Eine Hypothese zur Ursache der Lichtbrechung und die konkrete
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Seite 1 von 16 Eine Hypothese zur Ursache der Lichtbrechung und die konkrete Planung eines Experiments zu deren Verifikation. Wolfenbüttel, den 26. Feb. 2007 Von Prof. Dr. Claus W. Turtur Fachhochschule Braunschweig-Wolfenbüttel Salzdahlumer Straße 46 / 48, 38302 Wolfenbüttel, Germany Email: [email protected] Zusammenfassung / Abstract: Bekanntlich zeigt sichtbares Licht beim Durchgang durch geeignete Materie, wie z.B. durch Gläser oder Kristalle, eine andere Ausbreitungsgeschwindigkeit als im Vakuum. Verantwortlich dafür kann nur die Wechselwirkung zwischen der elektromagnetischen Welle und dem Festkörper sein, und zwar namentlich in Form der elektromagnetischen Wechselwirkung. Beschrieben werden kann die elektromagnetische Wechselwirkung anhand elektrischer und magnetischer Felder. Um einen Zusammenhang zwischen deren Feldstärken und der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen herzustellen, werden in der vorliegenden Arbeit typische Feldstärken im Inneren von Festkörpern abgeschätzt und mittels einer Hypothese in Relation zur Lichtgeschwindigkeit ebendort gesetzt. Will man diesen hypothetischen Zusammenhang experimentell nachweisen, so kann man elektrische und magnetische Felder außerhalb von Festkörpern erzeugen und messen, mit welcher Geschwindigkeit das Licht sich in diesen Feldern ausbreitet. Dazu eignet sich ein Interferenzexperiment. In der vorliegenden Arbeit wird die Planung eines solchen Experiments mit einem Michelson-Interferometer vorgestellt. Dabei werden die zur Durchführung benötigten Feldstärken abgeschätzt, sowie die zu erwartenden konkreten Messergebnisse der Interferenz-Extrema als Funktion dieser Feldstärken aufgezeigt. Gliederung: 1. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 3. 3.1. 3.2. 3.3. Grundlagen, Erläuterung der Hypothese Abschätzung der Größenordnung elektromagnetischer Feldstärken in Festkörpern Das elektrische Feld der Elektronen Das magnetische Feld der Elektronen aufgrund ihres Bahndrehimpulses Das magnetische Feld der Elektronen aufgrund ihres Spins Das elektrische Feld des Kerns Das magnetische Feld des Kerns Bildung der Feldmittelwerte Vorschlag eines Experiments zur Überprüfung der Hypothese Zusammenhang zwischen den Feldstärken und der Lichtgeschwindigkeit Konkrete quantitative Planung eines Aufbaus mit Michelson-Interferometer Ziele des Experiments Inhalt: 1. Grundlagen, Erläuterung der Hypothese Materie kann die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen beeinflussen. Auch die Brechung sichtbaren Lichts beim Eintritt in ein Glas ist ein Beispiel dafür. Erklären lässt sich diese Lichtbrechung auf der Basis der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Lichtwellen, die sich im Inneren der Materie von der Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum unterscheidet. Die Vorgänge, die sich dabei im Inneren der Materie ereignen, können wir an dieser Stelle nicht abschließend klären (vgl. hierzu Kap. 3.3.). Aber die folgende Frage bringt uns weiter: Welche Seite 2 von 16 Einflüsse werden im Materialinneren auf elektromagnetische Wellen (u. a. auch auf solche im sichtbaren Bereich) ausgeübt, die das Vakuum nicht ausüben kann oder nicht ausübt ? Bei der Beantwortung dieser Frage spielen Beugung und Interferenz sicherlich keine Rolle, denn dafür ist die Wellenlänge des sichtbaren Lichts zu lang. Beugung elektromagnetischer Wellen an Atomen benutzt man z.B. zur Strukturanalyse von Kristallen unter Benutzung kurzwelliger elektromagnetischer Wellen im Röntgen-Bereich. Welche Möglichkeiten der Wechselwirkung zwischen Festkörpern und Licht bestehen also ? Allgemein bekannt sind die vier fundamentalen Wechselwirkungen der Natur, die Gravitation, die elektromagnetische Wechselwirkung, die schwache und die starke Wechselwirkung, von denen wir drei in unserem Fall sofort ausschließen können, nämlich die folgenden: ▪ Die Gravitation, denn sie spielt im Bereich atomarer Abmessungen keine merkliche Rolle, und somit auch nicht bei der Betrachtung der Reaktion des Photons auf die Atomkerne und auf die Elektronen, an denen es sich vorbeibewegt. ▪ ▪ An der starken und an der schwachen Wechselwirkung nehmen Photonen nicht teil. Als einzige mögliche Wechselwirkung übrig bleibt demnach nur die elektromagnetische. Somit sollten elektrische und magnetische Felder verantwortlich für die Beeinflussung der Geschwindigkeit des Photons in der Materie sein. Elektromagnetische Felder liegen im Inneren von Festkörpern sogar mit immens großen Feldstärken vor, deren Größenordnung wir in Abschnitt 2 abschätzen wollen. Vergleichbar große Feldstärken treten im Vakuum über makroskopische Strecken hinweg nicht auf. Im Prinzip könnte man zwar über quantenelektrodynamische Phänomene wie etwa die Vakuumpolarisation nachdenken, aber wenn wir in Kürze die Größenordnung der in Festkörpern vorhandenen Feldstärken sehen werden, dann ist klar, dass das Vakuum aus sich heraus keine annähernd vergleichbaren Feldstärken hervorbringen kann. Ebenso überflüssig in der hier gezeigten Betrachtung sind die Feldstärken des elektrischen und des magnetischen Feldes der Erde. Beide sind zwar auf der Erdoberfläche vorhanden, aber sie sind derart schwach, dass es für ein Experiment nicht nötig sein wird, sie abzuschirmen oder zu kompensieren. Die Planung eines Experiments zum Nachweis eines Zusammenhangs zwischen den Feldstärken und der Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen wird im dritten Abschnitt vorgestellt. Planung und Idee des Experiments ergeben sich dann wie folgt: Wir werden in Kapitel 2 abschätzen, wie groß die elektrischen und die magnetischen Feldstärken im Inneren von Festkörpern sind. Für die hier aufgezeigte erste Planung genügt zunächst eine grobe Abschätzung der Größenordnung. Da Gläser mit amorpher atomarer Ordnung ebenso transparent sein können wie manche Kristalle, suchen wir den entscheidenden Grund für optische Brechungsindizes nicht primär in der atomaren Ordnung, sondern in den Feldstärken im Inneren des Festkörpers. (Das soll nicht ausschließen, dass eine eventuell vorhandene atomare Fernordnung einen Einfluß auf die Feldstärken und deren räumliche Verteilung nehmen kann, aber dieser Einfluß sollte wohl eher eine derjenigen Feinheiten sein, die man nicht bei einer allerersten Abschätzung der Größenordnung berücksichtigt, sondern erst zu einem späteren Zeitpunkt, zu dem grundlegenden Prinzipuntersuchungen bereits Ergebnisse gezeigt haben werden.) Wir haben also den Brechungsindex und mit ihm die Lichtgeschwindigkeit im Material in Beziehung zu den elektrischen und magnetischen Feldern setzen, in deren Volumen sich das Licht ausbreitet. Die Überlegungen werden dabei folgende sein: Wenn wir die von