3 die grundrechenarten
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769855338 FERNUNTERRICHT ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN FACHHOCHSCHULREIFE - LEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE M A T H E M A T I K LEHREINHEIT 03 INHALT: Die Grundrechenarten 1 / 17 Stand: 13.09.2006 13:47:00 769855338 INHALTSVERZEICHNIS ZUR LEHREINHEIT 03 Seite 3 Die Grundrechenarten 3 - 15 3.1 Addition und Subtraktion; Rechengesetze 3 - 5 3.1.1 Zahlen als Pfeile 3 - 5 3.1.2 Regeln und Gesetze 5 3.2 Addition und Subtraktion von Termen 6 - 7 3.3 Multiplikation; Rechengesetze 7 - 8 3.4 Produkte mit gleichen Faktoren: Potenzen 8 - 9 3.4.1 Der Potenzbegriff 8 3.4.2 Das Rechnen mit Potenzen 9 3.5 Multiplikation eines Faktors mit einer Summe 9 - 10 3.6 Multiplikation von Summen; die binomischen Formeln 10 - 12 3.7 Faktorisieren 12 3.8 Division 12 - 14 Aufgaben zur Lehreinheit 03 14 Lösungen der Übungen und Aufgaben 15 Einsendeaufgaben 16 2 / 17 Stand: 13.09.2006 13:47:00 769855338 3 DIE GRUNDRECHENARTEN In der vorliegenden Lehreinheit und in Lehreinheit 04 werden Rechentechniken und Rechenregeln für Termumformungen bezüglich der Grundrechenarten behandelt. 3.1 Addition und Subtraktion: Rechengesetze Können Sie sich noch an die Regel erinnern: Ein „doppeltes Minus“ ergibt ein „Plus“!? Es fällt schwer, diese Regel zu erklären bzw. zu verstehen. Man kann beispielsweise die doppelte Verneinung heranziehen. Eine Abnahme von Schulden ist zweifellos etwas Positives. An dieser Stelle sollen die obige Regel und weitere Rechen- und Vorzeichenregeln zur Addition und Subtraktion mit Hilfe der Zahlengeraden und sogenannten Vektoren erarbeitet werden. Die Gründe dafür sind: 1. Die Art der Darstellung ist rechtlich anschaulich. 2. Es gibt einen umfangreichen Teilbereich der Mathematik, die Vektorrechnung, die auf dieser Grundlage aufbaut (Vektorrechnung wird z.B. im Fachhochschulreifelehrgang Technik behandelt). 3.1.1 Zahlen als Pfeile ( Vektoren ) Jede Zahl hat als Punkt einen festen Platz auf der Zahlengeraden ( vgl. LE 01/1.6 ) . Sie hat damit einen bestimmten Abstand von der Null. So ist z.B. die Zahl +3 auf der abgebildeten Zahlengeraden 3 cm ( 3 Längeneinheiten ) von der Null entfernt. -4 -3 -1 -2 0 1 2 3 4 5 6 3 Längeneinheiten Eine Zahl kann somit auch durch die Länge einer Strecke veranschaulicht werden. Nun ist aber die Zahl –3 ebenfalls 3 cm von Null entfernt. Beide Zahlen haben bezüglich der Null die gleiche Streckenlänge. Man sagt: Sie haben den gleichen Betrag. Unter dem Betrag einer Zahl a (a R ) versteht man die Länge der Strecke ( in Längeneinheiten ) von der Null bis zur Zahl a. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv ( Länge einer Strecke! ), mit einer Ausnahme: Der Betrag von 0 ist 0. Um den Betrag einer Zahl a von der Zahl a unterscheiden zu können, wird eine eigene Schreibweise benötigt: Die Zahl wird zwischen die sogenannten Betragsstriche in folgender Form geschrieben: │a│ lies: Betrag von a . So gilt z.B.: -3= 3, +3 = 3 . Um Zahlen wie –3 und +3 geometrisch unterscheiden zu können (gleicher Betrag!), gibt man zusätzlich eine Richtung an, man erhält einen Pfeil (Vektor). -4 -3 -2 -1 0 1 (-3) 2 3 4 (+3) Die Richtung des Pfeils wird durch das Vorzeichen bestimmt. Ein „+“ bedeutet: Pfeil nach rechts, ein “-“ bedeutet: Pfeil nach links. Schreibweise für einen Pfeil: Die Zahl wird einschließlich des Vorzeichens in eine Klammer gesetzt (siehe Abbildung). Zwei Zahlen mit gleichem Betrag, aber entgegengesetzter Richtung, heißen auch Gegenzahlen. So ist die Zahl –3 Gegenzahl von +3 (und umgekehrt). Mit Hilfe von Pfeilen und des Begriffes „Gegenzahl“ können die Rechen- und Vorzeichenregeln veranschaulicht werden. Die Pfeile lassen sich auf der Zahlengeraden verschieben. Legt man z.B. den Pfeil (+3) bei