Konvektion

10. / 11. Vorlesung
Entwurf und Simulation von Mikrosystemen
5 Thermisches Management
5.4 Konvektion: forciert, natürlich
5.5 Strahlung
WS 2007 / 2008
0
5.4 Wärmeübergang Festkörper – Fluid: Konvektion
Konvektion besteht aus zwei gleichzeitig erfolgenden Mechanismen:
ƒ Energieübertragung von einem festen Körper an ein Fluid durch mikroskopische
Bewegung – d.h. Wärmeleitung
ƒ Energietransport durch makroskopische Bewegungen von Fluidteilchen
Diese Fluidbewegung kann hervorgerufen werden durch
ƒ Dichtegradienten – natürliche (freie) Konvektion
ƒ Druckdifferenzen, die z.B. durch eine Pumpe erzeugt werden – erzwungene
(forcierte) Konvektion
1
Beispiel forcierte Konvektion
Fragestellung:
ƒ Welche Leistung kann z.B. ein 5 x 5 mm² Chip dissipieren, wenn es mit Luft in
erzwungener Konvektion gekühlt wird?
Luft: 2,5 m/s; 27°C
A = 5 x 5 mm²
29,5 mm
Chip
Tmax=85°C
Substrat
2
Forcierte (erzwungene) Konvektion
q& S = − k Fluid
dT
| y =0 = hc ⋅ (TS − T∞ )
dy
ƒ Geschwindigkeits- und Temperaturprofil eines Fluids über einer geheizten Platte.
ƒ Infolge von Reibungskräften (Viskosität) ist die Strömungsgeschwindigkeit u an der Platte Null
und steigt dann gegen u∞ . u∞ ist die freie Strömungsgeschwindigkeit, die durch die äußere
Kraft (z.B. Pumpe) hervorgerufen wird.
ƒ Entsprechend nimmt die Temperatur T von TS (an der Platte) nach T∞ ab.
3
Wärmeübergang bei Konvektion
ƒ Da das Fluid an der Oberfläche ruht, herrscht dort Wärmeleitung.
ƒ Der Wärmeübergangsstrom könnte daher gemäß
dQC
∂T
= − k Fluid A
dt
∂y
y =0
berechnet werden, wenn ∂T ∂y
y =0
bekannt wäre.
ƒ Der Temperaturgradient hängt aber in komplizierter Weise von dem gesamten
Strömungsfeld ab: Schon in geringem Abstand von der Oberfläche ist die
Geschwindigkeit des Fluids ungleich Null. Das Temperaturprofil und damit der
Temperaturgradient an der Oberfläche wird vom konvektiven Wärmetransport
wesentlich beeinflußt!
ƒ Man geht daher von der folgenden phänomenologischen Relation nach Newton
aus:
dQC
= h c A(TS − T∞ )
dt
4
Der konvektive Wärmeübergangskoeffizient
dQ
Q& C = C = hC A(Ts − T∞ ) = hC A∆T
dt
ƒ Q& C : Wärmetransport von der Oberfläche in die Umgebung in [W]
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
A : Oberfläche in m2
Ts : Oberflächentemperatur in [°C] (bzw. [K])
T∞ : Umgebungstemperatur in [°C] (bzw. [K])
hC bzw. h c : Wärmeübergangskoeffizient für die Konvektion in [W/ m2 K]
Der Wärmeübergangswiderstand ist abhängig von:
ƒ den Eigenschaften des Fluids:
- Dichte ρ
- Viskosität η
- thermische Leitfähigkeit k
- spezifische Wärmekapazität c
ƒ der Oberflächengeometrie;
ƒ den Strömungsbedingungen.
5
ƒ Es wird zwischen der lokalen Wärmeflußdichte q& S und dem gesamten
Wärmestrom Q& S über eine Oberfläche AS unterschieden.
ƒ Entsprechend existiert neben dem lokalen Wärmeübergangskoeffizienten
der gemittelte Koeffizient mit
hC =
1
AS
∫h
C
dAS
AS
ƒ Im Fall einer (in x-Richtung) längsangeströmten ebenen Platte (vgl. Zeichnung)
vereinfacht sich der Ausdruck als Integration über die Länge zu:
L
1
hC = ∫ hC dx
L0
6
Thermischer Oberflächenwiderstand für die Konvektion
In Analogie zu den thermischen Widerständen bei der Wärmeleitung wird ein
thermischer Übergangswiderstand (Oberflächenwiderstand) definiert:
∆T =
1 &
QC
hC AS
⇒
Rth =
1
hC ⋅ AS
Größenordnung des Wärmeübergangskoeffizienten:
Fluid
hC [W/m²K]
Gase (Luft), freie Konvektion
5 - 15
Flüssigkeit (Wasser), freie Konvektion
50 – 100
Gase (Luft), erzwungene Konvektion
15 – 250
Flüssigkeit (Wasser), erzwungene Konvektion
100 – 2000 (5000)
R. Tummala: Fundamtentals of Microsystems Packaging
7
Freie Konvektion
y
Geschwindigkeitsprofil
Temperaturprofil
β
∂T
∂y
y =0
„heiße“ Platte
Gewichtskraft
8
ƒ Die freie Konvektion läuft ähnlich wie die erzwungene Konvektion ab, jedoch
ergibt sich hier ein anderes Geschwindigkeitsprofil.
ƒ Die Geschwindigkeit des Fluids im Unendlichen u∞ ist Null, da es keine äußeren
Kräfte gibt.
ƒ In der Nähe der erhitzten, um den Winkel β geneigten Platte wird das Fluid
erwärmt.
ƒ Seine Dichte wird geringer als die des umgebenden Fluids und es entsteht
Auftrieb.
Geschwindigkeitsprofil:
ƒ Unmittelbar an der Grenzfläche ist wie bei der erzwungenen Konvektion die
Geschwindigkeit u gleich Null.
ƒ Da die Viskositätskräfte schneller abnehmen als die Auftriebskräfte, steigt die
Geschwindigkeit u.
ƒ Wenn die Dichte wieder ihren Normalwert erreicht wird der Auftrieb und damit
die Geschwindigkeit Null.