den Atomen (von ihren Kernen und von ihren Hüllen) verursachten elektrischen und magnetischen Feldstärken abgeschätzt haben, setzen wir diese in Bezug zu einem typischen Brechungsindex, wie er in der Optik nicht ungewöhnlich sein soll. Dies wird der Einstieg in Kapitel 3 sein. Aus der Beziehung zwischen dem Brechungsindex und den Feldstärken in Festkörpern extrapolieren wir, welchen Brechungsindex man von solchen Feldstärken zu erwarten hätte, die sich unter technisch realisierbaren Bedingungen im Labor erzeugen lassen. Seite 3 von 16 Die zentrale Hypothese dieses Papers besagt, dass für die Wirkung der elektrischen und magnetischen Felder der Abstand zur felderzeugenden Materie keine Existenzfrage darstellt, sondern lediglich über die üblicherweise bekannten Abstandsgesetze der Elektrodynamik eingeht. Um die damit verbundene Hypothese über den Zusammenhang zwischen Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit überprüfen zu können, ist ein Experiment unerlässlich. Ohne Experiment bliebe jede Extrapolation eine Hypothese. Einige der Anforderungen an dieses Experiment lassen sich bereits jetzt erkennen: Da die unter Laborbedingungen erzeugbaren elektrischen und magnetischen Felder fernab von Materie (d.h. nicht in mikroskopischen Abständen zu Atomen) wesentlich geringer sind als die Feldstärken im Inneren von Festkörpern, sind die nachzuweisenden Lichtgeschwindigkeiten und Brechungsindizes der Lichtgeschwindigkeit und dem Brechungsindex des Vakuums wesentlich näher als der Lichtgeschwindigkeit und dem Brechungsindex von Linsen oder Kristallen. Nachzuweisen sind also Brechungsindizes, die ziemlich dicht in der Nähe von Eins liegen. Dafür bieten sich Interferometer an. Die Darstellung des Aufbaus eines möglichen InterferometerExperiments und die dabei zu erwarten Ergebnisse bilden das Ergebnis des dritten Kapitels. 2. Abschätzung der Größenordnung elektromagnetischer Feldstärken in Festkörpern Sowohl die Elektronen erzeugen elektrische und magnetische Felder als auch die Atomkerne. Daraus ergeben sich die folgenden fünf zu untersuchenden Feldquellen im Inneren von Festkörpern, die wir untersuchen und nach denen wir den größten Teil von Kapitel 2 gliedern: 2.1. Das elektrische Feld der Elektronen Da die Elektronen aufgrund der Heisenberg’schen Unschärferelation nur mit der Unsicherheit des Aufenthalts innerhalb bestimmter Bereiche lokalisiert werden können, ist das elektrische Feld der Elektronenhülle eines jeden Atoms zu betrachten. 2.2. Das magnetische Feld der Elektronen aufgrund ihres Bahndrehimpulses um den Kern 2.3. Das magnetische Feld der Elektronen aufgrund ihres Spins 2.4. Das elektrische Feld des Kerns 2.5. Das magnetische Feld des Kerns Da alle Atomkerne in den Festkörpern eingebunden sind, also keine Bahnbewegung ausführen, gibt es hierbei nur das magnetische Feld, welches vom Kernspin hervorgerufen wird. Im Nachfolgenden wollen wir zunächst diese fünf Felder quantitativ abschätzen. Für eine genaue Berechnung müsste man natürlich die Anzahl und die räumliche Verteilung der Elektronen in jedem einzelnen Atom (ggf. bei verschiedenen Atomen im Inneren eines Festkörpers) ebenso berücksichtigen wie die Ladung und die Größe der Atomkerne. Für unsere erste Abschätzung der Größenordnung der Feldstärken begnügen wir uns (zumindest teilweise) mit einer einzigen Sorte von Atomen, nämlich mit dem einfachsten überhaupt, dem Wasserstoffatom. Aber auch dabei werden uns einige Näherungen helfen, den Rechenaufwand übersichtlich und somit nachvollziehbar zu gestalten. Auf die Abschätzung der fünf genannten Felder für das Wasserstoffatom folgt die Angabe des elektrischen und des magnetischen Gesamtfeldes eines Festkörpers. Dies wird Thema von Kapitel 2.6 sein. Dabei sind die Feldstärken für sämtliche Atome im Raum zu summieren. Wollte man eine genaue Berechnung ausführen, so wäre dabei die Kristallgitterstruktur des Festkörpers zu berücksichtigen, aus der die Positionen aller einzelnen Feldquellen hervorgeht. Für unsere grobe Abschätzung werden wir uns mit einem durchschnittlichen Volumen pro Atom zufrieden geben. Die darauf basierende Näherung wird, wie wir sehen werden, eine wesentlich geringere Ungenauigkeit verursachen, als die bei der Abschätzung der Felder des Wasserstoffatoms verwendeten Näherungen, und als die Tatsache, dass wir die elektrostatischen Felder der Elektronenhülle nur für das Wasserstoffatom bestimmen und nicht für andere Atome. Beginnen wir nun also mit der Abschätzung der Felder des Wasserstoffatoms. Seite 4 von 16 2.1. Das elektrische Feld der Elektronen Gemeint ist nicht das Feld eines einzelnen Elektrons, sondern das Feld der Elektronenhülle, in der sich das Elektron bewegt. Also liegt der Feldberechnung die räumliche Ladungsverteilung in der Hülle zugrunde, die wir aus der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte der Elektronen ψ 2 bestimmen. Der Einfachheit der Näherung halber beschränken wir uns auf das Wasserstoffatom mit genau einem 1s-Elektron, dessen quantenmechanische Eigenfunktion man einem Lehrbuch der Atomphysik entnehmen kann (z.B. [MAY 80]). Sie lautet ψ n =1, l = 0, m = 0 ( r ,ϑ ,ϕ ) = worin ( ) ⋅e 1 ⋅ Z π ao 3 2 − Z ⋅r ao , (2.1) Z = Kernladungszahl ( Z =1), n, l , m = Quantenzahlen, ao = 0.529Å (Bohr’scher Wasserstoffatomradius), r,ϑ ,ϕ = Kugelkoordinaten. Die Ladungsdichte erhält man, indem man die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte mit der Ladung des Elektrons, nämlich − e multipliziert: −2⋅r 2 dQ = −e ⋅ ψ n =1, l = 0, m = 0 ( r ,ϑ ,ϕ ) = −e ⋅ π1 ⋅ ao−3 ⋅ e ao dV , mit e = Elementarladung (2.2) Das hinzugefügte Minuszeichen trägt der Tatsache Rechnung, dass das Elektron negativ geladen ist. Eine graphische Darstellung dieser Ladungsdichte zeigt Abb.1. Abb.1 Verlauf der Ladungsdichte der Elektronenhülle des Wasserstoffatoms dQ als Funktion dV des Abstandes vom Kern. Die gesuchte Größe ist das elektrische Feld der Elektronenhülle, welches wir aus der nunmehr bekannten Ladungsverteilung berechnen können. Nehmen wir an, wir wollen die Feldstärke dieses Felds im Abstand R vom geometrischen Mittelpunkt der Ladungsverteilung berechnen, dann gelingt diese Rechnung am einfachsten, wenn wir die beiden Anteile der Elektronenhülle getrennt betrachten, die in Abb.1 mit „I“ und „II“ markiert sind. Der Anteil „I“ umfasst denjenigen Teil der Gesamtladung, der sich im Inneren einer Kugel um den Mittelpunkt der Ladungsverteilung mit Kugelradius R befindet. Der Rest der Gesamtladung, der mit „II“ bezeichnet ist, umfasst all diejenige Ladung, die sich außerhalb dieser Kugel mit dem Radius R befindet. Zur Berechnung des elektrischen Feldes können wir die Anteile „I“ und „II“ getrennt berücksichtigen. Aus Gründen der Rechentechnik beginnen wir mit dem Anteil „II“, der eine besonders bequeme Angabe des von ihm erzeugten