der Zahl 2 an, so liegt die Pfeilspitze bei der Zahl 5. -1 0 1 2 3 4 5 (+3) 3 / 17 Stand: 13.09.2006 13:47:00 769855338 Addition: Die Addition zweier Zahlen lässt sich durch Aneinanderfügen der entsprechenden Pfeile an der Zahlengraden darstellen. Beispiel 1: (+2) + (+3) = (+5) bedeutet 2 + 3 = 5 Steht das Zeichen + in der Klammer, dann ist es ein Vorzeichen, sonst ein Rechenzeichen. anschaulich: (+2) -1 (+3) 0 1 2 3 4 5 6 (+5) Ergebnispfeil Regel für die Addition von Pfeilen: Der Anfang des 2. Pfeils wird an die Spitze des 1. Pfeils gelegt (Pfeilanfang an Pfeilspitze); der Ergebnispfeil geht vom Anfang des 1. Pfeils bis zur Spitze des 2. Pfeils. Beispiel 2: (+5) + (-3) = (+2) bedeutet 5 + (-3) = 2 Hinweis: Die Klammer bei -3 bleibt stehen, da zwei Zeichen nie direkt hintereinander stehen sollen. anschaulich: (-3) (+5) -1 0 1 2 3 4 5 6 (+2) Ergebnispfeil Subtraktion: Beispiel 3: (+5) - (+3) = (+2) bedeutet anschaulich: 5-3=2 (+3) (+5) -1 0 1 2 3 4 5 6 (+2) Ergebnispfeil Regel für die Subtraktion von Pfeilen: Pfeilspitze an Pfeilspitze; der Ergebnispfeil verläuft vom Anfang des 1. Pfeils bis zum Anfang des 2. Pfeils. Beispiel 4: (+2) - (-3) = (+5) bedeutet 2 - (-3) = 5 (- 3) (+2) anschaulich: -1 0 1 2 3 4 5 6 (+5) Ergebnispfeil 4 / 17 Stand: 13.09.2006 13:47:00 769855338 Subtraktion als Addition In den Beispielen 2 und 3 bzw. 1 und 4 sind die Ergebnisse gleich. (+3) subtrahieren bedeutet (-3) addieren bzw. (-3) subtrahieren bedeutet (+3) addieren. Die Subtraktion einer Zahl lässt sich daher als Addition der Gegenzahl auffassen. Deshalb können auch bei der Subtraktion vorteilhaft die Begriffe „Summand“ und „Summe“ benutzt werden. Beispiel: 10 - 6 = 4; 1. Summand 10, 2. Summand (-6), Summenwert 4 3.1.2 Regeln und Gesetze: Regeln für Addition und Subtraktion 1. Die Verbindung von Rechen- und Vorzeichen: + (+) ergibt +, d.h. + (+a) = +a + (-) ergibt -, d.h. + (-a) = -a - (+) ergibt -, d.h. - (+a) = -a (-) ergibt +, d.h. - (-a) = +a 2. Das Vorzeichen + kann wegfallen, d.h. +a = a 3. Zwei Rechen- bzw. Vorzeichen dürfen nie hintereinander stehen, sie werden durch eine Klammer getrennt. Nach den Rechenregeln folgen nun Rechengesetze, die vor allem beim Rechnen mit Variablen benötigt werden. Rechengesetze der Addition Die folgenden Variablen sind stellvertretend für beliebige reelle Zahlen. 1. Das Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz): a + b = b + a Beispiel: 2 + 3 = 3 + 2 Beachten Sie: 3 - 2 ≠ 2 - 3, aber 3 + (-2) = (-2) + 3, d. h. 3 - 2 = -2 + 3 Sie sehen: Fasst man die Subtraktion als Addition auf, kann man das Vertauschungsgesetz anwenden. Das Minuszeichen muss dabei mit vertauscht werden. 2. Das Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz): a + b + c = (a + b) + c ; a + b + c = a + (b + c) Beispiel: 136 + 447 + 553 = ? Sie können rechnen: (136 + 447) + 553 = 583 + 553 = 1136 , einfacher geht es so: 136 + (447 + 553) = 136 + 1000 = 1136 Beachten Sie: Mit Minuszeichen können Sie nicht in beliebiger Reihenfolge rechnen, z. B. 344 - 186 - 44 = ? (344 - 186) – 44 = 158 - 44 = 114, im Vergleich dazu: 344 - (186 - 44) = 344 - 142 = 202 Hier gilt die Vorrangsregel 2 (LE 01/1.2), d.h. das Ergebnis 114 ist richtig. 3. Die Zahl 0 ist das neutrale Element der Addition: a + 0 = a bzw. 0 + a = a 4. Die Addition von Gegenzahlen ergibt 0: a + (-a) = 0 bzw. -a + a = 0 Beispiele zu 3.1: 1. (+30) - (-12) + (-15) 2. = 30 + 12 - 15 = 42 - 15 = 27 +15 + 98 + (-15) = 98 + 15 = 98 + 0 = 98 + (-15) Übungen zu 3.1: 1. (+10) - (-5).