Ferienkurs Quantenmechanik 2011 - TUM

Ferienkurs Quantenmechanik 2011
Vorlesungsskript für den 8. September 2011
Kapitel 1 bis 3: Max Knötig
Kapitel 4: Matthias Herzog
nach Wachter, Hoeber: Repetitorium der Theoretischen Physik, Springer 2005
Inhaltsverzeichnis
1
Einführung
2
2
Zeitunabhängige, nicht-entartete Störungstheorie
2.1 erste Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 zweite Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
5
6
3
Variationsprinzip
3.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
8
9
4
Elektromagnetische Wechselwirkung
4.1 Elektron in einem äußeren elektromagnetischen Feld . . . . . . . . .
4.2 Normaler Zeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
11
1
1
Einführung
Leider lassen sich in der Quantenmechanik nur die wenigsten Probleme analytisch lösen. Wir benötigen
dennoch Methoden, ein breites Spektrum an Fragen “ordentlich” zu lösen. Die drei wichtigsten Methoden sind hierbei die Störungstheorie, (Ritzsche-) Variationsverfahren und die quasiklassische Näherung
(WKB).
2
2.1
Zeitunabhängige, nicht-entartete Störungstheorie
erste Ordnung
Die Zeitunabhängige Störungstheorie ist maßgeschneidert auf Probleme, in denen der Hamiltonoperator
in zwei Teile zerfällt
H
= H 0 + λH 0
(1)
V(x)
a
x
Abbildung 1: Unendlicher Potentialtopf mit kleiner Störung
Der zweite Term λH beschreibt eine “kleine” Störung, im Vergleich zu H 0 . Der erste Term soll den
ungestörten Zustand beschreiben, dessen Lösung bereits bekannt ist
H 0 Ψ0n
= En0 Ψ0n
(2)
Oder um gleich die Dirac-Notation zu verwenden
H 0 |n0 i = En0 |n0 i
(3)
Wir versuchen nun uns vom ungestörten Zustand |n0 i zum korrekten Zustand vorzuarbeiten. Wir suchen
also die richtigen Energieeigenwerte und Zustände von H
H|ni =
En |ni
(4)
Wir nehmen an, dass sich diese Energieeigenwerte und Zustände in eine Potenzreihe von λ entwickeln
lassen
0
= EN
+ λEn 1 + λ2 En 2 + . . .
(5)
|ni = |n0 i + λ|n1 i + λ2 |n2 i + . . .
(6)
En
2
Und setzten nun (1), (5), (6) zusammen in (4) ein
H|ni = En |ni
|n i + λ|n i + λ |n2 i = En0 + λEn1 + λ2 En2 |n0 i + λ|n1 i + λ2 |n2 i
aus (4)
0
H + λH
0
0
1
2
Diese Gleichung sortieren wir nun nach Potenzen von λ. Da wir nur bis zur zweiten Potenz entwickeln
wollen lassen wir gleich höhere Potenzen, welche durch Multiplikation von λs entstehen weg.
H 0 |n0 i + λ H 0 |n1 i + H 0 |n0 i + λ2 H 0 |n2 i + H 0 |n1 i =
= En0 |n0 i + λ En0 |n1 i + En1 |n0 i + λ2 En0 |n2 i + En1 |n1 i + En2 |n0 i(7)
Durch Koeffizientenvergleich bekomen wir nun drei Formeln aus unseren Ansatz
H 0 |n0 i = En0 |n0 i
0
1
0
0
H |n i + H |n i =
H 0 |n2 i + H 0 |n1 i =
En0 |n1 i
En0 |n2 i
(8)
+
+
En1 |n0 i
En1 |n1 i
(9)
+ En2 |n0 i
(10)
Die erste Gleichung (8) ist gleich (3), was zu erwarten war. Die zweite Gleichung (9) können wir noch
einen kleinen Schritt weiter malträtieren. Ihr könnt euch selber in der Übung davon überzeugen, dass die
Korrekturen zum Grundzustand |n1 i, |n2 i, . . .(siehe Gl.(6)) Orthogonal zueinander sind
hni |nj i = δij
(11)
Wir multiplizieren also (9) mit hn0 | und nutzen (11) aus
hn0 |H 0 |n1 i + hn0 |H 0 |n0 i = hn0 |En0 |n1 i + hn0 |En1 |n0 i
En0 hn0 |n1 i + hn0 |H 0 |n0 i = En0 hn0 |n1 i + En1 hn0 |n0 i
hn0 |H 0 |n0 i =
En1
(12)
Die letzte Gleichung (12) ist die zentrale Gleichung der Störungstheorie. Für die Praxis ist sie die
möglicherweise wichtigste Gleichung der Quantenmechanik. Sie besagt, dass die Korrektur zur Energie in erster Ordnung Störungstheorie nichts anderes ist, als der Erwartungswert der Störung H 0 zum
ungestörten Zustand |n0 i.