Feldes am Ort R erlaubt. Das ergibt sich aus der Anwendung des Gauß’schen Satzes, wonach Ladungen auf Kugelschalen in ihrem Inneren die Feldstärke NULL erzeugen (siehe z.B. [LDE 81]). Das Feld des Anteils „II“ verschwindet also. Explizit zu berechnen bleibt demnach nur das vom Ladungsanteil „I“ erzeugte Feld, welches wir durch eine Volumenintegration ermitteln können, wobei nach den Vorüberlegungen zum Anteil „II“ die Integration über eine Kugel mit dem Radius R zur Berechnung des gesamten von der Elektronenhülle erzeugten elektrischen Feldes genügt. Aus Gründen der Kugelsymmetrie der Aufgabenstellung, legen wir den Ursprung des Koordinatensystems in den Mittelpunkt der Ladungsverteilung und orientieren es derart, dass die x-Achse durch den Punkt im Abstand R zum Ursprung läuft, in dem die Feldstärke bestimmt werden soll (siehe Abb.2). Seite 5 von 16 Der Punkt, in dem die Feldstärke bestimmt werden soll, lautet also in Abb. 2 Veranschaulichung R G ⎛⎜ ⎞⎟ der bei der Volumenkartesischen Koordinaten R = ⎜ 0 ⎟ . ⎜0⎟ integration über die ⎝ ⎠ Kugel mit Radius R G ⎛ x ⎞ ⎛ r ⋅ sin (ϑ ) ⋅ cos (ϕ ) ⎞ verwendeten Vekto⎜ ⎟ G Mit r = ⎜⎜ y ⎟⎟ = ⎜ rG ⋅ sin (ϑ ) ⋅ sin (ϕ ) ⎟ als ren in Kugelkoordi⎟ ⎜ z ⎟ ⎜⎜ rG ⋅ cos ϑ ⎟ ( ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ naten. G Ortsvektor zu den Volumenelementen der zu integrierenden Kugel (worin r = r ) ergibt dannG die Integration in Kugelkoordinaten in der üblichen Art und Weise die gesuchte Feldstärke E ( r ) . Dabei wird über die Feldstärke nach dem Coulomb-Gesetz, angewandt auf Punktladungen integriert, die sich als infinitesimale Ladungselemente mit einer Verteilung gemäß (2.2) innerhalb des Integrationsvolumens verstehen lassen. Man beachte die Vektorwertigkeit des Integrals: G E ( R) = ( ∫ Kugel 1 ⋅ −e 4πε o π ⋅a 3o ⋅e − 2a r ⋅ o ) Ladungsdichte als Funktion des Ortes G G R−r G G3 R−r 2π π R dV = G G R − r ist der Abstand zwischen Aufpunkt und Ladungselement ∫0 ∫∫ 00 1 ⋅ −e 4πε o π ⋅a 3o ⋅e − 2a r o ⋅ G G R − r ⋅ r 2 ⋅ sin G G3 R−r (ϑ ) dr dϑ dϕ (2.3) eingesetzt in das Coulombgesetz Aufgrund der Kugelsymmetrie der Aufgabenstellung genügt einerseits bei der Ortsangabe als Argument der Feldstärke alleine die Angabe des Abstandes zum Ladungsmittelpunkt R , denn die Feldstärke ist unabhängig von ϑ und ϕ . Andererseits genügt bei der Angabe der Feldstärke die bloße Angabe ihrer Radialkomponente, die bis auf ein Vorzeichen mit dem Betrag der Feldstärke identisch ist, denn tangentiale Komponenten enthält die Feldstärke nicht. Numerische Integration liefert den in Abb.3 dargestellten Verlauf des Betrages der Feldstärke. Abb.3 Betrag der elektrischen Feldstärke der Atomhülle des Wasserstoffatoms als Funktion des Abstandes vom Atomkern. Die einzelnen Punkte geben die Ergebnisse einer numerischen Integration wieder, die durchgezogene Linie zeigt eine einfache mathematische Funktion zur bequemen näherungsweisen Beschreibung des Feldverlaufs. Die mathematischen Funktion zur bequemen näherungsweise Beschreibung des Feldverlaufs A1 ⎞ ⎛ lautet E ( R ) ≈ 1 ⋅ e2 ⋅ ⎜1 − exp− A0 ⋅ R ⎟ Betrag der Feldstärke 4πε 0 R ⎝ ⎠ mit e = Elementarladung und ε 0 = 8.854 ⋅10−12 VA⋅⋅ms (2.4) Darin sind die beiden iterativ ermittelten Konstanten A 0 = −1.299 ⋅1022 und A1 = 2.1926 . Bei der Entwicklung dieses mathematisch vereinfachten Verlaufs wird eine ungefähre Näherung akzeptiert, die nicht exakt durch alle Iterationspunkte läuft, da sie im weiteren Verlauf der Arbeit lediglich für eine Abschätzung der Feldstärken herangezogen werden soll. Dieser Näherung liegt kein „least square fit“ zugrunde; sie wurde lediglich so entwickelt, dass die Fläche unter der Kurve in etwa (nach Augenmaß) gleich groß ist, wie die Fläche unter einem durch die Punkte der numerischen Integration verlaufenden Polygonzug. Im weiteren Verlauf des Papers wird man erkennen, dass die damit verbundenen Ungenauigkeiten für unsere gesamte Abschätzung von unbedeutendem Ausmaß sind. Wir betrachten daher die hier angegebene Näherung als Grundlage für die weitere Behandlung des elektrostatischen Feldes der Atomhülle des Wasserstoffatoms. Seite 6 von 16 2.2. Das magnetische Feld des Elektrons aufgrund des Bahndrehimpulses Mit der Bewegung des Elektrons um den Atomkern ist ein Strom verbunden, der naturgemäß ein G G L rotierenden Magnetfeld erzeugt. Das magnetische Moment μ einer mit dem Drehimpuls G Ladung e , die an die Masse m gebunden ist, ist bekanntlich μG = − 12 me ⋅ L (siehe z.B. [GIA 06]), denn für den Bahndrehimpuls ist der Landé’sche g-Faktor g = 1 . Für eine exakte Berechnung müsste man verschiedene Atome, aus denen sich ein Glaskörper oder ein Kristall zusammensetzen kann, betrachten. Dabei haben verschiedene Elektronen auf verschiedenen Energieniveaus auch unterschiedliche Bahndrehimpulse. Für unsere einfache Abschätzung beschränken wir uns wieder auf das Wasserstoffatom und verwenden den BahndrehG impuls nach dem ersten Bohr’schen Postulat, nämlich im Grundzustand L = n ⋅ = , mit n = 1 . Somit ist das magnetische Moment des Hüllenelektrons dem Betrage nach μ = − 12 me ⋅ = . (2.5) G Die Definition des magnetischen Moments eines Ringstromes I mit der Querschnittsfläche A G G lautet bekanntlich μ = I ⋅ A . Für dessen Betrag gilt dann μ = I ⋅ A . Setzt man (2.5) in diese Definition ein, so erhält man den mit dem Bahndrehimpuls des Elektrons verbundenen Ringstrom I wie folgt: e ⋅ =⎫ μ = − 12 m ⎪ μ =I⋅A 1 e −e = (2.6) ⋅ ⎬ ⇒ I ⋅ A = − ⋅ ⋅= ⇒ I = 2 m 2 m π ⋅ ao2 ⎪⎭ unter Verwendung der Querschnittsfläche des Ringstromes A = π ⋅ ao2 gemäß dem ersten Bohr’schen Wasserstoffradius ao = 0.529Å . Zu diesem Ringstrom lässt sich im Prinzip das von ihm erzeugte Magnetfeld nach Biot-Savart berechnen. Für unsere Abschätzung begenügen wir uns mit einer einfachen, ebenfalls auf BiotSavart basierenden Näherung, nach der das Magnetfeld H entlang einer senkrecht zur RingI ⋅ao2 fläche stehenden Achse angegeben wird (vgl. Abb.4); die Näherung lautet: H = 3 . (2.7) 2⋅⎛⎜ ao2 + r 2 ⎞⎟ 2 ⎝ ⎠ Diese Feldstärke wird dann für die nachfolgenden Berechnungen (im Sinne einer Näherung) auf jeden beliebigen Ort im Abstand r vom Zentrum des Ringes übertragen, d.h. wir führen näherungsweise eine Kugelsymmetrie in ein zylindersymmetrisches Problem ein. I ⋅ao2 Einsetzen von (2.6) in (2.7) liefert H = 3 2⋅⎛⎜ ao2 + r 2 ⎞⎟ 2 ⎝ ⎠ = Abb.4 Geometrische Illustration der Lage eines Ringstromes, dessen Magnetfeld entlang einer zur Querschnittsfläche senkrecht gelegenen Achse nach Biot-Savart in (2.7) ausgerechnet wurde. −e = ⋅ 2m π ( 2 ⋅ ao2 + r 2 ) 3 2 (2.8) Der Verlauf der magnetischen Feldstärke nach (2.8) ist aufgetragen in Abb.5, wobei r der Abstand vom Kreismittelpunkt in Richtung der gemäß Abb.4 ausgezeichneten Achse ist. Im Sinne der Näherung der Kugelsymmetrie wird r als Abstand zum Atomkern uminterpretiert. Abb.5 Verlauf der