= 2. (+20) + (-13) - (+5) = 5 / 17 3. (-42) + (+99) + (+101) = Stand: 13.09.2006 13:47:00 769855338 3.2 Addition und Subtraktion von Termen 1. Die Terme sind gleichartig Beispiele: 10 – 3 + 8 = 7 + 8 = 15 , 10 € - 3 € + 8 € = 7€ + 8€ = 15 € , 10x – 3x + 8x , = 7x + 8x = 15x +10x + (-3x) + 8x = 10x - 3x + 8x = 15x Sie sehen: Es handelt sich hier um Addition bzw. Subtraktion „gleicher Dinge“ (nur reine Zahlen, nur €, nur x), die Terme sind jeweils gleichartig. Die Art spielt für die Zusammenfassung keine Rolle. Terme wie 10x, 3x, 8x bestehen aus einer Variablen und einer Beizahl (statt Beizahl sagt man auch Koeffizient). Gleichartige Terme werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Beizahlen addiert bzw. subtrahiert und die Variable beibehält. Das Ergebnis kann auch negativ sein, so gilt z.B. auf dem Thermometer: 2°C – 5°C = -3°C . Ebenso gilt: 2x - 5x = -3x . 2. Verschiedene Arten von Termen Man kann nicht 4 Meter und 3 Gramm addieren (4m + 3g), auch nicht 4 Meter und 3 Quadratmeter (4m + 3m²). Es handelt sich um ungleichartige Terme. Ausdrücke wie 4x + 3y, 4x + 3x² oder 4x + 3xy lassen sich also nicht durch Addition weiter zusammenfassen. Dagegen gilt z.B.: 2 Äpfel + 7 Birnen + 3 Äpfel + 5 Birnen = 5 Äpfel + 12 Birnen, 2x + 7y + 3x + 5y = 2x + 3x + 7y + 5y = 5x + 12y Weitere Beispiele: 1. 4a + 6a + 10b – 18b = 10a + (-8b) = 10a – 8b 2. 4x + 7y + 6 – 2x + 3y = 4x – 2x + 7y + 3y + 6 = 2x + 10y + 6 3. 3x + 19y + 368y – 68y – 3x = 3x – 3x + 19y + 300y = 0x + 319y = 319y 3. Eine Klammer kommt hinzu Beispiele: 1. 10a + (12b + 3a) = 10a + 12b + 3a = 13a + 12b 2. 10a – (12b + 3a) d.h. 12b und 3a = 10a – 12b – 3a werden subtrahiert = 7a – 12b 3. 10a – (-12b – 3a) = 10a + 12b + 3a = 13a + 12b Regeln für die Auflösung einer Klammer nach „+“ oder „-“: Steht ein Minuszeichen vor einer Klammer, werden die Rechen- bzw. Vorzeichen in der Klammer bei Auflösung der Klammer umgekehrt. Dagegen bringt ein Pluszeichen vor einer Klammer bei deren Auflösung keine Veränderung. Bemerkung: In der Vorrangsregel 3 (LE 01/1.2) heißt es zwar: „Was in der Klammer steht, muss zuerst berechnet werden“. Beim Rechnen mit Variablen ist dies meist nicht möglich. Daher werden Regeln für die Auflösung von Klammern benötigt. Aufgaben wie 10 – (4 + 3) können auf beide Arten gelöst werden: 10 – 4 – 3 = 3; 10 – 7 = 3 4. Weitere Klammern kommen hinzu Beispiele: 1. 10 – (3 + 2x) - (6 - 5x) 2. 15a – (3x - (5a + 6x)) 3. 10 - (5 - (3x + 6 - (8x + 5))) = 10 – 3 - 2x – 6 + 5x = 15a - (3x - 5a - 6x) = 10 - (5 - (3x + 6 - 8x - 5)) = 1 + 3x = 15a - 3x + 5a + 6x = 10 - (5 - 3x – 6 + 8x + 5) = 20a + 3x = 10 – 5 + 3x + 6 - 8x – 5 = 6 - 5x Man kann im 3. Beispiel nach der 2. Zeile zuerst in der inneren Klammer zusammenfassen: 10 - (5 - (3x + 6 - 8x - 5)) = 10 - (5 - (-5x + 1)) = 10 - (5 + 5x - 1) = 10 – 5 - 5x + 1 = 6 - 5x Regel: Sind mehrere Klammern ineinander geschachtelt, dann werden die Klammern von innen nach außen aufgelöst (innere Klammer vor äußerer Klammer!). 6 / 17 Stand: 13.09.2006 13:47:00 769855338 Übungen zu 3.2: Fassen Sie zusammen: 1. 20m + 15m - 12m ; 4. –5y - (-3y) + (-8y) ; 7. 8 + 4x + 6xy - 8x + 12xy ; 10. 12 + (3x + 6 - (3 - 4x) ; 2. 20a + (-14a) - (+8a) ; 5. 10y + 6x - 3y + 8x + 2x ; 8. 12x - 6a + 9x + 6a ; 11. (10 + 5a) - (6 + 3a) ; 3. 6. 9. 12. 10x - (+3x) - (-2x) ; –3a + 9b + 8a - 18b ; 9a - (5x + 6a) + 3x ; 20 - (5a - (3a - (2a+6)) + 10) . Heiteres am Rande: Ein Professor hält in seinem Hörsaal eine Vorlesung vor nur 3 Studenten. Er überlegt: Wenn jetzt 5 Studenten den Saal verlassen, dann müssen sogar noch 2 wieder hereinkommen, damit der Saal leer ist. 3.3 Multiplikation; Rechengesetze Multiplikation als Addition: 2 + 2 + 2 = 3 2 = 6; (-3) + (-3) = 2 (-3) = -6; x + x = 2x = 2x ; 2x + 2x + 2x = 3 2x = 6x Die Multiplikation ist die Kurzform der Addition gleicher Summanden. Man könnte die Multiplikation ebenfalls an der Zahlengeraden erklären. Auf dieses relativ aufwendige Verfahren soll hier verzichtet werden. Das Vorzeichen eines Produkts: +4 (+3) = +12 +4 (-3) = -12 -4 (+3) = -12 vergleichen Sie: 20 – 4 3 = 20 - 12 -4 (-3) = +12 vergleichen Sie: 20 - (4 (-3)) = 20 - (-12) = 20 + 12 Regeln: Das Produkt zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen ist positiv, das Produkt zweier Zahlen mit verschiedenem Vorzeichen ist negativ. Besteht ein Produkt aus mehr als 2 Faktoren, dann entscheidet die Anzahl der Minuszeichen. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus (je 2 Minuszeichen ergeben ein Plus) eine ungerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Minus. Rechengesetze der Multiplikation (vgl. Rechengesetze der Addition in 3.2) Die gewählten Variablen sind stellvertretend für beliebige reelle Zahlen. 1. Das Vertauschungsgesetz: a b = b a Beispiel: 3 4 = 4 3 . Beachten Sie: 3 : 4 4 : 3 . 2. Das Verbindungsgesetz: a b c = (a b) c oder a b c = a (b c) Beispiel: 2 3 4 = ? (2 3) 4 = 6 4 = 24 oder 2 (3 4) = 2 12 = 24 Achtung: 24 : 6 : 2 =? (24 : 6) : 2 = 4 : 2 = 2. Falsche Rechnung: 24 : (6 : 2) = 24 : 3 = 8 3. Die Zahl 1 ist das neutrale Element der Multiplikation: a 1 = a bzw. 1 a = a Kurzschreibweisen: Statt 1x schreibt man 1x oder x. Statt -1x schreibt man –1x oder –x. Statt 2x (entspricht 21x) schreibt man 2x. Statt x2 schreibt man ebenfalls 2x (nicht x2!). Statt ab schreibt man ab. Steht die Beizahl (der Koeffizient) vor der Variablen, kann der Malpunkt weggelassen werden. Ebenso kann er zwischen Faktoren wegfallen, die Variablen sind. Ein Minus als Vorzeichen kann als Faktor –1 aufgefasst werden. Das kann über manche Hürde hinweghelfen! (z.B. 12x – x = 12x - 1x = 11x) Ein Faktor ist 0: Für jede Zahl reelle Zahl gilt: 0 a = 0 bzw. a 0 = 0. Auch wenn ein Produkt aus vielen Faktoren besteht: Wenn ein Faktor Null ist, dann ist das ganze Produkt gleich Null. Beispiel: 4 x 0 5 = 4 x 0 = 4 0 = 0 7 / 17 Stand: 13.09.2006 13:47:00 769855338 Beispiele zu 3.3: 1. -2 (-4) 5 3 (-1) ; = 8 15 (-1) = 120 (-1) = -120 2. 3 a 4 b ; =34ab = 12ab 3. -5 x 3 y ; = -5 3 x y = -15xy 5. (-5) (-x) (-2) y ; =-52xy = -10xy 6. a 4b (-2c) ; 7. y (-2) x = 3 4 (-2) a b c = -2 y x = -24abc = -2yx (oder -2xy) 4. -5 x 3 (-y) ; =+53xy = 15xy Die in den Beispielen aufgeführten Zwischenschritte dienen zur Erklärung. Bei genügender Rechensicherheit kann darauf verzichtet werden. Übungen zu 3.3: 1. -3 5 (-2) = ; 5. 3x (-5y) (-2z) = ; 2. 4 (-2) 3 (-1) = ; 3. 10 a (-b) 3 = ; 6. (-3) y (-4) (-5) x = . 4. x (-6) 5 3a.=.; 3.4 Produkte mit gleichen Faktoren: Potenzen 3.4.1 Der Potenzbegriff Die Multiplikation gleicher Faktoren lässt sich kürzer durch Potenzen ausdrücken, z.B. 2 2 2 2 2 = 25 (Berechnung mit dem Taschenrechner: 2 yx 5 = 32) . Definition: a a a a ... a = an für a ℝ , n ℕ* n Faktoren an heißt Potenz (gelesen: a hoch n). a heißt Basis, n heißt Exponent (Hochzahl). Das ausgerechnete Ergebnis von an heißt Potenzwert. (32 ist der Potenzwert von 25). Für das Rechnen mit Potenzen ist folgende Schreibweise nützlich: a = a1 . Der Potenzbegriff deckt sich mit den bekannten Schreibweisen in der Geometrie, z.B: Flächeninhalt: 1m 1m = 1m², kürzer mm = m²; Rauminhalt: 1m 1m 1m = 1m³, kürzer mmm = m³. Vorsicht bei einer negativen Basis: (-2)³ = (-2) (-2) (-2) = - 8 ; (-2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) = + 16 . Regel: Wird eine negative Zahl potenziert, dann gilt: Das Ergebnis ist positiv, falls der Exponent gerade ist, es ist negativ, falls der Exponent ungerade ist. Vorsicht beim Taschenrechner!! Bei der Tastenfolge 2 ± yx 3 erhalten sie unter Umständen die falsche Anzeige ERROR, d.h. manche Taschenrechner „können keine Potenzwerte von Potenzen mit negativer Basis berechnen“. Rechnen Sie in diesem Fall mit positiver Basis und beachten Sie anschließend die vorstehende Regel. Nochmals Vorsicht! -24 = -2 2 2 2 = -16 im Unterschied zu (-2)4 = +16. Im 1. Fall hat die Potenz 24 das Vorzeichen Minus, im 2. Fall gehört das Minuszeichen zur Basis. Die Basen 1 und –1 : Für alle natürlichen Zahlen gilt : 1n = 1 ; (-1) n = 1, falls n gerade ; (-1) n = -1, falls n ungerade. Vorrangregeln : Potenzrechnung vor Punktrechnung vor Strichrechnung. Sind Klammern vorhanden, haben diese Vorrang! 