Damit können wir gleich ein Beipiel rechnen!
3
Die ungestörte Wellenfunktion eines unendlichen eindimensionalen Potentialtopfes ist
r
nπ 2
Ψ0n (x) =
sin
x
a
a
Die Störung sei konstant
1. H 0 = V0 für 0 < x < a
2. H 0 = V0 für 0 < x <
a
2
Was ist die Energie eines Zustandes in erster Ordnng Störungstheorie?
zu 1)
En1
=
0
0
0
Za
hn |H |n i =
hn0 |xihx|H 0 |n0 idx
0
Za
0
Za
0
hn |xiV0 hx|n idx = V0
=
0
0
=
0
Ψ?0
n Ψn dx
V0
(13)
Daraus folgt für die Gesamtenergie
En = En0 + En 1 = En0 + V0
(14)
Dies macht Sinn, alle Energieniveaus werden einfach nur um das Potential V0 verschoben. Es ist
sogar die exakte Lösung. Alle Korrekturen zu höheren Ordnungen verschwinden.
zu 2)
En1
=
Za/2
hn |H |n i =
hn0 |xihx|H 0 |n0 idx
0
0
0
0
Za/2
Za/2
0
hn |xiV0 hx|n idx = V0
Ψ?0
n Ψn dx
=
0
0
0
=
V0
0
1
2
Za
0
Ψ?0
n Ψn dx =
V0
2
(15)
0
Daraus folgt für die Gesamtenergie
En = En0 + En 1 = En0 +
V0
2
(16)
In diesem Fall ist die Energie eines jeden Niveaus um V20 verschoben, was nicht das exakte Resultat
ist. Dennoch ist dieses Resultat in erster Näherung plausibel.
4
Die Formel (12) berechnet die Korrektur zur Energie in erster Ordnung. Wenn wir die Korrektur zum
Grundzustand |n0 i haben wollen müssen wir Gleichung (9) noch umschreiben
H 0 |n1 i + H 0 |n0 i =
H 0 − En0 |n1 i =
En0 |n1 i + En1 |n0 i
En1 − H 0 |n0 i
(17)
Die rechte Seite sieht schonmal gut aus. Sie beinhaltet den bereits den urspünglichen Zustand |n0 i. Die
linke Seite müssen wir noch nach den |n0 i entwickeln, um die |n1 i in Abhängigkeit von den |n0 i zu
bekommen.
X
|n1 i =
hn1 |m0 i|m0 i
(18)
m
Wir setzten dies nun in (17) ein.
X
hn1 |m0 i H 0 |m0 i − En0 |m0 i
=
En1 − H 0 |n0 i
X
0
hn1 |m0 i Em
− En0 |m0 i =
En1 − H 0 |n0 i
m
(19)
m
Die linke Seite wird für m = n gleich 0 und die rechte Seite wird zur (12). Wir berechnen
nun deshalb
0
− En0 und multiplizieren
den anderen Fall, für m 6= n. Wir teilen durch die Differenz der Energie Em
mit einem weiteren ungestörten Zustand hl0 | von links
X
0
hn1 |m0 i Em
− En0 hl0 |m0 i = hl0 | En1 − H 0 |n0 i
| {z }
m6=n
δlm
hn1 |l0 i = −
hl0 |H 0 |n0 i
(El0 − En0 )
(20)
Dies sind sie Koeffizienten in der Entwicklung von |n1 i in Abhängigkeit von den |n0 i. Wir setzten also in
(18) ein.