9
5.4.1 Konvektion und konvektiver Wärmeübergang
• Wärmetransport in einem Fluid
ƒ durch Konduktion (Wärmeleitung, molekularer Transport)
ƒ oder Konvektion (Mitnahme durch das strömende Medium)
• Die Konduktion ist vernachlässigbar bei
ƒ ausreichend großem Abstand von den Wänden
ƒ ausreichend hoher Geschwindigkeit
• Haftbedingung unmittelbar an der Wand
ƒ keine Relativbewegung zwischen Wand und Fluid aufgrund der Zähigkeit des Fluids
• Wandwärmefluss: Ansatz von Newton
ƒ Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten h?
ƒ nicht Stoffwert des Fluids, sondern Eigenschaft der Strömung;
hängt in komplexer Weise von den Geschwindigkeits- und Temperaturfeldern ab
• Übergangsbereich in Wandnähe
ƒ Grenzschicht
⇒ diffuse Effekte (Zähigkeit, Wärmeleitfähigkeit des Fluids) und Konvektion
10
Übergangsbereich: Strömungsgrenzschicht
• Fluid-Partikel, die in Kontakt mit der
Oberfläche sind, haben die Geschwindigkeit Null (Haftbedingung).
• Diese Partikel verzögern die Bewegung
von Partikeln in angrenzenden FluidSchichten, diese in der nächsten Schicht
usw.
• In einer Entfernung δ von der Oberfläche
wird dieser Effekt vernachlässigbar (u=
Beispiel längsangeströmte Platte:
Geschwindigkeit der freien Strömung u∞)
• Ausdehnung in x-Richtung
• Geschwindigkeitsverteilung u(x,y)
• Geschwindigkeitsvektor allgemein:
• Die Verzögerung der Fluid-Bewegung ist
verbunden mit den Schubspannungen τ,
die in den Ebenen parallel zur Strömung
des Fluids wirken.
⎛ u ( x, y , z ) ⎞
⎟
r ⎜
u = ⎜ v ( x, y , z ) ⎟
⎜ w( x, y, z ) ⎟
⎝
⎠
Abb.: Polifke / Kopitz: Wärmeübertragung,
11
Pearson Studium
Schubspannung τ:
ƒ Schubspannung τ [N/m2] in einer zur
Wand parallelen Ebene nach Stokes:
τ =η
du
du
=ν ρ
dy
dy
η =dynamische Viskosität (Stoffwert
für Newton‘sches Fluid [kg/ms])
ν=η/ρ kinematische Zähigkeit [m2/s]
ƒ mehrdimensionale Strömungsfelder:
τ = Tensor
Abb.: Polifke / Kopitz: Wärmeübertragung
12
Übergangsbereich: Temperaturgrenzschicht
• Fluid-Partikel, die in Kontakt mit der
Oberfläche sind, haben die gleiche
Temperatur wie die Oberfläche
(thermisches Gleichgewicht).
• Diese Partikel tauschen Energie mit
Partikeln in angrenzenden Fluid- Schichten
aus, es entstehen Temperaturgradienten in
einer thermischen Grenzschicht.
• Die Dicke δth der Temperaturgrenzschicht
nimmt mit der Entfernung x von der
Einströmstelle zu.
Beispiel längsangeströmte Platte:
• Ausdehnung in x-Richtung
• Geschwindigkeitsverteilung u(x,y)
• Temperaturverteilung T(x,y)
Abb.: Polifke / Kopitz: Wärmeübertragung
13
Strömungsarten – Reynoldzahl für die ebene Platte
Existenz zweier verschiedener
Strömungsformen:
ƒ laminare Strömung
(Reibungskräfte dominieren)
ƒ turbulente Strömung
(Impulskräfte dominieren)
Umschlagen von laminarer in turbulente
Strömung: Reynold‘sche Kennzahl
Re x =
u∞ ⋅ x
ν
=
ρ ⋅ u∞ ⋅ x
η
kritische Reynoldszahl (für die ebene
Platte) 105 ≤ Rex,krit≤ 4x106
Abb.: Polifke / Kopitz: Wärmeübertragung
14
Reynoldzahl für das durchströmte Rohr
Definition Reynoldzahl: ReD=um D / ν
für ein durchströmtes Rohr
ƒ Volumenstrom V‘=um D2 π /4
ƒ um=mittlere Geschwindigkeit
ƒ ReD,krit zwischen 2300 und 50000,
technisch ca. 3000
ƒ Anwachsen der Grenzschichtdicke;
ab Einlauflänge Le keine Änderung
des Geschwindigkeitsprofils mehr
(hydraulisch ausgebildete
Strömung)
Le /D = 0.05 ReD
laminare Strömung:
Das Geschwindigkeitsprofil ist im
ausgebildeten Zustand parabolisch
turbulente Strömung:
Das Profil ist in der Rohrmitte flacher
und steiler an der Rohrwand
⇒ steigende Wandschubspannung
⇒ steigender Druckverlust
Abb.: Polifke / Kopitz: Wärmeübertragung
15
Die hydrodynamischen Grundgesetze viskoser Fluide
Fourier‘sche DGL:
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ω& 1 ∂T
+
+
+ =
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 λ a ∂t
ƒ stationäre Medien
ƒ Konduktion
ƒ Herleitung aus den Energiebilanzen
a=
λ
ρ ⋅c
Komplexere Zusammenhänge für instationäre Medien:
ƒ Energieerhaltung muß die Auswirkungen der Fluidbewegung auf die
Energieübertragung über die Oberfläche des Kontrollvolumens enthalten
ƒ hinzu kommt die Wärmeleitung
⇒ Die resultierende DGL, die die Basis zur Berechnung der Temperaturverteilung bildet, erfordert die Kenntnis der Geschwindigkeitsverteilung.
⇒ Dazu müssen DGL gelöst werden, die auf der Massen- und der Impulserhaltung basieren.
16
Die hydrodynamischen Grundgesetze viskoser Fluide in Form von Differentialgleichungen lassen sich aus den Erhaltungsgleichungen der Thermodynamik für
ƒ Masse
ƒ Impuls
ƒ Energie
aus den Bilanzen an infinitesimalen Kontrollvolumina ermitteln.