8 / 17 Stand: 13.09.2006 13:47:00 769855338 Beispiele: 1. 60 – 4 2³ = 60 – 4 8 = 28 ; 2. ( 9 – 4 ) ( 2 3 )² = 5 6² = 5 36 = 180 3.4.2 Das Rechnen mit Potenzen 1. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: Beispiele: 2³ 24 = 2 2 2 2 2 2 2 = 27 = 128 x³ x4 = x7 2x³ 5x4 = 2 5 x3 x4 = 10x7 8 cm2 2 cm = 16 cm3 a 2 b3 a3 b4 = a2 a3 b3 b4 = a5 b7 = a 5 b7 Regel: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält, kurz: am an = a(m+n) (die Klammer kann auch wegfallen). 2. Potenzen von Produkten: Beispiele: (2 3)2 = 62 = 36 oder (2 3)2 = 22 32 = 4 9 = 36 (2 x)3 = 23 x3 = 8x3 (3ab)3 = 33a3b3 = 27a3b3 Regel: Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert und die Potenzen miteinander multipliziert, kurz: (a b)n = an bn . 3. Addition und Subtraktion von Potenzen Addieren Sie: 3x² + 4x³ Hoffentlich haben sie nicht als Ergebnis 7x5 errechnet! Das ist leider falsch! Warum? Beachten Sie: Eine Zerlegung ergibt 3x² + 4x³ = x² + x² + x² + x³ + x³ + x³ + x³ Man kann 3x² + 4x³ nicht zusammenfassen! Denken Sie an die Geometrie: 3 cm² und 4 cm³ lassen sich ebenfalls nicht zusammenfassen. Die Terme müssen gleichartig sein, z.B. 4x² + 5x² + y³ + 3y³ = 9x² + 4y³. Regel: Nur gleiche Potenzen und Vielfache von gleichen Potenzen lassen sich durch Addition bzw. Subtraktion zusammenfassen. Übungen zu 3.4 Fassen Sie soweit wie möglich zusammen: 1. 4a² 3a³ + 6a5 ; 4. 2a² + 3a³ - a² - 6a³ ; 2. 3 (4x)² + (-2x)² ; 5. x³ 2y² 3x4 5y ; 3. (4x²)³ 2x (-2x)³ 6. 18 34 - 2 34 5 3.5 Multiplikation eines Faktors mit einer Summe Beispiele: 1. 3 (4 + 5) = 3 9 = 27 oder 3 (4 + 5) die Zahlen 4 und 5 werden mit 3 multipliziert = 3 4 + 3 5 = 27 2. 3 (a + b) = 3 a + 3 b = 3a + 3b . (Statt 3 (a + b) ist auch die Kurzschreibweise 3 (a + b) erlaubt.) 3. (2x + 3y) 4x² = 2x 4x² + 3y 4x² = 8x³ + 12yx² oder (2x + 3y) 4x² = 4x² (2x + 3y) = 8x³ + 12x²y 4. 3 (5 – 2x) = 3 5 – 3 2x = 15 – 6x oder 3 (5 – 2x) = 3 5 + 3 (-2x) = 15 + (-6x) = 15 – 6x 9 / 17 Stand: 13.09.2006 13:47:00 769855338 5. 3 (x – y + 2) = 3x – 3y + 6 6. 10x + 3 (2x – 6) = 10x + 6x – 18 = 16x – 18 7. Die Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen a und (b + c) in Abb. 3.1 ist gleich der Summe der beiden Teilflächen, d.h. a (b + c) = a b + a c . Abb. 3.1 a ab ac b c Das Distributivgesetz: (Gesetz zum „Ausmultiplizieren“ einer Klammer) Für beliebige Zahlen a; b; c IR gilt : a (b + c) = a b + a c bzw. (b + c) a = b a + c a a (b – c) = a b – a c bzw. (b - c) a = b a – c a Das Gesetz gilt auch für mehr als zwei Summanden in der Klammer, z.B. a (b + c – d) = a b + a c – a d = ab + ac – ad Vorsicht! 20 – 3 (6 – 2x) = 20 – 18 + 6x = 2 + 6x Übungen zu 3.5: Rechnen Sie soweit wie möglich. 1. 5 (2x + 3y) ; 2. 2x (3 – 4y) ; 4. –5 (-4 – x ) – 5x ; 5. (6 + 3a) (-4) + 12 (a + 2) ; 3. 10y + 3 (x + 2y) 6. 20y - 4y (3y + 2) 3.6 Multiplikation von Summen ; die binomischen Formeln Beispiele: 1. (2 + 3) (4 + 5) =59 = 45 2. (2 + 3) (4 + 5) = 2 (4 + 5) + 3 (4 + 5) =24+25+34+35 = 8 + 10 + 12 + 15 = 45 oder (x + 5) (y + 3) = x (y + 3) + 5 (y + 3) =xy+x3+5y+53 = xy + 3x + 5y + 15 3. (2 + a) (3 + b + c) 4. = 6 + 2b + 2c + 3a + ab + ac (a + 5) (a + 6) = a² + 6a + 5a + 30 = a² + 11a + 30 Regel für die Multiplikation von Summen: Jeder Summand der ersten Summe wird mit jedem Summanden der zweiten Summe multipliziert und die erhaltenen Produkte werden addiert, kurz: (a + b) ( c + d) = ac + ad + bc + bd Vorsicht bei Minuszeichen! (5 – x) (3 – y) = 5 3 – 5 y – x 3 + x y = 15 - 5y – 3x + xy ausführlich : (5 – x) (3 – y) = (5 + (-x)) (3 + (-y)) = 5 3 + 5 (-y) + (-x) 3 + (-x) (-y) = 15 – 5y – 3x + xy Ein