Grenzschichten Prandtl hat erstmals Anfang dieses Jahrhunderts

Grenzschichten
Prandtl hat erstmals Anfang dieses Jahrhunderts das Vorhandensein von „Grenzschichten“ an
umströmten und durchströmten Körpern theoretisch und experimentell festgestellt. Hiermit
konnten bislang viele offene Fragen der Strömungsmechanik gelöst sowie wichtige technische
Anwendungen und Verbesserungen (z.B. Grenzschichtabsaugungen an Tragflächen zur
Auftriebsverbesserung
) geschaffen werden. So ist auch erst die deutliche Widerstandsreduzierung an Profilen
(Kugeln, Zylinder, Tragflächen, etc.) mittels „Stolperdrähten“ durch entsprechende positive
Grenzschichtenveränderungen hervorgegangen.
Mit „Potentialströmungen“, d.h. der angenommenen drehungs- und reibungsfreien Strömung
kann z.B. sehr gut die „Querkraftentstehung“ (Auftrieb) an umströmten Tragflügeln erklärt
werden. Die tatsächlich auch vorhandenen „Widerstandskräfte“ lassen sich dagegen mit den
reibungsfreien Potentialströmungen nicht belegen (d’Alembertsches Paradoxon). Aus
Messungen weiß man, dass außerhalb der näheren Körperumgebung die tatsächliche
Strömung der Potentialströmung sehr nahe kommt. Nur in unmittelbarer Nähe und nach dem
Körper sind Abweichungen feststellbar. Somit sind zur Ermittlung der Querkräfte die
Gegebenheiten der Potentialströmung um den Körper zu verwenden, zur Bestimmung der
Widerstandskräfte sind die veränderten Verhältnisse in unmittelbarer Körpernähe bedeutsam.
Von technischen Fluiden weiß man, dass sie neben Druckspannungen (Drücken) auch
Schubspannungen übertragen. Diese Schubspannungen (Newtonsche Flüssigkeiten) hängen
vom Geschwindigkeitsgradient  dc x  und der Fluidzähigkeit  ab. Wenn auch die
dz 

Schubspannungen i. a. gegenüber den Druckspannungen sehr klein und oft unbedeutend sind,
so kann erst mit ihrer Hilfe (also reibungsbehaftete Strömung!) die Entwicklung der
Widerstandskräfte in den wandnahen, reibungsbehafteten Schichten (Grenzschichten) des
Körpers begründet werden.
Es lassen sich also zwei Bereiche an umströmten Körpern bei tatsächlichen,
reibungsbehafteten Strömungen nennen:
1.
Außenströmungen; d.h. hier liegt eine (quasi) „Potentialströmung“ vor, es sind hier
keine Schubspannungen wirksam  dc x  0 
dz


2.
Grenzschichtbereich und evtl. Verwirbelungsgebiet (bei abgelöster Grenzschicht).
Aufgrund der Haftbedingung tatsächlicher Fluide steigt innerhalb der Grenzschicht die
Geschwindigkeit vom Wert Null an der Wand auf den Wert der Außenströmung an:
c
bei längs angeströmten Platten
c a x  bei längs angeströmten Profilen
Aus Messungen und Theorie weiß man, dass diese Grenzschichten sehr dünn sind, d.h. die
Grenzschichtdicke   und somit der Geschwindigkeitsgradient dcx/dz >>. Die
gebräuchlichste Definition der Grenzschichtdicke  ist so festgelegt, dass aufgrund des
fließenden Übergangs von Grenzschicht zur Außenströmung bei  = 99 % der
Geschwindigkeit c  bzw. c a erreicht sein müssen; also liegt  bei c = 0,99 * c  vor.
Abb. 1 Grenzschichtentwicklung an einer ebener Platte und einem keilförmigen Profil
Abb. 2 Geschwindigkeitsverteilungen in der laminaren und turbulenten Grenzschicht
Weitere Definitionen:
Verdrängungsdicke 1 ,
Impulsverlustdicke  2 .
Geschwindigkeitsverteilungen in der Plattengrenzschicht:
Laminare Strömung in der Grenzschicht
Lineare Verteilung:
c( z ) z
 ;
c

Parabelförmige Verteilung:
c(z)
  z
1 
 ;
c
  
0  z  
2
0  z  
Turbulente Strömung in der Grenzschicht
Potenzgesetz:
c( z )
z
 ( )m ;
c

z.B. m =
Logarithmisches Gesetz:
0  z  
1
 1/7 – Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung
7
nach Blasius
c(z)
 5,85  ln
v
 z  v 