Feldstärke des magnetischen Feldes eines Ringstromes nach (2.8). Für den Ringstrom der Bahnkurve des Wasserstoff 1s-Elektrons liegt das Maximum der Feldstärke bei 9.97 ⋅106 mA am Ort des Kreismittelpunktes des Ringstroms. Seite 7 von 16 In anderen Richtungen als entlang der durch die Flächennormale ausgezeichneten Achse (siehe Abb.4) ergeben sich mit Sicherheit andere als die in (2.8) und Abb.5 angegebenen Feldstärken. Auch für Elektronen mit anderen Quantenzahlen und mit anderen Bahndrehimpulsen als dem Grundzustand des Wasserstoffatoms entspricht, ergeben sich andere Feldstärken. Beides führt dazu, dass die hier angegebenen Feldstärken natürlich nur als grobe Abschätzung der tatsächlich in Festkörpern auftretenden magnetischen Feldstärken verstanden werden dürfen. Was wir uns in diesem Zusammenhang merken müssen, ist folgendes: Die bei der Planung eines Experiments in Kapitel 3 zu berücksichtigenden Feldstärken können von der hier abgeschätzten Größenordnung deutlich abweichen. Eventuell müssen also im Laborversuch wesentlich größere Feldstärken erzeugt werden, als sich nach der hier vorgeführten Abschätzung erwarten ließe. Wenn wir in Kapitel 3 die tatsächlich benötigten Feldstärken sehen werden, werden wir erkennen, dass sich diese Forderung als unkritisch erweisen wird. 2.3. Das magnetische Feld der Elektronen aufgrund ihres Spins Der mit dem Spin verbundene Drehimpuls ist S = 34 ⋅ = , seine z-Komponente ist sz = ± 12 = . Da für den Spin des Elektrons der g-Faktor bis auf Korrekturen der Quantenelektrodynamik bei g = 2 liegt, ergibt sich für das mit der z-Komponente des Spins verbundene magnetische Moment dem Betrage nach μ z = g ⋅ ( 12 me ⋅ sz ) = 2 ⋅ ( 1 e ⋅ ±1= 2m 2 )= 1 e ⋅= 2m (2.9) Für den gesamten mit dem Spin verknüpften Drehimpuls ist dann μ = g ⋅ ( 12 me ⋅ S ) ≈ me ⋅ S = me ⋅ 3 4 ⋅= . Wollte man darauf basierend die Berechnung der vom Spin des Elektrons erzeugten Magnetfeldstärke in Analogie zu der in Abschnitt 2.2 aufgezeigten Überlegung, entsprechend der dort genannten Gleichung μ = I ⋅ A fortsetzen, so ergäbe sich ein prinzipielles Problem, namentlich mit der Angabe der Querschnittsfläche des Ringstromes A = π ⋅ ao2 , weil kein sinnvoller Wert für das Einsetzen von ao zur Verfügung steht. Das Problem taucht beim Einsetzen in (2.7) auf, und wie wir in (2.8) sehen, wird ao im Endergebnis der Magnetfeldstärke nicht eliminiert. Das Problem mit dem Einsetzen von ao ist folgendes: Einerseits kennt man einen sog. klassischen Elektronenradius von ao, klassisch = 2.8 ⋅10−15 m (siehe z.B. [COD 00]), andererseits betrachtet die Quantenelektrodynamik das Elektron als „punktförmig“ in dem Sinne, dass man keine innere Struktur erkennen kann. Dazu passend schließt man aus Streuexperimenten (z.B. ElektronElektron-Streuexperimenten) auf eine Obergrenze der Ausdehnung des Elektrons von weniger als 10−18 m , d.h. ao, Streu < 10−18 m (vgl. z.B. [LOH 05]). Zwar ist die zweite Aussage nicht in der Lage, einen Wert für den Durchmesser des Elektrons zu beziffern (sondern nur eine Obergrenze), aber die Widersprüchlichkeit der beiden Werte ist offensichtlich, also liegt kein Wert zum Einsetzen von ao vor. Nichtsdestotrotz müssen wir eine Abschätzung des mit dem Spin verbundenen Magnetfeldes finden. Dazu wollen wir in Analogie zu (2.6) und (2.8) für den Spin nach (2.9) schreiben: e 3 e 3 = ⋅ ⋅= ⇒ I = ⋅ ⋅ m 4 m 4 π ⋅ ao2 e 3 = ⋅ ⋅ I ⋅ ao2 4 π m = In Analogie zu (2.6): I⋅A=μ = In Analogie zu (2.8): H= ( 2 ⋅ ao2 + r 2 ) 3 2 ( 2 ⋅ ao2 + r 2 ) 3 2 (wegen A = π ⋅ ao2 ) (2.10) Zwar ist ao r , denn ao gibt die Abmessungen des Elektrons wieder, r hingegen läuft hoch bis zu den typischen Abständen zwischen Atomen in Festkörpern, aber vernachlässigen können wir ao dennoch nicht, denn durch eine Näherung ao = 0 erhielte die Feldstärke eine Polstelle bei r → 0 , die in der Realität prinzipiell unmöglich ist. Darüberhinaus würde eine solche Näherung, obwohl sie physikalisch sinnlos ist, auch noch die mathematische Berechnung von FeldstärkeMittelwerten verkomplizieren. Somit ist klar, dass wir ao nicht vernachlässigen. Vielmehr gehen wir nach folgender Überlegung vor: Seite 8 von 16 In Wirklichkeit verbietet natürlich die Heisenberg’sche Unschärferelation eine Lokalisierung der Ladung auf dem Elektron, sodass es gar keinen Sinn macht, das Elektron durch eine Stromschleife definierter Größe beschreiben zu wollen. Wir erkennen durch Vergleich von (2.10) mit (2.8), dass die vom Spin des Elektrons erzeugten Magnetfeldstärken der Größenordnung nach für fast den gesamten Teil des zur Integralmittelung heranzuziehenden Volumens nicht all zu weit von den Feldstärken, die aus der Bahnkurven der Elektronen resultieren, entfernt liegen (zumindest dem Betrage nach). Wir betrachten daher die Feldstärken der beiden Felder als vergleichbar groß. Vergleichbare Größe würde bedeuten, dass die Summe der beiden Feldstärken in grober Näherung (dem Betrage nach) doppelt so groß ist, wie jeder der beiden einzelnen Summanden. Wir nähern also das Gesamtmagnetfeld des Elektrons mit dem Doppelten des Wertes von (2.8): H= −e = ⋅ 2m π ( ao2 + r 2 ) (2.11) 3 2 Im übrigen zeigt die hier nicht diskutierbare Polstelle im spinbedingten Magnetfeld erst unterhalb einiger 10−11 m ihre Wirkung, was um ca. vier Zehnerpotenzen kleiner ist als die Abmessung der Wellenlänge des sichtbaren Lichts. Wir gehen davon aus, dass derartig kleine räumliche Strukturen von den Lichtwellen nicht wahrgenommen werden, was eine Vernachlässigung der möglichen Existenz einer Polstelle befürwortet. Damit sind die vom Elektron erzeugten Felder betrachtet und wir wenden uns den vom Kern erzeugten Feldern zu. 2.4: Das elektrische Feld des Kerns Bei der Betrachtung der Atomkerne ist die Beschränkung auf den Wasserstoff, die wir für die Elektronenhülle zugunsten der Einfachheit der Berechnungen gewählt hatten, nicht mehr nötig. Kerne werden oftmals als kugelig betrachtet, wobei man Kernradien typischerweise angibt mit RK = ro ⋅ 3 A , worin A = Nukleonenzahl und ro = (1.3 ± 0.1) ⋅10−15 m ist. (siehe z.B. [MAY 79] mit Bezug auf [POL 35]). Um die Felder abzuschätzen, betrachten wir exemplarisch einen sehr kleinen Kern (den Kern des Wasserstoffs), einen mittleren Kern (den Kern des Siliziums, wie er häufig in optischen Gläsern vorkommt) und einen eher großen Kern (den Kern des Bleis) im Vergleich. Auf diese Weise erhalten wir die in Tabelle 1 genannten Daten. Mit Z = Kernladungszahl erzeugt jeder dieser Kerne dem Betrage nach die elektrische Feldstärke EKern ( r ) = Z ⋅ e 2 (2.12) 4πε 0 r gemäß dem Coulomb-Gesetz, und zwar im Bereich für r > RK , d.h. außerhalb des Kerninnenraums. Die für unsere Überlegungen relevanten Daten dieser Kerne sind in Tabelle 1 ebenso aufgezählt wie das Maximum der Feldstärke, welches an der Kernoberfläche, d.h. bei EKern ( r = RK ) vorliegt. Kern A Z E Kern ( r = R ) RK H 1 1 1.3 ⋅ 10 m 8.52 ⋅ 1022 Vm Si 28 14 3.9 ⋅ 10−15 m 1.29 ⋅ 10 21 Vm Pb 206 82 7.7 ⋅ 10−15 m 2.00 ⋅ 1021 Vm −15 Tab.1: Vergleich dreier Atomkerne und der von ihnen erzeugten elektrischen Feldstärken. Den Verlauf der Feldstärke als Funktion des Abstandes zum Kern findet man in (2.12). 