Ferienkurs Quantenmechanik 2009

Ferienkurs Quantenmechanik 2009
Quantenmechanik mit Näherungsmethoden, oder:
Wie rechne ich etwas aus?
Vorlesungskript für den 6. August 2009
Max Knötig
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2
2 Zeitunabhängige, nicht-entartete Störungstheorie
2
2.1
erste Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
zweite Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3 Variationsprinzip
6
3.1
Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.3
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4 WKB-Näherung
9
4.1
Zwei vertikale Wände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.2
Eine vertikale Wand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.3
Keine vertikale Wand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.4
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1
1
Einführung
Leider lassen sich in der Quantenmechanik nur die wenigsten Probleme analytisch lösen. Wir benötigen
dennoch Methoden, ein breites Spektrum an Fragen “ordentlich” zu lösen. Die drei wichtigsten Methoden sind hierbei die Störungstheorie, (Ritzsche-) Variationsverfahren und die quasiklassische Näherung
(WKB).
2
2.1
Zeitunabhängige, nicht-entartete Störungstheorie
erste Ordnung
Die Zeitunabhängige Störungstheorie ist maßgeschneidert auf Probleme, in denen der Hamiltonoperator
in zwei Teile zerfällt
H
= H 0 + λH 0
(1)
V(x)
a
x
Abbildung 1: Unendlicher Potentialtopf mit kleiner Störung
Der zweite Term λH beschreibt eine “kleine” Störung, im Vergleich zu H 0 . Der erste Term soll den
ungestörten Zustand beschreiben, dessen Lösung bereits bekannt ist
H 0 Ψ0n
= En0 Ψ0n
(2)
Oder um gleich die Dirac-Notation zu verwenden
H 0 |n0 i = En0 |n0 i
(3)
Wir versuchen nun uns vom ungestörten Zustand |n0 i zum korrekten Zustand vorzuarbeiten. Wir suchen
also die richtigen Energieeigenwerte und Zustände von H
H|ni =
En |ni
(4)
Wir nehmen an, dass sich diese Energieeigenwerte und Zustände in eine Potenzreihe von λ entwickeln
lassen
0
= EN
+ λEn 1 + λ2 En 2 + . . .
(5)
|ni = |n0 i + λ|n1 i + λ2 |n2 i + . . .
(6)
En
2
Und setzten nun (1), (5), (6) zusammen in (4) ein
H|ni = En |ni
|n i + λ|n i + λ |n2 i = En0 + λEn1 + λ2 En2 |n0 i + λ|n1 i + λ2 |n2 i
aus (4)
0
H + λH
0
0
1
2
Diese Gleichung sortieren wir nun nach Potenzen von λ. Da wir nur bis zur zweiten Potenz entwickeln
wollen lassen wir gleich höhere Potenzen, welche durch Multiplikation von λs entstehen weg.
H 0 |n0 i + λ H 0 |n1 i + H 0 |n0 i + λ2 H 0 |n2 i + H 0 |n1 i =
= En0 |n0 i + λ En0 |n1 i + En1 |n0 i + λ2 En0 |n2 i + En1 |n1 i + En2 |n0 i(7)
Durch Koeffizientenvergleich bekomen wir nun drei Formeln aus unseren Ansatz
H 0 |n0 i = En0 |n0 i
0
1
0
0
H |n i + H |n i =
H 0 |n2 i + H 0 |n1 i =
En0 |n1 i
En0 |n2 i
(8)
+
+
En1 |n0 i
En1 |n1 i
(9)
+ En2 |n0 i
(10)
Die erste Gleichung (8) ist gleich (3), was zu erwarten war. Die zweite Gleichung (9) können wir noch
einen kleinen Schritt weiter malträtieren. Ihr könnt euch selber in der Übung davon überzeugen, dass die
Korrekturen zum Grundzustand |n1 i, |n2 i, . . .(siehe Gl.(6)) Orthogonal zueinander sind
hni |nj i = δij
(11)
Wir multiplizieren also (9) mit hn0 | und nutzen (11) aus
hn0 |H 0 |n1 i + hn0 |H 0 |n0 i = hn0 |En0 |n1 i + hn0 |En1 |n0 i
En0 hn0 |n1 i + hn0 |H 0 |n0 i = En0 hn0 |n1 i + En1 hn0 |n0 i
hn0 |H 0 |n0 i =
En1
(12)
Die letzte Gleichung (12) ist die zentrale Gleichung der Störungstheorie. Für die Praxis ist sie die
möglicherweise wichtigste Gleichung der Quantenmechanik. Sie besagt, dass die Korrektur zur Energie in erster Ordnung Störungstheorie nichts anderes ist, als der Erwartungswert der Störung H 0 zum
ungestörten Zustand |n0 i.