schwierigeres Beispiel : (3x - y) (4x + y) (x - y) = (12x² + 3xy – 4yx – y²) (x - y) = (12x² - xy – y²) (x - y) = 12x³ - 12x²y – x²y + xy² - y²x + y³ = 12x³ - 13x²y + y³ Nach dem Verbindungsgesetz kann auch zuerst der Term in der 2. Klammer mit dem Term in der 3. Klammer multipliziert werden; versuchen Sie es auf diesem Weg! Sonderfälle der Multiplikation von Summen: die binomischen Formeln Aufgabe: Berechnen Sie: a) (a b)², b) (a + b)² Beim Rechnen mit Variablen ist es ein großer Unterschied, ob ein Produkt oder eine Summe potenziert wird. Lösung zu a): ( a b)² = a² b² 10 / 17 Stand: 13.09.2006 13:47:00 769855338 Lösung zu b): (a + b)² ergibt nicht a² + b²! (a + b)² = (a + b) (a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b² Das Ergebnis von (a + b)² lässt sich eindrucksvoll an der Fläche a eines Quadrates mit der Seitenlänge a + b bestätigen (Abb. 3.2). Abb.3.2 b ab a² b² ab b a Wird ein Produkt potenziert, so ist dies relativ unproblematisch. Dagegen ist es erheblich aufwendiger, eine Summe ( oder eine Differenz ) zu potenzieren. Dies wird besonders deutlich, wenn der Exponent größer als 2 ist. So ist z.B. (xy)³ = x³ y³, aber (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ (Rechnen Sie nach!). Mit Hilfe der binomischen Formeln kann man u.a. relativ schnell Potenzen von Summen berechnen. Besonders häufig treten Fälle der Form (a + b)² oder (a - b)² auf. Diese werden hier behandelt. In LE 09 folgt eine Erweiterung für Exponenten, die größer als 2 sind. Die 1. binomische Formel wurde bereits oben hergeleitet. (a + b)² = a² + 2ab + b² Wie kann man diese Formel benutzen? Für die ersten Versuche ist folgende Schreibweise günstiger: (a + b)² = a² + 2 a b + b² Beispiele: 1. (x + 7) ² = ? x entspricht a, 7 entspricht b (x + 7)² = x² + 2 x 7 + 7² = x² + 14x + 49 2. (3x + 4y)² = ? 3x entsprechen a, 4y entsprechen b (3x + 4y)² = (3x)² + 2 3x 4y + (4y)² = 9x² + 24xy + 16y² Zur Probe sollten Sie (x + 7) (x + 7) und (3x + 4y) (3x + 4y) durch Ausmultiplizieren berechnen. 3. (6 + 5y)² = ? Versuchen Sie es mit der Formel! Das Ergebnis lautet: 36 + 60y + 25y² Mit Hilfe der 2. binomischen Formel lassen sich Ausdrücke der Form (a – b)2 berechnen. (a – b)2 = (a – b) (a – b) = a2 – ab – ba + b2 d.h. (a – b)2 = a2 – 2ab – b2 Beispiele: 1. (5 – 3x)2 = ? 5 entspricht a , 3x entsprechen b (5 – 3x)2 = 5² – 2 5 3x + (3x)² = 25 – 30x + 9x² 2. (6x – y)² = ? 6x entsprechen a, y entspricht b (6x – y)² = (6x)² - 2 6x y + y ² = 36x² - 12xy + y² Noch eine Formel: Von großem Nutzen kann die 3. binomische Formel sein (z.B. beim Erweitern und Kürzen, vgl. LE 04). Es handelt sich um Ausdrücke der Form (a + b) (a – b) . (a + b) (a – b) = a2 – ab + ba – b2 (besonders günstig: die sog. Zwischenglieder heben sich auf) d.h. (a + b) (a – b) = a2 – b2 Ebenso gilt: (a - b) (a + b) = a2 – b2 Beispiele: 1. (x + 5) (x – 5) = x2 – 25 ; 2. (3x + 6y) (3x – 6y) = 9x2 – 36y2 11 / 17 Stand: 13.09.2006 13:47:00 769855338 Die binomischen Formeln auf einen Blick : 1. (a + b)² = a² + 2ab + b² 2. (a – b)² = a² – 2ab + b² 3. (a + b) (a – b) = a² – b² Übungen zu 3.6: Rechnen Sie soweit wie möglich: 1. (x + 6) (3 – x) ; 2. (2a + 5) (3x + 6) ; 3. (x + 3) (x - 3) ; 4. (3 + y)2 ; 5. (4a – 3b)2 ; 6. (x – y)2 (x + 2) ; 7. (x – 5) ( 7 + 2x) 3 ; 8. (5a + 6) (a + 3) (5a – 6) 3.7 Faktorisieren (Ausklammern) Faktorisieren bedeutet: Eine Summe (Differenz) wird in ein Produkt umgewandelt. Verglichen mit den Aufgaben in 3.5 und 3.6 wird jetzt „rückwärts“ gerechnet. Beispiele: 1. 5x + 20 y = 5 (x + 4y) . Die 5 „steckt in 5x und 20y“. Probe: 5 (x + 4y) = 5 x + 5 4y = 5x + 20y 2. 8a – 12b + 20c = 4 (2a – 3b + 5c) ; 3. 3x + 7xy = x (3 + 7y) 4. 4a² + 12ab = 4 (a² + 3ab) = 4a (a + 3b) ; 5. 