Das Strömungsverhalten läßt sich über diese Gleichungen beschreiben, sie sind
allerdings für komplexe Strömungen nicht analytisch lösbar. Auf der numerischen
Lösung diese Gleichungen beruhen kommerzielle Simulationsprogramme zur
Berechnung von Strömungsproblemen wie Flotherm oder Icepak („CFD“: Computational Fluid Dynamics).
17
Grundgleichungen: Erhaltung der Masse
1. Massenerhaltung
( )
zeitliche Dichteänderung
∂ρ
+ div ρ u = q
∂t
Quellterm
pro Zeiteinheit aus dem
Volumenelement
ausströmende Masse
⇒ Kontinuitätsgleichung
div u =
∂u ∂v ∂w
+ +
=0
∂x ∂y ∂z
• für ein inkompressibles Fluid (konstante Dichte)
• stationäre Strömung
• keine Quellen oder Senken in dem betrachteten Kontrollvolumen
18
Grundgleichungen: Impulserhaltung – Navier-StokesGleichung
2. Impulserhaltung / Newton‘sche Bewegungsleichung
⇒ Navier-Stokes-Gleichungen
(für inkompressible Fluide)
ρ
du
= ρ F − ∇p + η ∆ u
dt
Trägheitskräfte
Reibungskräfte
Druckgefälle
Volumenkräfte; d.h. von außen angreifende Kräfte, die dem
Volumen bzw. der Masse proportional sind (z.B. Schwerkraft)
19
r
du
dt
heißt die totale Ableitung von u nach der Zeit
• Für die Änderung einer beliebigen Größe f (t , x, y, z )
die ein sich mit der Geschwindigkeit u bewegendes Teilchen „sieht“, gilt:
( )
df ∂f
=
+ u ⋅∇ f
∂t
dt
lokale zeitliche Änderung
• Die Konvektionsbeschleunigung
Konvektive Änderung, die daher kommt, daß sich
das Teilchen in der Zeit dt an eine andere Stelle
bewegt, wo f einen anderen Wert hat.
(u ⋅ ∇)u
ist für die Nichtlinearität der Hydrodynamik verantwortlich. Kleine Abweichungen können
sich aufschaukeln und zu „Chaos“ führen (Turbulenzen).
20
Navier-Stokes Gleichungen für inkompressible Fluide, stationär:
⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞
⎛ ∂u
∂u
∂u ⎞
∂p
ρ ⎜⎜ u + v + w ⎟⎟ = ρ f x − + η ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟
∂z ⎠
∂x
∂y
∂z ⎠
∂y
⎝ ∂x
⎝ ∂x
⎛ ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v ⎞
⎛ ∂v
∂p
∂v
∂v ⎞
ρ ⎜⎜ u + v + w ⎟⎟ = ρ f y − + η ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟
∂y
∂y
∂z ⎠
∂z ⎠
∂y
⎝ ∂x
⎝ ∂x
⎛ ∂2w ∂2w ∂2w ⎞
⎛ ∂w
∂p
∂w
∂w ⎞
ρ ⎜⎜ u
+v
+ w ⎟⎟ = ρ f z − + η ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟
∂z
∂y
∂z ⎠
x
y
∂
∂
∂z ⎠
⎝
⎝ ∂x
Randbedingungen:
• An festen Wänden ist die Geschwindigkeit des Fluids Null.
• An der Trennungsfläche zweier Fluide sind Geschwindigkeiten sowie Drücke gleich.
21
Grundgleichungen: Energieerhaltung
3. Temperaturform der Energieerhaltung
dT
= a∆T + q
dt
Temperaturleitfähigkeit
Quellterm (z.B. Reibungswärme)
ƒ Die Gleichung ist wie die „normale“ Wärmeleitungsgleichung, enthält aber
aufgrund des konvektiven Teils von dT/dt auch die Möglichkeit eines
Wärmetransports.
ƒ Stationäre Gleichung ohne innere Quellterme:
⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ⎞
∂T
∂T
∂T
u
= a ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟
+w
+v
∂z ⎠
∂y
∂z
∂y
∂x
⎝ ∂x
a=
k
ρ ⋅c
22
Simulation von Wärmeübergangsproblemen:
Beispiel Software „Flotherm“
23
Hydrodynamisches Ähnlichkeitsgesetz
Die vollständige Lösung der Grundgleichungen ist nur in einfachen Fällen möglich.
Daher nutzt man oft das Hydrodynamische Ähnlichkeitsgesetz aus.
ƒ Zwei Strömungen in geometrisch ähnlichen Anordnungen oder um geometrisch
ähnliche Körper (Modellversuche!) sind – im Falle der Inkompressibilität und beim
Fehlen äußerer Kräfte – genau dann mechanisch ähnlich, wie sie in den
folgenden beiden dimensionslosen Größen übereinstimmen:
- Verhältnis von Druck zu Trägheitskräften
- Verhältnis der Trägheitskräfte zu den Reibungskräften
L ist eine für die Anordnung charakteristische Länge
(etwa ein Rohrdurchmesser)
p
ρu 2
( )
ρLu
η
24
Begründung für das Ähnlichkeitsgesetz:
Entdimensionierung der Erhaltungsgleichungen
Normierung der Systemvariablen:
Längen:
~
x =x/L
Geschwindigkeiten:
u~ = u / u∞
Temperatur:
~ T − T∞
T=
TW − T∞
Druck:
~
p=
~
y= y/L
v~ = v / u∞
~
z =z/L
~=w/u
w
∞
p
ρ ⋅ u∞2
⇒ Erhaltungsgleichungen der Thermofluiddynamik in dimensionsloser Form
25
Normierte Erhaltungsgleichungen
Kontinuitätsgleichung:
~
∂u~ ∂v~ ∂w
+
+
=0
∂~
x ∂~
y ∂~
z
Unter Vernachlässigung der Volumenkräfte ergeben sich die Navier-StokesGleichungen in x-Richtung (analog für die y- und z-Koordinaten):
∂u~ ~ ∂u~ ~ ∂u~
∂~
1 ⎛ ∂ 2u~ ∂ 2u~ ∂ 2u~ ⎞
p
~
⎜⎜ ~ 2 + ~ 2 + ~ 2 ⎟⎟
u ~ +v ~ +w ~ = − ~ +
∂x
∂y
∂z
∂x Re L ⎝ ∂x
∂y
∂z ⎠
Energieerhaltung:
~
~
~
2~
2~
2~
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
1
1
T
T
T
T
T
T⎞
~
~
~
⎜
⋅ ⋅ ⎜ ~ 2 + ~ 2 + ~ 2 ⎟⎟
u ~ +v ~ +w ~ =
∂x
∂y
∂z Re L Pr ⎝ ∂x
∂y
∂z ⎠
Pr =ν / a
26
Kennzahlen
Erhaltungsgleichungen der Thermofluiddynamik in dimensionsloser Form mit den
Kennzahlen:
• Reynold-Zahl Re = u∞ ⋅ L = ρ ⋅ u∞ ⋅ L
L
(Verhältnis Trägheit zu Reibung)
• Prandtl-Zahl
Pr =ν / a
(Verhältnis Reibung / Wärmeleitung)
• Péclet-Zahl
Pe L =
ν
η
u∞ ⋅ L
a
(Verhältnis Trägheit / Wärmeleitung)
• es gilt der Zusammenhang: PeL=Re·Pr
⇒ Ähnlichkeit thermofluiddynamischer Vorgänge:
• Geometrie (charakteristische Länge L)
• Randbedingung: Freistromgeschwindigkeit (u∞)
• Prandtl- und Reynoldzahl
• Verhältnis von Druck- zu Trägheitskräften:
~
p=
p
ρ ⋅ u∞2
27
Vereinfachte Grenzschichtgleichungen für die
Zwangskonvektion
ƒ Bei ausreichend hoher Reynoldzahl unterscheidet man in Strömungen eine
Kernströmung, die näherungsweise reibungsfrei behandelt werden kann, und
eine Grenzschicht, in der Zähigkeitseffekte den Austausch von Impuls, Energie
und Stoff wesentlich bestimmen.