Damit können wir gleich ein Beipiel rechnen!
3
Die ungestörte Wellenfunktion eines unendlichen eindimensionalen Potentialtopfes ist
r
nπ 2
Ψ0n (x) =
sin
x
a
a
Die Störung sei konstant
1. H 0 = V0 für 0 < x < a
2. H 0 = V0 für 0 < x <
a
2
Was ist die Energie eines Zustandes in erster Ordnng Störungstheorie?
zu 1)
En1
=
0
0
0
Za
hn |H |n i =
hn0 |xihx|H 0 |n0 idx
0
Za
0
Za
0
hn |xiV0 hx|n idx = V0
=
0
0
=
0
Ψ?0
n Ψn dx
V0
(13)
Daraus folgt für die Gesamtenergie
En = En0 + En 1 = En0 + V0
(14)
Dies macht Sinn, alle Energieniveaus werden einfach nur um das Potential V0 verschoben. Es ist
sogar die exakte Lösung. Alle Korrekturen zu höheren Ordnungen verschwinden.
zu 2)
En1
=
Za/2
hn |H |n i =
hn0 |xihx|H 0 |n0 idx
0
0
0
0
Za/2
Za/2
0
hn |xiV0 hx|n idx = V0
Ψ?0
n Ψn dx
=
0
0
0
=
V0
0
1
2
Za
0
Ψ?0
n Ψn dx =
V0
2
(15)
0
Daraus folgt für die Gesamtenergie
En = En0 + En 1 = En0 +
V0
2
(16)
In diesem Fall ist die Energie eines jeden Niveaus um V20 verschoben, was nicht das exakte Resultat
ist. Dennoch ist dieses Resultat in erster Näherung plausibel.
4
Die Formel (12) berechnet die Korrektur zur Energie in erster Ordnung. Wenn wir die Korrektur zum
Grundzustand |n0 i haben wollen müssen wir Gleichung (9) noch umschreiben
H 0 |n1 i + H 0 |n0 i =
H 0 − En0 |n1 i =
En0 |n1 i + En1 |n0 i
En1 − H 0 |n0 i
(17)
Die rechte Seite sieht schonmal gut aus. Sie beinhaltet den bereits den urspünglichen Zustand |n0 i. Die
linke Seite müssen wir noch nach den |n0 i entwickeln, um die |n1 i in Abhängigkeit von den |n0 i zu
bekommen.
X
|n1 i =
hn1 |m0 i|m0 i
(18)
m
Wir setzten dies nun in (17) ein.
X
hn1 |m0 i H 0 |m0 i − En0 |m0 i
=
En1 − H 0 |n0 i
X
0
hn1 |m0 i Em
− En0 |m0 i =
En1 − H 0 |n0 i
m
(19)
m
Die linke Seite wird für m = n gleich 0 und die rechte Seite wird zur (12). Wir berechnen
nun deshalb
0
− En0 und multiplizieren
den anderen Fall, für m 6= n. Wir teilen durch die Differenz der Energie Em
mit einem weiteren ungestörten Zustand hl0 | von links
X
0
hn1 |m0 i Em
− En0 hl0 |m0 i = hl0 | En1 − H 0 |n0 i
| {z }
m6=n
δlm
hn1 |l0 i = −
hl0 |H 0 |n0 i
(El0 − En0 )
(20)
Dies sind sie Koeffizienten in der Entwicklung von |n1 i in Abhängigkeit von den |n0 i. Wir setzten also in
(18) ein.
|n1 i =
X hm0 |H 0 |n0 i
|m0 i
0 )
(En0 − Em
(21)
m6=n
Die Gleichungen (12) und (21) sind die komplette Störungstheorie in erster Ordnung. Der Nenner in der
letzten Gleichung ist vorerst harmlos, da wir nur über m 6= n summieren. Wenn aber zwei Zustände n
und m entartet sind, also En = Em kriegen wir ein kleines Problem. Hierfür benötigen wir einen anderen
Satz von Grundzuständen |n0 i. Man verwendet hierfür die entartete Störungstheorie
2.2
zweite Ordnung
Berechnen wir noch schnell die Formel für die Korrektur der Energie in zweiter Ordnung, also En2 . Dazu
multiplizieren wir Formel (10) von links mit hn0 |
hn0 |H 0 |n2 i + hn0 |H 0 |n1 i = hn0 |En0 |n2 i + hn0 |En1 |n1 i + hn0 |En2 |n0 i
(22)
Der erste Term auf jeder Seite kürzt sich heraus, außerden benutzten wir auf der rechten Seite hn0 |n1 i = 0.