  5,56
  
W
Schubspannungsgeschwindigkeit

Feststellungen zu Grenzschichtströmungen
v 
1. Wie bei der Rohrströmung können sich
laminare und
turbulente
Grenzschichten ausbilden. Im Fall der turbulenten Grenzschicht ist immer eine sehr dünne,
laminare (viskose) Unterschicht (viscous sublayer) an der Wand vorhanden, auf der sich
dann die turbulente Grenzschicht aufbaut.
2. Die turbulente Grenzschicht ist vergleichsweise immer dicker als die laminare
Grenzschicht.
3. Der Geschwindigkeitsgradient der turbulenten Grenzschicht ist wie bei der Rohrströmung
steiler als derjenige der laminaren Grenzschicht:
(dcx/dz)t > (dcx/dz)l
Demzufolge wird wegen
= ( + At) * (dcx/dz)
die Schubspannung  und somit auch der Widerstand (  Verluste) aufgrund des größeren
Geschwindigkeitsgradienten (dcx/dz) und der zusätzlichen Impulsaustauschgröße At immer
größere Werte annehmen als im laminaren Fall.
4. Eine laminare Grenzschicht kann ab einer bestimmten Strecke xKr. (Lauflänge) in die
turbulente Grenzschicht übergehen (umschlagen : Umschlagspunkt U).
Bei scharfkantigen Profilnasen liegt der Umschlagpunkt weiter stromabwärts. Bei
stumpfen, rechteckigen Profilen ist die Grenzschicht meist von vornherein turbulent. Als
Maß zur Ermittlung von xKr. benutzt man die Reynoldszahl ReKr wie folgt
Re Kr. 
c   x Kr.
 3  10 5  5  10 5  ( 3  10 6 )

x Kr.   3  10 5  5  10 5  
Laminare Grenzschicht:
Re 
Turbulente Grenzschicht:
c  x
 35  10 5


c
Re 
c  x
 35  105

5. An einer bestimmten Stelle x des Profils wird mit zunehmender Geschwindigkeit c die
Grenzschichtdicke  kleiner (bei gleichem Fluid).
6. Über dem Weg x wird (bei gleichem c und gleichem Fluid ) die Grenzschichtdicke  anwachsen.
7. Die Ausbildung und Form der Grenzschicht (lam., turb., Umschlagpunkt, Ablösungspunkt)
hängt in starkem Maß von der Druckverteilung in der Außenströmung und somit auch in
der Grenzschicht ab. Bei längs angeströmten Platten ist der Druck p(x) = p konstant.
Grenzschichten an längs angeströmten Platten sowie mäßig gewölbten, ablösungsfrei
umströmten Oberflächen.
Ohne auf die Herleitungen wegen des Aufwandes eingehen zu können, seien hier einige
Gleichungen über Grenzschichtgrößen der längs angeströmten ebenen Platte sowie der mäßig
gewölbten, ablösungsfrei umströmten Oberflächen genannt:
1. Umschlag von der laminaren zur turbulenten Grenzschicht:
Re Kr. 
Hieraus folgt:
c   x Kr.
 3  10 5  5  10 5

x Kr.   3  10 5  5  10 5  
(s.o.)

c
2. Laminare Grenzschichtdicke, wenn
Re 
erfüllt ist:
c  x L
 Re Kr.  3  10 5  5  10 5

L  5 
xL
 c   x L. 


  
3. Turbulente Grenzschichtdicke, wenn
1
2
 x 0L,5
Re 
erfüllt ist:
c  x T
 Re Kr.  3  10 5  5  10 5

 T  0,37 
xT
 c   x T. 


  
1
5
 x 0T,8 : glatte Wände
Die Grenzschichtdicke wächst demnach im turbulenten Fall nahezu linear mit x 0T, 8 , dagegen
im laminaren Fall mit x 0L, 5 an, wenn c  und konstant bleiben.
Beispiel:
Gegeben:
Grenzschichtdickenberechnung an einer ebener Platte
c  20 m / s ;
Fluid:
  20C
Gesucht:
1.  L bei x L  x Kr
2.  T bei x T  300mm
x Kr aus Re Kr 
x Kr * c 
 3  5 *10 5  400000

x Kr  400000 *

1
 400000 *15 *10 6 *
c
20
x L  x Kr  0,3m  300mm
2
Luft mit   15 *10 6 m s bei
1.  L
L  5*
xL
xL
 5*
Re L
c * x L
 5*