|n1 i =
X hm0 |H 0 |n0 i
|m0 i
0 )
(En0 − Em
(21)
m6=n
Die Gleichungen (12) und (21) sind die komplette Störungstheorie in erster Ordnung. Der Nenner in der
letzten Gleichung ist vorerst harmlos, da wir nur über m 6= n summieren. Wenn aber zwei Zustände n
und m entartet sind, also En = Em kriegen wir ein kleines Problem. Hierfür benötigen wir einen anderen
Satz von Grundzuständen |n0 i. Man verwendet hierfür die entartete Störungstheorie
2.2
zweite Ordnung
Berechnen wir noch schnell die Formel für die Korrektur der Energie in zweiter Ordnung, also En2 . Dazu
multiplizieren wir Formel (10) von links mit hn0 |
hn0 |H 0 |n2 i + hn0 |H 0 |n1 i = hn0 |En0 |n2 i + hn0 |En1 |n1 i + hn0 |En2 |n0 i
(22)
Der erste Term auf jeder Seite kürzt sich heraus, außerden benutzten wir auf der rechten Seite hn0 |n1 i = 0.
Die Gesamte Gleichung kollabiert zu
En2 = hn0 |H 0 |n1 i
(23)
Dies ergibt am Ende mit (21)
En2 = hn0 |H 0
X hm0 |H 0 |n0 i
X hm0 |H 0 |n0 ihn0 |H 0 |m0 i
|m0 i =
0
0
0 )
(En − Em )
(En0 − Em
m6=n
m6=n
5
(24)
2.3
Zusammenfassung
• Störungstheorie
“gestörte” Energie
En = En0 + En1 + En2
“gestörter” Zustand
|ni = |n0 i + |n1 i
Energiekorrektur 1. Ord.
En1 = hn0 |H 0 |n0 i
Energiekorrektur 2. Ord.
En2 =
X hm0 |H 0 |n0 ihn0 |H 0 |m0 i
0 )
(En0 − Em
m6=n
Zustandskorrektur 1. Ord.
|n1 i =
X hm0 |H 0 |n0 i
|m0 i
0 )
(En0 − Em
m6=n
Grundsätzlich lässt sich die Störungstheorie am besten mit Computern in beliebiger Ordnung berechnen.
Die Energie ist grundätzlich erstaunlich gut approximiert, wohingegen der gestörte Zustand eher ungenau
ist. Für die Grundzustandsenergie ist die “gestörte” Energie in erster Ordnung eine obere Schranke
E0 ≤ E00 + E01
(25)
Und der zweite Energiekorrekturterm E02 negativ.
3
3.1
Variationsprinzip
Theorie
Kommen wir zum Variationsprinzip. Nehmen wir an, wir möchten die Grundzustandsenergie eines Systems berechnen, haben aber keine Ahnung, wie wir die Schrödingergleichung für unsren Hamiltonoperator H lösen. Ein nützliches Theorem hilft uns irgendeine Funktion |Ψi (am besten eine gut geratene,
sie muss aber nicht normiert sein) zu verwenden. Sehen wir uns einmal den Erwartungswert des Hamiltonoperators bezüglich |Ψi an
hΨ|H|Ψi
(26)
Setzten wir einfach mal eine “Eins” ein
hΨ|H|Ψi =
X
hΨ|nihn|H|Ψi
n
=
X
En hΨ|nihn|Ψi
(27)
n
Die Grundzustandsenergie ist kleiner als jeder andere Energieeigenwert
En ≥ E0
6
(28)
Damit kann man (27) weiterhin abschätzen
X
En hΨ|nihn|Ψi
≥
n
E0
X
hΨ|nihn|Ψi
n
hΨ|H|Ψi
= E0 hΨ|Ψi
(29)
≥ E0 hΨ|Ψi
(30)
Diese letzte Gleichung bedeutet also, dass der normierte Erwartungswert eines komplizierten Hamiltonoperators zu einer völlig beliebigen Funktion |Ψi größer ist, als die Grundzustandsenergie! Wir müssen
einfach nur die Funktion |Ψi “optimieren”. In der Praxis nimmt man einen Satz von anpassbaren Parametern und minimiert folglich Evar
E0 ≤ Evar =
hΨ|H|Ψi
hΨ|Ψi
7
(31)
3.2
Beispiel
Finde eine obere Schranke für die Grunzustandsenergie eines Delta-Topf-Potentials
H=−
~ d2
− αδ (x)
2m dx2
(32)
Mithilfe einer gausschen Testfunktion mit einem freien Parameter b
Ψ = e−bx
1) Wir berechnen
hψ|H|ψi
hψ|ψi .