Die Gesamte Gleichung kollabiert zu
En2 = hn0 |H 0 |n1 i
(23)
Dies ergibt am Ende mit (21)
En2 = hn0 |H 0
X hm0 |H 0 |n0 i
X hm0 |H 0 |n0 ihn0 |H 0 |m0 i
|m0 i =
0
0
0 )
(En − Em )
(En0 − Em
m6=n
m6=n
5
(24)
2.3
Zusammenfassung
• Störungstheorie
“gestörte” Energie
En = En0 + En1 + En2
“gestörter” Zustand
|ni = |n0 i + |n1 i
Energiekorrektur 1. Ord.
En1 = hn0 |H 0 |n0 i
Energiekorrektur 2. Ord.
En2 =
X hm0 |H 0 |n0 ihn0 |H 0 |m0 i
0 )
(En0 − Em
m6=n
Zustandskorrektur 1. Ord.
|n1 i =
X hm0 |H 0 |n0 i
|m0 i
0 )
(En0 − Em
m6=n
Grundsätzlich lässt sich die Störungstheorie am besten mit Computern in beliebiger Ordnung berechnen.
Die Energie ist grundätzlich erstaunlich gut approximiert, wohingegen der gestörte Zustand eher ungenau
ist. Für die Grundzustandsenergie ist die “gestörte” Energie in erster Ordnung eine obere Schranke
E0 ≤ E00 + E01
(25)
Und der zweite Energiekorrekturterm E02 negativ.
3
3.1
Variationsprinzip
Theorie
Kommen wir zum Variationsprinzip. Nehmen wir an, wir möchten die Grundzustandsenergie eines Systems berechnen, haben aber keine Ahnung, wie wir die Schrödingergleichung für unsren Hamiltonoperator H lösen. Ein nützliches Theorem hilft uns irgendeine Funktion |Ψi (am besten eine gut geratene,
sie muss aber nicht normiert sein) zu verwenden. Sehen wir uns einmal den Erwartungswert des Hamiltonoperators bezüglich |Ψi an
hΨ|H|Ψi
(26)
Setzten wir einfach mal eine “Eins” ein
hΨ|H|Ψi =
X
hΨ|nihn|H|Ψi
n
=
X
En hΨ|nihn|Ψi
(27)
n
Die Grundzustandsenergie ist kleiner als jeder andere Energieeigenwert
En ≥ E0
6
(28)
Damit kann man (27) weiterhin abschätzen
X
En hΨ|nihn|Ψi
≥
n
E0
X
hΨ|nihn|Ψi
n
hΨ|H|Ψi
= E0 hΨ|Ψi
(29)
≥ E0 hΨ|Ψi
(30)
Diese letzte Gleichung bedeutet also, dass der normierte Erwartungswert eines komplizierten Hamiltonoperators zu einer völlig beliebigen Funktion |Ψi größer ist, als die Grundzustandsenergie! Wir müssen
einfach nur die Funktion |Ψi “optimieren”. In der Praxis nimmt man einen Satz von anpassbaren Parametern und minimiert folglich Evar
E0 ≤ Evar =
hΨ|H|Ψi
hΨ|Ψi
7
(31)
3.2
Beispiel
Finde eine obere Schranke für die Grunzustandsenergie eines Delta-Topf-Potentials
H=−
~ d2
− αδ (x)
2m dx2
(32)
Mithilfe einer gausschen Testfunktion mit einem freien Parameter b
Ψ = e−bx
1) Wir berechnen
hψ|H|ψi
hψ|ψi .