3x³ - 8x4 + x² = x² (3x – 8x² + 1) Regel: Enthalten alle Summanden einer Summe einen gemeinsamen Faktor, so kann man diesen Faktor ausklammern („herausziehen“); die Summe wird so in ein Produkt umgewandelt. Diese Rechentechnik kann für die Vereinfachung schwieriger mathematischer Ausdrücke eine große Hilfe sein. Eine der wichtigsten Anwendungen werden Sie in der Bruchrechnung beim Kürzen kennen lernen (LE 04). Weitere Beispiele: 6. Faktorisieren Sie: 16 – x² = ? Scheinbar lässt sich daraus kein Produkt bilden (abgesehen von der wenig hilfreichen Möglichkeit 1(16 – x²) ). Denken Sie an die 3. binomische Formel! Es liegt eine Differenz von Quadraten vor: 4² - x² , das bedeutet: 16 – x² = (4 + x)∙(4 – x) . 7. y² - 9 = (y + 3) (y – 3) 8. x² - 2xy + y² = (x – y)² (2. binomische Formel) 9. 4x² + 12xy + 9y² = ? Sie merken : Es wird immer schwieriger. In solchen Fällen sollte man versuchen, eine binomische Formel „auszuprobieren“. 4x² entsprechen eventuell a², d.h. 2x entsprechen a. 9y² entsprechen eventuell b², d.h. 3y entsprechen b. Der mittlere Summand müsste demnach 2 2x 3y betragen, das ist hier der Fall; das bedeutet: 4x² + 12xy + 9y² = (2x + 3y)² . Erschrecken Sie nicht. Derartige Probleme sind selten zu lösen. Lediglich Faktorisierungen mit Hilfe der 3. binomischen Formel wie in den Beispielen 5. und 6. sind von größerer Bedeutung. Übungen zu 3.7 Faktorisieren Sie soweit wie möglich: 1. 12x + 9y – 3z ; 2. 10x + 6xy ; 4. 25 – x² ; 5. 2a² + 4ab + 2b² ; 12 / 17 3. 3x² + 9x³ ; 6. 16x² - 49y² Stand: 13.09.2006 13:47:00 769855338 3.8 Division Nach so viel Multiplikation folgt nu noch ein kleines Teilkapitel zur Division. Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation, z.B. ist 32 : 4 = 8 , weil 4 8 = 32 ist. Die Vorzeichenregeln für Quotienten sind daher folgende: Der Quotient zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen ist positiv, der Quotient zweier Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen ist negativ. An dieser Stelle werden nur Fälle behandelt, die „aufgehen“. Die anderen Fälle folgen in LE 04 bei der Bruchrechnung. Beispiele: 1. 12x : 3 = 4x , weil 3 4x = 12x 2. 15x³ : 3x = 5x² , weil 3x 5x² = 15x³ . Vorsicht! 15x³ : 3 x = 5x³ x = 5x4 3. 6a7 : 3a³ = 2a4 , weil 3a³ 2a4 = 6a7 4. (-24a²b) : (-8ab) = 3a , weil -8ab 3a = -24a²b 5. (10x + 15y) : 5 = 2x + 3y , weil 5 (2x + 3y) = 10x + 15y 6. (4a² - 8ab + 4a) : 4a = a – 2b + 1 , weil 4a (a – 2b + 1) = 4a² - 8ab + 4a Eine wichtige Regel: Man kann nicht durch 0 dividieren! (vgl. LE 02/2.3). So kann z.B. 5 : 0 kein Ergebnis liefern, denn wäre ein Ergebnis vorhanden, dann müsste gelten: 0 Ergebnis = 5 ! (Nicht verwechseln! 0 : 5 = 0 , weil 5 0 = 0) Diese Regel hat entscheidende Konsequenzen für das Rechnen mit Variablen. Die Problematik wird besonders beim Thema „Bruchgleichungen“ bedeutsam und wird daher erst an der entsprechenden Stelle (LE 05) behandelt. Ein wichtiger Sonderfall: Die Division von Summen Die folgende (schwierige?) Rechentechnik wird in den Fachhochschulreifelehrgängen beim Lösen von Gleichungen benötigt. Ich würde mich freuen, wenn Sie diese verstehen würden. Zunächst möchte ich an ein bekanntes Verfahren erinnern: an das schriftliche Dividieren. 3756 : 4 = 939 -36 15 -12 36 -36 0 Vom Prinzip her geht es jetzt genauso. Beispiele: 1. (x² + 7x + 12) : (x + 3) = ? 1. Schritt: Man teilt x² durch x, das Ergebnis ist x. x wird mit (x + 3) multipliziert, das Ergebnis wird passend unter den Ausgangsterm geschrieben und von diesem abgezogen. (x² + 7x + 12) : (x + 3) = x - (x² + 3x) 4x 2. Schritt: Man teilt 4x durch x, das Ergebnis ist 4. Es geht mit 4 weiter wie im 1.Schritt mit x. (x² + 7x + 12) - (x² + 3x) : (x + 3) = x + 4 4x + 12 - ( 4x + 12) 0 13 / 17 Stand: 13.09.2006 13:47:00 769855338 Ergebnis: (x² + 7x + 12) : (x + 3) = x + 4 Probe: (x + 3) (x + 4) = x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12 2. (2x³ + 4x² - 10x – 12) : (x – 2) = 2x² - (2x³ - 4x²) 8x² - 10x - (8x² - 16x) + 8x + 6 Woher kommen die 8x² in dieser Zeile? Rechnung: 4x² - (-4x²) = 8x² ! 