1 Reguläre Graphen 2 Grundbegriffe 3 Durchmesser eines Graphen

Reguläre Graphen,Durchmesser und Routing
Claudia Fabricius
1 Reguläre Graphen
Definition. G heißt regulär, wenn alle Knoten den gleichen Grad haben.
Definition. G = (V, E, w) heißt k-regulär, wenn ∀u ∈ V : w(u) = k
Satz 1. Ein Graph G ist genau dann regulär, wenn 1 = (1, . . . , 1)T Eigenvektor ist.
Bemerkung. Für k-reguläre Graphen gilt: σ(∆) = {1 − λ/k | λ ∈ σ(A)}
Satz 2. Ein k-regulärer Graph G = (V, E, w) ist genau dann zusammenhängend, wenn A
den Eigenwert k mit Vielfachheit 1 hat.
Satz 3. Ein k-regulärer Graph G = (V, E, w) ist genau dann bipartit, wenn −k ein Eigenwert von A ist.
2 Grundbegriffe
Definition. Ein Weg W = (v1 , . . . , vn ) ist eine Folge von Knoten, wobei vi und vi+1 für
i = 1, . . . , n − 1 durch eine Kante verbunden sind. (bei Chung ”path”)
Definition. Ein Pfad ist ein Weg (v1 , . . . , vn ) mit vi 6= vj für i 6= j und i, j = 1, . . . , n.
Definition. Ein Zyklus ist ein Weg (v1 , . . . , vn ) mit v1 = vn
Definition. Ein Kreis ist ein Zyklus (v1 , . . . , vn ), bei dem (v1 , . . . , vn−1 ) ein Pfad ist.
Definition. Die Länge eines Weges ist für ungewichtete Graphen die Anzahl der Kanten
l((v1 , . . . , vn )) = n − 1 (n bei einem Zyklus).PBei gewichteten Graphen summiert man über
n−1
w(i, i + 1)
die Kantengewichte, also l((v1 , . . . , vn )) = i=1
3 Durchmesser eines Graphen
Definition. Der Abstand d(u, v) zweier Knoten ist die Länge des kürzesten Weges
W = (u, . . . , v). Also d(u, v) = minW l((u, . . . , v))
Definition. Die Exzentrizität s(u) eines Knotens gibt die weiteste Entfernung zu einem
anderen Knoten an. s(u) = maxv∈V d(u, v)
Definition. Der Durchmesser D(G) eines Graphen G ist die weiteste Entfernung zwischen
2 seiner Knoten. D(G) = maxu∈V s(u)
Definition. Der Radius R(G) = minu∈V s(u) gibt an, in welcher Weite man vom zentralsten gelegenen Knoten (u mit s(u) = R(G)) alle anderen erreichen kann.
Beispiele.
1. Pfadgraph:
D(Pn ) = n − 1
2. Zyklus:
D(Cn ) = bn/2c
3. vollständiger Graph:
D(Kn ) = 1
4. Sterngraph:
D(Sn ) = 2
5. Kleine Welt, Bacon-Zahl, Erdős Zahl
1
R(Pn ) = bn/2c
R(Cn ) = bn/2c
R(Kn ) = 1
R(Sn ) = 1
Reguläre Graphen,Durchmesser und Routing
Claudia Fabricius
Bemerkung. Der Matrizeneintrag (Am )u,v gibt an, wieviele Wege W = (u, . . . , v) mit
l(W ) = m existieren.
Sind alle Einträge von Am positiv, so ist D(G) ≤ m.
Gibt es einen Eintrag ((I + A)m )u,v = 0, so ist D(G) > m.
Algorithmus von Dijkstra. Algorithmus bestimmt Exzentrizität für einen gegebenen
Startknoten, kein Knoten wird doppelt durchlaufen. Durchmesser ist Maximum über alle
Ergebnisse. Zeitkomplexität O(n · (n log(n) + m))
Satz 4 (Chung, 1989). Sei G = (V, E) ein k-regulärer, zusammenhängender Graph mit n
Knoten und Durchmesser D(G).
log(n − 1)
(i) Ist G nicht bipartit, dann gilt D(G) ≤
+ 1.
log(k/λ(G))
log((n − 2)/2)
(ii) Ist G bipartit, dann gilt D(G) ≤
+ 2.
log(k/λ(G))
Satz 5 (Chung). Sei
G = (V, E)ein regulärer, unvollständiger Graph mit n Knoten.
log(n − 1)
.
Dann gilt: D(G) ≤
+λ1
log λλn−1
−λ
n−1
1
4 Routenprobleme
Satz 6 (Chung).
Sei G ein k-regulärer Graph mit n Knoten und P eine Menge von n2 Wegen, die alle
Knotenpaare mit höchstens Länge l verbinden und jede Kante aus G in höchstens m Wegen
vorkommt.
n
Dann gilt: λ1 ≥ kml
.
Definition. Ein Eulerkreis ist ein Zyklus, der alle Kanten des Graphen genau einmal
durchläuft.
Definition. Ein Eulerweg ist ein Pfad, der jede Kante genau einmal durchläuft.
Satz 7. Sei G ein ungerichteter, zusammenhängender Graph. Dann gibt es genau dann
einen Eulerkreis, wenn jeder Knoten geraden Grad hat.
Korollar 8. Alle zusammenhängenden k-regulären Graphen besitzen einen Eulerkreis
genau dann, wenn k gerade ist.
Definition. Ein Hamiltonkreis ist ein Kreis, der jeden Knoten von G genau einmal enthält.
Satz 9 (Nash-Williams).
Jeder k-reguläre Graph mit 2k + 1 Knoten hat einen Hamiltonkreis.
2