2 die genäherten Energieeigenwerte, und vergleichen Sie mit den Schrödinger-Eigenwerten.
Aufgabe 16: Weyl-Spinoren
Der zweikomponentige Spinor u+ (p) erfüllt die Gleichung
⃗ p⃗u+ (p)
p0 u+ (p) = σ
Zeigen Sie: Es gibt nichtverschwindende Lösungen für u+ nur für
p0 = ±∣p⃗∣ =
E
c
⃗ p⃗/∣p⃗∣ auf beide Seiten der Gleichung
Hinweis: Wenden Sie den Helizitätsoperator σ
⃗ σ
⃗ = A⃗B
⃗ + iσ
⃗
⃗ A)(
⃗ B)
⃗ (A⃗ × B).
an, und benutzen Sie (σ
104
12
Literatur
1. J. D. Bjorken, S.D. Drell: Relativistische Quantenechanik
2. B. H. Bransden, C. J. Joachain: Introduction to Quantum Mechanics, Pearson publ.
2000
3. W. Greiner: Relativistic Quantum Mechanics, Springer, 1991
4. C. Itzykson, J.-B. Zuber: Quantum Field Theory, McGraw HIll, New York 1980
5. A. Messiah: Quantenmechanik, Band II, de Gruyter 1990
6. O Nachtmann: Elementarteilchenphysik, Vieweg, Braunschweig, 1986
7. H.M. Pilkhuhn: Relativistic Quantum Mechanics, Springer 2003/2nd ed. 2005
8. F. Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene, Springer, Heidelberg, 1997
9. A. Wachter: Relativistische Quantenmechanik, Springer 2005