2.5. Das magnetische Feld des Kerns Magnetische Momente der Nukleonen und des Kerns sind wesentlich kleiner als das magnetische Moment des Elektrons, da das magnetische Moment bei gleichem Drehimpuls umgekehrt proportional zur Masse des Teilchens ist. Statt des Bohr’schen Magnetons für ⋅= = 9.274 ⋅10−24 A ⋅ m2 Elektronen von μ B = 2e⋅m e arbeitet man bei Kernen mit dem Kernmagneton von μ K = 2e⋅m⋅= = 5.05 ⋅10−27 A ⋅ m2 , P Seite 9 von 16 welches mit der Protonenmasse mP anstelle der Elektronenmasse me berechnet wird. Damit 1 zum Bohr’schen Magneton. steht das Kernmagneton im Verhältnis μμK = 1836 B Allerdings enthalten die magnetischen Momente der Nukleonen Landé’sche g-Faktoren, die sich vom g-Faktor des Elektrons wesentlich unterscheiden (vgl. z.B. [MAY 79]): Elektron Æ g = 2.00229... ≈ 2 g = −3.8261 Neutron Æ g = +5.5858 Proton Æ Im Fall von Atomkernen mit mehr als einem Nukleon werden die Spins der beteiligten Nukleonen zum Gesamtspin des Kerns koppeln. Dabei können mit Hilfe der sogenannten Schmidtlinien Bereiche möglicher Kernmomente angegeben werden, allerdings sieht man, dass für alle Kerne die magnetischen Momente μGes praktisch im Bereich von μGes = − 4 μK , .... , +12 μK (2.13) liegen (siehe [GOE 55]). In Analogie zu den bisher skizzierten Rechenwegen für magnetische Felder berechnen wir nun die Feldstärken der magnetischen Felder, die durch die Kernspins erzeugt werden: μGes = I ⋅ A ⎫⎪ μK μ 2 2 , .... , +12 K ⎬ ⇒ I ⋅ π ao = − 4, .... , +12 μ K ⇒ I ⋅ ao = − 4 μGes = − 4, .... , +12 μ K ⎪⎭ π π μ μ − 4 K , .... , +12 K I ⋅ ao2 π π ⇒ H = (r ) = Kern 2⋅ analog (2.8) ( ao2 + r2 ) 3 2 2⋅ ( ao2 + r2 ) (2.14) 3 2 Um ein Gefühl für quantitative Werte zu erhalten, können wir wieder die in Tab.1 aufgezählten Kerne betrachten, wobei die dort angegebenen Werte für den Kernradius RK jetzt in (2.14) mit dem Formelsymbol ao bezeichnet sind. Auf diese Weise gelangen wir zu Tab.2. Das Maximum der Feldstärken suchen wir am Kernrand, also bei r = ao = RK . Die magnetischen Momente der drei speziell betrachteten Kerne entnehmen wir [MAY 79]: Für Wasserstoff Æ μH ≈ +5.6 ⋅ μK μSi ≈ −1.2 ⋅ μ K Für Silizium Æ μPb ≈ +1.2 ⋅ μ K Für Blei Æ μH Damit wird das Maximum des Feldstärke-Betrages H Kern ( r = ao ) = Kern A Z R = ao H Kern ( r = ao ) H 1 1 1.3 ⋅ 10−15 m 7.2 ⋅ 1017 mA Si 28 14 3.9 ⋅ 10−15 m −5.5 ⋅ 1015 mA Pb 206 82 7.7 ⋅ 10−15 m −7.5 ⋅ 1014 Vm ( π 2 ⋅ 2 ⋅ ao2 ) 3 2 = +5.6 ⋅ μ K ( 2π 2 ⋅ ao2 ) 3 2 (2.15) Tab.2: Vergleich dreier Atomkerne und der von ihnen erzeugten magnetischen Feldstärke-Maxima. Den Verlauf der Feldstärke als Funktion des Abstandes zum Kern findet man in (2.14). 2.6. Bildung der Feldmittelwerte Die zentrale Frage des vorliegenden Artikels bezieht sich auf den Zusammenhang zwischen der Ausbreitung der Lichtwellen und den Feldstärken, die die Lichtwellen dabei auf ihrem Weg durch den Festkörper durchlaufen. Zur Beantwortung dieser Frage greifen wir auf die in den Abschnitten 2.1 bis 2.5 erstellten Feldstärke-Abschätzungen zurück unter Berücksichtigung der nachfolgenden Überlegungen. (a.) Ausschließen von Beugung im Inneren der Festkörper: Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Lichtwellen (im sichtbaren Bereich) in Linsen oder in Kristallen nicht durch Beugung oder Interferenzen bedingt wird, können wir voraussetzen, dass Seite 10 von 16 eben solche Beugungserscheinungen an Hindernissen mikroskopischer Ausdehnung nicht für unsere Überlegung zur Lichtbrechung zu berücksichtigen sind. Vielmehr laufen die elektromagnetischen Wellen auf einer in sich geraden Linie ungebeugt (also ohne die für Beugungserscheinungen typischen Richtungswechsel) durch den Festkörper. Das überrascht auch nicht, denn die Wellenlängen sichtbaren Lichts sind im Bereich von 400 .... 800 nm = 4 .... 8⋅10−7 m viel zu groß, um an Hindernissen atomarer Ausdehnung mit Abmessungen einiger weniger 10−10 m oder noch darunter, gebeugt zu werden. (b.) Damit verbleibt nur eine mögliche Ursache für die Lichtgeschwindigkeit in Festkörpern: Diese Ursache liegt nach Kapitel 1 in den Wechselwirkungsfeldern der elektromagnetischen Wechselwirkung, also in den elektrischen und magnetischen Feldern, die der Festkörper erzeugt. Da sich sichtbare Lichtwellen mit ihren Wellenlängen immer über eine Vielzahl von Gitterabständen erstrecken, wirken auch auf Wellenzüge endlicher Ausdehnung immer die verschiedenen Feldstärken an den verschiedenen Orten gleichzeitig ein. Um festzustellen, welchen elektrischen und magnetischen Feldstärken die Lichtwellen ausgesetzt sind, ist also über die Feldstärken vieler Kristallgitterzellen räumlich zu mitteln. Diese Mittelung ist der Inhalt des Abschnitts 2.6; bei ihrer Ausführung beachten wir die nachfolgend aufgezählten Punkte: Aus Gründen der Periodizität führt die Mittelung über eine einzige Kristallgitterzelle zum selben Mittelwert wie die Mittelung über viele Kristallgitterzellen, die zusammen eine Wellenlänge des Lichts oder die Ausdehnung endlicher Wellenzüge erfüllen würden. Wir führen die Mittelwertbildung deshalb anhand einer Elementarzelle des Kristallgitters aus. Eine Näherung enthält diese Vorgehensweise noch, die der Vollständigkeit halber erwähnt sei. Innerhalb einer Kristallgitterzelle sind die Feldstärken, die die in dieser Zelle enthaltenen Atome hervorrufen, dominant. Aber auch die Felder weiter entfernter Atome aus anderen Zellen reichen in die eine Zelle unserer Mittelung hinein, werden jedoch durch die räumliche Beschränkung der Mittelwertbildung auf die eine Zelle vernachlässigt. Bedenkt man das mit zunehmendem Abstand rasche Abfallen der Feldstärken, so wird man diese Vereinfachung als gute Näherung akzeptieren. Desweiteren soll unsere allgemeine Abschätzung noch nicht auf eine spezielle Kristallgitterstruktur (fcc, bcc, hcp, etc.) bezogen sein. Der wesentliche Unterschied der verschiedenen Kristallgitterstrukturen im Bezug auf unsere Abschätzung der Feldstärken sind die unterschiedlichen räumlichen Positionen der einzelnen Atome. Um ein erstes Gefühl für deren Einfluß zu bekommen, betrachten wir zunächst einmal die Füllfaktoren der verschiedenen Kristallgitterstrukturen. Um im Bezug auf diese Füllfaktoren einen einigermaßen repräsentativen Mittelwert anzusetzen, vergleichen wir sie für unterschiedlich dicht gepackte Strukturen: Sehr dicht gepackt sind das hcp-Gitter und das fcc-Gitter, beide mit Füllfaktoren von 74% . Reichlich dünn gepackt ist das Diamantgitter, mit einem Füllfaktor von 34% . Das artithmetische Mittel aus beiden Füllfaktoren liegt