6x – 12 - (6x – 12) 0 Berechnen Sie zur Probe: (x – 2) (2x² + 8x + 6) Noch ein Versuch: 3. (2x³ - 5x² + 7) : (x + 1) = ? Im Vergleich zum 2. Beispiel fehlt jetzt ein Term mit x. Für die Rechnung günstiger ist der „Einbau“ von 0x! (2x³ - 5x² + 0x + 7) : (x + 1) = 2x² - 7x + 7 - (2x³ + 2x²) - 7x² + 0x - (-7x² - 7x) 7x + 7 Beachten Sie: 0x – (-7x) = 7x ! - (7x + 7) 0 Machen Sie die Probe! Übungen zu 3.8 1. 20ab : 5 = 4. 10ax4 : 2a x = 7. (x³ - 8x² + 5x + 2) : (x – 1) = 2. 12xy : 4y = 5. (20a² + 10a³ + 5a) : 5a = 8. (2x² - 18) : (x + 3) = 3. 10ax4 : 2ax = 6. (x² + 9x + 14) : (x + 2) = Aufgaben zur Lehreinheit 03 1. Rechnen Sie soweit wie möglich: a) 15 – (3x + 4) + 3x ; b) 12x – 3y – (4x – 8y) ; d) (x – 5) (2x + 6) ; e) 22 – 3 (5a – (6 + 2a)) ; c) 5 (2 + x) – 3 (4 – x) ; f) (3a – 4) 5∙ (2b + 6) 2. Rechnen Sie soweit wie möglich: a) (3x)² - 4 2x² ;^ b) (x – y)² ; c) (3 + x)² + (3x)² ; d) 4x4 3x² 2x ; e) -x4 (-x)² (-2x) ; f) (3a + 9b)² ∙2 ; g) (2a² + 4a³ - 6a) : 2a ; h) 39x³ : 13 x² ; i) (2x² - 2x – 12) : (x – 3) ; j) (x³ - 31x – 30) : (x + 5) 3. Faktorisieren Sie soweit wie möglich: a) 16 + 8x ; b) 10x + 8y + 12z ; e) x² - y² ; f) 16a² - 9b² ; c) 9a + 3a² - 6a³ ; g) 9 – 6x + x² 14 / 17 d) x² + x³ ; Stand: 13.09.2006 13:47:00 769855338 Lösungen der Übungen und Aufgaben Übungen zu 3.1: 1. 15 ; 2. 2 ; 3. 158 Übungen zu 3.2: 1. 23m ; 2. -2a ; 3. 9x ; 4. -10y ; 5. 7y + 16x ; 6. 5a – 9b ; 7. 8 – 14x + 18xy ; 8. 21x ; 9. 3a – 2x ; 10. 15 + 7x ; 11. 4 + 2a ; 12. 4 – 4a Übungen zu 3.3: 1. 30 ; 2. 24 ; 3. -30ab ; 4. -90xa ; 5. 30xyz ; 6. -60yx Übungen zu 3.4: 1. 18a5 ; 2. 52x² ; 3. -1024x10 ; 4. a² - 3a³ ; 5. 30x7y³ ; 6. 648 Übungen zu 3.5: 1. 10x + 15y ; 2. 6x – 8xy ; 3. 16y + 3x ; 4. 20 ; 5. 0 ; 6. 12y – 12y² Übungen zu 3.6: 1. -3x – x² + 18 ; 2. 6ax + 12a + 15x + 30 ; 3. x² - 9 ; 4. 9 + 6y + y² ; 5. 16a² - 24ab + 9b² ; 6. x³ + 2x² - 2x²y – 4xy + y²x + 2y² ; 7. -9x + 6x² - 105 ; 8. 25a³ + 75a² - 36a -108 Übungen zu 3.7: 1. 3 (4x + 3y – z) ; 2. 2x (5 + 3y) ; 3. 3x²(1 + 3x) ; 4. (5 + x) (5 - x) ; 5. 2 (a + b)² ; 6. (4x + 7y) (4x – 7y) Übungen zu 3.8: 1. 4ab ; 2. 3x ; 3. 5x³ ; 4. 5x5 ; 5. 4a + 2a² + 1 ; 6. x + 7 ; 7. x² - 7x – 2 ; 8. 2x – 6 Aufgaben Aufgabe 1: a) 11 ; b) 8x + 5y ; c) -2 + 8x ; d) 2x² - 4x – 30 ; e) 40 – 9a ; f) 30ab + 90a - 40b – 120 Aufgabe 2: a) x² ; b) x² - 2xy + y² ; c) 9 + 6x + 10x² ; d) 24x7 ; e) 2x7 ; f) 18a² + 108ab + 162 b² ; g) a + 2a² - 3 ; h) 3x5 ; i) 2x + 4 ; j) x² - 5x – 6 Aufgabe 3: a) 8 · (2 + x) ; b) 2 (5x + 4y + 6z) ; c) 3a (3 + a – 2a²) ; d) x² (1 + x) ; e) (x + y) (x – y) ; f) (4a + 3b) (4a – 3b) ; g) (3 – x)² 15 / 17 Stand: 13.09.2006 13:47:00 769855338 FERNUNTERRICHT DER BUNDESWEHRFACHSCHULE Einsendeaufgaben zur Lehreinheit 03 Dienstgrad, Name, Vorname Einheit, Standort, DZE Privatanschrift Email Datum ____ 1. Rechnen Sie soweit wie möglich: a) 15x – (4x + 3y) ; b) -5 – (-8) + (-7) ; c) 12a – 5 – (a + 6) – 6a ; d) 36 – (2x + (18 – 2x)) – 1 2. Rechnen Sie soweit wie möglich: a) 3x (-12x) ; b) 10 – 6 (3x – 1) ; c) 5a (2b – 3x) – 10ab ; d) (6x – 3y) (x – 2) ; e) -3x² + (-3x)² - 3²x ; f) (3 – 4x)² ; g) (x -2y) (x + 2y) 3 ; h) 2x² 3·(x³ - x) ; i) a² b5 a³ b ; j) (4a 3b)² 3. Rechnen Sie soweit wie möglich: a) (3a²b + 5a) : a ; b) (3a²b 5a) : a ; d) (2x² + 9x – 35) : (x + 7) 4. Faktorisieren Sie soweit wie möglich: a) 6x² + 12x – 18x³ ; b) 4a + 4 + 8b ; c) (4x²y – 32xy²) : 4xy ; c) 9y² - x² ; d) 4a² + 8ab + 4b² Senden Sie die Lösungen auf dem beigefügten DIN A 4 Blatt an die für Sie zuständige Bundeswehrfachschule (Name und Adresse nicht vergessen!). 16 / 17 Stand: 13.09.2006 13:47:00 769855338 DStG Name Vorname Blatt: Lösungen zu den Einsendeaufgaben LE 03 17 / 17 Stand: 13.09.2006 13:47:00