0,3
20 * 0,3
15 *10 6
L  2,37 mm
2.  T
 T  0,37 *
xT
xT
0,3
 0,37 *
 0,37 *
0, 2
0, 2
0, 2
Re T 
 c * x T 
 20 * 0,3 



6 
 15 *10 
  
T  8,4mm
Plattenreibungsbeiwert cF(x) und Widerstandsbeiwert cW
Mit Hilfe des Impulssatzes, der Wandschubspannung W(x) an der Plattenoberfläche, dem
Schubspannungsansatz für „Newtonsche Fluide“ = * (cx(x,z)/ z), der Strömungsart in
der Grenzschicht (laminar, turbulent), der Geschwindigkeitsverteilung innerhalb der
Grenzschicht cx (x,z) und der Grenzschichtdicke L bzw. T lassen sich
der Plattenreibungsbeiwert cF(x) und
der Widerstandsbeiwert cW
einer längs angeströmten Platte wie folgt herleiten. Der Plattenreibungsbeiwert muss als
örtlicher und damit von x abhängiger Wert verstanden werden, da aufgrund der Definition
c F  x 
 W  x

 c 2
2
die vom Weg x abhängige Schubspannung
 W x L   0,664 


 c 2 
2
c  xL
dies so vorgibt (hier bei laminarer Grenzschicht an der Stelle xL).
Bei der Bestimmung der Widerstandskraft FW an der Oberfläche einer Plattenseite wird die
Schubspannung W(x) über der Plattenlänge von x = 0 bis x = l integriert. Hieraus definiert
man den Widerstandsbeiwert
cW 
FW

A   c 2
2
mit A  b  l .
Im Einzelnen lauten die Plattenreibungsbeiwerte cF(x) und Widerstandsbeiwerte cW wie
folgt:
1. Laminare Grenzschicht
Plattenreibungsbeiwert:
c F x L  
0,664
Re L x L 
0,664

c  xL

xL = beliebige Lauflänge in der lam. Grenzschicht
Widerstandsbeiwert:
cW 
1, 328

Re l
1, 328
c  l

l = Plattenlänge mit nur lam. Grenzschicht
wobei
Re l =
c  l
 3  10 5  5  10 5 .

2. Turbulente Grenzschicht, glatte Oberfläche
Voraussetzungen:
Von Beginn an turbulent; glatte Oberfläche
Grundlage:
1/7 - tel Gesetz der turbulenten Geschwindigkeitsverteilung.
Plattenreibungsbeiwert:
c F x T  
0,058
Re T 
1
5

0,058
1
 c  xT  5



 
xT = beliebige Lauflänge in der turb. Grenzschicht
Widerstandbeiwert:
cW 
0,072
Re l 
1
5

0,072
1
 c  l 5


  
Da dem o.g. cW-Wert das „Blasiussche 1/7-tel Gesetz“ der turbulenten
Geschwindigkeitsverteilung zugrunde liegt, das aber nur in einem relativ engen Re-Bereich
gültig ist, hat Schlichting ein allgemeingültigeres Gesetz zur Ermittlung von cW bei
turbulenter Grenzschicht entwickelt.
Widerstandsbeiwert:
cW 
0,455
log Re 
2 , 58

l
0,455
  c  l 
log    


2 , 58
l = Plattenlänge mit nur turb. Grenzschicht
wobei:
Re l =
c  l
 3  10 5  5  10 5 .

3. Turbulente Grenzschicht, vollkommen raue Oberfläche
Voraussetzungen:
Von Beginn an turbulent; vollkommen raue Oberfläche.
cW
Widerstandsbeiwert:

 k 
 1,89  1,62  log  s  
 l 

2 , 5
für
k 
10 6   s   10 2
 l 
4. Turbulente Grenzschicht mit laminarer Anlaufstrecke
Nach Prandtl:
c W  c Wvollturbulent 
A
Re l
wobei
ReKr.
3 * 105
5 * 105
1 * 106
3 * 106
A
1050
1700
3300
8700
Die Gesetzmäßigkeiten der Plattenwiderstandsbeiwerte in Abhängigkeit von der Re-Zahl und
der bezogenen Rauhigkeit k/l sind in Abb. 3 zu erkennen.
Abb. 3
Widerstandsbeiwert längs angeströmter Platten