ƒ Da bei ausreichend hohen Reynoldzahlen die Grenzschicht sehr dünn ist, sind in
der Grenzschicht wandnormale Gradienten von Geschwindigkeit oder
Temperatur viel größer als Gradienten in Längsrichtung. Daraus resultiert eine
wesentliche Vereinfachung der Navier-Stokes Gleichungen.
28
Voraussetzungen für die forcierte Konvektion (in x-Richung): Re>>1
⇒ für die Geschwindigkeit:
δ ( x) << x, u >> v,
analog gilt für die Temperaturgrenzschicht:
δ th ( x) << x,
∂u
∂u
>>
,
∂y
∂x
∂u
∂v
>>
∂y
∂y
∂T
∂T
>>
∂y
∂x
Damit lautet der Satz vereinfachter Grenzschichtgleichungen für den 2-D-Fall:
∂u~ ∂v~
+ ~ =0
~
∂x ∂y
2~
~
~
~
∂
∂
∂
1
∂
u
u
p
u
u~ ~ + v~ ~ = − ~ +
∂x
∂y
∂x Re L ∂~
y2
p
∂~
0=− ~
∂y
~
~
2~
∂
∂
1
1
∂
T
T
T
⋅ ⋅ ~2
u~ ~ + v~ ~ =
∂x
∂y Re L Pr ∂y
29
Konvektiver Wärmeübergang
Ziel: Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten hC
ƒ Der Wärmeübergangskoeffizient ist abhängig von der Dicke δ der Grenzschicht:
h ~ k/ δ
ƒ Bestimmung der Grenzschichtdicke δ
- Lösung eines strömungsmechanischen Problems: Verteilung der
Geschwindigkeit in der Grenzschicht unter dem Einfluß von Trägheit und
Reibung
- Lösung eines konduktiv-konvektiven Wärmeproblems
⇒ Ansatz: Ermittlung von Zusammenhängen zwischen Grenzschichtdicken
und der Prandtl-Zahl für bestimmte Geometrien und Strömungsarten. Diese
lassen sich dann über den Ähnlichkeitsansatz für eine Klasse von
Problemen nutzen.
ƒ Lösungsansatz: es wird ein dimensionsloser Wärmeübergangskoeffizient
(Nußelt-Zahl) bestimmt, der sich über Korrelationen (Kennzahlen: Reynold-Zahl,
Prandtl-Zahl) ermitteln läßt.
ƒ verschiedene Nußelt-Korrelationen für verschiedenen Geometrien
30
Prandtl‘sche Grenzschichttheorie
Unterscheidung: Grenzschicht - Kernströmung
• hydrodynamische Grenzschicht (Strömungsgrenzschicht)
ƒ wandnahe Grenzschicht: Zähigkeits- und Trägheitskräfte
ƒ Kernströmung: Trägheitskräfte; Reibung vernachlässigbar
• thermische Grenzschicht
ƒ in Wandnähe: konvektiver und diffusiver Energietransport
ƒ außerhalb: diffusiver Energietransport vernachlässigbar
• Grenzschichtnäherungen
ƒ zur Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichungen bei erzwungener Konvektion
⇒ Bestimmung der Geschwindigkeits- und Temperaturprofile in der
Grenzschicht
31
Beispiel: Strömungsgrenzschicht über einen
ruhenden ebenen Platte
Geschwindigkeitsprofil
u∞
Außenraum
δ
y
L
x
Laminare Strömung:
ƒ Unter dem Einfluss der Reibung bildet sich längs der Platte die Grenzschicht aus.
ƒ In der Grenzschicht wächst die die Geschwindigkeit des Fluids von Null auf u∞,
der Geschwindigkeit des freien Fluids.
ƒ In der Grenzschicht fließt des Fluid laminar. Das laminar fließendes Fluid lässt
sich in Schichten verschiedener Geschwindigkeiten einteilen, die aneinander
vorbei gleiten
ƒ Die Dicke der Grenzschicht wächst von Null am Anfang der Platte bis zu ihrem
Wert δ am Ende der Platte.