2
(33)
Dazu berechnen wir zunächst hψ|ψi
Z∞
Z∞
hψ|ψi =
dxhψ|xihx|ψi =
−∞
Z∞
=
dxψ ? (x) ψ (x)
−∞
r
2
dxe−2bx =
π
2b
(34)
−∞
2) Berechnen wir hψ|H|ψi
hψ|H|ψi = hψ|T + V |ψi = hψ|T |ψi + hψ|V |ψi
~2
hψ|T |ψi = . . . = −
2m
Z∞
−∞
=
b~2
m
Z∞
2
2
dxe−bx · e−bx −
4b2 ~2
2m
=
b~
m
=
~2
m
2
d
(−2bx · e−bx )
dx
2
dxe−2bx x2
−∞
d
− dγ
r
2
dxe−bx
−∞
Z∞
−∞
2
Z∞
~2
d2
dxψ (x) 2 ψ (x) = −
dx
2m
?
(35)
2 2
2
r
r
{z
|
2 2√
2b ~ d
~
π
π
bπ b ~
+
=
−
2b
m dγ γ
m
2
m
r
r !
r
bπ 1 bπ
~2 bπ
−
=
2
2
2
2m
2
Z∞
hψ|V |ψi = . . . = −
}
d
dxe−γx2 =− dγ
−∞
R∞
√π
γ
− 23
π (2b)
2
dxe−bx · αδ (x) = −α
(36)
(37)
−∞
Für unsere Testfunktion erreichen wir also folgende Energieschranke
r
hψ|H|ψi
~2 b
2b
Evar =
=
−α
hψ|ψi
2m
π
8
(38)
3) Wir müssen die Energie bezüglich b minimieren
d
Evar
db
⇒
=
√
bmin
bmin
r
~2 b α
2 !
−
=0
2m
2 πb
r
2m
=α
π ~2
2α2 m2
=
π~4
(39)
4) Setze diesen optimierten Wert in die (38) ein
min
Evar
=
~2 2α2 m2
−α
2m π~4
r
min
Evar
=−
2 2α2 m2
α2 m 2α2 m
=
−
4
π π~
π~2
π~2
α2 m
π~2
(40)
Wir vergleichen natürlich noch mit dem exakten Ergebnis
E0 = −
α2 m
2~2
(41)
min
≥ E0 und liefert eine
Die Variationsenergie it in der Tat größer als die Grundzustandsenergie Evar
gute Abschätzung.
3.3
Zusammenfassung
• Variationsverfahren
E0 ≤ Evar =
4
4.1
hΨ|H|Ψi
hΨ|Ψi
(42)
WKB-Näherung
Zwei vertikale Wände
Die WKB-Näherung ist eine Methode, Näherungen der Schrödingergleichung in einer Dimension zu bauen
und kann deshalb auf die radiale Schrödingergleichung erweitert werden. Sie beschreibt Energieniveaus
und Tunnelwahrscheinlichkeiten gut. Ich möchte hier nur auf die Ergebnisse eingehen und die wichtigsten
Formeln zusammenfassen, die Näherung der Schrödingergleichung diesbezüglich könnt ihr am besten im
Griffiths nachlesen.
Tatsächlich ist die folgende Wellenfunktion eine gute (WKB-)Näherung
1
C+ · eiΦ(x) + C− e−iΦ(x)
ψ ∼
= p
p (x)
1
(C1 · sin (Φ (x)) + C2 cos (Φ (x)))
≡ p
p (x)
(43)
(44)
wobei Φ die Phase der Welle ist
Z
1
Φ =
p (x) dx
~
p
p (x) =
2m · (E − V (x))
9
(45)
(46)
4
4.1
Elektromagnetische Wechselwirkung
Elektron in einem äußeren elektromagnetischen Feld
Bezeichnen A und φ das Vektor bzw. Skalarpotential der elektromagnetischen Felder
E und B, so ist der Hamilton-Operator in der Ortsdarstellung für ein mit E und B
wechselwirkendes Elektron mit Masse me und Ladung e analog zur klassischen Elektrodynamik gegeben durch
2
h̄
1
e
Ĥ =
(1)
∇ − A (x,t) + eφ (x,t) .