2
(33)
Dazu berechnen wir zunächst hψ|ψi
Z∞
Z∞
hψ|ψi =
dxhψ|xihx|ψi =
−∞
Z∞
=
dxψ ? (x) ψ (x)
−∞
r
2
dxe−2bx =
π
2b
(34)
−∞
2) Berechnen wir hψ|H|ψi
hψ|H|ψi = hψ|T + V |ψi = hψ|T |ψi + hψ|V |ψi
~2
hψ|T |ψi = . . . = −
2m
Z∞
−∞
=
b~2
m
Z∞
2
2
dxe−bx · e−bx −
4b2 ~2
2m
=
b~
m
=
~2
m
2
d
(−2bx · e−bx )
dx
2
dxe−2bx x2
−∞
d
− dγ
r
2
dxe−bx
−∞
Z∞
−∞
2
Z∞
~2
d2
dxψ (x) 2 ψ (x) = −
dx
2m
?
(35)
2 2
2
r
r
{z
|
2 2√
2b ~ d
~
π
π
bπ b ~
+
=
−
2b
m dγ γ
m
2
m
r
r !
r
bπ 1 bπ
~2 bπ
−
=
2
2
2
2m
2
Z∞
hψ|V |ψi = . . . = −
}
d
dxe−γx2 =− dγ
−∞
R∞
√π
γ
− 23
π (2b)
2
dxe−bx · αδ (x) = −α
(36)
(37)
−∞
Für unsere Testfunktion erreichen wir also folgende Energieschranke
r
hψ|H|ψi
~2 b
2b
Evar =
=
−α
hψ|ψi
2m
π
8
(38)
3) Wir müssen die Energie bezüglich b minimieren
d
Evar
db
⇒
=
√
bmin
bmin
r
~2 b α
2 !
−
=0
2m
2 πb
r
2m
=α
π ~2
2α2 m2
=
π~4
(39)
4) Setze diesen optimierten Wert in die (38) ein
min
Evar
=
~2 2α2 m2
−α
2m π~4
r
min
Evar
=−
2 2α2 m2
α2 m 2α2 m
=
−
4
π π~
π~2
π~2
α2 m
π~2
(40)
Wir vergleichen natürlich noch mit dem exakten Ergebnis
E0 = −
α2 m
2~2
(41)
min
≥ E0 und liefert eine
Die Variationsenergie it in der Tat größer als die Grundzustandsenergie Evar
gute Abschätzung.
3.3
Zusammenfassung
• Variationsverfahren
E0 ≤ Evar =
4
4.1
hΨ|H|Ψi
hΨ|Ψi
(42)
WKB-Näherung
Zwei vertikale Wände
Die WKB-Näherung ist eine Methode, Näherungen der Schrödingergleichung in einer Dimension zu bauen
und kann deshalb auf die radiale Schrödingergleichung erweitert werden. Sie beschreibt Energieniveaus
und Tunnelwahrscheinlichkeiten gut. Ich möchte hier nur auf die Ergebnisse eingehen und die wichtigsten
Formeln zusammenfassen, die Näherung der Schrödingergleichung diesbezüglich könnt ihr am besten im
Griffiths nachlesen.
Tatsächlich ist die folgende Wellenfunktion eine gute (WKB-)Näherung
1
C+ · eiΦ(x) + C− e−iΦ(x)
ψ ∼
= p
p (x)
1
(C1 · sin (Φ (x)) + C2 cos (Φ (x)))
≡ p
p (x)
(43)
(44)
wobei Φ die Phase der Welle ist
Z
1
Φ =
p (x) dx
~
p
p (x) =
2m · (E − V (x))
9
(45)
(46)
Für einen Potentialtopf mit einem nicht unbedingt flachem Boden, können wir hier bereits Randbedingungen einsetzten und ein interessantes Ergebnis ableiten
(
bel. F unktion 0 < x < a
(47)
V (x) =
∞
sonst.
ψ (0)
=
0
=
!
