Blatt 5 - hanno

Übungen zu Quantenmechanik 1 - Blatt 5
Hanno Rein
Aufgabe 10
a) Setze
r
s :=
mω
x,
~
r
φn (s) = ψn
!
~
s
mω
Somit ist
dx
=
ds
r
~
mω
⇒
∂
=
∂x
r
mω ∂
~ ∂s
Eingesetzt ergibt sich:
~2 2 mω 2 2
−
∂ +
x ψn (x) = En ψn (x)
2m x
2
~ω 2 ~ω 2
s φn (s) = En φn (s)
− ∂s +
2
2
2
−∂s2 + s2 φn (s) =
En φn (s)
|~ω{z }
=:n
b) Eingesetzt ergibt sich folgende Differenzialgleichung:
−∂s2 + s2 φn (s) =
1 2
−∂s2 + s2 Hn (s)e− 2 s =
1 2
−∂s2 Hn (s)e− 2 s
=
1 2
1 2
−∂s Hn0 (s)e− 2 s − s Hn (s)e− 2 s
=
n φn (s)
1 2
n Hn (s)e− 2 s
1 2
(−s2 + n )Hn (s)e− 2 s
1 2
(−s2 + n )Hn (s)e− 2 s
−Hn00 (s) + s Hn0 (s) + s Hn0 (s) − s2 Hn (s) + Hn (s) = (−s2 + n )Hn (s)
−Hn00 (s) + s Hn0 (s) + s Hn0 (s) + Hn (s) − n Hn (s) = 0
−Hn00 (s) + 2s Hn0 (s) + (1 − n )Hn (s) = 0
c) Es ergibt sich:
−2
−Hn00 (s) + 2s Hn0 (s) + (1 − n )Hn (s)
!
!
∞
∞
X
X
(−)
2
2m−1
(−)
2m
hm (2m + m) s
+ 2s
hm (2m + 1) s
m=1
=
0
=
0
=
0
=
0
m=0
+(1 − n )
∞
X
!
h(−)
m
2m+1
s
m=0
−
∞
X
!
(−)
h(n+1) 2(n
2(n+1)−1
+ 1)(2(n + 1) + 1) s
+
n=0
∞
X
!
h(−)
m 2(2m
2m+1
+ 1) s
m=0
+(1 − n )
∞
X
!
h(−)
m
2m+1
s
m=0
−
∞
X
!
(−)
h(m+1) (2m
2m+1
+ 2)(2m + 3) s
+
m=0
∞
X
!
h(−)
m (2(2m
m=0
Durch Koeffizientenvergleich folgt:
(−)
−hm+1 (4m2 + 10m + 6) + h(−)
m (4m + 3 − n )
=
0
2m+1
+ 1) + (1 − n )) s
Übungen zu Quantenmechanik 1 - Blatt 5
Hanno Rein
d) Nur eine abbrechende Potenzreihe kann eine Lösung sein, da die Reihe nicht stärker ansteigen darf,
1 2
als die Exponentialfunktion e 2 s abfällt. Dies ist nur der Fall, wenn alle Koeffizienten ab einem
(−)
bestimmtem Wert 0 sind. Damit die Rekursion abbricht, muss hk = 0 sein.
(−)
= h(−)
m
hm+1
4m + 3 − n !
=0
4m2 + 10m + 6
Also sind die Eigenwerte:
n = 4n + 3
e) Die Eigenwerte sind:
0 = 3,
E0 =
1 = 7,
E1 =
2 = 11, E2 =
3 = 15, E3 =
4 = 19, E4 =
5 = 23, E5 =
3
~ω
2
7
~ω
2
11
~ω
2
15
~ω
2
19
~ω
2
23
~ω
2
Die Eigenfunktionen sind:
r
mω
x
ψ0 (x) = φ0
~
r
1 mω 2
mω
(−)
= C0 exp −
x h0
x
2 ~
~
..
.
Aufgabe 10
p2
K 2
N dp δ E −
− x
2m
2


q
q
k 2
k 2
Z
E − 2 x 2m
δ p+
E − 2 x 2m 
δ p −

q
q
N dp 
+


k 2 2
k 2 2
E − 2x m
E − 2x m


1
1

N q
+q
2
k 2 2
E − 2x m
E − k2 x2 m
s
2m
N
E − k2 x2
Z
ρcl (x)
=
=
=
=
Die Normierung ergibt:
s
Z
2m
1 =
dx
E − k2 x2
=