bei 12 ⋅ ( 34% + 74% ) = 54% . Im Vergleich dazu liegt der Raumanteil einer Kugel an dem sie umgebenden Würfel mit VKugel 43 π r 3 4π = = = 52% VWürfel ( 2r )3 3 ⋅ 8 ziemlich gut in der Mitte des typischen Bereichs dieser Füllfaktoren. Das bedeutet: Würfel erfüllen den Raum zu 100% . Erfüllt man den Raum mit kubisch-primitiv nebeneinander gelegten Kugeln, so erhält man einen Füllfaktor von 52% . In diesem Sinne betrachten wir die Mittelung der Feldstärken über ein Kugelvolumen als einigermaßen repräsentativ im Bezug auf den Füllfaktor. Dies soll für erste Gedanken zur Kristallgitterstruktur genügen. Zur Berücksichtigung des Kristallgitters müssen wir außer über die Kristallgitterstruktur noch über typische Gitterabstände nachdenken. Hierzu suchen wir auch wieder einen repräsentativen Wert, und zwar aus der Mitte des Bereichs typischer Gitterkonstanten (siehe z.B. [KIT 83]): Seite 11 von 16 - Chrom und Eisen haben ziemlich kleine Gitterkonstanten von knapp 2.9 Å . - Zinn hat eine reichlich große Gitterkonstanten von knapp 6.5 Å . - Die Mehrzahl der Gitterkonstanten liegt im Bereich von 3 .... 5 Å . Da im Sinne unserer Planung für ein Experiment eine Abschätzung der Feldstärken nach oben als sicher zu betrachten ist, verwenden wir für unsere Näherung eine eher nicht zu große Gitterkonstante, denn weit weg von den Atomkernen sind die Feldstärken klein, sodaß nicht zu große Kugeln zu eher größeren und somit zu sichereren Feldstärke-Mittelwerten führen. Eine Gitterkonstante im Bereich 3.... 5 Å = ( 4 ± 1) Å scheint daher sinnvoll. Der Radius der Kugel als halber Durchmesser sei daher für die Mittelung angesetzt mit RB = ( 2 ± 12 ) Å (Radius zum typischen Bindungsabstand). Da wir über ein kontinuierliches Volumen zu mitteln haben, bestimmen wir die FeldstärkeMittelwerte als Integralmittelwerte, wobei die Integrationsgrenzen von der Oberfläche des Atomkerns (Radius RI ) bis zum Radius der Kugel RB laufen. 2π Gemittelt wird also in Kugelkoordinaten über das Volumen π RB ∫ ∫ ∫ dV . ϕ = 0 ϑ = 0 RI Die Bildung des Integralmittelwerts sieht dann so aus: Wenn F (r ) die Feldstärke (mit zentralsymmetrischer Verteilung) sei und F deren Mittelwert, so ist wegen dV = r 2 sin (ϑ ) dr dϑ dϕ als Volumenelement in Kugelkoordinaten 2π π RB F= ∫0 ∫0 R∫ F ( r ) ⋅ r 2 sin (ϑ ) dr dϑ dϕ ∫0 ∫0 R∫ r 2 4π ⋅ = I 2π π RB RB sin (ϑ ) dr dϑ dϕ ∫R F ( r ) ⋅ r dr I 4π ⋅ I RB 2 RB R ∫R F ( r ) ⋅ r dr 3 ⋅ F ( r ) ⋅ r 2 dr (2.16) = 3 3 ∫ 1 3 3 R R − 4π ⋅ ( RB − RI ) ( B I) R 3 2 4π ⋅ = ∫ r dr R 2 B I I I Diesen Integralmittelwert wollen wir nachfolgend berechnen, und zwar zuerst für das elektrische Feld (dabei steht die Feldstärke F für E ) und danach für das magnetische Feld (wobei die Feldstärke F für H steht) der Atome nach den Abschnitten 2.1 bis 2.5. Der Integralmittelwert für das elektrische Feld: Das elektrische Feld summieren wir aus den Feldern nach Kapitel 2.1 und Kapitel 2.4, den ersteren aus (2.4) für die Elektronenhülle, den letzteren aus (2.12) für das Beispiel eines Wasserstoff-Kerns (mit Z = 1 und Ri = 1.3 ⋅10−15 m ). Man beachte, dass die Feldstärken einander entgegengesetzte Vorzeichen tragen entsprechend den Vorzeichen der verantwortlichen Ladungen, die in der Hülle negativ, im Kern hingegen positiv sind. Deshalb sind bei der Superposition der Felder die Beträge der Feldstärken zu subtrahieren: A1 ⎞ ⎛ Zu 2.1: EElektron ( r ) ≈ 1 ⋅ e2 ⋅ ⎜1 − exp− A0 ⋅r ⎟ Betrag der Feldstärke der Hülle nach (2.4). Zu 2.4: 4πε 0 r ⎝ Z ⋅e e EKern ( r ) = = 2 4πε 0 r 4πε 0 r 2 ⎠ Betrag der Feldstärke des Kerns nach (2.12). Somit lautet das elektrische Gesamtfeld dem Betrage nach: E ges ( r ) = EKern ( r ) − EElektron ( r ) ≈ 1 e ⎛ e − A0 ⋅r A1 ⎞ − A0 ⋅r A1 1 exp exp − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⎜ ⎟ 2 4πε 0 r 2 4πε 0 r 2 ⎝ ⎠ 4πε 0 r e . Mit A 0 = −1.299 ⋅1022 und A1 = 2.1926 nach Kapitel 2.1 berechnen wir das Integral RB ∫ R I EGes ( r ) ⋅ r 2 dr = RB e ∫ 4πε 0r R I ⋅ exp 2 − A0 ⋅r A1 ⋅ r 2 dr = e ⋅ 4πε 0 RB ∫ R I exp − A0 ⋅r A1 dr = e ⋅ 7.2713 ⋅10−11 m . 4πε 0 Die Integration ist nicht analytisch möglich, sie wurde numerisch durchgeführt. (2.17) Seite 12 von 16 Wenden wir nun in (2.16) als Feldstärke F die elektrische Feldstärke E an, so erhalten wir deren Integralmittelwert nach Einsetzen von (2.17) gemäß E= ( RB 3 RB3 − RI3 E )∫ ⋅ (r)⋅ r Ges 2 dr = RI ( 3 RB3 − RI3 ) e ⋅ ⋅ 4πε 0 RB ∫ exp − A0 ⋅r A1 29 −3 −9 dr = 3.75 m ⋅1.44 Vm m = 3.926 ⋅1010 ⋅10 ⋅10 ⋅10−11 ⋅ 7.2713 RI 3 (R 3 B − RI3 e 4πε 0 ) RB ∫ exp − A0 ⋅r A1 dr (2.18) Dies ist die Feldstärke des elektrostatischen Feldes der Atome in Festkörpern, gemittelt in grober Abschätzung über eine Gitterzelle, wie sie auf eine Lichtwelle wirkt, die durch den Festkörper läuft. Aufgrund der Ungenauigkeiten der Näherung werden wir mit E = 4 ⋅1010V / m arbeiten. RI Der Integralmittelwert für das magnetische Feld: Das magnetische Feld setzt sich zusammen aus den Anteilen der Felder nach den Abschnitten 2.2, 2.3 und 2.5, die wir wieder von dort übernehmen: Zu Kap.2.2, nach (2.8): H Bahndrehimpuls = −e = ⋅ 2m π 2⋅ ( ao2, Hülle + r2 ) (Symbole siehe dort.) 3 2 Zu Kap. 2.2 und 2.3: Die Summe der Felderstärken wurde nach Kap. 2.3 in Näherung als das Doppelte der Feldstärke aus Kap. 2.2 abgeschätzt: mit ao2, Hülle = 0.529Å H Hülle = −e = ⋅ 2m π ( ao2, Hülle +r 2 (erster Bohr’scher Wasserstoffradius). Zu Kap. 2.5: Hier setzen wir das Betragsmaximum zu (2.15) an: H Kern ( r ) = (zur Sicherheit als obere Abschätzung) und setzen zur oberen Abschätzung der Feldstärken). ao2, Kern ( ) 3 2 . μ 12 K π 2 ⋅ ao2, Kern + r 2 ) 3 2 ein (ebenfalls als Sicherheit = RI Die Integration zur Bestimmung der Integralmittelwerte geschieht hier mühelos auf analytischem Wege und führt zu folgenden Ergebnissen: Für die Elektronenhülle (nach Kapitel 2.2 und Kapitel 2.3): H Hülle = ( RB 3 RB3 − RI3 H ( r ) ⋅ r dr = 3 3 ⋅ ∫ ) R∫ Hülle ( RB − RI ) R ( ao2, Hülle + r 2 ) ⋅ I H Kern = ( RB3 − RI3 RB )∫ ⋅ RI 3 2 ⋅ r 2 dr = −1.19 ⋅106 A m I Für den Kern (nach Kapitel 2.5): 3 −e = ⋅ 2m π RB 3 2 H Kern ( r )⋅r dr = 2 ( 3 RB3 − RI3 RB ) ∫ 2⋅( a ⋅ RI 12 μK π 2 2 o, Kern + r ) 2 3 2 ⋅r dr = ( 18 RB3 − RI3 ) ⋅ μK π RB ⋅ ∫ RI r2 ( RI2 + r 2 ) 3 2 dr = 21397 A m Erwartungsgemäß ist der Integralmittelwert für die Magnetfeldstärke der Elektronenhülle wesentlich größer als für die Magnetfeldstärke des Kerns. Da die Orientierung der beiden Felder relativ zueinander nicht prinzipiell festgelegt ist, erhalten wir eine sichere Abschätzung durch Addition der Beträge der beiden Feldstärken: H = H Hülle + H Kern = 1.2 ⋅106 A . (2.19) m 3. Vorschlag eines Experiments zur Überprüfung der Hypothese Die zentrale Hypothese des vorliegenden Artikels ist die Aussage, dass die Lichtgeschwindigkeit durch elektrische und magnetische Felder beeinflusst werde. Dabei ist es egal, ob diese Felder, wie z.B. in Festkörpern in unmittelbarer Nähe von Materie bestehen, oder wie z.B. in dem nachfolgend beschriebenen geplanten Experiment, die Abstände zwischen der Lichtwelle und der felderzeugenden Materie (wie z.B. einer Spule und einem Kondensator), makroskopische Dim- V m Seite 13 von 16 ensionen abnehmen. Die Hypothese beruht also auf der plausiblen Annahme, dass der bloße Abstand zur Feldquelle nicht die Existenz der Wirkung der Felder aufhebt. Die üblichen Abstandsgesetze für elektrische und magnetische Felder sind natürlich wie gewohnt anzuwenden. 