2me i
c
Den (·)2 -Term kann wie folgt umgeformt werden, wenn man ihn auf eine Wellenfunktion Φ anwendet:
2
h̄
e
h̄
e
h̄
e
∇− A Φ =
∇− A
∇Φ − AΦ
(2)
i
c
i
c
i
c
ieh̄
ieh̄
e2
∇ · (AΦ) +
A · ∇Φ + 2 A2 Φ
c
c
c
ieh̄
2ieh̄
e2
= −h̄∇2 Φ +
(∇ · A) Φ +
A · ∇Φ + 2 A2 Φ
c
c
c
= −h̄∇2 Φ +
(3)
(4)
In der Coulomb-Eichung ∇A = 0 fällt der zweite Term weg und man erhält aus (1)
Ĥ
= −
h̄2 2 ieh̄
e2
∇ +
A∇ +
A2 + eφ .
2me
me c
2me c2
(5)
Für die meisten atomaren Systeme ist bei der Größe der im Labor erreichbaren Felder
der in A quadratische Term um mehrere Größenordnungen kleiner als der in A lineare,
deswegen kann man den dritten Term auf der rechten Seite vernachlässigen. Der zweite
Term kann mit Hilfe von A = − 21 (x × B), der Definition des Bahndrehimpuls in der
Ortsdarstellung L̂ = −ih̄ (x × ∇) (siehe Vorlesung Mittwoch) und folgender Vektorarithmetik,
∂Φ
∂Φ
= −B j xi
εikl
= −B · (x × ∇) Φ, (6)
(x × B) · ∇Φ = xi B j εi jk
∂ xk
∂ xk
umgeformt werden. Damit erhalten wir
ieh̄
ieh̄
A∇ = −
(x × B) ∇
me c
2me c
ieh̄
=
B · (x × ∇)
2me c
e
B · L̂
= −
2me c
= −B · M̂ , M̂ =
(7)
(8)
(9)
e
B · L̂
2me c
(10)
wobei man M̂ als magnetisches Dipolmoment des Elektrons mit dem Bahndrehimpuls
L̂ auffassen kann. Der Hamiltonoperator für ein Elektron im magnetischen Feld hat
nun die folgende Form:
Ĥ
= −
h̄2 2
∇ − BM̂ + eφ .
2me
10
(11)
4.2
Normaler Zeeman-Effekt
Wir betrachten jetzt das einfache Wasserstoffatom (ohne Spin; so wie wir es am Mittwoch behandelt haben) in einem äußerem konstantem Magnetfeld in z-Richtung, B =
Bez. Mit (11) und der Ersetzung der Elektronmasse durch die reduzierte Masse, me →
µ, lautet dann die Schrödingergleichung:
E (0) + E (1) Ψ
Ĥ (0) + Ĥ (1) Ψ =
(12)
mit
h̄2 2
∇ + eφ
2µ
Ze
φ (x) = −
|x|
eB
Ĥ (1) = −
L̂z
2µc
Ĥ (0)
= −
(13)
(14)
(15)
Da die Lösungen Ψn,l,m der Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom,
Ĥ (0) Ψn,l,m
E (0)
= E (0) Ψn,l,m
(0)
= En
=
(16)
µc2 Z 2 αe2
−
2n2
(17)
Auch Eigenzustände von L̂z sind, ergibt sich E (1) unmittelbar aus
Ĥ (1) Ψn,l,m
L̂z Ψn,l,m
= E (1) Ψn,l,m und
= h̄mΨn,l,m
(18)
(19)
zu
E (1)
(1)
= Elm = −
eB
h̄m,
2µc
(20)
wobei m die Magnetquantenzahl (vgl. Vorlesung vom Mittwoch) ist. Die zu festem l
gehörenden (2l + 1)-fach entarteten Niveaus werden also bei Anwesenheit eines konstanten Magnetfeldes in (2l + 1) äquidistante Niveaus aufgespalten (normaler ZeemanEffekt).
11