32
Bestimmung der Dicke der Strömungsgrenzschicht δ
ƒ Die Dicke δ der Grenzschicht lässt sich z.B. durch die folgende (vereinfachte)
energetische Betrachtung ermitteln:
Geschwindigkeitsprofil
u∞
Außenraum
τ0
x
y
u
δ
L
ƒ Die Reibungskraft F, die das freie Fluid pro Flächeneinheit bei dem Fluss in xRichtung erfährt ist gleich der Schubspannung τ0:
F'=τ0 =η
∆u
= η 2u∞ δ
∆y
(gemittelt )
33
ƒ Die auf der Strecke L dissipierte Energie Eη ist:
E 'η = F '⋅L = 2ηu∞ L δ
ƒ Andererseits hat die Grenzschicht nur noch die (mittlere) Geschwindigkeit u∞/2.
ƒ Die verlorene kinetische Energie ist also:
E 'kin = 1 2 (ρ δ 2)(u∞ 2 )
2
ƒ Da gilt: E‘kin = E‘η, ergibt sich
2ηu∞ L δ = 1 2 (ρ δ 2 )(u∞ 2 )
2
⇒δ =
32ηL
ρu∞
34
ƒ Die genauere Rechnung ergibt statt den Faktor 25 unter der Wurzel
δ=
25ηL
ρu∞
ƒ Durch Umformung erhält man:
δ
L
=
5
5
=
u ∞ Lρ
Re
η
ƒ Da bei Platten die Länge L der Relevante Geometrieparameter ist, bezeichnet
man Reynoldszahl auch als ReL
Re L =
Platte:
Rohr:
u ∞ Lρ
η
δ=
δ=
5L
Re L
5d
Re L
35
Turbulente Strömungen
ƒ δ steigt mit dem Abstand vom dem Anfang der Platte.
ƒ Wenn aber die laminare Dicke δlam einen bestimmten Wert überschritten hat,
bilden sich Wirbel.
ƒ Über der laminaren Grenzschicht entsteht eine turbulente Grenzschicht.
ƒ Es ergeben sich neue Zusammenhänge zur Bestimmung der Grenzschichtdicke.
Abb.: Polifke / Kopitz: Wärmeübertragung
36
Turbulente Strömungen: kritische Reynoldszahl
ƒ Wegen des Ähnlichkeitsgesetzes gibt es eine kritische Reynoldszahl, bei der
der Umschlag in turbulente Strömung erfolgt.
ReL,krit ≈ 3 105
ƒ Bei vorgegebener Geschwindigkeit und Fluidparameter entspricht dem eine
kritische Länge Lkrit und damit auch eine kritische laminare Dicke δlam,krit
Lkrit
Re 2L ,krit η 2
=
u∞ ρ
δ lam ,krit =
5 Lkrit
Re L ,krit
37
Exkurs: Entstehung von Wirbeln
ƒ Generell treten Wirbel dort auf, wo die Strömung gegen steigenden Druck
anlaufen muss, d.h. wo die Stromlinien sich erweitern
ƒ Dieses passiert zum Beispiel nach dem Umströmen von Hindernissen.
ƒ Die wandnahen Fluidteilchen haben nicht genügend kinetische Energie, um
vorwärtszuströmen. Die Teilchen fließen zurück.
ƒ Reibung ist also für die Entstehung von Wirbeln entscheidend.
Beispiel: Umströmung eines Rohrs
38
Beispiel: Strömung im Rohr
ƒ Beim Eintritt des Fluids in das Rohr bildet sich zunächst eine laminare, u.U. auch
turbulent werdende Grenzschicht aus.
ƒ Erfüllt diese Grenzschicht das ganze Rohr, so spricht man von voll ausgebildeter
laminarer (bzw. turbulenter) Strömung.
39
ƒ Die Bedingung für Turbulenz im Rohr ist:
d
> δ lam ,krit
2
ƒ Bei voller Ausfüllung des Rohres bildet sich dann eine turbulente Grenzschicht
aus.
ƒ Für Rohre ist daher der Durchmesser d der relevante Geometrieparameter.
ƒ Ebenso muss hier wegen des Geschwindigkeitsprofils u = u∞/2 gesetzt werden.
ƒ Also:
Re d =
udρ
η
ƒ Eine Näherung für Red,krit erhält man durch die Verwendung der Ausdrücke für
die ebene Platte:
Re d ,krit ≈ 2500
40
Die Temperaturgrenzschicht
ƒ Analog zur Strömungsgrenzschicht definiert man ein Temperaturgrenzschicht.
ƒ Die Temperaturgrenzschicht hat die Dicke δT
ƒ Bei Kühlung fällt innerhalb der Temperaturgrenzschicht die Temperatur von TS
(Oberflächentemperatur) auf T∞ (Umgebungstemperatur)
T∞
y
TS
x
δT
Oberfläche A
Die Prandtlzahl gibt das Verhältnis von Geschwindigkeits- zu Temperaturprofil an,
es gilt:
δT = 3
δ
Pr
41
Ausnutzen der Ähnlichkeitsgesetze zur Bestimmung
des Übergangskoeffizienten
dQkonv dQS
∂T
=
= − k Fluid ⋅ A⋅
∂y
dt
dt
= hC ⋅ AS ⋅ (TS − T∞ )
y =0
ƒ Wegen des hydrodynamischen Ähnlichkeitsprinzip reicht es, den gesuchten
Wärmeübergangskoeffizienten hC für typische Geometrien zu berechnen oder
experimentell zu bestimmen.
ƒ Den Wert für die spezielle Situation gewinnt man durch Skalierung.
42
Ausnutzen der Ähnlichkeitsgesetze: NußeltKennzahl
ƒ Der dimensionslose Wärmeübergangskoeffizient heißt Nußelt-Zahl:
Nu x =
hC x
,
k fluid
⎛ Nu ⎞
also hC = ⎜ x ⎟k fluid
⎝ x ⎠
ƒ x ist ein Geometrieparameter:
- Platte:
x = L (Länge der Platte)
- Rohr:
x = d (Durchmesser des Rohrs)
ƒ Bei einer beliebig geformten durchströmten Struktur ist x der so genannte
hydraulische Durchmesser dh.
dh =
4× Querschnitt A
benetzter Umfang
43
Hydraulischer Durchmesser dh: Beispiele
dh =
a
dh = a
4× Querschnitt A
benetzter Umfang
a
b
dh =
a
D
n
d
2ab
a+b
D 2 − nd 2
dh =
D + nd
44
Ableitung der Nußelt-Zahl aus der Grenzschichttheorie
Temperatur – Randbedingungen:
Wandtemperatur TS
ƒ Bei den folgenden Überlegungen wir von einer konstanten Wandtemperatur
ausgegangen.