3.1. Zusammenhang zwischen den Feldstärken und der Lichtgeschwindigkeit. Da die im Labor realisierbaren Feldstärken wesentlich geringer sind als die Feldstärken im Inneren von Festkörpern, müssen wir jetzt zur Planung eines Labor-Experiments versuchen, aus der bekannten Wirkung der großen elektrischen und magnetischen Feldstärken im Inneren von Festkörpern auf die Wirkung der kleinen Feldstärken, die im Labor durch Kondensatoren und Spulen praktisch erzeugt werden können, zu extrapolieren. Das geschieht wie folgt. Die typischen Feldstärken der elektrischen und magnetischen Felder in Festkörpern sind mit den Gleichungen (2.18) und (2.19) zumindest der Größenordnung nach abgeschätzt. Um diese in Relation zur Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen setzen zu können, müssen wir Werte für typische Lichtgeschwindigkeiten in Festkörpern angeben. Dabei beziehen c wir uns auf die Definition des Brechungsindex n = cVakuum . Dieser nimmt bei einer Vielzahl von Medium Gläsern und transparenten Kristallen Werte zwischen 1 und 2 an. Würden wir also einen typischen mittleren Brechungsindex von n = 1.5 als Folge der in Kapitel 2 berechneten typischen Feldstärken betrachten, so läge die zugehörige Lichtgeschwindigkeit bei CMedium = cVakuum n = 3 ⋅108 m s = 2 ⋅108 m . 1.5 s Damit lässt sich die erste Zeile in Tabelle 3 erstellen, die im Prinzip als Verankerung des Zusammenhangs zwischen den Feldstärken und der Lichtgeschwindigkeit im Medium bzw. im Feld verstanden werden kann. Der Index „0“ an den Größen der Feldstärke, der Lichtgeschwindigkeit und des Brechungsindexes soll andeuten, dass mit dieser Zeile der geistige Einstieg (eben die Verankerung) in die Tabelle vorgenommen wurde. Zur Erstellung aller weiteren Zeilen von Tabelle 3 beachte man folgende Erläuterungen: Da wir einen exakten Zusammenhang zwischen den Feldstärken und der Lichtgeschwindigkeit noch nicht kennen, und wohl auch erst nach der Durchführung des geplanten Experiments ausarbeiten können, wollen wir mit Hilfe einer linearen Näherung arbeiten, und zwar so: Nehmen wir an, die elektrischen und die magnetischen Feldstärken seien verantwortlich für die Absenkung der Lichtgeschwindigkeit im Medium ( cMed ) gegenüber der Vakuumlichtgeschwindigkeit ( cVak ). Dann würde mit Δc = cVak − cMed als Differenz dieser beiden Lichtgeschwindigkeiten die lineare Näherung nichts anderes bedeuten als die Proportionalität Δc ∝ F (3.1) worin F die auf die elektromagnetische Welle einwirkenden Feldstärken repräsentiert, also sowohl einerseits die elektrische Feldstärke E als auch andererseits die magnetische Feldstärke H , d.h. wir setzen Δc ∝ E und Δc ∝ H an. Darauf basieren alle Einträge mit n < 1.5 in Tabelle 3. Um der Transparenz der Eintragungen willen, seien die Zusammenhänge zwischen den Feldstärken, den Lichtgeschwindigkeiten und den Brechungsindizes nachfolgend in Formeln gefasst: ● Der Zusammenhang zwischen Δ c und n ergibt sich gemäß cVak − cMed ⎫ ⎧ cVak cVak − cMed ⎪n − 1 = cMed ⎪ n −1 n −1 n= c ⇒ ⎨ ⇒ cVak − cMed = ⋅ cVak ⇒ Δc = ⋅c ⎬ ⇒ n −1 = 1 n n Vak Med 1 ⋅c ⎪ c ⎪ n ⋅cVak = Med n Vak ⎩ (3.2) ⎭ ● Der Zusammenhang zwischen der Feldstärke F und Δc ergibt sich gemäß (3.1): Δc ∝ F ⇒ F Δc F F n − 1 cVak = const. ⇒ = 0 ⇒ F= ⋅F = ⋅ ⋅F . Δc Δc Δc0 Δc0 0 n Δc0 0 (3.3) durch Einsetzen von (3.2) für Δc Wegen Δc0 = 13 cVak ⇒ cVak =3 Δc0 schreiben wir (3.3) kurz als F = 3 ⋅ n − 1 ⋅ F0 n (3.4) Nach Vorgabe verschiedener Δc lassen sich aus Zeile 1 die anderen Zeilen der Tab. 3 berechnen. Seite 14 von 16 Feldstärken E ⎡⎣ Vm ⎤⎦ 10 V E0 = 4 ⋅ 10 Lichtgeschw. Brechzahl Δc ⎡⎣ ms ⎤⎦ A⎤ H ⎡⎣ m ⎦ m 6 A H 0 = 1.2 ⋅10 m 1.2 ⋅ 107 Vm A 360 m 1.2 ⋅ 106 Vm A 36 m 1.2 ⋅ 105 Vm A 3.6 m m s 8m ⇒ Δc0 = 1 ⋅10 s m 30000 s m 3000 s m 300 s CMed = 2 ⋅108 Tab.3 Vergleich der elektrischen und der magnetischen Feldstärken mit den von ihnen hervorgerufenen Brechungsindizes. Als Verbindung zwischen den genannten Größen dient die Differenz der dem jeweiligen Brechungsindex entsprechenden Lichtgeschwindigkeit zur Vakuumlichtgeschwindigkeit. n n0 = 1.5 1 + 10−4 1 + 10−5 1 + 10−6 3.2. Konkrete quantitative Planung eines Aufbaus mit Michelson-Interferometer Die Messung der Lichtgeschwindigkeit in einem Medium kann z.B. mit einem Interferometer durchgeführt werden. Abb.6 zeigt den allgemein bekannten Aufbau eines Michelson-Interferometers, welches mit einem Vakuumgefäß bestückt wurde, in dem eine Einrichtung zur Erzeugung elektrischer und magnetischen Felder vorhanden sein soll. Das Vakuum im Bereich der Felder hat den Sinn, einen eventuellen Einfluß der Felder auf die Moleküle der Luft auszuschließen und so abzusichern, dass nicht die Reaktion der Luft auf die angelegten Felder zu einer Beeinflussung der Lichtgeschwindigkeit führen kann. Abb.6 Schematische Darstellung eines MichelsonInterferometers, welches mit einer Vakuumkammer und einer Quelle zur Erzeugung elektrischer und magnetischer Felder ausgerüstet ist. Durchführung des Experiments: Zu Beginn werden die beiden Spiegel derart justiert und verschoben, dass bei evakuierter Vakuumkammer, aber ohne elektrisches und ohne magnetisches Feld ein wohldefinierter Interferenzzustand (also entweder ein Interferenzmaximum oder ein Interferenzminimum) vorliegt. Anschließend werden das elektrische und das magnetischen Feld kontinuierlich zugeschaltet, was dazu führt, dass der Lichtstrahl die Strecke „ x “ (zweimal die Strecke „ 2x “) mit einer reduzierten Lichtgeschwindigkeit durchläuft. Wenn die Laufzeit t des Lichts durch die Strecke „ x “ den Wert t = cx annimmt, so müssen wir die beiden Laufzeiten „mit“ und „ohne“ Felder unterscheiden, d.h. einerseits ist tohne = x die Laufzeit ohne Felder und andererseits ist cohne x x tmit = = cmit cohne − Δc die Laufzeit mit eingeschalteten Feldern. Der Laufzeitunterschied der beiden Lichtstrahlen ist somit Δt = tohne − tmit , woraus sich ein Gangunterschied g =c ⋅ Δt mit hier darf cmit ≈ cohne eingesetzt werden. ⎛ = cmit ⋅ ( tohne − tmit ) = cmit ⋅ ⎜⎜ x ⎝ cohne − ⎞ x ⎟ ergibt. cohne − Δc ⎟⎠ Seite 15 von 16 Wir formen mit simpler Bruchrechnung um: ⎛ g = cmit ⋅ ⎜⎜ x ⎝ cohne − x ⋅ ( cohne − Δc ) − x ⋅ cohne ⎞ x x ⋅ Δc x ⋅ Δc = cmit ⋅ = ≈ ⎟⎟ = cmit ⋅ cohne − Δc ⎠ cohne ⋅ ( cohne − Δc ) cohne ⋅ ( cohne − Δc ) cohne weil cmit = cohne −Δc und setzen n = cohne cmit ⇒ n −1 = cohne − cmit = cΔc cmit mit x ⋅ Δc cmit wieder in sehr guter Näherung cmit ≈ cohne ein und erhalten so g = x ⋅ Δc = x ⋅ ( n − 1) . cmit (3.5) Dies ist der für die Planung des Interferometer-Experiments benötigte Gangunterschied als Funktion der Brechzahl. Anmerkung: Die Näherung cmit ≈ cohne ist deshalb sehr gut, weil wir das Experiment für Brechungsindizes n sehr nahe bei 1 planen. Die Näherung darf selbstverständlich nur angewandt werden, solange der Unterschied zwischen cmit und cohne nicht zur Berechnung von Δc benutzt wird. Um ein Gefühl für einen möglichen experimentellen Aufbau zu entwickeln sei noch ein Zahlenbeispiel durchgespielt: Nehmen wir als Lichtquelle einen HeNe-Laser mit einer Wellenlänge von λ = 632.8 nm ⇒ λ = 316.4 nm und als Strecke für die Felder im Vakuum x = 10 cm . 