ψ (a) = 0

 √ 1 C2
p(x)
 √ 1 C1
p(x)
(48)
⇒ C2 = 0
· sin (Φ (a)) ⇒ Φ (a) = 0
(49)
Wenn wir uns die Phase näher ansehen folgt
1
~
Za
p (x) dx = nπ
(50)
0
Dies ist unser erstes interessantes Ergebnis! Die obige Wellenfkt. lässt sich in den klassisch verbotenen
Bereich erweitern. Der Impuls, wie er oben definert ist wird imaginär und die Wellenfunktion zu einer
exponentiell abfallenden Funktion. Um die Wellenfunktion an einem Wendepunkt zu beschreiben, brauchen wir noch einen Trick, da wir dort auf ein Problem stoßen. An denn einem klassischen Wendepunkt
ist die Energie eines Teilchens gleich seiner potentiellen Energie. Für den Impuls heißt das
p
p (x) = 2m (E − V (x)) = 0
(51)
ψ (x) ∝
ψ (x) |W endepunkt
=
1
(52)
p
p (x)
±∞
(53)
Das Problem lässt sich beheben, indem wir an den Wendepunkten die WKB-Näherung an die sog. AiryFunktion angleichen (warum, siehe Griffiths, sog. Langer-Verfahren)
ψAiry
α
a · Ai (α · x) + b · Bi (α · x)
31
2m 0
V
(x
)
=
wend
~2
=
(54)
(55)
Definieren wir noch einen rechtsseitigen und einen linksseitigen Wendepunkt
x1
=
linksseitiger W endepunkt, E < V ∀x < x1
(56)
x2
=
rechtsseitiger W endepunkt, E < V ∀x > x2
(57)
so führt die ausführliche und hier viel zu lange Rechnung auf
 D0
Rx
exp − ~1 x 1 |p (x0 )| dx0
√
|p(x)|
h R
i
ψlinks (x) =
0
 √2D sin 1 x p (x0 ) dx0 + π
~ x1
4
p(x)
für einen linksseitigen Wendepunkt x1 und
 2D
Rx
sin ~1 x 2 p (x0 ) dx0 + π4
√
p(x)
h
i
ψrechts (x) =
R
 √ D exp − 1 x |p (x0 )| dx0
~ x
|p(x)|
2
f ür x < x1
f ür x > x1
(58)
f ür x < x2
f ür x > x2
(59)
für einen rechtsseitigen Wendepunkt x2 . Bemerke hier, dass diese Wellenfunktionen nur in einem Potential
gültig sind, dessen Verlauf jenseits der Wendepunkte immer über der Energie des Teilchens liegt. Die
Gleichungen (58) und (59) können also nicht direkt für Tunnelphänomene herangezogen werden. Mit
diesen Funktionen können wir aber zwei weitere Klassen von Potentialen bearbeiten
10
4.2
Eine vertikale Wand
Potentiale mit einer vertikalen Wand und einem rechtsseitigen Wendepunkt x2 können durch das folgende
Potential beschrieben werden
(
bel. F unktion, f ür x > 0
V (x) =
(60)
∞
f ür x < 0
Wir haben also eine Randbedingung bei x = 0 vorgegeben, aus der unsere Quantisierungsbedingung folgt.
Wir setzten in (58) ein
!
ψ (0)
=
0
=

 x
Z2
π
1
2D
p
p (x0 ) dx0 + 
sin 
~
4
p (x)
0
⇒
1
~
Zx2
p (x0 ) dx0 +
π
= nπ
4
(61)
0
Oder umgeschrieben
Zx2
p (x0 ) dx0 =
1
~π
n−
4
(62)
0
4.3
Keine vertikale Wand
Für Potentiale ohne vertikale Wand mit rechts- und linksseitigen Wendepunkt x2 und x1 benötigen wir
(58) und (59). Innerhalb des Potentials müssen sie offensichtlich übereinstimmen

2D0
1
p
sin 
~
p (x)
+
1
~
Zx
ψ (x)links

π
p (x0 ) dx0 
4
= ψ (x)rechts
=
x1
Zx


Zx2
−2D
1
π
p
sin −
p (x0 ) dx0 − 
~
4
p (x)
x
p (x0 ) dx0 +
π
4
= −
x1
Zx2
p (x0 ) dx0 =
1
~
Zx2
p (x0 ) dx0 −
π
+ nπ
4
x
1
n−
~π
2
x1
Die letzte Quantisierungsbedingung ist auch als Bohr-Sommerfeld-Quantisierung bekannt.
11
(63)
4.4
Zusammenfassung
• WKB-Verfahren
Za
Zwei senkrechte Wände
p (x) dx = n~π ;
:
0
Zx2
Eine senkrechte Wand
:
Wand bei 0 und a
(64)
p (x0 ) dx0 =
1
n−
~π ; Wendepunkt bei x2
4
(65)
p (x0 ) dx0 =
1
n−
~π ; Wendepunkt bei x1 und x1
2
(66)
0
Zx2
Keine senkrechte Wand
:
x1
12