ƒ Bei einer veränderlichen Wandtemperatur stellen die durch die obige Annahme
gewonnenen Werte untere Grenzwerte dar.
Umgebungstemperatur T∞
ƒ Bei einer inneren Strömung (z.B. im Rohr) ist T∞ nicht konstant, sondern steigt in
Flussrichtung.
ƒ Die über einen Querschnitt gemittelte Temperatur wird die Bulktemperatur TB
genannt.
y
TB(x2)
x
TB(x1)
45
Beispiel ebene Platte
∆T = TB ( x2 ) − TB ( x1 )
Wärmetransport:
Wärmestrom parallel zur ebenen Platte:
dM
dt
C
dQm dM
=
C∆TB
dt
dt
ƒ Bei laminarer Strömung kann man annehmen, dass
der Wärmetransport senkrecht zur Platte über
Wärmeleitung durch die Temperaturgrenzschicht
erfolgt.
ƒ Die Wärmeabfuhr durch die Strömung
dient dazu, die Temperaturdifferenz
aufrecht zu erhalten.
Massenstromstärke
spezifische Wärme
dQm
dt
δT
dQK
dt
46
Temperatur- und Strömungsgrenzschicht
δu∞
T∞
u∞
δT
um,T
L/2
L
ƒ Die Breite der Temperaturgrenzschicht ist im Mittel δT/2.
ƒ Dann ist:
T −T
dQK
= L ⋅ b ⋅ k fluid ⋅ 2 S ∞
δT
dt
47
Berechung des Wärmestroms parallel zur Platte
(dQm/dt)
ƒ Das Fluid erwärmt sich in der Grenzschicht im Mittel um:
∆T =
TS − T∞
2
ƒ Für die mittlere Strömungsgeschwindigkeit in der thermischen Grenzschicht um,T
gilt:
um ,T
u∞
δT
= 2
δ
⇒ um ,T =
δ T ⋅ u∞
2δ
ƒ Die Massenstromstärke in der Grenzschicht ist dann:
δ
dM
= b ⋅ T ⋅ um ,T ⋅ ρ
2
dt
48
Wärmestromgleichung der Temperaturgrenzschicht
ƒ
Die pro Zeiteinheit abgeführte Wärmemenge Qm:
dQm dM
=
C∆T
dt
dt
T −T
1
δ δ u
u
= b T T ∞ ρ C S ∞ = bδ T2 ∞ ρC (TS − T∞ )
2 2 δ
2
8
δ
ƒ
Setzt man die Wärmemengen Qk und Qm pro Zeiteinheit gleich, erhält man die
Wärmestromgleichung der Temperaturgrenzschicht:
T −T
1 δ T2
u∞ (TS − T∞ ) = a S ∞
16 δ ⋅ L
δT
ƒ
k
= a Temperaturleitfähigkeit
(ρ ⋅ C )
Hieraus ergibt sich die folgende Abhängigkeit der thermischen Grenzschicht
von der Strömungsgrenzschicht:
δ T3 =
16 δ L a
u∞
49
Die kinematische Viskosität
ƒ Man setzt nun:
δT
δ
X=
ƒ Dann wird aus:
δ T3 =
16 δ L a
u∞
⇒
X 3δ 3 =
16 δ L a
u∞
⇒
X3 =
16 L a
δ 2 u∞
ƒ Bei der Berechnung der Strömungsgrenzschicht der ebenen Platte hatten wir
erhalten:
δ =5
L
Re L
ƒ Den Quotienten ν =
mit
Re L =
u ∞ Lρ
η
η [m²/s] bezeichnet man als „kinematische Viskosität“
ρ
50
Die Prandtlzahl
ƒ Mit der kinematischen Viskosität ν kann die Dicke δ der Strömungsgrenzschicht
auch beschrieben werden durch:
δ2 =
25 ν L
u∞
⇒
X3 =
16 a
25 ν
⇒
X = 0,863
a
ν
≈3
a
ν
ƒ Das Verhältnis von ν zu a heißt Prandtlzahl
Pr =
ν
⎛ ηC⎞
⎜=
⎟ Prandtlzahl
k
⎝
⎠
a
(Materialkonstante)
ƒ Die Prandtlzahl gibt das Verhältnis von Geschwindigkeits- zu Strömungsprofil an,
da gilt:
δT = 3
δ
Pr
51
Pr
Verhältnis der
Strömungsprofile
Materialien
<1
δ < δT
Flüssige Metalle
≅1
δ = δT
Gase und Dämpfe
>1
δ > δT
Flüssigkeiten
Temperatur °C
Prandtlzahl
27
0,707
127
0,694
20
7,02
40
4,34
60
3,02
Prandtlzahlen für Luft und Wasser:
Luft
Wasser
52
Die Nußeltzahl für die ebene Platte
ƒ Mit Hilfe der Reynolds- und der Prandtlzahl läßt sich die Nußeltzahl für die ebene
Platte bei rein laminarer Strömung angeben:
Nu L =
L
δT
; δT =
δ
3
Pr
; δ =5
L
Re L
⇒ Nu L = 0,2 Re L 3 Pr
ƒ Mit einer genaueren Rechnung erhält man:
- Lokal
Nu x ,lam = 0,332 Re x 3 Pr
- Über die Platte gemittelt
Nu L ,lam = 0,664 Re L 3 Pr
ƒ Allgemein gilt oft der Zusammenhang:
Nu L = C ⋅ Re n Pr m
53
Beispiel: Ebene Platte, turbulente Strömung
ƒ Für die laminare Unterschicht gelten dieselben Betrachtungen wie oben.
ƒ Der Einfachheit halber stellen wir uns Pr=1 vor; der laminaren Strömungsschicht
entspricht dann eine gleich große laminare Temperaturgrenzschicht – die
Aussagen gelten aber allgemein.
ƒ In der turbulenten Schicht vergrößert der Impulsaustausch der Wirbelballen den
Wärmetransport erheblich.