2 Der Abstand zwischen einem Interferenzmaximum und einem Interferenzminimum liegt genau bei g = λ2 und somit nach (3.5) bei x ⋅ ( n − 1) = λ2 ⇒ n − 1 = λ = 316.4 nm = 3.164 ⋅10−6 . (3.6) Nach Tabelle 3 bzw. nach (3.4) lauten die zugehörigen Feldstärken: −6 ● E = 3 ⋅ nn−1 ⋅ E0 = 3 ⋅ 3.164⋅10 −6 ⋅ 4 ⋅1010 Vm = 3.8 ⋅105 Vm = 3.8 kV cm für das elektrische Feld und (3.7) ● (3.8) 2⋅ x 1+ 3.164⋅10 −6 A = 11.4 A H = 3 ⋅ nn−1 ⋅ H 0 = 3 ⋅ 3.164⋅10 −6 ⋅1.2 ⋅106 m m 1+ 3.164⋅10 10 cm für das magnetische Feld. Durch kontinuierliches Steigern der über der Strecke „ x “ angelegten Feldstärken kann man nun fortwährend Interferenzmaxima und Minima einander abwechseln lassen. Hat man z.B. bei Feldstärke Null ein Interferenzmaximum (das wir als nulltes nummerieren), so folgen A ● das erste Minimum bei E = 3.8 kV cm und H = 11.4 m , A ● das erste Maximum bei E = 7.6 kV cm und H = 22.8 m , A ● das zweite Minimum bei E = 11.4 kV cm und H = 34.2 m , A ● das zweite Maximum bei E = 15.2 kV cm und H = 45.6 m , und so fort. A Die Abstände der Maxima betragen also 7.6 kV cm elektrischer und 22.8 m magnetischer Feldstärke. Nach den Ausführungen am Ende des Kapitels 2.2 erinnern wir uns, dass die tatsächlich benötigten magnetischen Feldstärken von der hier abgeschätzten Größenordnung durchaus abweichen können. Gerade beim magnetischen Feld war unsere Abschätzung mit erheblichen Unsicherheiten behaftet. Betrachtet man aber die jetzt geforderten Feldstärke-Werte, so ist klar, dass eine Vergrößerung der Magnetfeldstärken selbst um mehrere Zehnerpotenzen kein technisches Problem darstellen würde. Ein Magnetfeld von H = 11.4 mA entspricht einer magnetischen Induktion von B = μ0 H = 4π ⋅10−7 VA⋅⋅ms ⋅11.4 mA = 1.4 ⋅10−5 Tesla . Aus diesem Grunde wird die Erzeugung hinreichend großer magnetischer Felder als unkritisch erachtet. Im Gegensatz zur Erzeugung der magnetischen Feldstärken stellt bei der praktischen Realisierung im Labor die Erzeugung der elektrischen Feldstärken durchaus eine ernstzunehmende Anforderung dar. Die letzteren bilden daher eine Art Begrenzung der Machbarkeit und erlauben uns eine Abschätzung, wie groß die Fehler der groben Näherungen in Abschnitt 2 gewesen sein durften, ohne die Machbarkeit des Experiments zu gefährden. Seite 16 von 16 Dazu vergleichen wir die erforderlichen (elektrischen) Feldstärken mit der Durchschlagsfeldstärke des Vakuums, die der Steigerung der Feldstärke für das Experiment eine natürliche Grenze setzt. Sie wird mit etwa 500 μVm = 5000 kV cm beziffert. Nehmen wir nun an, wir wollten wenigstens zwei Maxima und zwei Minima der Interferenz sehen, so wäre das gerade eben noch möglich, wenn statt der abgeschätzten E = 15.2 kV cm eine Feldstärke von 5000 kV cm in Höhe der Durchschlagsfeldstärke des Vakuums dafür erforderlich wäre. Zwischen beiden Werten liegt ein Faktor 329 , entsprechend etwa zweieinhalb Zehnerpotenzen. Das bedeutet, dass für das Gelingen des Experiments noch zweieinhalb Zehnerpotenzen an Sicherheit im Bezug auf die elektrische Feldstärke zur Verfügung stehen. Diese Sicherheit kann einerseits durch Ungenauigkeiten in der groben Näherung des Kapitels 2 verbraucht werden, andererseits aber auch durch praktische Schwierigkeiten im Aufbau, die sich z.B. aus kleinen unvermeidbaren Mikro-Spitzen an den felderzeugenden Platten ergeben könnten. Mit Sicherheit ist die Ungenauigkeit der Näherungen aus Kapitel 2 wesentlich kleiner als zweieinhalb Zehnerpotenzen, zumal wir die elektrischen Feldstärken weitaus besser abschätzen konnten als die magnetischen. Es besteht also durchaus die hoffnungsvolle Erwartung, dass mehr Maxima und Minima nachweisbar werden sollten, als jeweils nur die ersten beiden. 3.3. Ziele des Experiments ● Ein erstes Ziel ist natürlich der prinzipielle Nachweis der Hypothese, dass mit elektrischen und magnetischen Feldern die Lichtgeschwindigkeit beeinflusst werden kann unabhängig vom Abstand zur felderzeugenden Materie. ● Ein zweites Ziel wird das quantitative Erkennen des Zusammenhangs zwischen den Feldstärken und der sich in ihnen ergebenden Lichtgeschwindigkeit sein. Im Idealfall würde sich eine Formel aufstellen lassen, die die Lichtgeschwindigkeit als mathematische Funktion der elektrischen und der magnetischen Feldstärke angibt. ● Ein Fernziel sollte es sein, den mathematischen Ausdruck, der sich aus dem Erreichen des zweiten Ziels ergibt, theoretisch zu untermauern und aus der nichttrivialen Struktur des Vakuums (vgl. z.B. [GIA 03]) zu erklären. ● Eine mögliche Anwendung könnte die Herstellung elektrisch regelbarer Linsen sein. Literaturhinweise [COD 00] [GIA 03] [GIA 06] [GOE 55] [KIT 83] [LDE 81] [MAY 79] [MAY 80] [LOH 05] [POL 35] “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 1998” Review of Modern Physics 72 (2) 351 (April 2000). Der Inhalt der CODATA-Eintragungen wird fortlaufend aktualisiert unter der InternetAdresse: http://physics.nist.gov/cuu/Constants/ . „Field correlators in QCD. Theory and applications”, Physics Reports 372 (2002) 319 von A.Di Giacomo, H.G.Dosch, V.I.Shevchenko, Yu.A.Simonov Zu finden auch unter http://de.arXix.org/ps/hep-ph/0007223 vom 19.Mai 2003 Allgemeine Physik-Lehrbücher, z.B. „Physik“ von Douglas C. Giancoli ISBN-13: 978-3-8273-7157-7 oder ISBN-10: 3-8273-7157-0 M. Goeppert-Mayer und J. H. D. Jensen: “Elementary Theory of Nuclear Shell Structure”, New York 1955, (Quellenangabe nach [MAY 79]) „Einführung in die Festkörperphysik“ von Charles Kittel, Oldenbourg Verlag, 1983, ISBN 3-486-32766-6 Lehrbücher der Elektrodynamik, z.B.: „Klassische Elektrodynamik“ von John David Jackson, Walter deGruyter Verlag, 1981, ISBN 3-11-007415-X Lehrbuch „Kernphysik“ von Theo Mayer-Kuckuk, 1979 B. G. Teubner Verlag, Stuttgart , ISBN 3-519-23021-6 Lehrbuch „Atomphysik“ von Theo Mayer-Kuckuk, 1980 B. G. Teubner Verlag, ISBN 3-519-13042-4 Lehrbuch „Hochenergiephysik“ von Erich Lohrmann, 2005 B. G. Teubner Verlag, ISBN 3-519-43043-6 „Potential Barriers: Experiment and Theory” von E. Pollard, Phys. Rev. 47 (1935) S. 611