54
Turbulenzen:„scheinbare“ Leitfähigkeit, Viskosität,
Nußeltzahl
ƒ Turbulenzen führen zu einem zusätzlichen Massentransport in dem Fluid. Dieser
zusätzliche Massentransport kann durch eine zusätzliche „scheinbare“
Leitfähigkeit εK berücksichtigt werden.
ƒ Die scheinbare Leitfähigkeit wird zur Temperaturleitfähigkeit addiert:
dqC
∆T − ∆Tlam
= ρ C (a + ε K )
dt
δ T ,turb − δ T ,lam
ƒ Auch die kinematische Viskosität ν erhöht sich durch die Turbulenzen um die
Wirbelviskosität εν auf ν + εν. Es gilt:
εk
≈1
εν
ƒ Man erhält damit für die Nußeltzahl bei Turbulenzen:
Nu L ,turb = 0,037 Re 0L,8 Pr 0, 48
5 ⋅105 < Re L < 107
0,6 < Pr < 100
55
Beispiel: Laminare und turbulente Rohrströmung
ƒ Laminare Strömung (voll ausgebildete hydrodynamische und thermische
Strömung, d.h. Rohrlänge größer als die Einlauflänge):
Nu d ,lam
d⎞
⎛
=
h
⎜ C ⎟ = 3,66
k⎠
⎝
= 4,36
für TS = const
für
dQ C
= const
dt
ƒ Turbulente Strömung: Es gilt die folgende Näherungsformel (sowohl für
konstante Wandtemperatur als auch für konstanten Wärmefluss):
Nu d ,turb = 0,023 Re 0d,8 Pr 0, 4
0,7 < Pr < 160
Re d > 6000
56
Nußeltzahlen für voll entwickelten laminaren Fluss in
Rohren unterschiedlichen Querschnitts
Nu
dQC/dt = const
Nu
TS = const
4,364
3,66
1,0
3,61
2,98
a
2,0
4,12
3,39
a
4,0
5,33
4,44
8,0
6,49
5,60
Querschnitt
b/a
a
a
b
b
b
a
57
Beispiel: Chip
ƒ Welche Leistung kann ein 5 x 5 mm² Chip dissipieren, wenn es mit Luft in
erzwungener Konvektion gekühlt wird?
Luft: 2,5 m/s; 27°C
A = 5 x 5 mm²
29,5 mm
Chip
Tmax=85°C
Substrat
58
Beispiel: Vorgehensweise
ƒ Ziel: Bestimmung des lokalen Wärmeübergangskoeffizienten hc.
ƒ Für die Bestimmung von hC benötigen wir die Nußeltzahl.
ƒ Frage: laminare oder turbulente Nußeltzahl?
ƒ Bestimmung der Strömungsart über die lokale Reynoldszahl.
ƒ Benötigte Materialparameter von Luft (27°C, normaler Luftdruck):
Materialparameter
Wert
Einheit
Dichte ρ
1,1614
kg/m³
Viskosität η
1,84 10-5
Ns/m²
Wärmeleitfähigkeit k
0,026
W/mK
Prandtlzahl
0,707
59
Beispiel Chip: lokale Reynoldszahl, lokale Nußeltzahl
ƒ Die lokale Reynoldszahl (x = 29,5 mm) für die ebene Platte ist:
Re x =
u∞ xρ
η
2,5 ⋅ 29,5 ⋅1,1614 10 −3
=
⋅ −5 = 4,7 ⋅103
1,84
10
ƒ Kriterium für turbulente Strömung: Rex > 3 105
⇒ laminare Strömung am Chip
ƒ lokale Nußeltzahl:
Nu x ,lam = 0,332 Re x 3 Pr = 0,332 4,7 ⋅10³ 3 0,707
= 20,3
ƒ Wärmeübergangskoeffizient:
hC = Nu x ,lam
[
k
0,026
= 20,3
= 17,9 W / m 2 K
x
0,0295
]
60
Beispiel Chip: maximal abführbare Wärmestrom
Damit folgt für den maximal abführbaren Wärmestrom (die Verlustleistung des
Chips):
dQC
2
= hC A∆T = 17,9(0,005) (85 − 27 ) = 0,026 W
dt
Mögliche Verbesserungen:
ƒ Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit
ƒ Erhöhung der Fläche (Kühlrippen)
ƒ Immersionskühlung
(Chip eingetaucht in Verdampfungsmittel)
61
Einfluss der Rauhigkeit auf die Strömung
ƒ Bei laminarer Strömung ergibt sich durch die Rauhigkeit der Rohrwände keine
Veränderung des Wärmeübergangs.
ƒ Bei turbulenter Strömung ragen die „Spitzen“ in die besser leitende turbulente
Schicht hinein.
ƒ Auch die Module auf einer Baugruppe können als Rauhigkeit betrachtet werden.
62
5.4.2 Freie Konvektion
ƒ Wird die Strömung nicht „von außen“ (Pumpen), sondern durch die Erwärmung
selbst erzeugt, so spricht man von freier oder natürlicher Konvektion.
y
Geschwindigkeitsprofil
Temperaturprofil
α
∂T
∂y
y =0
„heiße“ Platte
Gewichtskraft
63
ƒ Durch die Erwärmung dehnen sich die wandnahen Fluidschichten aus
ƒ Dadurch vermindert sich die Dichte dieser Schichten und eine Auftriebskraft
entsteht:
F ' = ∆ρg
(g ist die Erdbeschleungigung )
ƒ Eine – allerdings pauschale und stark vereinfachte – Energiebetrachtung liefert
∆ρgL = K
ρ
2
um2
Potentielle Energie
Kinetische Energie
(K: Reibungsverlust,
aus Versuchen K=5)
∆ρgL = 2,5 ρu m2
64
Grashofzahl
∆ρgL = 2,5 ρu m2
ƒ Erweitert man die Gleichungen mit L2/ν2, um auf der rechten Seite eine
Reynoldszahl zu erhalten, ergibt sich:
∆ρ
um2 L2
L3
g
= 2,5 2
ρ ν 2 / ρ2
ν
(gültig für 0,5 < Pr < 50)
ƒ Den Ausdruck auf der linken Seite nennt man Grashofzahl.
gL3
Gr =
ρ∞ − ρ
ρ
ν2
ƒ Sie gibt das Verhältnis von Auftriebs- zu Reibungskräften an und stellt eine Art
Reynoldszahl für die freie Konvektion dar.
Gr = 2,5 Re 2L
65
ƒ Die Grashof-Zahl kann über den thermischen Ausdehnungskoeffizienten β
bestimmt werden. β koppelt in linearisierter Form Dichte- und Temperaturänderungen:
β ≡−
Grx =
1 ⎛ ∂ρ ⎞
1 (ρ ∞ − ρ )
⎜ ⎟ ≈
ρ ⎝ ∂t ⎠ p ρ (T − T∞ )
gx 3 β (TS − T∞ )
ν
2
Gr =
gL3 β (TS − T∞ )
ν2
ƒ Bei der freien Konvektion hängt die Nußelt-Zahl Nu von der Grashof- und der
Prandtl-Zahl ab Nu=f(Gr,Pr)
ƒ Bei bekannter Grashofzahl ergibt sich also die Reynoldszahl. Damit ist es z.B.
möglich, die Gleichungen der Plattenströmung zu verwenden.
66
Rayleigh-Zahl
ƒ Verwendet man die Gleichung zur Bestimmung der Nußeltzahl aus der
Reynoldszahl, so erhält man nach einem „Fitting“ an empirische Messwerte:
Nu L ≈ 0,5(Gr Pr )
14
ƒ Das Produkt Gr Pr wird Rayleigh-Zahl (Ra) genannt.
ƒ Man setzt oft:
Nu = c(Ra )
n
und bestimmt c und n empirisch.
ƒ Die kritische Rayleigh-Zahl bei freier Konvektion gibt den Übergang von
laminarer zu turbulenter Strömung an. Es gilt Rax,krit≅109
67
Rechengang bei freier Konvektion
Vorgehensweise zur Bestimmung des Wärmeübergangs bei freier Konvektion:
Bestimmung der Grashofzahl Gr
Prandtlzahl Pr als Stoffkonstante des Fluids
Rayleighzahl Ra = Gr ·Pr (Entscheidung laminar oder turbulent)
Bestimmung der mittleren Nußeltzahl =f(Ra) mit Korrekturfaktoren für bestimmte
Geometrien
ƒ analog zur Zwangskonvektion kann über die Nußelt-Zahl der mittlere
Wärmeübergangskoeffizient hc (=Nu · L/k) bestimmt werden
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
68
Kenndaten: Natürliche Konvektion
R. Tummala: Fundamtentals of Microsystems Packaging
69
Kenndaten: Zwangskonvektion
R. Tummala: Fundamtentals of Microsystems Packaging
70
Erzwungene und freie Strömungen
ƒ Sind erzwungene und freie Strömung überlagert, so muss das Verhältnis
Ar =
Gr
2
Re erzw
betrachtet werden.
ƒ Dieses Verhältnis wird die Archimedeszahl (Ar) genannt.
Ar > 0,225
Nur erzwungene Strömung
0,225 < Ar < 10
beides
Ar > 10
Nur freie Strömung
ƒ Die Reynoldszahl ergibt sich als geometrisches Mittel aus der erzwungenen und
der freien Reynoldszahl.
ƒ Mit ihr können dann die normalen Plattengleichungen verwendet werden.
71
5.5 Wärmestrahlung
Wärmestrahlung: Austausch von Wärme zwischen Körpern unterschiedlicher
Temperatur durch elektromagnetische Strahlung im Wellenängenbereich von
0,1 – 1000µm (sichtbares Licht und Infrarot)
ƒ Jeder Körper sendet Strahlen entsprechend seiner Temperatur und
Oberflächenbeschaffenheit aus
ƒ Den möglichen Höchstbetrag an Strahlung liefert ein schwarzer Körper.
ƒ Es gilt: Emissionsverhältnis (ε) = Absorptionsverhältnis (α)
ƒ ε hängt von der Wellenlänge ab (auch von der Temperatur und Abstrahlwinkel)
und wird daher meist als Mittelwert angegeben.
ƒ Typische Werte schwanken zwischen 0,02 (poliertes Gold, Silber, Kupfer)
bis > 0,97 (matter schwarzer Lack, Eis mit rauem Reifbelag).
72
Energieverteilung in Abhängigkeit von λ
ƒ Durch das Planck‘sche Strahlungsgesetz beschriebene Energieverteilung der schwarzen Strahlung.
ƒ Die durch die Strahlung bewirkte
Wärmestromdichte ergibt sich durch
Integration über alle Wellenlängen
zu:
dq
= σT 4 (Stefan - Boltzmann)
dt
σ = 5,67 ⋅10 −8 W m 2 K 4
(
)
ƒ Bei 100°C ist:
dq
= 0,1W cm 2
dt
73
Der Wärmeübergangskoeffizient hStr
ƒ Definition eines Wärmeübergangskoeffizienten hStr analog zum Newton-Gesetz.
ƒ Für den Wärmeübergangskoeffizienten hStr muss auch berücksichtigt werden,
dass der Körper von der Umgebung Strahlung absorbiert.
ƒ Um abzuklären, ob der Strahlungsanteil bei einem gegebenen Körper ins
Gewicht fällt, nimmt man ε=1 an und benutzt die folgende obere Abschätzung:
hStr = 4 σ Tm3 = 2,3 ⋅10 −7 ⋅ Tm3
wobei Tm =
und
1
(TKörper + TUmgebung )
2
dq
= hStr (TKörper − TUmgebung )
dt
74
Bedeutung der verschiedenen
Wärmeübertragungsmechanismen
Strahlung eines schwarzen Körpers bei 100°C: 0,05 W/cm³
Kühlmittel
Maximaler Wärmeübergangskoeffizient hmax [W/(cm²K)
Mechanismus
Luft von 1 – 3 atm
Fluorchemischer Dampf
Transformatorenöl
Fluorchemische Flüssigk.
0,002
0,01
0,02
0,03
Natürliche
Konvektion
Luft von 1 – 3 atm
Fluorchemischer Dampf
Transformatorenöl
Fluorchemische Flüssigk.
Wasser
0,01
0,1
0,15
0,2
0,6
Erzwungene
Konvektion
Fluorchemische Flüssigk.
Wasser
0,6
3,0
Sieden
75
O. Wittler, Fraunhofer IZM
76